Geometría Moderna I: Cuadrilátero circunscrito

Introducción

Decimos que un cuadrilátero convexo es circunscrito si sus lados son tangentes a una misma circunferencia dentro del cuadrilátero. Nos referimos a dicha circunferencia como el incírculo y a su radio como el inradio del cuadrilátero.

Sabemos que los lados de un triángulo siempre son tangentes a una misma circunferencia, el incírculo del triángulo, cuyo centro es el punto donde concurren las bisectrices internas, en esta entrada estudiaremos cuando un cuadrilátero es circunscrito y algunas propiedades.

Primera caracterización para el cuadrilátero circunscrito

Teorema 1. Un cuadrilátero es circunscrito si y solo si la suma de dos lados opuestos es igual a la suma de los otros dos lados opuestos.

Demostración. Sean $A B C D$ un cuadrilátero circunscrito, $E$ , $F$ , $G$ y $H$ los puntos de tangencia de la circunferencia a los lados $A B$ , $B C$ , $C D$ y $A D$ respectivamente y consideremos $I$ el incentro de $A B C D$ .

Recordemos que las tangentes a una circunferencia desde un punto externo a esta son iguales, por lo tanto, $A H = A E = x$ , $B E = B F = y$ , $C F = C G = z$ , $D G = D H = w$ .

Entonces $A B + C D = (x + y) + (z + w) = (x + w) + (y + z) = A D + B C$ .

Ahora supongamos que en $A B C D$ se tiene que $A B + C D = A D + B C$ y que tiene un par de lados adyacentes que no son iguales.

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $A B > B C$ entonces,
$\begin{matrix} (1) & A D - C D = A B - B C > 0. \end{matrix}$ .

Sean $E \in A B$ y $F \in A D$ tales que $E B = B C$ y $F D = C D$ entonces por la ecuación $(1)$ $A E = A F$ y así $△ A E F$ , $△ B C E$ y $△ D F C$ son isósceles.

Por lo tanto, las bisectrices internas de los ángulos $∠ E A F$ , $∠ C B E$ y $∠ A D C$ , son las mediatrices de $△ E F C$ , por lo tanto, concurren en un punto $I$ .

Como $I$ está en las bisectrices internas de los ángulos $∠ A E F$ , $∠ B C E$ y $∠ D F C$ , entonces, equidista a cado uno de los lados que forman dichos ángulos y de esta forma $I$ es el centro de una circunferencia tangente a los lados de $A B C D$ .

La otra posibilidad es que todos los lados del cuadrilátero sean iguales es decir el cuadrilátero sea un rombo, este caso se queda como ejercicio.

Teorema de Newton

Teorema 2, de Leon Anne. Sea $A B C D$ un cuadrilátero que no es un paralelogramo, el lugar geométrico de los puntos $P$ en el interior de $A B C D$ tal que $(△ A P B) + (△ C P D) = (△ B P C) + (A P D)$ , es la recta de Newton de $A B C D$ .

Demostración. Sean $P$ un punto en el interior de $A B C D$ tal que $(△ A P B) + (△ C P D) = (△ B P C) + (A P D)$ y $F$ el punto medio de $B D$ .

Podemos ver el área de los triángulos considerados como suma y diferencia de otras áreas:

$(△ A P B) = (△ A F B) + (△ B F P) - (△ A F P)$ ,
$(△ C P D) = (△ C F D) + (△ C F P) - (△ D F P)$ ,
$(△ A P D) = (△ A F D) + (△ A F P) + (△ D F P)$ ,
$(△ B P C) = (△ B F C) - (△ B F P) - (△ C F P)$ .

Entonces, por hipótesis:
$(△ A F B) + (△ B F P) - (△ A F P) + (△ C F D) + (△ C F P) - (△ D F P)$
$= (△ A F D) + (△ A F P) + (△ D F P) + (△ B F C) - (△ B F P) - (△ C F P)$ .

$\Leftrightarrow$
$(△ A F B) + 2 (△ B F P) + (△ C F D) + 2 (△ C F P)$
$\begin{matrix} (2) & = (△ A F D) + 2 (△ A F P) + 2 (△ D F P) + (△ B F C) . \end{matrix}$

Notemos que como $B$ , $F$ y $D$ son colineales entonces $△ A F B$ y $△ A F D$ tienen la misma altura desde $A$ , y ya que $F B = F D$ entonces $(△ A F B) = (△ A F D)$ .

