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Álgebra Lineal I: Teorema de reducción gaussiana

Introducción

Llegamos a uno de los resultados más importantes del álgebra lineal: el teorema de reducción gaussiana. Como mencionamos en una entrada previa, el teorema nos proporcionará un algoritmo que nos permitirá resolver muchos problemas prácticos: resolver sistemas lineales, invertir matrices, así como temas que veremos más adelante, como determinar la independencia lineal de vectores.

El teorema nos dice que cualquier matriz puede llevarse a una en forma escalonada reducida con solo una cantidad finita de operaciones elementales. La prueba además nos dice cómo hacerlo de una manera más o menos sencilla. Aparte de la demostración, damos una receta un poco más coloquial de cómo trabajar con el algoritmo y finalmente damos un ejemplo, muy importante para aclarar el procedimiento.

Sugerencia antes de empezar

El algoritmo que veremos es uno de esos resultados que es fácil de seguir para una matriz en concreto, pero que requiere de un buen grado de abstracción para entender cómo se demuestra en general. Una fuerte recomendación es que mientras estes leyendo la demostración del siguiente teorema, tengas en mente alguna matriz muy específica, y que vayas realizando los pasos sobre ella. Puedes usar, por ejemplo, a la matriz

    \[A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & -1 & 0 \\ 0& -3 & 5 & -2 \end{pmatrix}.\]

El teorema de reducción gaussiana

Teorema. Cualquier matriz A\in M_{m,n}(F) puede llevarse a una en forma escalonada reducida realizando una cantidad finita de operaciones elementales en sus filas.

Demostración: Daremos una demostración algorítmica. Sea A\in M_{m,n}(F) cualquier matriz. Para auxiliarnos en el algoritmo, vamos a tener registro todo el tiempo de las siguientes dos variables:

  • X es la columna que «nos toca revisar»
  • Y es la cantidad de «filas no triviales» que hemos encontrado

La variable X empieza siendo 1 y la variable Y empieza siendo 0.

Haremos los siguientes pasos:

Paso 1. Revisaremos la columna X a partir de la fila Y+1 (osea, al inicio Y=0, así que revisamos toda la columna). Si todas estas entradas son iguales a 0, entonces le sumamos 1 a X (avanzamos hacia la derecha) y si X<n, volvemos a hacer este Paso 1. Si X=n, vamos al paso 7.

Paso 2. En otro caso, existe alguna entrada distinta de cero en la columna X, a partir de la fila Y+1. Tomemos la primera de estas entradas. Supongamos que sucede en la fila i, es decir, que es la entrada a_{iX}. Al número en esta entrada a_{iX} le llamamos x.

Paso 3. Hacemos un intercambio entre la fila i y la fila Y+1. Puede pasar que i=Y+1, en cuyo caso no estamos haciendo nada. Independientemente del caso, ahora el número en la entrada (X,Y+1) es x\neq 0.

Paso 4. Tomamos la fila Y+1 y la multiplicamos por el escalar 1/x. Esto hace que ahora sea la primer entrada en su fila distinta de cero, y además que sea igual a 1.

Paso 5. De ser necesario, hacemos transvecciones para hacer el resto de las entradas de la columna X iguales a 0. Esto lo podemos hacer pues, si por ejemplo la entrada a_{iX}\neq 0, entonces la transvección que a la i-ésima fila le resta a_{iX} veces la (Y+1)-ésima fila hace que la entrada (i,X) se anule.

Paso 6. Le sumamos 1 a Y (para registrar que encontramos una nueva fila no trivial) y le sumamos 1 a X (para avanzar a la columna de la derecha). Si X<n, vamos al Paso 1. Si X=n, vamos al Paso 7.

Paso 7. Reportamos la matriz obtenida como A_{red}, la forma escalonada reducida de A.

Mostremos que en efecto obtenemos una matriz escalonada reducida. El Paso 3 garantiza que las únicas filas cero están hasta abajo. El Paso 4 garantiza que todos los pivotes son iguales a 1. El ir recorriendo las columnas de izquierda a derecha garantiza que los pivotes quedan «escalonados», es decir de abajo hacia arriba quedan de izquierda a derecha. El Paso 5 garantiza que cada pivote es la única entrada no cero de su columna.

\square

El procedimiento descrito en el teorema se llama reducción gaussiana.

Como vimos en la entrada anterior realizar una operación elemental es sinónimo de multiplicar por una matriz elemental. Como el teorema nos dice que podemos obtener una matriz en forma escalonada reducida realizando una cantidad finita de operaciones elementales, se sigue que podemos obtener una matriz en forma escalonada reducida multiplicando por la izquierda por un número finito de matrices elementales. Al asociar todas estas matrices elementales en un único producto, obtenemos la demostración del siguiente corolario.

