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Probabilidad I-Videos: Teorema de probabilidad total

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

Anteriormente vimos la definición de probabilidad condicional, de dicha definición podemos derivar una fórmula muy útil para determinar probabilidades que llamaremos el Teorema de probabilidad total.

Teorema de probabilidad total

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Si $A_1,A_2,\ldots,A_n\ $ es una partición de $\Omega$ con $P\left(A_i\right)>0$ para $i=1, 2, …, n$, entonces para eventos $C$ y $D$ con $P\left(CA_i\right)>0$ para $i=1, 2, …, n$ demuestra que $P\left(C\middle|\ D\right)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{P\left(A\middle|\ CA_i\right)P(A_i|C})$.
  • Un mago tiene dos monedas: una es justa; y la otra tiene una probabilidad de $\frac{3}{4}$ de dar como resultado Cara. Toma una moneda al azar y la lanza obteniendo una cara en el primer lanzamiento, determina la probabilidad de que la moneda sea justa.
  • Usa los dos ejercicios anteriores para encontrar la probabilidad de obtener una Cara en el segundo lanzamiento dado que hay una Cara en el primer lanzamiento.
  • En una urna hay $m$ canicas rojas y $n$ canicas azules. Se seleccionan al azar a $r$ canicas, una por una y sin reemplazo. Suponga que $r\le\ m,\ n$. Encuentra la probabilidad de que la última canica escogida sea roja.
  • Una persona lanza un dado equilibrado una vez, obteniendo el resultado $k$. Después lanza nuevamente el dado tantas veces como indicó el resultado del primer lanzamiento sumando los resultados de estos últimos lanzamientos y obteniendo un total de $m$. Calcule la probabilidad de que los números $k$ y $m$ coincidan.

Más adelante…

Existen problemas para los que no es evidente la forma de encontrar la probabilidad de cierto evento, pero condicionando adecuadamente, en ocasiones se puede encontrar de manera más fácil la probabilidad buscada. Siguiendo con esta línea de ideas en el siguiente video hablaremos sobre el Teorema de Bayes.

Entradas relacionadas

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Introducción a las bifurcaciones

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior demostramos el teorema de existencia y unicidad de Picard. Antes de finalizar con el estudio a las ecuaciones diferenciales de primer orden vamos a regresar un momento a la teoría cualitativa de ecuaciones de primer orden, en específico, al estudio de soluciones de ecuaciones autónomas de la forma $$\frac{dy}{dt}=f(y).$$

En muchas ocasiones las ecuaciones diferenciales involucran constantes. Si hacemos variar esta constante obtendremos una familia de ecuaciones diferenciales que dependen de este nuevo parámetro que llamaremos $\lambda$. A esta familia de ecuaciones la denotaremos por $$\frac{dy}{dt}=f_{\lambda}(y).$$

Estudiaremos entonces a esta familia de ecuaciones, y el cambio cualitativo de las soluciones conforme varía el parámetro. Nos interesará conocer el comportamiento de las soluciones de equilibrio, y los cambios que estas tienen dependiendo del valor de $\lambda$. En particular, estudiaremos el cambio en el número de soluciones de equilibrio bajo pequeñas perturbaciones del parámetro $\lambda$. A este tipo de problemas los llamaremos bifurcaciones. Definiremos el concepto de valor de bifurcación, y mostraremos cómo encontrar este valor, tanto de manera gráfica mediante un diagrama, como de manera analítica.

Bifurcaciones y valor de bifurcación

En este video damos una pequeña introducción al concepto de bifurcación, definimos la familia uniparamétrica de ecuaciones autónomas y el valor de bifurcación, todo mediante un ejemplo sencillo.

Diagrama de bifurcaciones

Mostramos un diagrama geométrico para hallar los valores de bifurcación de una familia uniparamétrica de ecuaciones autónomas, y para conocer el comportamiento de las soluciones a las ecuaciones de la familia, sin dibujarlas explícitamente. A este diagrama lo llamamos diagrama de bifurcaciones.

