Teoría de los Conjuntos I: Números naturales

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta entrada daremos la definición formal de qué es un número natural. Además probaremos algunos resultados sobre números naturales.

Número natural

Definición. Sea $n$ un conjunto. Decimos que $n$ es un número natural si satisface las siguientes tres condiciones:

  1. $n$ es un conjunto transitivo.
  2. $\in_n$ es un orden total estricto en $n$.
  3. Cualquier subconjunto no vacío $z$ de $n$ tiene elemento mínimo y máximo en el orden $\in_n$.

Ejemplo.

Afirmamos que el conjunto $0=\emptyset$ es un número natural. Veamos por qué. En la entrada anterior vimos que $\emptyset$ es un conjunto transitivo.

Además, $(\emptyset, \in_\emptyset)$ es un conjunto totalmente ordenado pues $\in_\emptyset= \emptyset$, por lo que se satisface por vacuidad (en $\emptyset$) que es una relación asimétrica y transitiva. Asimismo, los elementos de $\in_\emptyset$ son comparables por vacuidad (en $\emptyset$) y por lo tanto, $\in_\emptyset$ es un orden total.

Finalmente, se satisface por vacuidad que para cualquier $z\not=\emptyset$ (pues no hay tal) que cumple que $z\subseteq \emptyset$, se tiene que $z$ tiene elemento mínimo y máximo en el orden $\in_\emptyset$.

Por lo tanto, $\emptyset$ es un número natural.

$\square$

Elementos de números naturales son números naturales

En esta sección veremos que si $n$ es número natural y $z\in n$, entonces $z$ es número natural. Lo primero que es conveniente hacer es entender la relación $\in_z$ en términos de la relación $\in_n$.

Lema 1. Si $n$ es un conjunto transtivo, entonces para cualquier $z\in n$ se cumple que $\in_n\cap (z\times z)=\in_z$..

Demostración. En efecto, tenemos que

\begin{align*}
\in_n\cap(z\times z)&=\set{(x,y)\in n\times n:x\in y}\cap(z\times z)\\
&=\set{(x,y)\in z\times z:x\in y}\\
&=\in_z.
\end{align*}

$\square$

El siguiente lema será de ayuda para mostrar que cualquier elemento de un número natural resulta ser también un número natural.

Lema 2. Si $n$ es un conjunto transitivo, entonces, para cualquier $z\in n$ se satisface que $\in_z$ es un orden total estricto en $z$.

Demostración.

Veamos que $\in_z$ es una relación asimétrica, transitiva y sus elementos son $\in_z$-comparables.

  1. Asimetría.
    Procedamos por contradicción. Supongamos que $x,y\in z$ tales que $x\in_z y$ y $y\in_z x$. Por el Lema 1, tendríamos que $x\in_n y$ y $y\in_n x$, lo cual no puede ocurrir pues $\in_n$ es una relación asimétrica. Así, no hay tales $x$ y $y$. Esto muestra que $\in_z$ también es una relación asimétrica.
  2. Transitividad.
    Sean $x, y, w\in z$ tales que $x\in_z y$ y $y\in_z w$. Por el Lema 1, tenemos que $x\in_n y$ y $y\in_n w$, lo que implica que $x\in_n w$ con $x, w\in z$. De nuevo por el Lema 1, se tiene que $x\in_zw$. Por lo tanto, $\in_z$ es transitiva en $z$.
  3. $\in_z$-comparables.
    Sean $x,y\in z$. Dado que $z\in n$, entonces $x\in n$ y $y\in n$. Como $\in_n$ es total, tenemos que $x\in_n y$ o $y\in_n x$ o $y=x$. Por el Lema 1, estas posibilidades implican, respectivamente, que $x\in_z y$ o $y\in_z x$ o $y=x$, es decir, los elementos de $z$ son $\in_z$ comparables.

Por lo tanto, $\in_z$ es un orden total en $z$.

$\square$

Estamos listos para ver que elementos de naturales son naturales.

Teorema.1 Si $z\in n$ con $n$ número natural, entonces $z$ también es un número natural.

Demostración.

Supongamos que $n$ es un número natural y que $z\in n$. Veamos que en $z$ se verifican las condiciones 1, 2 y 3 de la definición de número natural.

  1. $z$ es un conjunto transitivo.
    En efecto, sea $y\in z$. Como $n$ es transitivo y $z\in n$, tenemos que $y\in n$. Si tomamos $w\in y$, se sigue nuevamente que $w\in n$ por la transitividad de $n$. Como $\in_n$ es transitiva, y $w,y,z$ están en $n$, tenemos entonces que $w\in z$. Así, $y\subseteq z$. Concluimos que para cualquier $y\in z$ se tiene que $y\subseteq z$ y, por lo tanto, $z$ es un conjunto transitivo.
  2. $\in_z$ es un orden total en $z$.
    Por el Lema 2 se tiene que $\in_z$ es un orden total estricto en $z$.
  3. Subconjuntos no vacíos de $z$ tienen máximo y mínimo con respecto a $\in_z$.
    Sea $B\subseteq z$ con $B$ no vacío. Dado que $n$ es un número natural y $z\in n$, tenemos que $z\subseteq n$. Así, por transitividad de la contención se sigue que $B\subseteq n$, por lo que $B$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a $\in_n$. Llamemos a estos elementos $b_1$ y $b_2$, respectivamente. Recordemos que $b_1,b_2$ son elementos de $B$ y, por lo tanto, de $z$ y de $n$.
    Veamos que $b_1$ y $b_2$ son los elementos mínimo y máximo de $B$ con respecto a $\in_z$. Tomemos $b\in B\setminus \{b_1\}$. Como $b\in B$, tenemos que $b\in z$ y por lo tanto $b\in n$. Como $b_1$ es mínimo de $\in_n$, tenemos que $b_1\in_n b$. Por el Lema 1, tenemos entonces que $b_1\in_z b$. Así, $b_1$ es mínimo de $\in_z$. Una demostración análoga muestra que $b_2$ es máximo de $\in_z$. Por lo tanto, $B$ tiene elemento mínimo y máximo con respecto a $\in_z$.

Todo lo anterior nos permite concluir que $z$ es número natural.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta entrada, además de seguir trabajando el concepto de conjuntos transitivos.