Corolario. Para cualquier matriz A\in M_{m,n}(F) podemos encontrar una matriz B\in M_{m}(F) que es un producto finito de matrices elementales y que satisface qu A_{red}=BA.

Un tutorial de reducción gaussiana más relajado

Si bien el teorema nos da la manera formal de hacer el algoritmo, el proceso es en realidad bastante intuitivo una vez que se entiende. Para esto explicamos en unos cuantos pasos en términos más sencillos como hacer la reducción:

  1. Buscamos la primer columna de la matriz que no tenga puros ceros.
  2. Una vez encontrada, buscamos la primer entrada (de arriba hacia abajo) que no sea cero.
  3. Pasamos el renglón con esa entrada hasta arriba haciendo un cambio de renglones.
  4. Multiplicamos por el inverso de esa entrada a todo el renglón, para quedarnos así con un 1 hasta arriba.
  5. Sustraemos múltiplos del primer renglón a todos los otros renglones para que todo lo que esté abajo del 1 sea cero.
  6. Buscamos la siguiente columna tal que no sea cero abajo del primer renglón.
  7. Repetimos los pasos anteriores, solo que en lugar de pasar nuestro renglón «hasta arriba» solo lo colocamos en el segundo lugar, y así sucesivamente.

Un ejemplo de reducción gaussiana

La mejor manera de entender el algoritmo de reducción gaussiana es con un ejemplo. Usemos el algoritmo para reducir la matriz

    \begin{align*}A=\begin{pmatrix}  0 & 1 & 2 & 3 &4\\ -1 & 0 &1 & 2 &3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 &1\\ 3 & 1  &-1 & 0 & 2\end{pmatrix}\in M_{4,5}(\mathbb{R}).\end{align*}

Aplicando los pasos en orden: Primero identificamos la primer columna que no sea idénticamente cero, y vemos que la primera columna no tiene puros ceros. La primer entrada que no es cero está en el segundo renglón. Así cambiamos el primer y segundo renglón de lugar para subir esa entrada y obtener

    \begin{align*}A_1=\begin{pmatrix} -1 & 0 &1 & 2 &3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 &4\\ 0 & 1 & 1 & 1 &1\\ 3 & 1 &-1 & 0 & 2\end{pmatrix}.\end{align*}

Ahora que la primer entrada del primer renglón es distinta de cero, multiplicamos el primer renglón por \frac{1}{-1}=-1 y obtenemos

    \begin{align*}A_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1 & -2 &-3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 &4\\ 0 & 1 & 1 & 1 &1\\ 3 & 1 &-1 & 0 & 2\end{pmatrix}.\end{align*}

Ahora queremos quitar el 3 del último renglón. Para esto, multiplicamos por -3 el primer renglón y lo sumamos al último y nos queda

    \begin{align*}A_3&=\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1 & -2 &-3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 &4\\ 0 & 1 & 1 & 1 &1\\ 3-3 & 1-3\cdot 0 &-1-3\cdot (-1) & 0-3\cdot (-2) & 2-3\cdot (-3)\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1 & 0 &-1 & -2 &-3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 &4\\ 0 & 1 & 1 & 1 &1\\ 0 & 1&2 & 6 & 11\end{pmatrix}.\end{align*}

Ya tenemos entonces nuestra primera columna en forma escalonada reducida, pasemos a la segunda. Ya tenemos un 1 en la segunda entrada de la segunda columna, por lo que no hace falta hacer un cambio de renglón o multiplicar por un inverso. Basta entonces con cancelar las otras entradas de la columna, para eso sustraemos el segundo renglón del tercero y cuarto, para obtener

    \begin{align*}A_4&= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 &4 \\ 0-0 & 1-1 & 1-2 & 1-3 & 1-4\\ 0 -0 & 1-1& 2-2 & 6-3 & 11-4\end{pmatrix}\\&= \begin{pmatrix}1 & 0 &-1 & -2 &-3\\ 0 & 1 & 2 & 3 &4  \\ 0 & 0 & -1 & -2 & -3\\ 0 & 0 & 0 &3 & 7\end{pmatrix}.\end{align*}

Seguimos entonces con la tercera columna, y observamos que la entrada (3,3) es -1, entonces la transformamos en un 1 multiplicando el tercer renglón por \frac{1}{-1}=-1.

    \begin{align*}A_5=\begin{pmatrix}1 & 0 &-1 & -2 &-3\\ 0 & 1 & 2 & 3 &4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 &3 & 7\end{pmatrix}.\end{align*}

