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Álgebra Moderna I: Misma Estructura Cíclica, Permutación Conjugada y Polinomio de Vandermonde.

Introducción

Anteriormente en nuestro curso, definimos una caracterización única para las permutaciones, aprendimos que la factorización completa es única salvo por el orden de los factores. Ahora, podemos analizar a los ciclos que aparecen en dicha factorización completa.

La unicidad de la factorización completa nos asegura que la cantidad de ciclos que la conforman y la longitud de éstos no van a cambiar sin importar la factorización que escojamos. Estudiar estas propiedades de la factorización completa motiva la definición de estructura cíclica y de permutación conjugada, dos definiciones centrales de esta entrada.

Además de la factorización completa, existen otras maneras de descomponer a las permutaciones. Intuitivamente, podemos pensar a las permutaciones como reacomodos, entonces es posible llegar a cualquier acomodo intercambiando elementos de dos en dos, es decir podemos reacomodar los números de $1$ a $n$ como queramos mediante intercambios dos a dos.

Misma Estructura Cíclica

Recordemos que toda permutación se puede factorizar en una factorización completa y que toda factorización completa es única salvo por el orden de sus productos. Entonces la cantidad de ciclos y su longitud no va a cambiar, independientemente de la factorizacoón completa que escojamos. Esto motiva la siguiente definición.

Definición. Sean $\alpha, \beta \in S_n$. Decimos que $\alpha$ y $\beta$ tienen la misma estructura cíclica si su factorización completa tiene el mismo número de $r-$ciclos para toda $r \in \z^+$.

Ejemplo.

En $S_9$, tomemos $\alpha$ y $\beta$ como sigue

\begin{align*}
\alpha &= (2 \; 4 \; 7 \; 9)(1 \; 3)(5 \; 6)(8)\\
\beta &= (2 \; 4)(1 \; 5 \; 8 \; 9)(3 \; 7)(6).
\end{align*}

Claramente, $\alpha$ y $\beta$ tienen la misma estructura cíclica, ya que ambas están formadas por un $4-$ciclo, dos transposiciones y un uno ciclo.

Permutación Conjugada

Definición. Sean $\alpha, \beta \in S_n$. Decimos que $\beta$ es conjugada de $\alpha$ si existe $\gamma \in S_n$ tal que $\beta = \gamma \alpha \gamma^{-1}$.

Ejemplo.

Tomemos $\gamma = (1 \; 2 \; 3)$, entonces $\gamma = (1\;2\;4)$ y $\alpha = (3 \; 5 \; 6 \; 8)$. Entonces podemos calcular a $\beta$ como sigue,

\begin{align*}
\gamma\alpha\gamma^{-1} &= (1 \; 2 \; 3)(3 \; 5 \; 6 \; 8)(1 \; 3 \; 2) \\
& = (1 \; 5 \; 6 \; 8) = \beta
\end{align*}

Así, $\beta = (1 \; 5 \; 6 \; 8)$ es conjugada de $(1 \; 5 \; 6 \; 8) = \alpha$.

Teorema.

La siguiente igualdad de conjuntos se cumple,

$S_n = \left< \{\tau \in S_n | \tau \text{ es una transposición} \} \right>$.

Demostración.

Como toda permutación es un producto de ciclos, basta ver que todo ciclo es un producto de transposiciones. Así,

\begin{align*}
(i_1 \; \cdots \; i_r) = (i_1 \; i_r) \cdots (i_1\; i_3)(i_1 \; i_2).
\end{align*}

Por lo tanto $S_n = \left< \{ \tau \in S_n | \tau \text{ es una transposición} \}\right>$.

$\square$

Podemos observar que si consideramos la relación en $S_n$ dada por $\alpha \sim \beta$ si y sólo si $\alpha$ es conjugada de $\beta$, es una relación de equivalencia. Aquí no lo demostraremos, pero queda como tarea moral.

¿A qué nos referimos con reacomodos?

Vimos que toda permutación se puede descomponer en ciclos disjuntos y, bajo condiciones específicas, esta descomposición es única salvo por orden de factores. Sin embargo, hay otras maneras de descomponer a una permutación, las podemos pensar a las permutaciones como reacomodos. Es claro que podemos llegar a cualquier reacomodo intercambiando los elementos de 2 en 2.

