Álgebra Superior II: Problemas de divisibilidad y algoritmo de Euclides

Por Claudia Silva

3 respuestas

Introducción

A continuación les dejo los links que les preparé para hoy. Se ven en el orden que están. Si tienen dudas, pueden ponerlas en la sección de comentarios de aquí del blog.

Ejemplo de algoritmo de la división de Euclides
Condición necesaria para que $2^n+1$ sea primo
$a-b$ divide a $a^n-b^n$

Más adelante…

Tarea moral

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Seminario de Resolución de Problemas: Introducción a principio de inducción

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

El principio de inducción es una de las piedras angulares de las matemáticas y de la resolución de problemas. Es altamente probable que ya lo hayas utilizado previamente, en cursos como Álgebra Superior I y II, en Álgebra Lineal, en Cálculo y varios otros.

En esta entrada y las siguientes repasaremos la idea general del principio de inducción, pero además veremos lo flexible que puede ser en la resolución de problemas.

La idea general que debes tener cuando hagas inducción es pensar en Tlaloc (dios de la lluvia). Imagina que Tlaloc decide que llueva hoy, y además decide que si llueve un día, entonces lloverá también al día siguiente. Como llueve hoy, entonces lloverá mañana, pero como llueve mañana entonces lloverá pasado mañana. De hecho, ¡va a llover todos los días a partir de hoy!

De manera general, el principio de inducción sirve para cuando se quieren probar afirmaciones «para todo número natural $n$» y en donde para probar la afirmación para un valor $n$ es útil tener la validez de la afirmación para los valores anteriores. Sin embargo, se puede también utilizar para probar afirmaciones «a partir de cierto natural». Enunciamos esta versión a continuación.

Principio de inducción. Sea $P(n)$ una afirmación (o proposición o propiedad) que depende del número natural $n$. Si

  • la afirmación $P(a)$ es cierta y
  • la veracidad de la afirmación $P(n)$ implica la veracidad de la afirmación $P(n+1)$,

entonces la afirmación $P(n)$ es cierta para toda $n \geq a$.

En estos términos, a probar la afirmación para $a$ se le conoce como probar la base de inducción. Suponer la veracidad de $P(n)$ para una $n$ se conoce como suponer la hipótesis inductiva, y a probar la veracidad de $P(n+1)$ se le conoce como hacer el paso inductivo. Así, para hacer una prueba por inducción se tienen que hacer los siguientes pasos:

  • Probar la base de inducción, osea, mostrar que $P(a)$ es válido.
  • Suponer, libremente, la hipótesis inductiva, es decir, suponer que $P(n)$ cierto.
  • A partir de la hipótesis inductiva, y el resto de las hipótesis del problema, hacer el paso inductivo, es decir, demostrar $P(n+1)$.

Es muy importante hacer estos tres pasos. Si no se prueba la base de inducción, es como si Tlaloc no decidiera que lloviera hoy: no hay forma de saber qué pasara. Si no se hace el paso inductivo, es como si Tlaloc no dijera nada de la lluvia de un día a partir del anterior.

La creatividad en el uso de la inducción en la resolución de problemas reside en varios aspectos. A veces:

  • Se requiere ingenio para probar el caso base.
  • Se requiere ingenio para saber exactamente cómo usar la hipótesis inductiva para hacer el paso inductivo.
  • Se requiere crear una afirmación auxiliar $Q(n)$ más fuerte que implique a $P(n)$, tal qué $Q(n)$ sí se pueda probar por inducción, pero $P(n)$ no, de lo cual veremos ejemplos en siguientes entradas.

Problemas con solución

Veamos algunos ejemplos de problemas que se pueden resolver utilizando induccicón. En el primer problema vamos a ser muy explícitos en cómo estamos ejecutando la inducción. Esto te puede ayudar cuando estas haciendo tus primeras pruebas de inducción: te ayudará a ser explícito en demostrar la base, en suponer la hipótesis inductiva y en hacer el paso inductivo.

En algunas otras de las demostraciones, vamos a ser un poco más flexibles con cómo se escribe la demostración. No hay que ser totalmente explícitos en qué parte de demostración por inducción se está haciendo. Esto te puede ayudar para cuando ya estas escribiendo una prueba más larga y la parte inductiva sólo es un pequeño fragmento del argumento.

Problema. Sea $n\geq 1$ un número entero y $a_n>a_{n-1}>\ldots>a_1>0$ números reales. Considera todas las expresiones que puedes hacer de la forma $$e_1a_1+e_2a_2+\ldots+e_na_n$$ donde cada $e_i$ es $1$ o $0$. Demuestra que al pasar por todas las $2^n$ posibilidades para las $e_i$ se forman por lo menos $\binom{n+1}{2}$ números diferentes.

Solución. Vamos a proceder por inducción sobre $n$. Hagamos primero la base de inducción. Como queremos demostrar la afirmación para toda $n\geq 1$, el caso base es $n=1$. Cuando $n=1$, tenemos un sólo número real $a_1>0$ y lo que tenemos que demostrar es que hay al menos $\binom{2}{2}=1$ valor en las expresiones que se pueden formar. Si $e_1=0$ o $1$, obtenemos las expresiones $0$ y $a_1$ respectivamente, que son al menos dos. Esto prueba el caso base.

Ahora supongamos la hipótesis inductiva. Es decir, suponemos libremente que para cierta $n$, cada que tomamos $n$ números reales se cumple la afirmación del problema, es decir, que al pasar por las $2^n$ posibilidades de $e_i$, se obtienen al menos $\binom{n+1}{2}$ expresiones diferentes.

La parte final es hacer el paso inductivo. Es decir, a partir de todas las hipótesis del problema, de la hipótesis inductiva, y de otras ideas, tenemos que probar la afirmación para $n+1$. Así, tomemos $n+1$ números reales $$a_{n+1}>a_n>\ldots>a_1>0.$$ Tenemos que mostrar que usando coeficientes $0$ y $1$ podemos formar al menos $\binom{n+2}{2}$ números distintos.

Una buena idea es aprovechar que ya sabemos que los números
$$a_n>\ldots>a_1>0$$ ya hacen varias expresiones. Podemos aplicar la hipótesis inductiva a estos números, y con ello logramos conseguir al menos $\binom{n+1}{2}$ expresiones diferentes. Notemos que estas expresiones también sirven para cuando tenemos a $a_{n+1}$ y le ponemos coeficiente $e_{n+1}=0$. Lo que tenemos que hacer ahora es conseguir $\binom{n+2}{2}-\binom{n+1}{2}=n+1$ expresiones nuevas.

