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Álgebra Lineal I: Conjuntos generadores e independencia lineal

Introducción

En esta entrada explicaremos cómo podemos estudiar espacios y subespacios vectoriales a partir de conjuntos más pequeños que guardan la información más relevante de ellos. A estos conjuntos les llamaremos generadores. Además estudiaremos el concepto de independencia lineal. A grandes rasgos podemos decir que un conjunto es linealmente independiente cuando no tiene «elementos redundantes» que se pueden obtener a partir de otros en el conjunto. En ambos casos, nos basaremos fuertemente en el concepto de combinaciones lineales que ya discutimos anteriormente.

Conjuntos generadores

El inciso (1) de la siguiente definición ya lo mencionamos parcialmente en una entrada anterior, para un conjunto finito de vectores. Aquí lo enunciamos de modo que también aplique para conjuntos posiblemente infinitos.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $F$ y $S$ un subconjunto de $V$.

  1. El subespacio generado por $S$ es el subconjunto de $V$ que consiste de todas las combinaciones lineales $c_1v_1+c_2v_2+\dots + c_nv_n$, donde $v_1,v_2,\dots,v_n$ es un subconjunto finito de $S$ y $c_1,c_2, \dots , c_n$ son escalares en $F$. Al subespacio generado de $S$ lo denotamos por $\text{span}(S)$. A menudo nos referiremos al subespacio generado de $S$ simplemente como «el generado de $S$».
  2. b) Decimos que $S$ es un conjunto generador de $V$ si $\text{span}(S)=V$.

En otras palabras, un subconjunto $S$ de $V$ es generador cuando cualquier elemento de $V$ se puede escribir como una combinación lineal de elementos de $S$.

Ejemplos.

  1. Considera el espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ y el conjunto
    \begin{align*}
    e_1=\begin{pmatrix}
    1\\
    0\\
    0\end{pmatrix}, \hspace{2mm} e_2=\begin{pmatrix}
    0\\
    1\\
    0\end{pmatrix}, \hspace{2mm} e_3=\begin{pmatrix}
    0\\
    0\\
    1\end{pmatrix}.
    \end{align*}
    Entonces $e_1,e_2,e_3$ forma un conjunto generador de $\mathbb{R}^3$, pues cada vector $X=\begin{pmatrix}
    x\\
    y\\
    z\end{pmatrix}$ se puede escribir como $X=xe_1+ye_2+ze_3$. Sin embargo, el conjunto conformado por únicamente $e_2$ y $e_3$ no es generador pues, por ejemplo, el vector $(1,1,1)$ no puede ser escrito como combinación lineal de ellos.
  2. Sea $\mathbb{R}_n[x]$ el espacio de los polinomios con coeficientes reales y de grado a los más $n$. La familia $1,x,\dots, x^n$ es un conjunto generador.
  3. Considera el espacio $M_{m,n}(F)$. Sea $E_{ij}$ la matriz cuya entrada $(i,j)$ es $1$ y todas sus demás entradas son $0$. Entonces la familia $(E_{ij})_{1\leq i\leq m, 1\leq j \leq n}$ es un conjunto generador de $V$, pues cada matriz $A=[a_{ij}]$ puede ser escrita como
    \begin{align*}
    A=\displaystyle\sum_{i=1}^m \displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij}E_{ij}.
    \end{align*}
    Este ejemplo lo discutimos anteriormente, cuando hablamos de matrices y sus operaciones.
  4. Para dar un ejemplo donde un conjunto generador consiste de una cantidad infinita de elementos, considera el espacio $\mathbb{R}[x]$ de polinomios. En este caso, el conjunto $\{x^i: i \geq 0\}$ de todas las potencias de $x$ es un conjunto generador. Seria imposible tener un conjunto generador finito para $\mathbb{R}[x]$ pues si ese conjunto es $S$ y el grado máximo de un polinomio en $S$ es $M$, entonces no podremos obtener al polinomio $x^{M+1}$ como combinación lineal de elementos de $S$.

$\square$

Reducción gaussiana y conjuntos generadores

Cuando estamos en el espacio vectorial $F^n$, la reducción gaussiana también resulta muy útil a la hora de estudiar el subespacio generado por los ciertos vectores $v_1,v_2,\dots, v_k$. Considera la matriz $A\in M_{k,n}(F)$ obtenida por poner como vectores fila a $v_1,v_2,\dots, v_k$ en la base canónica de $F^n$ . Hacer operaciones elementales sobre los renglones de $A$ no altera el subespacio generado por sus renglones, de manera que $\text{span}(v_1,\dots, v_k)$ es precisamente el subespacio generado los renglones de $A_{red}$. Esto nos da una manera más sencilla de entender a $\text{span}(v_1, \dots, v_k)$.

Ejemplo. Considera los vectores $v_1=(1,2,6),\hspace{2mm} v_2=(-1,3,2), \hspace{2mm}v_3=(0,5,8)$ en $\mathbb{R}^3$. Queremos encontrar una manera sencilla de expresar $V=\text{span}(v_1,v_2,v_3)$.
Considera la matriz
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 6\\
-1 & 3 & 2\\
0 & 5 & 8\end{pmatrix}.
\end{align*}
Aplicando el algortimo de reducción gaussiana (manualmente o con una calculadora online) llegamos a que
\begin{align*}
A_{red}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{14}{5}\\
0 & 1 & \frac{8}{5}\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
\end{align*}
De manera que
\begin{align*}
V=\text{span}\left(\left(1,0,\frac{14}{5}\right),\left(0,1,\frac{8}{5}\right)\right).
\end{align*}

Siendo más explícitos todavía, $V$ es entonces el conjunto de vectores de $\mathbb{R}^3$ de la forma $$a\left(1,0,\frac{14}{5}\right)+b\left(0,1,\frac{8}{5}\right)=\left(a,b,\frac{14a+8b}{5}\right).$$

$\square$

Independencia lineal

Sean $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$, $v_1, \dots ,v_n\in V$ y $v\in \text{span}(v_1, \dots, v_n)$. Por definición, existen escalares $c_1,c_2, \dots , c_n$ en $F$ tales que
\begin{align*}
v=c_1v_1+c_2v_2+\dots + c_nv_n.
\end{align*}

No hay algo en la definición de subespacio generado que nos indique que los escalares deben ser únicos, y en muchas ocasiones no lo son.

Problema. Sean $v_1,v_2,v_3$ tres vectores en $\mathbb{R}^n$ tales que $3v_1+v_2+v_3=0$ y sea $v=v_1+v_2-2v_3$. Encuentra una infinidad de maneras de expresar a $v$ como combinación lineal de $v_1,v_2,v_3$.

Solución. Sea $\alpha \in \mathbb{R}$. Multiplicando por $\alpha$ la igualdad $3v_1+v_2+v_3=0$ y sumando la igualdad $v_1+v_2+v_3=v$ se sigue que
\begin{align*}
v=(3\alpha + 1)v_1 + (\alpha +1)v_2 + (\alpha – 2)v_3.
\end{align*}
Así, para cada $\alpha \in \mathbb{R}$ hay una manera diferente de expresar a $v$ como combinación lineal de $v_1,v_2,v_3$.

$\square$

Supongamos ahora que el vector $v$ puede ser escrito como $v=a_1v_1+a_2v_2+ \dots + a_nv_n$. Si $b_1,b_2, \dots, b_n$ son otros escalares tales que $v=b_1v_1+b_2v_2+ \dots + b_nv_n$, entonces al restar la segunda relación de la primera obtenemos
\begin{align*}
0=(a_1-b_1)v_1+ (a_2-b_2)v_2+ \dots + (a_n-b_n)v_n.
\end{align*}
De manera que podríamos concluir que los escalares $a_1,a_2,\dots,a_n$ son únicos si la ecuación
\begin{align*}
z_1v_1+z_2v_2+ \dots + z_nv_n=0
\end{align*}
implica $z_1=z_2=\dots=z_n=0$ (con $z_1,\dots ,z_n\in F$), pero este no siempre es el caso (ejemplo de ello es el problema anterior).

Los vectores $v_1, v_2, \dots, v_n$ que tienen la propiedad de generar a los vectores en $\text{span}(v_1,\ldots,v_n)$ de manera únicason de suma importancia en el álgebra lineal y merecen un nombre formal.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre el campo $F$.
a) Decimos que los vectores $v_1,v_2, \dots, v_n\in V$ son linealmente dependientes si existe una relación
\begin{align*}
c_1v_1+c_2v_2+\dots+c_nv_n=0
\end{align*}
para la cual $c_1,c_2, \dots,c_n$ son escalares de $F$ y alguno es distinto de cero.
b) Decimos que los vectores $v_1,v_2, \dots, v_n\in V$ son linealmente independientes si no son linealmente dependientes, es decir, si la relación
\begin{align*}
a_1v_1+a_2v_2+\dots+a_nv_n=0
\end{align*}
implica que $a_1=a_2=\dots=a_n=0.$

La discusión previa a la definición muestra que un vector en $\text{span}(v_1,\ldots,v_n)$ puede ser escrito de manera única como combinación lineal de los vectores $v_1,\ldots,v_n$ si y sólo si estos vectores son linealmente independientes.

Ejemplos de dependencia e independencia lineal

Ejemplo. Las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ son linealmente independientes en $M_{2,3}(\mathbb{R})$. Verifiquemos esto. Supongamos que hay una combinación lineal de ellas igual a cero, es decir, que existen reales $a,b,c$ tales que $aA+bB+cC=O_{2,3}$. Obtenemos entonces que $$\begin{pmatrix} a+b & 0 & 0 \\ a+b & b+c & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

De la entrada $(2,3)$ obtenemos que $c=0$. Así, de la entrada $(2,2)$ obtenemos que $b=0$ y consecuentemente, de la entrada $(1,1)$ obtenemos que $a=0$. De esta forma, la única combinación lineal de las matrices $A$, $B$ y $C$ que da $0$ es cuando los coeficientes son iguales a cero. Concluimos que $A$, $B$ y $C$ son linealmente independientes.