Igualmente podemos ver que
$(△ B F P) = (△ D F P)$ y $(△ C F D) = (△ B F C)$ .

De la ecuación $(2)$ se sigue que $(△ C F P) = (△ A F P)$ .

Como ambos triángulos tienen la misma base entonces las alturas trazadas desde $A$ y $C$ a la recta $F P$ son la mismas, digamos $A G = C H$ .

Consideremos $E$ la intersección de $A C$ con $F P$ , entonces $△ A E G$ y $△ C E H$ son congruentes, por criterio ángulo, lado, ángulo.

Por lo tanto $E$ es el punto medio de $A C$ y así $P$ está en la recta de Newton de $A B C D$ .

La implicación reciproca se puede ver tomando en sentido contrario los argumentos anteriores.

Teorema 3. De Newton. Si un cuadrilátero es circunscrito entonces su incentro esta en la recta de Newton del cuadrilátero.

Demostración. Sean $A B C D$ un cuadrilátero circunscrito $I$ y $r$ el centro y el radio de su incírculo respectivamente, entonces por el teorema 1 sabemos que:
$A B + C D = A D + B C$
$\Rightarrow \frac{r}{2} (A B + C D) = \frac{r}{2} (A D + B C)$
$\Rightarrow (△ A I B) + (△ C I D) = (△ A I D) + (△ B I C)$ .

Por lo tanto, $I$ se encuentra en la recta de Newton de $A B C D$ .

Rectas concurrentes en el cuadrilátero circunscrito

Teorema 4. Sea $A B C D$ un cuadrilátero circunscrito y sean $E$ , $F$ , $G$ y $H$ los puntos de tangencia del circuncírculo con los lados $A B$ , $B C$ , $C D$ y $A D$ respectivamente, entonces,
$i)$ las cuerdas $E G$ , $F H$ y las diagonales $A C$ , $B D$ son concurrentes
$i i)$ si $P$ es el punto de concurrencia, entonces,
$\frac{A P}{C P} = \frac{x}{z}$ y $\frac{B P}{D P} = \frac{y}{w}$ .

Donde $A H = A E = x$ , $B E = B F = y$ , $C F = C G = z$ , $D G = D H = w$ .

Demostración. Sean $I$ el incentro de $A B C D$ y $P = A C \cap E G$ .

Como $A B$ y $C D$ son tangentes al circuncírculo en $E$ y $G$ respectivamente, entonces $∠ G E A = ∠ D G E$ , pues ambos son ángulos semiinscritos que abarcan el mismo arco.

Por lo tanto,
$\sin ∠ P E A = \sin ∠ D G P = \sin (π - ∠ D G P) = \sin ∠ P G C$ .

Por otro lado,
$2 (△ A E P) = A P \times E P \sin ∠ A P E = A E \times E P \sin ∠ P E A$ ,
$2 (△ C G P) = P G \times C P \sin ∠ C P G = C G \times G P \sin ∠ P G C$ .

$\Rightarrow \frac{(△ A E P)}{(△ C G P)} = \frac{A P \times E P}{P G \times C P} = \frac{A E \times E P}{C G \times G P}$
$\Rightarrow \frac{A P}{C P} = \frac{A E}{C G}$ .

Lo que significa que la cuerda $E G$ divide internamente a la diagonal $A C$ en la razón $\frac{A E}{C G} = \frac{x}{z}$ .

Similarmente podemos mostrar que la cuerda $F H$ divide internamente a la diagonal $A C$ en la razón $\frac{x}{z}$ , por lo tanto, $E G$ , $F H$ , se intersecan en $A C$ .

Repitiendo este procedimiento, pero esta vez para la diagonal $B D$ podemos ver que $B D$ , $E G$ y $F H$ concurren, y que $\frac{B P}{D P} = \frac{y}{w}$ .

Por lo tanto, las diagonales $A C$ , $B D$ y las cuerdas $E G$ , $F H$ son concurrentes.