Consideremos la expresión $S=a_1+a_2+\ldots+a_n$ en la que todos los coeficientes son $1$. Esta es claramente mayor que cualquiera de las otras que ya tenemos. Además, todas las expresiones $S+a_{n+1}$, $S+a_{n+1}-a_1$, $S+a_{n+1}-a_2$, $\ldots$, $S+a_{n+1}-a_n$ son mayores que $S$ (pues $a_{n+1}$ es el más grande de los $a_i$’s), son todas diferentes, y son de la forma deseada (pues cada $a_i$ con $1\leq i \leq n$ está en $S$).

De esta forma, conseguimos $n+1$ expresiones distintas y todas ellas mayores que $S$, así que distintas de todas las dadas por la hipótesis inductiva. Con esto completamos la demostración.

$\square$

La inducción sirve para probar afirmaciones que dependen de un número natural. Sin embargo, no siempre es inmediato de dónde sale este natural. A veces ese natural aparece simplemente como el tamaño de algún conjunto involucrado. A veces hay que hacer una demostración para «todos los polinomios» y entonces podríamos intentar hacer inducción sobre el grado del polinomio. En otro problema puede que se tenga que mostrar algo «para todas las matrices» y entonces tal vez tengamos que demostrarlo por inducción sobre las dimensiones de la matriz.

Problema. Se dibuja una cantidad finita de lineas en el espacio de modo que no haya tres de ellas que pasan por un mismo punto. Estas líneas definen regiones en el plano. Muestra que se pueden colorear estas regiones de blanco o negro de modo que no haya dos regiones del mismo color que tengan un lado en común.

El problema no tiene ningún número natural explícitamente en el enunciado. Sin embargo, se pide demostrar algo para una cantidad finita de cosas, así que basta probar la afirmación para $n$ cosas, para todo entero $n\geq 0$. De esta forma, la variable «cantidad de líneas que tenemos» ya es una variable sobre la cual podemos hacer inducción. Hagamos la demostración así.

Solución. Procedamos por inducción sobre el número de líneas. Si tenemos $0$ líneas, sólo hay una región en el plano. La pintamos de blanco.

Ahora, supongamos que cada que tenemos $n$ líneas, no tres de ellas por un punto, podemos hacer una coloración de su conjunto de regiones $R$ de modo que no haya dos adyacentes del mismo color.

Tomemos cualquier conjunto de $n+1$ líneas. Tomemos una de ellas $L$ e ignorémosla por el momento. Por hipótesis inductiva, podemos hacer una coloración para las $n$ líneas que quedan. Al regresar $L$ se hacen nuevas regiones. A las regiones que quedan de un lado de $L$, las dejamos del color que ya tenían. A las que están del otro lado de $L$, les intercambiamos el color (blanco a negro y viceversa).

El nuevo acomodo funciona pues todas las regiones de $R$ totalmente contenidas en alguno de los lados de $L$ siguen sin problemas. Y aquellas regiones de $R$ cortadas por $L$ sólo pueden tener problemas con un lado que caiga sobre $L$. Pero de estos problemas tampoco hay pues de un lado quedaron de un color, y del otro del otro.

$\square$

Observa que en el problema anterior ya no estamos haciendo los pasos de la inducción tan «explícitos».

A veces hay problemas en los que hay una variable entera, pero no necesariamente hay que aplicar inducción para esa variable, sino para otro parámetro que introduzcamos.

Problema. Dado un entero positivo $n$ y un real $x\geq 0$, muestra que $$\floor{x}+\floor{x+\frac{1}{n}}+\floor{x+\frac{2}{n}}+\cdots+\floor{x+\frac{n-1}{n}}=\floor{nx}.$$

Recuerda que $\floor{y}$ es el mayor entero que sea menor o igual a $y$.

Solución. El problema con hacer inducción en $n$ es que no hay una forma sencilla de relacionar el resultado para $n$ y el resultado para $n+1$. Tampoco podemos hacer «inducción sobre $x$» porque $x$ es un número real.

El truco para el problema es probar el resultado para todas las $x$ en el intervalo $[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n})$ para todo entero $k\geq 0$. Con esos intervalos cubrimos a todos los reales positivos, y por lo tanto cubrimos todas las posibilidades para $x$. Para probar que se vale en esos intervalos, vamos a proceder por inducción sobre $k$.

Si $k=0$, entonces queremos mostrar el resultado para el intervalo $[0,\frac{1}{n})$. Para las $x$ en este intervalo, cada uno de los términos $x+\frac{i}{n}$ (para $i-0,1,\ldots,n-1$) es menor que $1$ y por lo tanto el lado izquierdo de la igualdad que queremos mostrar tiene puros sumandos $0$ y entonces es igual a $0$. También para las $x$ en este intervalo tenemos $nx<1$, y así el lado derecho también es $0$. Esto prueba la base inductiva.

Supongamos ahora que el resultado es cierto para $x$ en el intervalo $[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n})$ para cierto entero $k$. Esto quiere decir que

$$\floor{x}+\floor{x+\frac{1}{n}}+\floor{x+\frac{2}{n}}+\cdots+\floor{x+\frac{n-1}{n}}=\floor{nx}.$$

Tomemos ahora un entero $y$ en el intervalo $[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n})$. Notemos que $x=y-\frac{1}{n}$ está en el intervalo anterior, de modo que cumple la igualdad de la hipótesis inductiva. Notemos además que si en

$$\floor{y}+\floor{y+\frac{1}{n}}+\floor{y+\frac{2}{n}}+\cdots+\floor{y+\frac{n-1}{n}}$$

substituimos $y=x+\frac{1}{n}$, obtenemos

$$\floor{x+\frac{1}{n}}+\floor{x+\frac{2}{n}}+\floor{x+\frac{3}{n}}+\cdots+\floor{x+\frac{n}{n}}.$$

El último sumando es $\floor{x+1}=\floor{x}+1$, de modo que en el lado izquierdo tenemos todos los sumandos del lado izquierdo de la hipótesis inductiva y un $1$. Así, el lado izquierdo es igual a $$\floor{nx}+1=\floor{nx+1}=\floor{ny},$$ como queríamos mostrar.

$\square$

Más ejemplos

Puedes encontrar más ejemplos en la Sección 2.1 del Problem Solving through Problems de Loren Larson. Otro libro con muchos ejemplos interesantes es el Putnam and Beyond, de Gelca y Andreescu. Así mismo, aquí en el blog hay otras entradas en las que se hacen pruebas por inducción.

