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2.3. TEOREMA DE LA DIMENSIÓN: demostración e implicaciones

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

El primero de los teoremas en esta entrada es uno de los más importantes del curso. Este teorema nos simplifica cálculos, ya que en ocasiones nos permite calcular la dimensión de ciertos subespacios sin necesidad de hacer una descripción explícita de una de sus bases.

El segundo de los teoremas resulta también muy útil ya que nos da otra manera de estudiar si una transformación lineal es o no inyectiva.

Teorema: Sean $K$ un campo y $V,W$ $K$-espacios vectoriales, $T\in\mathcal{L}(V,W)$.
Si $V$ es de dimensión finita, entonces se cumple que:

a) $Núc\,T$ es de dimensión finita
b) $Im\,T$ es de dimensión finita
c) $dim_K Núc\,T+dim_KIm\,T=dim_KV.$

Demostración: Supongamos que $V$ es de dimensión finita, digamos $dim_K\,V=n$.

a) Como $Núc\,T\subseteq V$ y $V$ es de dimensión finita, entonces $Núc\,T$ también es de dimensión finita, digamos que $dim_KNúc\,T=m$.

b) Consideremos $\Delta =\{v_1,v_2,…,v_m\}$ una base de $Núc\,T$.
Como es un conjunto linealmente independiente en $V,$ podemos completar $\Delta$ a una base de $V,$ digamos $\beta =\{v_1,v_2,…,v_m,v_{m+1},…,v_n\}$.
Veamos que $\Gamma = \{ T(v_{m+1}),T(v_{m+2}),…,T(v_{n})\}$ es una base de $Im\,T$ con $n-m$ elementos.

  1. P.D. $T(v_{m+1}),T(v_{m+2}),…,T(v_n)$ es una lista l.i.

Sean $\lambda_{m+1},\lambda_{m+2},…,\lambda_n\in K$ tales que $\sum_{i=m+1}^n \lambda_i T(v_i)=\theta_W$.

Como $T$ es lineal $T \left( \sum_{i=m+1}^n \lambda_iv_i \right) =\sum_{i=m+1}^n \lambda_i T(v_i)=\theta_W$.
Por lo cual, $\sum_{i=m+1}^n \lambda_iv_i\in Núc\,T$.

Como $\Delta =\{v_1,v_2,…,v_m\}$ es base de $Núc\,T$, existen $\mu_1,\mu_2,…,\mu_m\in K$ tales que $\sum_{i=m+1}^n \lambda_iv_i=\sum_{j=1}^m \mu_jv_j$.
De donde $- \sum_{j=1}^m \mu_jv_j + \sum_{i=m+1}^n \lambda_iv_i =\theta_W$.

Tenemos igualada a $\theta_W$ una combinación lineal de elementos de $\beta =\{v_1,v_2,…,v_m,v_{m+1},…,v_n\}$ que es linealmente independiente.
Por lo tanto, todos los coeficientes de esta combinación lineal son $0_K$ y en particular llegamos a que $\lambda_{m+1}=\lambda_{m+2}=…=\lambda_n=0_K$.

Concluimos que $T(v_{m+1}),T(v_{m+2}),…,T(v_n)$ es una lista l.i., en consecuencia el conjunto $\{T(v_{m+1}),T(v_{m+2}),…,T(v_n)\}$ es l.i. y tiene $n-m$ elementos.

  1. P.D. $\langle\Gamma\rangle =Im\,T$

Sabemos que $\Gamma\subseteq Im\,T$ y que $Im\,T$ es un espacio vectorial. Por lo tanto, $\langle\Gamma\rangle\subseteq Im\,T$.

Ahora bien, sea $w\in Im\,T$. Por definición de $Im\,T$, existe $v\in V$ tal que $T(v)=w$.

Como $\beta =\{v_1,v_2,…,v_n\}$ es base de $V$, entonces existen $\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n\in K$ tales que $v=\sum_{i=1}^n \lambda_iv_i$.

Así, obtenemos que $w=T(v)=T\left( \sum_{i=1}^n \lambda_iv_i\right)$.
Y como $T$ es lineal, podemos concluir de las igualdades anteriores que $w=\sum_{i=1}^n \lambda_iT(v_i)$.

Tenemos que $\Delta =\{v_1,v_2,…,v_m\}$ es base de $Núc\,T$ y por lo tanto $\Delta\subseteq Núc(T)$. Es decir, $T(v_1)=T(v_2)=…=T(v_m)=\theta_W$.

Así, $w=\sum_{i=1}^n \lambda_iT(v_i)=\sum_{i=1}^m \lambda_iT(v_i)+\sum_{i={m+1}}^n \lambda_iT(v_i)$$=\sum_{i=1}^m \lambda_i\theta_W+\sum_{i={m+1}}^n \lambda_iT(v_i)=\theta_W+\sum_{i={m+1}}^n \lambda_iT(v_i)$$=\sum_{i={m+1}}^n \lambda_iT(v_i)$.