Corolario. Tenemos las siguientes igualdades (figura 4),
$\frac{(△ A P B)}{x y} = \frac{(△ B P C)}{y z} = \frac{(△ C P D)}{z w} = \frac{(△ A P D)}{x w}$ .

Demostración. Notemos que los triángulos $△ A P B$ y $△ B P C$ tienen la misma altura desde el vértice $B$ , y ya que $A$ , $P$ y $C$ son colineales, entonces usando la razón, encontrada en el teorema anterior, en la que $P$ divide a $A C$ .

$\frac{(△ A P B)}{(△ B P C)} = \frac{A P}{P C} = \frac{x}{z} \Leftrightarrow \frac{(△ A P B)}{x y} = \frac{(△ B P C)}{z y}$ .

Las otras igualdades se muestran de manera análoga.

Una propiedad referente a inradios

Teorema 5. Sean $A B C D$ circunscrito, $P$ el punto de intersección de las diagonales, y consideremos los inradios $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ , $r_{4}$ , de los triángulos $△ A P B$ , $△ B P C$ , $△ C P D$ y $△ A P D$ respectivamente, entonces
$\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{3}} = \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{4}}$ .

Demostración. Por el corolario anterior, sea $λ = \frac{(△ A P B)}{x y} = \frac{(△ B P C)}{y z} = \frac{(△ C P D)}{z w} = \frac{(△ A P D)}{x w} \neq 0$ .

Por el teorema 4, tenemos que $\frac{A P}{C P} = \frac{x}{z}$ y $\frac{B P}{D P} = \frac{y}{w}$ .

Entonces sean $η = \frac{A P}{x} = \frac{C P}{z}$ y $μ = \frac{B P}{y} = \frac{D P}{w}$ .

Ahora calculamos el área de $△ A P B$ .

$(△ A P B) = r_{1} s = \frac{r_{1}}{2} (A P + P B + A B)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{r_{1}} = \frac{A P + P B + A B}{2 (△ A P B)} = \frac{A P + P B + A B}{2 λ x y}$
$\Leftrightarrow \frac{2 λ}{r_{1}} = \frac{A P + P B + A B}{x y} = \frac{x η + y μ + (x + y)}{x y}$
$= \frac{x (η + 1) + y (μ + 1))}{x y} = \frac{η + 1}{y} + \frac{μ + 1}{x}$ .

De manera análoga podemos ver que
$\frac{2 λ}{r_{3}} = \frac{η + 1}{w} + \frac{μ + 1}{z}$ .

Entonces,
$\frac{2 λ}{r_{1}} + \frac{2 λ}{r_{3}} = \frac{η + 1}{y} + \frac{μ + 1}{x} + \frac{η + 1}{w} + \frac{μ + 1}{z}$ .

Podemos encontrar de la misma forma
$\frac{2 λ}{r_{2}} + \frac{2 λ}{r_{4}} = \frac{η + 1}{y} + \frac{μ + 1}{z} + \frac{μ + 1}{x} + \frac{η + 1}{w}$ .

Por lo tanto,
$\frac{2 λ}{r_{1}} + \frac{2 λ}{r_{3}} = \frac{2 λ}{r_{1}} + \frac{2 λ}{r_{3}}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{3}} = \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{4}}$ .

Puntos cíclicos en el cuadrilátero circunscrito

Lema. Sean $△ A B C$ , $I$ y $r$ el incentro y el inradio de su circuncírculo entonces
$i)$ $A B + A C - B C = 2 r \cot \frac{∠ A}{2}$ ,
$i i)$ $A I = \frac{r}{\sin \frac{∠ A}{2}}$ .

Demostración. Consideremos $D$ , $E$ y $F$ los puntos de tangencia de $(I, r)$ con $A B$ , $B C$ y $A D$ respectivamente entonces $A D = A F$ , $B D = B E$ y $C E = C F$ además en el triángulo rectángulo $△ A D I$
$\tan \frac{∠ A}{2} = \frac{I D}{A D} \Leftrightarrow A D = r \cot \frac{∠ A}{2}$ .

Por lo tanto, $A B + A C - B C = (A D + B D) + (A F + C F) - (B E + C E) = 2 A D = 2 r \cot \frac{∠ A}{2}$ .

