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Geometría Moderna I: Circunferencia de Brocard

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Introducción

Con esta entrada concluimos la unidad tres y en general temas relacionados con el triángulo, hablaremos de la circunferencia de Brocard y el primer triángulo de Brocard, veremos como se relacionan con los puntos de Brocard.

Circunferencia de Brocard

Definición. La circunferencia $Γ (K O)$ que tiene como diámetro el segmento que une el punto simediano $K$ y el circuncentro $O$ de un triángulo se conoce como circunferencia de Brocard.

El triángulo cuyos vértices son las segundas intersecciones de las mediatrices de un triángulo con su circunferencia de Brocard es el primer triángulo de Brocard.

Observación. Recordemos que el centro de la primera circunferencia de Lemoine es el punto medio entre el punto simediano y el circuncentro de un triángulo, por lo tanto, la circunferencia de Brocard y la primera circunferencia de Lemoine son concéntricas.

Teorema 1. Los puntos de Brocard están en la circunferencia de Brocard.

Demostración. En $△ A B C$ sea $Ω$ el primer punto de Brocard, $K$ el punto simediano, $O$ el circuncentro y $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ , los puntos medios de $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente.

Recordemos que las distancias de $K$ a los lados del triángulo son proporciónales a estos,
$d (K, B C) = a \frac{2 (△ A B C)}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

En un ejercicio de la entrada anterior se pide mostrar que
$\frac{1}{\tan ω} = \cot ω = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 (△ A B C)}$ .

Donde $ω$ es el ángulo de Brocard y $a$ , $b$ , $c$ los lados de $△ A B C$ .

Por lo tanto, $d (K, B C) = \frac{a}{2} \tan ω$ .

Sea $A_{1} = O A^{'} \cap B Ω$ , en $△ A_{1} B A^{'}$ , $A^{'} A_{1} = \frac{a}{2} \tan ω$ .

Esto implica que $A_{1} K ∥ B C$ , como $O A_{1}$ es mediatriz de $B C$ entonces $∠ O A_{1} K = \frac{π}{2}$ , y por lo tanto $A_{1} \in Γ (K O)$ .

De manera similar si consideramos $B_{1}$ la intersección del rayo $C Ω$ con la mediatriz de $C A$ , podemos ver $B_{1} K ∥ C A$ y que $B_{1} \in Γ (K O)$ .

Como $A_{1} K ∥ B C$ y $B_{1} K ∥ C A$ entonces $∠ K A_{1} Ω = ω = ∠ K B_{1} Ω$ .

En consecuencia, el cuadrilátero $Ω A_{1} B_{1} K$ es cíclico, pero el circuncírculo de $△ A_{1} B_{1} K$ , es la circunferencia de Brocard.

Por lo tanto, el primer punto de Brocard $Ω$ , está en la circunferencia de Brocard.

Sea $Ω^{'}$ el segundo punto de Brocard, como $A_{1}$ y $B_{1}$ están en las mediatrices de $B C$ y $C A$ entonces $△ A_{1} B C$ y $△ B_{1} C A$ son isósceles y $∠ A_{1} C B = ∠ B_{1} A C = ∠ Ω^{'} C B = ∠ Ω^{'} A C = ω$ .

Esto implica que $C A_{1}$ y $A B_{1}$ se intersecan en $Ω^{'}$ .

Ya que $A_{1} K ∥ B C$ y $B_{1} K ∥ C A$ , entonces, $∠ Ω^{'} A_{1} K = ω$ y $∠ K B_{1} Ω^{'} = π - ω$ .

Esto implica que $A_{1} Ω B_{1} K$ es cíclico, y así el segundo punto de Brocard está en la circunferencia de Brocard.

Corolario 1. Un triángulo y su primer triángulo de Brocard están en perspectiva desde los puntos de Brocard.

Demostración. En el teorema anterior vimos que $B A_{1}$ y $C B_{1}$ se intersecan en el primer punto de Brocard, de manera similar se puede ver que $A$ , $C_{1}$ y $Ω$ son colineales.

También mostramos que $C A_{1} \cap A B_{1} = Ω^{'}$ , de manera análoga podemos ver que $B C_{1}$ pasa por $Ω^{'}$ .

Por lo tanto $Ω$ y $Ω^{'}$ son centros de perspectiva de $△ A B C$ y $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Corolario 2. $△ A B C$ y su primer triángulo de Brocard son semejantes.

Demostración. Como $B_{1} K ∥ C A$ , $A_{1} K ∥ B C$ y tomando en cuenta que $A_{1} C_{1} B_{1} K$ es cíclico entonces $∠ A C B = π - ∠ A_{1} K B_{1} = ∠ B_{1} C_{1} A_{1}$ .

De manera similar vemos que $∠ A = ∠ A_{1}$ y $∠ B = ∠ B_{1}$ .

Conjugado isotómico del punto simediano

En la entrada triángulos en perspectiva vimos que si dos triángulos tienen dos centros de perspectiva entonces existe un tercero, en la siguiente proposición describimos este punto.

Proposición 1. El tercer centro de perspectiva entre un triángulo y su triángulo de Brocard es el conjugado isotómico del punto simediano respecto del triángulo original.

Demostración. Bajo la misma notación del teorema anterior, Recordemos que la $A$ -simediana y la $A$ -exsimediana son conjugadas armónicas respecto de $A B$ , $A C$ .

También sabemos que $B K$ y la $A$ -exsimediana se intersecan en un punto exsimediano, es decir el punto de intersección de las tangentes por $A$ y $C$ al circuncírculo de $△ A B C$ .

Sea $S = B K \cap A C$ , entonces la hilera $B K S E$ es armónica, así, el haz $B^{'} (B K S E)$ es armónico.

Tomando en cuenta que $O B_{1} B^{'} E$ es una recta.

En el teorema anterior vimos que $B_{1} K ∥ A C$ , entonces las otras tres rectas del haz bisecan a $B_{1} K$ , es decir $B B^{'}$ biseca a $B_{1} K$ .

Sea $X = B B_{1} \cap A C$ , como $△ B B_{1} K$ y $△ B X S$ son semejantes entonces $B^{'}$ es el punto medio entre $X$ y $S$ .

Por lo tanto, $B K$ , $B B_{1}$ , son rectas isotómicas, es decir, unen puntos isotómicos con el vértice opuesto.

Igualmente vemos que $A K$ , $A A_{1}$ y $C K$ , $C C_{1}$ son rectas isotómicas, como las simedianas concurren en $K$ , entonces, $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ concurren en u punto $Y$ .

Centroide del triángulo de Brocard

Teorema 2. El centroide de un triángulo y el centroide de su primer triángulo de Brocard coinciden.

Demostración. Nuevamente emplearemos la notación del teorema 1.

$A_{1}$ , $B_{1}$ y $C_{1}$ están en las mediatrices de $B C$ , $C A$ y $A B$ entonces $△ A_{1} B C$ , $△ B_{1} C A$ , $△ C_{1} A B$ son isósceles, además son semejantes, pues $∠ A_{1} B C = ∠ B_{1} C A = ∠ C_{1} A B = ω$ , por lo tanto,

$\frac{A C_{1}}{A B_{1}} = \frac{A B}{C A}$ y $\frac{C A_{1}}{C B_{1}} = \frac{B C}{C A}$ .

Sea $X$ la reflexión de $B_{1}$ respecto de $C A$ , entonces
$∠ C_{1} A X = ∠ C_{1} A C + ∠ C A X$
$= ∠ C_{1} A C + ∠ B_{1} A C = ∠ C_{1} A C + ω$
$= ∠ A$ ,

además $\frac{A C_{1}}{A X} = \frac{A C_{1}}{A B_{1}} = \frac{A B}{C A}$ .

Por criterio de semejanza LAL, $△ A B C \sim △ A C_{1} X$ , igualmente podemos ver que $△ A B C \sim △ X A_{1} C$ .

Por lo tanto, $△ A C_{1} X \sim △ X A_{1} C$ , pero $A X = A B_{1} = B_{1} C = C X$ , así que $△ A C_{1} X$ y $△ X A_{1} C$ son congruentes.

En consecuencia, $C_{1} X = A_{1} C = A_{1} B$ y $X A_{1} = A C_{1} = C_{1} B$ , esto implica que $C_{1} B A_{1} X$ es un paralelogramo y por lo tanto $A_{1} C_{1}$ y $B X$ se cortan en su punto medio $M$ .

En $△ B_{1} B X$ , $B_{1} M$ y $B B^{'}$ son medianas, donde $B^{'}$ es el punto medio de $B_{1} X$ y $C A$ , por lo tanto, su intersección $G$ , triseca a ambas medianas de $△ B_{1} B X$ .

Pero el centroide de $△ A B C$ y de $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ es el único punto con esa propiedad, por lo tanto, su centroide es el mismo.

Concurrencia en el centro de los nueve puntos.

Proposición 3. Las perpendiculares a los lados de un triángulo desde los puntos medios de su primer triángulo de Brocard concurren en el centro de los nueve puntos.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ su primer triángulo de Brocard, $D$ , $E$ , $F$ , los puntos medios de $B_{1} C_{1}$ , $C_{1} A_{1}$ , $A_{1} B_{1}$ respectivamente.

Notemos que las perpendiculares por $D$ , $E$ , $F$ , a $B C$ , $C A$ , $A B$ , respectivamente, son paralelas a $O A_{1}$ , $O B_{1}$ , $O C_{1}$ respectivamente, donde $O$ es el circuncentro de $△ A B C$ .

