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Teoría de los Conjuntos I: Propiedades del producto cartesiano

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

En esta nueva entrada demostraremos algunas de las propiedades del producto cartesiano. Hablaremos acerca de la conmutatividad y asociatividad de esta operación. A partir de esta entrada haremos uso de los números naturales aunque formalmente no los hemos definido, por el momento los utilizaremos simplemente como números y no como conjuntos.

Producto cartesiano

Recordemos la definición de producto cartesiano:

Definición: Sean $A$ y $B$ conjuntos cualesquiera, definimos el producto cartesiano de $A$ y $B$, como:

$A\times B=\set{(a,b): a\in A\ y\ b\in B}$.

Ejemplo:

Consideremos los conjuntos $A=\set{0,1}$ y $B=\set{0,1,2,3}$, tenemos que $A\times B=\set{(0,0),(0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3)}$. De hecho, podemos representar geométricamente a este conjunto como se muestra en la siguiente imagen:

Imagen representación geométrica del producto cartesiano.

$\square$

Conmutatividad del producto cartesiano

En general el producto cartesiano no es conmutativo, es decir, si $A$ y $B$ son conjuntos, no es cierto que $A\times B=B\times A$.

Ejemplo:

Sean $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\set{\emptyset}}$, tenemos que:

$A\times B=\set{(\emptyset, \set{\emptyset})}$

Por otro lado,

$B\times A=\set{(\set{\emptyset},\emptyset)}$.

Dado que tanto $A\times B$ y $B\times A$ solo tienen un elemento, para que $A\times B=B\times A$ tendría que ocurrir que $(\emptyset,\set{\emptyset})=(\set{\emptyset}, \emptyset)$. Usando el teorema que vimos la sección pasada tendriamos que $\emptyset=\set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset}=\emptyset$, lo cual no ocurre. Por lo tanto, $A\times B\not=B\times A$.

$\square$

Veamos ahora bajo que condiciones el producto cartesiano si conmuta.

Proposición: Sean $A$ y $B$ conjuntos nos vacíos, tenemos que $A\times B=B\times A$ si y sólo si $A=B$.

Demostración:

$\rightarrow$] Supongamos que $A$ y $B$ son conjuntos no vacíos tales que $A\times B=B\times A$. Veamos que $A=B$.

Sea $x\in A$, luego como $B\not=\emptyset$ existe $y\in B$ y así la pareja $(x,y)\in A\times B$. Por hipótesis $A\times B=B\times A$, por lo que $(x,y)\in B\times A$, esto es $x\in B$ y $y\in A$. En particular, $x\in B$ y por lo tanto, $A\subseteq B$.

Para ver que $B\subseteq A$ seguimos el mismo argumento que el anterior.

Por lo tanto, $A=B$.

$\leftarrow$] Supongamos ahora que $A=B$, tenemos que $A\times B=B\times A$.

$\square$

Asociatividad del producto cartesiano

Además de preguntarnos acerca de la conmutatividad podemos preguntarnos si el producto cartesiano es asociativo. Para tratar la asociatividad de una operación son necesarios tres conjuntos, sin embargo, no hemos visto la definición de producto cartesiano para más de dos conjuntos.

Para el producto cartesiano de tres conjuntos, necesitamos definir primero a una terna ordenada:

Definición: Sean $a,b,c$ conjuntos, definimos la terna ordenada $(a,b,c)$ como:

$(a,b,c)=((a,b),c)$.

Ejemplo:

\begin{align*}
(\emptyset, \emptyset,\emptyset) &=((\emptyset, \emptyset),\emptyset)\\
&=(\set{\set{\emptyset},\set{\emptyset,\emptyset}},\emptyset)\\
&=(\set{\set{\emptyset}},\emptyset)\\
&=\set{\set{\set{\set{\emptyset}}},\set{\set{\set{\emptyset}},\emptyset}}.
\end{align*}

$\square$

Sin embargo, existe otra forma de definir a una terna ordenada y es la siguiente:

Definición: Sean $a,b,c$ conjuntos, definimos la terna ordenada $(a,b,c)$ como:

$(a,b,c)=(a,(b,c))$.

