Introducción
En entradas anteriores hablamos de las matrices en forma escalonada reducida y de cómo cualquier matriz puede ser llevada a esta forma usando el algoritmo de reducción gaussiana. Usamos esto para resolver sistemas de ecuaciones lineales arbitrarios, es decir, de la forma . en esta ocasión estudiaremos cómo ver si una matriz es invertible y cómo determinar inversas de matrices mediante el algoritmo de reducción gaussiana.
Inversas de matrices elementales
Recordemos que una matriz es invertible si existe una matriz
tal que
. Dicha matriz
es única, se conoce como la matriz inversa de
y se denota por
.
Es importante observar que las matrices elementales son invertibles, puesto que las operaciones elementales se pueden revertir (esto también nos dice que la inversa de una matriz elemental también es una matriz elemental). Por ejemplo, si la matriz se obtiene de
intercambiando los renglones
y
, entonces
se obtiene de
haciendo la misma operación, por lo que
. Por otro lado, si
se obtiene de sumar
veces el renglón
al renglón
en
, entonces E^{-1} se obtiene de sumar
veces el renglón
al renglón
en
. El argumento para reescalamientos queda como tarea moral.
Debido a su importancia, enunciaremos este resultado como una proposición.
Proposición. Las matrices elementales son invertibles y sus inversas también son matrices elementales. Como consecuencia, cualquier producto de matrices elementales es invertible.
Algunas equivalencias de matrices invertibles
Hasta el momento sólo tenemos la definición de matrices invertibles para verificar si una matriz es invertible o no. Esto es poco práctico, pues dada una matriz, tendríamos que sacar otra «de la nada».
El siguiente resultado empieza a decirnos cómo saber de manera práctica cuándo una matriz cuadrada es invertible. También habla de una propiedad importante que cumplen las matrices invertibles.
Teorema. Para una matriz las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(a) es invertible.
(b) .
(c) es producto de matrices elementales.
Demostración. Para empezar, notemos que el producto de matrices invertibles es invertible , pues cualquier matriz elemental es invertible y las matrices invertibles son estables bajo productos. Esto prueba que (c) implica (a).
Ahora, supongamos que (a) se satisface. Recordemos que para una matriz podemos encontrar una matriz
que es producto de matrices elementales y tal que
. Como
es invertible (por hipótesis) y
es invertible (por la proposición de la sección anterior), entonces
es invertible y por consiguiente
también lo es. En particular, todos los renglones de
son distintos de cero y por lo tanto
tiene
pivotes, uno en cada columna. Como
está en forma escalonada reducida, necesariamente
. Esto prueba que (a) implica (b).
Finalmente, supongamos que se satisface. Entonces existe una matriz
, la cual es producto de matrices elementales y tal que
. Por la proposición anterior
es invertible y
es producto de matrices elementales. Como
, tenemos que
y así
es producto de matrices elementales, de manera que (b) implica (c).
Ya podemos responder de manera práctica la pregunta «¿ es invertible?». Para ello, basta aplicarle reducción gaussiana a
. Por el teorema anterior,
es invertible si y sólo si la forma escalonada reducida obtenida es
. Por supuesto, esto aún no nos dice exactamente quién es la inversa.
Invertibilidad y sistemas de ecuaciones
La siguiente proposición expresa las soluciones del sistema cuando
es una matriz cuadrada e invertible. Para facilitar las cosas hay que tener un algoritmo para encontrar la inversa de una matriz. Más adelante veremos uno de estos algoritmos basado en reducción gaussiana.
Proposición. Si es una matriz invertible, entonces para todo
el sistema
tiene una única solución, dada por
.
Demostración. Sea una solución del sistema. Multiplicando la igualdad
por la izquierda por
obtenemos
. Como
concluimos que

