Teoría de los Conjuntos I: Buenos órdenes

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción.

En esta entrada trataremos con un tipo particular de conjuntos ordenados, en donde será de mucha importancia el concepto de mínimo. Puedes recordar la definición de mínimo en la entrada Teoría de los Conjuntos I: Mínimos, máximos, minimales y maximales.

Conjuntos bien ordenados

Definición. Sea $(A,\leq)$ un conjunto parcialmente ordenado. Decimos que $A$ es un conjunto bien ordenado si cada subconjunto no vacío de $A$ tiene elemento mínimo. En este caso al orden $\leq$ se le llama buen orden.

Ejemplo.

Consideremos el conjunto $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ ordenado con la inclusión. Afirmamos que $(A,\subseteq)$ es un buen orden. En efecto: supongamos que $B\subseteq A$ es un conjunto no vacío. Tenemos distintas posibilidades para $B$ y son las siguientes: $B=\set{\emptyset}$ o bien $B=\set{\set{\emptyset}}$ o bien $B=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$.

Si $B=\set{\emptyset}$, entonces $B$ tiene mínimo y es $\emptyset$. Si $B=\set{\set{\emptyset}}$, entonces $B$ tiene mínimo y es $\set{\emptyset}$. Finalmente, si $B=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$, entones $B$ tiene mínimo y es $\emptyset$, pues $\emptyset\subseteq\emptyset$ y $\emptyset\subseteq\set{\emptyset}$.

Así, en cualquier caso $B$ tiene mínimo. Por lo tanto, $(A,\subseteq)$ es un conjunto bien ordenado.

$\square$

Agrandar un conjunto bien ordenado

El siguiente ejemplo nos dice cómo podríamos conseguir conjuntos bien ordenados paso a paso.

Ejemplo.

Consideremos $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset,\set{\emptyset}}}$. Luego, $A$ es un conjunto bien ordenado por la relación de contención. Dado que $A\notin A$, el conjunto $W=A\cup\set{A}$ es un conjunto no vacío distinto de $A$. Definamos la relación de orden $\preceq$ en $W$ como sigue: $A\preceq A$, $a\preceq A$ para todo $a\in A$ y $a_1\preceq a_2$ si y sólo si $a_1\leq a_2$ para cualesquiera $a_1,a_2\in A$ (en este caso $\leq$ es la relación de contención en $A$).

Notemos que esta nueva relación de orden definida en $W$ coincide con la relación de orden de $A$ si nos restringimos únicamente a comparar elementos de $A$.

Afirmamos que $(W,\preceq)$ es un conjunto bien ordenado. Para mostrarlo supongamos que $B\subseteq W=A\cup\set{A}$ es un conjunto no vacío y veamos que tiene mínimo en el orden $\preceq$. Si $B=\set{A}$, entonces el mínimo de $B$ es $A$.

Podemos suponer ahora que $B\cap A\not=\emptyset$. Como $B\cap A\subseteq A$ es un conjunto no vacío, entonces tiene un elemento mínimo en el orden $\leq$. Sea $b\in B\cap A$ el mínimo de este conjunto en el orden $\leq$ y veamos que $b\preceq x$ para cualquier $x\in B$. Supongamos entonces que $x\in B$ es cualquier elemento. Si $x\in B\cap A$, entonces $b\leq x$ y en consecuencia, $b\preceq x$. Si ahora $x\notin B\cap A$ se sigue que $x=A$ y, por definición de la relación $\preceq$, sabemos que $b\preceq A$, por lo que $b\preceq x$. De esta manera, $b=\min(B)$ en el orden $\preceq$.

Esto demuestra que cualquier subconjunto no vacío de $W$ tiene mínimo y, por tanto, $(W,\preceq)$ es un conjunto bien ordenado.