A continuación, ilustramos esto con un ejemplo.

Tomemos $\sigma = (1 \; 2 \; 3 \; 4 \; 5)$, en esta permutación los números $1,2,3,4$ y $5$ cambian ya que el $1$ va a dar a $2$, el $2$ al $3$, etc., así que si reacomodamos los números $1,2,3,4,5$ de acuerdo a lo que nos indica $\sigma,$ en vez la lista $1\;2\;3\;4\;5$ tendremos ahora la lista $2\;3\;4,5\;1.$ Entonces nos preguntamos, ¿cómo podemos llegar de la lista $1\;2\;3\;4\;5$ a la lista $2\;3\;4\;5\;1$ sólo mediante intercambios dos a dos?

Primero, observemos que lo único que tenemos que hacer es pasar el 1 hasta el final. Luego, tomemos en cuenta que nuestra propuesta es intercambiar los elementos de dos en dos. Así, el proceso es el siguiente:

Referencia visual del reacomodo.
  1. Intercambiamos 1 y 2, así nuestra lista quedaría $2 \; 1 \; 3 \; 4 \; 5.$ Observemos que el 2 ya queda en la posición deseada.
  2. Sobre el resultado anterior, intercambiamos 1 y 3. Hasta el momento tenemos el reacomodo $2 \; 3 \; 1 \; 4 \; 5$.
  3. Ahora, nos toca intercambiar 1 y 4. Así obtenemos $2 \; 3 \; 4 \; 1 \;5$
  4. Por último, nos queda acomodar el último número, así que intercambiamos 1 y 5.

Al final, llegamos al reacomodo buscado. Esto nos indica que para permutar los números $1,2,3,4$ y $5$ de acuerdo a $\sigma$ basta con intercambiar el uno con el dos, luego el uno con el tres, después el uno con el cuatro y finalmente el uno con el cinco. En otras palabras, la permutación sigma se obtiene de aplicar sucesivamente las transposiciones $(1 \; 2)$, $(1 \; 3)$, $(1 \; 4)$ y $(1 \; 5)$. Debido a que escribimos la composición de permutaciones de derecha a izquierda, nuestra sigma quedaría de la siguiente manera:

$\sigma = (1 \; 2 \; 3 \; 4 \; 5) = (1 \; 5) (1 \; 4) (1 \; 3) (1 \; 2).$

Este ejemplo nos ilustra cómo podemos descomponer un ciclo como producto de transposiciones. Probaremos esto en el caso general, y dado que toda permutación es un producto de ciclos y cada ciclo se puede descomponer en producto de transposiciones, entonces podremos concluir que toda permutación es un producto de transposiciones.

El polinomio de Vandermonde

Hemos probado que toda permutación se puede expresar como un producto de transposiciones, esto es importante porque las transposiciones son permutaciones muy sencillas, sin embargo estas descomposiciones no son únicas, pueden cambiar los factores que aparecen, su orden e incluso en el número de factores que presentan. A pesar de ello siempre tienen un número par o siempre un número impar de transposiciones. Para probar este resultado introduciremos un polinomio con distintas indeterminadas que permutaremos usando permutaciones.

Definición. El polinomio de Vandermonde en los indeterminadas $x_1, \dots, x_n$ con coeficientes enteros es

\begin{align*}
V(x_1,\dots,x_n) = \prod_{1 \leq i < j \leq n}(x_i – x_j).
\end{align*}

Dado $\alpha \in S_n$, el $\alpha-$polinomio de Vandermonde es

\begin{align*}
\alpha \; V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{1 \leq i < j \leq n}(x_{\alpha(i)} – x_{\alpha(j)}).
\end{align*}

Ejemplo.

\begin{align*}
V(x_1,x_2,x_3,x_4) = & (x_1 – x_2)(x_1 – x_3)(x_1 – x_4) \\
& (x_2 – x_3) (x_2 – x_4)(x_3-x_4)
\end{align*}

