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Álgebra Superior I: Conjuntos y elementos

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

Hasta ahora hemos hablado de una parte muy particular de la matemática, la Lógica. Esta te ayudará a entender a lo largo de los cursos de matemáticas, pues es uno de los lenguajes que muchas veces verás escrito y con la que las y los matemáticos nos comunicamos. Pero esta solo es lo que muchos considerarían, la mitad del lenguaje. Ahora introduciremos la noción de la otra mitad del lenguaje, esta es llamada la «teoría de los conjuntos».

Desarmando y armando

Para entender un poco más de esta otra parte del lenguaje, vamos a ayudarnos nuevamente de nuestros amigos Blorgs. Para recordar, los Blorgs son unos seres imaginarios que viven en otro planeta. Estos se dividen en tres especies: Los Blargs, Blergs y Blurgs. Cada uno vive en terrenos distintos y come cosas distintas en diferentes días. Así como tienen sus amigos de distintas especies.

Ahora, veamos un poco cómo es que se vería la isla Blorg, que estaría dividida según las regiones en donde vive cada especie:

Como pudiste observar, cada uno de los Blorgs vive en regiones distintas, como los Blergs viven en las montañas y los Blurgs en bosques, nunca encontrarás un blurg viviendo donde viven los Blergs. Pero cada uno de ellos es un blorg, puesto que blorg es el «conjunto» que describe a la criatura. Es decir «todo blerg es un blorg», pero «no todo blorg es un blerg». La primera idea de la palabra conjunto que vamos a tener es: una colección de objetos. En este caso, podríamos decir que todos los Blergs, Blargs y Blurgs forman el conjunto de los Blorgs.

Por ejemplo, cuando empezamos a hablar de demostraciones, siempre usábamos la frase «Consideremos a $x$ un blorg …» o «Sea $x$ un blerg …», a lo que nos referimos es que dentro del conjunto de los Blorgs, «seleccionábamos» a algun blorg. Por ejemplo, cuando decíamos «Sea $x$ un blorg», podríamos referirnos a este:

O este:

O aquel:

Incluso este:

Lo que nos importaba al momento de hacer las demostraciones, era verificar que sin importar cuál blorg nos «tomaramos», la proposición se cumplía. Y quizá teníamos que verificar algunas particularidades dependiendo de su especie, pero lo importante es que cada uno de estos blorgs que considerábamos, «pertenecía» al conjunto de los Blorgs.

Hemos dicho una palabra fundamental en la teoría de conjuntos, y esta es la noción de pertenecer. Como vimos anteriormente, vamos a decir que un conjunto es una colección de objetos. En este caso el conjunto son los Blorgs y cada blorg es un objeto de dicho conjunto. Así que vamos a decir, en este caso que si $x$ es un blorg y $B$ es el conjunto de los Blorgs, entonces $$x \in B.$$ Y se lee «$x$ pertenece a $B$».

Describiendo conjuntos

Existen dos forma de describir o enunciar a los conjuntos: por extensión y por comprensión. Un conjunto descrito por extensión es aquel en donde decimos explícitamente todos sus elementos, mientras que al describirlo por comprensión, los describimos mediante alguna propiedad que tengan en común.

Por ejemplo, imagina que existen tres Blargs: blargmino, blargastacia y blargencio. Entonces podríamos describir por extensión al conjunto de los Blargs por:

$$\text{Blargs} = \{ \text{ blargmino, blargastacia , blargencio }\}$$.

Pero recordemos que todos los Blargs son Blorgs amarillos, así que igual podríamos describir al conjunto de los Blargs por comprensión:

$$ \text{Blargs} = \{ x \text{ tal que } x \text{ es un blorg amarillo} \} .$$

Este «tal que» se refiere a que $x$ cumple con ser un blorg amarillo. Sin embargo en la práctica no vas a ver escrito esto, y en su lugar se usa la siguiente notación:

$$ \text{Blargs} = \{ x \in B : x \text{ es amarillo} \} .$$

Como podrás ver, hicimos dos reemplazos, el primero de la frase «tal que», y esto nos sirve para ahorrarnos un poco la escritura. El otro simplemente es decir en un inicio a qué conjunto pertenece $x$. Recuerda que $B$ es el conjunto de los Blorgs, así que decimos que los Blargs son los objetos $x$ pertenecientes al conjunto de los Blorgs, tal que $x$ es amarillo. De esta forma simplificamos la escritura escribiendo la pertenencia de conjunto de los objetos.