Seminario de Resolución de Problemas: Principio de las Casillas

Por Fabian Ferrari

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Introducción

Imaginemos que tenemos un botiquín con $9$ espacios para acomodar medicamentos. Si contamos con un total de $10$ medicamentos para acomodar en los $9$ espacios, es claro pensar que al menos uno de los $9$ espacios tendrá al menos $2$ medicamentos. Eso lo podemos deducir a partir de que no hay posibilidad de repartir los $10$ medicamentos de manera equitativa en los $9$ espacios, ya que tenemos más objetos que acomodar que lugares en donde distribuir.

Siguiendo el ejemplo anterior, podemos generalizar un poco. Si tuviésemos $n$ lugares en el botiquín y $n+1$ medicamentos, podemos concluir lo mismo: al menos en una casilla habría más de un medicamento.

El esquema propuesto anteriormente es un versión básica del principio de casillas. Si volvemos a nuestro problema inicial, con el botiquín con $9$ lugares disponibles, pero ahora tenemos un total de $19$ medicamentos, de igual manera, no podemos distribuir los medicamentos de manera equitativa en los nueve lugares, y ahora si lo pensamos con un poco más de detalle, podemos concluir que en alguna de las $9$ casillas deberían de haber al menos $3$ medicamentos. Esto surge en consecuencia de pensar que podemos distribuir de manera equitativa los $19$ medicamentos en los $9$ lugares, sin embargo si colocamos en cada lugar un total de $2$ medicamentos, tendríamos que hemos acomodado un total de $18$ ($9\times 2$) medicamentos, quedándonos $1$ medicamento por acomodar, el cual debería de ir en alguno de los lugares con $2$ medicamentos cada uno. Con esto concluimos que en alguno de los lugares del botiquín debe de haber al menos $3$ medicamentos.

Con lo anterior, enunciaremos el principio de casillas.

Principio de Casillas: Si se distribuyen al menos $nk+1$ elementos en $n$ lugares, se tiene que uno de esos lugares tiene al menos $k+1$ elementos.

Este principio puede ser de gran utilidad para la resolución de problemas en los cuales hay que exhibir la existencia de elementos que cumplen cierta propiedad.

Problemas

A continuación veremos ciertos problemas en los que se muestra que el principio de las casillas es una herramienta poderosa para su resolución.

Problema. Demuestre que si hay $n$ personas en una fiesta, entonces dos de ellos conocen la misma cantidad de personas (entre los presentes).

Solución. Supongamos que hay una persona $P$ que no conoce a ninguna de las $n-1$ personas restantes. Cada una de las personas en la fiesta conoce a un número de personas entre un rango de $0$ a $n-2$ (nadie puede conocer a los $n-1$ restantes pues nadie puede conocer a $P$). Ahora, aplicando el principio de casillas, relacionando a cada persona su número de conocidos, el cual varía de $0$ a $n-2$, tenemos que al menos dos personas deben de conocer el mismo número de personas.

De igual manera, si suponemos que toda persona conoce a alguien, tenemos que el número de conocidos de cada persona varía de $1$ a $n-1$. Aplicando de nueva cuenta el principio de casillas, al asociar a cada persona su número de conocidos, tenemos que al menos dos se repiten.

$\square$

Problema 2. Dado un conjunto de $n+1$ enteros positivos, todos ellos menores o iguales a $2n$, muestra que al menos un miembro del conjunto debe dividir a otro miembro del conjunto.

Solución. Sean $a_1, a_2, …, a_{n+1}$ dichos enteros positivos. Al factorizar la máxima potencia de dos que divide a cada uno de ellos, podemos escribir a cada número de la forma $a_i=2^{m_i}·b_i$ de tal forma que $b_i$ es un número impar mayor o igual que uno y $m_i$ es un entero no negativo. Consideramos a $B$ como el conjunto de todos los $b_i$´s $$B=\lbrace b_1, b_2, …, b_{n+1}\rbrace.$$

Tenemos que entre $1$ y $2n$ hay un total de $n$ números impares, así que en el conjunto $B$ debe de haber dos elementos que sean iguales entre sí. Supongamos que $b_i$ y $b_j$ son dichos elementos. Con ello, si $m_i\leq m_j$ entonces $a_i$ divide a $a_j$. Y si $m_i>m_j$ entonces $a_j$ divide a $a_i$.

$\square$

Problema 3. Dados los puntos A, B, C, D, E al interior de un cuadrado unitario, demuestra que al menos hay dos puntos cuya distancia es menor a $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Solución. Si dividimos el cuadrado en $4$ cuadrados iguales, tenemos que por el principio de casillas en al menos uno de los cuadrados debe de haber $2$ puntos. Sin perdida de generalidad, supongamos que  A y B son dichos puntos que quedan la interior de uno de estos cuadrados pequeños. Tenemos que le diagonal del cuadrado pequeño es $\frac{\sqrt{2}}{2}$, es por ello que cualesquiera dos puntos al interior del cuadrado pequeño estarán distanciados menos que $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\square$

Problema 4. Prueba que una línea recta que no pasa por uno de los vértices de un triángulo, no puede cortar los tres lados del triángulo.

Solución. Tenemos que una recta divide al plano en dos regiones. Si tomamos estas regiones como «casillas» tenemos que en una de nuestras casillas hay al menos dos puntos del triángulo los cuales forman un segmento de recta que es uno de los lados del triángulo. Con esto tenemos que la recta no corta ese lado del triángulo.

$\square$

Puedes dejar dudas de la entrada o soluciones alternativas a algunos de estos problemas aquí abajo en los comentarios.

Más ejemplos

Puedes encontrar más ejemplos en la Sección 2.6 del Larson, o en la siguiente entrada que escribiremos al respecto.

Álgebra Superior II: Congruencias y el anillo de enteros módulo n

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

2 respuestas

Introducción

En notas pasadas hemos platicado del algoritmo de la división, del máximo común divisor, del mínimo común múltiplo, de primos, del teorema fundamental de la aritmética, la infinidad del conjunto de primos y del algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor.

En esta entrada platicaremos acerca del anillo de los enteros módulo $n$. La idea de esta entrada es:

  • Dar la intuición a través de un ejemplo concreto.
  • Dar la definición formal de $a\equiv b \pmod n$.
  • Definir a $\mathbb{Z}_n$, el anillo de enteros módulo $n$, dando sus elementos y sus operaciones de suma y resta.
  • Dar ejemplos adicionales de operaciones concretas.
  • Hablar de cuáles son los elementos de $\mathbb{Z}_n$ que tienen inversos multiplicativos y cuándo $\mathbb{Z}_n$ es un campo.

A grandes rasgos, el anillo de los enteros módulo $n$ consiste en ver a los enteros «como si sólo nos importara el residuo que dejan al dividirse entre $n$».

