Probabilidad I-Videos: Teorema de Bayes

Introducción

En este video enunciaremos el teorema de Bayes, el cual hace uso del Teorema de probabilidad total, para brindarnos otra herramienta en la determinación de probabilidades de eventos en los que se busca condicionar al espacio muestral para un cálculo más sencillo.

Teorema de Bayes

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

  • Demuestra directamente que

$\\ P(E|F)=P(E|FG)P(G|F)+P(E|FG^{c})P\left(G^{c}|F\right)$.

  •  Demuestra que, para cualquier evento $A$ y $B$,

$\\ P(A|A\cup B)\geq P(A|B)$.

  • Demuestra que si $A_{i}$, $i\geq 1$ son eventos mutuamente excluyentes de un experimento. entonces

$\\ P\left(A_j\middle|\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\frac{P\left(A_j\right)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}A_i}$.

  • Tres jugadores lanzan monedas simultáneamente. La moneda lanzada por $A$ sale cara con probabilidad $P_{1}$, la moneda lanzada por $B$ sale cara con probabilidad $P_{2}$ y la moneda lanzada por $C$ sale cara con probabilidad $P_{3}$. Si una persona obtiene un resultado diferente al de las otras dos, entonces él es el extraño. Si no hay un hombre extraño, los jugadores lanzan de nuevo y continúan haciéndolo hasta que obtienen un hombre extraño. ¿Cuál es la probabilidad de que $A$ sea el extraño?.
  • Hay 3 monedas en una caja. Una es una moneda de dos caras, otra es una moneda justa y la tercera es una moneda sesgada que sale cara el 75% de las veces. Cuando una de las 3 monedas es selecciona al azar y lanzada, esta muestra cara. ¿Cuál es la probabilidad de que la monera seleccionada fuera la moneda de dos caras?

Más adelante…

El teorema de Bayes puede utilizarse para calcular fácilmente la probabilidad condicional de eventos en los que la intuición comúnmente falla, nos ayuda a describir la probabilidad de un evento basado en el conocimiento previo de las condiciones que podrían estar relacionadas con dicho evento.

Es momento, de comenzar a tratar ciertas funciones dentro de un espacio de probabilidad, para esto es necesario abordar otra propiedad importante que cumple una medida de probabilidad, esta es, la propiedad de continuidad.  

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