Cualquiera de las dos formas de describir a un conjunto es correcta, sin embargo es más usual trabajar con la segunda, puesto que si quisiéramos describir al conjunto $X$ de todos los números enteros del 1 al 20, sería poco cómodo escribir:

$$X = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20\} $$

Y en su lugar, es más fácil escribir:

$$X = \{ x \in \mathbb{Z} : 1 \leq x \leq 20\}. $$

Donde $\mathbb{Z}$ representa a los números enteros.*

Una cosa además de notar de los conjuntos, es que solo nos importan los elementos diferentes entre sí, esto quiere decir que si queremos describir al conjunto de los números primos menores a 15: $\{2,3,5,7,13\}$, si ya lo hemos descrito una vez, no hace falta volverlo a describir, es decir es redundante decir que el conjunto se conforma por $\{2,2,3,2,5,7,2,13\}$ pues la redundancia del número $2$ ya la hemos escrito en la descripción del conjunto, esto quiere decir que $\{2,2,3,2,5,7,2,13\}$ y $ \{2,3,5,7,13\}$ describen al mismo conjunto, pues la colección que representan es la misma.

Conjuntos y lógica

Si te das cuenta, estamos diciendo cómo es un conjunto en relación a cómo cumple una propiedad. Esto lo podemos traducir a términos de lógica proposicional. Por ejemplo, consideremos $$P(x)= x \text{ es amarillo}.$$

Al escribir

$$\{x \in B: P(x) \}, $$

estaremos describiendo al conjunto de los $x \in B$ para los cuales $P(x)$ es verdadera. Observa que

$$\{x \in B: P(x) \}, $$

describe al mismo conjunto que

$$ \{ x \in B : x \text{ es amarillo} \} .$$

Entonces, es el mismo conjunto que describe a los Blargs:

$$ \text{Blargs} = \{ x \in B : P(x) \} .$$

Esto nos permitirá usar conectores, proposiciones e incluso cuantificadores para describir conjuntos. Y realmente es aquí donde reluce la lógica proposicional que hemos estudiado. Pues el poder escribir conjuntos como elementos que cumplen cierta condición, da más forma a la lógica. Hay quienes dicen que no puede existir la lógica sin los conjuntos y viceversa, pues a lo que antes llamábamos «Universo de Discurso», realmente se refiere a un conjunto.

La importancia de la teoría de conjuntos

Quizá a estas alturas te preguntarás: ¿Por qué estos dos temas grandes que hemos visto (lógica y conjuntos) son algo que se ve en un primer curso de preparación matemática? Pues bien, esto no es coincidencia. En otras materias introductorias a la carrera de matemáticas como Cálculo Diferencial e Integral I, Geometría Moderna I o Geometría Analítica I empiezan a generar resultados, demostraciones, proposiciones, teoremas y demás material basándose en estas dos. Pues al hablar por ejemplo en las primeras notas de cálculo, se ve este tipo de proposiciones:

Proposición: El neutro aditivos es único en $\mathbb{R}$.

Lo que nos traduce este enunciado y su significado es la lógica y la teoría de conjuntos (que vamos a ir desarrollando en las próximas entradas) independientemente de que tengamos claros los conceptos de neutro aditivo (en el sentido del cáclulo diferencial) o del conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$). Aún sin saber esos conceptos, la lógica y conjuntos nos dicen lo siguiente:

La teoría de conjuntos nos dice: Estamos trabajando en el conjunto $\mathbb{R}$.

La lógica nos dice: Si $x \in \mathbb{R}$ ($x$ está en el conjunto dentro del que estamos trabajando) es un neutro aditivo, entonces es único.

De esta forma, si $P(x)= x$ es un neutro aditivo, entonces:

$$\exists ! x \in \mathbb{R} (P(x)). $$

Y con nuestro conocimiento de las demostraciones, podríamos reescribir esto como:

$$\forall x,y \in \mathbb{R} \big((P(x)\land P(y)) \Rightarrow (x=y)\big) .$$

Nota que la gran diferencia al considerar a la teoría de los conjuntos, es el ingrediente de saber sobre qué conjunto estamos hablando. Ya que no es lo mismo decir

$$\exists ! x \in \mathbb{R} (P(x)). $$

A decir:

$$\exists ! x \in \mathbb{R}^2 (P(x)). $$

Y este solo es un ejemplo de cómo afecta la teoría de conjuntos en la comprensión de proposiciones, enunciados y teoremas. Nos ayudará a poner contexto, a encontrar propiedades de elementos dentro del mismo conjunto y comprender su relación los unos con los otros.

Notas

*Comúnmente los número enteros se denotan por $\mathbb{Z}$, esta

convención viene de la notación que matemáticos alemanes en el siglo XVIII como Gauss y Euler usaban para referirse a «die Zahlen», cuya traducción del alemán es «los números».