$\square$

Si tenemos un conjunto $A$ cualquiera, ¿será posible siempre darle un buen orden? Uno podría intentar hacer algo similar al ejemplo anterior. Comenzar con un elemento $a\in A$ e incluir a la pareja $(a,a)$ en el orden. Luego, tomar otro elemento distinto $b\in A$ y ponerlo como el elemento más grande poniendo las parejas $(a,b)$ y $(b,b)$. Y luego se podría poner un tercer elemento $c$ como el más grande, poniendo las parejas $(a,c)$, $(b,c)$, $(c,c)$. Podríamos intentar decir que se puede seguir «así sucesivamente», pero esto es informal y no está justificado por los axiomas. Aparentemente, tenemos que elegir elementos de $A$ una y otra vez para declararlos el nuevo máximo. Si $A$ es infinito, esto implica algo así como hacer una infinidad de elecciones. ¿Esto te recuerda a otros problemas que hemos enfrentado? ¡Sí! Una vez más nos encontramos con una dificultad que se superará una vez que hablemos del axioma de elección.

Bien ordenado implica totalmente ordenado

Ahora, veamos una consecuencia directa de que un conjunto sea bien ordenado.

Proposición. Si $(A,\leq)$ es un conjunto bien ordenado, entonces, $(A,\leq)$ es un conjunto totalmente ordenado.

Demostración.

Como $(A,\leq)$ es un conjunto bien ordenado, entonces, todo subconjunto no vacío de $A$ tiene elemento mínimo. Así, si tomamos dos elementos cualesquiera $a_1,a_2\in A$ se sigue que $\set{a_1,a_2}$ es un subconjunto no vacío de $A$, por lo que tiene elemento mínimo. En consecuencia, $a_1\leq a_2$ o $a_2\leq a_1$.

Esto demuestra que cualesquiera dos elementos de $A$ son $\leq-$comparables, por lo que $(A,\leq)$ es un conjunto totalmente ordenado.

$\square$

Otros cuántos resultados de buenos órdenes

Veamos ahora algunos resultados relacionados con conjuntos acotados en un conjunto bien ordenado.

Proposición. Sea $(A,\leq)$ un conjunto bien ordenado. Se cumple lo siguiente:
Si $B\subseteq A$ es un conjunto acotado superiormente, entonces, $B$ tiene supremo.

Demostración.

Sea $(A,\leq)$ un conjunto bien ordenado.
Supongamos que $B\subseteq A$ es un conjunto acotado superiormente. Sea $C=\set{a\in A:(\forall b\in B)(b\leq a)}$, el cual es un subconjunto no vacío de $A$, pues por hipótesis $B$ está acotado superiormente, es decir, existe $a\in C$.

Como $A$ está bien ordenado por $\leq$, entonces, existe el mínimo de $C$ en el orden $\leq$, es decir, existe $c\in A$ tal que $c=\min(C)$. Luego, como $c$ es el mínimo del conjunto de cotas superiores de $B$, concluimos por lo que vimos en la entrada anterior que $c=\sup(B)$.

Esto demuestra que todo subconjunto de $A$ que esté acotado superiormente tiene supremo, lo cual concluye la prueba.

Por la proposición anterior y el hecho de que todo subconjunto no vacío de un conjunto bien ordenado tiene mínimo, podemos concluir lo siguiente:

Si $(A,\leq)$ es un conjunto bien ordenado y $B\subseteq A$ es no vacío y acotado superiormente (inferiormente), entonces, $B$ tiene una mínima cota superior (máxima cota inferior).

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te ayudará a reforzar lo aprendido en esta sección:

  1. Sean $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos bien ordenados. Demuestra que el orden lexicográfico horizontal en $A\times B$ es un buen orden.
  2. Sea $(A,\leq)$ un conjunto bien ordenado. Muestra que cualquier subconjunto no vacío $B$ tiene ínfimo.
  3. Demuestra que si $A$ admite un buen orden, entonces $\mathcal{P}(A)$ admite un orden total.

Más adelante…

En la siguiente entrada comenzaremos una nueva unidad: Números naturales. Aquí comenzaremos la construcción de los números naturales.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Cotas superiores y supremos

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta entrada hablaremos acerca de cotas superiores y supremos. Así como las cotas inferiores que vimos en la entrada anterior, estos nuevos conceptos también nos permitirán acotar subconjuntos de conjuntos parcialmente ordenados.