Determinación de los valores de bifurcación

En el último video de esta entrada hallamos los valores bifurcación mediante un análisis a las gráficas de las funciones $f_{\lambda}(y)$ y con ayuda también de la derivada de dichas funciones en determinados puntos.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Verifica que para toda $\lambda <0$ la ecuación $$\frac{dy}{dt}=y^{2}+\lambda$$ tiene dos soluciones de equilibrio, y para toda $\lambda>0$, la ecuación $$\frac{dy}{dt}=y^{2}+\lambda$$ no tiene soluciones de equilibrio.
  • Prueba que $\lambda=0$ es el único valor de bifurcación para la familia $$\frac{dy}{dt}=y^{2}+\lambda.$$
  • Muestra, según la definición, que $\lambda=-1$ es valor de bifurcación para la familia de ecuaciones $$\frac{dy}{dt}=\sin{y}+\lambda.$$
Bifurcaciones
Gráficas de la familia $sen (y)+\lambda$. Elaboración propia.
  • Considera la familia uniparamétrica $$\frac{dy}{dt}=\lambda y-y^{3}.$$ Encuentra las soluciones de equilibrio para todos los valores de $\lambda$, y esboza el diagrama de bifurcaciones.
  • Encuentra los valores de bifurcación para la familia uniparamétrica $$\frac{dy}{dt}=y^{4}+\lambda y^{2}$$ con ayuda de la derivada y las gráficas de $f_{\lambda}(y)$. Dibuja el diagrama de bifurcaciones.
Bifurcaciones
Gráficas de la familia $y^{4}+\lambda y^{2}$. Elaboración propia.

Para encontrar los valores de bifurcación, buscamos valores de $\lambda_{0}$ y $y_{0}$ tales que $$f_{\lambda_{0}}(y_{0})=0 ; \,\,\,\,\,\,\,\, \frac{df_{\lambda_{0}}}{dy}(y_{0})=0. $$ Sin embargo existen casos donde esto último ocurre pero $\lambda_{0}$ no es un valor de bifurcación.

Prueba que las siguientes familias de ecuaciones no tienen valores de bifurcación y dibuja algunas gráficas de estas familias:

  • $\frac{dy}{dt}=y^{3}+\lambda$
  • $\frac{dy}{dt}=(y+\lambda)^{2}$

Así, en los dos casos, ocurre que $$f_{0}(0)=0 ; \,\,\,\,\,\,\,\, \frac{df_{0}}{dy}(0)=0$$ pero $0$ no es valor de bifurcación.

Más adelante

Con este tema damos por terminado la primera unidad del curso. En la siguiente entrada comenzamos la segunda unidad que tratará de las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

En particular, en la siguiente entrada comenzamos con el análisis a las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Lineal II: Formas cuadráticas hermitianas

Por Diego Ligani Rodríguez Trejo

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Introducción

El análogo complejo a las formas cuadráticas son las formas cuadráticas hermitianas. En esta entrada las definiremos, enfatizaremos algunas diferencias con el caso real y veremos algunas de sus propiedades.

Al final enunciaremos una versión compleja del teorema de Gauss.

Formas cuadráticas hermitianas

Definición Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ y $\varphi$ una forma sesquilineal hermitiana de $V$. La forma cuadrática hermitiana correspondiente a $\varphi$ es la función $\Phi: V\to \mathbb{C}$ tal que para cualquier $x$ en $V$ se tiene que

\begin{align*} \Phi(x)=\varphi (x,x) \end{align*}

Observa que aquí, de entrada, estamos pidiendo que $\varphi$ sea sesquilineal. Esto entra en contraste con el caso real, en donde no nos importaba si la forma bilineal que tomábamos inicialmente era simétrica o no. Como veremos un poco más abajo, dada la forma cuadrática hermitiana $\Phi$, hay una única forma sesquilineal hermitiana de la que viene. Por esta razón, llamaremos a la función $\varphi$ la forma polar de $\Phi$.

Problema 1. Sea $V=\mathbb{C}^n$ y $\Phi : V \rightarrow \mathbb{C}$ definida por
\begin{align*} \Phi(x_1, \ldots, x_n)= |x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2.\end{align*} Muestra que $\Phi$ es una forma cuadrática.

Solución. Recordemos que para cualquier $z \in \mathbb{C}$ se tiene $|z|^2=z \overline{z}$. Así propongamos $\varphi$ como sigue:

\begin{align*}
\varphi(x,y):= (\overline{x_1})(y_1) + \cdots + (\overline{x_n})(y_n).
\end{align*}

Es sencillo mostrar que $\varphi$ así definida es una forma sesquilineal hermitiana, y queda como ejercicio.

$\square$

Problema 2. Sea $V$ el espacio de funciones continuas del intervalo $[0,1]$ a $\mathbb{C}$ y $\Phi: V \rightarrow \mathbb{C}$ definida por
\begin{align*} \Phi(f)= \int_0^1|f(t)|^2 dt.\end{align*} Muestra que $\Phi$ es una forma cuadrática.

Solución. La solución es muy parecida. Proponemos $\varphi$ como sigue:

\begin{align*} \varphi(f_1,f_2)= \int_0^1\overline{f_1(t)} f_2(t) dt \end{align*}

Es sencillo mostrar que $\varphi(f,f)=\Phi(f)$ y que $\varphi$ es forma sesquilineal hermitiana. Ambas cosas quedan como ejercicio.