Como $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ y $△ D E F$ , están en homotecia desde $G$ , el centroide de $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ , y razón $\frac{- 1}{2}$ , entonces los tres pares de rectas paralelas son pares de rectas homotéticas, pues pasan por puntos homólogos.

Como $O A_{1}$ , $O B_{1}$ , $O C_{1}$ , concurren en $O$ entonces sus correspondientes rectas homotéticas concurren en el correspondiente punto homólogo, $O^{'}$ .

Entonces $O$ , $G$ y $O^{'}$ son colineales en ese orden y $\frac{O G}{2} = G O^{'}$ .

Como $G$ también es el centroide de $△ A B C$ entonces $O^{'}$ es el centro de los nueve puntos de $△ A B C$ .

Punto de Steiner

Proposición 4. Las rectas paralelas (perpendiculares) por los vértices de un triángulo a los respectivos lados de su primer triángulo de Brocard concurren en el circuncírculo del triángulo original, el punto de concurrencia se conoce como punto de Steiner (Tarry).

Demostración. Si $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ es el primer triángulo de Brocard de $△ A B C$ , sea $S$ la intersección de la paralela a $A_{1} C_{1}$ por $B$ y la paralela a $A_{1} B_{1}$ por $C$ .

$∠ B S C = ∠ C_{1} A_{1} B_{1} = ∠ B A C$ , por lo tanto, $S$ se encuentra en el arco $\overset{⌢}{A B}$ .

De manera análoga vemos que $C S$ y la paralela a $B_{1} C_{1}$ por $A$ se intersecan en el circuncírculo de $△ A B C$ .

Por lo tanto, las paralelas concurren en $S$ .

Considera $T$ el punto diametralmente opuesto a $S$ , entonces $A T ⊥ A S \Rightarrow A T ⊥ B_{1} C_{1}$ .

De manera similar vemos que $B T ⊥ A_{1} C_{1}$ y $C T ⊥ A_{1} B_{1}$ .

Por lo tanto, las perpendiculares concurren en el circuncírculo de $△ A B C$ .

Más adelante…

Con la siguiente entrada comenzaremos la última unidad en la que hablaremos sobre cuadriláteros, mostraremos algunos teoremas que establecen propiedades análogas a la de los triángulos, como, cuando un cuadrilátero tiene un incírculo o la formula de Euler que mide la distancia entre el incentro y el circuncentro pero esta vez para cuadriláteros.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Construye un triángulo, dado su primer triángulo de Brocard.
Muestra que la recta que une los vértices de un triángulo con los correspondientes vértices de su primer triángulo de Brocard dividen a los lados opuestos del triángulo original en el inverso de la razón de los cuadrados de los lados adyacentes.
Prueba que la reflexión del punto simediano respecto del centro de los nueve puntos de un triángulo es el centro de la circunferencia de Brocard de su triángulo anticomplementario.
Muestra que el punto simediano y el circuncentro de un triángulo son el punto de Steiner y el punto de Tarry de su primer triángulo de Brocard.
El triángulo cuyos vértices son las segundas intersecciones de las simedianas de un triángulo con su circunferencia de Brocard es el segundo triángulo de Brocard, demuestra que:
$i)$ los vértices del segundo triángulo de Brocard son los puntos medios de las cuerdas del circuncírculo de su triángulo de referencia determinadas por sus simedianas,
$i i)$ las circunferencias del grupo directo e indirecto que son tangentes a los lados de un mismo ángulo de un triángulo se intersecan en los vértices de su segundo triángulo de Brocard.

Entradas relacionadas

Ir a Geometría Moderna I.
Entrada anterior del curso: Puntos de Brocard.
Siguiente entrada del curso: Teoremas de Varignon y Van Aubel.
Otros cursos.

Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 279-284.
Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 277-282.
Shively, L., Introducción a la Geómetra Moderna. México: Ed. Continental, 1961, pp 73-75.
Honsberger, R., Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington: The Mathematical Association of America, 1995, pp 106-124.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Puntos de Brocard

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

En esta entrada hablaremos sobre un par de puntos conjugados isogonales del triángulo, los puntos de Brocard, que surgen de una construcción particular de circunferencias tangentes a los lados del triángulo.

Puntos de Brocard

Definición y notación. Dado un triángulo $△ A B C$ , considera $Γ (B C)$ la circunferencia tangente a $B C$ en $B$ que pasa por $A$ , $Γ (C A)$ la circunferencia tangente a $C A$ en $C$ que pasa por $B$ , $Γ (A B)$ la circunferencia tangente a $A B$ en $A$ que pasa por $C$ . Llamaremos a este conjunto de circunferencias, grupo directo de circunferencias.

De manera análoga, la circunferencia $Γ (C B)$ tangente a $B C$ en $C$ que pasa por $A$ , la circunferencia $Γ (A C)$ tangente a $C A$ en $A$ que pasa por $B$ y la circunferencia $Γ (B A)$ tangente a $A B$ en $B$ que pasa por $C$ , seran referidas como grupo indirecto de circunferencias.

Teorema 1. Las tres circunferencias del grupo directo (indirecto) asociado a un triángulo tienen un punto en común, al punto de concurrencia $Ω$ $(Ω^{'})$ se le conoce como primer (segundo) punto de Brocard.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $Ω = Γ (B C) \cap Γ (C A)$ , considera $D \in \overset{⌢}{A B}$ arco de $Γ (B C)$ , recorrido en ese sentido.

Como $∠ C B A$ es un ángulo semiinscrito de $Γ (B C)$ entonces $∠ B D A = ∠ C B A$ , por lo tanto, $∠ A Ω B = π - ∠ B$ .

De manera análoga vemos que $∠ B Ω C = π - ∠ C$ .

En consecuencia,
$∠ C Ω A = 2 π - (∠ A Ω B) - (∠ B Ω C)$
$= 2 π - (π - ∠ B) - (π - ∠ C) = ∠ B + ∠ C$
$= π - ∠ A$ .

Por otra parte, como $∠ B A C$ es un ángulo semiinscrito de $Γ (A B)$ , entonces todos los puntos en el arco $\overset{⌢}{C A}$ , recorrido en ese sentido, subtienden un ángulo $∠ A$ con la cuerda $C A$ , por lo tanto, el arco $\overset{⌢}{A C}$ es el lugar geométrico de los puntos que subtienden con la cuerda $C A$ un ángulo igual a $π - ∠ A$ .

En conclusión $Ω \in Γ (A B)$ .

La demostración es análoga para el caso del grupo indirecto.

Corolario 1. Los dos puntos de Brocard son los únicos puntos dentro de un triángulo $△ A B C$ que tienen la siguiente propiedad:
$i)$ $∠ B A Ω = ∠ C B Ω = ∠ A C Ω$ ,
$i i)$ $∠ Ω^{'} A C = ∠ Ω^{'} C B = ∠ Ω^{'} B A$ .

Demostración. $i)$ $∠ B A Ω$ y $∠ C B Ω$ son ángulos inscrito y semiinscrito respectivamente de $Γ (B C)$ que abarcan el mismo arco, por lo tanto son iguales.

De manera análoga vemos que $∠ C B Ω = ∠ A C Ω$ .

Por otro lado supongamos que existe un punto $F$ dentro de $△ A B C$ tal que $∠ B A F = ∠ C B F = ∠ A C F$ , considera el circuncírculo de $△ A B F$ , como $∠ C B F$ es igual al ángulo inscrito $∠ B A F$ , entonces $B C$ debe ser tangente al circuncírculo de $△ A B F$ en $B$ , por lo tanto, $F \in Γ (B C)$ .

De manera análoga vemos que $F \in Γ (C A)$ y $F \in Γ (A B)$ por lo tanto $F$ coincide con $Ω$ .

$i i)$ Se muestra de manera similar.

Ángulo de Brocard

Corolario 2. Los puntos de Brocard son puntos conjugados isogonales.

Demostración. Si $X$ es el conjugado isogonal de $Ω$ entonces (figura 1)
$∠ B A Ω = ∠ X A C$ ,
$∠ C B Ω = ∠ X B A$ ,
$∠ A C Ω = ∠ X C B$ .

Pero $∠ B A Ω = ∠ C B Ω = ∠ A C Ω = ω$ , por lo tanto, el conjugado isogonal de $Ω$ respecto a $△ A B C$ cumple que $∠ X A C = ∠ X B A = ∠ X C B$ .

Como $Ω^{'}$ es el único punto que tiene esa propiedad dentro de $△ A B C$ entonces $X = Ω^{'}$ .

Definición 2. Los segmentos $A Ω$ , $A Ω^{'}$ ; $B Ω$ , $B Ω^{'}$ ; $C Ω$ , $C Ω^{'}$ , se conocen como rayos de Brocard y el ángulo $∠ B A Ω = ∠ Ω^{'} A C = ω$ se conoce como ángulo de Brocard.

Definición 3. Los lados del triángulo anticomplementario de un triángulo dado (las rectas paralelas a los lados de un triángulo por los vértices opuestos), se llaman exmedianas del triángulo dado.

Teorema 2. Una exsimediana, una exmediana y un rayo de Brocard, cada una por un vértice distinto de un triángulo dado, son concurrentes.