Calculemos ahora $(2 \; 4) \, V(x_1,x_2,x_3,x_4)$. Observemos que los únicos factores de $V$ que cambian son aquellos donde aparece el subíndice $2$ o el $4$, y éstos se intercambian, por ejemplo el factor $ (x_1 – x_2)$ cambiará al factor $ (x_1 – x_4)$. Así

\begin{align*}
(2 \; 4) \, V(x_1,x_2,x_3,x_4) = &(x_1 – x_4)(x_1 – x_3)(x_1-x_2)\\
&(x_4-x_3)(x_4 – x_2)(x_3-x_2) \\
= & \,- V(x_1,x_2,x_3,x_4).
\end{align*}

Observación. Sólo pueden suceder dos cosas, $\alpha V = V$ ó $\alpha V = – V$ para todo $\alpha \in S_n$.

Vandermonde y las Transposiciones

A continuación veremos qué efecto tienen las transposiciones en el polinomio de Vandermonde.

Lema 1. Sea $\tau \in S_n$ una transposición. Entonces $\tau V = -V$.

Demostración.

Sea $\tau = (k \; l) \in S_n$ con $k < l$.
Al aplicar $\tau$ a $V$, los factores donde no aparecen ni $k$ ni $l$ quedan igual, los factores $x_i-x_k$ con $i<k$ cambian a $x_i-x_k$ con $i<k<l$ por lo que no provocan cambio de signo. Mediante argumentos análogos podemos ver que tampoco los factores

\begin{align*}
x_k – x_i \quad &\text{ con } \quad i > l \\
x_i – x_l \quad &\text{ con } \quad i < k \\
x_l – x_i \quad &\text{ con } \quad i > l
\end{align*}

cambian de signo. Sólo cambian de signo los factores
\begin{align*}
x_k – x_{k + 1} && x_{k+1} – x_l \\
x_k – x_{k+2} && x_{k+2} – x_l \\
\vdots && \vdots \\
x_k – x_{l-1} && x_{l-1} – x_l \\
x_k – x_l
\end{align*}

Debido a que en esta última lista hay una cantidad impar de factores, entonces hay una cantidad impar de cambios de signo. Por lo tanto $\tau\, V = -V$.

$\square$

Lema 2. Sean $\tau, \beta \in S_n$, $\tau$ una transposición. $( \tau \beta )V = – \beta V$.

Demostración. Basta hacer
\begin{align*}
(\tau \beta) V = \tau (\beta V) = \tau (\pm V) = – (\pm V) = – \beta V.
\end{align*}

$\square$

Teoremas importantes

Teorema. Sea $\alpha = \tau_1 \cdots \tau_r \in S_n$, $\tau_1, \dots, \tau_r$ transposiciones. Entonces

$\alpha V = (-1)^r \,V$.

Demostración. Por inducción sobre $r$.

Base de inducción: Supongamos que $r = 1$.
Entonces, desarrollando $\alpha V$ y usando el lema 1 obtenemos

\begin{align*}
\alpha V &= \tau_1 V\\
&= -V = (-1)^1 V & \text{Lema 1}
\end{align*}

Así, se cumple la proposición para al caso base.

Ahora, sea $r > 1$.
Hipótesis de Inducción: Supongamos que el resultado se cumple para el producto de $r-1$ transposiciones.

P.D. $\alpha V = (-1)^r V$.

Desarrollando $\alpha V$ y usando el Lema 2, obtenemos:

\begin{align*}
\alpha V &= (\tau_1 \, \tau_2 \cdots \tau_r) V\\
&= (\tau_1 \, (\tau_2 \cdots \tau_r)) V & \text{Agrupamos}\\
&= -(\tau_2 \cdots \tau_r) V &\text{Lema 2}
\end{align*}

Ahora, como $(\tau_2 \cdots \tau_r)$ tiene $r-1$ factores, podemos aplicar la hipótesis de inducción y continuar con las igualdades.

\begin{align*}
-(\tau_2 \cdots \tau_r) V = -(-1)^{r-1} V = (-1)^r \,V
\end{align*}

Así, demostramos lo deseado.

$\square$

Teorema. Sea $\alpha = \tau_1 \cdots \tau_r = \rho_1 \cdots \rho_t \in S_n$, con $\tau_1, \cdots, \tau_r$, $\rho_1, \cdots, \rho_t$ transposiciones. Entonces $r$ y $t$ tienen la misma paridad.