  1. Muestra que los conjuntos $1,2,3,4$ que hemos definido previamente en efecto son conjuntos transitivos.
  2. Este ejercicio consiste en probar una versión más general del Lema 2. Muestra que si $(x,\lt)$ es un conjunto estrictamente y totalmente ordenado, entonces para cualquier subconjunto $y$ de $x$ se tiene que $(y, \lt \cap (y\times y))$ también es un conjunto estrictamente y totalmente ordenado.
  3. Prueba que si $x\not=\emptyset$ es un conjunto transitivo, entonces $\bigcap x$ es un conjunto transitivo.
  4. Prueba que si $x$ es un conjunto transitivo, entonces $\bigcup x$ es un conjunto transitivo
  5. Demuestra que si $n$ es un número natural, entonces $n\notin n$. Haz esto de dos formas distintas: 1) Usando la definición de número natural para llegar a una contradicción y 2) Usando el axioma de de buena fundación.
  6. Demuestra que si $n$ y $m$ son números naturales, entonces no puede ocurrir que $n\in m$ y $m\in n$ al mismo tiempo. Haz esto de dos formas distintas: 1) Usando la definición de número natural para llegar a una contradicción y 2) Usando el axioma de buena fundación.

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos al sucesor de un número natural. A partir de este nuevo concepto, probaremos propiedades adicionales para los números naturales.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

  1. También puedes consultar la prueba de este teorema en: También puedes consultar la prueba de este teorema en: Hernández, F., Teoría de Conjuntos, México: Aportaciones Matemáticas No.13, SMM, 1998, pp. 91-92. ↩︎

Nota 16. Los números naturales.

Por Julio César Soria Ramírez

3 respuestas

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota iniciaremos el estudio de los números naturales. Hasta ahora sabemos trabajar con conjuntos, podemos considerar su complemento, unirlos, intersecarlos, considerar subconjuntos de ellos, considerar particiones y relaciones de equivalencia, etc. Con estas herramientas vamos a dar una definición de los números naturales basada en el sucesor, esta definición implicará los llamados axiomas de Peano, en honor al matemático Giuseppe Peano quien en el siglo XIX, los estableció para definir los números naturales. Así nuestro primer objetivo es dar una definición conjuntista de los números naturales y ver que implica los axiomas de Peano. Puedes consultar el siguiente enlace para conocer más a profundidad la historia de cómo se formalizó la aritmética: Los axiomas de Peano.

Empecemos definiendo lo que es el sucesor de un conjunto $x.$

Definición

Sea $x$ un conjunto, el sucesor de $x$ es:

$x^+=x\cup\set{x}.$

Observa que si definimos al cero como el conjunto vacío tenemos que:

$0=\emptyset$

y entonces su sucesor $0^+$ es:

$0^+=\emptyset^+ =\emptyset\cup \set{ \emptyset}= \set{ \emptyset} =\set{ 0}$

Ese sucesor $0^+$ será por definición el $1$, entonces:

$1^+=1\cup\set{1}=\set{0}\cup \set{1}=\set{0,1}$

que es por definición el número 2, y así sucesivamente:

$2^+=2\cup \set{2}= \set{0,1}\cup \set{2}=\set{0,1,2}=3$

$3^+=3\cup \set{3}= \set{0,1,2}\cup \set{3}=\set{0,1,2,3}=4$

$\vdots$

$n^+=n\cup \set{n}= \set{0,\dotsc,n-1}\cup \set{n}=\set{0,\dotsc,n}=n+1$

Aceptaremos que esta construcción puede ser llevada a infinito, y lo postularemos como un axioma.

Axioma del infinito

Existe un conjunto que tiene al cero y al sucesor de cada uno de sus elementos.

Démosle ahora nombre a este tipo especial de conjuntos, aquellos que tienen al cero y todos sus sucesores.

Definición

Sea $A$ un conjunto. Decimos que $A$ es un conjunto de sucesores si tiene como elemento al cero y al sucesor de cada uno de sus elementos.

El la Teoría de Conjuntos a los conjuntos de sucesores también se les llama conjuntos inductivos.

Observemos que el Axioma del infinito asegura la existencia de al menos un conjunto de sucesores. Tiene sentido entonces considerar la intersección de cualquier familia no vacía de conjuntos sucesores y veremos que la intersección también es un conjunto de sucesores.

Lema

Sea $\mathscr F$ una familia no vacía formada por conjuntos de sucesores, entonces $\bigcap\mathscr F$ es un conjunto de sucesores.

Demostración

Sea $\mathscr F$ una familia no vacía formada por conjuntos de sucesores. Como $\mathscr F$ es no vacía, sabemos por la nota nota 14 que podemos considerar el conjunto $\bigcap \mathscr F$ que es la intersección de la colección $\mathscr F$.

Como $A$ es un conjunto de sucesores para todo $A\in \mathscr F$, entonces $0\in A$, para todo $A\in \mathscr F$, así $0\in \bigcap \mathscr F$.

Veamos ahora que $\bigcap \mathscr F$ tiene al sucesor de cada uno de sus elementos.

Sea $x\in \bigcap \mathscr F$ entonces $x\in A$ para todo $A\in \mathscr F$. Como cada $A$ es un conjunto de sucesores, se tiene que $x^+\in A$ para todo $A\in \mathscr F$, así $x^+\in \bigcap \mathscr F$.

Concluimos finalmente que $\bigcap \mathscr F$ es un conjunto de sucesores.

$\square$

Con esta definición de conjunto de sucesores y el lema anterior vamos a definir a los números naturales siguiendo las ideas del libro de José Alfredo Amor mencionado en la bibliografía y las notas de clase de la Dra. Avella. Por el lema anterior, existe un conjunto de sucesores, digamos $T$, por lo que podemos considerar a todos los conjuntos de sucesores contenidos en $T$. La familia $$\{S\subseteq T\,|\,S\text{ es un conjunto de sucesores}\}$$ es no vacía ya que al menos $T$ es uno de sus elementos y, de acuerdo a lo estudiado en la nota 14, podemos considerar su intersección. Así, definiremos a los números naturales como la intersección de esta familia.

Definición

Dado $T$ un conjunto de sucesores fijo sea $\mathscr{F}=\{S\subseteq T\,|\,S\text{ es un conjunto de sucesores}\}$ la colección formada por todos los conjuntos de sucesores contenidos en $T$. El conjunto de los números naturales, denotado por $\mathbb N$ es:

$\mathbb N= \mathop{\displaystyle \bigcap}\mathscr{F}$.