Ahora tenemos que cancelar las entradas de la tercer columna, para eso sumamos -2 veces el tercer renglón al segundo y una vez el tercer renglón al primero:

    \begin{align*}A_6&=\begin{pmatrix}1+0 & 0+0 &-1+1 & -2+2 &-3+3\\ 0-2\cdot 0 & 1-2\cdot 0 & 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot2 &4-2\cdot3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 &3 & 7\end{pmatrix}\\&= \begin{pmatrix}1 & 0 &0 & 0 &0\\ 0 & 1 & 0 & -1 &-2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 &3 & 7\end{pmatrix}.\end{align*}

Ahora pasamos a la siguiente columna. En la entrada (4,4) tenemos un 3, pero queremos un 1, entonces multiplicamos el último renglón por \frac{1}{3}:

    \begin{align*}A_7= \begin{pmatrix}1 & 0 &0 & 0 &0\\ 0 & 1 & 0 & -1 &-2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 &1 & \frac{7}{3}\end{pmatrix}.\end{align*}

Finalmente, cancelamos las entradas restantes de los otros renglones sustrayendo dos veces el último renglón del penúltimo y sumándolo una vez al segundo para obtener

    \begin{align*}A_8=\begin{pmatrix}1 & 0 &0 &0 &0 \\ 0 & 1& 0 & 0 & \frac{1}{3}\\  0 & 0 &1 & 0 &-\frac{5}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{7}{3} \end{pmatrix}.\end{align*}

Y así termina nuestro algoritmo, y nuestra matriz está en forma escalonada reducida. Las dos cosas más importantes de A_8 son que

  • Está en forma escalonada reducida y
  • es equivalente a A, es decir, el sistema de ecuaciones AX=0 y el sistema de ecuaciones A_8 X =0 tienen exactamente las mismas soluciones.

De hecho, todas las matrices A,A_1, A_2, \ldots, A_8 son equivalentes entre sí, pues difieren únicamente en operaciones elementales. Esta propiedad es muy importante, y precisamente es la que nos permite aplicar el algoritmo de reducción gaussiana a la resolución de sistemas lineales.

Una aplicación a un sistema de ecuaciones

Usemos el ejemplo anterior para resolver un sistema de ecuaciones:

Problema. Resolver en los reales el sistema lineal homogéneo AX=0 donde A es la matriz ejemplo de la sección anterior.

Solución: Los sistemas AX=0 y A_{red}X=0 son equivalentes, por lo que basta resolver A_{red}X=0 con A_{red} la matriz en forma escalonada reducida que encontramos (es decir, A_8). Este sistema queda planteado por las siguientes ecuaciones lineales:

    \begin{align*}\begin{cases}x_1=0\\x_2+\frac{x_5}{3}=0\\x_{3}-\frac{5}{3}x_5=0\\x_4+\frac{7}{3}x_5=0.\end{cases}.\end{align*}

Ya hemos resuelto sistemas de este estilo. Aquí x_5 es la variable libre y x_1,x_2,x_3,x_4 son variables pivote. Fijando x_5 igual a cualquier número real t, obtenemos que las soluciones son de la forma

    \begin{align*}\left(0, -\frac{1}{3}t, \frac{5}{3} t, - \frac{7}{3}t, t\right), \hspace{2mm} t\in \mathbb{R}.\end{align*}

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Aplica el algoritmo de reducción gaussiana a la matriz

        \[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 4 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 6 \end{pmatrix}.\]

    Para su sistema lineal asociado, encuentra todas las variables pivote y libres y resuélvelo por completo.
  • Aplica el algoritmo de reducción gaussiana a la matriz

        \[\begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 0 & 2 \\ -1 & 5 \\ 2 & 3 \\ 5 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix}.\]

  • Considera las matrices A_1, A_4 y A_8 de la sección con el ejemplo del algoritmo de reducción gaussiana. Toma una solución no trivial de A_8X=0 y verifica manualmente que también es solución de los sistemas lineales A_1X=0 y de A_4X=0.
  • Encuentra la matriz B, producto de matrices elementales tal que BA=A_{red} con A la matriz que usamos en el ejemplo. Para ello, tendrás que multiplicar todas las matrices correspondientes a las operaciones elementales que usamos.
  • Explica qué es lo que garantiza que el algoritmo de reducción gaussiana en efecto hace una cantidad finita de operaciones elementales.
  • Aplica el algoritmo de reducción gaussiana a la matriz

        \[A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]

    Si haces los pasos correctamente, llegarás a una matriz del estilo

        \[A_{red}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & a & b \\ 0 & 1 & c & d \end{pmatrix}.\]

    Toma el bloque B de 2\times 2 de la izquierda de A, es decir B=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}. Toma el bloque C de 2\times 2 de la derecha de A_{red}, es decir, C=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. ¿Qué matriz obtienes al hacer el producto BC? ¿Y el producto CB? ¿Por qué crees que pasa esto?