Cotas superiores

Para comenzar esta entrada definiremos qué es una cota superior.

Definición. Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y sea $B\subseteq A$. Decimos que $a\in A$ es una cota superior de $B$ si $x\leq a$ para toda $x\in B$. Si $B$ tiene por lo menos una cota superior, diremos que $B$ está acotado superiormente.

Notemos que la definición es muy parecida al concepto de máximo, sin embargo, los conceptos difieren en que el máximo debe ser elemento del conjunto al que estamos acotando y una cota no necesariamente debe satisfacer esto. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Consideremos $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ ordenado con la inclusión. Sea $B= \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}\subseteq A$, tenemos que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\in A$ es una cota superior de $B$ pues $x\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ para todo $x\in B$, como se muestra en el siguiente diagrama:

$\square$

Ejemplo.

Consideremos $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ ordenado con la inclusión. Sea $B= \set{\emptyset, \set{\emptyset}}\subseteq A$, tenemos que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\in A$ es una cota superior de $B$ pues $x\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ para todo $x\in B$, como se muestra en el siguiente diagrama:

Además $\set{\emptyset}\in B$ también es una cota superior de $B$ pues para cada $x\in B$, $x\subseteq \set{\emptyset}$. Más aún, $\set{\emptyset}$ es el elemento máximo de $B$.

$\square$

El ejemplo anterior sugiere que la propiedad de ser máximo implica ser cota superior, pero no siempre es válido el recíproco.

De este último ejemplo podemos notar que la cota superior en un conjunto puede no ser única, y entonces podemos pensar en el conjunto que tenga a todas las cotas superiores. Esta idea junto con el concepto de mínimo motiva el concepto de supremo.

Supremos

Definición. Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y sea $B\subseteq A$. Decimos que $a\in A$ es supremo de $B$ si es el elemento mínimo del conjunto de todas las cotas superiores de $B$. Lo denotaremos por $\sup(B)$.

Ejemplo.

Retomando el ejemplo anterior, si consideramos al conjunto de todas las cotas superiores de $B$, es decir, $\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ tenemos que el supremo es $\set{\emptyset}$ pues respecto al orden de $A$ se tiene que $\set{\emptyset}\subseteq\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y por lo tanto, $\set{\emptyset}$ es el mínimo de las cotas superiores de $B$. Por lo tanto, $\set{\emptyset}= \sup(B)$.

$\square$

Teorema. Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Si $B$ tiene supremo en el orden $\leq$, entonces es único.

Demostración.

Sea $(A,\leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ no vacío. Supongamos que $B$ tiene supremo, es decir, que existe $a\in A$ de tal forma que $x\leq a$ para toda $x\in B$ y, si $b\in A$ es tal que $x\leq b$ para toda $x\in B$, entonces, $a\leq b$.

Supongamos que $a_1,a_2\in A$ son supremos de $B$. Veamos que $a_1=a_2$.

Como $a_1$ es supremo de $B$, en particular se tiene que $x\leq a_1$ para toda $x\in B$. Luego, como $a_2$ es supremo de $B$ se sigue por definición que $a_2\leq a_1$. De manera análoga, como $a_2$ es supremo de $B$, en particular se tiene que $x\leq a_2$ para toda $x\in B$ y así, como $a_1$ es supremo de $B$ se sigue por definición que $a_1\leq a_2$.

Tenemos entonces que $a_1\leq a_2$ y $a_2\leq a_1$, de donde se sigue que $a_1=a_2$, lo cual demuestra la unicidad del supremo.

$\square$

Teorema. Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Si $B$ tiene un elemento máximo $b$, entonces $b$ es el supremo de $B$.

Demostración.

Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Luego como $b\in B$ es el elemento máximo de $B$, para cualquier $x\in B$, $x\leq b$.

Sea $C$ el conjunto de todas las cotas superiores de $B$. Veamos que $b\in C$ y que $b=\min(C)$. Dado que $x\leq b$ para todo $x\in B$, $b$ es cota superior de $B$ y, por tanto, $b\in C$. Luego, si $c\in C$ es cualquier elemento, entonces $c$ es cota superior de $B$, es decir, $x\leq c$ para cualquier $x\in B$. En particular, como $b\in B$ se tiene que $b\leq c$. Esto muestra que $b=\min(C)$.