Ejemplo introductorio

Hablemos de las horas que tiene un día. Un día tiene $24$ horas y las podemos llamar del $0$ al $24$ para no tener que hacer distinción entre AM y PM. Por ejemplo, las 4PM serían las $16$. Las 10AM simplemente las $10$. La hora $24$ vamos a pensarla más bien como la hora $0$ del siguiente día.

Si son las $8$ (de la mañana, pero ya no hace falta aclarar), entonces tres horas después serán las $11$. Si son las $10$, entonces cuatro horas después serán las $14$. Pero si son las $22$ y pasan $7$ horas, entonces van a ser las $29$, pero conviene pensar a esa hora como las $5$ (del día siguiente), pues así es más claro qué hora entre $0$ y $23$ es. Finalmente si son las $17$ y pasan $24$ horas, entonces la hora que obtenemos es la $17+24=41$, pero justo como pasan $24$ horas, siguen siendo las $17$: aunque el día cambió, la hora no.

De esta discusión recuperamos lo siguiente:

  • En «el mundo de las horas», la hora $29$ es la misma que la hora $5$. En símbolos, esto lo ponemos como $29\equiv 5 \pmod {24}$.
  • Podemos «sumar en el mundo de las horas». Ahí, $10+4$ es $14$, pero $22+7$ es $5$. Vamos a escribir $10+4\equiv 14 \pmod {24}$ y $22+7\equiv 5 \pmod {24}$.
  • En «el mundo de las horas», si sumamos $24$ horas no pasa nada.

Definición del anillo $\mathbb{Z}_n$

En el ejemplo de motivación trabajamos con horas, que «se ciclan cada 24». Pero aquí el $24$ no tiene nada de especial y de hecho lo podemos hacer con cualquier número $n$. Comencemos definiendo qué quiere decir que dos enteros sean iguales «en el mundo de $n$».

Definición. Sea $n$ un entero positivo. Sean $a$ y $b$ enteros. Vamos a decir que $a$ es congruente con $b$ módulo $n$ si $n$ divide a $a-b$. En símbolos: $$ a\equiv b \pmod n \quad \iff \quad n\mid b-a.$$

Proposición. Para todo entero positivo $n$ la relación en $\mathbb{Z}$ de «ser congruente módulo $n$ » es una relación de equivalencia.

Demostración. Tenemos que probar que dicha relación es reflexiva, simétrica y transitiva.

Para ver que la relación es reflexiva, tomemos $a$ en $\mathbb{Z}$. Tenemos que $n$ divide a $0=a-a$, pues $n\cdot 0 =0$ (dicho de otra forma, $0$ está en $n\mathbb{Z}$). Así, $a\equiv a \pmod n$.

Veamos ahora que la relación es simétrica. Si $a\equiv b \pmod n$, entonces $n$ divide a $a-b$, pero entonces también divide a su inverso aditivo $b-a$ (aquí estamos usando que $n\mathbb{Z}$ es ideal, y que los ideales son cerrados bajo inversos aditivos), de modo que $b\equiv a \pmod n$.

Finalmente, veamos que la relación es transitiva. Para ello, a partir de enteros $a$, $b$ y $c$ tales que $a\equiv b \pmod n$ y $b\equiv c \pmod n$ tenemos que mostrar que $a\equiv c \pmod n$. Por definición, las primeras dos congruencias quieren decir que $n$ divide a $a-b$ y a $b-c$. Pero sabemos que si un entero divide a dos enteros, entonces divide a su suma. Así, $n\mid (a-b)+(b-c)=a-c$, que por definición quiere decir que $a\equiv c \pmod n$.

$\square$

Ya que «ser congruente módulo $n$» es una relación de equivalencia, entonces podemos dividir a todo $\mathbb{Z}$ en las clases de equivalencia de esta relación, y escribir como $[a]_n$ a la clase de equivalencia que tiene al entero $a$. La siguiente proposición muestra que para cada clase de equivalencia siempre podemos encontrar un representante chiquito.

Proposición. Sea $n$ un entero positivo. Se tiene que $a\equiv b \pmod n$ si y sólo si $a$ y $b$ dejan el mismo residuo al dividirse entre $n$ en el algoritmo de la división. En particular, para cada $a$ siempre existe un entero $r$ en $\{0,1,\ldots,n-1\}$ tal que $a\equiv r \pmod n$.

Demostración. Usemos el algoritmo de la división para escribir $a=qn+r$ y $b=pn+s$ con $r$ y $s$ los residuos de la división, que el algoritmo de la división garantiza que están en $\{0,1,\ldots,n-1\}$.

Si $r=s$, entonces $a-b=(q-p)n$, así que $n\mid a-b$ y así $a\equiv b \pmod n$. Si $a\equiv b \pmod n$, entonces $$n\mid a-b= (q-p)n+(r-s).$$ Como $n\mid (q-p)n$, entonces $n\mid r-s$. Sin embargo, usando que $r$ y $s$ están en $\{0,1,\ldots,n-1\}$, tenemos que $r-s$ es un número entre $-(n-1)$ y $n-1$, de modo que la única posibilidad es $r-s=0$, es decir, $r=s$. Esto prueba la primer parte de la proposición.

Como $a$ y $r$ dejan el mismo residuo $r$ al dividirse entre $n$, entonces $a\equiv r \pmod n$.

$\square$

Ejemplo. Fijemos $n=7$. Tenemos que las siguientes clases de equivalencia son la misma: $[13]_7$, $[20]_7$, $[-1]_7$. Esto es ya que, por ejemplo, $7$ divide a $20-13=14$ y $7$ divide a $20-(-1)=21$. De hecho, todas estas clases son iguales a la clase $[6]_7$, pues tanto $-1$, $6$, $13$ como $20$ son números que al dividirse entre $7$ dejan residuo $6$.

Estamos listos para presentar a los elementos del anillo de enteros módulo $n$.

Definición. Para $n$ un entero positivo, definimos a $Z_n$ como el conjunto de clases de equivalencia de la relación «ser congruente módulo $n$». Por la proposición anterior, tenemos entonces que $$Z_n=\{[0]_n, [1]_n, \ldots, [n-1]_n\}$$

Nota que $Z_n$ tiene exactamente $n$ elementos, uno por cada uno de los posibles residuos de dividir un número entre $n$. Nota también que $\mathbb{Z}_n$ no es lo mismo que el ideal $n\mathbb{Z}$, y que hay que ser cuidadosos con la notación. De hecho, el ideal $n\mathbb{Z}$ es uno de los elementos de $\mathbb{Z}_n$.