Observación 1

Por el lema anterior, $\mathbb N$ es un conjunto de sucesores, así $0\in \mathbb N$ y si $x\in \mathbb N$, entonces $x^+\in \mathbb N$.

Observación 2

Sea $A$ un conjunto de sucesores cualquiera, entonces, por el lema anterior, $A\cap T$ es un conjunto de sucesores, y como $A\cap T\subseteq T$, entonces $A\cap T$ pertenece a la familia $\mathscr{F}=\{S\subseteq T\,|\,S\text{ es un conjunto de sucesores}\}$. En consecuencia, por las propiedades de la intersección, sabemos que $\mathop{\displaystyle \bigcap}\mathscr{F}\subseteq A\cap T$ y que $A\cap T\subseteq A$. Por lo tanto $\mathop{\displaystyle \bigcap}\mathscr{F}\subseteq A$, es decir, $\mathbb N\subseteq A$.

Esto nos dice que $\mathbb N$ está contenido en cada conjunto de sucesores. Es decir, $\mathbb N$ es el conjunto de sucesores «más pequeño» posible.

Proposición

Si $A\subseteq \mathbb N$ es tal que:

$i)$ $0\in A$, y

$ii)$ para toda $n$, si $n\in A$, entonces $n^+\in A$,

se tiene que $\mathbb N\subseteq A$ y así $A=\mathbb N$.

Demostración

Sea $A\subseteq \mathbb N$ que cumple las condiciones $i$ y $ii$, entonces por definición $A$ es un conjunto de sucesores y de acuerdo a la observación previa sabemos que $\mathbb N$ está contenido en cada conjunto de sucesores, en particular $\mathbb N$ está contenido en $A$, es decir $ \mathbb N\subseteq A$. Así, $A\subseteq \mathbb N$ y $ \mathbb N\subseteq A$ , por lo tanto $A=\mathbb N$.

$\square$

Veremos que la definición que dimos de los números naturales anteriormente implica los axiomas de Peano. Enunciemos dichos axiomas y notemos cómo se derivan de nuestra definición.

Axiomas de Peano

1. $0\in \mathbb N$.

2. Si $n\in \mathbb N$, entonces $n^+\in \mathbb N$.

3. $\forall n\in \mathbb N$, $n^+\neq 0$.

4. $\forall n,m\in \mathbb N$ si $n^+=m^+$, entonces $n=m$.

5. Si $A\subseteq \mathbb N$ es tal que:

$i)$ $0\in A$, y

$ii)$ para todo $n$, si $n\in A$, entonces $n^+\in A$,

se tiene que $\mathbb N\subseteq A$ y así $A=\mathbb N$.

El quinto axioma de Peano se conoce como el Principio de inducción, lo estudiaremos con detalle ya que se usa mucho para hacer pruebas referentes a afirmaciones de los números naturales.

Observa que en nuestro caso los axiomas de Peano no se usarán como axiomas, es decir no partiremos de que se cumplen, pues hemos construido los números naturales a partir de conjuntos, así que se tomarán como una proposición y se demostrará que con esta construcción de los naturales se cumplen las condiciones enunciadas. Sin embargo, les llamaremos axiomas de Peano porque inicialmente se establecieron como axiomas que describían a la colección de los números naturales.

Demostración

Observa que por la observación 1, consecuencia del lema previo que afirma que $\mathbb N$ es un conjunto de sucesores, se tiene que $0\in \mathbb N$, y además si $x\in \mathbb N$, entonces $x^+\in \mathbb N$, por lo que se cumplen los incisos 1 y 2 que se querían demostrar. Por otro lado el inciso $5$ se cumple por la proposición antes demostrada.

Demostración de 3

Queremos demostrar que: $\forall n\in \mathbb N$, $n^+\neq 0$.

Sea $n\in \mathbb N$, por definición $n^+=n\cup\set{n}$. Como $n\in\{n\}$ tenemos que , $n\in n\cup\set{n}$. Así, $n\in n^+$ y entonces $n^+\neq \emptyset=0$.

Para probar $4$ requerimos un resultado.

Lema

Todo elemento de un número natural es también subconjunto de éste.

La prueba de este lema será la primera que realizaremos mediante la técnica de inducción que se basa en el quinto axioma de Peano. La idea esencial es probar que cierta propiedad se cumple para todos los naturales formando un subconjunto $A$ de naturales con todos los naturales que sí cumplen la propiedad, y luego verificando que es igual a $\mathbb N$. Para ello probaremos que

$i)\, 0\in A$ (llamada la base de inducción), y que

$ii)$ si $n\in A$, entonces $n^+\in A$ (llamado paso Inductivo (PI), para ello supondremos que $n\in A$, hipótesis que se conoce comúnmente como la hipótesis de inducción (HI), y probaremos que $n^+\in A$.

Con estas dos condiciones satisfechas podemos asegurar que $A=\mathbb N$ en virtud del quinto Axioma de Peano, y, por lo tanto, que la propiedad se cumple para todo número natural.

En la nota 18 estudiaremos con más detalle este tipo de demostraciones.

Demostración

Esta prueba se hará por inducción usando el quinto axioma de Peano.

Sea $A=\set{n\in \mathbb N\mid si\,\,x\in n \,\, entonces \,\, x\subseteq n}\subseteq \mathbb N$. Probaremos que $A$ cumple $i$ y $ii$ del inciso 5 de la proposición anterior y concluiremos con ello que $A=\mathbb N.$

i) Base de inducción. Primero vamos a probar que el $0\in A$. Como $0=\emptyset$, $0$ no tiene elementos y por vacuidad se cumple entonces que si $x\in 0$, entonces $x\subseteq 0$ (ya que no existen elementos de $0$ y por lo tanto no podríamos exhibir ninguno que no sea subconjunto de $0$). Así, $0\in A$ y se cumple el inciso $i$.

ii) Paso Inductivo. (PI). Ahora, veamos que si $n\in A$, entonces $n^+\in A$.

Sea $n\in A$.

Ésta es nuestra hipótesis de inducción.

Demostración de que $n^+\in A$ usando la HI.

Observa que al estar $n$ en $A$, $n$ cumple la propiedad que caracteriza a los elementos de $A$, es decir, si $x\in n, \,\, entonces \,\, x\subseteq n$. Demostremos con ello que $n^+\in A,$ es decir que todo elemento de $n^+$ es un subconjunto de $n^+$. Consideremos $x\in n^+=n\cup \set{n}$ y verifiquemos que $x\subseteq n^+$.