$\square$

Propiedades básicas de formas cuadráticas hermitianas

Veamos algunas propiedades de las formas cuadráticas hermitianas.

Proposición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$, $\varphi$ una forma sesquilinear hermitiana y $\Phi(x)$ su forma cuadrática asociada.

  1. Para todo $x\in V$, se tiene que $\Phi(x)=\varphi(x,x)$ siempre es un número real.
  2. Para todo $x\in V$ y $a\in \mathbb{C}$ se tiene que $\Phi(ax)=|a|\Phi(x)$.
  3. Para cualesquiera $x,y$ en $V$ se tiene que $\Phi(x+y)=\Phi(x)+\Phi(y)+2\text{Re}(\varphi(x,y))$.

Demostración. Los incisos 1) y 2) son consecuencia inmediata de los ejercicios de la entrada anterior. Para el inciso 3) usamos que la suma de un número con su conjugado es el doble de su parte real para obtener la siguiente cadena de igualdades:

\begin{align*}
\Phi(x+y)&=\varphi(x+y,x+y)\\
&=\varphi(x,x)+ \varphi(y,y)+ \varphi(x,y)+\varphi(y,x)\\
&=\varphi(x,x)+ \varphi(y,y)+ \varphi(x,y)+\overline{\varphi(x,y)}\\
&=\Phi(x) + \Phi(y) + 2\text{Re}(\varphi(x,y)).
\end{align*}

$\square$

Identidad de polarización compleja

Para demostrar que una función es una forma cuadrática hermitiana, usualmente necesitamos a una función que sea la candidata a ser la forma sesquilineal hermitiana que la induzca. Es decir, necesitamos un método para proponer la forma polar. Podemos hacer esto mediante la identidad de polarización compleja.

Proposición (Identidad de polarización). Sea $\Phi: V \rightarrow \mathbb{C}$ una forma cuadrática hermitiana. Existe una única forma sesquilineal hermitiana $\varphi: V \times V \rightarrow \mathbb{C}$ tal que $\Phi(x)=\varphi(x,x)$ para todo $x \in V$.

Más aún, ésta se puede encontrar de la siguiente manera:

\begin{align*} \varphi(x,y)= \frac{1}{4}\sum_{k=0}^4 i^k \Phi (y+i^kx)\end{align*}

Aquí $i$ es el complejo tal que $i^2=-1$. Esta suma tiene cuatro sumandos, correspondientes a las cuatro potencias de $i$: $1,i,-1,-i$.

Demostración. Por definición, como $\Phi$ es una forma cuadrática hermitiana, existe $s:V\times V\to \mathbb{C}$ una forma sesquilineal hermitiana tal que $\Phi(x)=s(x,x)$. Veamos que la fórmula propuesta en el enunciado coincide con $s$. La definición en el enunciado es la siguiente:

\begin{align*} \varphi(x,y)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^4 i^k \Phi (y+i^kx)\end{align*}

Como $\Phi(x)=s(x,x)$ podemos calcular $\varphi$ como sigue
\begin{align*} \varphi(x,y)=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^4 i^k s(y+i^kx,y+i^kx)\end{align*}

Desarrollando los sumandos correspondientes a $k=0$ y $k=2$, y simplificando, se obtiene

\begin{align*}2s(y,x) + 2s(x,y).\end{align*}

Del mismo modo, los sumandos para $k=1$ y $k=3$ quedan como

\begin{align*} 2s(x,y) – 2s(y,x) \end{align*}

Sustituyendo esto en la definición original de $\varphi$ tenemos que

\begin{align*} \varphi(x,y)&=\frac{ 2s(y,x) + 2s(x,y) + 2s(x,y) – 2s(y,x) }{4}\\&=s(x,y). \end{align*}

De esta igualdad podemos concluir que $\varphi = s$, por lo que 1) $\varphi$ es forma sesquilineal hermitiana y 2) la forma cuadrática hermitiana de $\varphi$ es $\Phi$. Esta forma debe ser única pues si hubiera otra forma sesquilineal hermitiana tal que $s'(x,x)=\Phi(x)$, los pasos anteriores darían $s'(x,x)=\varphi(x,y)$ nuevamente.

$\square$

En particular, esta identidad nos dice que formas sesquilineales hermitianas distintas van a formas cuadráticas hermitianas distintas. Es por ello que podemos llamar a la función $\varphi$ dada por la fórmula en el enunciado la forma polar de $\Phi$.

Teorema de Gauss complejo

Enunciamos a continuación la versión compleja del teorema de Gauss.