Ejemplo. $Z_4=\{[0]_4,[1]_4, [2]_4,[3]_4\}$ tiene $4$ elementos. El elemento $[3]_4$ consiste de todos los enteros que dejan residuo $3$ al dividirse entre $4$, es decir, $[\ldots,-5,-1,3,7,\ldots]$.

Definición. Sea $n$ un entero positivo y $[a]_n$ y $[b]_n$ clases de equivalencia de la relación «ser congruentes módulo $n$». Definimos las siguientes operaciones de suma y producto:

  • $[a]_n + [b]_n = [a+b]_n$, y
  • $[a]_n [b]_n = [ab]_n$.

Estas operaciones es decir, esta suma y producto «están bien definidas» y no dependen de los representantes elegidos, como muestra la siguiente proposición:

Proposición. Sea $n$ un entero positivo. Si $a\equiv a’ \pmod n$ y $b\equiv b’ \pmod n$, entonces $a+b \equiv a’+b’ \pmod n$ y $ab\equiv a’b’ \pmod n$.

Demostración. De la primer congruencia tenemos $n\mid a-a’$ y de la segunda $n\mid b-b’$. Como $n$ divide a estos dos números, divide a su suma, y reacomodando tenemos que $n\mid (a+b) – (a’+b’)$, que es equivalente a $a+b\equiv a’+b’ \pmod n$, una de las congruencias que queríamos.

Para el producto, de $n\mid a-a’$ podemos obtener $$n\mid (a-a’)b=ab-a’b$$ y de $n\mid b-b’$ podemos obtener $$n\mid a'(b-b’)=a’b-a’b’.$$ Así, $$n\mid (ab-a’b)+(a’b-a’b’)=ab-a’b’.$$ De aqui, $ab\equiv a’b’ \pmod n$, la otra congruencia que queríamos.

$\square$

El anillo de enteros módulo $n$ es precisamente $\mathbb{Z}_n$ equipado con las operaciones de suma y producto que acabamos de definir.

Ejemplos de operaciones en $\mathbb{Z}_n$

Estos son algunos ejemplos básicos de operaciones en $\mathbb{Z}_7$ y en $\mathbb{Z}_{11}$:

  • $[8]_7+[4]_7=[12]_7=[5]_7$
  • $[4]_{11}[8]_{11}=[32]_{11}=[21]_{11}=[10]_{11}$

En una siguiente entrada, preparada por Clau, verán más ejemplos de operaciones en $\mathbb{Z}_n$.

Inversos multiplicativos en $\mathbb{Z}_n$

El cero del anillo de enteros módulo $n$ es $[0]_n$, pues para cualquier entero $a$ se tiene que $[a]_n+[0]_n=[a+0]_n=[a]_n$. Como $[0]_n$ consiste precisamente de los múltiplos de $n$, tenemos entonces que $[a]_n+[kn]_n=[a]_n$.

La multiplicación en este anillo tiene como identidad a $[1]_n$, de lo cual te puedes convencer con una cuenta similar.

La suma de este anillo tiene inversos aditivos pues para cualquier entero $a$ se tiene que la clase de $a$ y la de $-a$ cumplen $$[a]_n+[-a]_n=[a+(-a)]_n=[0]_n.$$

Sin embargo, no es cierto que para cualquier clase $[a]_n$ esta tenga un inverso multiplicativo. A los números que sí tienen un inverso multiplicativo se les conoce como unidades del anillo.

Problema: Muestra que $[4]_{12}$ no tiene inverso multiplicativo en $\mathbb{Z}_{12}$

Intenta resolver este problema antes de ver la solución.

Solución. Procedamos por contradicción. Si $[a]_{12}$ fuera el inverso multiplicativo de $[4]_{12}$, tendríamos que $[1]_{12}=[4a]_{12}$ y por lo tanto que $4a\equiv 1 \pmod {12}$, es decir, que $12\mid 4a-1$. Como $4\mid 12$ y $4\mid 4a$, tendríamos entonces que $4\mid (4a-1)-4a = -1$. Esto es una contradicción.

La siguiente proposición dice exactamente quienes son los elementos en $\mathbb{Z}_n$ que tienen inversos multiplicativos en $\mathbb{Z}_n$.

Teorema. Sea $n$ un entero positivo. La clase $[a]_n$ de $\mathbb{Z}_n$ tiene inverso multiplicativo si y sólo si $a$ y $n$ son primos relativos.

Demostración. Recordemos que por definición $a$ y $n$ son primos relativos si su máximo común divisor $MCD(a,n)$ es igual a $1$. Recordemos también que $MCD(a,n)$ puede escribirse como combinación lineal entera de $a$ y $n$.

Si $a$ y $n$ son primos relativos, entonces existen $p$ y $q$ enteros tales que $1=ap+nq$. Así, $$[ap]_n=[ap+nq]_n=[1]_n,$$ de modo que la clase $[a]_n$ tiene como inverso multiplicativo a la clase $[p]_n$.

Si $a$ y $n$ no son primos relativos y suponemos que $[a]_n$ tiene inverso multiplicativo, entonces llegaremos a una contradicción similar a la del problema anterior. Verifica los detalles.

$\square$

Recuerda que un campo es un anillo conmutativo en el cual todo elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo. Terminamos esta sesión con un resultado que nos dice cuándo $\mathbb{Z}_n$ es un campo.

Proposición. Sea $n$ un entero. El conjunto $\mathbb{Z}_n$ con las operaciones de suma y producto que definimos es un campo si y sólo si $n$ es un número primo.

Demostración. Como ya sabemos que es un anillo conmutativo, basta con determinar cuándo sucede que todos los elementos distintos de cero tienen un inverso multiplicativo. Estos elementos son son $[1]_n, \ldots, [n-1]_n$. Por la proposición anterior, estos tienen inversos si y sólo si cada uno de los números $1,2,\ldots,n-1$ es primos relativos con $n$.

Si $n$ es primo, entonces todos esos números son primos relativos con $n$ pues el único factor en común que tienen con $n$ es $1$. Si $n$ no es primo, entonces tiene un divisor $d$ que satisface $1<d<n$, y por lo tanto $n$ y $d$ no son primos relativos, así que $[d]_n$ no tiene inverso multiplicativo.

De esta forma, $\mathbb{Z}_n$ es un campo si y sólo si $n$ es primo.