Caso $1$, $x\in n$

Como $n\in A$ y $x\in n$, entonces $x\subseteq n$, además $n\subseteq n\cup \set{n}= n^+$. Así, $x\subseteq n$ y $n\subseteq n^+$, entonces $x\subseteq n^+$.

Caso $2$, $x\in \set{n}$

En este caso $x=n$ y como $x=n\subseteq n\cup \set{n}=n^+$ tenemos que $x\subseteq n^+.$

En ambos casos, suponiendo que $n\in A$, se tiene que $x\in n^+\,\, implica\,\, que \,\,x\subseteq n^+,$ probando así que $n^+$ es un elemento de $A$.

El conjunto $A$ cumple entonces las condiciones del quinto axioma de Peano (que ya hemos demostrado), y por lo tanto $A=\mathbb N$.

$\square$

Demostración de 4

Sea $n,m\in \mathbb N$ tales que $n^+=m^+$, entonces $n\cup \set{n}= m\cup \set{m}$. Así, $n\in n\cup \set{n}= m\cup \set{m}$, lo que implica que $n\in m$ o $n=m$. Por otro lado $m\in m\cup \set{m}= n\cup \set{n}$, entonces $m\in n$ o $m=n$.

Supongamos por reducción al absurdo que $n\neq m$, entonces se concluye de lo anterior que $n\in m$ y $m\in n$. Por el lema previo $n\subseteq m$ y $m\subseteq n$, así $n=m$, lo cual es una contradicción y por lo tanto $n=m$.

Hemos verificado que la construcción que dimos de los números naturales cumple los axiomas de Peano.

$\square$

Para concluir esta nota, mencionaremos las definiciones y propiedades de la suma y el producto de los números naturales que acabamos de definir. Aunque se presentan las definiciones y se enuncian las propiedades, cabe destacar que las pruebas de las mismas, realizadas por inducción, se desarrollarán en la nota 18b con el fin de estudiar primero la inducción matemática en casos menos abstractos.

Definición. Suma en $\mathbb N$

Dado $n\in \mathbb N$ definimos:

$n+0=n,$

para todo $m\in \mathbb N$, $n+m^+=(n+m)^+.$

Propiedades de la suma

Sean $n,m,l\in \mathbb N.$

  1. $n+0=n$. Neutro aditivo.
  2. $(n+m)+l=n+(m+l)$. Asociatividad.
  3. Si $n+l=m+l$, entonces $n=m$. Cancelación.
  4. $n+m=m+n$. Conmutatividad.
  5. Si $n\neq 0$ o $m\neq 0$, entonces $n+m\neq 0$

Observación 3

Hay que observar que una vez se tiene definida la suma en $\mathbb N$ se puede ver que $n^+=n+1$, donde $1$ es el sucesor de $0$.

Demostración

Sea $m=0$, por definición de la suma en $\mathbb N$ se tiene que $n+0^+=(n+0)^+$. Pero $0^+=1$ y por la definición de suma se tiene que $n+0=n$, por lo que sustituyendo tenemos que $n+1=n^+$.

Definición. Producto en $\mathbb N$

Dado $n\in \mathbb N$ definimos:

$n\cdot 0=0,$

para todo $m\in\mathbb N$, $n\cdot m^+=n \cdot m+n.$

Propiedades del producto

Sean $n,m,l\in \mathbb N.$

  1. $1\cdot n=n$. Neutro multiplicativo.
  2. $(n+m)\cdot l=n\cdot l+m\cdot l$. Distributividad.
  3. $n\cdot m=m\cdot n$. Conmutatividad.
  4. $(n\cdot m)\cdot l=n\cdot (m\cdot l)$. Asociatividad.
  5. Si $n\neq 0$ y $m\neq 0$, entonces $n\cdot m\neq 0$
  6. Si $l\neq 0$ y $n\cdot l=m\cdot l$ entonces $n=m$. Cancelación.

Tarea Moral

1. Describe a los números naturales $3$, $5$ y $7$ como conjuntos, usando la definición conjuntista.

2. Determina si las siguientes afirmaciones se cumplen o no.

  • $3\subseteq 5$
  • $7\subseteq 5$
  • $3\in 5$
  • $7\in 3$

3. Prueba que si $n\in \mathbb N$, entonces $n=0$ o $n=m^+$ con $m\in \mathbb N$. Sugerencia: define $A=\{0\}\cup\{m^+|m\in\mathbb{N}\}$ y usa el principio de inducción para demostrar que $A=\mathbb{N}$.

Más adelante

En la siguiente nota definiremos el orden en los números naturales y veremos distintos ejemplos donde aplicaremos el principio de inducción matemática para hacer demostraciones.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Nota anterior. Nota 15. Relaciones de equivalencia y particiones.

Nota siguiente. Nota 17. El orden en los números naturales.

Nota 15. Relaciones de equivalencia y particiones.

Por Julio César Soria Ramírez

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota veremos cómo las relaciones de equivalencia dan lugar a particiones y finalmente concluiremos que toda relación de equivalencia tiene asociada una partición y viceversa, mostrando que dicha correspondencia es una biyección. Con esta nota concluiremos la primera unidad del presente trabajo.

Teorema

Sea $A$ un conjunto, $\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$, entonces $\set{\overline{x}\mid x\in A}$ es una partición de $A$.

Demostración

Sea $A$ un conjunto, $\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$

Por demostrar que:

$\set{\overline{x}\mid x\in A}$ es una partición de $A$.

Vamos a mostrar que el conjunto $\set{\overline{x}\mid x\in A}$ cumple la definición de partición.

i) Por demostrar que $\overline{x}\neq \emptyset$, $\forall x\in A$.

Sea $x\in A$, como $\mathcal R$ es reflexiva $x\sim x$, así $x\in \overline{x}$ y entonces $\overline{x}\neq \emptyset$.

ii) Por demostrar que si $x,y\in A$ son tales que $\overline{x}\neq \overline{y} $, entonces $\overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset$.

En la nota anterior mostramos que: $x\sim y\Longrightarrow \overline{x}=\overline{y}$, que es equivalente a: $\overline{x}\neq \overline{y} \Longrightarrow x\nsim y $ (llamada la contrapositiva de la implicación). También mostramos que $x\nsim y \Longrightarrow \overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset$. Así, tenemos que:

$ \overline{x}\neq \overline{y} \Longrightarrow x\nsim y $

y

$x\nsim y \Longrightarrow \overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset$

Por lo tanto se sigue que:

$\overline{x}\neq \overline{y} \Longrightarrow \overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset $.

