Archivo del Autor: Aurora Martínez Rivas

Probabilidad I-Videos: Probabilidad condicional

Introducción

Muchas afirmaciones sobre el azar toman la forma “si ocurre B, entonces la probabilidad de A es p”, donde B y A son eventos y p es una probabilidad como vimos anteriormente. A estas probabilidades se les llama probabilidades condicionales.

Abordaremos más el tema en el video que encontraras a continuación.

Probabilidad condicional

Tarea moral

Prueba las siguientes afirmaciones.

  •  La probabilidad condicional cumple la condición dos y tres de una medida de probabilidad es decir prueba que la probabilidad condicional aplicada al espacio muestral $\Omega$ es igual a 1 y que si $\ A_1,A_2,…$ son eventos ajenos dos a dos, entonces $P\left(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}{A_k|B}\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{P(A_k|B)}$.
  • Si $\ A_1,A_2,…$ son eventos entonces $P\left(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}{A_k|B}\right)\le\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{P(A_k|B)}$.
  • Si $A$ y $B$ son eventos entonces $P\left(A\middle|\ B\right)=1-P(A^c|B)$.
  • Si $A_1,A_2$ son eventos tales que $A_1\subset A_{2\ }$ entonces $P\left(A_1\middle|B\right)≤P\left(A_2\middle|B\right)$.
  • Para cualesquiera eventos $A_1,\ A_2,\ldots,A_n$ tal que $P\left(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{n-1}A_k\right)>0$ se cumple que $P\left(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{n}A_k\right)=P\left(A_1\right)P\left(A_2\middle|\ A_1\right)P\left(A_3\middle|\ A_1\cap A_2\right)\ldots\ P(A_n|\displaystyle\bigcap_{k=1}^{n-1}A_k)$

Más adelante…

En la práctica, es posible tener un conocimiento parcial sobre el resultado de un experimento, o se puede presentar que las condiciones de un experimento puedan cambiar. Es por esto que usando ideas intuitivas sobre la probabilidad definimos la probabilidad condicional.  

También puede darse el caso de que la ocurrencia de un evento no tenga ningún efecto sobre la probabilidad de que ocurra otro. Esto nos lleva a definir en el siguiente video el concepto de independencia.

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Probabilidad I-Videos: Axiomas de la probabilidad y propiedades

Introducción

Anteriormente vimos que los eventos pueden verse como subconjuntos del espacio muestral , sin embargo, no necesariamente todos los subconjuntos del espacio muestral son eventos. En este video se analizaran varias definiciones que nos permitirán formalizar ideas que hasta el momento son muy vagas, entre estas las condiciones que se deben cumplir para poder hablar de un evento, una medida de probabilidad, un espacio de probabilidad y algunas propiedades elementales.

Axiomas de la probabilidad y propiedades

Tarea moral

  • Si $P(A)$ es la probabilidad de que un evento A ocurra, prueba que para $A_1,A_2,\ldots, A_n$ eventos, se cumple que: $\begin{multline*}P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}P\left(A_i\right)- \sum_{i<j\le n}P\left(A_i\bigcap A_j\right)+\\ \sum_{i<j<k\le n }P\left(A_i\bigcap A_j\bigcap A_k\right)+\ldots+\left(-1\right)^{n+1}P(A_1\bigcap A_2\bigcap\ldots\bigcap A_n)\end{multline*}$.
  • Muestra que $P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)\le\sum_{i=1}^{n}P\left(A_i\right)$.
  • Sean $A_r,\ \ r\geq1$, eventos tales que $P\left(A_r\right)=1$ para toda $r$. Prueba que $P\left(\bigcap_{r=1}^{\infty}A_r\right)=1$.
  • Prueba que $P\left(\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i\right)\geq\ \sum_{i=1}^{n}P\left(A_i\right)-(n-1)$.
  • Prueba que $P\left(A\cap B\right)-P\left(A\right)P\left(B\right)=P\left(\left(A\cup B\right)^c\right)-P\left(A^c\right)P\left(B^c\right)$.

