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Álgebra Superior I: Axiomas de los conjuntos.

Introducción

Hasta ahora, hemos introducido intuitivamente la idea de qué es un conjunto, cómo describirlos y qué representan. En esta entrada vamos a hablar de tres temas importantes para trabajar con más ideas de los conjuntos: contención, subconjuntos y conjunto potencia.

Las primeras dos van de la mano, y serán una forma de definir subcolecciones dentro de una colección (a la que ahora llamamos conjunto) y nos permitirán manejar con mayor facilidad conceptos que veremos más adelante sobre las operaciones entre conjuntos.

Mientras tanto, el conjunto potencia nos hablará de la forma de combinar elementos dentro de un mismo conjunto, que es un concepto que tiene propiedades muy interesantes.

Estos tres conceptos serán fundamentales para axiomatizar la teoría de los conjuntos.

Axiomatizando los conjuntos

En la entrada pasada, dimos una peequeña introducción a la teoría de conjuntos. Hablamos de su idea intuitiva y algunos ejemplos de su uso en otras materias. Ahora nos toca entrar un poco más en fondo a sus reglas, esto es, sus axiomas.

Para poder hablar de los conjuntos, su idea y la forma en que se manejan, vamos a establecer algunos axiomas que describirán la teoría de conjuntos. Todo objeto matemático que sigan el sistema axiomático, serán conjuntos. Para ello, primero es fundamental declarar que existen los conjuntos, de otra forma no estaríamos trabajando con nada:

Axioma 1. Existe al menos un conjunto.

Este axioma nos permitirá trabajar con conjuntos, pues nos asegurará que al menos existe un conjunto $V$ con el que podremos trabajar los siguientes axiomas. Sin este axioma, no podríamos seguir trabajando la teoría, pues no tendríamos con qué trabajar.

Los siguientes axiomas serán los que nos darán la intuición de qué se puede y no puede hacer con un conjunto.

Axioma 2. Si X es un conjunto y $P(x)$ es una proposición que depende de elementos $x \in X$, entonces:

$$\{x \in X : P(x) \text{ se cumple}\} $$

también es un conjunto.

En la entrada pasada, dimos una idea intuitiva de este axioma, que nos dice que si tenemos un conjunto $X$ y cualquier proposición $P(x)$ de elementos de $X$ entonces podemos construir nuevos conjuntos a partir de los elementos de $X$ que cumplen cierta propiedad. Por ejemplo, piensa que $X$ es el conjunto de todos los zapatos, entonces un conjunto nuevo puede formarse a partir de la proposición $P(x): $»$x$ es amarillo», entonces el nuevo conjunto $\{ x \in X : P(x) $ se cumple $\}$ es el conjunto de los zapatos amarillos. Otro ejemplo de esto, sería el conjunto de los números pares que podemos definir a partir de los números enteros $\mathbb{Z} = \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}$. Los número pares se pueden definir como: $2\mathbb{Z} = \{x \in \mathbb{Z} : x = 2n, n \in \mathbb{Z} \}$ es decir, es el conjunto creado por los número enteros multiplicados por dos.

Creando el conjunto vacío.

Antes de seguir con los demás axiomas, vamos a mostrar una consecuencia de los dos primeros axiomas. Observa que por el primer axioma, existe al menos un conjunto al que llamaremos $X$. Y el segundo axioma nos dice que con cualquier conjunto, se puede obtener un conjunto a partir de aquellos elementos que cumplan alguna proposición que depende de elementos de $X$, entonces consideremos la siguiente propocisión:

$$P(x) : x \neq x $$

Esta proposición nos dice que un objeto $x$ no es igual a sí mismo, lo cual es imposible, ninguna cosa u objeto matemático va a cumplir esta proposición. Es decir:

$$\forall x (\neg P(x)) $$

se cumple. ¿Entonces qué conjunto será el conjunto: $\{x \in X : P(x)\} = \{x \in X : x \neq x\} $?

Pues es un conjunto que no tiene a ningún elemento, pues ningún elemento $x$ de $X$ puede cumplir esa definición. Esto no representa ninguna contradicción a algún axioma, lo que nos dice es que existe un conjunto que no tiene a ningún elemento. A este conjunto lo conocemos como conjunto vacío y lo representamos como $\emptyset$. A veces también lo encontrarás como unas llaves sin nada adentro, es decir $\{\}$.

Una vez dicho esto, vamos construyendo poco a poco más resultados, sigamos con los siguientes axiomas:

Axioma 3. Si $X$ y $Y$ son conjuntos, entonces $\{X,Y\}$ es un conjunto.