Así, tenemos lo que queríamos mostrar.

iii) Por demostrar que $\bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}=A$

Prueba por doble contención.

$\subseteq$ primera contención.

Sea $z\in \bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}$, entonces $z\in \overline{x}=\set{y\in A\mid y\sim x}$ para alguna $x\in A$, en particular $z\in A$. Por lo tanto $ \bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}\subseteq A$.

$\supseteq$ segunda contención.

Sea $z\in A$, como $\mathcal R$ es reflexiva $z\sim z$ así $z\in \overline{z}$, concluimos que $z\in \bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}$. Por lo tanto $A \subseteq \bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}$.

Como se cumplen las tres condiciones para que sea una partición entonces $\set{\overline{x}\mid x\in A}$ es una partición de $A$.

Ejemplos

1. $A=\set{1,2,3,4,5}$

$\mathcal R=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,2), (2,1), (1,5), (5,1) (2,5), (5,2) , (3,4),(4,3)}$

$\overline{1}=\set{1,2,5}$

$\overline{3}=\set{3,4}$

$\set{ \overline{1}, \overline{3}}=\set{ \set{1,2,5}, \set{3,4}} $ es la partición inducida por $\mathcal R$.

2. $A=\set{1,2,3,4,5}$

$\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$. Si la partición en $A$ inducida por $\mathcal R$ es:

$ \set{ \set{3}, \set{2,4}, \set{1,5} } $

¿Quién es $\mathcal R$?

Observemos que

$\mathcal R=\set{ (3,3), (2,2), (2,4), (4,4), (4,2), (1,1), (1,5), (5,5), (5,1) }$

es una relación de equivalencia que induce la partición $\set{ \overline{3}, \overline{2}, \overline{1} }=\set{ \set{3}, \set{2,4}, \set{1,5} } $.

Teorema

Sea $A$ un conjunto, consideremos:

$\mathcal R_A=\set{r\mid r \, \,es \, \, una \, \, relación \, \, de \, \, equivalencia }$

$\mathcal P_A=\set{p\mid p \, \,es \, \, una \, \, partición \, \, de \, \, A }$

Existe una biyección entre $\mathcal R_A$ y $\mathcal P_A$.

Demostración

Sea $A$ un conjunto, consideremos:

$\mathcal R_A=\set{r\mid r \, \,es \, \, una \, \, relación \, \, de \, \, equivalencia }$

$\mathcal P_A=\set{p\mid p \, \,es \, \, una \, \, partición \, \, de \, \, A }$

Definimos:

$\psi: \mathcal R_A\to \mathcal P_A$ con

$\psi(r)=\set{\overline{x}^r\mid x\in A}\, \, \, \forall r\in \mathcal R_A$

donde $ \overline{x}^r =\set{y\in A\mid (y,x)\in r} $, es decir $\psi(r)$ es la colección de clases de equivalencia dadas por la relación $r$.

Veamos que $\psi$ es inyectiva.

Sean $r,\rho\in \mathcal R_A$ tales que $\psi(r)=\psi(\rho)$.

Por demostrar que $r=\rho$.

La prueba se hará por doble contención

$\subseteq$ primera contención.

Sea $(a,b)\in r$ entonces por simetría $(b,a)\in r$ y entonces $b\in \overline{a}^r$.

Por otro lado $ \overline{a}^r\in \set{ \overline{x}^r\mid x\in A }=\psi(r)$ que por hipótesis es igual $\psi(\rho)= \set{ \overline{x}^{\rho}\mid x\in A }$ , de manera que $ \overline{a}^r = \overline{c}^{\rho}$ para alguna $c\in A$. Como $b\in \overline{a}^r$, entonces $b\in \overline{c}^{\rho}$, así $(b,c)\in \rho$, y por simetría $(c,b)\in \rho$. También $a\in \overline{a}^r= \overline{c}^{\rho}$, así $(a,c)\in \rho$. Como $(a,c)\in \rho$ y $(c,b)\in \rho$, por transitividad $(a,b)\in \rho$. Por lo tanto $r\subseteq \rho$.

$\supseteq$ segunda contención. Es análoga y se deja como ejercicio al lector.

Concluimos finalmente que $r=\rho$ y así la función $\psi: \mathcal R_A\to \mathcal P_A$ es inyectiva.

Veamos ahora que $\psi$ es suprayectiva.

Sea $p=\set{A_i\mid i\in I}$ una partición de $A$.

Definimos $r$ una relación en $A$ como:

$(x,y)\in r$ si y sólo si existe $i\in I$ tal que $(x,y)\in A_i$.

Ésta es una relación de equivalencia (demuéstralo).

Por demostrar que $\psi(r)=p$, es decir que $\set{\overline{x}^r\mid x\in A}=p$

La prueba es por doble contención.

$\subseteq$ primera contención.

Sea $\overline{a}^r\in \set{ \overline{x}^r\mid x\in A }$.

Por demostrar que $\overline{a}^r\in p$.

Como $A= \bigcup\limits_{i\in I}A_i$ entonces $a\in A_j$ para alguna $j\in I$. De hecho como $p$ es una partición, $A_j$ es el único elemento de $p$ al que pertenece $a$.

Pero

$\overline{a}^r=\set{b\in A\mid (b,a)\in r}=\set{b\in A\mid \exists i\in I \,\, tal \,\, que \,\, b,a\in A_i}=\set{b\in A\mid b\in A_j}=A_j\in p,$ y por lo tanto $\overline{a}^r\in p,$ y así $\psi(r)\subseteq p$.

$\supseteq$ segunda contención.

Sea $A_j\in p$ con $j\in I$. Sabemos que $A_j\neq \emptyset$,entonces podemos considerar $a\in A_j$, y como acabamos de ver en la primera contención, $A_j=\overline{a}^r\in \set{\overline{x}^r\mid x\in A}=\psi(r)$. Así, $p\subseteq \psi(r)$.

Con estas dos contenciones hemos probado que $p=\psi(r)$. De esta forma, dada una partición $p$ existe una relación de equivalencia que bajo $\psi$ da por resultado $p$. Por lo tanto $\psi$ es suprayectiva.

Como $\psi$ es suprayectiva e inyectiva, entonces $\psi$ es biyectiva.