Demostración.
Por el teorema anterior, obtenemos:

\begin{align*} \alpha V = (\rho_1 \cdots \rho_t) V = (-1)^t \,V \end{align*}

Por otro lado, por el teorema anterior también obtenemos:

\begin{align*} \alpha V = (\tau_1 \cdots \tau_r) V = (-1)^r \,V \end{align*}

Entonces $(-1)^t V = (-1)^r V$. Por lo tanto $t$ y $r$ tienen la misma paridad.

$\square$

Tarea moral

  1. Prueba que la relación en $S_n$ dada por $\alpha \sim \beta$ si y sólo si $\beta$ es conjugada de $\alpha$, es una relación de equivalencia.
  2. Encuentra $\sigma\alpha\sigma^{-1}$ en cada inciso:
    1. $\alpha = ( 2 \; 3 \; 5), \; \sigma = (1\; 3 \; 5 \; 6)$.
    2. $\alpha = (5 \; 4 \; 3 \; 1), \; \sigma = (2 \; 4 \; 5 \; 7 \; 8)$.
    3. $\alpha = (1 \; 7 \; 5 \; 4 \; 2 \; 3), \; \sigma = (1 \; 2 \; 4 \; 6 \; 7)$.
  3. Sean $\alpha,\sigma \in S_n$ con $\sigma = (i_1\; i_2 \; \cdots \; i_r) \in S_n$ un $r-$cíclo.
    1. ¿Qué forma cíclica tiene $\alpha\sigma\alpha^{-1}$?
    2. ¿Cómo podemos describir a la permutación $\alpha\sigma\alpha^{-1}$ a partir de cómo son $\alpha$ y $\sigma$ sin necesidad de hacer paso a paso la composición? ¿puedes encontrar una fórmula que lo describa?
  4. Considera $\alpha = (1 \; 9 \; 4)(10 \; 2 \; 8 \; 5 \; 3)(3 \; 5 \; 6 \; 8)(7 \; 2) \in S_{10}$.
    1. Escribe a $\alpha$ como un producto de transposiciones de al menos tres formas distintas y compara la cantidad de transposiciones que se usan en cada caso.
    2. Con lo anterior, determina quién es $\alpha V$.

Más adelante…

Todavía nos quedan propiedades del polinomio de Vandermonde que estudiar. En la siguiente entrada profundizaremos en ellas. Por ejemplo, ¿existe una manera de determinar el signo que tendrá el $\alpha-$polinomio de Vandermonde? ¿Cómo se relaciona con la descomposición de la permutación $\alpha$? ¿Hay manera de relacionar las permutaciones que dan lugar a polinomios con el mismo signo? Éstas y otras preguntas las responderemos a continuación.

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Álgebra Moderna I: Permutaciones y Grupo Simétrico

Introducción

La Unidad 2 empieza con algunas definiciones nuevas. Veremos un ejemplo específico de grupo, primero definiremos qué es una permutación y luego, el conjunto de todas las permutaciones, al que llamaremos grupo simétrico junto con la composición. Este grupo es importante porque más adelante descubriremos que los grupos se pueden visualizar como subgrupos de grupos de permutaciones.

Primeras definiciones

Definición. Una permutación de un conjunto $X$ es una función biyectiva de $X$ en $X$.

Notación. Denotaremos por $S_X$ al conjunto

\begin{align*}
S_X = \{\sigma: X \to X | \sigma \text{ es biyectiva}\}
\end{align*}

Si $X = \{1,…,n\}$, $S_X$ se denota por $S_n$. Si tomamos $\alpha, \beta \in S_X$ la composición de $\alpha$ seguida de $\beta$ se denota por $\beta\alpha$.

Observación 1. $S_X$ con la composición es un grupo, se llama el Grupo Simétrico.

Observación 2. $|S_n| = n!$

Definición. Sea $\alpha \in S_n$, $i \in \{1,2,…,n\}$.