$\square$

Más adelante…

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Argumenta por qué «el mundo de los minutos» también es un ejemplo de enteros módulo $n$.
  2. Muestra que $n\mathbb{Z}$ es uno de los elementos de $\mathbb{Z}_n$.
  3. Muestra que las operaciones de suma y producto en $\mathbb{Z}_n$ en efecto satisfacen la definición de anillo conmutativo. Sugerencia: aprovecha que $\mathbb{Z}$ es un anillo conmutativo con sus operaciones de suma y producto.
  4. Muestra que $[1]_n$ es identidad para el producto en $\mathbb{Z}_n$.
  5. Completa la prueba del teorema de inversos multiplicativos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Lineal I: Transformaciones lineales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

14 respuestas

Introducción

En entradas pasadas ya platicamos de espacios vectoriales y de subespacios. También desarrollamos teoría de dimensión para espacios vectoriales de dimensión finita. Para ello, hablamos de conjuntos generadores, de independientes y de bases. Esto nos ayuda a entender a los espacios vectoriales «uno por uno». Lo que queremos entender ahora es cómo interactúan los espacios vectoriales entre sí. Para ello, hablaremos de transformaciones lineales entre espacios vectoriales.

Ya platicamos un poco de transformaciones lineales cuando estudiamos $F^n$ a detalle. En esa parte del curso, vimos cómo cualquier matriz en $M_{m,n}(F)$ se podía ver como una transformación lineal de $F^n$ a $F^m$ y viceversa. Retomaremos varias de estas ideas, pues son fundamentales para esta unidad y las siguientes.

La idea de esta entrada es:

  • Dar la intuición y definición de transformaciones lineales en general.
  • Probar propiedades básicas de las transformaciones lineales.
  • Dar varios ejemplos de transformaciones lineales.
  • Dar las definiciones de kernel (o núcleo) y de imagen para una transformación lineal.
  • Ver un ejemplo que abarque ambas definiciones.
  • Finalmente, probar que el kernel y la imagen son subespacios vectoriales.

A grandes rasgos, las transformaciones lineales se pueden pensar como «funciones bonitas» entre espacios vectoriales que «preservan las operaciones de suma y multiplicación por escalar».

Definición de transformaciones lineales

Definición. Para $V$ y $W$ espacios vectoriales sobre un campo $F$, una transformación lineal entre $V$ y $W$ es una función $T:V\to W$ tal que:

  • Para todo $v_1$ y $v_2$ en $V$ se tiene que $T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$. Esto informalmente se le conoce como que «$T$ abre sumas».
  • Para todo $v$ en $V$ y $c$ en el campo $F$ se tiene que $T(cv)=cT(v)$. A esto se le conoce como que «$T$ saca escalares».

En la primer condición la suma de la izquierda (dentro del paréntesis) es «la suma de $V$» y la suma de la derecha es «la suma de $W$». De manera similar, en la segunda condición el producto por escalar de la izquierda (dentro del paréntesis) es el de $V$ y el de la derecha es el de $W$.

En lo que resta de esta entrada, supondremos que los espacios vectoriales son sobre un mismo campo $F$.

Ejemplos de tranformaciones lineales

Ejemplo 1. La función $T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ dada por $T(x,y)=x+y+1$ no es una transformación lineal. De hecho falla en ambas condiciones. Falla en abrir sumas pues, por ejemplo, $T(1,1)=3$, $T(2,2)=5$, pero $(1,1)+(2,2)=(3,3)$ y $$T(3,3)=7\neq 5 = T(1,1)+T(2,2.)$$ También falla en sacar escalares pues, por ejemplo $$T(4,2)=7\neq 8 = 2T(2,1).$$

$\triangle$

Ejemplo 2. La función $T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ dada por $T(x,y,z)=(2x,2y,2z)$ es una transformación lineal.

Para convencernos de que esto es cierto, notemos que si $v=(x,y,z)$ entonces la transformación está dada por $T(v)=2v$. Ahora, tomemos dos vectores $v_1$ y $v_2$ en $V$, y un real $c$. Tenemos por la asociatividad y conmutatividad de multiplicar por escalares en $\mathbb{R}^3$ que: \begin{align*}T(v_1+v_2)&=2(v_1+v_2)\\&=2v_1+2v_2\\&=T(v_1)+T(v_2),\end{align*} y que $$T(cv_1)=2(cv_1)=c(2v_1)=cT(v_1).$$ Esto muestra que $T$ es transformación lineal.

$\triangle$

Ejemplo 3. De hecho, para cualquier espacio vectorial $V$ sobre el campo $F$ y $c$ un escalar de $F$, la función $T:V\to V$ dada por $T(v)=cv$ es una transformación lineal. El argumento es similar.

$\triangle$

Recuerda que $F_n[x]$ es el espacio vectorial de polinomios con coeficientes en $F$ y grado a lo más $n$. Recuerda también que hemos visto muchos tipos de espacios vectoriales, los $F^n$, los de polinomios, los de matrices, etc. Entre cualesquiera de ellos se pueden tener transformaciones lineales. La única condición es que sean espacios vectoriales sobre el mismo campo $F$.

Ejemplo 4. La función $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}_2[x]$ que manda al vector $(a,b)$ al polinomio $x^2+(a-b)x+ab$ no es una transformación lineal. Esto lo podemos verificar viendo que falla la parte de sacar escalares. Por un lado $$2(T(1,1))=2(x^2+1)=2x^2+2,$$ mientras que por otro lado $$T(2,2)=x^2+4,$$ así que $2(T(1,1))\neq T(2,2)$, de modo que $T$ no saca escalares.

$\triangle$

En cambio, si tomamos la función que manda al vector $(a,b)$ al polinomio $ax^2+(a-b)x+a+b$, puedes verificar por tu cuenta que sí es una transformación lineal.

Ejemplo 5. La función $T:M_{2,3}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}^3$ que manda a la matriz $$M=\begin{pmatrix}
a & b & c\\
d & e & f
\end{pmatrix}$$ al vector $$T(M):= (a-d, b-e, c-f)$$ es una transfomación lineal.

Veamos que $T$ abre sumas. Tomemos dos matrices $M_1=\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 & c_1\\
d_1 & e_1 & f_1
\end{pmatrix}$ y $M_2=\begin{pmatrix}
a_2 & b_2 & c_2\\
d_2 & e_2 & f_2
\end{pmatrix}.$ Por un lado \begin{align*}T(M_1)&=(a_1-d_1,b_1-e_1,c_1-f_1)\\T(M_2)&=(a_2-d_2,b_2-e_2,c_2-f_2),\end{align*} de modo que sumando los vectores y reacomodando tenemos que $$T(M_1)+T(M_2)=((a_1+a_2)-(d_1+d_2),(b_1+b_2)-(e_1+e_2),(c_1+c_2)-(f_1+f_2)).$$

Por otro lado, si primero sumamos las matrices, obtenemos la matriz $$M_1+M_2=\begin{pmatrix}
a_1+a_2 & b_1+b_2 & c_1+c_2\\
d_1+d_2 & e_1+e_2 & f_1+f_2
\end{pmatrix}.$$

Así, $$T(M_1+M_2)=((a_1+a_2)-(d_1+d_2),(b_1+b_2)-(e_1+e_2),(c_1+c_2)-(f_1+f_2)).$$ Esto muestra que $T(M_1+M_2)=T(M_1)+T(M_2)$, es decir, que $T$ abre sumas. Con un argumento parecido se puede mostrar que saca escalares.