Más adelante…

El algoritmo de reducción gaussiana es crucial para muchos de los problemas que nos encontramos en álgebra lineal. Por ahora, las aplicaciones principales que veremos es cómo nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma AX=b y cómo nos permite encontrar inversas de matrices. Sin embargo, más adelante usaremos reducción gaussiana para determinar la dimensión de espacios vectoriales, conjuntos generados, para determinar si ciertos vectores son linealmente independientes, para determinar el rango de una matriz y varias otras cosas más.

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Álgebra Lineal I: Más ejemplos de reducción gaussiana

Introducción

En esta entrada veremos varios ejemplos que nos ayudarán a comprender que la reducción gaussiana es una herramienta muy poderosa a la hora de resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Problemas resueltos

Problema. Implementa el algoritmo de reducción gaussiana en la matriz

    \begin{align*}A=\begin{pmatrix}0 & 2 & 1 & 1 & 2\\1 & 1 & 0 & 2 & 1\\-3 & 1 & 1 & 0 & 2\\1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{align*}

Solución. Para este problema usaremos la siguiente notación para indicar las operaciones elementales que estamos efectuando :

  • R_i \leftrightarrow R_j para intercambiar el renglón i con el renglón j.
  • kR_i para multiplicar el renglón i por el escalar k.
  • R_i + kR_j para sumarle k veces el renglón j al renglón i.


    \begin{align*}A=&\begin{pmatrix}0 & 2 & 1 & 1 & 2\\1 & 1 & 0 & 2 & 1\\-3 & 1 & 1 & 0 & 2\\1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\\ R_1 \leftrightarrow R_2 & \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 2 & 1\\0 & 2 & 1 & 1 & 2\\-3 & 1 & 1 & 0 & 2\\1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\\R_4 - R_1&\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 2 & 1\\0 & 2 & 1 & 1 & 2\\-3 & 1 & 1 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\\R_3 + 3R_1&\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 2 & 1\\0 & 2 & 1 & 1 & 2\\0 & 4 & 1 & 6 & 5\\0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\\\frac{1}{2}R_2& \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 2 & 1\\0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1\\0 & 4 & 1 & 6 & 5\\0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\\R_3 - 4R_2&\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 2 & 1\\0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1\\0 & 0 & -1 & 4 & 1\\0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}R_1 - R_2& \begin{pmatrix}1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0\\0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1\\0 & 0 & -1 & 4 & 1\\0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\\-1\cdot R_3 &\begin{pmatrix}1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0\\0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1\\0 & 0 & 1 & -4 & -1\\0 & 0 & 1 & -1 & 0\end{pmatrix}\\R_4 - R_3& \begin{pmatrix}1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0\\0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1\\0 & 0 & 1 & -4 & -1\\0 & 0 & 0 & 3 & 1\end{pmatrix}\\R_2 - \frac{1}{2} R_3& \begin{pmatrix}1 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0\\0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\0 & 0 & 1 & -4 & -1\\0 & 0 & 0 & 3 & 1\end{pmatrix} \\R_1 + \frac{1}{2}R_3& \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\0 & 0 & 1 & -4 & -1\\0 & 0 & 0 & 3 & 1\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}\frac{1}{3} R_4&\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\0 & 0 & 1 & -4 & -1\\0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}\\R_3 + 4R_4& \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3}\\0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\end{pmatrix} \\R_2 - \frac{5}{2}R_4& \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\0 & 1 & 0 & 0 & \frac{2}{3}\\0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3}\\0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\end{pmatrix} \\R_1 + \frac{1}{2}R_4& \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{3}\\0 & 1 & 0 & 0 & \frac{2}{3}\\0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3}\\0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3}\end{pmatrix}\\=&A_{red}\end{align*}

\square

Problema. Resuelve el siguiente sistema homogéneo.

    \begin{align*}\begin{cases}x+2y-3z &=0\\2x+5y+2z &=0\\3x-y-4z &=0\end{cases}\end{align*}

Solución. La matriz asociada al sistema anterior es

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & 2 & -3\\2 & 5 & 2\\3 & -1 & -4 \end{pmatrix}\end{align*}


Para resolver el sistema AX=0 nos bastará con encontrar A_{red}, pues el sistema A_{red}X=0 es equivalente al sistema AX=0.