Demostración. En $△ A B C$ sea $B Ω$ el rayo de Brocard que pasa por el primer punto de Brocard y $D$ la intersección de este rayo con la exmediana por $A$ .

Como $A D ∥ B C$ entonces $∠ C A D = ∠ C$ y $∠ A D B = ∠ C B Ω = ω = ∠ A C Ω$ , por lo tanto, $A Ω C D$ está inscrito en $Γ (A B)$ .

Por el corolario 1, $∠ C Ω A = ∠ B + ∠ C$ , esto implica que $∠ A D C = ∠ A$ , por lo tanto, $∠ D C A = ∠ B$ .

Como resultado $C D$ es exsimediana de $△ A B C$ , es decir, es tangente al circuncírculo de $△ A B C$ en $C$ .

Corolario 3. El ángulo de Brocard $ω$ de un triángulo $△ A B C$ satisface la siguiente igualdad $\cot ω = \cot ∠ A + \cot ∠ B + \cot ∠ C$

Demostración. En la figura anterior sean $H_{a}$ , $H_{d}$ las proyecciones de $A$ y $D$ en $B C$ , como $∠ D C A = ∠ B$ entonces $∠ H_{d} C D = ∠ A$ , por lo tanto,
$\cot ω = \frac{B H_{d}}{D H_{d}}$
$= \frac{B H_{a}}{D H_{d}} + \frac{H_{a} C}{D H_{d}} + \frac{C H_{d}}{D H_{d}}$
$= \frac{B H_{a}}{A H_{a}} + \frac{H_{a} C}{A H_{a}} + \frac{C H_{d}}{D H_{d}}$
$= \cot ∠ B + \cot ∠ C + \cot ∠ A$ .

Construcción de un triángulo dado su ángulo de Brocard

Problema. Construye un triángulo, dados un lado, un ángulo y $ω$ , su ángulo de Brocard.

Solución. Sea $∠ B^{'} A C^{'}$ el ángulo dado, en $A C^{'}$ tomamos un punto $C$ arbitrario, sobre $C A$ y con vértice en $C$ abrimos un ángulo igual a $ω$ en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, hacemos lo mismo pero esta vez sobre $A B$ en y vértice en $A$ .

La intersección de los segundos lados de los ángulos construidos será $Ω$ , el primer punto de Brocard, ahora sobre $Ω C$ construimos el lugar geométrico de los puntos que subtienden un ángulo igual a $ω$ con los puntos $Ω$ y $C$ , el cual es un arco de circunferencia.

Este arco puede intersecar a $A B^{'}$ en dos puntos $B$ y $B^{″}$ , entonces obtenemos $△ A B C$ y $△ A C B^{″}$ , sin embargo, estos dos triángulos son semejantes, si este arco no interseca a $A B$ entonces no hay solución.

$△ A B C$ es semejante al triangulo requerido, el cual puede ser construido a partir del lado dado.

Triángulo circunscrito de ceva de los puntos de Brocard

Teorema 3.
$i)$ Los rayos de Brocard intersecan otra vez al circuncírculo del triángulo, en tres puntos que forman un triángulo congruente con el triángulo original,
$i i)$ este triángulo puede ser obtenido rotando el triángulo original un ángulo igual a dos veces su ángulo de Brocard con centro en el circuncentro,
$i i i)$ el primer (segundo) punto de Brocard del triángulo original es el segundo (primer) punto de Brocard del triángulo rotado.

Demostración. Sea $Ω$ el punto positivo de Brocard de $△ A B C$ , consideremos $B^{'}$ , $C^{'}$ , $A^{'}$ las segundas intersecciones de $A Ω$ , $B Ω$ , $C Ω$ con el circuncírculo de $△ A B C$ .

Entonces,
$∠ B^{'} A^{'} C^{'} = ∠ B^{'} A^{'} C + ∠ C A^{'} C^{'} = ∠ B^{'} A C + ∠ C B C^{'} = ∠ B^{'} A C + ω = ∠ B A C$ .

Igualmente vemos que $∠ B = ∠ B^{'}$ y $∠ C^{'} = ∠ C$ .

Como $△ A B C$ y $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ son semejantes y están inscritos en el mismo circulo, entonces son congruentes.

Por otro lado, $∠ A O A^{'} = 2 ∠ A C A^{'} = 2 ω$ .

Finalmente $∠ Ω A^{'} C^{'} = ∠ C A^{'} C^{'} = ∠ C B C^{'} = ω$ .

Similarmente, $∠ Ω C^{'} B^{'} = ω = ∠ Ω B^{'} A^{'}$ .

Por lo tanto $Ω$ es el segundo punto de Brocard de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Corolario 4. Los dos puntos de Brocard de un triángulo son equidistantes del circuncentro del triángulo.

Demostración. Si partimos esta vez del triángulo $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ y hacemos una rotación un ángulo igual a $2 ω$ con centro en $O$ en el sentido de las manecillas del reloj, entonces su segundo punto de Brocard coincidirá con el segundo punto de Brocard de $△ A B C$ .

Ya que el segundo punto de Brocard de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , es el primer punto de Brocard de $△ A B C$ , entonces estos puntos son equidistantes a $O$ .

Triángulo pedal de los puntos de Brocard

Corolario 5. El triángulo pedal del primer (segundo) punto de Brocard es semejante a su triángulo de referencia, además el primer (segundo) punto de Brocard es el mismo para ambos triángulos.

Demostración. En la figura anterior, sean $Ω_{a}$ , $Ω_{b}$ , $Ω_{c}$ , las proyecciones de $Ω$ en $B C$ , $C A$ , $A B$ , respectivamente.

En la entrada anterior mostramos que para cualquier punto $ω$ , su triángulo pedal $△ Ω_{a} Ω_{b} Ω_{c}$ , es semejante a su triángulo circunscrito de Ceva respecto de $△ B^{'} C^{'} A^{'}$ .

Por el teorema anterior, $△ A B C ≅ △ A^{'} B^{'} C^{'}$ , por lo tanto $△ Ω_{c} Ω_{a} Ω_{b} \sim △ A B C$ .

Por otro lado, como $Ω_{c} B Ω_{a} Ω$ es cíclico entonces
$∠ Ω Ω_{c} Ω_{a} = ∠ Ω B Ω_{a} = ω$ .

Igualmente vemos que $∠ Ω Ω_{a} Ω_{b} = ω = ∠ Ω Ω_{b} Ω_{c}$ .

La prueba es análoga para el caso del segundo punto de Brocard.

Corolario 6. Los triángulos pedales de los dos puntos de Brocard de un triángulo son congruentes.

Demostración. Como los dos puntos de Brocard de un triángulo son conjugados isogonales, entonces sus triangulo pedales tienen el mismo circuncírculo y como son semejantes, entonces son congruentes.

Más adelante…

Continuando con el tema de geometría de Brocard, en la siguiente entrada hablaremos de la circunferencia de Brocard, veremos que los puntos de Brocard están en esta circunferencia y que estos permiten la construcción de un triángulo que es semejante y esta en perspectiva con el triángulo original.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Prueba que $\cot ω = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 (△ A B C)}$ .
Muestra que el valor del ángulo de Brocard $ω$ de un triángulo es a lo mas $\frac{π}{6}$ .
Muestra que los triángulos antipedales de los puntos de Brocard son semejantes a su triangulo de referencia.
Construye un triángulo dados dos lados indefinidos y un punto de Brocard.
Muestra que un rayo de Brocard, una mediana y una simediana, cada uno por un vértice distinto de un triángulo, son concurrentes.

Entradas relacionadas

Ir a Geometría Moderna I.
Entrada anterior del curso: Rectas isogonales.
Siguiente entrada del curso: Circunferencia de Brocard.
Otros cursos.

Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 274-278.
Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 263-270.
Honsberger, R., Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington: The Mathematical Association of America, 1995, pp 99-106.
Shively, L., Introducción a la Geómetra Moderna. México: Ed. Continental, 1961, pp 71-73.
Aref, M. y Wernick, W., Problems and Solutions in Euclidean Geometry. New York: Dover, 2010, pp 188-191.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Rectas isogonales

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

En esta ocasión hablaremos sobre un tipo mas general de pares de rectas que las medianas y simedianas, estas son las rectas isogonales, esto nos permitirá hablar sobre pares de puntos mas generales que el centroide y el punto simediano, nos referimos a los puntos conjugados isogonales y a sus triángulos pedales.

Rectas isogonales

Definición 1. Dos rectas que pasan por el vértice de un ángulo tales que una es la reflexión de la otra respecto a la bisectriz del ángulo, se llaman rectas isogonales.

Teorema 1. Las distancias a los lados de un ángulo desde dos puntos en dos rectas que pasan por el vértice del ángulo son inversamente proporcionales si y solo si las rectas son isogonales.

Demostración. Si $A P$ y $A Q$ son dos rectas isogonales respecto del ángulo $∠ B A C$ , considera $P_{c}$ , $Q_{c}$ , las proyecciones de $P$ y $Q$ en $A B$ , y $P_{b}$ , $Q_{b}$ , las proyecciones de $P$ y $Q$ en $A C$ .

Como $A P$ , $A Q$ son isogonales entonces $∠ B A P = ∠ Q A C$ y tenemos las siguientes semejanzas $△ A P P_{c} \sim △ A Q Q_{b}$ , $△ A P P_{b} \sim △ A Q Q_{c}$ por lo tanto,
$\frac{P P_{c}}{Q Q_{b}} = \frac{A P}{A Q} = \frac{P P_{b}}{Q Q_{c}}$ .