$\triangle$

Ejemplo 6. La función $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}_2[x]$ que manda al vector $(a,b)$ al polinomio $T(a,b)=(a+b)x^2+(a-b)x+b$ es una transformación lineal.

$\triangle$

Recuerda que $C[0,1]$ es el espacio vectorial de funciones $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ continuas.

Ejemplo 7. La función $T:C[0,1]\to \mathbb{R}$ que manda a la función $f$ al real $$T(f):=\int_0^1 f(x)\, dx$$ es una transformación lineal. En efecto, para dos funciones $f$ y $g$ continuas en el $[0,1]$ y un real $c$ se tiene por definición de suma de funciones, de multiplicación por escalar y de propiedades de la integral que \begin{align*}\int_0^1 (f+g)(x)\, dx&=\int_0^1 f(x)+g(x)\, dx\\&=\int_0^1 f(x) \, dx+\int_0^1 g(x)\, dx\end{align*} y que \begin{align*}\int_0^1 (cf)(x)\, dx &= \int_0^1 cf(x)\, dx \\&=c \int_0^1 f(x)\, dx.\end{align*}

En otras palabras, $T(f+g)=T(f)+T(g)$ y $T(cf)=cT(f)$.

$\triangle$

Propiedades básicas de transformaciones lineales

La definición de «transformación lineal» pide dos cosas por separado: abrir sumar y sacar escalares. Es bueno tenerlas por separado para referirnos a ellas individualmente. Sin embargo, la siguiente proposición nos ayuda a probar de manera más práctica que $T$ es una transformación lineal.

Proposición (verificación abreviada). Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales sobre un mismo campo $F$. $T:V\to W$ es una transformación lineal si y sólo si para todo $v_1,v_2$ en $V$ y $c$ en $F$ se tiene que $$T(cv_1+v_2)=cT(v_1)+T(v_2).$$

Demostración. En efecto, si $T$ es transformación lineal, entonces $T(cv_1)=cT(v_1)$ porque $T$ saca escalares y así \begin{align*}T(cv_1+v_2)&=T(cv_1)+T(v_2)\\&=cT(v_1)+T(v_2).\end{align*} Por otro lado, si se cumple $T(cv_1+v_2)=cT(v_1)+T(v_2)$ para todos $v_1$ y $v_2$ vectores en $V$ y $c$ escalar en $F$, entonces con $v_2=0$ recuperamos que $T$ saca escalares y con $c=1$ recuperamos que $T$ abre sumas.

$\square$

Las transformaciones lineales mandan al cero de un espacio vectorial al cero del otro.

Proposición (cero va a cero). Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales sobre un mismo campo. Si $T:V\to W$ es una transformación lineal, entonces $T(0)=0$.

Demostración. El truco es encontrar $T(0+0)$ de dos formas distintas. Por un lado, como $0+0=0$, tenemos que $T(0+0)=T(0)$. Por otro lado, como $T$ abre sumas, tenemos que $T(0+0)=T(0)+T(0)$. Así, tenemos que $$T(0)+T(0)=T(0).$$ Restando $T(0)$ de ambos lados obtenemos $T(0)=0$.

$\square$

De hecho, hay otra forma de probar la proposición anterior usando que $T$ saca escalares: $T(0)=T(0\cdot 0)=0T(0)=0$. Piensa en por qué cada una de estas igualdades se vale y por qué adentro del paréntesis que hay dos ceros, uno de ellos es vector y el otro escalar.

Las transformaciones lineales también «respetan» inversos aditivos.

Proposición (inversos aditivos van a inversos aditivos). Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales sobre un mismo campo. Si $T:V\to W$ es una transformación lineal, entonces $T(-v)=-T(v)$.

La demostración es sencilla y la puedes pensar por tu cuenta.

El haber enunciado estas proposiciones nos puede ayudar para decir, de golpe, que algunas funciones no son transformaciones lineales: si una función falla en tener alguna de las propiedades anteriores, entonces no es transformación lineal.

Ejemplo 1. Sea $V$ el espacio vectorial $\mathbb{R}^2$ y $W$ el espacio vectorial de matrices de $2\times 2$ con entradas complejas, pero visto como espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ (sólo se permite usar reales para la multiplicación escalar).

La transformación $T:V\to W$ que manda al vector real $(a,b)$ a la matriz de entradas complejas $T(a,b)=\begin{pmatrix}
a+ib & a-ib \\
a-ib & 1+abi\end{pmatrix}$ no es una transformación lineal pues manda al $(0,0)$ a la matriz $\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix},$ la cual no es la matriz $0$.

$\triangle$

Sin embargo, una pequeña advertencia. Es posible que $T$ sí mande el $0$ al $0$, pero que de cualquier forma no sea una transformación lineal, debido a que falle por otras razones.

Ejemplo 2. La transformación $T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ dada por $$T(x,y,z)=(x+y+z,xy+yz+zx,xyz)$$ cumple que $T(0,0,0)=(0,0,0)$, pero no es una transformación lineal pues no saca escalares. Por ejemplo, $$T(3,3,3)=(9,27,27)\neq 3(3,3,1)= 3T(1,1,1).$$

$\triangle$

Kernel e imagen de una transformación lineal

Tomemos $T:V\to W$ una transformación lineal. Hay dos conjuntos muy importantes relacionados con $T$.

El kernel (o núcleo) de $T$ es el conjunto de vectores en $V$ que se van al vector $0$ de $W$ cuando les aplicamos $T$. En símbolos, $$\ker(T)=\{v\in V: T(v)=0\}.$$

La imagen de $T$ son los vectores en $W$ que se pueden escribir de la forma $T(v)$ para algún $v$ en $V$, es decir, es la imagen en el sentido clásico de teoría de conjuntos o de cálculo. En símbolos, $$\Ima(T)=\{T(v): v\in V\}.$$

Haciendo énfasis de nuevo: $\ker(T)$ es un subconjunto de vectores de $V$ e $\Ima(T)$ es un subconjunto de vectores de $W$. Veamos un ejemplo que nos ayudará a repasar varios de los conceptos clave de esta entrada.