$\square$

Tarea Moral

  1. Encuentra todas las posibles particiones de $\set{3,6,7,9}$, y para cada una de ellas encuentra la relación de equivalencia asociada.
  2. Considera la relación $\mathcal R$ en $\mathbb Z$, dada por: $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $4$ divide a $b-a$. Verifica que las distintas clases de equivalencia forman una partición de $\mathbb Z$.
  3. Sea $A=\set{1,2,3,4,5}$ y considera la relación dada por:
    $R=\set{(1,1),(2,3),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(4,5),(5,4)}$
    Encuentra la partición asociada.

Más adelante

Con esta nota hemos terminado la unidad 1 del curso de Álgebra superior I. En las siguiente nota iniciaremos la unidad 2 donde haremos un estudio de los números naturales a partir de la definición conjuntista.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Nota anterior. Nota 14 Familias de conjuntos y particiones.

Nota siguiente. Nota 16. Los números naturales.

Álgebra Moderna I: Producto de subconjuntos y Clases Laterales

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Antes de comenzar conviene que recordemos que estamos trabajando con grupos. Un conjunto con una operación da lugar a un grupo si cumple ciertas condiciones, entre ellas tener un neutro y ser cerrado bajo su operación. Ahora nos interesamos por los subconjuntos cualquiera del grupo, no necesariamente subgrupos. Esta entrada está dedicada al estudio del producto de dichos subconjuntos.

La primera parte comienza definiendo a nuestro producto y lo ilustramos con unos ejemplos. La segunda parte pretende responder a la pregunta ¿cuándo es el producto de dos subconjuntos un subgrupo? En la tercera parte, nos imaginamos un caso particular, ¿qué pasa cuando uno de los subconjuntos elegidos es unitario? Es decir, estamos multiplicando un subgrupo de $G$ por un solo elemento de $G$.

Producto de $S$ con $T$

Definición. Sean $G$ un grupo, $S,T$ subconjuntos no vacíos de $G$. El producto de $S$ con $T$ es el conjunto

$$ST = \{st|s\in S, t\in T\}.$$

El orden de los elementos de $ST$ es importante, recordemos que $G$ no es necesariamente abeliano. Más adelante analizaremos más al respecto.

Nota: Cuando escribimos $st$ nos referimos a la operación que pertenece al grupo $(G, \cdot)$. Por ejemplo, si tomamos a $\z$, la operación sería la suma $+$ usual.

Tomamos dos subgrupos $S$ y $T$ de $G$. Si multiplicamos sus elementos, el resultado queda en $G.$

Ejemplos.

  1. Tomemos las permutaciones de $S_3 = \{(1), (1\;2), (1 \;3), (2 \; 3), (1 \; 2 \; 3), (1\;3\;2)\}$. Consideramos a $S$ como $S=\{(1\;2)\}$ y a $T$ como $T=\{(1\;2\;3), (1\;3\;2)\}$. Entonces, su producto queda
    \begin{align*}
    ST &= \{(1\;2) (1\;2\;3), (1\;2)(1\;3\;2)\}\\
    &= \{(2\;3), (1\;3)\}.
    \end{align*}
  2. Si consideramos $(\z, +)$, podemos tomar a $S$ y a $T$ como
    \begin{align*}
    S &= 2\z = \{2n|n\in \z\},\\
    T &= 3\z = \{3m|m\in\z\}.
    \end{align*}
    En este caso, el producto se denota como $S+T$ y este conjunto es
    \begin{align*}
    S+T = 2\z + 3\z = \{2n+3m|n,m\in\z\} = \z.
    \end{align*}
    Donde la última igualdad se da porque $(2,3) = 1$ (es decir, $2$ y $3$ son primos relativos).

¿Cuándo es el producto un subgrupo de $G$?

Vamos a ver qué pasa ahora a la hora de multiplicar subgrupos. Durante la demostración del siguiente teorema, observaremos que en general, el producto no es un subgrupo debido a un detalle de la conmutatividad de los elementos. El siguiente se trata de un resultado clásico que aparece por ejemplo en el texto de Dummit mencionado en la bibliografía, Proposición 14:

Teorema. Sean $G$ un grupo y $H$, $K$ subgrupos de $G$. Entonces,
\begin{align*}
HK \leq G \; \text{ si y sólo si } \; HK = KH.
\end{align*}

Demostración.
Sea $G$ un grupo y $H,K$ subgrupos de $G$.

$|\Rightarrow)$ Supongamos que $HK \leq G$.
P.D. $KH=HK$

Procedemos por doble contención.
$\subseteq]$
Sea $x\in KH$. Entonces existen $k \in K$ y $h \in H$ tales que $x = kh$.

Como $HK$ es subgrupo de $G$, entonces $h^{-1}k^{-1} \in HK$, así
\begin{align*}
x^{-1} = (kh)^{-1} = h^{-1}k^{-1} \in HK.
\end{align*}

Entonces, $x^{-1} \in HK$, y como $HK$ es subgrupo, $x \in HK$. Por lo tanto $KH \subseteq HK$.

$\supseteq]$
Sea $x \in HK$.

Observación: Si intentamos hacer lo mismo de antes, tomaríamos $h \in H$ y $k \in K$ tales que $x = hk$, así $x^{-1} = k^{-1}h^{-1}$ ya que en el inverso se invierte el orden, es decir $x^{-1} \in KH$. Pero como no sabemos nada de $KH$, nos atoramos aquí. Por lo tanto, tomaremos un camino un tanto diferente.

Sabemos que $HK\leq G$, entonces sabemos que $x^{-1} \in HK$. Entonces existen $h \in H$ y $k\in K$ tales que $x^{-1}=hk$. Así,

\begin{align*}
&x = (x^{-1})^{-1} = (hk)^{-1} = k^{-1}h^{-1} \in KH.
\end{align*}
Por lo tanto $HK \subseteq KH$.

Así, $HK = KH$.

$\Leftarrow|)$ Supongamos que $HK = KH$.
P.D. $HK \leq G$.

Observemos primero que $e = ee \in HK$.

Ahora consideremos $x,y \in HK$, entonces
\begin{align*}
x = hk && h, \overline{h} \in H \\
y = \bar{h} \bar{k} && k,\overline{k} \in K.
\end{align*}

Entonces
\begin{align*}
xy^{-1} = (hk)(\bar{h} \bar{k})^{-1} &= (hk)(\bar{k}^{-1} \bar{h}^{-1})\\
&= h \left( (k\bar{k}^{-1})\bar{h}^{-1} \right).
\end{align*}

Pero
\begin{align*}
&(k\bar{k}^{-1}) \bar{h}^{-1} \in KH = HK &\text{Por la hipótesis} \\
\Rightarrow &\,(k \bar{k}^{-1})\bar{h}^{-1} =\hat{h}\hat{k} & \text{ con } \hat{h}\in H,\hat{k}\in K.
\end{align*}

Sustituyendo los valores $$xy^{-1} = h(\hat{h}\hat{k}) = (h\hat{h})\hat{k} \in HK.$$

Por lo tanto $HK \leq G$.