Ahora supongamos que las distancias a los lados del ángulo, desde $P$ y $Q$ , son inversamente proporcionales.

Notemos que los cuadriláteros $A P_{c} P P_{b}$ , $A Q_{c} Q Q_{b}$ son cíclicos, por lo tanto, los pares de ángulos $∠ B A C$ , $∠ P_{b} P P_{c}$ y $∠ B A C$ , $∠ Q_{b} Q Q_{c}$ son suplementarios, entonces $∠ P_{b} P P_{c} = ∠ Q_{b} Q Q_{c}$ .

Por hipótesis tenemos que $P P_{c} \times Q Q_{c} = P P_{b} \times Q Q_{b}$
$\Rightarrow \frac{P P_{c}}{Q Q_{b}} = \frac{P P_{b}}{Q Q_{c}}$ .

Por criterio de semejanza LAL, $△ P P_{b} P_{c} \sim △ Q Q_{c} Q_{b}$ , y como $A P_{c} P P_{b}$ , $A Q_{c} Q Q_{b}$ son cíclicos, entonces
$∠ B A P = ∠ P_{c} P_{b} P = ∠ Q Q_{c} Q_{b} = ∠ Q A C$ .

Por lo tanto $A P$ y $A Q$ son isogonales.

Puntos conjugados isogonales

Teorema 2. Si tres cevianas de un triángulo son concurrentes, entonces sus rectas isogonales respecto de los ángulos del triángulo son concurrentes, los puntos de concurrencia se llaman conjugados isogonales respecto al triángulo considerado.

Si en $△ A B C$ , $A P$ , $B P$ , $C P$ son tres cevianas concurrentes, consideremos $Q$ la intersección de las isogonales $B Q$ , $C Q$ de $B P$ y $C P$ respectivamente, sean $P_{a}$ , $P_{b}$ , $P_{c}$ ; $Q_{a}$ , $Q_{b}$ , $Q_{c}$ , las proyecciones de $P$ y $Q$ en $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente.

Por el teorema 1, $\frac{P P_{a}}{P P_{c}} = \frac{Q Q_{c}}{Q Q_{a}}$ y $\frac{P P_{b}}{P P_{a}} = \frac{Q Q_{a}}{Q Q_{b}}$ .

Como resultado, $P P_{c} \times Q Q_{c} = P P_{a} \times Q Q_{a} = P P_{b} \times Q Q_{b}$ .

Por el teorema 1, $P$ y $Q$ están sobre rectas isogonales repecto de $∠ B A C$ .

Proposición 1. Dados un ángulo y un punto, la recta que une las proyecciones del punto a los lados del ángulo, es perpendicular a la isogonal a la recta que une el vértice del ángulo con el punto dado.

Demostración. En la entrada simediana probamos la misma proposición, pero para simedianas y medianas, la demostración permanece igual para el caso general.

Corolario. Dados un triángulo $△ A B C$ y un punto $P$ , las perpendiculares desde los vértices del triángulo a los lados del triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ , concurren en el conjugado isogonal de $P$ respecto de $△ A B C$ .

Demostración. Aplicamos la proposición anterior a los tres ángulos del triángulo y recordamos que las tres isogonales a $A P$ , $B P$ y $C P$ son concurrentes (figura 2).

Proposición 2. El conjugado isogonal de un punto respecto a un triángulo es un punto al infinito si y solo si el punto se encuentra en el circuncírculo del triángulo.

Demostración. Sean $△ A B C$ , y $P$ un punto, recordemos que el triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ degenera en una recta, la recta de Simson, sí y solo si $P$ esta en el circuncírculo de $△ A B C$ .

Por la proposición 1, las rectas isogonales a $A P$ , $B P$ , $C P$ , respecto de los ángulos de $△ A B C$ son perpendiculares a los lados del triángulo pedal, por lo tanto estas rectas son paralelas si y solo si las proyecciones de $P$ en los lados de $△ A B C$ son colineales.

Ya que las rectas paralelas se intersecan en un punto ideal y las isogonales a $A P$ , $B P$ , $C P$ se intersecan en el conjugado isogonal a $P$ , se tiene el resultado.

Circulo pedal de conjugados isogonales

Proposición 3. Las proyecciones a los lados de un ángulo desde dos puntos en dos rectas isogonales son cíclicos y el centro de la circunferencia es el punto medio entre $P$ y $Q$ .

Demostración. En la demostración del teorema 1, vimos que se tienen la siguientes semejanzas, $△ A P P_{c} \sim △ A Q Q_{b}$ , $△ A P P_{b} \sim △ A Q Q_{c}$ , es decir,
$\frac{A P_{c}}{A Q_{b}} = \frac{A P}{A Q} = \frac{A P_{b}}{A Q_{c}}$
$\Rightarrow A P_{c} \times A Q_{c} = A P_{b} \times A Q_{b}$ .

Por el teorema de las cuerdas, $P_{c} Q_{b} P_{b} Q_{c}$ es un cuadrilátero cíclico.

Por otra parte, en $△ P_{c} Q_{c} P$ , la mediatriz de $P_{c} Q_{c}$ es paralela a $P_{c} P$ y pasa por el punto medio de $P_{c} Q_{c}$ , por lo tanto pasa por el punto medio de $P Q_{c}$ .

En $△ P Q_{c} Q$ la mediatriz de $P_{c} Q_{c}$ es paralela a $Q_{c} Q$ y pasa por el punto medio de $P Q_{c}$ por lo tanto pasa por el punto medio de $P Q$ .

Igualmente vemos que la mediatriz de $P_{b} Q_{b}$ pasa por el punto medio de $P Q$ .

Como $P_{c} Q_{c}$ y $P_{b} Q_{b}$ son cuerdas de la circunferencia sus mediatrices se intersecan en el centro, por lo tanto este coincide con el punto medio de $P Q$ .

Teorema 3. Los triángulos pedales de dos puntos que son conjugados isogonales respecto a un triángulo tienen el mismo circuncírculo y su centro es el punto medio entre los puntos isogonales, esta circunferencia se conoce como circulo pedal de los puntos conjugados isogonales.

Demostración. Sean $O$ el punto medio de $P Q$ y $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ , $△ Q_{a} Q_{b} Q_{c}$ , los triángulos pedales de $P$ y $Q$ .

Por la proposición anterior, $Q_{c} P_{C} Q_{b} P_{b}$ es cíclico, con centro en $O$ , $Q_{c} P_{c} P_{a} Q_{a}$ es cíclico con centro en $O$ , $P_{b} P_{a} Q_{a} Q_{b}$ es cíclico con centro en $O$ .

Como estas tres circunferencias son concéntricas y tienen el mismo radio, son la misma.

Teorema 4. Dado un triángulo $△ A B C$ y un punto $P$ , el circuncírculo del triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ , corta a los lados de $△ A B C$ en los vértices del triángulo pedal del conjugado isogonal de $P$ respecto a $△ A B C$ .

Demostración. Si $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ es el triángulo pedal de $P$ (figura 5), sean $Q_{a} \in B C$ , $Q_{b} \in C A$ , $Q_{c} \in A B$ , las otras tres intersecciones de $Γ (O)$ , el circuncírculo de $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ con $△ A B C$ , consideremos $Q$ el conjugado isogonal de $P$ respecto $△ A B C$ y $O M ∥ P P_{a}$ , con $M \in P_{a} Q$ .

Como $O M ∥ P P_{a}$ y pasa por el punto medio de $P Q$ entonces $M$ es el punto medio de $P_{a} Q$ .

Como $O M ⊥ P_{a} Q_{a}$ y pasa por $O$ entonces es la mediatriz de $P_{a} Q_{a}$ y por lo tanto biseca a $P_{a} Q_{a}$ .

Ya que $O M$ biseca a $P_{a} Q_{a}$ y $P_{a} Q$ entonces $O M ∥ Q Q_{a}$ .

Por lo tanto, $Q Q_{a} ⊥ B C$ , igualmente vemos que $Q Q_{b} ⊥ C A$ , $Q Q_{c} ⊥ A B$ .

En consecuencia, $△ Q_{a} Q_{b} Q_{c}$ es el triángulo pedal de $Q$ .

Proposición 4. Dado un triángulo $△ A B C$ y un punto $P$ , el centro del circuncírculo del triángulo cuyos vértices son las reflexiones de $P$ respecto de los lados de $△ A B C$ , es el conjugado isogonal de $P$ respecto de $△ A B C$ .

Demostración. Sean $P_{a}^{'}$ , $P_{b}^{'}$ , $P_{c}^{'}$ , las respectivas reflexiones de $P$ respecto de $B C$ , $C A$ y $A B$ , considera $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ el triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ .

Por construcción, $P$ es el centro de homotecia entre $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ y $△ P_{a}^{'} P_{b}^{'} P_{c}^{'}$ con razón de homotecia $2$ , por lo tanto, sus respectivos circuncírculos y sus circuncentros también están en homotecia con centro en $P$ y razón $2$ .

En consecuencia, si $O$ es el circuncentro de $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ , entonces el circuncentro de $△ P_{a}^{'} P_{b}^{'} P_{c}^{'}$ se encuentra en la reflexión $Q$ , de $P$ respecto de $O$ .