Por lo tanto, $b=\sup(B)$.

$\square$

Aún cuando ser máximo implica ser supremo, no siempre va a ocurrir que el supremo de un conjunto sea máximo, como ocurre en el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Consideremos $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ ordenado con la inclusión. Sea $B= \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}\subseteq A$, tenemos que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\in A$ es una cota superior de $B$ pues $x\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ para todo $x\in B$, como se muestra en el siguiente diagrama:

Sin embargo, $B$ no tiene máximo pues no existe $x\in B$ tal que $y\subseteq x$. En efecto, si existiera tal $x$, tendría que simultánteamente contener a $\set{\emptyset}$ y a $\set{\set{\emptyset}}$, por lo que debe tener como elementos a $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$. Pero entonces debe ser $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$, el cual no está en $B$.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te ayudará a reforzar el contenido de esta entrada y las dos anteriores.

  1. Sean $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Demuestra que si $b$ es supremo y $b\in B$, entonces $b$ es máximo de $B$.
  2. Sean $(A, \leq)$ un orden parcial y $B,C\subseteq A$ no vacíos. Si $B$ y $C$ tienen supremo y $B\subseteq C$, demuestra que $\sup(B)\leq \sup(C)$.
  3. Exhibe un conjunto que esté acotado superiormente pero que no tenga supremo.
  4. Da un ejemplo de un conjunto ordenado $(A,\leq)$ en el cual se cumpla que el conjunto $\emptyset$ tiene supremo.

Más adelante…

La siguiente entrada estará dedicada a un tipo particular de conjuntos ordenados llamados buenos órdenes. Para este tema serán importantes los conceptos sobre máximos y mínimos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Cotas inferiores e ínfimos

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta entrada hablaremos acerca de cotas inferiores e ínfimos. Estos nuevos conceptos nos permitirán establecer intuitivamente qué quiere decir que un conjunto esté «limitado» una vez que hemos dado un orden.

Cotas inferiores

Para comenzar definiremos qué es una cota inferior. Notaremos que este concepto es muy parecido al de mínimo, sin embargo una cota inferior podría no ser elemento de $B$ un subconjunto de $A$. Veamos la definición.

Definición. Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y sea $B\subseteq A$. Decimos que $a\in A$ es una cota inferior de $B$ si $a\leq x$ para toda $x\in B$. Si $B$ tiene por lo menos una cota inferior, diremos que $B$ está acotado inferiormente.

Ejemplo.

Sea $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ y consideremos al conjunto parcialmente ordenado $(A, \subseteq)$. Sea $B= \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}\subseteq A$, tenemos que $\emptyset\in A$ es una cota inferior de $B$ pues $\emptyset\subseteq x$ para todo $x\in B$, como se muestra en el siguiente diagrama:

Sin embargo, podemos notar que $\emptyset\notin B$, por lo que para ser cota inferior no es necesario ser elemento de $B$, solo de $A$. Por otro lado, $\set{\emptyset}\in B$ también es una cota inferior de $B$ pues para cada $x\in B$, $\set{\emptyset}\subseteq x$. Más aún, $\set{\emptyset}$ es el elemento mínimo de $B$.

$\square$

El ejemplo anterior sugiere que la propiedad de ser mínimo implica ser cota inferior, pero no es válido el recíproco.

En este último ejemplo es posible notar que la cota inferior en un conjunto puede no ser única, y entonces podemos pensar en el conjunto que tenga a todas las cotas inferiores. Esta idea junto con el concepto de máximo motiva el concepto de ínfimo.

Ínfimos

Definición. Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y sea $B\subseteq A$. Decimos que $a\in A$ es ínfimo de $B$ si es el elemento máximo del conjunto de todas las cotas inferiores de $B$. Lo denotaremos por $\inf(B)$.

Ejemplo.