$\square$

Ejemplo. Considera el espacio vectorial $V$ de funciones de $[0,1]$ a $\mathbb{R}$. Demuestra que las funciones $f(x)=\sin^2 (x)$, $g(x) = 3\cos^2(x)$, $m(x)=x^2$ y $h(x)=-5$. Veremos que estas funciones son linealmente dependientes. Para ello, debemos encontrar reales $a,b,c,d$ no todos ellos iguales a cero tales que $$af+bg+cm+dh=0,$$ es decir, tales que para todo $x$ en el intervalo $[0,1]$ se cumpla que $$a\sin^2(x) + 3b\cos^2(x) + cx^2 -5d = 0.$$

Proponemos $a=1$, $b=\frac{1}{3}$, $c=0$ y $d=\frac{1}{5}$. Notemos que con esta elección de coeficientes tenemos por la identidad pitagórica que
\begin{align*}
\sin^2(x)+\cos^2(x) – 1 = 0.
\end{align*}

Hemos encontrado coeficientes, no todos ellos iguales a cero, tales que una combinación lineal de las funciones es igual a la función cero. Concluimos que las funciones son linealmente dependientes.

$\square$

Reducción gaussiana e independencia lineal

Ahora estudiaremos una técnica para estudiar la independencia lineal. Esta nos permitirá determinar si dados algunos vectores $v_1,v_2\dots,v_k\in F^n$, estos son linealmente independientes. Veamos que este problema puede ser resuelto de manera sencilla por medio de un algoritmo. En efecto, necesitamos saber si podemos encontrar $x_1, \dots, x_k\in F$ no todos iguales a $0$ y tales que
\begin{align*}
x_1v_1+\dots+x_nv_n=0.
\end{align*}

Sea $A$ de $n\times k$ la matriz cuyas columnas están dadas por los vectores $v_1, \dots, v_k$. Entonces la relación anterior es equivalente al sistema $AX=0$, donde $X$ es el vector columna con coordenadas $x_1, \dots, x_k$.Por lo tanto los vectores $v_1, \dots, v_k$ son linealmente independientes si y sólo si el sistema homogéneo $AX=0$ únicamente tiene a la solución trivial.

Como ya vimos anteriormente, este problema se puede resolver mediante el algoritmo de reducción gaussiana: Sea $A_{red}$ la forma escalonada reducida de $A$. Si existe un pivote en cada columna de $A_{red}$, entonces no hay variables libres y la solución al sistema únicamente es el vector cero. Así, $v_1,\dots, v_k$ son linealmente independientes. De lo contrario son linealmente dependientes. Siguiendo este procedimiento, es posible resolver el problema original de manera algorítimica.

Otra cosa importante que podemos deducir a partir de este análisis es que como un sistema lineal homogéneo con más variables que ecuaciones siempre tiene una solución no trivial, entonces si tenemos más de $n$ vectores en $F^n$, estos nunca serán linealmente independientes.

Problema. Considera los vectores
\begin{align*}
v_1&=(1,2,3,4,5)\\
v_2&=(2,3,4,5,1)\\
v_3&=(1,3,5,7,9)\\
v_4&=(3,5,7,9,1)
\end{align*} en $\mathbb{R}^5$. ¿Son linealmente independientes? Si la respuesta es negativa, da una relación no trivial de dependencia lineal entre estos vectores.

Solución. Consideremos la matriz cuyas columnas son los vectores $v_1, \dots, v_4$
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 3\\
2 & 3 & 3 & 5\\
3 & 4 & 5 & 7\\
4 & 5 & 7 & 9\\
5 & 1 & 9 & 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Aplicando reducción gaussiana obtenemos
\begin{align*}
A_{red}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -2\\
0& 1 & 0 & 2\\
0&0 & 1 & 1\\
0 &0 & 0 & 0\\
0& 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Como no hay pivote en la última columna, ésta corresponde a una variable libre. Así, habrá por lo menos una solución no trivial y entonces los vectores $v_1,v_2,v_3,v_4$ son linealmente dependientes.

Para encontrar la relación no trivial de dependencia lineal resolvemos el sistema $AX=0$, el cual es equivalente al sistema $A_{red}X=0$. De la matriz anterior obtenemos las siguientes igualdades
\begin{align*}
x_1=2x_4, \hspace{3mm}, x_2=-2x_4, \hspace{3mm} x_3=-x_4.
\end{align*}
Tomando $x_4=1$ (de hecho podemos asignarle cualquier valor distinto de cero), obtenemos la relación de dependencia lineal
\begin{align*}
2v_1-2v_2-v_3+v_4=0.
\end{align*}

$\square$

Hagamos otro problema en el que la técnica anterior nos ayuda a estudiar la independencia lineal.

Problema. Demuestra que los vectores
\begin{align*}
v_1=(2,1,3,1), \hspace{2mm} v_2=(-1,0,1,2), \hspace{2mm} v_3=(3,2,7,4), \hspace{2mm} v_4=(1,2,0,-1), \hspace{2mm}
\end{align*}
son linealmente dependientes y encuentra tres de ellos que sean linealmente independientes.

Solución. Sea $A$ la matriz cuyas columnas son los vectores $v_1, \dots , v_4$
\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 3 & 1\\
1 & 0 & 2 & 2\\
3 & 1 & 7 & 0\\
1 & 2 & 4 & -1
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Aplicando reducción gaussiana obtenemos
\begin{align*}
A_{red}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 0\\
0& 1 & 1 & 0\\
0&0 & 0 & 1\\
0 &0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Como la tercera columna de $A_{red}$ no tiene al pivote de ninguna fila, deducimos que los cuatro vectores son linealmente dependientes.

Si eliminamos la tercera columna, entonces la matriz que queda es la forma escalonada reducida correspondiente al conjunto $\{v_1,v_2,v_4\}$. Como esta matriz sí tiene pivotes de filas en cada columna, concluimos que este es un conjunto de vectores linealmente independientes.

$\square$

Independencia lineal de conjuntos infinitos

Hasta este momento hemos trabajado únicamente con familias finitas de vectores, así que es natural preguntarse qué procede con las familias infinitas. Con la definición que tenemos, si tomamos una familia infinita de vectores $(v_i)_{i\in I}$ no podríamos darle algún significado a la suma infinita $\displaystyle\sum_{i\in I}c_iv_i$ para cualquier toda elección de escalares $c_i$, pues en espacios vectoriales no está en general definido cómo hacer una suma infinita. Sin embargo, si todos salvo una cantidad finita de escalares son $0$, entonces la suma anterior sería una suma finita y ya tendría sentido.

De esta manera, podemos extender la definición como sigue.

Definición. La familia $(v_i)_{i\in I}$ es linealmente dependiente si existe una familia de escalares $(c_i)_{i\in I}$ tales que todos salvo una cantidad finita de ellos son cero, pero al menos uno no es cero y que $\displaystyle\sum_{i\in I}c_iv_i=0$.

De manera equivalente y para simplificar el razonamiento anterior podemos decir que una familia arbitraria de vectores es linealmente dependiente si tiene una subfamilia finita linealmente dependiente. Una familia de vectores es linealmente independiente si toda subfamilia finita es linealmente independiente. Por lo tanto, un conjunto $L$ (posiblemente infinito) es linealmente independiente si dados elementos distintos $l_1,\dots, l_n\in L$ y escalares $a_1,a_2,\dots, a_n$ con $a_1l_1+a_2l_2+\dots+ a_nl_n=0$, entonces $a_1=a_2=\dots=a_n=0.$

Observación. a) Una subfamilia de una familia linealmente independiente es linealmente independiente. En efecto, sea $(v_i)_{i\in I}$ una familia linealmente independiente y sea $J\subset I$. Supongamos que $(v_i)_{i\in J}$ es linealmente dependiente. Entonces existe una subfamilia finita linealmente dependiente $v_{i_1}, \dots, v_{i_n}$ con $i_1, \dots,i_n\in J $, pero $i_1, \dots,i_n\in I $, entonces $v_{i_1}, \dots, v_{i_n}$ es una subfamilia finita y linealmente dependiente de una familia linealmente independiente lo cual es una contradicción.
b) Si dos vectores de una familia son iguales, entonces automáticamente la familia es linealmente dependiente.

$\square$

Más adelante veremos ejemplos de generadores y de independencia lineal con familias infinitas de vectores.

Una relación entre independencia lineal y generados

Podemos relacionar las nociones de subespacio generado y de independencia lineal con la siguiente proposición. Básicamente nos dice que un conjunto $\{v_1, \dots, v_n\}$ es linealmente dependiente si y sólo si alguno sus elementos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

Es importante mencionar que usamos la palabra «conjunto» y no «familia», puesto que con la primera nos referimos a que los vectores son distintos dos a dos, mientras que con la segunda sí pueden haber repeticiones.

Proposición. Sea $S$ un conjunto de vectores en algún espacio vectorial $V$. Entonces $S$ es linealmente dependiente si y sólo si existe $v\in S$ tal que $v\in \text{span}(S\backslash \{v\})$.

Demostración. Supongamos que $S$ es linealmente dependiente. Entonces existe una cantidad finita de vectores $v_1,v_2, \dots , v_n\in S$ y algunos escalares $a_1,a_2, \dots, a_n$ no todos iguales a $0$, tales que
\begin{align*}
a_1v_1+a_2v_2+ \dots + a_nv_n=0.
\end{align*}
Notemos que $v_1,\dots , v_n$ son distintos dos a dos, pues estamos suponiendo que los elementos de $S$ también lo son.