Por otra parte en $△ A D I$ ,
$\sin \frac{∠ A}{2} = \frac{I D}{I A} \Leftrightarrow A I = \frac{r}{\sin \frac{∠ A}{2}}$ .

Teorema 6. Sean $A B C D$ circunscrito, $P$ la intersección de las diagonales, $I_{1}$ , $I_{2}$ , $I_{3}$ e $I_{4}$ los incentros de los triángulos $△ A P B$ , $△ B P C$ , $△ C P D$ y $△ A P D$ respectivamente entonces el cuadrilátero $I_{1} I_{2} I_{3} I_{4}$ es cíclico.

Demostración. Sean $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ y $r_{4}$ los inradios de $△ A P B$ , $△ B P C$ , $△ C P D$ y $△ A P D$ respectivamente, notemos que $∠ A P B = ∠ C P D$ y $∠ B P C = ∠ D P A$ pues son opuestos por el vértice, entonces
$2 (∠ A P B + ∠ D P A) = 2 π \Leftrightarrow \frac{∠ A P B + ∠ D P A}{2} = \frac{π}{2}$ por lo que
$\sin \frac{∠ A P B}{2} = \cos \frac{∠ D P A}{2}$ y $\cos \frac{∠ A P B}{2} = \sin \frac{∠ D P A}{2}$ .

Aplicando el lema parte 1 a $△ A P B$ y $△ C P D$ obtenemos
$(A P + B P - A B) + (C P + D P - C D)$
$= 2 r_{1} \cot \frac{∠ A P B}{2} + 2 r_{3} \cot \frac{∠ C P D}{2} = 2 \cot \frac{∠ A P B}{2} (r_{1} + r_{3})$ .

Hacemos lo mismo con $△ B P C$ y $△ A P D$ ,
$(B P + C P - B C) + (D P + A P - A D) = 2 \cot \frac{∠ D P A}{2} (r_{2} + r_{4})$ .

Como $A B C D$ es circunscrito por el teorema 1, $A B + C D = B C + A D$ por lo que
$(A P + B P - A B) + (C P + D P - C D) = (B P + C P - B C) + (D P + A P - A D)$ .

Y por lo tanto,
$2 \cot \frac{∠ A P B}{2} (r_{1} + r_{3}) = 2 \cot \frac{∠ D P A}{2} (r_{2} + r_{4})$

$\Rightarrow \frac{r_{1} + r_{3}}{r_{2} + r_{4}} = \frac{\cot \frac{∠ D P A}{2}}{\cot \frac{∠ A P B}{2}}$
$= \frac{\frac{\cos \frac{∠ D P A}{2}}{\sin \frac{∠ D P A}{2}}}{\frac{\cos \frac{∠ A P B}{2}}{\sin \frac{∠ A P B}{2}}} = \frac{\frac{\sin \frac{∠ A P B}{2}}{\cos \frac{∠ A P B}{2}}}{\frac{\cos \frac{∠ A P B}{2}}{\sin \frac{∠ A P B}{2}}} = \frac{\sin^{2} \frac{∠ A P B}{2}}{\cos^{2} \frac{∠ A P B}{2}}$

$\begin{matrix} (3) & = \tan^{2} \frac{∠ A P B}{2} . \end{matrix}$

Por otra parte aplicamos el lema parte 2 a $△ A P B$ y $△ C P D$
$P I_{1} \times P I_{3} = \frac{r_{1}}{\sin \frac{∠ A P B}{2}} \frac{r_{3}}{\sin \frac{∠ C P D}{2}} = \frac{r_{1} r_{3}}{\sin^{2} \frac{∠ A P B}{2}}$ .

Hacemos lo mismo con $△ B P C$ y $△ A P D$
$P I_{2} \times P I_{4} = \frac{r_{2}}{\sin \frac{∠ B P C}{2}} \frac{r_{4}}{\sin \frac{∠ D P A}{2}} = \frac{r_{2} r_{4}}{\sin^{2} \frac{∠ D P A}{2}}$ .