Retomando el ejemplo anterior, si consideramos al conjunto de todas las cotas inferiores de $B$, es decir, $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ tenemos que el ínfimo es $\set{\emptyset}$ pues respecto al orden de $A$, $\emptyset\subseteq \set{\emptyset}$ y por lo tanto, $\set{\emptyset}$ es el máximo de las cotas inferiores de $B$.

$\square$

Teorema. Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Si $B$ tiene ínfimo en el orden $\leq$, entonces es único.

Demostración.

Sea $(A,\leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ no vacío. Supongamos que $B$ tiene ínfimo, es decir, que existe $a\in A$ de tal forma que $a\leq x$ para toda $x\in B$ y, si $b\in A$ es tal que $b\leq x$ para toda $x\in B$, entonces, $b\leq a$.

Supongamos que $a_1,a_2\in A$ son ínfimos de $B$. Veamos que $a_1=a_2$.

Como $a_1$ es ínfimo $B$, en particular se tiene que $a_1\leq x$ para toda $x\in B$. Luego, como $a_2$ es ínfimo de $B$ se sigue por definición que $a_1\leq a_2$. De manera análoga, como $a_2$ es ínfimo de $B$, en particular se tiene que $a_2\leq x$ para toda $x\in B$ y así, como $a_1$ es ínfimo de $B$ se sigue por definición que $a_2\leq a_1$.

Tenemos entonces que $a_1\leq a_2$ y $a_2\leq a_1$, de donde se sigue que $a_1=a_2$, lo cual demuestra la unicidad del ínfimo.

$\square$

Teorema. Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Si $B$ tiene un elemento mínimo $b$, entonces $b$ es el ínfimo de $B$.

Demostración.

Sea $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Luego, si $b\in B$ es el elemento mínimo de $B$, entonces para cualquier $x\in B$, $b\leq x$.

Sea $C$ el conjunto de todas las cotas inferiores de $B$. Veamos que $b\in C$ y que $b=\max(C)$. Dado que $b\leq x$ para todo $x\in B$, $b$ es cota inferior de $B$ y, por tanto, $b\in C$. Luego, si $c\in C$ es cualquier elemento, entonces $c$ es cota inferior de $B$, es decir, $c\leq x$ para cualquier $x\in B$. En particular, como $b\in B$ se tiene que $c\leq b$. Esto muestra que $b=\max(C)$.

Por lo tanto, $b=\inf(B)$.

$\square$

Aún cuando ser mínimo implica ser ínfimo, no siempre va a ocurrir que el ínfimo de un conjunto sea mínimo, como ocurre en el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Sea $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ y consideremos al conjunto parcialmente ordenado $(A, \subseteq)$. Sea $B= \set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}\subseteq A$. Tenemos que $\emptyset \in A$ es una cota inferior de $B$ pues $\emptyset\leq x$ para todo $x\in B$, como se muestra en el siguiente diagrama:

Sin embargo, $B$ no tiene mínimo pues no existe $x\in B$ tal que $x\leq y$ para todo $y\in B$. En efecto, si existiera tal $x$ tendría que ser simultáneamente subconjunto de $\set{\emptyset}$ y de $\set{\set{\emptyset}}$. Pero el único subconjunto que comparten estos conjuntos es $\emptyset$, que no está en $B$.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te ayudará a reforzar el contenido de esta entrada y de la entrada anterior.

  1. Sean $(A, \leq)$ un orden parcial y $B\subseteq A$ un conjunto no vacío. Demuestra que si $b$ es ínfimo y $b\in B$, entonces $b$ es mínimo de $B$.
  2. Sean $(A, \leq)$ un orden parcial y $B,C\subseteq A$ no vacíos. Si $B$ y $C$ tienen ínfimo y $C\subseteq B$, demuestra que $inf (B)\leq inf (C)$.
  3. Exhibe un conjunto que esté acotado inferiormente pero que no tenga ínfimo.
  4. Da un ejemplo de un conjunto parcialmente ordenado $(A,\leq)$ en el cual se cumpla que el conjunto $\emptyset$ tiene ínfimo.
  5. Escribe las definiciones de cota inferior e ínfimo para un orden parcial estricto.