Obtuvimos a $w$ expresado como una combinación lineal de términos de $\Gamma =\{T(v_{m+1}),T(v_{m+2}),…,T(v_n)\}$. Por lo tanto, $Im\,T\subseteq\Gamma$.

Concluimos que $\Gamma$ es base de $Im\,T$.
Como $|\Gamma|=n-m$, entonces $Im\,T$ es de dimensión finita y $dim_KIm\,T=n-m.$

c) Tenemos por el inciso anterior que $dim_KNúc\,T=m$, $dim_KIm\,T=n-m$ y $dim_K\,V=n$.
Así, $dim_KV-dim_KNúc\,T=n-m=dim_KIm\,T$, lo que implica que $dim_KV=dim_KNúc\,T+dim_KIm\,T$.

Teorema: Sean $K$ un campo y $V,W$ $K$-espacios vectoriales y $T\in\mathcal{L}(V,W)$.
Entonces $T$ es inyectiva si y sólo si $Núc\,T=\{\theta_V\}.$

Demostración: Veamos ambas implicaciones.

$\Longrightarrow$ Supongamos que $T$ es inyectiva.
P.D. $Núc\,T=\{\theta_V\}$.

Dado que $\theta_V\in Núc\,T$ se tiene que $\{\theta_V\}\subseteq Núc\,T$ por lo que basta en realidad verificar la otra contención.

Sea $v\in Núc\,T$.
Por definición de núcleo tenemos que $T(v)=\theta_W$.
Además, sabemos que $T(\theta_V)=\theta_W$.
Así, tenemos que $T(v)=T(\theta_V)$ con $T$ inyectiva.
Por lo tanto, $v=\theta_V$.

Llegamos a que el único elemento del núcleo de $T$ es $\theta_V$.

$\Longleftarrow$ Supongamos que $Núc\,T=\{\theta_V\}$.
P.D. $T$ es inyectiva.

Sean $u,v\in V$ tales que $T(u)=T(v)$.
Entonces $T(u)-T(v)=\theta_W$.
Como $T$ es lineal, tenemos que $T(u-v)=T(u)-T(v)$.
Así que $T(u-v)=\theta_W$ y por lo tanto, $u-v\in Núc\,T$ donde (por hipótesis) el único elemento que existe es $\theta_V$.
Así, $u-v=\theta_V$ y concluimos que $u=v$.

Partiendo de que $T(u)=T(v)$ llegamos a que $u$ debe ser igual a $v$ y por lo tanto, $T$ es inyectiva.

Corolario: Sean $K$ un campo y $V,W$ $K$-espacios vectoriales, $T\in\mathcal{L}(V,W)$. Si $V,W$ son de dimensión finita y de la misma dimensión, entonces $T$ es inyectiva si y sólo si $T$ es suprayectiva.

Demostración: Supongamos que $V,W$ son $K$-espacios vectoriales de dimensión finita y $dim_KV=dim_KW.$

Tenemos por el teorema anterior que $T$ es inyectiva si y sólo si $Núc\,T=\{\theta_V\}$.
Podemos utilizar este resultado porque nuestras nuevas hipótesis no afectan.

Observemos además que $Núc\,T=\{\theta_V\}$ si y sólo si $dim_KNúc\,T=0$ porque el único conjunto que no tiene elementos es el conjunto vacío, que es una base del espacio trivial.

Por el teorema de la dimensión tenemos que $dim_KNúc\,T+dim_hIm\,T=dim_KV$.
Así, que $dim_KNúc\,T=0$ si y sólo si $dim_KIm\,T=dim_KV$.

Como tenemos por hipótesis que $dim_KV=dim_KW$, entonces $dim_KIm\,T=dim_KV$ si y sólo si $dim_KIm\,T=dim_KW$.

Recordando que $Im\,T\leqslant W$ se cumple que $dim_KIm\,T=dim_KW$ si y sólo si $Im\,T=W$.

Y dentro de las equivalencias de que $T$ sea suprayectiva está que $Im\,T=W$.

Por la cadena de dobles implicaciones concluimos que, bajo nuestras hipótesis, $T$ es inyectiva si y sólo si $T$ es suprayectiva.

Tarea Moral

  1. Para la transformación lineal $T:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^2$ con $T(a_1,a_2,a_3)=(a_1 + 2a_2, 2a_3 – a_1)$ verifica que se cumple el primer teorema de esta entrada y determina si $T$ es inyectiva o suprayectiva.
  2. Si $T:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ es lineal y sabemos que $T(1,0)=(2,4)$ y $T(1,1)=(8,5)$. ¿Es $T$ inyectiva?