Por el teorema 3, $Q$ el conjugado isogonal de $P$ respecto de $△ A B C$ .

Triángulo antipedal

Definición 2. Dado un triángulo $△ A B C$ y un punto $P$ , el triángulo $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ formado por las perpendiculares a $A P$ , $B P$ , $C P$ , por los vértices de $△ A B C$ se llama triángulo antipedal de $P$ respecto de $△ A B C$

Notemos que $△ A B C$ es el triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Proposición 5. Sean $△ A B C$ y $P$ un punto, entonces el triángulo antipedal de $P$ respecto de $△ A B C$ y el triángulo pedal del conjugado isogonal de $P$ respecto de $△ A B C$ son homotéticos.

Demostración. Sea $Q$ el conjugado isogonal de $P$ respecto de $△ A B C$ , consideremos $Q_{a} \in B C$ , $Q_{b} \in C A$ , $Q_{c} \in A B$ , las proyecciones de $Q$ en lados de $△ A B C$ .

Por la proposición 1, la isogonal $C P$ , de $C Q$ , es perpendicular a $Q_{a} Q_{b}$ entonces $A^{'} B^{'} ∥ Q_{a} Q_{b}$ (figura 7).

Igualmente vemos que $B^{'} C^{'} ∥ Q_{b} Q_{c}$ y $C^{'} A^{'} ∥ Q_{c} Q_{a}$ .

Por lo tanto, existe una homotecia entre $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ y $△ Q_{a} Q_{b} Q_{c}$ .

Área del triangulo pedal

Teorema 5, de Euler. Sean $△ A B C$ y $P$ un punto, considera $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ el triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ y $(O, R)$ el circuncírculo de $△ A B C$ , entonces podemos calcular el área de $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ mediante la siguiente formula:
$(△ P_{a} P_{b} P_{c}) = \frac{| R^{2} - O P^{2} |}{4 R^{2}} (△ A B C)$ .

Demostración. Sean $D$ , $E$ , $F$ las segundas intersecciones de $A P$ , $B P$ , $C P$ con $(O, R)$ , veamos que $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ y $△ D E F$ son semejantes.

Tomando en cuenta que $P P_{c} P_{b} A$ y $P B P_{a} P_{c}$ son cíclicos tenemos:
$∠ D F E = ∠ D F P + ∠ P F E$
$= ∠ D A C + ∠ C B E = ∠ P A P_{b} + ∠ P_{a} B P$
$= (π - ∠ P_{b} P_{c} P) + (π - ∠ P P_{c} P_{a})$
$= 2 π - ∠ P_{b} P_{c} P_{a} = ∠ P_{a} P_{c} P_{b}$ .

De manera similar vemos que $∠ E D F = ∠ P_{b} P_{a} P_{c}$ y $∠ F E D = ∠ P_{c} P_{b} P_{a}$ , $\Rightarrow △ P_{a} P_{b} P_{c} \sim △ D E F$ .

Al triángulo $△ D E F$ se le conoce como triángulo circunscrito de Ceva de $P$ respecto de $△ A B C$ .

Recordemos que podemos calcular el área de un triángulo como el producto de sus lados entre cuatro veces su circunradio, si $R_{p}$ es el circunradio de $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ , entonces

$\begin{matrix} (1) & \frac{(△ P_{a} P_{b} P_{c})}{(△ A B C)} = \frac{P_{a} P_{b}}{A B} \times \frac{P_{b} P_{c}}{B C} \times \frac{P_{c} P_{a}}{C A} \times \frac{R}{R_{p}} . \end{matrix}$

Con el fin de calcular la última ecuación, consideremos los siguientes argumentos.

Como $△ P_{a} P_{b} P_{c} \sim △ D E F$ entonces $\frac{R}{R_{p}} = \frac{D E}{P_{a} P_{b}}$ .

Ya que $A B D E$ es cíclico, entonces $△ P A B \sim △ P E D$ , esto es
$\frac{P A}{P E} = \frac{A B}{E D}$ .

También, como $P P_{c} P_{b} A$ y $P B P_{a} P_{c}$ $P P_{a} C P_{b}$ son cíclicos y aplicando la ley extendida de los senos tenemos,
$P_{b} P_{c} = P A \sin ∠ A$ y $P_{c} P_{a} = P B \sin ∠ B$ .

Ahora, aplicamos la ley extendida de los senos en $△ A B C$ ,
$\frac{\sin ∠ A}{B C} = \frac{1}{2 R} = \frac{\sin ∠ B}{A C}$ .

Finalmente, la potencia de $P$ respecto de $(O, R)$ es $P B \times P E = | R^{2} - O P^{2} |$ .

Sustituyendo lo anterior en $(1)$ obtenemos:

$\frac{(△ P_{a} P_{b} P_{c})}{(△ A B C)} = \frac{P_{a} P_{b}}{A B} \times \frac{P A \sin ∠ A}{B C} \times \frac{P B \sin ∠ B}{C A} \times \frac{D E}{P_{a} P_{b}}$
$= \frac{P E}{P A} \times \frac{P A \times P B}{(2 R) (2 R)}$
$= \frac{| R^{2} - O P^{2} |}{4 R^{2}}$ .

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos sobre un par de puntos conjugados isogonales en particular, se trata de los puntos de Brocard, que tienen algunas propiedades especiales dentro de un triángulo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Muestra que:
$i)$ el ortocentro y el circuncentro de un triángulo son conjugados isogonales,
$i i)$ el incentro y los excentros de un triángulo son sus propios conjugados isogonales.
Sea $P$ un punto dentro de un triangulo $△ A B C$ , considera a $Q$ su conjugado isogonal, muestra que $∠ B P C + ∠ B Q C = π + ∠ B A C$ .
Sean $P$ y $Q$ puntos conjugados isogonales respecto a un triangulo $△ A B C$ , prueba que $\frac{A P \times A Q}{A B \times A C} + \frac{B P \times B Q}{B A \times B C} + \frac{C P \times C Q}{C A \times C B} = 1$ .
Sean $△ A B C$ y $P$ un punto en su interior, considera $△ P_{a} P_{b} P_{c}$ el triángulo pedal de $P$ respecto $△ A B C$ , supón que $P_{a} P_{b} ⊥ P_{a} P_{c}$ , muestra que el conjugado isogonal de $P$ respecto de $△ A B C$ es el ortocentro de $△ A P_{b} P_{c}$ .
En la figura 7, muestra que el producto de los triángulos homotéticos es igual al cuadrado del área de $△ A B C$ .

Entradas relacionadas

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Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 267-273.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 95-108.
Lozanovski, S., A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry. Version 1.4. 2020, pp 169-176.
Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 153-157.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Circunferencias de Lemoine

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

En esta entrada veremos un conjunto de circunferencias que surgen de una construcción particular a partir del punto simediano o punto de Lemoine, las circunferencias de Lemoine, y su generalización, las circunferencias de Tucker.

Primera circunferencia de Lemoine

Teorema 1. Si por el punto simediano de un triángulo dado trazamos paralelas a los lados del triángulo, entonces estas tres paralelas intersecan a los lados del triángulo en seis puntos cíclicos, a dicha circunferencia se le conoce como primera circunferencia de Lemoine.

Demostración. En $△ A B C$ , sean $K$ el punto de Lemoine, $Z^{'} K Y ∥ B C$ , $X^{'} K Z ∥ C A$ , $Y^{'} K X ∥ A B$ , $X$ , $X^{'} \in B C$ , $Y$ , $Y^{'} \in C A$ , $Z$ , $Z^{'} \in A B$ .

Dado que $K Y^{'} ∥ A Z$ y $K Z ∥ A Y^{'}$ , $A Z K Y^{'}$ es paralelogramo, por lo tanto, $A K$ biseca a $Z Y^{'}$ , de esto se sigue que $Z Y^{'}$ es antiparalela a $B C$ respecto a $A B$ y $C A$ .

Como $Z^{'} Y ∥ B C$ , entonces $Z^{'} Y$ y $Z Y^{'}$ son antiparalelas respecto a $A B$ y $C A$ , es decir, $Z Z^{'} Y Y^{'}$ es cíclico.

Igualmente podemos ver qué $X Z^{'}$ , $C A$ son antiparalelas respecto a $A B$ , $B C$ y que $Z^{'} X X^{'} Z^{'}$ es cíclico.

Como $Z^{'} Y ∥ B C$ y $Z Z^{'} Y Y^{'}$ es cíclico entonces $∠ Z^{'} Z Y^{'} = ∠ A + ∠ B$ .

Como $X Z^{'}$ y $C A$ son antiparalelas entonces $∠ Z^{'} X B = ∠ A$ , ya que $A B ∥ X Y^{'}$ tenemos que $∠ C X Y^{'} = ∠ B$ , por lo anterior tenemos que $∠ Y^{'} X Z^{'} = ∠ C$ .

Entonces, como los ángulos $∠ Y^{'} X Z^{'}$ , $∠ Z^{'} Z Y^{'}$ son suplementarios, $Z^{'} X Y^{'} Z$ es cíclico, por lo tanto, $X$ , $Y$ , $Y^{'}$ , $Z$ , $Z^{'}$ , están en la misma circunferencia.

Finalmente, como $X^{'}$ esta en el circuncírculo de $△ X Z Z^{'}$ entonces el hexágono $X Y^{'} Z X^{'} Y Z^{'}$ es cíclico.

