Álgebra Lineal I: Matrices de bloques

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Introducción

En esta entrada definimos el concepto de submatriz y estudiamos las llamadas matrices de bloques que esencialmente son matrices grandes obtenidas por matrices más pequeñas (esto tendrá sentido después de algunos ejemplos). Las matrices de bloque aparecen frecuentemente en muchas áreas y permiten realizar cálculos que podrían ser bastante complicados de otra manera.

Dentro de este curso, nos encontraremos con las matrices de bloque cuando hablemos de solución de ecuaciones lineales y de encontrar inversas de matrices usando el método de reducción gaussiana.

Definición de matrices de bloques

Definición. Una submatriz de una matriz A\in M_{m,n}(F) es una matriz que se obtiene al quitar filas y/o columnas de A.

Notamos que A es submatriz de si misma. Una matriz puede partirse en submatrices marcando líneas verticales u horizontales en la matriz. Llamamos a una matriz de este estilo una matriz de bloques y a las submatrices marcadas las llamamos bloques.

Unos ejemplos de matrices de bloques:

    \begin{align*}\left( \begin{array}{c|cc}1 & 2 & 3\\0& 5 & 6\\0 & 0&9\end{array}\right),\hspace{2mm} \left( \begin{array}{c|cc} 1 & 0 & 1 \\ \hline 2 & 5 & -3\end{array}\right),\\ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\ \hline 5 & 16 & 2 & 0\\ 17 & 19 & -5 & 3\\ 117 & 0 & 0 & 11\end{array}\right). \end{align*}

Como mencionamos en la introducción, podemos ver a una matriz de bloques como una ‘matriz de matrices’: una matriz de bloques en M_{m,n}(F) típica se ve como

    \begin{align*}\begin{pmatrix}A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k}\\A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\A_{l1} & A_{l2} & \dots & A_{lk} \end{pmatrix},\end{align*}

en donde cada submatriz A_{ij} es una matriz de tamaño m_i\times n_j para algunos enteros positivos m_1,\dots, m_l y n_1,\dots, n_k tales que m_1+\dots +m_l=m y n_1+\dots+n_k=n. La matriz tiene entonces l filas de bloques y k columnas de bloques.

Si l=k, llamamos a los bloques A_{11}, \dots, A_{kk} los bloques diagonales y decimos que A es diagonal por bloques si todos los bloques aparte de los diagonales son la matriz cero del tamaño corresponidente. Es decir, una matriz diagonal por bloques es de la forma

    \begin{align*}A=\begin{pmatrix} A_{11} & 0 &\dots & 0\\0 & A_{21} & \dots & 0\\\vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\0 & 0 &\dots & A_{kk}.\end{pmatrix}\end{align*}

Observa que sólo estamos pidiendo que k=l, es decir, que haya la misma cantidad de filas de bloques y de columnas de bloques. Sin embargo, no es necesario que la matriz A sea cuadrada para que sea diagonal por bloques.

Por más que la definición en abstracto pueda ocultar su sentido práctico, uno siempre reconoce una matriz diagonal por bloques cuando la ve.

Ejemplo. La matriz

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1& -1 & 0 & 0\\0& 2 & 0 & 0\\0&0 & 3 &0\\0 & 0 & 15 & -2\end{pmatrix}\end{align*}

es diagonal por bloques, y los resaltamos con las líneas de división

    \begin{align*}\left( \begin{array}{cc|cc} 1& -1 & 0 & 0\\0& 2 & 0 & 0\\ \hline0&0 & 3 &0\\0 & 0 & 15 & -2\end{array}\right).\end{align*}

La matriz

    \begin{align*}\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 & 0\\8 & 3 & 0 & 0\\0& 3 & 0 &0\\0&0 & 0 & -2\\0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\end{align*}

también es diagonal por bloques, aunque los bloques no necesariamente sean cuadrados. Resaltamos la lineas divisorias a continuación:

    \begin{align*}\left( \begin{array}{cc|cc}2& -1 & 0 & 0\\8 & 3 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0 & 0\\ \hline0 & 0 & 0 &-2\\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right).\end{align*}