Esto nos permite «poner» conjuntos, dentro de un conjunto. Es decir, podemos hacer dos conjuntos en los que cada elemento sea un conjunto. Por ejemplo, considera $X = $ el conjunto de zapatos amarillos y $Y = $ el conjunto de los Blergs. Entonces existe el conjunto $Z=\{X,Y\}$ un conjunto que solo tiene dos elementos: el conjunto de los zapatos amarillos y el conjunto de los Blergs. OJO: un zapato amarillo NO pertenece al conjunto $Z$, lo que sí pertenece al conjunto es el conjunto de todos los zapatos amarillos. Es decir, si $x$ es un zapato amarillo, entonces $x \in X$ pero no sucede que $x \in Z$. Lo que sí sucede es $X \in Z$.

De este axioma, podemos deducir la siguiente proposición:

Proposición: Si $X$ es un conjunto entonces $\{X\}$ tambien es un conjunto.

Demostración. Sea $X$ un conjunto. No hay nada en la definición del axioma 3 que impida que $X=Y$, entonces lo que nos dice el axioma es que si tenemos dos conjuntos $X,Y$ donde $X=Y$ entonces el conjunto $W=\{X,Y\}$ es un conjunto, y podemos reescribir este como $\{X,X\}$. Ahora, recuerda que hemos dicho con anterioridad que realmente al describir a un conjunto, solo nos interesan los elementos distintos que lo conforman, es decir, está de más repetir dos veces $X$ dentro de los corchetes que representan los elementos del conjunto $W$, entonces $W=\{X\}$ es un conjunto.

$\square$

Axioma 4. Si $X$ y $Y$ son dos conjuntos, diremos que $X=Y$ (el conjunto $X$ es igual al conjunto $Y$) si tienen exactamente los mismos elementos. Esto se puede describir usando lógica proposicional de la siguiente manera:

$$\big( X=Y\big) \Leftrightarrow \forall x\big(x \in X \Leftrightarrow x \in Y \big)$$

Axioma 5. Si $X$ es un conjunto, entonces el conjunto de los elementos que pertenecen a por lo menos un elemento de $X$ forman un conjunto (unión).

Vamos a leer con más calma el axioma. Primero tenemos un conjunto $X$, digamos el conjunto de todos los grupos dentro de una universidad. Entonces un alumno de esa universidad pertenece al menos a algún grupo. De esta manera, el conjunto de todos los alumnos de la universidad, forma un conjunto. Veamos esto con notación matemática:

Sea $U$ los grupos de la universidad: $\{G_1,G_2,G_3\}$, es decir, cada elemento cada grupo está formado de estudiantes, es decir cada alumno es elemento de un grupo, digamos

$$G_1 = \{A_1,A_2,A_3\}$$

$$G_2 = \{B_1,B_2,B_3\}$$

$$G_3 = \{C_1,C_2,C_3\}$$

Entonces el axioma nos dice que el conjunto de todos los elementos (alumnos) que pertenecen al menos a un elemento de $X$ (grupos del conjunto $U$), forma otro conjunto. En nuestro caso, sería el conjunto de todos los alumnos: $\{A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3,C_1,C_2,C_3\}$.

Quizá esta idea de «los elementos de un conjunto a su vez también tienen elementos» puede ser un poco difícil de entender y quizá hasta un poco filosófica: ¿Hasta qué punto podríamos usar el raciocinio para extraer las partes que componen a un todo? Es decir: Si consideramos el conjunto de todos los zapatos: ¿Qué significa ahora que haya un elemento que pertenezca a un zapato? las respuestas pueden ser variadas, y puede que incluso se te ocurran unas distintas a otra persona que lea esto, así que velo de la siguiente forma: si tenemos la capacidad de hacer una intuición de separar un elemento de algún conjunto en sus partes, entonces podemos hacer otro conjunto con esas partes. Conforme vayas avanzando en tu carrera matemática, vas a poder ir aclarando muchas de estas ideas, volveremos a este axioma más adelante.

Para el siguiente axioma, primero introduciremos algunos conceptos:

Contención entre conjuntos

Recuerda que los conjuntos los pensamos como «colecciones de algo», pueden ser conjuntos de zapatos, conuntos de autos o conjuntos de animales, por mencionar algunos. Para introducir el axioma que sigue, primero hablaremos de la contención y para explicarlo, veamos el conjunto de unas criaturas a las que les llamamos Blorgs y nos ayudaron en la entrada anterior. Lo que tienes que saber de ellos, es que se dividen en Blargs, Blergs y Blurgs según su color (amarillo,rojo y azul respectivamente), como lo puedes ver en la siguiente imagen:

Ahora, llamemos a los 3 Blargs: «blargmino», «blargastacia» y «blargencio», de manera que el conjunto de los Blargs es:

$$\text{Blargs} = \{ \text{ blargmino, blargastacia , blargencio }\}$$.