Como no todos los escalares son $0$, existe $i\in \{1,2,\dots, n\}$ tal que $a_i\neq 0$. Dividiendo la igualdad anterior entre $a_i$, obtenemos
\begin{align*}
\frac{a_1}{a_i}v_1+ \dots + \frac{a_{i-1}}{a_i}v_{i-1}+ v_i+ \frac{a_{i+1}}{a_i}v_{i+1}+ \dots + \frac{a_n}{a_i}v_n=0,
\end{align*}
por consiguiente
\begin{align*}
v_i=-\frac{a_1}{a_i}v_1- \dots – \frac{a_{i-1}}{a_i}v_{i-1}-\frac{a_{i+1}}{a_i}v_{i+1}-\dots – \frac{a_n}{a_i}v_n.
\end{align*}

De lo anterior se sigue que $v_i$ pertenece al generado de $v_1, \dots , v_{i-1}, v_{i+1}, \dots , v_n$, el cual está contenido en $\text{span}(S \backslash \{v_i\})$, pues $\{v_1, \dots , v_{i-1}, v_{i+1}, \dots , v_n\}\subset S\backslash \{v_i\}$. Esto prueba una implicación.

Para la otra implicación, supongamos que existe $v\in S$ tal que $v\in \text{span}(S\backslash \{v\})$. Esto significa que existen $v_1,v_2, \dots, v_n\in S\backslash \{v\}$ y escalares $a_1,a_2,\dots ,a_n$ tales que
\begin{align*}
v=a_1v_1+a_2v_2+\dots+a_nv_n.
\end{align*}
Pero entonces
\begin{align*}
1\cdot v + (-a_1)v_1+ \dots + (-a_n)v_n=0
\end{align*}
y los vectores $v,v_1,\dots , v_n$ son linealmente dependientes pues por lo menos el primer coeficiente es distinto de cero. Como $v$ no está en $\{v_1, \ldots, v_n\}$, se sigue que $S$ tiene un subconjunto finito que es linealmente dependiente y por lo tanto $S$ también lo es.

$\square$

Tarea moral

  • Decide si el conjunto con las matrices $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ es un conjunto generador de $M_2(\mathbb{R})$.
  • Sean $S_1$ y $S_2$ subconjuntos de un subespacio vectorial $V$ tales que $S_1\subset S_2$. Demuestra que $\text{span}(S_1)\subset \text{span}(S_2)$. Concluye que si $S_1$ es generador, entonces $S_2$ también lo es
  • Demuestra la observación b).
  • Da un conjunto de $3$ vectores de $\mathbb{R}^3$ linealmente independientes y tales que ninguna de sus entradas es $0$. Haz lo mismo para linealmente dependientes.
  • Sean $f,g:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ funciones definidas por
    \begin{align*}
    f(t)=e^{rt}, \hspace{4mm} g(t)=e^{st}
    \end{align*}
    con $r\neq s$. Demuestra que $f$ y $g$ son linealmente independientes en $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, el espacio de las funciones de los reales en los reales.

Más adelante…

Aquí ya hablamos de conjuntos generadores y de linealmente independientes. La entrada teórica que sigue es crucial y en ella se verá y formalizará la intuición de que los conjuntos generadores deben ser «grandes», mientras que los independientes deben ser «chicos». El resultado clave es el lema de intercambio de Steinitz.

Cuando un conjunto de vectores es tanto generador, como linealmente independiente, está en un equilibrio que ayuda a describir una propiedad muy importante de un espacio vectorial: la de dimensión.

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Álgebra Lineal I: Problemas de espacios, subespacios y sumas directas

Introducción

En esta entrada resolvemos más problemas para reforzar y aclarar los conceptos vistos anteriormente. Específicamente, resolvemos problemas acerca de espacios vectoriales, subespacios vectoriales y sumas directas.

Problemas resueltos

Problema. Muestra que el conjunto de las funciones continuas $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ tales que $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ con las operaciones usuales es un espacio vectorial.

Solución: Primero observamos que nuestras operaciones están bien definidas: sabemos que la suma de funciones continuas es continua y si $f$ es continua y $\lambda\in \mathbb{R}$ es un escalar, entonces $\lambda f$ es continua. Más aún, si $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ y $g\left(\frac{1}{2}\right)=0$, entonces $(f+g) \left( \frac{1}{2}\right) =f\left( \frac{1}{2}\right) + g\left( \frac{1}{2}\right)=0+0=0$ y $\lambda f\left(\frac{1}{2}\right)=\lambda \cdot 0 =0$. En otras palabras, estos argumentos muestran que el conjunto es cerrado bajo las operaciones propuestas.

Ahora veamos que se cumplen los axiomas de espacio vectorial. Recuerda que para mostrar la igualdad de dos funciones, basta con mostrar que son iguales al evaluarlas en cada uno de los elementos de su dominio. En las siguientes demostraciones, $x$ es un real arbitrario en $[0,1]$

  1. Si $f,g,h$ son parte de nuestro conjunto, entonces
    \begin{align*}
    \left(f+(g+h)\right)(x)&= f(x)+(g+h)(x)\\ &= f(x)+g(x)+h(x) \\ &= (f+g)(x) +h(x)\\ &= ((f+g)+h)(x).
    \end{align*}
    Aquí estamos usando la asociatividad de la suma en $\mathbb{R}$
  2. Si $f,g$ son como en las condiciones, dado que la suma en números reales es conmutativa, $(f+g)(x)= f(x)+g(x)= g(x)+f(x)=(g+f)(x)$.
  3. La función constante $0$ es un neutro para la suma. Sí está en el conjunto pues la función $0$ en cualquier número (en particular en $\frac{1}{2}$) tiene evaluación $0$.
  4. Dada $f$ continua que se anula en $\frac{1}{2}$, $-f$ también es continua y se anula en $\frac{1}{2}$ y $f+(-f)= (-f)+f=0$.
  5. Si $a,b\in \mathbb{R}$ entonces $a(bf)(x)= a(bf(x))= (ab)f(x)$, por la asociatividad del producto en $\mathbb{R}$.
  6. Es claro que la constante $1$ satisface que $1\cdot f=f$, pues $1$ es una identidad para el producto en $\mathbb{R}$.
  7. $(a+b)f(x)= af(x)+bf(x)$, por la distributividad de la suma en $\mathbb{R}$
  8. $a\cdot (f+g)(x) = a\cdot (f(x)+g(x))= a\cdot f(x)+a\cdot g(x)$, también por la distributividad de la suma en $\mathbb{R}$.

Observa como las propiedades se heredan de las propiedades de los números reales: En cada punto usamos que las operaciones se definen puntualmente, luego aplicamos las propiedades para los números reales, y luego concluimos el resultado (como por ejemplo, en la prueba de la conmutatividad).

$\square$

Problema. Muestra que ninguno de los siguientes es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^3$.

  1. El conjunto $U$ de los vectores $x=(x_1, x_2, x_3)$ tales que $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$.
  2. El conjunto $V$ de todos los vectores en $\mathbb{R}^3$ con números enteros por coordenadas.
  3. El conjunto $W$ de todos los vectores en $\mathbb{R}^3$ que tienen al menos una coordenada igual a cero.

Solución:

  1. Notamos que el conjunto $U$ no es cerrado bajo sumas: En efecto, el vector $(1,0,0)\in U$, pues $1^2+0^2+0^2=1$, así como $(-1,0,0)\in U$, pues $(-1)^2+0^2+0^2=1$. Sin embargo su suma es $(0,0,0)$, que no es un elemento de $U$.
  2. Mientras que $V$ si es cerrado bajo sumas, no es cerrado bajo producto por escalares. Por ejemplo, $(2,8,1)\in V$, sin embargo $\frac{1}{2} (2,8,1)= \left(1,4,\frac{1}{2}\right)\notin V$, pues la última coordenada no es un número entero.
  3. El conjunto si es cerrado bajo producto por escalares, pero no bajo sumas: Tomando $(1,1,0)$ y $(0,0,1)$ en $W$, tenemos que $(1,1,0)+(0,0,1)=(1,1,1)\notin W$.

$\square$

Problema. Sea $V$ el conjunto de todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dos veces diferenciables (es decir, que tienen segunda derivada) que cumplen para todo $x\in \mathbb{R}$:

\begin{align*}
f»(x)+x^2 f'(x)-3f(x)=0.
\end{align*}

¿Es $V$ un subespacio de las funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ ?

Solución: En efecto, podemos verificar que $V$ cumple las condiciones de subespacio:

  1. Observamos que la función $f\equiv 0$ es dos veces diferenciable y satisface
    \begin{align*}
    f»(x)+x^2 f'(x)-3f(x)=0+x^2 \cdot 0 -3\cdot 0=0.
    \end{align*}
    Es decir $0\in V$. Esto muestra que $V$ es no vacío.
  2. Sean $f,g\in V$. Sabemos que entonces $f+g$ también es dos veces diferenciable (por ejemplo, de un curso de cálculo). Además
    \begin{align*}
    &(f+g)»(x)+x^2 (f+g)'(x)-3(f+g)(x)\\ & = f»(x)+g»(x)+x^2 f'(x)+x^2 g'(x)-3f(x)-3g(x)\\& = f»(x)+x^2f(x)-3f(x)+ g»(x)+x^2g(x)-3g(x)\\& =0+0=0.
    \end{align*}
    Así $f+g\in V$.
  3. Finalmente sea $f\in V$ y sea $\lambda \in \mathbb{R}$ un escalar. Sabemos que $\lambda f$ es dos veces diferenciable, y además
    \begin{align*}
    &\left(\lambda f\right)»(x)+x^2\left(\lambda f\right)(x)-3(\lambda f)(x)\\ &= \lambda f»(x)+\lambda x^2 f'(x)-\lambda 3f(x)\\ &= \lambda (f»(x)+x^2f'(x)-3f(x))\\ &= \lambda \cdot 0 =0.
    \end{align*}
    Luego $\lambda f\in V$.