$\blacksquare$

Del teorema anterior se sigue este corolario:

Corolario. Sean $G$ un grupo abeliano y $H,K$ subgrupos de $G$. Tenemos que $HK$ es un subgrupo de $G.$

Clases Laterales

Ahora, tomemos $T = \{a\}$ con $a \in G$. De esta manera $TH = \{a\}H$, pero para simplificar la notación, usaremos $\{a\}H = aH$. A este caso específico, lo llamaremos clase lateral. A continuación lo definiremos de una manera más formal.

Definición. Sean $G$ un grupo, $H$ un subgrupo de $G$ y $a\in G$.
La clase lateral izquierda de $H$ en $G$ con representante $a$ es
$$ aH = \{ah | h\in H\}. $$
La clase lateral derecha de $H$ en $G$ con representante $a$ es
$$Ha = \{ha|h\in H\}.$$

Ambas clases son análogas, aunque como veremos más adelante no necesariamente iguales, y para fines prácticos trabajaremos sólo con una, pero es importante definir ambas.

Ejemplos.

  1. Sean $G = S_n\,$ y $H =A_n\, ,$ con $n\geq 2$.
    \begin{align*}
    (1\;2)\;A_n &= \{ (1\;2)\alpha \,|\, \alpha\in A_n\} \\
    & = \{\beta \in S_n \,| \, sgn\,\beta = -1\}.
    \end{align*}
  2. Sea $G=\r^2$ con la suma usual. Entonces,
    \begin{align*}
    H &= \{(x,x) \,|\, x\in\r\} \; \text{ y }(a,b) \in\r^2. \\
    \text{Entonces, } &\\
    (a,b) + H &= \{(a,b) +(x,x) \,|\, x\in \r\},
    \end{align*} que geométricamente es la diagonal trasladada por el vector $(a,b).$
Hecho con GeoGebra®
Representación de $(a,b) + H$.

Tarea moral

  1. Prueba o da un contraejemplo: Si $G$ es un grupo y $S$ y $T$ son subconjuntos de $G$ tales que $ST$ es un subgrupo de $G$, entonces $S$ y $T$ son subgrupos de $G$.
  2. Sea $D_{2(6)} = \{\text{id}, a, \dots, a^5, b, ab, \dots, a^5b \}$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un hexágono, con $a$ la rotación de $\frac{\pi}{3}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$. Calcula las clases laterales izquierdas y derechas de $\left< a \right>$ en $D_{2(6)}$.
  3. En cada inciso calcula $HK$ y determina si es un subgrupo de $S_4$.
    1. $H = \{(1), (1\;2)\}$ y $K = \{(1), (1\;3)\}$.
    2. $H = \{(1), (1\;2)\}$ y $K = \{(1), (3\;4)\}$.

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos una relación de equivalencia y, al tratar de describir las clases de equivalencias inducidas, podremos relacionar las clases laterales con los elementos de $H$. Además, continuaremos respondiendo a las preguntas: ¿qué relación existe entre el número de elementos de las clases laterales derechas e izquierdas? y ¿qué es el índice de $H$ en $G$?

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Teoría de los Conjuntos I: Construcción de los números naturales

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

Hasta ahora solo hemos usado los conjuntos $0$, $1$, $2$, $3$ y $4$ que definimos en la entrada de axioma del par y axioma de unión, pero es momento de hablar de números naturales de manera más general y rigurosa. En esta entrada comenzaremos a hacer esto, enunciando algunas propiedades conjuntistas que esperamos que tengan los números naturales. Sin embargo, no dejaremos de lado la noción intuitiva que ya tenemos.

Construcción

Al principio del curso hablamos acerca de los primeros axiomas de la teoría de los conjuntos. A partir de ellos obtuvimos un conjunto $\emptyset$ que no tiene elementos, y además probamos que era el único conjunto con esta propiedad. Por comodidad, a este conjunto también le pusimos el «nombre» o «etiqueta» $0$. Después, aplicamos el axioma del par para a partir de $0$ conseguir al conjunto $\{\emptyset\}$ al que llamamos $1$. En los ejercicios, hablamos de cómo a partir de los axiomas se pueden construir también a $2:=1\cup \{1\}= \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, a $3:=2\cup \{2\}=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$, y también a $4:=3\cup \{3\}$.

Por supuesto, también se pueden construir otros conjuntos que no «siguien este patrón», por ejemplo, aplicando dos veces el axioma del par se puede construir al conjunto $\set{\set{\emptyset}}$.

Si nos fijamos en la cantidad de elementos que tienen los conjuntos $0,1,2,3,4$, notamos que las etiquetas son muy precisas y coinciden con nuestra intuición, pues por ejemplo el $0$ es el vacío que tiene cero elementos, el $1$ es $\{\emptyset\}$ que tiene un sólo elemento que es $\emptyset$, etc. De hecho, parte del ejercicio de la entrada mencionada pedía ver que $4=\{0,1,2,3\}$, que en efecto tiene cuatro elementos. Pero puede haber otros conjuntos distintos que también tengan la misma cantidad que estos conjuntos. Por ejemplo, el conjunto $\set{\set{\emptyset}}$ también tiene un elemento (tiene sólo a $\set{\emptyset}$), pero no es el mismo conjunto que $1$.

Parte de lo que queremos lograr al construir los números naturales formalmente es asociar a cada «número que usamos para contar» un conjunto con esa cantidad de elementos. Lo mencionado arriba debe dejarnos la idea de que puede haber muchas maneras de hacer esto. Por ejemplo, una posible manera sería formalizar la siguiente construcción:

\begin{align*}
0 &-\emptyset\\
1&-\set{\set{\emptyset}}\\
2&-\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}\\
3&-\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}}\\
\vdots
\end{align*}

Otra posible manera sería formalizar la siguiente construcción, que se parece más a cómo hemos estado utilizando las etiquetas $0,1,2,3,4$:

\begin{align*}
0 &-\emptyset\\
1&-\set{\emptyset}\\
2&-\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\\
3&-\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}\\
\vdots
\end{align*}

Debido a que hay muchas maneras de lograr nuestro objetivo, podemos poner algunas condiciones adicionales. Hablaremos de ellas en el transcurso de estas entradas. Estas propiedades adicionales que requeriremos nos llevarán a que la construcción apropiada es la segunda presentada aquí arriba.