Proposición 1. El centro de la primera circunferencia de Lemoine es el punto medio entre el circuncentro y el punto de Lemoine.

Demostración. En la figura 1, del teorema anterior, sean $O$ el circuncentro de $△ A B C$ y $M = A K \cap Z Y^{'}$ , considera $L$ el punto medio de $K O$ , con $K$ el punto de Lemoine.

Como $A Z K Y^{'}$ es paralelogramo, entonces $M$ es punto medio de $A K$ y $Z Y^{'}$ .

En $△ A O K$ , $L M$ es un segmento medio, por lo tanto, $M L ∥ A O$ .

Ya que $Z Y^{'}$ , $B C$ son antiparalelas respecto a $A B$ , $C A$ , entonces $Z Y^{'}$ es paralela a la tangente al circuncírculo de $△ A B C$ por $A$ , por lo tanto, $A O ⊥ Z Y^{'}$ .

En consecuencia, $M L ⊥ Z Y^{'}$ , como $M$ es el punto medio de $Z Y^{'}$ entonces $L$ esta en la mediatriz de $Z Y^{'}$ .

Igualmente vemos que $L$ esta en la mediatriz de $X Z^{'}$ , $Y X^{'}$ , por lo tanto, $L$ es el centro de la primera circunferencia de Lemoine.

Proposición 2. Las cuerdas de la primera circunferencia de Lemoine, contenidas en los lados del triángulo, son proporcionales a los cubos de dichos lados.

Demostración. Sean $D$ y $H_{a}$ las proyecciones de $K$ y $A$ en $B C$ respectivamente (figura 1), como $Y^{'} X ∥ A B$ y $X^{'} Z ∥ C A$ entonces $△ A B C$ y $△ K X X^{'}$ son semejantes.

Por lo tanto,
$\frac{X X^{'}}{B C} = \frac{K D}{A H_{a}}$
$= \frac{B C \times 2 (△ A B C)}{A B^{2} + B C^{2} + C A^{2}} \times \frac{B C}{2 (△ A B C)}$ .

Donde la segunda igualdad se sigue del corolario 2 de la entrada anterior y de considerar el área de $△ A B C$ .

$\Rightarrow X X^{'} = \frac{B C^{3}}{A B^{+} B C^{2} + C A^{2}}$ .

De manera similar se ve que
$Y Y^{'} = \frac{C A^{3}}{A B^{+} B C^{2} + C A^{2}}$ ,
$Z Z^{'} = \frac{A B^{3}}{A B^{+} B C^{2} + C A^{2}}$ .

Segunda circunferencia de Lemoine

Teorema 2. Si por el punto simediano $K$ de un triángulo trazamos antiparalelas a los lados del triángulo, entonces estas tres antiparalelas intersecan a los lados del triángulo en seis puntos cíclicos con centro en $K$ , a dicha circunferencia se le conoce como segunda circunferencia de Lemoine.

Demostración. En $△ A B C$ sean $K$ el punto de Lemoine, $Z^{'} K Y$ antiparalela a $B C$ respecto a $A B$ y $C A$ , $X^{'} K Z$ antiparalela a $C A$ respecto a $A B$ y $B C$ , $Y^{'} K X$ antiparalela a $A B$ respecto a $B C$ y $C A$ , $X$ , $X^{'} \in B C$ , $Y$ , $Y^{'} \in C A$ , $Z$ , $Z^{'} \in A B$ .

Como $X^{'} Z$ y $C A$ son antiparalelas, entonces $B K$ biseca a $X^{'} Z$ , de manera análoga vemos que $C K$ biseca a $Y^{'} X$ .

Dado que las antiparalelas $X^{'} Z$ e $Y^{'} X$ se intersecan en la $A$ -simediana, entonces son iguales en magnitud.

Como resultado, concluimos que $X X^{'} Y^{'} Z$ es un rectángulo, por lo tanto, $X$ , $X^{'}$ , $Y^{'}$ , $Z$ , están en una circunferencia con centro en $K$ .

Igualmente podemos ver que $A K$ biseca a $Y Z^{'}$ y que $X Y^{'} = Y Z^{'} = Z X^{'}$ .

Por lo tanto, el hexágono $X Y^{'} Z X^{'} Y Z^{'}$ es cíclico.

Proposición 4. Las cuerdas de la segunda circunferencia de Lemoine, contenidas en los lados del triángulo son proporcionales a los cosenos de los ángulos opuestos a dichos lados, razón por la cual también es conocida como circunferencia de los cosenos.

Demostración. Dado que $Y^{'} X$ y $A B$ son antiparalelas respecto a $B C$ y $C A$ (figura 2), entonces $∠ X^{'} X Y^{'} = ∠ A$ .

Como $△ Y^{'} X^{'} X$ es un triangulo rectángulo, entonces $\cos ∠ A = \cos ∠ X^{'} X Y^{'} = \frac{X X^{'}}{Y^{'} X}$ .

Como $Y^{'} X = X^{'} Z = Z^{'} Y = q$ , entonces $X X^{'} = q \cos ∠ A$ .

Igualmente podemos ver que $Y Y^{'} = q \cos ∠ B$ y $Z Z^{'} = q \cos ∠ C$ .

Circunferencia de Tucker

Teorema 3. Si aplicamos una homotecia a un triángulo con centro en su punto de Lemoine entonces los lados del triángulo imagen cortaran a los lados del triángulo original en seis puntos cíclicos, a esta circunferencia se le conoce como circunferencia de Tucker.

Demostración. Sea $K$ el punto de Lemoine de $△ A B C$ y $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ su imagen bajo una homotecia con centro en $K$ , entonces los lados correspondientes son paralelos.

Sean $X$ , $X^{'}$ las intersecciones de $A^{'} B^{'}$ y $C^{'} A^{'}$ con $B C$ , $Y$ , $Y^{'}$ las intersecciones de $B^{'} C^{'}$ y $A^{'} B^{'}$ con $C A$ , $Z$ , $Z^{'}$ las intersecciones de $C^{'} A^{'}$ y $B^{'} C^{'}$ con $A B$ .

Como $A Z A^{'} Y^{'}$ es un paralelogramo entonces $A K$ biseca $Y^{'} Z$ , por lo tanto $Y^{'} Z$ es antiparalela a $B C$ respecto a $A B$ , $C A$ .

De manera análoga, los pares de rectas $X Z^{'}$ , $C A$ ; $Y X^{'}$ , $A B$ son antiparalelas.

A partir de aquí la demostración es igual a la del teorema 1.

Proposición 5. El centro de la circunferencia de Tucker se encuentra en la recta que une al punto de Lemoine con el circuncentro del triángulo.

Demostración. Sean $O$ el circuncentro de $△ A B C$ y $M$ el punto medio de $Y^{'} Z$ (figura 3), como $△ A B C$ y $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ son homotéticos la paralela por $A^{'}$ a $A O$ interseca a $K O$ en $O^{'}$ el circuncentro de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Por $M$ trazamos una paralela a $A O$ que interseca a $K O$ en $T$ .

Como $A^{'} O^{'} ∥ M T$ entonces $\frac{K A^{'}}{A^{'} M} = \frac{K O^{'}}{O^{'} T}$ .

Como $A O ∥ M T$ entonces $\frac{K M}{M A} = \frac{K T}{T O}$ .

Pero
$\frac{K M}{K T} = \frac{K A^{'} + A^{'} M}{K O^{'} + O^{'} T}$
$= (\frac{A^{'} M \times K O^{'}}{O^{'} T} + A^{'} M) (\frac{1}{K O^{'} + O^{'} T})$
$= A^{'} M (\frac{K O^{'} + O^{'} T}{O^{'} T}) (\frac{1}{K O^{'} + O^{'} T}) = \frac{A^{'} M}{O^{'} T}$ .

Por lo tanto, como $M$ también es el punto medio de $A A^{'}$ por ser $A Z A^{'} Y^{'}$ paralelogramo, tenemos
$1 = \frac{A^{'} M}{M A} = \frac{O^{'} T}{T O}$ .

Es decir, $T$ es el punto medio de $O O^{'}$ .

Por otra parte $A O ⊥ Y^{'} Z$ , pues $Y^{'} Z$ es paralela a la tangente al circuncírculo de $△ A B C$ en $A$ , entonces $T M ⊥ Y^{'} Z$ .

Por lo tanto, $T$ esta en la mediatriz de $Y^{'} Z$ .

Igualmente vemos que $T$ esta en la mediatriz de $Z^{'} X$ , $X^{'} Y$ , en consecuencia, $T$ es el centro de la circunferencia de Tucker y está en la recta $K O$ .

Circunferencia de Taylor

Teorema 4. Dado un triángulo, las proyecciones de los vértices de su triángulo órtico en los lados del triángulo original están en una circunferencia de Tucker, a esta circunferencia se le conoce como circunferencia de Taylor.

Demostración. Sea $△ A B C$ y $△ H_{a} H_{b} H_{c}$ su triangulo órtico, sean $X$ , $X^{'}$ las proyecciones de $H_{c}$ y $H_{b}$ en $B C$ , $Y$ , $Y^{'}$ las proyecciones de $H_{a}$ y $H_{c}$ en $C A$ , $Z$ , $Z^{'}$ las proyecciones de $H_{b}$ y $H_{a}$ en $A B$ .