    \begin{align*}&\begin{pmatrix}1 & 2 & -3\\2 & 5 & 2\\3 & -1 & -4\end{pmatrix}\\R_2 -2R_1&\begin{pmatrix}1 & 2 & -3\\0 & 1 & 8\\3 & -1 & -4\end{pmatrix}\\R_3 - 3R_1&\begin{pmatrix}1 & 2 & -3\\0 & 1 & 8\\0 & -7 & 5\end{pmatrix}\\ R_1 - 2R_2&\begin{pmatrix}1 & 0 & -19\\0 & 1 & 8\\0 & -7 & 5\end{pmatrix}\\R_3 + 7R_2&\begin{pmatrix}1 & 0 & -19\\0 & 1 & 8\\0 & 0 & 61\end{pmatrix}\\R_2 - \frac{8}{61}R_3&\begin{pmatrix}1 & 0 & -19\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 61\end{pmatrix}\\R_1 + \frac{19}{61}R_3&\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 61\end{pmatrix}\\ \frac{1}{61}R_3&\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\&=A_{red}\end{align*}

De lo anterior se sigue que para resolver el sistema AX=0 basta con resolver el sistema

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.\end{align*}


Pero este sistema es el sistema

    \begin{align*}\begin{cases} x = 0\\ y = 0 \\ z = 0. \end{cases}\end{align*}

De esta forma, x=y=z=0 es la (única) solución al sistema original.

\square

Problema. Determina las soluciones fundamentales del sistema homogéneo AX=0, donde A es la matriz

    \begin{align*}A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & 0\\-2 & 4 & 0 & 2\\-1 & 2 & 1 & 2\end{pmatrix}.\end{align*}

Solución. Sea AX=0 el sistema

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & 0\\-2 & 4 & 0 & 2\\-1 & 2 & 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix}\end{align*}

Para este problema nuevamente nos interesa llevar la matriz asociada al sistema a su forma escalonada reducida.

Aunque es muy importante saber cómo se hacen estos procedimientos, es cierto que también existen herramientas que nos ayudan a hacer estos cálculos de manera más rápida. En esta ocasión usaremos una calculadora de forma reducida escalonada disponible en línea, la cual nos indica que la forma escalonada reducida de la matriz A es

    \begin{align*}A_{red}=\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & -1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.\end{align*}

De esta forma, el sistema del problema es equivalente al sistema A_{red}X=0

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & -2 & 0 & -1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix}\end{align*}


Las variables pivote son x y z. Las variables libres son y y w.

Como se mencionó en una entrada anterior, para encontrar las soluciones fundamentales hay que expresar a las variables pivote en términos de las variables libres. En el sistema anterior podemos notar que

    \begin{align*}\begin{cases}x =2y+w\\z=-w.\end{cases}\end{align*}


por lo que

    \begin{align*}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}2y+w\\y\\-w\\w\end{pmatrix}\\&=y\begin{pmatrix}2\\1\\0\\0\end{pmatrix} + w \begin{pmatrix}1\\0\\-1\\1\end{pmatrix}\end{align*}


siendo los vectores columna de la última igualdad las soluciones fundamentales del sistema AX=0, es decir que con estas soluciones se pueden generar todas las demás.

\square

Hasta ahora hemos visto ejemplos de reducción gaussiana de matrices de tamaño muy concreto y entradas muy concretas. Sin embargo, otra habilidad importante es aprender a usar reducción gaussiana en una matriz de tamaño arbitrario, con algunas entradas específicas. Veamos un ejemplo de cómo hacer esto.

Problema. Sea n>2 un número entero. Resuelve en números reales el sistema

    \begin{align*}x_2=\frac{x_1+x_3}{2}, x_3= \hspace{2mm} \frac{x_2+x_4}{2}, \hspace{2mm} \dots , \hspace{2mm}, x_{n-1}=\frac{x_{n-2}+x_n}{2}.\end{align*}

Solución. Este es un sistema lineal homogéneo de ecuaciones. Esto se puede verificar multiplicando cada ecuación por 2 e igualándola a 0. Por ejemplo, la primer ecuación se puede escribir como x_1-2x_2+x_3=0. Transformando el resto de las ecuaciones, obtenemos que el sistema se puede escribir en forma matricial como AX=0, dondeA es la matriz en M_{n-2,n}(F) dada por

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & -2 & 1 & 0  & \cdots & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & -2 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & -2 &  \cdots & 0 & 0 & 0 \\& \vdots & & \vdots  & & \ddots & & \vdots &\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -2 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 &- 2 & 1\end{pmatrix}. \end{align*}

Esta matriz se ve algo intimidante, pero igual se le puede aplicar reducción gaussiana. Hagamos esto.

Afortunadamente, en cada fila ya tenemos un pivote y están «escalonados». Basta con hacer transvecciones para asegurar que en cada columna de un pivote, el pivote es la única entrada no cero. Haremos los primeros pasos para encontrar un patrón de qué va sucediendo.