$\square$

El ejemplo anterior es crucial para la intuición de tu formación matemática posterior. En él aparece una ecuación diferencial lineal homogénea. La moraleja es que «las soluciones a una ecuación diferencial lineal homogénea son un subespacio vectorial». En este curso no nos enfocaremos en cómo resolver estas ecuaciones, pues esto corresponde a un curso del tema. Sin embargo, lo que aprendas de álgebra lineal te ayudará mucho para cuando llegues a ese punto.

Problema. Sea $V$ el espacio de todas las funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ y sea $W$ el subconjunto de $V$ formado por todas las funciones $f$ tales que $f(0)+f(1)=0$.

  1. Verifica que $W$ es un subespacio de $V$.
  2. Encuentra un subespacio $S$ de $W$ tal que $V=W\oplus S$.

Solución:

  1. Verificamos los axiomas de subespacio vectorial:
    1. Tenemos que $0\in W$, pues $0(0)+0(1)=0+0=0$. Entonces $W$ no es vacío.
    2. Si $f,g\in W$ entonces $(f+g)(0)+(f+g)(1)= f(1)+f(0)+g(1)+g(0)=0+0=0$.
    3. Si $f\in W$ y $\lambda \in \mathbb{R}$ entonces $\lambda f(0)+\lambda f(1)= \lambda(f(0)+f(1))=\lambda \cdot 0=0$.
  2. Proponemos $S$ como el subespacio de todas las funciones $h$ tales que $h(x)=ax$ con $a\in \mathbb{R}$. Verifiquemos que $V=W\oplus S$.
    1. Si $F\in W\cap S$ entonces $F(0)+F(1)=0$, es decir $F(0)=-F(1)$, pero como $F(x)=ax$ para algún $a\in \mathbb{R}$ entonces $F(0)=0=F(1)=a$. Luego $F(x)=0\cdot x=0$.
    2. Dada $f\in V$, definimos
      \begin{align*}
      \hat{f}(x)= f(x)-(f(0)+f(1))x.
      \end{align*}
      Observamos que $\hat{f}\in W$, pues
      \begin{align*}
      \hat{f}(0)+\hat{f}(1)= f(0)+f(1)-f(0)-f(1)=0.
      \end{align*}
      Además es claro que
      \begin{align*}
      f(x)&= f(x)-(f(0)+f(1))x+(f(0)+f(1))x\\&= \hat{f}(x)+\left(f(0)+f(1)\right)x
      \end{align*}
      donde el sumando de la derecha es de la forma $a\cdot x$. Así $S+W=V$.

$\square$

Tarea moral

Sea $A$ un conjunto no vacío. Sea $\mathcal{P}(A)$ el conjunto de todos los subconjuntos de $A$. Definimos las siguientes operaciones:
\begin{align*}
X+Y= X\Delta Y,\hspace{5mm} 1\cdot X=X,\hspace{5mm} 0\cdot X= \emptyset,\end{align*}
dónde $\Delta$ denota la operación de diferencia simétrica. Demuestra que así definido, $\mathcal{P}(A)$ es un espacio vectorial sobre el campo de dos elementos $\mathbb{F}_2$.

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Álgebra Lineal I: Subespacios vectoriales

Introducción

En la entrada anterior dimos la definición de espacio vectorial y vimos varios ejemplos de espacios vectoriales. Ahora hablaremos de subespacios vectoriales o simplemente, subespacios. A grandes rasgos, podemos pensar a un subespacio como un subconjunto de un espacio vectorial $V$ que también es un espacio vectorial con las mismas operaciones de $V$.

Definición de subespacios vectoriales y primeras consecuencias

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$. Un subespacio vectorial de $V$, o simplemente un subespacio de $V$, es un subconjunto no vacío $W$ de $V$ cerrado bajo las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar de $V$. En otras palabras, $W$ es un subespacio de $V$ si se cumplen las siguientes dos propiedades:

  1. (Cerradura de la suma vectorial) Para cualesquiera $u$ y $v$ elementos de $W$, se cumple que $u+v$ está en $W$.
  2. (Cerradura de la multiplicación por escalar) Para cualquier escalar $c$ en $F$ y vector $v$ en $W$ se cumple que $cv$ está en $W$.

En la entrada anterior ya vimos un ejemplo. Si tenemos un campo $F$ y nos fijamos el espacio vectorial $F[x]$ de polinomios, entonces para cualquier entero $n$ el subconjunto $F_n[x]$ de $F[x]$ de polinomios de grado a lo más $n$ es cerrado bajo la suma de polinomios y bajo el producto escalar. De esta forma, $F_n[x]$ es un subespacio de $F[x]$. Más abajo veremos muchos ejemplos de subespacios, pero primero nos enfocaremos en algunas consecuencias de la definición.

Observación. Se cumple todo lo siguiente:

  1. Si $W$ es un subespacio de un espacio vectorial $V$, entonces $W$ debe tener al vector $0$ de $V$ (es decir, la identidad aditiva de la suma vectorial). Esto se debe a que $W$ es no vacío, así que tiene por lo menos un elemento $v$. Si tomamos al $0$ de $F$ y usamos la propiedad (2) de subespacio con $0$ y $v$ obtenemos que $0v=0$ está en $W$.
  2. Si $W$ es un subespacio de un espacio vectorial $V$ y $v$ está en $W$, entonces $-v$ también. Esto se debe a que por la propiedad (2) de subespacio tenemos que $(-1)v=-v$ está en $W$.
  3. Si $V$ es un espacio vectorial sobre $F$ y $W$ es un subespacio de $V$, entonces $W$ también es un espacio vectorial sobre $F$ con las mismas operaciones que $V$. Por un lado, el neutro e inversos aditivos existen por los dos incisos anteriores. Para el resto de las propiedades, se usa que se cumplen para elementos de $V$ y por lo tanto también para los de $W$ (pues es un subconjunto).
  4. Si $W_1$ y $W_2$ son dos subespacios de un espacio vectorial $V$, entonces la intersección $W_1\cap W_2$ también lo es.

$\square$

La primera propiedad nos puede ayudar en algunas ocasiones (no siempre) a darnos cuenta rápidamente si un subconjunto no es subespacio vectorial: si no tiene al vector $0$, entonces no es subespacio.

La tercera propiedad tiene una consecuencia práctica muy importante: para mostrar que algo es un espacio vectorial, basta con mostrar que es un subespacio de algo que ya sabemos que es un espacio vectorial.

Problema. Muestra que $\mathcal{C}[0,1]$, el conjunto de funciones continuas de $[0,1]$ a $\mathbb{R}$, es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con las operaciones de suma de funciones y multiplicación por escalar.

Solución. En la entrada anterior vimos que el conjunto $V$ de funciones de $[0,1]$ a los reales es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con las operaciones de suma de funciones y multiplicación escalar. El conjunto $\mathcal{C}[0,1]$ es un subconjunto de $V$.

Por argumentos de cálculo, la suma de dos funciones continuas es una función continua. Así mismo, al multiplicar una función continua por un real obtenemos de nuevo una función continua. De esta forma, $\mathcal{C}[0,1]$ es un subespacio de $V$.

Por la observación (3) de la discusión previa, obtenemos que $\mathcal{C}[0,1]$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con las operaciones de suma de funciones y multiplicación por escalar.

$\square$

Definiciones alternativas de subespacios vectoriales

Algunos textos manejan definiciones ligeramente distintas a la que nosotros dimos. Sin embargo, todas ellas son equivalentes.

Proposición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre el campo $F$ y $W$ un subconjunto de $V$. Los siguientes enunciados son equivalentes.

  1. $W$ es un subespacio de $V$ de acuerdo a nuestra definición.
  2. Para cualesquiera vectores $u$ y $v$ en $W$ y escalares $a$ y $b$ en $F$, se tiene que $au+bv$ está en $W$.
  3. Para cualesquiera vectores $u$ y $v$ en $W$ y cualquier escalar $c$ en $F$ se tiene que $cu+v$ está en $W$.

Demostración. (1) implica (2). Supongamos que $W$ es un subespacio de $V$. Tomemos vectores $u,v$ en $W$ y escalares $a,b$ en $F$. Como $W$ es cerrado bajo producto escalar, se tiene que $au$ está en $W$. De manera similar, $bv$ está en $W$. Como $W$ es cerrado bajo sumas, se tiene que $au+bv$ está en $W$.

(2) implica (3). Supontamos que $W$ satisface (2) y tomemos $u,v$ en $W$ y cualquier escalar $c$ en $F$. Tomando $a=c$ y $b=1$ en (2), tenemos que $cu+1v=cu+v$ está en $W$.

(3) implica (1). Supongamos que $W$ satisface (3). Hay que ver que $W$ es cerrado bajo sumas y producto escalar. Si tomamos $u$ y $v$ en $W$ y al escalar $c=1$ de $F$, por (3) obtenemos que $cu+v=1u+v=u+v$ está en $W$, lo cual muestra la cerradura de la suma. Si tomamos cualquier escalar $c$ y al vector $w=0$, entonces por (3) se tiene que $cu+w=cu+0=cu$ está en $W$. Esto muestra la cerradura bajo producto escalar.

$\square$

La consecuencia práctica de la proposición anterior es que basta verificar (2) o (3) para garantizar que $W$ es un subespacio.

Problema. Considera $V$ el espacio vectorial de matrices en $M_n(F)$. Muestra que el subconjunto $W$ de matrices simétricas forman un subespacio de $V$.

Solución. Lo demostraremos probando el punto (3) de la proposición. Sea $c$ un escalar en $F$ y sean $A$ y $B$ matrices en $W$, es decir, tales que $^tA=A$ y $^tB = B$. Debemos mostrar que $cA+B$ está en $W$, es decir, que $^t(cA+B)=cA+B$. Usando propiedades de la transpuesta y la hipótesis sobre $A$ y $B$ tenemos que: $$^t(cA+B) = c \ ^tA+ \ ^tB = cA + B.$$ Con esto termina la demostración.