Más adelante…

Cuando nos interesa la probabilidad de un evento asociado a un experimento aleatorio, en ocasiones es necesario encontrar dicha probabilidad, dada la condición suplementaria de que ha ocurrido algún otro evento asociado al experimento aleatorio. Llamaremos a tales probabilidades condicionales, hablaremos más de estas en el siguiente video.

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Probabilidad I-Videos: Interpretación frecuentista de la probabilidad

Introducción

Hasta el momento se ha trabajado con dos definiciones de probabilidad, la definición clásica y la definición geométrica. En esta ocasión toca darle espacio a la interpretación frecuentista de la probabilidad que procede de la ocurrencia de un evento en un gran número de ensayos.

Interpretación frecuentista de la probabilidad

Tarea moral

Sean $A$ y $B$ eventos cualesquiera de $\Omega$. Prueba que la aproximación frecuentista de la probabilidad cumple las siguientes propiedades.

  • $P(\emptyset)=0$ y $P\left(\Omega\right)=1$.
  • $P\left(A\right)\geq0$ para cualquier evento A.
  • $P\left(A^c\right)=1-P(A)$.
  • $P\left(A\bigcup B\right)=P\left(A\right)+P(B)$ cuando A y B son ajenos.
  • $P(A\bigcup\ B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\bigcap\ B)$. 

Más adelante…

En el siguiente video analizaremos algunas condiciones necesarias para el cumplimiento de la teoría de la probabilidad y formalizaremos algunas ideas abordadas hasta el momento.

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Probabilidad I-Videos: Probabilidad geométrica

Introducción

La definición “clásica” se usó durante muchos años, pero luego de analizar algunos ejemplos especiales, estos llevaron a cierta modificación de la definición y a la construcción de un concepto de probabilidad para los casos en los que es concebible incluso un conjunto infinito de resultados. Este concepto es el de probabilidad geométrica.

Probabilidad geométrica

Tarea moral

En un plano sea $\Omega$ cierta región y supongamos en ella hay otras dos regiones $A$ y $B$, todas con área finita y bien definida. Prueba que la definición de la probabilidad geométrica usando como medida el área, satisface las siguientes propiedades:

  • $P(\emptyset)=0$ y $P\left(\Omega\right)=1$.
  • $P\left(A\right)\geq0$ para cualquier evento A.
  • $P\left(A^c\right)=1-P(A)$.
  • $P\left(A\bigcup B\right)=P\left(A\right)+P(B)$ cuando A y B son ajenos.
  • $P(A\bigcup\ B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\bigcap\ B)$. 

Más adelante…

Así como la probabilidad geométrica ayuda a extender la definición de probabilidad clásica para casos con un espacio muestral no finito, en la siguiente entrada de video veremos la interpretación frecuentista de la probabilidad que nos brinda una alternativa para cuando no necesariamente los posibles resultados son equiprobables.

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Probabilidad I-Videos: Definición clásica de probabilidad

Introducción

En esta entrada de video se abordará una de varias definiciones de probabilidad, de hecho, una de las primeras en utilizarse; y que ayudó a sentar las bases para construir la teoría matemática. Esta idea o interpretación de la probabilidad se extendió durante muchos años y es llamada definición clásica de probabilidad.

Definición clásica de probabilidad

Tarea moral

Prueba que la definición clásica de probabilidad satisface las siguientes propiedades:

  • $P(\emptyset)=0$ y $P\left(\Omega\right)=1$.
  • $P\left(A\right)\geq0$ para cualquier evento A.
  • $P\left(A^c\right)=1-P(A)$.
  • $P\left(A\bigcup B\right)=P\left(A\right)+P(B)$ cuando A y B son ajenos.
  • $P(A\bigcup\ B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\bigcap\ B)$.

Más adelante…

Las restricciones de la definición clásica de probabilidad tiene inconvenientes, pues existen muchos procedimientos aleatorios en los que no se puede asegurar una misma probabilidad para cada observación y otros que no necesariamente están definidos en un espacio finito.

En el siguiente video se introducirá otra definición que busca ser una extensión de la definición “clásica” para aquellos casos en los que el conjunto de resultados no es finito.

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