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Álgebra Superior II: La relación de orden en los naturales

Introducción

Seguramente desde que construimos de forma intuitiva el conjunto de números naturales, te diste cuenta de que nuestra forma de generar nuevos números a través de la función sucesor, nos daba una jerarquía de qué número natural iba primero, y quien era el que inmediatamente le seguía. Así, el primer natural debería de ser el $0$, el cual debería ser menor a todos los demás. Después, seguiría $\sigma(0)=1$ el cual debería ser menor al sucesor de cualquier otro número. Este razonamiento podría seguir de forma inductiva para los demás números.

En esta entrada abordaremos el problema de cómo organizar el conjunto de naturales. Hay varias formas de definir esta relación. Pero el trabajo que realizamos en las dos entradas pasadas nos permitirá atacar dos problemas de manera sencilla: el de definir el orden en $\mathbb{N}$ y el de demostrar sus propiedades.

El orden parcial en $\mathbb{N}$

Recordemos que si $n$ es un número natural distinto de cero, entonces $n=\{0,1,…,n-1\}$. Entonces de forma intuitiva podemos afirmar que cada número natural tienen por elementos a todos los naturales «menores» a él. Usando esta idea, podemos dar las siguientes dos definiciones.

Definición. Si $n,m\in \mathbb{N}$, decimos que $n$ es menor que $m$, en símbolos, $n<m$ si $n\in m$.

Definición. Si $n,m\in \mathbb{N}$, decimos que $n$ es menor o igual que $m$, en símbolos $n\leq m$ si $n\in m$ o $n=m$.

Antes de lanzarnos a probar propiedades de estas relaciones, comenzaremos con verificar la segunda de ellas define un orden parcial.

Teorema. La relación $\leq$ es un orden parcial en $\mathbb{N}$.

Demostración. Recordemos que según la definición de orden parcial, debemos probar que $\leq$ es reflexiva, transitiva y antisimétrica, hagamos esto por pasos.

$\leq$ es reflexiva: Si $m$ es un natural, tenemos que $m=m$, por lo que por nuestra definición, podemos escribir que $m\leq m$.

$\leq$ es transitiva: Sean $n,m,l$ naturales tales que $n\leq m$ y $m\leq l$. Debemos demostrar que $n\leq l$. Si $n=m$ o $m=l$ la conclusión es inmediata de las hipótesis. En otro caso, tenemos que que $n\in m$ y $m\in l$. Como $l$ es un número natural, es un conjunto transitivo, entonces $n\in l$, por lo que $n\leq l$.

$\leq$ es antisimétrica: Si $n,m$ son naturales tales que $n\leq m$ y $m\leq n$, debemos demostrar que $n=m$. Para ver esto, procedamos por contradicción. Supongamos que no son iguales, entonces $n\in m$ y $m\in n$. Pero como ya hemos mencionado anteriormente, el hecho de que dos conjuntos pertenezcan mutuamente al otro es contradictorio con el axioma de regularidad. Entonces debe suceder que $n=m$ como queríamos.

$\square$

Propiedades del orden en los naturales

Ya mostramos que $\leq$ es un orden parcial en $\mathbb{N}$. Probemos otras propiedades que esperamos que satisfaga. Empezamos con la que mencionamos en la introducción de la entrada.

Teorema. $0\leq n$ para todo natural $n$

Demostración. Si $n=0$, el resultado se sigue de manera automática. Si $n\neq 0$, el resultado se sigue de que ya demostramos que $0$ está en cada natural distinto de $0$.

$\square$

La siguiente propiedad que probaremos es que la función sucesor sí preserva el orden que definimos.

Teorema. Si $n,m\in\mathbb{N}$ y $n<m$, entonces $\sigma(n)<\sigma(m)$

Demostración. Procedamos por inducción sobre $m$. Para el caso base debemos probar que la afirmación $n<0\Rightarrow\sigma(n)<0$, es verdadera. Sin embargo, el antecedente siempre es falso, ya que $n<0$ quiere decir que $n\in\emptyset$ lo cual es absurdo. Como el antecedente siempre es falso, entonces la base de inducción es verdadera.