Decimos que $\alpha$ mueve a $i$ si $\alpha(i) \neq i$, y que $\alpha$ fija a $i$ si $\alpha(i) = i$. El soporte de $\alpha$ es

\begin{align*}
\text{sop }\alpha = \{i \in \{1,\dots, n\}: \alpha(i) \neq i\}.
\end{align*}

Ejemplo

Sea $\alpha \in S_{10}$, definida como

\begin{align*}
\alpha = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
8 & 3 & 1 & 7 & 2 & 6 & 4 & 5 & 9 & 10 \end{pmatrix}
\end{align*}

La matriz es una manera de representar una permutación, la fila de arriba son todos los elementos de $X= \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ y la fila de abajo está formada por las imágenes bajo $\alpha$ de cada elemento de la fila de arriba. Es decir, la matriz de $\alpha$ se puede leer como: «$\alpha$ manda al $1$ al $8$», «el $ 2 $ lo manda al $3$», etc. Entonces tenemos que, $\alpha$ mueve a $1,2,3,4,5,7,8$ y fija al $6,9,10$. Así

\begin{align*}
\text{sop } \alpha = \{1,2, 3, 4, 5, 7, 8\}.
\end{align*}

Definición de ciclo

Definición. Sea $\alpha \in S_n$, $r\in\z$, $r>1$. Decimos que $\alpha$ es un ciclo de longitud $r$ o un $r$-ciclo si existen $i_1, \dots, i_r \in \{1, \dots, n\}$ distintos tales que $\text{sop }\alpha = \{i_1, \dots, i_r\}$ y

\begin{align*}
\alpha(i_t) = \begin{cases}
i_{t+1} & \text{si } t \in \{1, \dots, r-1\} \\
i_1 & \text{si } t = r
\end{cases}
\end{align*}

Figura para ilustrar la definición de un ciclo.

Diremos que la permutación $\text{id}\in S_n$ es un ciclo de longitud $1$ o un $1$-ciclo. Los ciclos de longitud dos se llaman transposiciones.

Las transposiciones son muy importantes porque, como veremos más adelante, nos permitirán describir a las demás permutaciones.

Notación.

  • Un $r$-ciclo $\alpha$, tal que cada $i_j$ va a $i_{j+1}$ para cada $j \in \{1,…,r-1\}$ y $i_r$ regresa a $i_1$ se denota como $\alpha = (i_1\; i_2 \; \dots \; i_r)$.
  • Además, denotamos como $r = \text{long } \alpha$ a la longitud de $\alpha$.

Ejemplos

  1. $\alpha \in S_8$ con $\alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 4 & 3 & 5 & 8 & 2 & 7 & 6 \end{pmatrix}$.

\begin{align*}
\alpha &= (2 \; 4 \; 5 \; 8 \; 6) = (4 \; 5 \; 8 \; 6 \; 2) \\
& = (5 \; 8 \; 6 \; 2 \; 4) = (8 \; 6 \; 2 \; 4 \; 5) \\
& = (6 \; 2 \; 4 \; 5 \; 8)
\end{align*}

Representación de $\alpha$.

En este caso, $\alpha$ es un $5-$ciclo y $\text{long }\alpha = 5$.
Observemos que el ciclo se puede comenzar a escribir con cualquier elemento de su soporte, siempre y cuando se cumpla la regla de correspondencia establecida.

2. Ahora, consideremos $\beta \in S_8$ como

Representación de $\beta$.

\begin{align*}
\beta =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 5 & 4 & 3 & 6 & 7 & 8\end{pmatrix}
\end{align*}
entonces podemos decir que $\beta = (3 \; 5)$, porque a los otros elementos los deja fijos.