A continuación presentamos un resultado más, que relaciona matrices invertibles con que sus sistemas lineales correspondientes tengan soluciones únicas.
Teorema. Sea una matriz. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(a) es invertible.
(b) Para toda el sistema
tiene una única solución
.
(c) Para toda el sistema
es consistente.
Demostración. Ya demostramos que (a) implica (b). Es claro que (b) implica (c) pues si el sistema tiene una única solución, en particular tiene una solución.
Así, supongamos que que (c) se satisface. Sea la forma escalonada reducida de
. Por una proposición ya antes mencionada en esta entrada sabemos que existe una matriz
la cual es producto de matrices elementales (por lo tanto invertible) y tal que
. Deducimos que el sistema
tiene al menos una solución para todo
(pues si
, entonces
).
Ahora, para cualquier podemos encontrar
tal que
, tomando
. Aquí estamos usando que
es invertible por ser producto de matrices elementales. Concluimos que el sistema
es consistente para cada
, pero entonces cualquier renglón de
debe ser distinto de cero (si la fila
es cero, entonces escogiendo cada vector
con la
ésima coordenada igual a
se obtiene un sistema inconsistente) y, como en la demostración del teorema anterior, se tiene que
. Usando el teorema anterior concluimos que
es invertible.
Hasta ahora, al tomar un matriz cuadrada y proponer una inversa
, la definición de invertibilidad nos exige mostrar ambas igualdades
y
. Finalmente tenemos las herramientas necesarias para mostrar que basta mostrar una de estas igualdades para que ambas se cumplan.
Corolario. Sean matrices.
(a) Si , entonces
es invertible y
.
(b) Si , entonces
es invertible y
.
Demostración. (a) Para cada el vector
satisface
por lo tanto el sistema







(b) Por el inciso (a), sabemos que




Determinar inversas usando reducción gaussiana
El corolario anterior nos da una manera práctica de saber si una matriz es invertible y, en esos casos, determinar inversas de matrices. En efecto, es invertible si y sólo si podemos encontrar una matriz
tal que
y de aquí
.
La ecuación es equivalente a los siguientes sistemas lineales:
donde









En la práctica, uno puede evitar resolver sistemas lineales considerando el siguiente truco:
En lugar de tomar matrices aumentadas
considera sólo la matriz aumentada
, en la cual agregamos la matriz
a la derecha de
(de manera que
tiene
columnas). Finalmente sólo hay que encontrar la forma escalonada reducida
de la matriz de
. Si
resulta ser distinto de
, entonces
no es inverible. Si
, entonces la inversa de
es simplemente la matriz
.
Ejemplo de determinar inversas
Para ilustrar lo anterior resolveremos el siguiente ejemplo práctico.
Ejemplo. Calcula la inversa de la matriz
Solución. Aplicamos reducción gaussiana a la matriz extendida
De donde
En el ejemplo anterior hicimos el algoritmo de reducción gaussiana «a mano», pero también pudimos haber usado una herramienta en línea, como la calculadora de forma escalonada reducida de eMathHelp.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- ¿Cuál sería la operación elemental inversa a aplicar un reescalamiento por un factor
en el renglón de una matriz?
- Encuentra la inversa de la matriz
mediante reducción gaussiana. - Resuelve el sistema de ecuaciones
- Sea
una matriz tal que
. Explica por qué
no es invertible.
- Cuando
no es invertible, la matriz
tiene forma escalonada reducida
, con
. ¿Qué sucede si en este caso haces la multiplicación
? ¿Y la multiplicación
?
- Demuestra la primera proposición de esta entrada para operaciones elementales sobre las columnas.
Más adelante…
En esta entrada vimos cómo el algoritmo de reducción gaussiana nos permite saber si una matriz es invertible o no. También nos da una forma práctica de determinar inversas. Hay otras formas de hacer esto mediante determinantes. Sin embargo, el método que describimos es bastante rápido y flexible.
Ya que entendemos un poco mejor a las matrices invertibles, el siguiente paso es usarlas para desarrollar nuestra teoría de álgebra lineal. Las matrices invertibles se corresponden con transformaciones lineales que se llaman isomorfismos, las cuales detectan cuándo dos espacios vectoriales son «el mismo».
También más adelante refinaremos el concepto de ser invertible y no. Esta es una clasificación en sólo dos posibilidades. Cuando definamos y estudiamos el rango de matrices y transformaciones lineales tendremos una forma más precisa de decir «qué tanta información guarda una transformación».
Entradas relacionadas
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