Problema. Consideremos la transformación $T:M_2(\mathbb{R})\to M_{2,3}(\mathbb{R})$ dada por $$T\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\end{pmatrix}.$$

Muestra que $T$ es una transformación lineal y determina $\ker(T)$ e $\Ima(T)$.

Intenta resolver este problema por tu cuenta antes de seguir.

Solución. Sean $A$ y $B$ matrices de $2\times 2$ con entradas reales y $r$ un real. Nombremos $C=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\end{pmatrix}$. Por propiedades de producto de matrices, tenemos que \begin{align*}T(rA+B)&=(rA+B)C \\ &=r(AC)+BC\\ &=rT(A)+T(B),\end{align*} así que por la proposición de verificación abreviada, tenemos que $T$ es una transformación lineal.

Ahora, tomemos una matriz $A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \end{pmatrix}$ y notemos al hacer la multiplicación de manera explícita, obtenemos que $T(A)$ es la matriz $$\begin{pmatrix}
a+b & a+b & a+b\\
c+d & c+d & c+d \end{pmatrix}.$$

Determinemos quién es $\Ima(T)$. Para que una matriz $M:=\begin{pmatrix}
e & f & g\\
h & i & j \end{pmatrix}$ esté en la imagen de $T$, se tiene que cumplir que $e=f=g$ y que $h=i=j$.

Y viceversa, si $e=f=g$ y $h=i=j$, entonces $M$ está en la imagen de $T$ pues, por ejemplo $$T\begin{pmatrix}
e & 0\\
h & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
e & e & e\\
h & h & h\end{pmatrix}=M.$$

Esto muestra que $$\Ima (T) = \left\{\begin{pmatrix}
e & e & e\\
h & h & h \end{pmatrix}: e,h \in \mathbb{R}\right\}.$$

Ahora determinemos quién es $\ker(T)$. Para que $A$ esté en el kernel de $T$, necesitamos que todas las entradas de $T(A)$ sean $0$. Para esto es suficiente y necesario que $a+b=0$ y que $c+d=0$, o dicho de otra forma, que $A$ sea de la forma $A=\begin{pmatrix}
a & -a \\
c & -c \end{pmatrix}$. Así, concluimos que $$\ker(T)=\left\{\begin{pmatrix}
a & -a \\
c & -c \end{pmatrix}: a,c \in \mathbb{R}\right\}.$$

$\square$

Con esto ya terminamos lo que pide el problema. Sin embargo, hagamos una observación clave. En el problema anterior, $\ker(T)$ e $\Ima(T)$ no solamente son subconjuntos de $M_2(\mathbb{R})$ y de $M_{2,3}(\mathbb{R})$ respectivamente, sino que además son subespacios. Esto no es casualidad.

Los kernels e imágenes de transformaciones lineales son subespacios

Teorema. Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales sobre un mismo campo. Si $T:V\to W$ es una transformación lineal, entonces $\ker(T)$ es un subespacio de $V$ e $\Ima(T)$ es un subespacio de $W$.

Demostración. Demostraremos primero que $\ker(T)$ es un subespacio de $V$. Para ello basta con tomar $v_1,v_2$ en $\ker(T)$ y $c$ en el campo $F$ y mostrar que $cv_1+v_2$ también está en $\ker(T)$, es decir, que también sucede que $T(cv_1+v_2)=0$. Esto se debe a la siguiente cadena de igualdades, que justificamos abajo \begin{align*}
T(cv_1+v_2)&=T(cv_1)+T(v_2)\\
&=cT(v_1)+T(v_2)\\
&=c\cdot 0 + 0 \\
&= 0.
\end{align*}

La primera igualdad se debe a que $T$ abre sumas. La segunda a que $T$ saca escalares. La tercera a que $v_1$ y $v_2$ están en el kernel de $T$ y por lo tanto sabemos que $T(v_1)=T(v_2)=0$. La última es simplemente hacer la operación. Con esto mostramos que $\ker(T)$ es un subespacio de $V$.

Ahora, veremos que $\Ima(T)$ es un subespacio de $W$. Tomemos $w_1$ y $w_2$ en $\Ima(T)$, y un escalar $c$ en el campo $F$. De nuevo, basta mostrar que $cw_1+w_2$ está en $\Ima(T)$. Como $w_1$ y $w_2$ están en la imagen de $T$, esto quiere decir que existen vectores $v_1$ y $v_2$ en $V$ tales que $T(v_1)=w_1$ y $T(v_2)=w_2$. Notemos que entonces:
\begin{align*}
cw_1+w_2&=cT(v_1)+T(v_2)\\
&=T(cv_1)+T(v_2)\\
&=T(cv_1+v_2).
\end{align*}

La segunda y tercera igualdad vienen de que $T$ saca escalares y abre sumas respectivamente. Esta cadena de igualdades muestra que podemos poner a $cw_1+w_2$ como imagen de alguien en $V$ bajo $T$, es decir, que $cw_1+w_2$ pertenece a $\Ima(T)$. Esto es lo que queríamos mostrar.

$\square$

Más adelante…

En esta entrada definimos los conceptos de transformación lineal, de imagen y de kernel. También vimos que la imagen y kernel de transformaciones lineales son subespacios. Más adelante veremos que $\ker(T)$ e $\Ima(T)$ están de hecho relacionados más profundamente.

Por ahora, nota que en el ejemplo antes del teorema tenemos que $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ forman una base de $\Ima(T)$ pues son linealmente independientes y todo elemento en la imagen es combinación lineal de estas matrices. Además, nota que de manera similar $\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & 0 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & -1 \end{pmatrix}$ forman una base de $\ker(T)$.

Esto nos dice que $\dim(\Ima(T))=2$ y que $\dim(\ker(T))=2$. Si sumamos ambos, nos da la dimensión de $M_2(\mathbb{R})$. ¿Será casualidad?

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Verifica que las transformaciones lineales que se pusieron como ejemplo en efecto abren sumas y sacan escalares.
  • Asegúrate de entender los detalles de la prueba de la proposición de la verificación abreviada. Úsala para mostrar que la función que manda al vector $(a,b,c)$ a la matriz $$\begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{pmatrix}$$ es una transformación lineal de $\mathbb{R}^3$ a $M_3(\mathbb{R})$.
  • Muestra la proposición de que inversos aditivos van a inversos aditivos.
  • Determina el kernel y la imagen de las transformaciones lineales $T:V\to W$ que se dieron como ejemplo.
  • Para cada kernel e imagen que encuentres, convéncete de que son subespacios. Determina si tienen dimensión finita y, en ese caso, determina la dimensión. Para estos casos, ¿cómo están relacionados $\dim(\Ima(T)),\dim(\ker(T)),\dim(V)$?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»