Más adelante…

Hasta ahora hemos hablado de las primeras nociones básicas de la teoría de conjuntos. Aún faltan un par de conceptos por ver y estos son la contención y el conjunto potencia. Estos resolverán algunas dudas como ¿Qué relación tienen el conjunto de los Blargs y los Blorgs? a su vez, estos nos ayudarán a axiomatizar la teoría de los conjuntos,que como recordarás, ayudarán a ponernos de acuerdo las reglas de los conjuntos para empezar a sacar resultados de ellos.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Describe por comprensión al conjunto de los Blergs.
  2. Describe al conjunto de los números del 10 al 10,000.
  3. Considera al conjunto $$\{ x \in B : P(x) \land \neg Q(x)\}.$$ Donde $$ P(x) = x \text{ come peces}$$ y $$ Q(x) = x \text{ vive en el mar}.$$ ¿A qué especie de Blorgs pertenece este conjunto?
  4. ¿Qué conjunto genera la proposición $ P (x) := \exists n \in \mathbb{N}\big( x = 2n + 1 \big)$ donde $x$ es un número entero ?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Geometría Moderna I: Cuadrilátero bicéntrico

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

Decimos que un cuadrilátero convexo es bicéntrico si es circunscrito y cíclico al mismo tiempo. Ahora que hemos estudiado a los cuadriláteros cíclicos y cuadriláteros circunscritos por separado, nos podemos preguntar cuando un cuadrilátero cumple con ambas definiciones y que propiedades tiene, en esta entrada abordaremos este tema.

Dos caracterizaciones para el cuadrilátero bicéntrico

Teorema 1. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero circunscrito y sean $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos de tangencia del incírculo a los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $AD$ respectivamente, entonces $\square ABCD$ es bicéntrico si y solo si $EG \perp FH$.

Figura 1

Demostración. $\angle BEF$ y $\angle EFB$ son ángulos semiinscritos que abarcan el mismo arco, $\overset{\LARGE{\frown}}{EF}$, por lo tanto, son iguales $\angle BEF = \angle EFB = \mu$.

De manera análoga tenemos que, $\angle DGH = \angle GHD = \nu$.

Así que en los triángulos $\triangle BEF$ y $\triangle DHG$ se tiene $\pi = \angle B + 2 \mu = \angle D + 2 \nu$ por lo que
$\begin{equation} 2\pi = \angle B + \angle D + 2(\mu + \nu). \end{equation}$

Ahora supongamos que $EG$ y $FH$ son perpendiculares, y sea $P = EG \cap FH$, entonces $\angle HPE =\dfrac{\pi}{2}$, así que en $\triangle HPE$, $\dfrac{\pi}{2} = \angle PEH + \angle EHP$.

Pero $\angle EHF$ y $\angle BEF$ abren el mismo arco, por lo tanto, $\angle EHF = \mu$, de manera similar $\angle GEH = \nu$, por lo tanto $\mu + \nu = \dfrac{\pi}{2}$.

Sustituyendo la ultima igualdad en $(1)$ tenemos
$2\pi = \angle B + \angle D + \pi$
$\Leftrightarrow \angle B + \angle D = \pi$
$\Leftrightarrow \square ABCD$ es cíclico.

La proposición reciproca se muestra tomando en sentido contrario la prueba.

$\blacksquare$

Teorema 2. Sea $\square ABCD$ circunscrito, $I$ su incentro, $K$ y $J$ las intersecciones de los lados $AB$ con $DC$ y $AD$ con $BC$ respectivamente entonces $\square ABCD$ es bicéntrico si y solo si $IK \perp IJ$.

Figura 2

Demostración. Notemos que el incírculo de $\square ABCD$ es al mismo tiempo el excentro de $\triangle AJB$ y $\triangle BKC$ opuesto a los vértices $J$ y $K$ respectivamente.

Esto implica que $IJ$ e $IK$ son las bisectrices internas de $\angle J$ y $\angle K$ respectivamente.

Sean $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos de contacto del incírculo con $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ respectivamente, en la prueba del teorema anterior vimos que $\angle JHF = \angle HFJ$ y $\angle EGK = \angle KEG$.

Por lo tanto, $\triangle JHF$ y $\triangle KEG$ son isósceles.

Entonces las bisectrices de $\angle J$ y $\angle K$ son mediatrices de $FH$ y $EG$ respectivamente.

En consecuencia, $JL \perp FH$ y $KM \perp EG$, donde $L$ y $M$ son los puntos medios de $FH$ y $EG$ respectivamente.