Supongamos que para alguna $m$ se tiene que si $n<m$, entonces $\sigma(n)< \sigma(m)$. Debemos probar que el resultado es cierto para $\sigma(m)$. Supongamos entonces que $n<\sigma(m)$. Debemos probar que $\sigma(n)<\sigma( \sigma(m))$.

Como $n<\sigma(m)$, tenemos que $n\in \sigma(m)=m\cup \{m\}$, así que tenemos dos casos: $n\in m$ o $n\in\{m\}$.

Si $n\in m$, por hipótesis inductiva $\sigma(n)\in \sigma(m)$. Como $\sigma(m)\in \sigma(\sigma(m))$ y los naturales son transitivos, tenemos $\sigma(n)\in \sigma(\sigma(m))$, es decir, $\sigma(n)< \sigma(\sigma(m))$, como queríamos.

Finalmente, si $n\in \{m\}$, entonces $n=m$, pero así $\sigma(n)=\sigma(n)\in \sigma(\sigma(m))$, de modo que $\sigma(n)<\sigma(\sigma(m))$, como queríamos.

$\square$

El orden en los naturales es total

De entre los órdenes parciales hay un tipo de órdenes especiales: aquellos en los que cualesquiera dos elementos se pueden comparar. A estos se les conoce como órdenes totales. Los resultados de esta sección muestran que la relación $\leq$ en $\mathbb{N}$ es un orden total.

Un paso intermedio para demostrar esto es ver que si un número natural es menor que otro, entonces la función sucesor «no nos puede llevar muy lejos».

Teorema. Si $n,m$ son naturales tales que $m<n$, entonces se tiene que $\sigma(m)\leq n$

Demostración. La hipótesis es imposible cuando $n=0$, pues no hay ningún natural menor a cero. Así, $n$ debe ser sucesor de algún otro natural, digamos $n=\sigma(k)$.

De $m<\sigma(k)$ tenemos que $m\in k\cup \{k\}$, así que $m\in k$, o $m=k$. Si $m\in k$, entonces $m<k$ y por el teorema anterior tenemos que $\sigma(m)<\sigma(k)=n$. Si $m=k$, entonces $\sigma(m)=\sigma(k)=n$. En cualquier caso tenemos $\sigma(m)\leq n$.

$\square$

El anterior teorema es equivalente a la afirmación siguiente

Corolario. Si $n,m\in\mathbb{N}$, son tales que $m<n$ pero es falso que $\sigma(m)< n$, entonces $\sigma(m)=n$.

En estos momentos es conveniente regresar a leer las dos pruebas de los teoremas anteriores, y notar que en las demostraciones, cuando suponíamos que era falso que $n<m$ nunca supusimos que $n\geq m$. Sólo apelábamos directamente a la negación de la definición. Haber usado $n\geq m$ hubiera sido un error. En primer lugar, porque aún no hemos definido el símbolo $\geq$. Y en segundo lugar, porque aún no hemos descartado una cuarta posibilidad: que $n$ y $m$ no sean comparables. En realidad esto es imposible, pero hay que demostrarlo. En $\mathbb{N}$ el orden es total y de hecho satisface la propiedad de tricotomía que enunciamos a continuación.

Teorema. Para cualesquiera $n$ y $m$ naturales se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones

  • $n=m$
  • $n< m$
  • $m< n$

Demostración. Ya hemos demostrado mediante el axioma de regularidad que estas proposiciones son mutuamente excluyentes. Sólo queda demostrar que siempre sucede por lo menos una de ellas. Demostraremos esto por inducción sobre $n$.