Más adelante…

El último ejercicio de la Tarea Moral en la entrada anterior, 2.1. TRANSFORMACIÓN LINEAL: definición y ejemplos, pregunta la existencia de una transformación lineal de acuerdo a dos valores dados y a continuación veremos cómo podemos plantear y resolver este problema de manera más general.

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2.2. NÚCLEO, NULIDAD, IMAGEN Y RANGO: definiciones, ejemplos y propiedades

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Analizaremos cuatro nuevos conceptos. Dos de ellos son conjuntos y los otros dos son las dimensiones de esos conjuntos.

Representación gráfica del núcleo y la imagen de una transformación $T$.

Al ir avanzando en el análisis del primer concepto que estudiaremos en esta entrada, el núcleo de una transformación lineal, podrás ver que una de las aplicaciones inmediatas es pensar al núcleo como el conjunto formado por las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo de alguna forma a la transformación lineal. Pero todo con calma…

NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Definición: Sean $V$ y $W$ $K$ – espacios vectoriales y $T\in\mathcal{L}(V,W)$.
El núcleo de $T$ es $Núc\,T=\{v\in V|T(v)=\theta_W\}$.
La imagen de $T$ es $Im\, T=\{T(v)|v\in V\}$.

Nota: El núcleo de una transformación $T$, también suele llamarse kernel y denotarse como $ker\,T$.

  • Sean $K$ un campo y $T:K^\infty\longrightarrow K^\infty$ lineal donde $\forall (x_1,x_2,x_3,…)\in K^\infty (T(x_1,x_2,x_3,…)=(x_2,x_3,x_4,…))$.
    $Núc\,T=\{(x_1,0_K,0_K,…)\in K^\infty | x_1\in K\}$ ; $Im\,T=K^\infty$

Justificación. Para el núcleo de $T$:

\begin{align*} T(x_1,x_2,x_3,…)=(0_K,0_K,0_K,…) \Leftrightarrow \\ (x_2,x_3,x_4,…)=(0_K,0_K,0_K,…)\Leftrightarrow \\x_i=0_K \text{ para toda }i\in\{2,3,4,…\}. \end{align*}


Para la imagen de $T$:

Sea $(y_1,y_2,y_3,…)\in K^\infty$. Tenemos que $T(0_K,y_1,y_2,…)=(y_1,y_2,y_3,…)$, por lo cual $T$ es suprayectiva y su imagen es todo el codominio.

  • Sea $T:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ donde $\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2(T(x,y)=(x,0))$
    $Núc\,T=\{(0,y)\in\mathbb{R}^2|y\in\mathbb{R}\}$ ; $Im\,T=\{(x,0)\mathbb{R}^2|x\in\mathbb{R}\}$

Justificación. Para el núcleo de $T$:

$$T(x,y)=(0,0) \Leftrightarrow (x,0)=(0,0)\Leftrightarrow x=0.$$

Para la imagen de $T$:

Sea $(a,0)\in \{ (x,0)\in\mathbb{R}^2|x\in\mathbb{R}^2\}$. Dado que $T(a,0)=(a,0)$ se tiene que $(a,0)\in Im\,T$. A la inversa, si $(a,b)\in Im\, T$ se tiene que $T(x,y)=(a,b)$ para alguna $(x,y)\in \mathbb{R}^2$, por lo que $(x,0)=(a,b)$ y así $b=0$.

  • Sean $K$ un campo, $A\in\mathcal{M}_{m\times n}(K)$ y $T:K^n\longrightarrow K^m$ donde $\forall X\in K^n(T(X)=AX)$
    $Núc\,T$ es el conjunto de las soluciones del sistema homogéneo con matriz de coeficientes $A$ ; $Im\,T$ es el espacio generado por las columnas de $A$

Justificación. Para el núcleo de $T$:

$$T(X)=\theta_{m\times 1}\Leftrightarrow AX=\theta_{m\times 1} \Leftrightarrow X \text{ es solución del sistema homogéneo con matriz de coeficientes }A.$$


Para la imagen de $T$:

\begin{align*}Im\,T&=\{AX:X\in K^n\}\\&=\left\{ \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} : x_1,x_2,…,x_n\in K \right\}\\&=\left\{ \begin{pmatrix} a_{11}x_1 + … + a_{1n}x_n \\ … \\ a_{m1}x_1 + … + a_{mn}x_n \end{pmatrix} : x_1,x_2,…,x_n\in K \right\}\\&=\left\{ x_1\begin{pmatrix} a_{11}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} + … + x_n\begin{pmatrix} a_{1n}\\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix} : x_1,x_2,…,x_n\in K \right\}\\&=\left\langle \begin{pmatrix} a_{11}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix},…,\begin{pmatrix} a_{11}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} \right\rangle\end{align*}

Proposición: Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales, $T\in\mathcal{L}(V,W)$. Se cumple que:

a) $Núc\,T\leqslant V$.
b) $Im\,T\leqslant W$.