Los bloques diagonales son

    \begin{align*}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 8 & 3 \\2 & 3 \end{pmatrix}\end{align*}

y

    \begin{align*}\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{align*}

\square

Operaciones con matrices de bloques

Al ser ‘matrices de matrices’, las matrices de bloques se comportan adecuadamente con las operaciones de suma y producto de matrices que conocemos. Enunciamos esto con más detalle en la siguiente proposición que no demostraremos. Las demostraciones son directas pero tediosas.

Proposición.

  • Si

        \begin{align*}A= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k}\\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{l1} & A_{l2} & \dots & A_{lk} \end{pmatrix}\end{align*}

    y

        \begin{align*} B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1k}\\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ B_{l1} & B_{l2} & \dots & B_{lk} \end{pmatrix} \end{align*}


    son matrices de bloques con A_{ij} y B_{ij} del mismo tamaño para cada i,j (es decir, la partición es igual) entonces

        \begin{align*}A+B=\begin{pmatrix} A_{11} +B_{11} & A_{12}+B_{12} & \dots & A_{1k}+B_{1k}\\ A_{21} +B_{21}& A_{22}+B_{22} & \dots & A_{2k}+B_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{l1}+B_{l1} & A_{l2}+B_{l2} & \dots & A_{lk}+B_{lk} \end{pmatrix}\end{align*}

  • Si

        \begin{align*}A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k}\\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{l1} & A_{l2} & \dots & A_{lk} \end{pmatrix}\end{align*}

    y

        \begin{align*} B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1r}\\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2r}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ B_{k1} & B_{k2} & \dots & B_{kr} \end{pmatrix} \end{align*}


    son de tamaño m\times n y n\times p respectivamente tal que A_{ij} es de tamaño m_i \times n_jy B_{ij} de tamaño n_i\times p_j, entonces

        \begin{align*}AB=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & \dots & C_{1r}\\ C_{21} & C_{22} & \dots & C_{2r}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ C_{l1} & C_{l2} & \dots & C_{lr} \end{pmatrix}\end{align*}


    donde

        \begin{align*}C_{ij}=\sum_{u=1}^{k} A_{iu} B_{uj}.\end{align*}

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • ¿Cómo se portan las matrices de bloques respecto a la transposición?
  • Escribe todas las formas en las que puedes dividir a la matriz I_3 para que quede como una matriz de bloques. Aquí hay algunas:

        \begin{align*}\left(\begin{array}{c|cc} 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \left(\begin{array}{c|c|c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right). \end{align*}

  • Demustra que toda matriz diagonal puede verse como una matriz diagonal por bloques. Muestra que no toda matriz diagonal por bloques es una matriz diagonal.
  • Escribe todas las formas en las que puedes dividir a la matriz I_4 para que quede como una matriz diagonal por bloques.
  • ¿Cómo es la inversa de una matriz diagonal por bloques?

Más adelante

En unas cuantas entradas hablaremos del algoritmo de reducción gaussiana y lo usaremos para resolver sistemas de ecuaciones y encontrar inversas de matrices. Nos encontraremos con matrices de bloque muy específicas, por ejemplo, las que resultan de “pegarle” un vector columna a una matriz, por ejemplo

    \begin{align*}\left( \begin{array}{cccc|c}-3& -1 & 3 & -11 & 0\\8 & 3 & 0 & 2 & -1\\1 & -5 & 0 & 0 & 0\end{array}\right).\end{align*}

y las que resultan de “pegarle” la matriz identidad a una matriz cuadrada, por ejemplo

    \begin{align*}\left( \begin{array}{ccc|ccc}-3& -1 & 3 & 1 & 0 & 0\\8 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0\\1 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right).\end{align*}

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