Teorema. Sea $\Phi$ una función cuadrática hermitiana $\mathbb{C}^n$. Existen $\alpha_1, \cdots , \alpha_r$ números complejos y formas lineales $l_1, \cdots l_r$ linealmente independiente de $\mathbb{C}^n$ tales que para todo $x$ en $\mathbb{C}^n$ se tiene:

\begin{align*} \Phi(x_1, \cdots , x_n ) = \sum_{i=1}^r \alpha_i |l_i(x)|^2. \end{align*}

Observa que en la expresión de la derecha no tenemos directamente a las formas lineales, sino a las normas de éstas.

Más adelante…

Ya hablamos de formas bilineales y de formas sesquilineales. ¿Habrá una forma alternativa de representarlas? Cuando teníamos transformaciones lineales entre espacios vectoriales, podíamos representarlas por matrices. Resulta que a las formas bilineales también podemos representarlas por matrices. Veremos cómo hacer esto (y cuáles son las ventajas de hacer eso) en las siguientes dos entradas. En una veremos los resultados correspondientes a formas bilineales y en la otra los resultados correspondientes a formas sesquilineales.

Un poco más adelante aprovecharemos esta representación matricial para retomar el estudio de los productos interiores.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, sirven de ayuda para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  1. Sea $V=\mathbb{C}^n$ y definamos $\varphi:V\times V \to \mathbb{C}$ como sigue:
    \begin{align*} \varphi(x,y)= \overline{x_1}y_1 + \cdots + \overline{x_n}y_n, \end{align*}
    para cualquier par $x,y \in V$ con $x=(x_1, \cdots x_n)$ y $y=(y_1, \cdots y_n)$. Demuestra que $\varphi$ es una forma sesquilineal hermitiana.
  2. Sea $V$ el espacio de funciones continuas del intevalo $[0,1]$ a $\mathbb{C}$ y $\varphi: V\times V \to \mathbb{C}$ definida como sigue:
    \begin{align*} \varphi(f_1,f_2)= \int_0^1\overline{f_1(t)} f_2(t) dt,\end{align*}
    para cualquier par $f_1, f_2 \in V$. Demuestra que $\varphi$ es una forma sesquilineal hermitiana.
  3. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ y $\Phi$ una forma cuadrática hermitiana. Prueba la siguiente identidad (identidad del paralelogramo)
    \begin{align*} \Phi(x+y) + \Phi(x-y) = 2(\Phi(x) + \Phi(y)).\end{align*} ¿Cómo se compara con la identidad del paralelogramo real?
  4. Compara la identidad de polarización real con la identidad de polarización compleja. ¿Por qué son tan distintas entre sí?
  5. Demuestra el Teorema de Gauss para formas cuadráticas hermitianas.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Cálculo Diferencial e Integral I: Valor absoluto. Desigualdad del triángulo

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

En esta entrada veremos una función muy particular: el valor absoluto. Ésta nos permitirá «medir la distancia» entre un par de números reales. Finalizaremos con la demostración de la Desigualdad del triángulo y algunas de sus consecuencias. Esta desigualdad es usada en las demostraciones de Límite y Continuidad que veremos más adelante.

Definición formal

Definición (Valor absoluto): Para todo $x\in \r$ definimos la función valor absoluto como sigue:
\begin{equation*}
|x|=
\begin{cases}
x &\text{si $x \geq 0$}\\
-x & \text{si $x< 0$}
\end{cases}
\end{equation*}

Recordando las propiedades de orden, la definición quedaría de la siguiente manera:
\begin{equation*}
|x|=
\begin{cases}
x &\text{si $x =0 \quad\text{o}\quad x\in P$}\\
-x & \text{si $-x\in P$}
\end{cases}
\end{equation*}
Esta última nos será de utilidad para la demostración de la desigualdad del triángulo que veremos más adelante.


Observación: De la definición anterior notamos que para toda $x \in \r$, su valor absoluto $|x|$ es mayor o igual a cero.

Midiendo distancias

Si observamos la definición del valor absoluto, notamos que asocia a cualquier número real con su distancia respecto al cero. Veámoslo en los ejemplos siguientes:

  • $|-3|=3$
  • $|14|= 14$

En consecuencia, si consideramos la distancia entre cualquier par de números reales tendríamos la siguiente definición.

Definición: Para cualesquiera $a,b \in \r$ tenemos que están a distancia $|a-b|$.
Observemos que la distancia siempre será positiva o cero.

Desigualdad del triángulo

Teorema (Desigualdad del triángulo): Para todo $a,b \in \r$ se cumple la siguiente desigualdad:
$$|a+b| \leq |a|+|b|\text{.}$$

Demostración: Dada la definición del valor absoluto, debemos considerar casos sobre los signos de $a$ y $b$.
CASO 1: $a \geq 0$ y $b \geq 0$.
Recordemos que $P$ es cerrado bajo la suma, por lo que tenemos lo siguiente:
\begin{align*}
|a+b|&= a + b\\
&= |a|+|b|.
\end{align*}
La última igualdad se sigue de $a = |a|$ y $b = |b|$.