En el primer paso, sumamos dos veces la fila 2 a la primer fila. Al hacer esto obtenemos:

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & 0 & -3 & 2 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & -2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & -2 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & -2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\& \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots &\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -2 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 &- 2 & 1\end{pmatrix}.\end{align*}

Con esto la segunda columna ya queda lista. El el siguiente paso, multiplicamos por 3 (y 2) la tercer fila y se lo sumamos a la primera fila (y segunda, respectivamente). Obtenemos:

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -4 & 3 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & -3 & 2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & -2 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & -2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\& \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots &\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -2 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 &- 2 & 1\end{pmatrix}.\end{align*}

Para el siguiente paso, ahora hay que multiplicar por 4 (3, 2) la cuarta fila y sumárselo a la primera (segunda, tercera, respectivamente), y obtenemos:

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & -5 & 4 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 3 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & -3 & 2 &\cdots & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\& \vdots & & \vdots & & & \ddots & & \vdots &\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -2 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & 1 &- 2 & 1\end{pmatrix}.\end{align*}

El patrón es ahora claro. Conforme arreglamos la columna j, luego la columna j+1 tiene a los números -(j+1), -j, \ldots, -3, -2 y la columna j+2 tiene a los números j,j-1,j-2,\ldots,1,-2,1. Esto puede demostrarse formalmente por inducción. Al arreglar la columna n-2, la matriz queda en la siguiente forma escalonada reducida:

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -(n-1) & n-2 \\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -(n-2) & n-3 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -(n-3) & n-4 \\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -(n-4) & n-5 \\& \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots &\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -3 & 2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -2 & 1\end{pmatrix}.\end{align*}

Estamos listos para resolver el sistema asociado. Las variables libres son x_{n-1} y x_n, que podemos darles valores arbitrarios a y b. Las variables pivote son todas las demás, y de acuerdo a la forma de la matriz anterior, están dadas por

    \begin{align*}x_1&=(n-1)a - (n-2) b\\x_2&=(n-2)a - (n-3) b\\x_3&=(n-3)a - (n-4) b\\&\vdots\\x_{n-2}&=2a- b. \end{align*}

Esto determina todas las soluciones.

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Álgebra Lineal I: Problemas de sistemas de ecuaciones y forma escalonada reducida

Introducción

En esta entrada nos encargaremos de resolver algunos problemas de sistemas de ecuaciones lineales y de dar algunos ejemplos más de matrices en forma escalonada reducida.

Problemas resueltos

Problema. ¿Para cuáles números reales a se tiene que el siguiente sistema es consistente?. Resuelve el sistema para estos casos.

    \begin{align*}\begin{cases}x + 2y &=1\\4x+8y &=a.\end{cases}\end{align*}

Solución. Tomando la primera ecuación y multiplicandola por 4 vemos que

    \begin{align*}4x+8y=4\end{align*}

De lo anterior se sigue que el único número real a para el cuál el sistema es consistente es a=4, pues en otro caso tendríamos ecuaciones lineales que se contradicen entre sí.

Cuando a=4, tenemos entonces una única ecuación x+2y=1. Para encontrar todas las soluciones a esta ecuación lineal, podemos fijar el valor de y arbitrariamente como un número real r. Una vez fijado y, obtenemos que x=1-2y=1-2r. Así, el conjunto de soluciones es

    \[\{(1-2r,r): r \in \mathbb{R}\}.\]

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Problema. Encuentra todos a,b\in\mathbb{R} para los cuales los sistemas

    \begin{align*}\begin{cases}2x + 3y &=-2\\x - 2y &=6\end{cases}\end{align*}


y

    \begin{align*}\begin{cases}x + 2ay &=3\\-x - y &=b\end{cases}\end{align*}


son equivalentes.

Solución. Para resolver el primer sistema tomamos la segunda ecuación y despejamos x:

    \begin{align*}x=6+2y.\end{align*}


Sustituyendo lo anterior en la primera ecuación se tiene

    \begin{align*}2(6+2y)+3y&=-2\\ 12+7y&=-2\\7y&=-14\\y&=-2.\end{align*}


Luego sustituimos el valor de y para encontrar x

    \begin{align*}x&=6+2y\\&=6+2(-2)\\&=2.\end{align*}


Ahora, para encontrar los valores de a y b, sustituimos los valores de x y y que encontramos en el primer sistema y de esta forma garantizamos que ambos sistemas tendrán el mismo conjunto de soluciones, es decir, son equivalentes.

    \begin{align*}\begin{cases}x + 2ay &=3\\-x - y &=b\end{cases}\end{align*}


    \begin{align*}\begin{cases}2 + 2a(-2) &=3\\-2 - (-2) &=b\end{cases}\end{align*}


De la segunda ecuación es inmediato que b=0.
Por otro lado, despejando a de la primera ecuación se tiene

    \begin{align*}2-4a&=3\\-4a&=1\\a&=-\frac{1}{4}\end{align*}


Concluimos que los sistemas son equivalentes cuando

    \begin{align*}a=-\frac{1}{4}, \hspace{4mm} b=0.\end{align*}

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Más ejemplos de forma escalonada reducida

Para finalizar con esta entrada veremos más ejemplos de matrices que están en forma escalonada reducida y de matrices que no lo están.