El caso base se reduce a probar que para cualquier $m$, se tiene que $0=m$, $0\in m$ o $m\in 0$. El primer teorema que probamos muestra que siempre se da la primera o la segunda opción.

Supongamos ahora que el resultado es cierto para alguna $n$. Debemos probarlo para $\sigma(n)$. Entonces sea $m\in\mathbb{N}$ arbitrario. Por hipótesis de inducción, $m$ es comparable con $n$, entonces podemos considerar tres casos:

$m=n$. Este caso es trivial porque entonces $m\in\sigma(n)$.

$m< n$. De nuevo tenemos que $m\in n\in \sigma(n)$, y por transitividad (del orden o de los conjuntos), tenemos que $m\in\sigma(n)$.

$n< m$. Por el teorema anterior, tenemos que en este caso, $\sigma(n)<m$ ó $\sigma(n)=m$.

De cualquier forma $\sigma(n)$ y $m$ son comparables. Esto termina la demostración.

$\square$

Para finalizar, hacemos la observación de que definir los símbolos $>$ y $\geq$ en $\mathbb{N}$ es sencillo. Simplemente, diremos que $n\geq m$ cuando $m\leq n$. Así mismo, diremos que $n>m$ cuando $m<n$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  • Demuestra que si $n\leq m$, entonces $n<\sigma(m)$.
  • Prueba que $n\leq m$ si y sólo si $n\subseteq m$.
  • Generaliza el teorema de que $\in$ define un orden en $\mathbb{N}$, a que $\in$ define un orden en cualquier conjunto transitivo.
  • Demuestra que $\leq$, restringido a $n \times n$ es un orden total en el conjunto $n$.
  • Encuentra un conjunto $A$ con tantos elementos como números naturales y una forma de ordenarlo linealmente, tal que $A$ tiene elemento máximo.

Más adelante

Ya empezamos a probar las propiedades del orden en $\mathbb{N}$. Sin embargo, falta ver una de las más importantes: el principio del buen orden. Esta lo veremos en la entrada siguiente. También veremos que, en cierto sentido, es equivalente al principio de inducción.

Otra cosa más que falta es ver que el orden que definimos «se comporta bien» con las operaciones de suma y producto en $\mathbb{N}$. Esto resultará de suma importancia para entradas posteriores.

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Álgebra Superior II: Conjuntos transitivos

Introducción

En las últimas cuatro entradas hemos visto al conjunto de números naturales como elementos del conjunto $\mathbb{N}$. Sin embargo, no debemos olvidar que los números naturales son también conjuntos. Y al ser conjuntos, cada uno de los naturales tiene unos ciertos elementos que los caracterizan de forma unívoca.

Pensando en esto, recordemos el ejercicio 5 de la Tarea moral de las notas sobre la Construcción de los naturales:

Problema. Muestra que si $n\neq 0$, entonces $n=\{0,1,2,…,n-1\}$.

En otras palabras, como conjunto, cada natural consiste exactamente de los números naturales anteriores. Antes de empezar a leer esta entrada, y si aún no lo has hecho, te invitamos a intentar este problema. Aunque comenzaremos la siguiente sección dando una prueba, es bueno que intentes familiarizarte por tu cuenta con lo que será necesario hacer pues dicho resultado será importante para la teoría que veremos en esta entrada.

Dos propiedades de los números naturales

Para empezar, y por la importancia de la aseveración, probamos justo el ejercicio comentado en la introducción. Primero, notemos que como en la hipótesis se pide que $n\neq0$, entonces tiene sentido hablar del número $n-1$. Aunque no hemos definido a la resta en los números naturales, podemos definir a esta expresión como el único número $m$ tal que $\sigma(m)=n$

Teorema. Si $n\neq 0$, entonces $n=\{0,1,2,…,n-1\}$.