De esto último se sigue que en el cuadrilátero $\square LPMI$, $\angle LIM + \angle MPL =\pi$.

Por lo tanto, $IJ \perp IK \Leftrightarrow FH \perp EG \Leftrightarrow \square ABCD$  es bicéntrico.

La última doble implicación se da por el teorema 1.

$\blacksquare$

Teorema de Fuss

Teorema 3, de Fuss. En un cuadrilátero bicéntrico el circunradio $R$, el inradio $r$ y la distancia $d$ entre el circuncentro y el incentro se relacionan mediante la siguiente expresión:
$\dfrac{1}{(R + d)^2} + \dfrac{1}{(R – d)^2} = \dfrac{1}{r^2}$.

Demostración. Sean $\square ABCD$ bicéntrico, $(O, R)$, $(I, r)$ el circuncírculo y el incírculo respectivamente, $E$ y $F$ los puntos de tangencia de los lados $AB$ y $BC$ respectivamente con $(I, r)$.

Figura 3

Dado que $\square ABCD$  es cíclico, entonces $\angle A + \angle C = \pi$ y como $I$ es la intersección de las bisectrices internas de $\square ABCD$ tenemos lo siguiente:

$\begin{equation} \angle EAI + \angle ICF = \dfrac{\pi}{2}. \end{equation}$

Como $\triangle AEI$ y $\triangle CFI$ son triángulos rectángulos y tienen la misma altura desde $I$.

Al “pegar” los triángulos $\triangle AEI$ y $\triangle CFI$ por la altura formamos un triángulo rectángulo $\triangle ACI$ cuya área es :

$(\triangle ACI) = \dfrac{(AE + FC)r}{2} = \dfrac{AI \times CI}{2}$
$\Leftrightarrow (AE + FC)^2r^2 = AI^2 \times CI^2$.

Figura 4

Podemos calcular $AC$ aplicando el teorema de Pitágoras
$AI^2 + CI^2 = AC^2 = (AE + FC)^2$.

De las últimas dos expresiones obtenemos $(AI^2 + CI^2)r^2 = AI^2 \times CI^2 \Leftrightarrow$
$\begin{equation} \dfrac{1}{AI^2} + \dfrac{1}{CI^2} = \dfrac{1}{r^2}. \end{equation}$

Consideremos $G$ y $H$ los puntos donde $AI$ y $CI$ intersecan a $(O, R)$.

$\angle HAB = \angle HCB = \angle ICF$ pues son subtendidos por el mismo arco.

Por la ecuación $(2)$,
$\angle HAG = \angle HAB + \angle BAG = \angle ICF + \angle EAI = \dfrac{\pi}{2}$,
por lo tanto, $HG$ es diámetro.

Con el teorema de Apolonio calculamos la mediana $IO$ en $\triangle IHG$
$\begin{equation} IH^2 + IG^2 = 2IO^2 + \dfrac{HG^2}{2} = 2d^2 + \dfrac{(2R)^2}{2} = 2(d^2 + R^2). \end{equation}$

Como $\square AHGC$ es cíclico, entonces
$\begin{equation} AI \times GI = HI \times CI = d^2 – R^2. \end{equation}$

Donde la última igualdad se debe a la potencia de $I$ respecto de $(O, R)$.

De $(4)$ y $(5)$ obtenemos

$\dfrac{1}{AI^2} + \dfrac{1}{CI^2} = \dfrac{GI^2}{(R^2 – d^2)^2} + \dfrac{HI^2}{(R^2 – d^2)^2}$
$= \dfrac{GI^2 + HI^2}{(R^2 – d^2)^2} = \dfrac{2(d^2 + R^2)}{(R^2 – d^2)^2} = \dfrac{(R + d)^2 + (R – d)^2}{(R^2 – d^2)^2}$
$\begin{equation} = \dfrac{1}{(R + d)^2} + \dfrac{1}{(R – d)^2}. \end{equation}$

De $(3)$ y $(6)$ obtenemos la relación buscada
$\dfrac{1}{r^2} = \dfrac{1}{(R + d)^2} + \dfrac{1}{(R – d)^2}$.

$\blacksquare$

Puntos colineales en el cuadrilátero bicéntrico

Teorema 4. En un cuadrilátero bicéntrico el incentro, el circuncentro y la intersección de las diagonales son colineales.

Demostración. Sean $\square ABCD$ bicéntrico, $I$, $O$, su incentro y circuncentro respectivamente y consideremos $E$, $F$, $G$ y $H$ las intersecciones de $AI$, $BI$, $CI$ y $DI$ con $(O, R)$, el circuncírculo de $\square ABCD$, respectivamente.