Conjuntos transitivos

Para definir formalmente a los números naturales comenzaremos definiendo una de las características que tendrá cada uno de los números naturales.

Definición. Sea $x$ un conjunto. Decimos que $x$ es un conjunto transitivo si para cualquier $y\in x$ se cumple que $y\subseteq x$.

Observa que si $x$ es transitivo en la definición que acabamos de dar, entonces si $z\in y$ y $y\in x$, entonces $z\in x$.

Ejemplo.

Nos gustaría que cada número natural sea transitivo y nos gustaría que $0$, como lo definimos, sea número natural. En efecto lo es pues, en este caso, $0=\emptyset$ y entonces por vacuidad se cumple que si $y\in \emptyset$, se tiene que $y\subseteq \emptyset$.

$\square$

Ejemplo.

También el conjunto que definimos como $1$ es transitivo. Recordemos que $1=\set{\emptyset}$. El único elemento de $1$ es $y=\emptyset$, así que para ver que $x$ es transitivo basta ver que $\emptyset\subseteq \set{\emptyset}$, lo cuál sabemos que es cierto. Por lo tanto, $1$ es un conjunto transitivo.

$\square$

Ejemplo.

Sea $x=\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$. Tenemos que $x$ no es transitivo. En efecto, se tiene que $\set{\set{\emptyset}}\in x$ pero $\set{\set{\emptyset}}\not\subseteq x$ dado que $\set{\emptyset}\in \set{\set{\emptyset}}$ pero $\set{\emptyset}\notin x$. Por lo tanto, $\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$ no es un conjunto transitivo.

$\square$

Equivalencias de conjuntos transitivos

A continuación veremos algunas equivalencias para que conjunto sea transitivo.

Proposición. Sea $x$ un conjunto. Entonces, $x$ es un conjunto transitivo si y sólo si $x\subseteq \mathcal{P}(x)$.

Demostración.

Comencemos suponiendo que $x$ es transitivo. Veremos que $x\subseteq \mathcal{P}(x)$. Sea $y\in x$. Como $x$ es un conjunto transitivo, se tiene que $y\subseteq x$ y por lo tanto, $y\in \mathcal{P}(x)$. Así, $x\subseteq \mathcal{P}(x)$.

Ahora, supongamos que $x\subseteq \mathcal{P}(x)$ y veamos que $x$ es un conjunto transitivo. Sea $y\in x$. Tenemos que $y\in \mathcal{P}(x)$ y así, $y\subseteq x$. Por lo tanto, $x$ es un conjunto transitivo.

$\square$

Otra equivalencia que tendrás que demostrar como parte de los ejercicios es la siguiente.

Proposición. Un conjunto $x$ es transitivo si y sólo si $\bigcup x\subseteq x$.

Otros resultados para conjuntos transitivos

Para concluir esta entrada veremos algunos resultados para conjuntos transitivos, esta vez con respecto a la intersección y la unión.

Proposición. Si $x$ y $y$ son conjuntos transitivos, entonces $x\cap y$ es un conjunto transitivo.

Demostración.

Sean $x$ y $y$ conjuntos transitivos. Veamos que $x\cap y$ es un conjunto transitivo, es decir, para cada $z\in x\cap y$ se cumple que $z\subseteq x\cap y$.

  1. Como $x$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in x$ se cumple que $z\subseteq x$.
  2. Como $y$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in y$ se cumple que $z\subseteq y$.

De $1$ y $2$ podemos concluir que para cualquier $z\in x\cap y$ se satisface que $z\subseteq x\cap y$. Por lo tanto, $x\cap y$ es transitivo.

$\square$

Hay una segunda demostración de la proposición anterior, usando álgebra de conjuntos y la primera caracterización de la sección anterior.

Demostración. Como $x$ y $y$ son transitivos, tenemos que $x\subseteq \mathcal{P}(x)$ y $y\subseteq \mathcal{P}(y)$. Así, por propiedades que hemos demostrados de intersección, $$x\cap y \subseteq \mathcal{P}(x) \cap \mathcal{P}(y) \subseteq \mathcal{P}(x\cap y).$$

Así, $x\cap y \subseteq \mathcal{P}(x\cap y)$ y por lo tanto $x\cap y$ es transitivo.

$\square$

La transitividad también se preserva al unir conjuntos.

Proposición. Si $x$ y $y$ son conjuntos transitivos, entonces $x\cup y$ es un conjunto transitivo.

Demostración.

Sean $x$ y $y$ conjuntos transitivos. Veamos que $x\cup y$ es un conjunto transitivo, es decir, para cada $z\in x\cup y$ se cumple que $z\subseteq x\cup y$.

  1. Como $x$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in x$ se cumple que $z\subseteq x$.
  2. Como $y$ es un conjunto transitivo, entonces para cualquier $z\in y$ se cumple que $z\subseteq y$.

De $1$ y $2$ podemos concluir que para cualquier $z\in x\cup y$ se satisface que $z\subseteq x\cup y$. Por lo tanto, $x\cup y$ es transitivo.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitira reforzar el concepto de conjunto transitivo.

  1. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son transitivos?
    1. $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$,
    2. $\set{\set{\emptyset}}$,
    3. $\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$.
  2. Verifica que, por definición, cada uno de los conjuntos $0,1,2,3,4$ que ya definimos son transitivos.
  3. Demuestra que $(\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}, \in)$ es un conjunto totalmente ordenado.
  4. Demuestra que $x=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ tiene elemento máximo y elemento mínimo en el orden $\in_x$.
  5. Demuestra la segunda equivalencia de la sección de conjuntos transitivos, es decir, que $x$ es transitivo si y sólo si $\bigcup x\subseteq x$.
  6. Si $x$ y $y$ son conjuntos transitivos, ¿será cierto que $x\setminus y$ siempre es un conjunto transitivo?, ¿será cierto que $x\triangle y$ siempre es un conjunto transitivo? Da una demostración o encuentra un contraejemplo en cada caso.

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos la definición formal y rigurosa de qué es un número natural. Además demostraremos algunas de sus propiedades.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»