Ahora, nota que decimos que «blargmino pertenece al conjunto de los Blorgs», pero a su vez también pertenece al conjunto de los Blargs, entonces también podríamos decir blargmino pertenece al conjunto de los Blorgs». ¿Notas que no necesitamos rigor al decir qué es y qué no es un conjunto? Con el simple hecho de poder abstraer sus partes o elementos, es suficiente. Pero ahora surge una pregunta natural: ¿Existe alguna relación entre el conjunto de los $B_a$ Blargs y el conjunto $B_o$ de todos los Blorgs? En cuyo caso, nota que:

$$\forall x(x \in B_a \Rightarrow x \in B_o) $$

Es decir, todo blarg es un blorg. Diremos entonces que los Blargs con un subconjunto de los Blorgs. Ya que todo elemento de $B_a$ está en $B_o$.

Definición. Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Diremos que $A$ es un subconjunto de $B$ o que $A$ está contenido en $B$ si:

$$\forall x(x \in A \Rightarrow x \in B). $$

Y lo escribiremos como $A \subset B$

Ahora, nota que cualquier conjunto contiene al conjunto vacío.

Proposición. Sea $X$ un conjunto, entonces $\emptyset \subset X$.

Demostración. Vamos a demostrar esto por contradicción, suponiendo que $\emptyset \not \subset X$, es decir supongamos que $\neg \big( \forall x(x \in \emptyset \Rightarrow x \in X) \big) = \exists x(x \in \emptyset \land x \not \in X) $. Entonces bajo nuestra suposición, existe un elemento $x$ en $\emptyset$ pero $x \not \in X$. ¿Puedes ver porqué esto es una contraidcción? Pues estamos suponiendo que existe un elemento en $\emptyset$, pero por la forma en que definimos al conjunto vacío, esto significaría que existe un elemento $x$ que cumple que $x \neq x$, lo cual es imposible. ¿Cuál fue nuestro error? Pues suponer que no se cumplía $\emptyset \subset X$. Por lo tanto, $\emptyset \subset X$

$\square$

Axioma 6. Si $X$ es un conjunto, entonces existe un conjunto conformado por todos los subconjuntos de $X$. Nos referiremos a este conjunto como el conjunto potencia y lo denotaremos por $\mathcal P (X)$.

Nota que nuestra definición de un subconjunto $Y$ de $X$ nos pide que todo elemento de $Y$ esté en $X$, así que el conjunto potencia será aquel conjunto en el que cada elemento será un conjunto que es subconjunto de nuestro conjunto original. Pongamos un ejemplo para que lo veas mejor:

Ejemplo. Considera al conjunto $X = \{1,2,3\}$ el conjunto con los números enteros del $1$ al $3$, entonces el conjunto potencia está dado por todos sus subconjuntos: $\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}$ es decir, el conjunto potencia de $X$ es: $$\mathcal P(X) =\{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}, X\} $$

Con estos seis axiomas serán con los que trabajaremos, en resumen, los axiomas son los siguientes:

Axioma 1Existe un conjunto.
Axioma 2Podemos hacer conjuntos a partir de proposiciones que cumplen o no cumplen elementos de algún conjunto.
Axioma 3Si $X$ y $Y$ son conjuntos, entonces $\{X,Y\}$ es un conjunto.
Axioma 4Dos conjuntos son iguales si todos sus elementos son iguales.
Axioma 5Existe un conjunto que tiene como elementos a todos los elementos que pertenecen a algún elemento de $X$.
Axioma 6Para cada conjunto $X$, existe su conjunto potencia $\mathcal P (X)$ cuyos elementos son los subconjuntos de $X$.

Tarea moral

  1. Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
    • $X=Y$
    • $ \forall x (x \in X \Leftrightarrow x \in Y)$
    • $(X \subset Y) \land (Y \subset X) $
  2. ¿Es cierto que el conjunto vacío es único?
  3. ¿Cuál es el conjunto potencia de $\{1,2,3,4\}$?
  4. Demuestra que $X=Y$ si y solo si $\mathcal P(X) = \mathcal P(Y)$.

Más adelante…

Ahora que ya hemos establecido als reglas que seguiran los conjuntos, es hora de hablar sobre algunas operaciones dentro de esta teoría. Sobre todo hablaremos de Intersecciones, Uniones y Complementos de conjuntos.

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