Figura 5

En $\triangle GDB$ la mediatriz de $BD$ pasa por $N$ el punto medio de $BD$ y $O$, y la mediana por $G$ pasa por $G$ y $N$.

Como $CG$ es bisectriz de $\angle DCB$, entonces $\angle DBG = \angle DCG = \angle GCB = \angle GDB$, por tanto, $\triangle GBD$ es isósceles y así la mediatriz de $BD$ y la mediana por $G$ coinciden, por lo que $G$, $N$ y $O$ son colineales, al mismo tiempo que esta recta es diámetro pues pasa por $O$.

En la prueba del teorema de Fuss vimos que $GE$ es diámetro por lo tanto $G$, $N$, $O$ y $E$ son colineales además $\angle ONP = \dfrac{\pi}{2}$ donde $P$ es la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$.

De manera análoga $F$, $M$, $O$ y $H$ son colineales donde $M$ es el punto medio de $AC$ y $\angle PMO = \dfrac{\pi}{2}$.

Se sigue que $\square PNOM$ es cíclico, por lo tanto
$\begin{equation} \angle MNP = \angle MOP. \end{equation}$

Por otro lado, como $\square DBHF$ es cíclico e $I$ es la intersección de las diagonales, por construcción, se sigue que $\triangle IBD \sim \triangle IHF$, son semejantes.

$\Rightarrow \dfrac{IB}{IH} = \dfrac{BD}{FH} = \dfrac{\dfrac{1}{2}BD}{\dfrac{1}{2}FH} = \dfrac{BN}{OH}$ y como $\angle IBN = \angle OHI$, por criterio de semejanza LAL, $\triangle IBN \sim \triangle IHO$.

Por lo tanto, $\angle BNI = \angle IOH$ y así
$\begin{equation}  \angle INP = \angle MOI. \end{equation}$

Por el teorema de Newton, sabemos que $N$, $I$ y $M$ son colineales, además $I$ se encuentra entre $N$ y $M$.

Por las ecuaciones $(7)$ y $(8)$ tenemos
$\angle MOI =  \angle INP = \angle MNP = \angle MOP$.

Es decir, el ángulo que forman las rectas $IO$ y $MO$ es el mismo ángulo que forman las rectas $PO$ y $MO$, por lo tanto $IO$ y $PO$ son la misma recta, y así los puntos $I$, $O$ y $P$ son colineales.

$\blacksquare$

Acotando el área del cuadrilátero bicéntrico

Teorema 5. El área de un cuadrilátero bicéntrico $\square ABCD$ con inradio $r$ y circunradio $R$ cumple la siguiente desigualdad:
$4r^2 \leq (\square ABCD) \leq 2R^2$.

Demostración. Primero veamos que $4r^2 \leq (\square ABCD)$, sean $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos de tangencia del incírculo con los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $AD$ respectivamente.

Figura 6

Como las tangentes desde un punto a una circunferencia son iguales tenemos
$AE = AH = x$, $BE = BF = y$, $CF = CG = z$ y $DG = DH = w$.

En la demostración del teorema de Fuss vimos que $\angle IAH + \angle GCI = \dfrac{\pi}{2}$ de esto se sigue que $\triangle IHA$ y $\triangle CGI$ son semejantes
$\Rightarrow \dfrac{r}{z} = \dfrac{x}{r} \Leftrightarrow r^2 = xz$.

De manera análoga vemos que $r^2 = yw$.

Aplicando la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica obtenemos

$(\square ABCD) = 2((\triangle IAE) + (\triangle IBF) + (\triangle ICG) + (\triangle IDH))$
$= r(x + y + z + w)$
$ = 2r (\dfrac{x + z}{2} + \dfrac{y + w}{2}) \geq 2r(\sqrt{xz} + \sqrt{yw})$
$ = (2r)(2r) = 4r^2$.

Donde la igualdad se da si y solo si $x = y = z = w = r$, si esto es así entonces $\triangle ADC$ es isósceles, entonces, $\angle IAH = \angle GCI = \dfrac{\pi}{4}$.

Por lo tanto, $\angle A= \angle C = \dfrac{\pi}{2}$.

Del mismo modo vemos que $\angle B = \angle C = \dfrac{\pi}{2}$, y así, $\square ABCD$ es un cuadrado.

$\blacksquare$

Ahora veamos que $(\square ABCD) \leq 2R^2$, tracemos la diagonal $BD$ y sean $E$ y $F$ los pies de las perpendiculares a $BD$ trazadas desde $A$ y $C$ respectivamente y $P$ la intersección de las diagonales.