Para los siguientes casos haremos uso de los siguientes resultados que serán demostrados posteriormente:

Resultados: Para cualesquiera $a,b,c \in \r$ se cumplen:

  1. $-a-b=-(a+b)$.
  2. Si $b<0 \Rightarrow b<-b$.
  3. Si $a<b \Rightarrow a+c < b+c$.

CASO 2: $a < 0$ y $b < 0$.
Notemos que $-a \in P$ y $-b \in P$ por lo que $-a-b \in P$. Así se sigue que:
\begin{align*}
|a+b|&= -(a+b)\tag{por ser $a+b$ negativo}\\
&= -a – b\tag{por el resultado 1}\\
&= (-a)+(-b)\\
&= |a|+|b|,
\end{align*}
porque $|a|=-a$ y $|b|=-b$.

CASO 3: $a \geq 0$ y $b < 0$.
Para esta demostración debemos considerar dos subcasos.
SUBCASO 1: $a+b \geq 0$.
Dado lo anterior aplicando la definición de valor absoluto ocurre que:
\begin{align*}
|a+b|&=a+b\\
&< a-b. \tag{por los resultados 2 y3}\\
\end{align*}
Como tenemos que $a-b = |a|+|b|$, concluimos:
$$|a+b|<|a|+|b|.$$
SUBCASO 2: $a+b < 0$.
Procederemos análogamente al subcaso anterior:
\begin{align*}
|a+b|&=-(a+b)\\
&= -a-b\\
&< a-b. \tag{por resultados 2 y3}\\
\end{align*}
Ya que $a-b = |a|+|b|$, tenemos:
$$|a+b|<|a|+|b|.$$

CASO 4: $a < 0$ y $b \geq 0$.
Al igual que en el caso 3, para verificar la desigualdad se deberán considerar dos subcasos. La demostración de este caso se deja como parte de la Tarea moral.

$\square$

Para poder dar por terminada la prueba, debemos demostrar los siguientes resultados auxiliares que utilizamos:

Resultados: Para cualesquiera $a,b,c \in \r$ se cumplen:

  1. $-a-b=-(a+b)$.
  2. Si $b<0 \Rightarrow b<-b$.
  3. Si $a<b \Rightarrow a+c < b+c$.

Demostración:
1. Debemos verificar que $-a-b =(-a)+(-b)$ es inverso aditivo de $a+b$.
\begin{align*}
(a+b)+((-a)+(-b))&= (b+a)+((-a)+(-b))\\
&= ((b+a)+(-a))+(-b)\\
&= (b+(a+(-a))+(-b)\\
&= (b+0)+(-b)\\
&= b + (-b)\\
&=0.
\end{align*}
Concluimos que $(-a)+(-b) = -(a+b)$.

2. Ya que $b<0$ sabemos que $-b \in P$. Queremos probar que $-b-b > 0$.
Observemos que: $-b-b=(-b)+(-b)\in P$.
Por lo que concluimos que $b<-b$.

3. Bastaría ver que $(b+c)-(a+c) \in P$. Debido a que $b-a \in P$. Observamos lo siguiente.
\begin{align*}
b-a &= (b-a)+0\\
&= (b-a) + (c-c)\\
&= (b+c)-(a+c).
\end{align*}
$$\therefore\quad (b+c)-(a+c) \in P.$$
$$\therefore \quad b+c > a+c.$$

$\square$

Observemos que las demostraciones de estos resultados no utilizan la desigualdad del triángulo, más bien hacen uso de las propiedades vistas en las entradas anteriores.

Consecuencias de la desigualdad del triángulo

Proposición (Consecuencias de la desigualdad del triángulo): Sean $a,b \in \r$. Se cumplen las siguientes desigualdades:

  1. $|a-b| \leq |a|+|b|$
  2. $|a|-|b|\leq |a-b|$
  3. $|b|-|a|\leq |a-b|$

En esta ocasión sólo probaremos el punto 2.

Demostración:
2. Como $|a|= |a+0|$, al desarrollar esta igualdad obtenemos:
\begin{align*}
|a|&= |a+0|\\
&= |a+ (b+ (-b))|\\
&= |(a-b)+b|\\
&\leq |a-b| + |b| \tag{por la desigualdad del triángulo}\\
\end{align*}
$$\therefore |a| \leq |a-b| + |b|$$
$$\therefore |a|-|b| \leq |a-b|$$

$\square$

Más adelante

En la próxima entrada comenzaremos a resolver desigualdades donde el valor absoluto se encuentra involucrado.