Ejemplo. La matriz

    \begin{align*}\begin{pmatrix}2 & -1 & 3 & 1\\1 & 0 & 2 & 2\\3 & 1 & 7 & 0\\1 & 2 & 4 & -1\end{pmatrix}\end{align*}


no está en forma escalonada reducida, pues todas las entradas de la primera columna son distintas de cero.
En cambio, la matriz

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0\\0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{align*}


sí está en forma escalonada reducida. Queda como tarea moral verificar que esto es cierto.

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Ejemplo. La matriz

    \begin{align*}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & -5 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 3\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{align*}


no está en forma escalonada reducida, pues hay filas cero por encima de filas no cero. Otro problema que tiene es que el pivote de la tercer fila no es igual a 1.


En cambio

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{align*}


sí está en forma escalonada reducida.

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Ejemplo. La matriz \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2  \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} no está en forma escalonada reducida pues el pivote de la segunda fila está más a la izquierda que el de la primera. Sin embargo, si intercambiamos las filas, la matriz \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} sí está en forma escalonada reducida.

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Más adelante veremos un método para llevar una matriz a su forma escalonada reducida y veremos que esto es muy útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

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Álgebra Lineal I: Problemas de sistemas de ecuaciones e inversas de matrices

Introducción

En esta entrada resolveremos problemas relacionados con el uso del método de reducción gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones y encontrar inversas de matrices.

Problemas resueltos

Problema. Sea A una matriz de tamaño m\times n y sean b y c dos vectores en \mathbb{R}^{m} tales que AX=b tiene una única solución y el sistema AX=c no tiene solución. Explica por qué tiene que ser cierto que m>n.

Solución. Dado que el sistema AX=b es consistente, usando el teorema de existencia y unicidad podemos concluir que

  1. \left(A'\vert b'\right) no tiene pivotes en la última columna,
  2. A' tiene pivotes en todas sus columnas.

Sin embargo, sabemos que el sistema AX=c no tiene solución. Otra vez por el teorema de existencia y unicidad, esto nos implica que \left(A'\vert c'\right) tiene un pivote en la última columna. Sin embargo, ya sabíamos que A' tiene pivotes en todas sus columnas, pero aún así hay espacio en \left(A'\vert c'\right) para un pivote más, es decir, nos sobra espacio hasta abajo por lo que necesariamente tenemos al menos un renglón más que el número de columnas. Es decir m\geq n+1, y por lo tanto m>n.

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Problema. Determina si existen reales w, x, y y z tales que las matrices

    \[\begin{pmatrix} x & 2\\ y & 1 \end{pmatrix}\]

y

    \[\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ z & w \end{pmatrix}\]

sean inversas la una de la otra.

Solución. En una entrada anterior mostramos que para que dos matrices cuadradas A y B del mismo tamaño sean inversas, basta con mostrar que AB=I. De esta forma, haciendo el producto tenemos que el enunciado es equivalente a

    \begin{align*}\begin{pmatrix} 5x+2z & -2x+2w \\ 5y+z & -2y+w \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.\end{align*}

Es decir, tenemos un sistema lineal

    \begin{align*}\begin{cases}5x+2z&=1\\-2x+2w&=0\\5y+z&=0\\-2y+w&=1.\end{cases}\end{align*}

Este es un sistema lineal de la forma AX=b, donde

    \[A=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

y

    \[b=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.\]

Para determinar si tiene solución, aplicamos reducción gaussiana a la matriz (A|b). En los siguientes pasos estamos aplicando una o más operaciones elementales.

    \begin{align*}&\begin{pmatrix}5 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\\to &\begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ -2 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\\to & \begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & \frac{4}{5} & 2 & \frac{2}{5} \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\\to & \begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4}{5} & 2 & \frac{2}{5} \\ 0 & -2 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\\to & \begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4}{5} & 2 & \frac{2}{5} \\ 0 & 0 & \frac{2}{5} & 1 & 1 \end{pmatrix} \\\to & \begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \frac{2}{5} & 1 & 1 \end{pmatrix}\\\to & \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{10} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{4}{5} \end{pmatrix}\\\to & \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\end{align*}

Ya encontramos la forma escalonada reducida (A'|b') de (A|b). La última columna de (A'|b') tiene un pivote (el de la última fila). De esta forma, el sistema de ecuaciones no tiene solución.