Figura 7

Por el teorema de Pitágoras, $AE \leq AP$ y $CF \leq CP \Rightarrow AE + CF \leq AC$
y se tiene la igualdad si y solo si las diagonales son perpendiculares.

Luego,
$(\square ABCD) = (\triangle ABD) + (\triangle CBD) $
$= \dfrac{BD}{2}(AE + CF) \leq \dfrac{AC \times BD}{2}$.

Como $\square ABCD$  es cíclico entonces cada diagonal es menor o igual que el diámetro $2R$ del circuncírculo.

Por lo tanto $(\square ABCD) \leq 2R^2$, donde la igualdad se da si y solo si las diagonales son perpendiculares y son diámetros del circuncírculo, es decir, $\square ABCD$  es un cuadrado.

$\blacksquare$

Más adelante…

En la siguiente entrada veremos una generalización del teorema de Ptolomeo, el teorema de Casey.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Muestra que para un cuadrilátero bicéntrico $\square ABCD$ de lados $a$, $b$, $c$ y $d$, diagonales $p$ y $q$, inradio $r$ y circunradio $R$ se tiene:
    $i)$ $(\square ABCD) = \sqrt{abcd}$,
    $ii)$ $8pq \leq (a + b + c + d)^2$,
    $iii)$ $\sqrt{2}r \leq R$.
  2.  Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero circunscrito y sean $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos de tangencia del incírculo a los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $AD$ respectivamente, considera los puntos medios $I$, $J$, $K$ y $L$ de los segmentos $HE$, $EF$, $FG$ y $GH$ respectivamente muestra que $\square ABCD$ es cíclico si y solo si $\square IJKL$ es un rectángulo.
Figura 8
  1. Sea $\square ABCD$ bicéntrico, $(I, r)$ el incírculo y $P$ la intersección de las diagonales, muestra que:
    $i)$ $\dfrac{1}{AI^2} + \dfrac{1}{CI^2} = \dfrac{1}{BI^2} + \dfrac{1}{DI^2} = \dfrac{1}{r^2}$,
    $ii)$ $\dfrac{AP}{CP} = \dfrac{AI^2}{CI^2}$ , $Wikipedia\dfrac{BP}{DP} = \dfrac{BI^2}{DI^2}$.
  2. Construye un cuadrilátero bicéntrico.

Entradas relacionadas

Fuentes

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Concepto de función

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

En la unidad anterior desarrollamos todo lo concerniente a los números reales, ahora comenzaremos a ver funciones. Para ello recordemos de nuestros cursos de álgebra cómo se define el producto cartesiano de un par de conjuntos $A$ y $B$:
$$ A\times B := \left\{ (a,b) : a \in A, b \in B \right\},$$
así vemos que sus elementos son pares ordenados.

Por lo que decimos que cualquier subconjunto $R \subseteq A\times B$, es llamado una relación entre $A$ y $B$.

Basándonos en este par de conceptos daremos la definición formal de función entre un par de conjuntos.

Definición de función

Definición (función): Una función $f$ entre los conjuntos $A$ y $B$ es una relación tal que:

  • Para todo $a \in A$ existe $b \in B$ donde $(a,b) \in f$.
  • Si $(a, b_{1}), (a, b_{2})$ entonces $b_{1}= b_{2}$.

Notación:

  • $f : A \rightarrow B$ es una función con dominio $A$ y codominio $B$.
  • $f(a)=b$ es llamada la regla de correspondencia de f.

En resumen, a una función $f : A \rightarrow B$ la conforman tres cosas:

  • Su dominio.
  • Su codominio.
  • Su regla de correspondencia.

El conjunto imagen de una función

Definición (Conjunto imagen): Sea $f : A \rightarrow B$ una función. La imagen de f se define como:
$$Im_{f}:= \left\{ b \in B : \exists a \in A (f(a) =b) \right\}.$$
Simplificado sería:
$$Im_{f}:= \left\{ f(a) \in B : a \in A \right\}.$$

Ejemplo: Sea $f: \r \rightarrow \r$. Si $f(x)=|x|$ entonces $Im_{f}=[0, \infty)$.

Demostración:
$\subseteq )$ Sea $x \in \r$. Vemos que $f(x)= |x|\geq 0$ por lo que $f(x) \in [0, \infty)$.

$\supseteq )$ Tomemos $y \in [0, \infty)$. Debemos probar que existe $x \in \r$ tal que $f(x)= y$.
Sea $x=y \in \r$ con $y \geq 0$. Así se sigue que $f(y)= |y|=y$ por lo que $f(y)=x$.