$\square$

Más ejemplos de subespacios vectoriales

A continuación presentamos más ejemplos de subespacios vectoriales. En cada ejemplo damos un espacio vectorial y un subconjunto $W$. Para cada uno de los casos, piensa por qué la suma de dos elementos de $W$ es de nuevo un elemento de $W$ y por qué el producto de un escalar por un elemento de $W$ es un elemento de $W$. También puedes usar la última proposición para probar ambas cosas simultáneamente.

  • Si tomamos $M_2(\mathbb{R})$, el subconjunto $W$ de matrices que cumplen que la suma de entradas en su diagonal principal es igual a $0$ es un subespacio.
  • En el espacio vectorial $F^4$, el subconjunto $W$ de vectores cuya primera y tercer entrada son iguales a $0$ forman un subespacio.
  • Las funciones acotadas del intervalo $[-3, 3]$ a $\mathbb{R}$ forman un subconjunto $W$ que es un subespacio de las funciones del intervalo $[-3,3]$ a $\mathbb{R}$.
  • El subconjunto $W$ de vectores $(x,y,z)$ de $\mathbb{R}^3$ tales que $$\begin{cases}x+y+z &= 0\\ x+ 2y + 3z &= 0 \end{cases}$$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$.
  • Si tomamos $W=\mathbb{R}_3[x]$, entonces este es un subespacio de $\mathbb{R}_4[x]$.
  • Si tomamos $W=\mathbb{R}_4[x]$, entonces este es un subespacio de $\mathbb{R}_5[x]$.
  • El subconjunto $W$ de funciones diferenciables de $[0,10]$ a $\mathbb{R}$ tales que su derivada evaluada en $7$ es igual a $0$ es un subespacio del espacio de funciones continuas de $[0,10]$ a $\mathbb{R}$.
  • Las matrices triangulares superiores de $M_n(F)$ forman un subespacio $W$ del espacio $M_n(F)$. Las matrices triangulares inferiores también. Como la intersección de estos subespacios es el conjunto de matrices diagonales, obtenemos que las matrices diagonales también son un subespacio (aunque claro, esto también se puede probar directamente de la definición).

Ejemplos de subconjuntos que no son subespacios vectoriales

Aunque ya vimos muchos ejemplos de subespacios, resulta que en realidad es un poco raro que un subconjunto de un espacio vectorial sea un subespacio. Los ejemplos de subconjuntos que no son subespacios vectoriales abundan. Veamos algunos y qué tipo de cosas pueden salir mal.

  • El subconjunto $W=\{(x,y,z): x^2+y^2+z^2=1\}$ no es un subespacio de $\mathbb{R}^3$. Podemos dar el siguiente argumento: ya demostramos que un subespacio debe tener al vector cero. En este caso, $W$ debería tener a $(0,0,0)$ para ser subespacio. Pero $0^2+0^2+0^2=0\neq 1$. Así, $(0,0,0)$ no está en $W$ y por lo tanto $W$ no es subespacio.
  • Alternativamente, en el ejemplo anterior podemos ver que $(1,0,0)$ está en $W$, pero $2(1,0,0)=(2,0,0)$ no.
  • El subconjunto $W=\{(0,0), (1,2), (-1,2)\}$ de $\mathbb{R}^2$ no es un subespacio, pues $(1,2)$ está en $W$. Tomando $u=(1,2)$ y $v=(1,2)$, vemos que $W$ no es cerrado bajo sumas pues $(1,2)+(1,2)=(2,4)$ no está en $W$.
  • Las matrices del subconjunto $GL_n(F)$ de $M_n(F)$, es decir, las matrices invertibles, no conforman un subespacio. Por un lado, ya vimos que el neutro aditivo de la suma debe estar en un subespacio, pero la matriz $O_n$ no es invertible, así que no está en $GL_n(F)$.
  • El subconjunto $W$ de funciones $f:[-3,3]\to \mathbb{R}$ diferenciables tales que su derivada en $0$ es igual a $2$ no es un subespacio de las funciones continuas de $[-3,3]$ a $\mathbb{R}$. Hay muchas formas de verlo. Podemos darnos cuenta que $f(x)=x^2+2x$ es una de las funciones en $W$ pues $f'(x)=2x+2$ y $f'(0)=2$. Sin embargo, $3f$ no está en $W$.
  • El subconjunto $W$ de polinomios de $\mathbb{R}[x]$ con coeficientes no negativos no es un subespacio de $\mathbb{R}[x]$. El polinomio $0$ sí está en $W$ y la suma de cualesquiera dos elementos de $W$ está en $W$. Sin embargo, falla la multiplicación escalar pues $x$ está en $W$, pero $(-1)x=-x$ no.
  • La unión del eje $X$, el eje $Y$ y el eje $Z$ de $\mathbb{R}^3$ es un subconjunto $W$ de $\mathbb{R}^3$ que no es un subespacio. Cualquier producto escalar queda dentro de $W$, pero la suma no es cerrada.

Tarea moral

  • Demuestra que los siguientes conjuntos $W$ son subespacios del espacio vectorial indicado.
    • El subconjunto $W$ de vectores $(w,x,y,z)$ de $\mathbb{C}^4$ tales que $w+x+y+z=0$.
    • La colección $W$ de funciones continuas $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ tales que $\int_0^1 f(x) \, dx = 0$ es un subespacio del espacio de funciones de $[0,1]$ a $\mathbb{R}$.
    • $W=\left\{\begin{pmatrix} a+b & b\\ -b & c+b \end{pmatrix}: a,b,c \in \mathbb{R} \right\}$ es un subespacio de las matrices en $M_2(\mathbb{R})$.
  • Demuestra que los siguientes conjuntos $W$ no son subespacios del espacio vectorial indicado.
    • El subconjunto $W$ de vectores $(x,y)$ de $\mathbb{R}^2$ tales que $xy\geq 0$ no es un subespacio de $\mathbb{R}^2$.
    • El subconjunto $W$ de matrices en $M_{3,2}(F)$ cuyo producto de todas las entradas es igual a $0$ no es un subespacio de $M_{3,2}$
    • Cuando $W$ es un subconjunto finito y con al menos dos polinomios con coeficientes complejos y de grado a lo más $3$, es imposible que sea un subespacio de $\mathbb{C}_3[x]$.
  • Sea $V$ un espacio vectorial y $n$ un entero positivo. Demuestra que si $W_1, W_2, \ldots, W_n$ son subespacios de $V$, entonces la intersección $$W_1 \cap W_2 \cap \ldots \cap W_n$$ también lo es.
  • Escribe por completo la demostración de que cualquier subespacio de un espacio vectorial es también un espacio vectorial con las mismas operaciones.
  • Demuestra que si $V$ es un espacio vectorial, $W$ es un subespacio de $V$ y $U$ es un subespacio de $W$, entonces $U$ es un subespacio de $V$.

Más adelante…

En esta entrada definimos el concepto de subespacio de un espacio vectorial. En la siguiente hablaremos de algunas operaciones que se les puede hacer a los subespacios vectoriales para «combinarlos» y obtener más subespacios. Una operación muy imporante es la de suma de subespacios, que puede tener dos o más sumandos. La operación de suma de subespacios es particularmente especial cuando los subespacios están en posición de suma directa. Para irte dando una idea de qué quiere decir esto, dos subespacios están en posición de suma directa si su único elemento en común es el vector $0$. El caso general de más subespacios se enuncia de forma distinta y también lo veremos en la siguiente entrada.

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Álgebra Lineal I: Espacios vectoriales

Introducción

En la primer unidad de este curso de álgebra lineal estudiamos a profundidad al conjunto $F^n$ con sus operaciones de suma y multiplicación por escalar. Luego, hablamos de las matrices en $M_{m,n}(F)$ y vimos cómo pensarlas como transformaciones lineales. Les dimos una operación de producto que en términos de transformaciones lineales se puede pensar como la composición. Luego, hablamos de la forma escalonada reducida de una matriz y cómo llevar cualquier matriz a esta forma usando reducción gaussiana. Esto nos permitió resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogeneos, así como encontrar inversas de matrices. Las habilidades desarrolladas en la primer parte del curso serán de mucha utilidad para la segunda, en donde hablaremos de espacios vectoriales.

En esta entrada definiremos el concepto de espacio vectorial y vectores. Para hacer esto, tomaremos como motivación el espacio $F^n$, que ya conocemos bien. Sin embargo, hay muchos otros ejemplos de objetos matemáticos que satisfacen la definición que daremos. Hablaremos de algunos de ellos.

En el transcurso de la unidad también hablaremos de otros conceptós básicos, como la de subespacio. Hablaremos de conjuntos linealmente independientes, de generadores y de bases. Esto nos llevará a establecer una teoría de la dimensión de un espacio vectorial. Las bases son de fundamental importancia pues en el caso de dimensión finita, nos permitirán pensar a cualquier espacio vectorial «como si fuera $F^n$ «. Más adelante precisaremos en qué sentido es esto.

Después, veremos cómo pasar de un espacio vectorial a otro mediante transformaciones lineales. Veremos que las transformaciones entre espacios vectoriales de dimensión finita las podemos pensar prácticamente como matrices, siempre y cuando hayamos elegido una base para cada espacio involucrado. Para ver que estamos haciendo todo bien, debemos verificar que hay una forma sencilla de cambiar esta matriz si usamos una base distinta, y por ello estudiaremos a las matrices de cambio de base.

Esta fuerte relación que existe entre transformaciones lineales y y matrices nos permitirá llevar información de un contexto a otro. Además, nos permitirá definir el concepto de rango para una matriz (y transformación vectorial). Hasta ahora, sólo hemos distinguido entre matrices invertibles y no invertibles. Las matrices invertibles corresponden a transformaciones lineales que «guardan toda la información». El concepto de rango nos permitirá entender de manera más precisa cuánta información guardan las transformaciones lineales no invertibles.