Ejemplo:

\begin{align*}
(\emptyset, \emptyset,\emptyset) &=(\emptyset, (\emptyset,\emptyset))\\
&=(\emptyset,\set{\set{\emptyset},\set{\emptyset,\emptyset}})\\
&=(\emptyset, \set{\set{\emptyset}})\\
&=\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}}.
\end{align*}

$\square$

Aun cuando podemos usar cualquiera de las definiciones es importante usar solo una pues no son iguales. Los conjuntos que nos resultan son diferentes. Si revisamos con detalle los ejemplos anteriores, tenemos que $((\emptyset,\emptyset),\emptyset)\not=(\emptyset,(\emptyset,\emptyset))$ pues $\set{\set{\set{\emptyset}}}\not=\set{\emptyset}$ dado que sus elementos no son iguales, es decir, $\emptyset\not=\set{\set{\emptyset}}$.

A partir de los conceptos anteriores tenemos que el producto cartesiano también puede definirse de dos maneras diferentes:

Definición: Sean $A,B$ y $C$ conjuntos. Definimos el producto cartesiano de $A$, $B$ y $C$ como:

$A\times B\times C=(A\times B)\times C=\set{((x,y),z): (x,y)\in A\times B\ y\ z\in C}$.

Ejemplo:

Sean $A,B,C=\set{\emptyset}$ conjuntos. Tenemos que:

\begin{align*}
A\times B\times C&=(A\times B)\times C\\
&=(\set{\emptyset}\times\set{\emptyset})\times\set{\emptyset}\\
&= \set{(\emptyset,\emptyset)}\times\set{\emptyset}\\
&=\set{((\emptyset, \emptyset), \emptyset)}.
\end{align*}

$\square$

Otra forma de definir al producto cartesiano es la siguiente:

Definición: Sean $A,B$ y $C$ conjuntos. Definimos el producto cartesiano de $A$, $B$ y $C$ como:

$A\times B\times C=A\times (B\times C)=\set{(x,(y,z)): x\in A\ y\ (y,z)\in B times C}$.

Ejemplo:

Sean $A=B=C=\set{\emptyset}$ conjuntos,

\begin{align*}
A\times (B\times C)&=\set{\emptyset}\times (\set{\emptyset}\times\set{\emptyset})\\
&=\set{\emptyset}\times \set{(\emptyset, \emptyset)}\\
&= \set{(\emptyset,(\emptyset,\emptyset))}.
\end{align*}

$\square$

Revisando los dos ejemplos anteriores tenemos que $A\times(B\times C)\not=(A\times B)\times C)$ pues $(\emptyset,(\emptyset,\emptyset))\in A\times (B\times C)$ y $((\emptyset, \emptyset), \emptyset)\in (A\times B)\times C$ son tales que $(\emptyset, (\emptyset, \emptyset))\not=((\emptyset, \emptyset), \emptyset)$.

Por lo tanto, concluimos que el producto cartesiano no es asociativo.

Tarea moral

  • Demuestra que $(a,b,c)$ es conjunto.
  • Prueba que si $A\not=\emptyset$, $(A\times A)\times A\not=A\times (A\times A)$.
  • Demuestra que $A\times B=\emptyset$ si y sólo si $A=\emptyset$ o $B=\emptyset$.
  • Si $C\times D\not=\emptyset$ entonces $C\times D\subseteq A\times B$ si y sólo si $C\subseteq A$ y $D\subseteq B$.

Más adelante

En la siguiente sección veremos como se comporta el producto cartesiano con las operaciones que tratamos en secciones anteriores como la unión, la intersección y la diferencia.

Enlaces

En los siguientes enlaces podrás revisar las secciones anteriores que tratan las operaciones de conjuntos.

Teoría de los Conjuntos I: Operaciones entre conjuntos

Teoría de los Conjuntos I: Álgebra de conjuntos