$\square$

Ejemplo

Encuentra el dominio y la imagen de la siguiente función:
$$f(x)= \sqrt{1-x^{2}}\quad \text{.}$$

Dominio:
Vemos que $y=\sqrt{1-x^{2}}$ está bien definido
\begin{align*}
&\Leftrightarrow 1-x^{2} \geq 0\\
&\Leftrightarrow 1 \geq x^{2}\\
&\Leftrightarrow 1 \geq |x|\\
\end{align*}
Así concluimos que el dominio es el conjunto:
$$D_{f}= [-1,1]\quad \text{.}$$
Imagen:
Como $x \in [-1,1]$ entonces
\begin{align*}
-1 \leq x \leq 1 &\Leftrightarrow 0 \leq x^{2} \leq 1\\
&\Leftrightarrow 0 \geq -x^{2} \geq -1\\
&\Leftrightarrow 1\geq 1-x^{2} \geq 1-1\\
&\Leftrightarrow 1\geq 1-x^{2} \geq 0\\
&\Leftrightarrow 1\geq \sqrt{1-x^{2}} \geq 0\\
\end{align*}

Por lo anterior tenemos:
$$Im_{f} = [0,1]\quad \text{.}$$

Ejercicio 1

Encuentra el dominio de la siguiente función:
\begin{equation*} f(x)= \frac{1}{4-x^{2}} \end{equation*}

Vemos que la función está bien definido si y sólo si:
\begin{align*}
4-x^{2} \neq 0 &\Leftrightarrow (2-x)(2+x) \neq 0\\
&\Leftrightarrow x \neq 2 \quad \text{y} \quad x\neq -2
\end{align*}
Por lo que su dominio sería:
$$D_{f}= \r – \left\{-2,2 \right\}\quad \text{.}$$
es decir, todos los reales quitando el $-2$ y el $2$.

Ejercicio 2

Encuentra el dominio de la siguiente función:
$$f(x)= \sqrt{x-x^{3}}\quad \text{.}$$

Dominio:
Vemos ahora que para $y=\sqrt{x-x^{3}}$ está bien definido
\begin{align*}
&\Leftrightarrow x-x^{3} \geq 0\\
&\Leftrightarrow x(1-x^{2}) \geq 0\\
&\Leftrightarrow x(1-x)(1+x) \geq 0\\
&\Leftrightarrow x \geq 0,\quad x\leq 1, \quad x \geq -1
\end{align*}

De las condiciones anteriores vemos que tenemos los siguientes posibles intervalos que cumplen la desigualdad inicial:

  • $(-\infty, -1]$
    Vemos que al sustituir $x= -1 \in (-\infty,-1]$ tenemos que:
    $$-1-(-1)^{3} = -1-(-1)= 0 \geq 0$$
    por lo que se cumple la desigualdad $x-x^{3} \geq 0$.
  • $(-1,0)$
    Tomando $x=-\frac{1}{2}$ vemos que:
    $$-\frac{1}{2} -\left(-\frac{1}{2} \right) ^{3} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{8} = -\frac{3}{8}$$
    Por lo que no se cumple ser mayor o igual que cero.
  • $[1,0]$
    Ahora si tomamos $x=1$ observamos:
    $$1- 1^{3} =1-1 =0$$
    por lo que cumple la desigualdad.
  • $(1,\infty)$
    Por último si consideramos $x= 2$ ocurre que:
    $$2- (2)^{3} =2-8 =-6$$
    que no cumple la desigualdad.

Del análisis anterior vemos que los intervalos que cumplen con $x-x^{3} \geq 0$ son:
$$(-\infty, -1] \cup [1,0]\quad \text{.}$$
Por lo que el dominio de la función sería:
$$D_{f}=(-\infty, -1] \cup [1,0]\quad \text{.}$$

Gráfica de una función

Definición (gráfica): Sea $f:D_{f} \subseteq \r \rightarrow \r$ Definimos a la gráfica de f como el conjunto:
$$ Graf(f)= \left\{ (x,y)\in {\mathbb{R}}^2: x \in D_{f}, \quad y=f(x) \right\},$$
que es equivalente a decir:
$$Graf(f)= \left\{(x, f(x)): x \in D_{f} \right\}\quad \text{.}$$

Ejemplos

  • Para la función constante tenemos:
    $$f(x)=c ,$$
    donde $D_{f}= \r$ y $Im_{f}= {c}$.

    Por lo que su gráfica se vería como:
  • Para la función identidad tenemos:
    $$Id(x)=x ,$$
    donde $D_{f}= \r$ y $Im_{f}= \r$.