$H_{c} B C H_{b}$ es cíclico pues $∠ B H_{c} C = ∠ B H_{b} C = \frac{π}{2}$ , así que $∠ H_{b} H_{c} Z = ∠ C$ .

$∠ Z H_{c} H_{b} Y^{'}$ también es cíclico pues $∠ H_{c} Z H_{b} = ∠ H_{c} Y^{'} H_{b} = \frac{π}{2}$ , así que $∠ A Y^{'} Z = ∠ H_{b} H_{c} Z = ∠ C$ .

Por lo tanto, $Z Y^{'} ∥ B C$ .

Igualmente vemos que $X Z^{'} ∥ C A$ y $Y X^{'} ∥ A B$ .

En consecuencia, el triángulo $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ que se forma al extender $Z Y^{'}$ , $X Z^{'}$ , $Y X^{'}$ , es inversamente homotético con $△ A B C$ .

Sea $H$ el ortocentro de $△ A B C$ , como $H H_{c} ∥ H_{a} Z^{'}$ y $H H_{b} ∥ H_{a} Y$ , entonces
$\frac{H H_{c}}{H_{a} Z^{'}} = \frac{A H}{A H_{A}} = \frac{H H_{b}}{H_{a} Y}$ .

Por criterio de semejanza LAL, $△ H H_{c} H_{b} \sim △ H_{a} Z^{'} Y$ , por lo tanto, $Z^{'} Y ∥ H_{c} H_{b}$ .

De esto último y tomando en cuenta que $H_{c} B C H_{b}$ es cíclico, se sigue que $Z^{'} B C Y$ es cíclico, es decir $Z^{'} Y$ y $B C$ son antiparalelas respecto de $A B$ , $C A$ .

Por otra parte, $A Z^{'} A^{'} Y$ es paralelogramo, así que $A A^{'}$ biseca a $Z^{'} Y$ .

Esto implica que $A A^{'}$ es la $A$ -simediana de $△ A B C$ .

De manera análoga vemos que $B B^{'}$ y $C C^{'}$ son simedianas, por lo tanto, $A A^{'}$ , $B B^{'}$ , $C C^{'}$ concurren en el punto simediano $K$ de $△ A B C$ .

Por el teorema anterior, se sigue que $X$ , $X^{'}$ , $Y$ , $Y^{'}$ , $Z$ , $Z^{'}$ , están en una circunferencia de Tucker.

Más adelante…

En la siguiente entrada estudiaremos propiedades mas generales de rectas que como la mediana y la simediana, son reflexión respecto de la bisectriz de un ángulo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

En la figura 1, muestra que:
$i)$ $X^{'} Y = Y^{'} Z = Z^{'} X$ ,
$i i)$ el incírculo del triángulo que se forma al extender $X^{'} Y$ , $Y^{'} Z$ y $Z^{'} X$ , es concéntrico con la primer circunferencia de Lemoine de $△ A B C$ .
Muestra que si tres diámetros de una circunferencia tienen sus extremos en los lados de un triángulo, entonces dicha circunferencia es la segunda circunferencia de Lemoine del triángulo y su centro es el punto de Lemoine.
Muestra que el circuncírculo de un triángulo, la primera y la segunda circunferencias de Lemoine, son circunferencias de Tucker y encuentra la razón de homotecia con centro en el punto de Lemoine, que da origen a cada una.
Demuestra que el centro de la circunferencia de Taylor de un triángulo es el punto de Spieker de su triángulo órtico. En la figura 4, el incentro del triángulo medial de $△ H_{a} H_{b} H_{c}$ .
En la figura 4 demuestra que:
$i)$ el punto de Lemoine de $△ A B C$ coincide con el punto de Gergonne del triángulo medial de su triángulo órtico, $△ H_{a} H_{b} H_{c}$ ,
$i i)$ el punto de Nagel del triángulo órtico $△ H_{a} H_{b} H_{c}$ es colineal con el ortocentro y el circuncentro de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ,
$i i i)$ las bisectrices internas del triángulo medial de $△ H_{a} H_{b} H_{c}$ , son perpendiculares a los lados de $△ A B C$ .

Entradas relacionadas

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Entrada anterior del curso: Punto simediano.
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Otros cursos.

Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 257-260, 284-287.
Honsberger, R., Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington: The Mathematical Association of America, 1995, pp 87-98.
Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 271-277.
Shively, L., Introducción a la Geómetra Moderna. México: Ed. Continental, 1961, pp 76-79.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Punto simediano

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

2 respuestas

Introducción

El punto simediano es el punto en el que concurren las simedianas de un triángulo, es otro punto notable del triángulo, en esta entrada veremos algunas de sus propiedades.

Punto simediano

Teorema 1. Las tres simedianas de un triángulo son concurrentes, al punto de concurrencia se le conoce como punto simediano o punto de Lemoine a menudo denotado con la letra $K$ .

Demostración. En la entrada teorema de Menelao mostramos que un triángulo $△ A B C$ y su triangulo tangencial $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ , están en perspectiva desde una recta, conocida como eje de Lemoine.

Por el teorema de Desargues, $△ A B C$ y $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ están en perspectiva desde un punto, es decir, $A K_{a}$ , $B K_{b}$ y $C K_{c}$ concurren en un punto $K$ .

Por el teorema 2 de la entrada anterior, dos exsimedianas (los lados del triángulo tangencial $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ ) y una simediana, que pasan por vértices distintos de $△ A B C$ concurren en un punto exsimediano, es decir, $A K_{a}$ , $B K_{b}$ , $C K_{c}$ son las simedianas de $△ A B C$ .

Observación. Como el eje de Lemoine de $△ A B C$ es el eje de Gergonne de $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ , entonces el punto de Lemoine de $△ A B C$ es el punto de Gergonne de $△ K_{a} K_{b} K_{c}$ , su triángulo tangencial.

Corolario 1. Sea $S = A K \cap B C$ entonces $A K S K_{a}$ es una hilera armónica de puntos.

Demostración. Por el corolario de la entrada anterior $B (A K_{b} C K_{a})$ es un haz armónico de rectas y como $A D$ es transversal entonces sus intersecciones con el haz forman una hilera armónica.

Triángulo pedal del punto simediano

Definición. Dados un triángulo $△ A B C$ y un punto $P$ , el triángulo pedal de $P$ respecto de $△ A B C$ , es aquel cuyos vértices son las proyecciones de $P$ en los lados de $△ A B C$ . Por ejemplo, el triángulo órtico es el triángulo pedal del ortocentro.

Teorema 2, de Lemoine. El punto simediano es el único punto del plano que es el centroide de su propio triángulo pedal.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $K$ su punto simediano, considera $X$ , $Y$ y $Z$ las proyecciones de $K$ en $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente, sea $X^{'} \in K X$ tal que $Y X^{'} ∥ K Z$ .

Entonces $△ A B C \sim △ Y X^{'} K$ , pues sus respectivos lados son perpendiculares, esto es
$\frac{A B}{A C} = \frac{Y X^{'}}{Y K}$ .

Pero $\frac{A B}{A C} = \frac{K Z}{K Y}$ pues $K$ esta en la $A$ -simediana, por lo tanto $K Z = Y X^{'}$ .

En consecuencia, $X^{'} Z K Y$ es un paralelogramo y por lo tanto $K X^{'}$ biseca a $Y Z$ .

Como resultado tenemos que $X K$ es mediana de $△ X Y Z$ .

De manera análoga vemos que $Y K$ , $Z K$ son medianas de $△ X Y Z$ , por lo tanto, $K$ es el centroide de su triangulo pedal.

Recíprocamente, supongamos que $K$ es el centroide de su triángulo pedal $△ X Y Z$ respecto a $△ A B C$ , con $X \in B C$ , $Y \in C A$ , $Z \in A B$ , sea $M$ el punto medio de $Y Z$ , extendemos $K M$ hasta un punto $X^{'}$ tal que $K M = M X^{'}$ .

Como $Y Z$ y $K X^{'}$ se bisecan entonces $X^{'} Z K Y$ es un paralelogramo, entonces $Y X^{'} = K Z$ y $Y X^{'} ∥ K Z$ .

Ya que los lados de $△ Y X^{'} K$ son perpendiculares a los lados de $△ A B C$ , entonces son semejantes, esto es
$\frac{A B}{A C} = \frac{Y X^{'}}{Y K} = \frac{K Z}{K Y}$ .

Por lo tanto, $K$ está en la $A$ -simediana, igualmente vemos que $K$ pertenece a las $B$ y $C$ -simedianas.

En consecuencia, $K$ es el punto simediano de $△ A B C$ .

Conjugado isotómico del punto simediano

Teorema 3. Las rectas que unen el punto medio del lado de un triángulo con el punto medio de la altura perpendicular a ese lado concurren en el punto simediano del triángulo.

Demostración. Sean $△ A B C$ , $K$ el punto simediano, $K_{b}$ el punto exsimediano opuesto al vértice $B$ , $S = B K_{b} \cap C A$ .

Por el corolario 1, $B K S K_{b}$ es una hilera armónica, por lo tanto, $B^{'} (B K S K_{b})$ es un haz armónico, donde $B^{'}$ es el punto medio de $C A$ .

Considera $O$ el circuncentro de $△ A B C$ y $H_{b}$ el pie de la altura por $B$ , notemos que $O$ , $B^{'}$ y $K_{b}$ son colineales, por lo tanto, $B^{'} K_{b}$ es perpendicular a $C A$ y así $B H_{b} ∥ B^{'} K_{b}$ .