Recordando a $F^n$

Antes de definir el concepto de espacio vectorial en toda su generalidad, recordemos algunas de las cosas que suceden con $F^n$. De hecho, puedes pensar en algo mucho más concreto como $\mathbb{R}^4$.

Como recordatorio, comenzamos tomando un campo $F$ y dijimos que, para fines prácticos, podemos pensar que se trata de $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$. A los elementos de $F$ les llamamos escalares.

Luego, consideramos todas las $n$-adas de elementos de $F$ y a cada una de ellas le llamamos un vector. A $F^n$ le pusimos una operación de suma, que tomaba dos vectores en $F^n$ y nos daba otro. Además, le pusimos una operación de producto por escalar, la cual tomaba un escalar en $F$ y un vector en $F^n$ y nos daba como resultado un vector. Para hacer estas operaciones procedíamos entrada a entrada.

Sin embargo, hay varias propiedades que demostramos para la suma y producto por escalar, para las cuales ya no es necesario hablar de las entradas de los vectores. Mostramos que todo lo siguiente pasa:

  1. (Asociatividad de la suma) Para cualesquiera vectores $u,v,w$ en $F^n$ se cumple que $(u+v)+w=u+(v+w)$.
  2. (Conmutatividad de la suma) Para cualesquiera vectores $u,v$ en $F^n$ se cumple que $u+v=v+u$.
  3. (Identidad para la suma) Existe un vector $0$ en $F^n$ tal que $u+0=u=0+u$.
  4. (Inversos para la suma) Para cualquier vector $u$ en $F^n$ existe un vector $v$ en $F^n$ tal que $u+v=0=v+u$.
  5. (Distributividad para la suma escalar) Para cualesquiera escalares $a,b$ en $F$ y cualquier vector $v$ en $F^n$ se cumple que $(a+b)v=av+bv$.
  6. (Distributividad para la suma vectorial) Para cualquier escalar $a$ en $F$ y cualesquiera vectores $v,w$ en $F^n$ se cumple que $a(v+w)=av+aw$.
  7. (Identidad de producto escalar) Para la identidad multiplicativa $1$ del campo $F$ y cualquier vector $v$ en $F^n$ se cumple que $1v=v$.
  8. (Compatibilidad de producto escalar) Para cualesquiera dos escalares $a,b$ en $F$ y cualquier vector $v$ en $F^n$ se cumple que $(ab)v=a(bv)$.

Los primeros cuatro puntos son equivalentes a decir que la operación suma en $F^n$ es un grupo conmutativo. Resulta que hay varios objetos matemáticos que satisfacen todas estas ocho propiedades o axiomas de espacio vectorial, y cuando esto pasa hay muchas consecuencias útiles que podemos deducir. La esencia del álgebra lineal precisamente consiste en deducir todo lo posible en estructuras que tienen las ocho propiedades anteriores. Estas estructuras son tan especiales, que tienen su propio nombre: espacio vectorial.

Definición de espacio vectorial

Estamos listos para la definición crucial del curso.

Definición. Sea $F$ un campo. Un espacio vectorial sobre el campo $F$ es un conjunto $V$ con operaciones de suma y producto por escalar, que denotaremos por \begin{align*}
+:& V\times V \to V \quad \text{y}\\
\cdot:& F\times V \to V,
\end{align*}

para las cuales se cumplen las ocho propiedades de la sección anterior. En otras palabras:

  • El conjunto $V$ es un grupo conmutativo con la suma
  • Se tiene asociatividad para la suma escalar y la suma vectorial
  • Se tiene identidad y compatibilidad de la mulltiplicación escalar.

A los elementos de $F$ les llamamos escalares. A los elementos de $F^n$ les llamamos vectores. Para hacer restas, las definimos como $u-v=u+(-v)$, donde $-v$ es el inverso aditivo de $v$ con la suma vectorial. Usualmente omitiremos el signo de producto escalar, así que escribiremos $av$ en vez de $a\cdot v$ para $a$ escalar y $v$ vector.

La definición da la impresión de que hay que verificar muchas cosas. De manera estricta, esto es cierto. Sin embargo, de manera intuitiva hay que pensar que a grandes rasgos los espacios vectoriales son estructuras en donde podemos sumar elementos entre sí y multiplicar vectores por escalares (externos) sin que sea muy complicado.

Como ya mencionamos, el conjunto $F^n$ con las operaciones de suma y multiplicación por escalar que se hacen entrada por entrada es un espacio vectorial sobre $F$. En lo que resta de la entrada, hablaremos de otros ejemplos de espacios vectoriales que nos encontraremos frecuentemente.

Espacios vectoriales de matrices

Otros ejemplos de espacios vectoriales con los que ya nos encontramos son los espacios de matrices. Dado un campo $F$ y enteros positivos $m$ y $n$, el conjunto de matrices en $M_{m,n}(F)$ es un espacio vectorial en donde la suma se hace entrada a entrada y la multiplicación escalar también.

¿Qué es lo que tenemos que hacer para mostrar que en efecto esto es un espacio vectorial? Se tendrían que verificar las 8 condiciones en la definición de espacio vectorial. Esto lo hicimos desde la primer entrada del curso, en el primer teorema de la sección «Operaciones de vectores y matrices». Vuelve a leer ese teorema y verifica que en efecto se enuncian todas las propiedades necesarias.

Aquí hay que tener cuidado entonces con los términos que se usan. Si estamos hablando del espacio vectorial $F^n$, las matrices no forman parte de él, y las matrices no son vectores. Sin embargo, si estamos hablando del espacio vectorial $M_{m,n}(F)$, entonces las matrices son sus elementos, y en este contexto las matrices sí serían vectores.

Ejemplo. Sea $\mathbb{F}_2$ el campo con $2$ elementos. Consideremos $M_{2}(\mathbb{F}_2)$. Este es un espacio vectorial. Tiene $16$ vectores de la forma $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, en donde cada entrada es $0$ o $1$. La suma y la multiplicación por escalar se hacen entrada a entrada y con las reglas de $\mathbb{F}_2$. Por ejemplo, tenemos $$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

$\square$

Espacios vectoriales de funciones

Ahora veremos algunos ejemplos de espacios vectoriales cuyos elementos son funciones. Esto puede parecer algo abstracto, pero en unos momentos veremos algunos ejemplos concretos que nos pueden ayudar a entender mejor.

Sea $F$ un campo y consideremos cualquier conjunto $X$. Consideremos el conjunto $V$ de todas las posibles funciones de $X$ a $F$. A este conjunto queremos ponerle operaciones de suma y de multiplicación por escalar.

Para definir la suma, tomemos dos funciones que van de $X$ a $F$, digamos $f:X\to F$ y $g:X\to F$. Definiremos a la función $f+g$ como la función que a cada $x$ en $X$ lo manda a $f(x)+g(x)$. Aquí estamos usando la suma del campo $F$. En símbolos, $(f+g):X\to F$ tiene regla de asignación $$(f+g)(x)=f(x)+g(x).$$

Para definir el producto por escalar, tomamos una función $f:X\to F$ y un escalar $c$ en el campo $F$. La función $cf$ será la función $cf:X\to F$ con regla de asignación $$(cf)(x)=cf(x)$$ para todo $x$ en $X$.

Resulta que el conjunto $V$ de funciones de $X$ a $F$ con estas operaciones de suma y producto, es un espacio vectorial. Podemos probar, por ejemplo, la asociatividad de la suma. Para ello, la primer cosa que necesitamos mostrar es la asociatividad de la suma. Es decir, que si tenemos $f:X\to F$, $g:X\to F$ y $h:X\to F$, entonces $$(f+g)+h = f+ (g+h).$$

Esta es una igualdad de funciones. Para que sea cierta, tenemos que verificarla en todo el dominio, así que debemos mostrar que para todo $x$ en $X$ tenemos que $$((f+g)+h)(x)=(f+(g+h))(x).$$

Para demostrar esto, usemos la definición de suma de funciones y la asociatividad de la suma del campo $F$. Con ello, podemos realizar la siguiente cadena de igualdades:

\begin{align*}
((f+g)+h)(x)&=(f+g)(x)+h(x)\\
&=(f(x)+g(x)) + h(x) \\
&=f(x) + (g(x)+h(x)) \\
&=f(x) + (g+h)(x)\\
&=(f+(g+h))(x).
\end{align*}

Así, la suma en $V$ es asociativa. El resto de las propiedades se pueden demostrar con la misma receta:

  • Se enuncia la igualdad de funciones que se quiere mostrar.
  • Para que dicha igualdad sea cierta, se tiene que dar en cada elemento del dominio, así que se evalúa en cierta $x$.
  • Se prueba la igualdad usando las definiciones de suma y producto por escalar, y las propiedades de campo de $F$.

Ejemplo. El ejemplo anterior es muy abstracto, pues $X$ puede ser cualquier cosa. Sin embargo, hay muchos espacios de funciones con los cuales se trabaja constantemente. Por ejemplo, si el campo es el conjunto $\mathbb{R}$ de reales y $X$ es el intervalo $[0,1]$, entonces simplemente estamos hablando de las funciones que van de $[0,1]$ a los reales.

Si tomamos $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ y $g:[0,1]\to \mathbb{R}$ dadas por \begin{align*}f(x)&= \sin x – \cos x\\ g(x) &= \cos x + x^2,\end{align*} entonces su suma simplemente es la función $f+g:[0,1]\to \mathbb{R}$ definida por $(f+g)(x)=\sin x + x^2$. Si tomamos, por ejemplo, el escalar $2$, entonces la función $2f:[0,1]\to \mathbb{R}$ no es nada más que aquella dada por
$$(2f)(x)= 2\sin x – 2\cos x.$$

Así como usamos el intervalo $[0,1]$, pudimos también haber usado al intervalo $[-2,2)$, al $(-5,\infty]$, o a cualquier otro.