Demostración: Para cada inciso es necesario demostrar dos propiedades:

a) P.D. $\theta_V\in Núc\,T$ y $\forall\lambda\in K$ $\forall u,v\in Núc\,T (\lambda u + v\in Núc\,T)$

Como $T$ es una transformación lineal tenemos que $T(\theta_V)=\theta_W$, por lo tanto, $\theta_V\in Núc\,T.$

Sean $\lambda\in K$ y $u,v\in Núc\,T$. Entonces $T(u)=\theta_W=T(v).$ Además, $T(\lambda u+v)=\lambda T(u)+T(v)$ por ser $T$ lineal. Así, $$T(\lambda u+v)=\lambda\theta_W +\theta_W=\theta_W$$
de donde $\lambda u + v\in Núc\,T.$

b) P.D. $\theta_W\in Im\,T$ y $\forall\lambda\in K$ $\forall w,z\in Im\,T (\lambda u + v\in Im\,T)$

Como $T$ es una transformación lineal tenemos que $\theta_V\in V$ cumple que $T(\theta_V)=\theta_W$, por lo tanto, $\theta_W\in Im\,T$.

Sean $\lambda\in K$ y $w,z\in Im\,T$. Entonces $\exists u,v\in V (T(u)=w\wedge T(v)=z)$. Además, $T(\lambda u+v)=\lambda T(u)+T(v)$ por ser $T$ lineal.
Así, $$T(\lambda u+v)=\lambda w+z$$
de donde $\lambda w+ z\in Im\,T.$

NULIDAD Y RANGO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Definición: Sea $T$ una transformación lineal con $Núc \,T$ de dimensión finita. Decimos que la dimensión de $Núc\,T$ es la nulidad de $T$.

Definición: Sea $T$ una transformación lineal con $Im \,T$ de dimensión finita. Decimos que la dimensión de $Im\,T$ es el rango de $T$.

Ejemplo

  • Sea $K=\mathbb{R}$ y sean $V=\mathcal{P}_3$ y $W=\mathcal{P}_2$ $K$ – espacios vectoriales.
    Sea $T:V\longrightarrow W$ donde $\forall p(x)\in T(p(x))=p'(x)$.
    La nulidad de $T$ es $1$ y su rango es $3$

Justificación. Los polinomios con derivada cero son únicamente las constantes. Así, $Núc(T)=\{a|a\in\mathbb{R}\}$ que tiene dimensión $1$.

Por otro lado todo polinomio de grado $2$ se puede obtener derivando un polinomio de grado $3$. Basta con integrar el polinomio de grado $2$ para encontrar cómo son los polinomios de grado $3$ que cumplen lo deseado. De modo que $W\subseteq Im(T)$ y como $Im(T)\subseteq W$ por definición, entonces $Im(T)=W$ que tiene dimensión $3$.

Por lo tanto, el núcleo y la imagen son de dimensión finita y la nulidad de $T$ es $1$ y su rango es $3.$

Tarea Moral

  1. Sean $K$ un campo, $V$ y $W$ $K$-espacios vectoriales y $T:V\longrightarrow W$ lineal. Sea $\{ w_1, w_2, …, w_k\}$ un subconjunto l.i. de $Im\,T$.
    Si $S=\{ v_1,v_2,…,v_k \}$ se selecciona de tal forma que $\forall i\in \{ 1,2,…,k\}(T(v_i)=w_i)$, demuestra que $S$ es l.i.
  2. Para la transformación lineal $T:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^2$ con $T(a_1,a_2,a_3)=(a_1 + 2a_2, 2a_3 – a_1)$ encuentra bases para $Núc(T)$ e $Im(T)$.
  3. Sean $K$ un campo y $P: \mathcal{M}_{m\times m}(K) \longrightarrow \mathcal{M}_{m\times m}(K)$ definida por $\forall A\in \mathcal{M}_{m\times m}(K) \left( P(A)=\frac{A + A^{t}}{2} \right)$. Verifica que $T$ es lineal y encuentra su núcleo e imagen.

Más adelante…

En la siguiente entrada veremos el vínculo que existe entre la dimensión del núcleo, de la imagen y del espacio vectorial que aparece como dominio de una transformación lineal. Esta relación numérica nos permite calcular cualquiera de estas dimensiones si tenemos conocimiento de las otras dos.

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Álgebra Lineal I: Transformaciones lineales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

13 respuestas

Introducción

En entradas pasadas ya platicamos de espacios vectoriales y de subespacios. También desarrollamos teoría de dimensión para espacios vectoriales de dimensión finita. Para ello, hablamos de conjuntos generadores, de independientes y de bases. Esto nos ayuda a entender a los espacios vectoriales «uno por uno». Lo que queremos entender ahora es cómo interactúan los espacios vectoriales entre sí. Para ello, hablaremos de transformaciones lineales entre espacios vectoriales.