Tarea moral

  • Propiedades del valor absoluto.
    Prueba los siguientes resultados:
    • $|a|=|-a|.$
    • $|ab|=|a||b|$.
    • $|\frac{1}{a}|=\frac{1}{|a|}$ con $a\neq 0$.
    • $\frac{|a|}{|b|}=|\frac{a}{b}|$ con $b \neq 0$.
  • Desigualdad del triángulo.
    • Realiza la prueba del CASO 4 .
    • Demuestra que para cualesquiera $a,b \in \r$:
      • $|a-b| \leq |a|+|b|$.
      • $|b|-|a|\leq |a-b|$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Lineal II: El teorema de clasificación de transformaciones ortogonales

Por Ayax Calderón

8 respuestas

Introducción

En la entrada anterior definimos las transformaciones ortogonales y probamos algunas de sus propiedades relacionadas con el producto interior, norma y la transformación adjunta. Vimos también que el conjunto de todas las transformaciones ortogonales de un espacio euclideano $V$ forma un grupo $O(V)$ bajo composición.

En esta entrada queremos entender mucho mejor dicho grupo. El resultado principal que probaremos nos dirá exactamente cómo son todas las posibles transformaciones ortogonales en un espacio euclideano (que podemos pensar que es $\mathbb{R}^n$). Para llegar a este punto, comenzaremos con algunos resultados auxiliares y luego con un lema que nos ayudará a entender a las transformaciones ortogonales en dimensión $2$. Aprovecharemos este lema para probar el resultado para cualquier dimensión.

El lema de los subespacios estables

Lo primero que veremos es que las transformaciones ortogonales preservan completamente los subespacios estables, así como sus espacios ortogonales. Este es el resultado que nos permitirá un poco más adelante trabajar inductivamente.

Lema. Sean $V$ un espacio euclidiano, $T\in O(V)$ y $W$ un subespacio de $V$ estable bajo $T$.

  1. Se tiene que $T(W)=W$ y $T(W^\bot)=W^\bot$.
  2. Se tiene que $T|_W\in O(W)$ y $T|_{W^\bot}\in W^\bot$.

Demostración. 1. Como $T(W)\subseteq W$ y $T|_W$ es inyectiva (pues $T$ es inyectiva en $V$), se sigue que $T|_W:W\to W$ es suprayectiva y por lo tanto $T(W)=W$. Veamos ahora que $W^\bot$ también es estable bajo $T$. Tomemos $x\in W^\bot$ y $y\in W$. Queremos demostrar que $T(x)\in W^\bot$, es decir, que $\langle T(x),y \rangle=0$. Como $T$ es ortogonal, entonces $T^*=T^{-1}$ y por lo tanto
$$\langle T(x),y \rangle=\langle x,T^{-1}(y) \rangle.$$

Como $T|_W:W\to W$ es biyectiva, se tiene que $W$ es estable bajo $T^{-1}$. Entonces $T^{-1}(y)\in W$, y como $x\in W^\bot$, entonces $\langle x,T^{-1}(y) \rangle=0$. Por lo tanto $\langle T(x),y \rangle=0$. Esto muestra que $W^\bot$ es estable bajo $T$ y por la primer parte de este inciso, llegamos a $T(W^\bot)=W^\bot$.

2. Para todo $x\in W$ se tiene que
$$||T|_W(x)||=||T(x)||=||x||,$$
lo que significa que $T|_W\in O(W)$. De manera análoga se tiene que $T_{W^\bot}\in O(W^\bot)$.

$\square$

El lema de la invarianza de una recta o un plano

Para poder aplicar el lema de la sección anterior, tendremos que poder encontrar subespacios estables. El siguiente lema nos dice que siempre podemos encontrar subespacios estables en espacios euclideanos.

Lema. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T$ una transformación lineal sobre $V$. Entonces existe una recta (subespacio de dimensión $1$) o un plano (subespacio de dimensión $2$) en $V$ estable bajo $T$.

Demostración. El polinomio mínimo de $T$ es un polinomio $\mu_T(x)$ con coeficientes reales. Si tiene una raíz real, se sigue que $T$ tiene un eigenvalor y por consiguiente, la recta generada por un eigenvector es estable bajo $T$.

Ahora supongamos que $\mu_T(x)$ no tiene raíces reales. Sea $z$ una raíz compeja de $\mu_T(x)$, que existe por el teorema fundamental del álgebra. Como $\mu_T(x)$ tiene coeficientes reales, entonces $\overline{z}$ también es raíz de $\mu_T(x)$.Por lo tanto, $Q(x)=(x-z)(x-\overline{z})$ divide a $\mu_T(x)$.