$\square$

Espacios vectoriales de polinomios

Otro ejemplo de espacios vectoriales que nos encontraremos frecuentemente son los espacios de polinomios. Si no recuerdas con precisión cómo se construyen los polinomios y sus operaciones, te recomendamos repasar este tema con material disponible aquí en el blog.

Dado un campo $F$ y un entero positivo $n$ usaremos $F[x]$ para referirnos a todos los polinomios con coeficientes en $F$ y usaremos $F_n[x]$ para referirnos a aquellos polinomios con coeficientes en $F$ y grado a lo más $n$. Aunque el polinomio cero no tiene grado, también lo incluiremos en $F_n[x]$.

Ejemplo. Si $F$ es $\mathbb{C}$, el campo de los números complejos, entonces todos los siguientes son polinomios en $\mathbb{C}[x]$: \begin{align*}p(x)&=(2+i)x^6 + (1+i),\\ q(x)&=3x^2+2x+1,\\ r(x)&=5x^7+(1-3i)x^5-1.\end{align*}

Tanto $p(x)$ como $q(x)$ están en $\mathbb{C}_6[x]$, pues su grado es a lo más $6$. Sin embargo, $r(x)$ no está en $\mathbb{C}_6[x]$ pues su grado es $7$.

El polinomio $q(x)$ también es un elemento de $\mathbb{R}[x]$, pues tiene coeficientes reales. Pero no es un elemento de $\mathbb{R}_1[x]$ pues su grado es demasiado grande.

$\square$

Recuerda que para sumar polinomios se tienen que sumar los coeficientes de grados correspondientes. Al hacer multiplicación por escalar se tienen que multiplicar cada uno de los coeficientes. De esta forma, si $f(x)=x^2+1$ y $g(x)=x^3+\frac{x^2}{2}-3x-1$, entonces $$(f+g)(x)=x^3+\frac{3x^2}{2}-3x,$$ y $$(6g)(x)=6x^3+3x^2-18x-6.$$

Resulta que $F[x]$ con la suma de polinomios y con el producto escalar es un espacio vectorial. Puedes verificar cada uno de los axiomas por tu cuenta.

Observa que la suma de dos polinomios de grado a lo más $n$ tiene grado a lo más $n$, pues no se introducen términos con grado mayor que $n$. Del mismo modo, si tenemos un polinomio con grado a lo más $n$ y lo multiplicamos por un escalar, entonces su grado no aumenta. De esta forma, podemos pensar a estas operaciones como sigue:
\begin{align*}
+:& F_n[x] \times F_n[x] \to F_n[x]\\
\cdot: & F\times F_n[x] \to F_n[x].
\end{align*}

De esta forma, $F_n[x]$ con la suma de polinomios y producto escalar de polinomios también es un espacio vectorial.

Tarea moral

  • A partir de los axiomas de espacio vectorial, muestra lo siguiente para un espacio vectorial $V$:
    • La identidad de la suma vectorial es única, es decir, que si existe otro elemento $e$ en $V$ tal que $u+e=u=e+u$ para todo $u$ en $V$, entonces $e=0$.
    • Que si $0$ es la identidad aditiva del campo $F$ y $v$ es cualquier vector en $V$, entonces $0v$ es la identidad de la suma vectorial. En símbolos, $0v=0$, donde el primer $0$ es el de $F$ y el segundo el de $V$.
    • Se vale la regla de cancelación para la suma vectorial, es decir, que si $u,v,w$ son vectores en $V$ y $u+v=u+w$, entonces $v=w$.
    • Se vale la regla de cancelación para el producto escalar, es decir, que si $a$ es un escalar no cero del campo $F$ y $u,v$ son vectores de $V$ para los cuales $au=av$, entonces $u=v$.
    • Que el inverso aditivo de un vector $v$ para la suma vectorial en $V$ es precisamente $(-1)v$, es decir, el resultado de hacer la multiplicación escalar de $v$ con el inverso aditivo del $1$ del campo $F$.
  • Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Sean $u$, $v$ y $w$ vectores en $V$. Justifica la siguiente igualdad enunciando de manera explícita todos los axiomas de espacio vectorial que uses $$u+5v-3w+2u-8v= -3(w+v-u).$$
  • Termina de demostrar que en efecto los espacios de funciones con la suma y producto escalar que dimos son espacios de funciones.
  • Enlista todos los polinomios de $(\mathbb{F}_2)_3[x]$. A continuación hay algunos: $$0, x+1, x^2+x, x^3+1.$$ Para cada uno de ellos, encuentra quien es su inverso aditivo para la suma vectorial de $(\mathbb{F}_2)_3[x]$.

Más adelante…

Ya dimos la definición de espacio vectorial y vimos varios ejemplos. Dentro de algunas entradas veremos como conseguir muchos más espacios vectoriales.

En el último ejemplo pasa algo curioso: el espacio $F_n[x]$ es un subconjunto del espacio $F[x]$ y además es un espacio vectorial con las mismas operaciones que $F[x]$. Este es un fenómeno muy importante en álgebra lineal. Decimos que $F_n[x]$ es un subespacio de $F[x]$. En la siguiente entrada definiremos en general qué es un subespacio de un espacio vectorial y veremos algunas propiedades que tienen los subespacios.

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Seminario de Resolución de Problemas: Rango de matrices y el teorema de factorización PJQ

Introducción

El algunas ocasiones es suficiente saber si una matriz es invertible o no. Sin embargo, esta es una distinción muy poco fina. Hay algunos otros problemas en los que se necesita decir más acerca de la matriz. Podemos pensar que una matriz invertible, como transformación lineal, «guarda toda la información» al pasar de un espacio vectorial a otro. Cuando esto no sucede, nos gustaría entender «qué tanta información se guarda». El rango de matrices es una forma de medir esto. Si la matriz es de $m\times n$, el rango es un número entero que va de cero a $n$. Mientras mayor sea, «más información guarda».

Por definición, el rango de una matriz $A$ de $m\times n$ es igual a la dimensión del subespacio vectorial de $\mathbb{R}^m$ generado por los vectores columna de $A$. Una matriz de $n\times n$ tiene rango $n$ si y sólo si es invertible.

Si pensamos a $A$ como la transformación lineal de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$ tal que $X\mapsto AX$, entonces el rango es precisamente la dimensión de la imagen de $A$. Esto permite extender la definición de rango a transformaciones lineales arbitrarias, y se estudia con generalidad en un curso de álgebra lineal.

En las siguientes secciones enunciaremos sin demostración algunas propiedades del rango de matrices y las usaremos para resolver problemas.

Propiedades del rango de matrices

Comenzamos enunciando algunas propiedades del rango de matrices

Teorema. Sean $m$, $n$ y $p$ enteros. Sea $B$ una matriz de $n\times p$, y $A$, $A’$ matrices de $m\times n$. Sean además $P$ una matriz de $n\times p$ cuya transformación lineal asociada es suprayectiva y $Q$ una matriz de $r\times m$ cuya transformación lineal asociada es inyectiva. Entonces:

  1. $\rank(A)\leq \min(m,n)$
  2. $\rank(AB)\leq \min(\rank(A),\rank(B))$
  3. $\rank(A+A’)\leq \rank(A) + \rank(A’)$
  4. $\rank(QA) = \rank(A)$
  5. $\rank(AP)=\rank(A)$

Consideremos el siguiente problema, tomado del libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu.

Problema. Las matrices $A$ y $B$ tienen entradas reales. La matriz $A$ es de $3\times 3$, la matriz $B$ es de $2\times 3$ y además $$AB=\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$$ Determina el valor del producto $BA$.

Sugerencia pre-solución. Un paso intermedio clave es mostrar que el producto $BA$ es invertible.

Solución. Para empezar, afirmamos que $(AB)^2=AB$. Esto se puede verificar directamente haciendo el producto de matrices.

Luego, afirmamos que el rango de $AB$ es $2$. En efecto, eso se puede hacer fácilmente por definición. Por un lado, la suma de las primeras dos columnas es igual a la tercera, así que el espacio vectorial que generan las tres es de dimensión a lo más dos. Pero es al menos dos, pues las primeras dos columnas son linealmente independientes. Esto muestra la afirmación.

Ahora, usando la propiedad (2) del teorema dos veces, tenemos que
\begin{align*}
\rank(BA)&\geq \rank (A(BA)) \\
&\geq \rank (A(BA)B)\\
&=\rank((AB)^2) \\
&= \rank (AB)\\
&=2.
\end{align*}

Así, $BA$ es una matriz de $2\times 2$ de rango $2$ y por lo tanto es invertible.

Consideremos ahora el producto $(BA)^3$. Desarrollando y usando que $(AB)^2=AB$, tenemos que

\begin{align*}
(BA)^3 &= BABABA \\
&=B(AB)^2 A\\
&=BABA\\
&=(BA)^2.
\end{align*}

Como $BA$ es invertible, entonces $(BA)^2$ tiene inversa. Si multiplicamos la igualdad $(BA)^3 = (BA)^2$ por esa inversa, obtenemos que $$BA=I_2.$$

$\square$

El teorema anterior nos permite acotar por arriba el rango del producto de dos matrices. También hay una desigualdad que nos permite acotar por abajo el rango de dicho producto, cuando las matrices son cuadradas.

Teorema (desigualdad de Sylvester). Para matrices $A$ y $B$ de $n\times n$, se tiene que $$\rank(AB)\geq \rank(A) + \rank(B) – n.$$

Problema. La matriz $A$ es de $2020 \times 2020$. Muestra que:

  • Si $A$ tiene rango $2017$, entonces la matriz $A^{673}$ no puede ser la matriz de $2020\times 2020$ de puros ceros, es decir, $O_{2020}$.
  • Si $A$ tiene rango $2016$, entonces la matriz $A^{673}$ puede ser la matriz $O_{2020}$.