Ya platicamos un poco de transformaciones lineales cuando estudiamos $F^n$ a detalle. En esa parte del curso, vimos cómo cualquier matriz en $M_{m,n}(F)$ se podía ver como una transformación lineal de $F^n$ a $F^m$ y viceversa. Retomaremos varias de estas ideas, pues son fundamentales para esta unidad y las siguientes.

La idea de esta entrada es:

  • Dar la intuición y definición de transformaciones lineales en general.
  • Probar propiedades básicas de las transformaciones lineales.
  • Dar varios ejemplos de transformaciones lineales.
  • Dar las definiciones de kernel (o núcleo) y de imagen para una transformación lineal.
  • Ver un ejemplo que abarque ambas definiciones.
  • Finalmente, probar que el kernel y la imagen son subespacios vectoriales.

A grandes rasgos, las transformaciones lineales se pueden pensar como «funciones bonitas» entre espacios vectoriales que «preservan las operaciones de suma y multiplicación por escalar».

Definición de transformaciones lineales

Definición. Para $V$ y $W$ espacios vectoriales sobre un campo $F$, una transformación lineal entre $V$ y $W$ es una función $T:V\to W$ tal que:

  • Para todo $v_1$ y $v_2$ en $V$ se tiene que $T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$. Esto informalmente se le conoce como que «$T$ abre sumas».
  • Para todo $v$ en $V$ y $c$ en el campo $F$ se tiene que $T(cv)=cT(v)$. A esto se le conoce como que «$T$ saca escalares».

En la primer condición la suma de la izquierda (dentro del paréntesis) es «la suma de $V$» y la suma de la derecha es «la suma de $W$». De manera similar, en la segunda condición el producto por escalar de la izquierda (dentro del paréntesis) es el de $V$ y el de la derecha es el de $W$.

En lo que resta de esta entrada, supondremos que los espacios vectoriales son sobre un mismo campo $F$.

Ejemplos de tranformaciones lineales

Ejemplo 1. La función $T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ dada por $T(x,y)=x+y+1$ no es una transformación lineal. De hecho falla en ambas condiciones. Falla en abrir sumas pues, por ejemplo, $T(1,1)=3$, $T(2,2)=5$, pero $(1,1)+(2,2)=(3,3)$ y $$T(3,3)=7\neq 5 = T(1,1)+T(2,2.)$$ También falla en sacar escalares pues, por ejemplo $$T(4,2)=7\neq 8 = 2T(2,1).$$

$\triangle$

Ejemplo 2. La función $T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ dada por $T(x,y,z)=(2x,2y,2z)$ es una transformación lineal.

Para convencernos de que esto es cierto, notemos que si $v=(x,y,z)$ entonces la transformación está dada por $T(v)=2v$. Ahora, tomemos dos vectores $v_1$ y $v_2$ en $V$, y un real $c$. Tenemos por la asociatividad y conmutatividad de multiplicar por escalares en $\mathbb{R}^3$ que: \begin{align*}T(v_1+v_2)&=2(v_1+v_2)\\&=2v_1+2v_2\\&=T(v_1)+T(v_2),\end{align*} y que $$T(cv_1)=2(cv_1)=c(2v_1)=cT(v_1).$$ Esto muestra que $T$ es transformación lineal.

$\triangle$

Ejemplo 3. De hecho, para cualquier espacio vectorial $V$ sobre el campo $F$ y $c$ un escalar de $F$, la función $T:V\to V$ dada por $T(v)=cv$ es una transformación lineal. El argumento es similar.

$\triangle$

Recuerda que $F_n[x]$ es el espacio vectorial de polinomios con coeficientes en $F$ y grado a lo más $n$. Recuerda también que hemos visto muchos tipos de espacios vectoriales, los $F^n$, los de polinomios, los de matrices, etc. Entre cualesquiera de ellos se pueden tener transformaciones lineales. La única condición es que sean espacios vectoriales sobre el mismo campo $F$.

Ejemplo 4. La función $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}_2[x]$ que manda al vector $(a,b)$ al polinomio $x^2+(a-b)x+ab$ no es una transformación lineal. Esto lo podemos verificar viendo que falla la parte de sacar escalares. Por un lado $$2(T(1,1))=2(x^2+1)=2x^2+2,$$ mientras que por otro lado $$T(2,2)=x^2+4,$$ así que $2(T(1,1))\neq T(2,2)$, de modo que $T$ no saca escalares.

$\triangle$

En cambio, si tomamos la función que manda al vector $(a,b)$ al polinomio $ax^2+(a-b)x+a+b$, puedes verificar por tu cuenta que sí es una transformación lineal.