Demostración. Procedamos por inducción sobre $n$. Como el resultado es a partir de $1$, la base inductiva corresponde al caso $n=1$. Este caso es claro, ya que por definición,
\begin{align*}
1&=\sigma(0)\\&=\sigma(\emptyset)\\&=\emptyset\cup\{\emptyset\}\\&=\{0\}.
\end{align*}

Supongamos que para alguna $n$, se tiene que $n=\{0,1,…,n-1\}$, y probemos que el resultado también es cierto para $\sigma(n)$. Para ello, se usa la siguiente cadena de igualdades, en la cual te invitamos a pensar por qué se da cada igualdad: $$\sigma(n)=n\cup\{n\}=\{0,1,…,n-1\}\cup\{n\}=\{0,1,…,n-1,n\}.$$

Esto termina el paso inductivo y por lo tanto la demostración.

$\square$

Consideremos un número natural y ocupemos este resultado para examinarlo como conjunto. Para no hacer la notación muy larga, veamos como ejemplo al $4$. Por el teorema anterior, tenemos que
\begin{align*}
4&=\{0,1,2,3\}\\&=\{\emptyset,\{0\},\{0,1\},\{0,1,2\}\}.
\end{align*}

Analizando cada elemento del conjunto $4$, podemos ver que cada uno de los elementos (ya expandidos) de nuestro conjunto, es a su vez un subconjunto del $4$. Por ejemplo, uno de los elementos de $4$ es el conjunto $2=\{0,1\}$, que claramente es un subconjunto de $4$. Pensando de forma similar, no debe ser difícil convencerse, al menos de forma intuitiva, que esta propiedad será satisfecha de manera más general en los naturales.

Motivados por lo anterior, enunciamos el teorema siguiente, y damos una prueba formal usando el principio de Inducción.

Teorema. Si $n$ es un número natural y se tiene que $y\in n$, entonces $y\subseteq n$.

En este punto es muy importante recordar que $y\in n$ significa que $y$ es un elemento de $n$, mientras que $y\subseteq n$ significa que $y$ es un subconjunto de $n$, es decir, que todo elemento de $y$ también es elemento de $n$. Pasemos a la demostración.

Demostración. De nuevo procedamos por inducción. Si $n=0$, la proposición $y\in0$ es falsa, ya que $0=\emptyset$. Como el antecedente es falso, la proposición $y\in0\Rightarrow y\subseteq0$, es verdadera, y así probamos el caso base (como $y=\emptyset$, a esto también se le conoce como una prueba por vacuidad).

Supongamos que el resultado es cierto para alguna $n$, es decir que si $y\in n$, entonces $y\subseteq n$. Probemos que también es cierta la afirmación al substituir $n$ por $\sigma(n)$.

Sea $y\in \sigma(n)=n\cup\{n\}$. Por la definición de la unión hay dos casos: o bien $y\in n$, o bien $y\in \{n\}$.

Tratemos el primer caso. Si $y\in n$, entonces por la hipótesis de inducción, tenemos que $y\subseteq n$, pero por definición de $\sigma(n)$ tenemos que $n\subseteq \sigma(n)$. Como la contención de conjuntos es transitiva, concluimos que $y\subseteq \sigma(n)$.

El caso restante es $y\in\{n\}$. En este caso, el único elemento en el conjunto del lado derecho es $n$, así que debe suceder que $y=n$. De aquí es inmediata la contención buscada, pues $y=n\subseteq \sigma(n)$. En cualquier caso, obtenemos lo que que queremos. Así la inducción y la prueba concluyen.

$\square$

Conjuntos transitivos y un ejemplo

Nota que la propiedad de un conjunto $X$ si $y\in X$ entonces $y\subseteq X$, es equivalente a la propiedad de que si $z\in y\in X$ entonces $z\in X$. En general, esta propiedad no se satisface para cualquier conjunto. Es así que motivamos la siguiente definición.

Definición. Se dice que un conjunto $X$ es transitivo, si $Z\in Y\in X$ implica que $Z\in X$.