Si componemos $\beta$ con el $\alpha$ del ejemplo anterior obtenemos:

\begin{align*}
\alpha\beta &= (2 \; 4 \; 5 \; 8 \; 6) (3 \; 5) = (2 \; 4 \; 5 \; 3 \; 8 \; 6).
\end{align*}

Para verificar qué ésta es efectivamente la composición de $\beta$ seguida de $\alpha$, tenemos que observar a dónde manda a cada elemento:

  • Comenzamos con el $2$ (esto es arbitrario, se puede comenzar con el número que sea), observamos que $\beta$ lo deja fijo, entonces nos fijamos a dónde lo manda $\alpha$, en este caso, el $2$ es mandado al $4$. Así, $\alpha\beta$ manda al $2$ en el $4$.
  • Repetimos el proceso con el $4$, $\beta$ lo deja fijo y $\alpha$ lo manda al $5$. Así, $\alpha\beta$ manda al $4$ en el $5$.
  • Ahora con el $5$, $\beta$ manda al $5$ en $3$, entonces ahora vemos a dónde manda $\alpha$ al $3$, en este caso lo deja fijo. Así, $\alpha\beta$ manda al $5$ en el $3$.
  • Entonces ahora tenemos que observar a dónde es mandado el $3$ después de la composición. Primero, $\beta$ manda el $3$ al $5$ y $\alpha$ manda el $5$ al $8$, por lo tanto $\alpha\beta$ manda el $3$ al $8$.
  • Así continuamos con todos los elementos que aparezcan en la composición hasta terminar.

    Ahora, veamos qué sucede con $\beta\alpha$. El proceso es análogo:
    \begin{align*}
    \beta\alpha &= (3 \; 5) (2 \; 4 \; 5 \; 8 \; 6) = (3 \; 5 \; 8 \; 6 \; 2 \; 4)
    \end{align*}
    Por lo tanto $\alpha\beta \neq \beta\alpha$.

3. En $S_5$. Podemos considerar la siguiente permutación: $(1 \; 2 \; 3 \; 4)(2 \; 4 \; 5)$. A esta permutación la podemos simplificar usando el mismo procedimiento que en el ejemplo 2.

Observamos a dónde lleva cada uno de sus elementos:

  • Comencemos con el 2, la primera parte de la permutación, lleva el 2 al 4 y, la segunda parte lleva el 4 al 1.
  • Ahora veamos a dónde va el 1. La primera parte lo deja fijo y la segunda lo lleva al 2. Entonces obtenemos una permutación $(1\;2)$. Pero todavía falta ver el resto de elementos.
  • Ahora, veamos qué sucede con el 3. La primera parte lo deja fijo y la segunda lo manda al 4.
  • La primera parte de nuestra permutación manda el 4 al 5 y, el 5 se queda fijo.
  • Por último, el 5 es mandado al 2 por la primera parte de la permutación y, la segunda parte manda al 2 en el 3. Por lo tanto, el 5 regresa al 3. Esto se puede escribir como:

\begin{align*}
(1 \; 2 \; 3 \; 4)(2 \; 4 \; 5) = (1 \; 2) (3 \; 4 \; 5)
\end{align*}

Es decir:

Representación de $(1 \; 2 \; 3 \; 4)(2 \; 4 \; 5) = (1 \; 2) (3 \; 4 \; 5)$.

Este ejemplo nos permite intuir que en ocasiones las permutaciones se pueden simplificar.

Observación. Si $n \geq 3$, entonces $S_n$ no es abeliano.

Tarea moral

  1. Demostrar la observación 1: $S_X$ con la composición es un grupo, se llama el Grupo Simétrico.
  2. Sea $X$ un conjunto infinito, $H$ la colección de permutaciones de $S_X$ que mueven sólo un número finito de elementos y $K$ la colección de permutaciones que mueven a lo más $50$ elementos. ¿Son $H$ y $K$ subgrupos de $S_X$?
  3. Considera los siguientes elementos de $S_{10}$
    \begin{align*} \alpha &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
    10 & 4 & 3 & 2 & 9 & 7 & 5 & 1 & 6 & 8 \end{pmatrix} \\\\
    \beta &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
    10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{align*}
    Encuentra $\alpha \beta, \beta \alpha, \alpha^{-1}$ y $\beta^{-1}$.
  4. Sea $a \in S_n, $ con $n > 2$. Si $\alpha$ conmuta con toda permutación de $S_n$ ¿puedes decir quién debe ser $\alpha$?

Más adelante…

Por el momento continuaremos hablando de las permutaciones. El último ejemplo visto nos da la noción de permutaciones disjuntas, este tema es el que profundizaremos en la siguiente entrada, pero por el momento ¿puedes imaginarte de qué se trata?

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