Sugerencia pre-solución. Enuncia una afirmación más general relacionada con el rango que puedas probar por inducción utilizando la desigualdad de Sylvester.

Solución. Para la primer parte, probaremos primero algo más general. Afirmamos que si $M$ es una matriz de $n \times n$ de rango $n-s$ y $k$ es un entero positivo, entonces el rango de la matriz $M^k$ es por lo menos $n-ks$. Procedemos por inducción sobre $k$. Si $k=1$, el resultado es cierto pues $M$ tiene rango $n-s=n-1\cdot s$.

Supongamos el resultado para cierto entero $k$. Usando la desigualdad de Sylverster y la hipótesis inductiva, tenemos que
\begin{align*}
\rank(A^{k+1})&\geq \rank(A^k) + \rank(A) – n\\
&\geq (n-ks) + (n-s) – n\\
&=n-(k+1)s.
\end{align*}

Esto muestra la afirmación general.

Si regresamos a la primer parte del problema original y aplicamos el resultado anterior, tenemos que $A^{673}$ es una matriz de rango por lo menos $$2020 – 673 \cdot 3 = 2020 – 2019 = 1.$$ De esta forma, $A^{673}$ no puede ser la matriz $0$.

Hagamos ahora la segunda parte del problema. Para ello, debemos construir una matriz $A$ de $2020\times 2020$ de rango $2016$ tal que $A^{673}$ sea la matriz $0$. Para ello, consideremos la matriz $A$ tal que sus primeras $4$ columnas sean iguales al vector $0$, y que sus columnas de la $5$ a la $2020$ sean los vectores canónicos $e_1,\ldots, e_{2016}$.

Esta matriz claramente es de rango $2016$, pues el espacio generado por sus columnas es el espacio generado por $e_1,\ldots, e_{2016}$, que es de dimensión $2016$. Por otro lado, se puede mostrar inductivamente que para $k=1,\ldots,505$, se tiene que $A^{k}$ es una matriz en donde sus columnas de $1$ a $4k$ son todas el vector $0$, y sus columnas de $4k+1$ a $2020$ son $e_1,\ldots, e_{2020-4k}$. En particular, $A^{505}=O_{2020}$, y entonces $A^{673}$ también es la matriz de puros ceros.

$\square$

Equivalencias de rango de matrices

Hay muchas formas alternativas para calcular el rango de una matriz. El siguiente teorema resume las equivalencias más usadas en resolución de problemas.

Teorema. Sea $A$ una matriz de $m\times n$ con entradas reales. Los siguientes números son todos iguales:

  • El rango de $A$, es decir, la dimensión del espacio vectorial generado por los vectores columna de $A$.
  • La dimensión del espacio vectorial generado por los vectores fila de $A$. Observa que esto es, por definición, el rango de la transpuesta de $A$.
  • La cantidad de filas no cero que tiene la forma escalonada reducida de $A$.
  • (Teorema de rango-nulidad) $n-\dim \ker(A)$, donde $\ker(A)$ es el espacio vectorial de soluciones a $AX=0$.
  • El tamaño más grande de una submatriz cuadrada de $A$ que sea invertible.
  • La cantidad de eigenvalores complejos distintos de cero contando multiplicidades algebraicas.

Problema. Determina todos los posibles rangos que pueden tener las matrices con entradas reales de la forma $$\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a \end{pmatrix}.$$

Sugerencia pre-solución. Comienza haciendo casos pequeños. Para dar los ejemplos y mostrar que tienen el rango deseado, usa el teorema de equivalencia de rango para simplificar algunos argumentos.

Solución. El rango de una matriz de $4\times 4$ es un entero de $0$ a $4$. Debemos ver cuáles de estos valores se pueden alcanzar con matrices de la forma dada.

Tomando $a=b=c=d=0$, obtenemos la matriz $O_4$, que tiene rango $0$. Si $a=b=c=d=1$, obtenemos la matriz de puros unos, que tiene rango $1$. Además, si $a=1$ y $b=c=d=0$, obtenemos la matriz identidad, que tiene rango $4$.

Si $a=b=1$ y $c=d=0$, obtenemos la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$ Esta matriz tiene sólo dos columnas diferentes, así que su rango es a lo más dos. Pero tiene como submatriz a la matriz $$I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},$$ que tiene rango $2$, entonces el rango de $A$ es al menos $2$. De esta forma, el rango de $A$ es $2$.

Veamos ahora que el rango puede ser $3$. Para ello, damos un argumento de determinantes. Llamemos $s=a+b+c+d$. Sumando las tres últimas filas a la primera y factorizando $s$, tenemos que
\begin{align*}
\begin{vmatrix} a & b & c & d \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} s & s & s & s \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a \end{vmatrix}\\
&=s\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ b & a & d & c \\ c & d & a & b \\ d & c & b & a \end{vmatrix}.
\end{align*}

Así, si tomamos $a=b=c=1$ y $d=-3$, entonces $s=0$ y por lo tanto la matriz $B$ que obtenemos no es invertible, así que su rango es a lo más tres. Pero además es de rango al menos tres pues $B$ tiene como submatriz a $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 1 & -3 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \end{pmatrix},$$ que es invertible pues su determinante es $$-3-3-3-1-1+27=16\neq 0.$$

Concluimos que los posibles rangos que pueden tener las matrices de esa forma son $0,1,2,3,4$.

$\square$

El teorema de factorización $PJQ$

Existen diversos teoremas que nos permiten factorizar matrices en formas especiales. De acuerdo a lo que pida un problema, es posible que se requiera usar uno u otro resultado. El teorema de factorización más útil para cuando se están resolviendo problemas de rango es el siguiente.

Teorema (factorización $PJQ$). Sea $A$ una matriz de $m\times n$ y $r$ un entero en $\{0,\ldots,\min(m,n)\}$. El rango de $A$ es igual a $r$ si y sólo si existen matrices invertibles $P$ de $m\times m$ y $Q$ de $n\times n$ tales que $A=PJ_rQ$, en donde $J_r$ es la matriz de $m\times n$ cuyas primeras $r$ entradas de su diagonal principal son $1$ y todas las demás entradas son cero, es decir, en términos de matrices de bloque, $$J_r=\begin{pmatrix}
I_r & O_{r,n-r} \\
O_{m-r,r} & O_{m-r,n-r}
\end{pmatrix}.$$

Como evidencia de la utilidad de este teorema, sugerimos que intentes mostrar que el rango por columnas de una matriz es igual al rango por filas, usando únicamente la definición. Esto es relativamente difícil. Sin embargo, con el teorema $PJQ$ es inmediato. Si $A$ es de $m\times n$ y tiene rango $r$, entonces su factorización $PJQ$ es de la forma $$A=PJ_rQ.$$ Entonces al transponer obtenemos
\begin{align*}
^tA&= {^tQ} {^t J_r} {^tP}.
\end{align*}

Esto es de nuevo un factorización $PJQ$, con ${^t J_r}$ la matriz de $n\times m$ que indica que $^t A$ es de rango $r$.

Veamos ahora un problema clásico en el que se puede usar la factorización $PJQ$.

Problema. Sea $A$ una matriz de $m \times n$ y rango $r$. Muestra que:

  • $A$ puede ser escrita como la suma de $r$ matrices de rango $1$.
  • $A$ no puede ser escrita como la suma de $r-1$ o menos matrices de rango $1$.

Sugerencia pre-solución. Para la primer parte, usa el teorema $PJQ$. Para la segunda parte, usa desigualdades del rango.

Solución. Tomemos $A=PJ_rQ$ una factorización $PJQ$ de $A$.

Hagamos la primer parte. Para ello, para cada $i=1,\ldots,r$, consideremos la matriz $L_i$ de $m\times n$ tal que su $i$-ésima entrada en la diagonal principal es $1$ y el resto de sus entradas son iguales a $0$.

Por un lado, $L_i$ es de rango $1$, pues tiene sólo una columna distinta de cero. De este modo, $$\rank(PL_iQ)\leq \rank(PL_i) \leq \rank(L_i)=1,$$ y como $P$ y $Q$ son invertibles, $$\rank(PL_iQ)\geq \rank(L_i) \geq 1.$$ Así, para cada $i=1,\ldots, r$, se tiene que $L_i$ es de rango $1$.

Por otro lado, $$J_r = L_1 + L_2 + \ldots + L_r,$$ así que
\begin{align*}
A&=PJ_rQ\\
&=P(L_1 + L_2 + \ldots + L_r)Q\\
&=PL_1Q + PL_2Q + \ldots + PL_rQ.
\end{align*}

Esto expresa a $A$ como suma de $r$ matrices de rango $1$.

Para la segunda parte del problema, usamos repetidamente que el rango es subaditivo. Si tenemos matrices $B_1,\ldots,B_s$ matrices de $m\times n$, entonces
\begin{align*}
\rank(B_1&+B_2+\ldots+B_s) & \\
&\leq \rank(B_1) + \rank (B_2 + \ldots + B_s)\\
&\leq \rank(B_1) + \rank(B_2) + \rank(B_3+\ldots+B_s)\\
& vdots \\
&\leq \rank(B_1) + \rank(B_2) + \ldots + \rank(B_s).
\end{align*}

Si cada $B_i$ es de rango $1$, entonces su suma tiene rango a lo más $s$.

Así, la suma de $r-1$ o menos matrices de rango $1$ tiene rango a lo más $r-1$, y por lo tanto no puede ser igual a $A$.

$\square$

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de rango de una matriz en la Sección 5.4 del libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu. El teorema $PJQ$, así como muchos problemas ejemplo, los puedes encontrar en el Capítulo 5 del libro Mathematical Bridges de Andreescu, Mortici y Tetiva.