Los conjuntos transitivos son de suma importancia en la teoría de conjuntos, y probablemente conocerás más de ellos si llevas algún curso de esa materia. Un estudio profundo de estos conjuntos se sale de los fines de nuestro curso, pero podemos decir unas pocas cosas más. Con esta nueva definición podemos reformular el teorema de la sección anterior como sigue.

Teorema. Cada uno de los números naturales es un conjunto transitivo.

Como mencionamos, los conjuntos transitivos parecen ser una clase muy particular de conjuntos. Sin embargo, podemos mencionar otro conjunto transitivo de suma importancia: el conjunto $\mathbb{N}$. Esperamos que así como hicimos con los números naturales, puedas formarte una intuición de por qué esta afirmación es cierta, usando el teorema inicial.

Antes de dar la prueba, consideramos pertinente hacer mención de los límites del principio de inducción. En el teorema anterior, probamos que cada número natural es transitivo, nunca se probó que $\mathbb{N}$, fuese transitivo. De la misma forma, si en algún momento pruebas que una afirmación es cierta para cualquier número natural, esa misma afirmación podría dejar de ser cierta al considerar el caso de todo el conjunto $\mathbb{N}$. Encontraremos ejemplos de esto en entradas posteriores. Ahora sí, enunciamos el teorema.

Teorema: El conjunto $\mathbb{N}$ de números naturales es transitivo.

Demostración. Debemos probar que si $n\in \mathbb{N}$, entonces $n\subseteq \mathbb{N}$. Es decir, que todo número natural es un subconjunto de $\mathbb{N}$. Para esto, usaremos inducción sobre $n$.

Evidentemente la base es cierta ya que $0=\emptyset$ es un subconjunto de todo conjunto, en particular del de los naturales.

Supongamos que para un natural fijo $n$ sucede que $n\subseteq\mathbb{N}$ y a partir de ello probemos que $\sigma(n)$ también es un subconjunto de los naturales.

Para ver que esto es cierto, usamos que $\sigma(n)=n\cup \{n\}$. Esta es una unión de conjuntos, así que basta ver que cada uno está contenido en $\mathbb{N}$. Por un lado, $\{n\}$ está contenido en los naturales, ya que su único elemento es el número $n$, que está en $\mathbb{N}$. Por otro lado, por hipótesis de inducción, $n\subseteq\mathhbb{N}$. Concluimos entonces, como queríamos, que $\sigma(n)\subseteq \mathhbb{N}$.

$\square$

Nota que el teorema inicial de la sección es un refinamiento de este teorema. No sólo nos dice que los números naturales están contenidos en $\mathhbb{N}$. Además, también especifica quiénes son los elementos de $n$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  • Demuestra que $\{2,3\} $ no es un conjunto transitivo ¿Quién es el mínimo conjunto transitivo que lo contiene?
  • Prueba que si $X$ y $Y$ son transitivos, entonces $X\cap Y$ es transitivo.
  • Demuestra que si $X$ es transitivo, entonces $\bigcup X$ también es un conjunto transitivo.
  • Prueba que en general que si $X$ es transitivo, entonces $\sigma (X)$ también es transitivo.
  • Demuestra que un conjunto es transitivo si y solo si $\bigcup X\subset X$.

Más adelante

El teorema que demostramos al inicio de la entrada tendrá de nuevo mucha importancia en el siguiente tema. Aunque demostramos que cada número $n$ es el conjunto de los $n$ elementos menores que el, necesitamos definir qué significa que un conjunto tenga $n$ elementos. Motivados por esta idea, y por las características de los números naturales, definiremos también la idea de que un conjunto tenga una cantidad infinita de elementos. Veremos que, como podrás intuir, el conjunto $\mathbb{N}$ de todos los números naturales es en verdad un conjunto infinito y que en cierto sentido formal es el «más pequeño» de todos estos conjuntos.

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