Es imposible que $Q(T)$ sea una matriz invertible, pues de serlo, tendríamos que $\frac{\mu_T}{Q}(x)$ sería un polinomio de grado más chico que $\mu_T(x)$ y anularía a $T$. Esto nos dice que existe $x\in V$ distinto de $0$ tal que $Q(T)(x)=0$. Si $Q(x)=x^2+ax+b$, esto se traduce a $T^2(x)+aT(x)+bx=0$. De aquí, se tiene que $x$ y $T(x)$ generan un plano estable bajo $T$.

$\square$

Las transformaciones ortogonales en dimensión $2$

Los lemas de las secciones anteriores nos permitirán ir partiendo a un espacio euclideano $T$ en «cachitos estables» ya sea de dimensión $1$ o de dimensión $2$. En los de dimensión $1$ ya sabemos cómo debe verse una matriz que represente a $T$: simplemente corresponden a eigenvectores y entonces consistirán en reescalamientos (que deben de ser por factor $1$ ó $-1$ para tener ortogonalidad). Pero, ¿cómo se verá matricialmente la transformación $T$ en subespacios estables de dimensión $2$ que no se puedan descomponer más? Esto es lo que nos responde el siguiente lema.

Lema. Sea $V$ un espacio euclidiano de dimensión $2$ y $T\in O(V)$ sin eigenvalores reales. Entonces existe una base ortonormal de $V$ tal que la matriz asociada a $T$ en dicha base es de la forma
$$R_\theta=\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.$$

Demostración. Sea $\beta=\{e_1,e_2\}$ una base ortonormal de $V$ y escribimos $T(e_1)=ae_1+be_2$ para algunos números reales $a,b$. Como
$$a^2+b^2=||T(e_1)||^2=||e_1||^2=1,$$ entonces podemos encontrar un número real $\theta$ tal que $(a,b)=(\cos\theta,\sin\theta)$.

Para que $\langle T(e_1), T(e_2)\rangle = 0$, necesitamos que exista un $c$ tal que $T(e_2)=c(-\sin\theta e_1+\cos \theta e_2)$. Finalmente, ya que $$||T(e_2)||=||e_2||=1, $$ debemos tener $|c|=1$ y así $c\in \{-1,1\}$.

El caso $c=-1$ podemos descartarlo pues la matriz que representa a $T$ en la base $\beta$ sería
$$\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta\\
\sin \theta & -\cos\theta\end{pmatrix},$$
cuyo polinomio caracterísitco es $x^2-1$ y por lo tanto tiene a $1$ como eigenvalor, lo cual no entra en nuestras hipótesis. Así, $c=1$ y por lo tanto la matriz que representa a $T$ en la base $\beta$ es
$$\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},$$

como queríamos.

$\square$

El teorema de clasificación

Con lo visto hasta ahora, ya estamos listos para demostrar el teorema fundamental de clasificación de transformaciones lineales ortogonales de un espacio euclidiano.

Teorema (clasificación de ortogonales). Sea $V$ un espacio euclidiano y $T\in O(V)$. Entonces podemos encontrar una base ortonormal $\beta$ de $V$ tal que la matriz asociada a $T$ con respecto a la base $\beta$ es de la forma
\begin{equation}\label{forma}
A=\begin{pmatrix}
I_p & 0 & 0 & \dots & 0\\
0 & -I_q & 0 & \dots & 0\\
0 & 0 & R_{\theta_1} & \dots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 &\dots & R_{\theta_k}
\end{pmatrix},\end{equation}
donde $\theta_1,\dots, \theta_k$ son números reales y
$$R_\theta=\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}.$$

Demostración. Procederemos por inducción sobre $\dim V$. Si $\dim V=1$, entonces ya terminamos, pues se tendría que $T=\pm id$ (esto quedó de tarea moral en la entrada anterior).

Supongamos que el resultado se satisface para todos los espacios euclideanos de dimensión a lo más $n-1$. Tomemos $V$ un espacio euclideano de dimensión $n$ y $T$ una transformación ortogonal de $V$. Por el lema de la invarianza de una recta o un plano, o bien $V$ tiene una recta estable bajo $T$, o bien un plano estable bajo $T$.

El caso en que $T$ tiene una recta estable bajo $T$ corresponde a que $T$ tiene un eigenvalor real $t$ con eigenvector, digamos, $e_1$. Entonces $$|t|||e_1||=||te_1||=||T(e_1)||=||e_1||,$$
por lo cual $t\in\{-1,1\}$. Sea $W$ la recta generada por $e_1$.