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En la práctica, se pueden usar herramientas tecnológicas para para resolver algunos problemas numéricos concretos. Sin embargo, es importante tener un sólido conocimiento teórico para saber cómo aprovecharlas.

Problema. Determina si las siguientes matrices son invertibles. En caso de serlo, encuentra la inversa.

    \begin{align*}A&=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 7 & 3 & 2 \end{pmatrix}\\B&=\begin{pmatrix}1 & 5 & -1 & 2 \\ -1 & 3 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 1 & -2 \\ -3 & 4 & 2 & 6 \end{pmatrix}.\end{align*}

Solución. Usando la calculadora de forma escalonada reducida de eMathHelp, obtenemos que la forma escalonada reducida de A y B son, respectivamente

    \begin{align*}A_{red}&=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\B_{red}&=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -\frac{9}{8}\\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{5}{8} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.\end{align*}

Por uno de nuestros teoremas de caracterización, para que una matriz cuadrada sea invertible debe de suceder que su forma escalonada reducida sea la identidad. Esto nos dice que A sí es invertible, pero B no.

Para encontrar la inversa de A, consideramos la matriz extendida (A|I_3), y a ella le aplicamos reducción gaussiana. Usamos de nuevo la calculadora de eMathHelp para obtener

    \begin{align*}(A_{red}|X)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{13}{27} & \frac{7}{27} & \frac{2}{27} \\0 & 1 & 0 & \frac{35}{27} & - \frac{23}{27} & \frac{5}{27} \\0 & 0 & 1 & \frac{7}{27} & \frac{10}{27} & - \frac{1}{27}\end{pmatrix}.\end{align*}

De aquí obtenemos que la inversa de A es

    \begin{align*}A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{13}{27} & \frac{7}{27} & \frac{2}{27} \\ \frac{35}{27} & - \frac{23}{27} & \frac{5}{27} \\ \frac{7}{27} & \frac{10}{27} & - \frac{1}{27}\end{pmatrix}.\end{align*}

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Finalmente, hay algunos problemas en los que no es posible aplicar herramientas digitales, o por lo menos no es directo cómo hacerlo. Esto sucede, por ejemplo, cuando en un problema las dimensiones o entradas de una matriz son variables.

Problema. Sea a un número real. Determina la inversa de la siguiente matriz en M_{n}(\mathbb{R}):

    \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ a^2 & a & 1 & \cdots & 0 & 0 \\  & \vdots & & \ddots &  & \vdots \\ a^{n-2} & a^{n-3} & a^{n-4} & \cdots & 1 & 0 \\a^{n-1} & a^{n-2} & a^{n-3} & \cdots & a & 1 \end{pmatrix}.\]

Solución. Recordemos que para obtener la inversa de una matriz cuadrada A, si es que existe, se puede aplicar a la matriz identidad las mismas operaciones elementales que se le apliquen a A para llevarla a forma escalonada reducida.

¿Qué operaciones necesitamos hacer para llevar a A a su forma escalonada reducida? La esquina (1,1) ya es un pivote, y con transvecciones de factores -a, -a^2,\ldots, -a^{n-1} podemos hacer 0 al resto de las entradas en la columna 1.

Tras esto, la entrada (2,2) es ahora pivote de la segunda fila, y con transvecciones de factores -a,-a^2,\ldots, -a^{n-2} podemos hacer 0 al resto de las entradas en la columna 2. Siguiendo este procedimiento, llevamos a A a su forma escalonada reducida. Esto puede demostrar formalmente usando inducción.

Ahora veamos qué sucede si aplicamos estas mismas operaciones a la matriz identidad. Si aplicamos las mismas operaciones que arreglan la primer columna de A, pero a la matriz identidad, obtenemos

    \[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -a^2 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ -a^{n-2} & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\-a^{n-1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

Si ahora aplicamos las operaciones que arreglan la segunda columna de A, obtenemos

    \[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -a & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & -a^{n-3} & 0 & \cdots & 1 & 0 \\0 & -a^{n-2} & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

Continuando de esta manera, en cada columna sólo nos quedará un 1 y un -a. Esto puede probarse formalmente de manera inductiva. Al final, obtenemos la matriz

    \[B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -a & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & \cdots & -a & 1 \end{pmatrix},\]

en donde la diagonal principal consiste de puros unos, y la diagonal debajo de ella consiste de puras entradas -a.

Hay dos formas de proceder para dar una demostración formal que esta matriz encontrada es la inversa de A. La primera es completar las demostraciones inductivas que mencionamos. La segunda es tomar lo que hicimos arriba como una exploración del problema y ahora realizar de manera explícita el producto AB o el producto BA.

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