Realizamos el cociente de las dos últimas expresiones encontradas
$\frac{P I_{2} \times P I_{4}}{P I_{1} \times P I_{3}} = \frac{r_{2} r_{4}}{\sin^{2} \frac{∠ D P A}{2}} \frac{\sin^{2} \frac{∠ A P B}{2}}{r_{1} r_{3}} = \frac{r_{2} r_{4}}{r_{1} r_{3}} \frac{\sin^{2} \frac{∠ A P B}{2}}{\cos^{2} \frac{∠ A P B}{2}}$

$\begin{matrix} (4) & = \frac{r_{2} r_{4}}{r_{1} r_{3}} \tan^{2} \frac{∠ A P B}{2} . \end{matrix}$

Entonces podemos sustituir la ecuación $(3)$ en $(4)$
$\frac{P I_{2} \times P I_{4}}{P I_{1} \times P I_{3}} = (\frac{r_{2} r_{4}}{r_{1} r_{3}}) (\frac{r_{1} + r_{3}}{r_{2} + r_{4}}) = \frac{\frac{r_{1} + r_{3}}{r_{1} r_{3}}}{\frac{r_{2} + r_{4}}{r_{2} r_{4}}} = \frac{\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{3}}}{\frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{4}}}$ .

Por el teorema 5, sabemos que
$\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{3}} = \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{4}}$ .

Por lo tanto,
$\frac{P I_{2} \times P I_{4}}{P I_{1} \times P I_{3}} = 1$
$\Leftrightarrow P I_{2} \times P I_{4} = P I_{1} \times P I_{3}$ .

Como $P = I_{1} I_{3} \cap I_{2} I_{4}$ , pues estas rectas son las bisectrices interna y externa de $∠ A P B$ , por el teorema de las cuerdas, el cuadrilátero $I_{1} I_{2} I_{3} I_{4}$ es cíclico.

Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos características de los cuadriláteros que son tanto cíclicos como circunscritos.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

$i)$ Muestra que un cuadrilátero convexo es circunscrito si y solo si sus bisectrices internas son concurrentes.
$i i)$ Prueba que todo rombo es circunscrito.
Muestra que $A B C D$ convexo, es circunscrito si y solo si los incírculos de los triángulos $△ A B C$ y $△ A C D$ son tangentes entre si.
Sea $A B C D$ convexo, consideremos los incirculos de los triángulos $△ A B D$ , $△ A B C$ , $△ B C D$ y $△ A D C$ que son tangentes a los lados del cuadrilátero en $M$ , $T$ , $N$ , $O$ , $P$ , $Q$ , y $R$ , $S$ respectivamente, muestra que $A B C D$ es circunscrito si y solo si $M N + Q R = O P + S T$ .

Si $A B C D$ es circunscrito, con lados $a$ , $b$ , $c$ y $d$ muestra que:
$i)$ $(A B C D) = \sqrt{a b c d} \sin \frac{∠ A + ∠ C}{2} = \sqrt{a b c d} \sin \frac{∠ B + ∠ D}{2}$ ,
$i i)$ $(A B C D) \leq \sqrt{a b c d}$ .
Sean $A B C D$ circunscrito, $I$ el incentro del cuadrilátero y $P$ la intersección de las diagonales, muestra que los ortocentros de los triángulos $△ A I B$ , $△ B I C$ , $△ C I D$ , $△ A I D$ y $P$ son colineales.

Sean $A B C D$ circunscrito y $P$ la intersección de sus diagonales, muestra que los centros de los excírculos de los triángulos $△ A P B$ , $△ B P C$ , $△ C P D$ y $△ A P D$ opuestos a $P$ forman un cuadrilátero cíclico.

Entradas relacionadas

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Otros cursos.

Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 135-136.
Santos, J., Tesis Geometría del Cuadrilátero. 2010, pp 34-38.
Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 147-148.
Grinberg, Darij, Circumscribed quadrilaterals revisited, 2008
Cut the Knot
Wikipedia

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

El blog de Leo

Aprendiendo, creando y compartiendo matemáticas

Geometría Moderna I: Cuadrilátero circunscrito

Introducción

Primera caracterización para el cuadrilátero circunscrito

Teorema de Newton

Rectas concurrentes en el cuadrilátero circunscrito

Una propiedad referente a inradios

Puntos cíclicos en el cuadrilátero circunscrito

Más adelante…

Tarea moral

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