Como $B H_{b}$ es paralela a una de las rectas del haz armónico, entonces las otras tres rectas del haz dividen a $B H_{b}$ en dos segmentos iguales, es decir $B^{'} K$ biseca a $B H_{b}$ .

Igualmente vemos que $A^{'} K$ y $C^{'} K$ bisecan a $A H_{a}$ y $C H_{c}$ respectivamente, y de esto concluimos la concurrencia de las rectas mencionadas.

Proposición 1. El ortocentro de un triángulo y el punto simediano de su triángulo anticomplementario son conjugados isotómicos respecto del triángulo original.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ su triángulo anticomplementario.

Como $A B$ y $A C$ son segmentos medios de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , entonces $A B A^{'} C$ es un paralelogramo, por lo tanto, $△ A B C$ y $△ A^{'} C B$ son congruentes, además $A A^{'}$ y $B C$ se intersecan en su punto medio $N$ .

Sean $H_{a}$ , $M_{a}$ los pies de las alturas desde $A$ y $A^{'}$ respectivamente en $B C$ , como $△ A B C ≅ △ A^{'} C B$ , entonces $A H_{a} = M_{a} A^{'}$ .

Por criterio de congruencia ALA, $△ A H_{a} N ≅ △ A^{'} M_{a} N$ , por lo que $H_{a} N = N M_{a}$ , es decir, el punto medio de $H_{a}$ y $M_{a}$ coincide con el punto medio de $B C$ ,

Por lo tanto, $H_{a}$ y $M_{a}$ son puntos isotómicos respecto de $△ A B C$ .

Sea $F$ el pie de la altura por $A^{'}$ en $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , como $A H_{a} M_{a} F$ es un rectángulo entonces $M_{a} A^{'} = A H_{a} = F M_{a}$ , y así $M_{a}$ es el punto medio de la altura $A^{'} F$ .

Por lo tanto, el segmento $A M_{a}$ une los puntos medios de un lado y una altura de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

De manera análoga vemos que los pies de las alturas en $△ A B C$ , $H_{b}$ , $H_{c}$ son isotómicos a los puntos medios de las alturas en $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , $M_{b}$ , $M_{c}$ , respectivamente.

Como las alturas de $△ A B C$ concurren en el ortocentro $H$ y, por el teorema 3, los segmentos $A M_{a}$ , $B M_{b}$ , $C M_{c}$ concurren en el punto simediano $S^{'}$ de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , entonces estos puntos son conjugados isotómicos respecto de $△ A B C$ .

Construcción de un triángulo dado su punto simediano

Problema. Construye un triángulo dados dos vértices $B$ , $C$ , y su punto simediano $K$ .

Solución. Supongamos que $△ A B C$ es el triángulo requerido y consideremos $G$ y $A^{'}$ el centroide y el punto medio de $B C$ respectivamente.

Sean $B^{'}$ , $C^{'} \in B C$ , tales que $B^{'} A ∥ B G$ y $A C^{'} ∥ G C$ .

Por el teorema de Tales tenemos
$\frac{1}{2} = \frac{A^{'} G}{G A} = \frac{A^{'} B}{B B^{'}} = \frac{A^{'} C}{C C^{'}}$ .

Por lo tanto, $B B^{'} = C C^{'} = 2 A^{'} B = B C$ , así que $B^{'}$ y $C^{'}$ pueden ser construidos teniendo $B$ y $C$ .

Por otro lado, como $B^{'} A ∥ B G$ y $A C^{'} ∥ G C$ y tomando en cuenta que $K$ esta en las reflexiones de $B G$ y $C G$ respecto de las bisectrices de $∠ B$ y $∠ C$ respectivamente, tenemos lo siguiente:

$∠ B^{'} A B = ∠ G B A = ∠ K B C$ y $∠ C A C^{'} = ∠ A C G = ∠ K C B$ .

Y estos ángulos son conocidos.

Entonces $B^{'} B$ y $C C^{'}$ subtienden ángulos conocidos en $A$ , por lo que podemos trazar los arcos de circunferencia que son el lugar geométrico de los puntos que subtienden estos ángulos.

Así que de la intersección de estos dos arcos resultara en el vértice faltante.

Notemos que los arcos pueden tener dos intersecciones, ser tangentes o no intersecarse, por lo tanto, existen dos, una o cero soluciones.

Distancia del punto simediano a los lados del triángulo

Proposición 2. El punto simediano de un triángulo es el único punto dentro del triángulo cuyas distancias a los lados del triángulo son proporcionales a los respectivos lados.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $K$ su punto simediano, considera $X$ , $Y$ y $Z$ las proyecciones de $K$ en $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente, denotemos $B C = a$ , $C A = b$ , $A B = c$ .

Dado que $K$ está en las tres simedianas del triángulo, por el teorema 4 de la entrada anterior, las razones de sus distancias a los lados del triángulo son proporcionales a estos:

$\begin{matrix} (2) & \frac{K Z}{K Y} = \frac{c}{b}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (3) & \frac{K Y}{K X} = \frac{b}{a}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (4) & \frac{K X}{K Z} = \frac{a}{c} . \end{matrix}$

Por $(1)$ , $(2)$ y $(3)$
$\frac{K X}{a} = \frac{K Y}{b} = \frac{K Z}{c} = q$ .

Por lo tanto,
$K Z = \frac{c K Y}{b} = c q$ ,
$K Y = \frac{b K X}{a} = b q$ ,
$K X = \frac{a K Z}{c} = a q$ .

La unicidad se da por que solo los puntos en las simedianas cumplen esa propiedad y solo $K$ se encuentra en las tres simedianas.

Corolario. 2 $K X = a \frac{2 (A B C)}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Demostración. Calculamos el área de $△ A B C$ en función de áreas menores (figura 6).

$(△ A B C) = (△ K B C) + (△ K C A) + (△ K A B)$
$= \frac{1}{2} (a K X + b K Y + c K Z)$
$= \frac{q}{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ .

Por lo tanto, $K X = a q = a \frac{2 (A B C)}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Teorema 4. La suma de los cuadrados de las distancias de un punto a los lados de un triángulo dado, es mínima si el punto es el punto simediano del triángulo.

Demostración. Sean $a$ , $b$ , $c$ , $x$ , $y$ , $z$ seis números reales entonces la siguiente igualdad es cierta:

$(a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = (a x + b y + c z)^{2} + (a y - b x)^{2} + (a z - c x)^{2} + (b z - c y)^{2}$ .

Para comprobarlo solo hace falta realizar los productos.

Podemos pensar estas cantidades como los lados de un triángulo $△ A B C$ , $B C = a$ , $C A = b$ , $A B = c$ , y $x$ , $y$ , $z$ , las distancias de un punto $K$ , a los lados de $△ A B C$ .

Notemos $a x + b y + c z$ representa al menos dos veces el área del triángulo $△ A B C$ , $2 (△ A B C)$ , que junto con $(a^{2} + b^{2} + c^{2})$ son constantes.

Como las cantidades $(a y - b x)^{2}$ , $(a z - c x)^{2}$ , $(b z - c y)^{2}$ son mayores o iguales a cero, entonces el mínimo se alcanza si se satisfacen las siguientes igualdades:
$\begin{matrix} (5) & (a y - b x)^{2} = (a z - c x)^{2} = (b z - c y)^{2} = 0, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (6) & a x + b y + c z = 2 (△ A B C) . \end{matrix}$

Por otra parte, por las ecuaciones $(1)$ , $(2)$ y $(3)$ sabemos que el punto simediano cumple $(4)$ y por el corolario 2 cumple $(5)$ , también podemos calcular directamente,

$K X^{2} + K Y^{2} + K Z^{2} = \frac{(2 (△ A B C))^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Por lo tanto, si $K$ es el punto simediano de $△ A B C$ , se alcanza el mínimo.

Más adelante…

En la próxima entrada veremos otra propiedad del punto simediano, o punto de Lemoine, que amerita su propia entrada, se trata de un conjunto de circunferencias asociadas a este punto.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Si $K$ es el punto simediano de $△ A B C$ , sea $X$ la proyección de $K$ en $B C$ , muestra que la reflexión de $X$ respecto de $K$ esta en la mediana que pasa por $A$ .
Encuentra el punto simediano de un triángulo rectángulo.
Sobre los lados de un triángulo $△ A B C$ construye cuadrados externamente, muestra que los lados (de los cuadrados) opuestos a los lados de $△ A B C$ se intersecan formando un triángulo homotético a $△ A B C$ , con centro de homotecia el punto simediano de $△ A B C$ .
Si las simedianas de $△ A B C$ intersecan a su circuncírculo en $D$ , $E$ y $F$ muestra que $△ A B C$ y $△ D E F$ tienen el mismo punto simediano.
$i)$ Muestra que las distancias a los lados de un triángulo desde sus puntos exsimedianos son proporcionales a las longitudes de los lados del triángulo,
$i i)$ calcula dichas distancias.
Prueba que de entre todos los triángulos inscritos en un triángulo dado, el triángulo pedal del punto simediano, es el que tiene la propiedad de que la suma de los cuadrados de sus lados es mínima.

Entradas relacionadas

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Siguiente entrada del curso: Circunferencias de Lemoine.
Otros cursos.

Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 252-257.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 129-145.
Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 215-218.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»