    Así su gráfica se vería:

Más adelante

En la próxima entrada veremos las definiciones relacionadas con las operaciones entre funciones: suma, producto, cociente y composición.

Tarea moral

A continuación encontrarás una serie de ejercicios que te ayudarán a repasar los conceptos antes vistos:

  • Sea $f: \r \rightarrow \r$. Demuestra que si $f(x)=x^{2}$ entonces $Im_{f}=[0, \infty).$
  • Encuentra el dominio de las siguientes funciones:
    • $\begin{multline*} f(x)= \sqrt{x+1} \end{multline*}$
    • $\begin{multline*} f(x)= x \sqrt{x^{2}-2} \end{multline*}$
    • $\begin{multline*} f(x)= \sqrt{-x}+ \frac{1}{\sqrt{x+2}} \end{multline*}$
    • $\begin{multline*} f(x)= \sqrt{2+x-x^{2}} \end{multline*}$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Probabilidad I-Videos: Distribución hipergeométrica

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

La distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta que nos proporciona una fórmula análoga a la de la distribución binomial, válida para el muestreo sin remplazo, en cuyo caso los ensayos no son independientes.

Distribución hipergeométrica

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Demuestra que la función de probabilidad de la distribución hipergeométrica cumple las condiciones de una función de probabilidad.
  • Sea $X$ es una variable aleatoria tal que $X∼ hipergeométrica(N,k,n)$. Verifica que si $n=1$, la variable $X∼ Bernoulli\left(\frac{K}{N}\right)$.
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X∼ hipergeométrica(N,k,n)$. Demuestra que $f_X\left(x+1\right)=\frac{\left(k-x\right)\left(n-x\right)}{\left(x+1\right)\left(N-k-n+x-1\right)}f\left(x\right)$ para $x=0, 1, 2, …, n$.
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X∼ hipergeométrica(N,k,n)$. Demuestra que la función de probabilidad de $X$, converge a la función de probabilidad $binomial(n,p)$, cuando $N\rightarrow\infty$ y $k\rightarrow\infty$ de tal manera que $\frac{k}{N}\rightarrow p$.
  • Supongamos que una caja contiene 19 fresas, 3 de las cuales son de plástico y en consecuencia no se pueden comer. ¿Cuál es el número mínimo de fresas que deben ser seleccionadas, si requerimos que $P(al\ menos\ 1\ sea\ de\ plástico) ≥ .79$?

Más adelante…

La distribución hipergeométrica describe la probabilidad de éxito si se extrae, sin reemplazo una serie de objetos de una población que contiene algunos objetos que representan el «fracaso» mientras que otros representan el «éxito». Es común encontrar esta distribución en el control de calidad.

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Probabilidad I-Videos: Distribución binomial negativa

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

Toca el turno de estudiar la distribución binomial negativa, otra distribución discreta que se origina de un contexto semejante al que da la distribución geométrica. Esta distribución, se aplica a la variable aleatoria X que determina el número del ensayo en el que ocurre el k–ésimo éxito (k= 2, 3, 4, etc.).

Distribución binomial negativa

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Demuestre que la función de probabilidad de la distribución binomial negativa efectivamente es una función de probabilidad.
  • Sea $X$ una variable aleatoria, tal que $X\sim binomial\ negativa\left ( k,p\right ) $.Determina una relación repetitiva entre probabilidades binomiales negativas sucesivas.
  • Supongamos, se realizan ensayos Bernoulli independientes tal que, $P(E) = p$. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente $x$ intentos ocurran antes que se presente el $k– ésimo$ éxito?
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim binomial\ negativa(k,p)$ y sea $Y = X – k$. La variable aleatoria $Y$, se puede interpretar como el número de fracasos antes del $k-ésimo$ éxito. Demuestra que $P(Y= y)=\begin{cases} {y+r-1 \choose r-1}p^kq^y & \mbox{para y=0,1,2,…} \\ 0 & \mbox{en otro caso} \end{cases}$.
  • Supongamos, se realizan ensayos Bernoulli independientes tal que, $P(E) = p$. Si $X\sim binomial\ negativa(k,p)$ y observamos el $k-ésimo$ éxito en el intento $y_0$. Encuentra el valor de $p$ que maximice $P(Y = y_0)$.

Más adelante…

La distribución binomial negativa es una generalización de la distribución geométrica, pues esta última se obtiene haciendo coincidir el parámetro k con 1. Esta distribución se ha aplicado en campos como la estadística, las ciencias biológicas, la ecología, también se ha utilizado en estudios de mercado, en la psicología y en investigaciones médicas.

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