Ejemplo 5. La función $T:M_{2,3}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}^3$ que manda a la matriz $$M=\begin{pmatrix}
a & b & c\\
d & e & f
\end{pmatrix}$$ al vector $$T(M):= (a-d, b-e, c-f)$$ es una transfomación lineal.

Veamos que $T$ abre sumas. Tomemos dos matrices $M_1=\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 & c_1\\
d_1 & e_1 & f_1
\end{pmatrix}$ y $M_2=\begin{pmatrix}
a_2 & b_2 & c_2\\
d_2 & e_2 & f_2
\end{pmatrix}.$ Por un lado \begin{align*}T(M_1)&=(a_1-d_1,b_1-e_1,c_1-f_1)\\T(M_2)&=(a_2-d_2,b_2-e_2,c_2-f_2),\end{align*} de modo que sumando los vectores y reacomodando tenemos que $$T(M_1)+T(M_2)=((a_1+a_2)-(d_1+d_2),(b_1+b_2)-(e_1+e_2),(c_1+c_2)-(f_1+f_2)).$$

Por otro lado, si primero sumamos las matrices, obtenemos la matriz $$M_1+M_2=\begin{pmatrix}
a_1+a_2 & b_1+b_2 & c_1+c_2\\
d_1+d_2 & e_1+e_2 & f_1+f_2
\end{pmatrix}.$$

Así, $$T(M_1+M_2)=((a_1+a_2)-(d_1+d_2),(b_1+b_2)-(e_1+e_2),(c_1+c_2)-(f_1+f_2)).$$ Esto muestra que $T(M_1+M_2)=T(M_1)+T(M_2)$, es decir, que $T$ abre sumas. Con un argumento parecido se puede mostrar que saca escalares.

$\triangle$

Ejemplo 6. La función $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}_2[x]$ que manda al vector $(a,b)$ al polinomio $T(a,b)=(a+b)x^2+(a-b)x+b$ es una transformación lineal.

$\triangle$

Recuerda que $C[0,1]$ es el espacio vectorial de funciones $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ continuas.

Ejemplo 7. La función $T:C[0,1]\to \mathbb{R}$ que manda a la función $f$ al real $$T(f):=\int_0^1 f(x)\, dx$$ es una transformación lineal. En efecto, para dos funciones $f$ y $g$ continuas en el $[0,1]$ y un real $c$ se tiene por definición de suma de funciones, de multiplicación por escalar y de propiedades de la integral que \begin{align*}\int_0^1 (f+g)(x)\, dx&=\int_0^1 f(x)+g(x)\, dx\\&=\int_0^1 f(x) \, dx+\int_0^1 g(x)\, dx\end{align*} y que \begin{align*}\int_0^1 (cf)(x)\, dx &= \int_0^1 cf(x)\, dx \\&=c \int_0^1 f(x)\, dx.\end{align*}

En otras palabras, $T(f+g)=T(f)+T(g)$ y $T(cf)=cT(f)$.

$\triangle$

Propiedades básicas de transformaciones lineales

La definición de «transformación lineal» pide dos cosas por separado: abrir sumar y sacar escalares. Es bueno tenerlas por separado para referirnos a ellas individualmente. Sin embargo, la siguiente proposición nos ayuda a probar de manera más práctica que $T$ es una transformación lineal.

Proposición (verificación abreviada). Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales sobre un mismo campo $F$. $T:V\to W$ es una transformación lineal si y sólo si para todo $v_1,v_2$ en $V$ y $c$ en $F$ se tiene que $$T(cv_1+v_2)=cT(v_1)+T(v_2).$$

Demostración. En efecto, si $T$ es transformación lineal, entonces $T(cv_1)=cT(v_1)$ porque $T$ saca escalares y así \begin{align*}T(cv_1+v_2)&=T(cv_1)+T(v_2)\\&=cT(v_1)+T(v_2).\end{align*} Por otro lado, si se cumple $T(cv_1+v_2)=cT(v_1)+T(v_2)$ para todos $v_1$ y $v_2$ vectores en $V$ y $c$ escalar en $F$, entonces con $v_2=0$ recuperamos que $T$ saca escalares y con $c=1$ recuperamos que $T$ abre sumas.

$\square$

Las transformaciones lineales mandan al cero de un espacio vectorial al cero del otro.

Proposición (cero va a cero). Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales sobre un mismo campo. Si $T:V\to W$ es una transformación lineal, entonces $T(0)=0$.

Demostración. El truco es encontrar $T(0+0)$ de dos formas distintas. Por un lado, como $0+0=0$, tenemos que $T(0+0)=T(0)$. Por otro lado, como $T$ abre sumas, tenemos que $T(0+0)=T(0)+T(0)$. Así, tenemos que $$T(0)+T(0)=T(0).$$ Restando $T(0)$ de ambos lados obtenemos $T(0)=0$.