Tenemos que $V=W\oplus W^\bot$. Por el lema de subespacios estables, $T(W)=W$ y $T|_{W^\bot}$ es ortogonal de $W^\bot$. Por hipótesis inductiva, $W^\bot$ tiene una base ortonormal $\{e_2,\dots , e_n\}$ tal que la matriz asociada a dicha base y restringida a $W^\bot$ es de la forma \eqref{forma}. Añadiendo el vector $\frac{e_1}{||e_1||}$ se añade un $1$ o $-1$ en la diagonal, así que, posiblemente permutando la base ortonormal resultante $\{\frac{e_1}{||e_1||},e_2,\dots ,e_n\}$ de $V$ obtenemos una base ortonormal tal que la matriz asociada a $T$ con respecto a esta base es de la forma \eqref{forma}.

Ahora supongamos que $T$ no tiene valores propios reales, es decir, que estamos en el caso de tener un plano estable bajo $T$. Como $T$ es ortogonal, el espacio $W^\bot$ también es estable bajo $T$, y las restricciones de $T$ a $W$ y $W^\bot$ son transformaciones otogonales sobre estos espacios. Por hipótesis inductiva, $W^\bot$ tiene una base ortonormal $\{e_3,\dots,e_n\}$ tal que la matriz asociada a $T|_{W^\bot}$ con respecto a esta base es una matriz diagonal de bloques de la forma $R_{\theta_i}$. Por el lema de transformaciones ortogonales en dimensión $2$, el subespacio $W$ tiene una base ortonormla $\{e_1,e_2\}$ tal que la matriz asociada a $T|_W$ con respecto a esta base es de la forma $R_\theta$. Como $V=W\oplus W^\bot$, entonces la matriz asociada a $T$ con respecto a la base $\{e_1,\dots, e_n\}$ es de la forma \eqref{forma}, con lo cual concluimos con la prueba deseada.

$\square$

También podemos enunciar el teorema anterior en términos de matrices:

Corolario. Sea $A\in M_n(\mathbb{R})$ una matriz ortogonal. Entonces existen enteros $p,q,k$ que satisfacen $p+q+2k=n$, una matriz ortogonal $P\in M_n(\mathbb{R})$ y números reales $\theta_1,\dots , \theta_n$ tales que
$$A=P^{-1}\begin{pmatrix}
I_p & 0 & 0 & \dots & 0\\
0 & -I_q & 0 & \dots & 0\\
0 & 0 & R_{\theta_1} & \dots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 &\dots & R_{\theta_k}
\end{pmatrix}P.$$

Observación. El determinante de la matriz
$$\begin{pmatrix}
I_p & 0 & 0 & \dots & 0\\
0 & -I_q & 0 & \dots & 0\\
0 & 0 & R_{\theta_1} & \dots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 &\dots & R_{\theta_k}
\end{pmatrix}$$
es $(-1)^q\in\{1,-1\}$ (estamos usando $\det R_{\theta_i}=1$ para $1\leq i\leq k$). Se sigue que $$\det T\in\{-1,1\}$$ para cualquier $T\in O(V)$.

Más adelante…

Por lo platicado en esta entrada, ya podemos decir cómo es cualquier transformación ortogonal, y no es tan complicado: simplemente en alguna base apropiada, se rota en pares de coordenadas, o bien se refleja en coordenadas, o bien no se hace nada en alguna coordenada (o una combinación de estas cosas). Todo esto intuitivamente deja fijas las normas y el teorema de clasificación nos dice que si se fijan normas entonces debe ser así. Por ello, podemos pensar a las transformaciones ortonormales como «sencillas» o por lo menos «entendibles».

Aprovecharemos esto en el siguiente tema, pues enunciaremos el teorema espectral real, que nos dice que las transformaciones simétricas se entienden muy bien a partir de las ortogonales y de las diagonales. Así, las transformaciones simétricas también serán «entendibles». Finalmente, con el teorema de descomposición polar llevaremos este entendimiento a todas, todas las matrices.

Tarea moral

  1. Verifica que, en efecto, las matrices $R_\theta$ de la entrada tienen determinante igual a $1$.
  2. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T:V\to V$ una transformación lineal. Demuestra que $T$ es ortogonal si y sólo si $||T(x)||=||x||$ para los vectores $x$ de norma $1$.
  3. Encuentra la matriz de rotación de ángulo $\frac{\pi}{3}$ alrededor de la recta generada por el vector $(1,1,1)$.
  4. Describe todas las matrices en $M_3(\mathbb{R})$ que son simultaneamente ortogonales y diagonales.
  5. Describe todas las matrices en $M_3(\mathbb{R})$ que sean simultáneamente ortogonales y triangulares superiores.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»