$\square$

De hecho, hay otra forma de probar la proposición anterior usando que $T$ saca escalares: $T(0)=T(0\cdot 0)=0T(0)=0$. Piensa en por qué cada una de estas igualdades se vale y por qué adentro del paréntesis que hay dos ceros, uno de ellos es vector y el otro escalar.

Las transformaciones lineales también «respetan» inversos aditivos.

Proposición (inversos aditivos van a inversos aditivos). Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales sobre un mismo campo. Si $T:V\to W$ es una transformación lineal, entonces $T(-v)=-T(v)$.

La demostración es sencilla y la puedes pensar por tu cuenta.

El haber enunciado estas proposiciones nos puede ayudar para decir, de golpe, que algunas funciones no son transformaciones lineales: si una función falla en tener alguna de las propiedades anteriores, entonces no es transformación lineal.

Ejemplo 1. Sea $V$ el espacio vectorial $\mathbb{R}^2$ y $W$ el espacio vectorial de matrices de $2\times 2$ con entradas complejas, pero visto como espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ (sólo se permite usar reales para la multiplicación escalar).

La transformación $T:V\to W$ que manda al vector real $(a,b)$ a la matriz de entradas complejas $T(a,b)=\begin{pmatrix}
a+ib & a-ib \\
a-ib & 1+abi\end{pmatrix}$ no es una transformación lineal pues manda al $(0,0)$ a la matriz $\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix},$ la cual no es la matriz $0$.

$\triangle$

Sin embargo, una pequeña advertencia. Es posible que $T$ sí mande el $0$ al $0$, pero que de cualquier forma no sea una transformación lineal, debido a que falle por otras razones.

Ejemplo 2. La transformación $T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ dada por $$T(x,y,z)=(x+y+z,xy+yz+zx,xyz)$$ cumple que $T(0,0,0)=(0,0,0)$, pero no es una transformación lineal pues no saca escalares. Por ejemplo, $$T(3,3,3)=(9,27,27)\neq 3(3,3,1)= 3T(1,1,1).$$

$\triangle$

Kernel e imagen de una transformación lineal

Tomemos $T:V\to W$ una transformación lineal. Hay dos conjuntos muy importantes relacionados con $T$.

El kernel (o núcleo) de $T$ es el conjunto de vectores en $V$ que se van al vector $0$ de $W$ cuando les aplicamos $T$. En símbolos, $$\ker(T)=\{v\in V: T(v)=0\}.$$

La imagen de $T$ son los vectores en $W$ que se pueden escribir de la forma $T(v)$ para algún $v$ en $V$, es decir, es la imagen en el sentido clásico de teoría de conjuntos o de cálculo. En símbolos, $$\Ima(T)=\{T(v): v\in V\}.$$

Haciendo énfasis de nuevo: $\ker(T)$ es un subconjunto de vectores de $V$ e $\Ima(T)$ es un subconjunto de vectores de $W$. Veamos un ejemplo que nos ayudará a repasar varios de los conceptos clave de esta entrada.

Problema. Consideremos la transformación $T:M_2(\mathbb{R})\to M_{2,3}(\mathbb{R})$ dada por $$T\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\end{pmatrix}.$$

Muestra que $T$ es una transformación lineal y determina $\ker(T)$ e $\Ima(T)$.

Intenta resolver este problema por tu cuenta antes de seguir.

Solución. Sean $A$ y $B$ matrices de $2\times 2$ con entradas reales y $r$ un real. Nombremos $C=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\end{pmatrix}$. Por propiedades de producto de matrices, tenemos que \begin{align*}T(rA+B)&=(rA+B)C \\ &=r(AC)+BC\\ &=rT(A)+T(B),\end{align*} así que por la proposición de verificación abreviada, tenemos que $T$ es una transformación lineal.

Ahora, tomemos una matriz $A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \end{pmatrix}$ y notemos al hacer la multiplicación de manera explícita, obtenemos que $T(A)$ es la matriz $$\begin{pmatrix}
a+b & a+b & a+b\\
c+d & c+d & c+d \end{pmatrix}.$$

Determinemos quién es $\Ima(T)$. Para que una matriz $M:=\begin{pmatrix}
e & f & g\\
h & i & j \end{pmatrix}$ esté en la imagen de $T$, se tiene que cumplir que $e=f=g$ y que $h=i=j$.

Y viceversa, si $e=f=g$ y $h=i=j$, entonces $M$ está en la imagen de $T$ pues, por ejemplo $$T\begin{pmatrix}
e & 0\\
h & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
e & e & e\\
h & h & h\end{pmatrix}=M.$$

Esto muestra que $$\Ima (T) = \left\{\begin{pmatrix}
e & e & e\\
h & h & h \end{pmatrix}: e,h \in \mathbb{R}\right\}.$$

Ahora determinemos quién es $\ker(T)$. Para que $A$ esté en el kernel de $T$, necesitamos que todas las entradas de $T(A)$ sean $0$. Para esto es suficiente y necesario que $a+b=0$ y que $c+d=0$, o dicho de otra forma, que $A$ sea de la forma $A=\begin{pmatrix}
a & -a \\
c & -c \end{pmatrix}$. Así, concluimos que $$\ker(T)=\left\{\begin{pmatrix}
a & -a \\
c & -c \end{pmatrix}: a,c \in \mathbb{R}\right\}.$$

$\square$

Con esto ya terminamos lo que pide el problema. Sin embargo, hagamos una observación clave. En el problema anterior, $\ker(T)$ e $\Ima(T)$ no solamente son subconjuntos de $M_2(\mathbb{R})$ y de $M_{2,3}(\mathbb{R})$ respectivamente, sino que además son subespacios. Esto no es casualidad.

Los kernels e imágenes de transformaciones lineales son subespacios

Teorema. Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales sobre un mismo campo. Si $T:V\to W$ es una transformación lineal, entonces $\ker(T)$ es un subespacio de $V$ e $\Ima(T)$ es un subespacio de $W$.

Demostración. Demostraremos primero que $\ker(T)$ es un subespacio de $V$. Para ello basta con tomar $v_1,v_2$ en $\ker(T)$ y $c$ en el campo $F$ y mostrar que $cv_1+v_2$ también está en $\ker(T)$, es decir, que también sucede que $T(cv_1+v_2)=0$. Esto se debe a la siguiente cadena de igualdades, que justificamos abajo \begin{align*}
T(cv_1+v_2)&=T(cv_1)+T(v_2)\\
&=cT(v_1)+T(v_2)\\
&=c\cdot 0 + 0 \\
&= 0.
\end{align*}

La primera igualdad se debe a que $T$ abre sumas. La segunda a que $T$ saca escalares. La tercera a que $v_1$ y $v_2$ están en el kernel de $T$ y por lo tanto sabemos que $T(v_1)=T(v_2)=0$. La última es simplemente hacer la operación. Con esto mostramos que $\ker(T)$ es un subespacio de $V$.

Ahora, veremos que $\Ima(T)$ es un subespacio de $W$. Tomemos $w_1$ y $w_2$ en $\Ima(T)$, y un escalar $c$ en el campo $F$. De nuevo, basta mostrar que $cw_1+w_2$ está en $\Ima(T)$. Como $w_1$ y $w_2$ están en la imagen de $T$, esto quiere decir que existen vectores $v_1$ y $v_2$ en $V$ tales que $T(v_1)=w_1$ y $T(v_2)=w_2$. Notemos que entonces:
\begin{align*}
cw_1+w_2&=cT(v_1)+T(v_2)\\
&=T(cv_1)+T(v_2)\\
&=T(cv_1+v_2).
\end{align*}

La segunda y tercera igualdad vienen de que $T$ saca escalares y abre sumas respectivamente. Esta cadena de igualdades muestra que podemos poner a $cw_1+w_2$ como imagen de alguien en $V$ bajo $T$, es decir, que $cw_1+w_2$ pertenece a $\Ima(T)$. Esto es lo que queríamos mostrar.

$\square$

Más adelante…

En esta entrada definimos los conceptos de transformación lineal, de imagen y de kernel. También vimos que la imagen y kernel de transformaciones lineales son subespacios. Más adelante veremos que $\ker(T)$ e $\Ima(T)$ están de hecho relacionados más profundamente.

Por ahora, nota que en el ejemplo antes del teorema tenemos que $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ forman una base de $\Ima(T)$ pues son linealmente independientes y todo elemento en la imagen es combinación lineal de estas matrices. Además, nota que de manera similar $\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
0 & 0 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & -1 \end{pmatrix}$ forman una base de $\ker(T)$.

Esto nos dice que $\dim(\Ima(T))=2$ y que $\dim(\ker(T))=2$. Si sumamos ambos, nos da la dimensión de $M_2(\mathbb{R})$. ¿Será casualidad?

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Verifica que las transformaciones lineales que se pusieron como ejemplo en efecto abren sumas y sacan escalares.
  • Asegúrate de entender los detalles de la prueba de la proposición de la verificación abreviada. Úsala para mostrar que la función que manda al vector $(a,b,c)$ a la matriz $$\begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{pmatrix}$$ es una transformación lineal de $\mathbb{R}^3$ a $M_3(\mathbb{R})$.
  • Muestra la proposición de que inversos aditivos van a inversos aditivos.
  • Determina el kernel y la imagen de las transformaciones lineales $T:V\to W$ que se dieron como ejemplo.
  • Para cada kernel e imagen que encuentres, convéncete de que son subespacios. Determina si tienen dimensión finita y, en ese caso, determina la dimensión. Para estos casos, ¿cómo están relacionados $\dim(\Ima(T)),\dim(\ker(T)),\dim(V)$?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»