Más adelante…

La siguiente entrada estará dedicada a cotas superiores y supremos. Con esto concluiremos la sección de acotar conjuntos ordenados.

Entradas relacionadas

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Cálculo Diferencial e Integral II: Primer teorema fundamental del cálculo

Por Moisés Morales Déciga

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Introducción

Dada la introducción de la sección anterior, donde se genera la intuición de lo que son los teoremas fundamentales, podemos ahondar más en ellos.

En está primera sección tomaremos el primer teorema, que nos habla de la relación que existe entre la definición de una función integral y la derivada de esta función.

De forma económica, se dio un ejemplo que ejemplifica el efecto de aplicar la derivada al resultado de una integral, el cual podemos recordar:

\begin{align*}
\int \limits_0^x 4t^3 \ dt = x^4 ;\\
D(x^4)= 4x^3 .
\end{align*}

Recuperando dicho ejemplo, donde vimos que se recupera la función antes de aplicar la primer transformación; ahora es explicar de manera formal este efecto.

Primer teorema fundamental

El primer teorema fundamental nos da la relación entre la integral y la derivada, en ese orden.

Primero se define la integral de una función continua en un intervalo cerrado y se pide que la integral también sea continua y derivable en dicho intervalo. En caso de que se cumplan todas estas hipótesis, entonces la derivada de la integral es la función original, previo a la integral.

Entonces, prácticamente no transformaste en ningún momento la función.

Pero es importante recordar muy bien las hipótesis para poder aplicar el teorema.

Escribamos esto formalmente.

Teorema: (Primer teorema fundamental del cálculo).

Si $f$ es continua sobre un intervalo $[a,b]$; sea $G$ la función definida por:

$$G(x) = \int \limits_a^x f = \int \limits_a^x f(t) \ dt.$$

Donde $x \in [a,b]$ y $G$ es continua y diferenciable sobre $[a,b]$, entonces:

$$G'(x) = f(x), \ sobre \ [a,b].$$

Demostración.

Supongamos que $x_0 \in [a,b]$, sea $h \neq 0$, y se cumple que $ x_0 + h \in [a,b]$, entonces:

$$G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) = \int \limits_a^{x_0 + h} f(t) \ dt \ – \ \int \limits_a^{x_0} f(t) \ dt .$$

Por hipótesis, $f$ es continua sobre el intervalo, por lo tanto es integrable.

Ahora, utilizando las propiedades de los límites de integración, se puede hacer la siguiente igualdad.

$$\int \limits_a^{x_0 + h} f \ – \ \int \limits_a^{x_0} f = \int \limits_{x_0}^{x_0 + h} f .$$

De forma que la expresión queda de la siguiente manera:

$$G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) = \int \limits_{x_0}^{x_0 + h} f(t) \ dt $$

Observación: Utilizando el teorema del valor medio para la integral (se ilustra como recordatorio);

$$f(x_0) = \frac{1}{h} \int \limits_{x_0}^{x_0 + h} f(t) \ dt ,$$

Podemos escribir la función de la siguiente manera, sustituyendo en la expresión anterior:

\begin{align*}
\frac{G(x_0 + h) \ – \ G(x_0)}{h} \ – \ f(x_0) & = \frac{1}{h} \int \limits_{x_0}^{x_0 + h} [f(t) \ – \ f(x_0)] \ dt.
\end{align*}

Como se ha dicho, $f$ es continua en $x_0$, y recordando la definición de la derivada mediante épsilon y delta como sigue: «para cada $\epsilon >0$, existe un $\delta > 0$ tal que $|f(t) \ – \ f(x_0)| < \epsilon$ para todo $t \in [a,b] \cap \{ x_0 \ – \ \delta , x_0 + \delta \}$».

Se puede concluir que si $(0 < |h| < \delta)$ y $(x_0 + h \in [a,b])$ entonces implica que $|f(t) \ – \ f(x_0)| < \epsilon$ siempre que $(x_0 \leq t \leq x_0 + h)$ si $(h>0)$ ó $(x_0 + h \leq t \leq x_0)$ si $(h<0)$.

Esto quiere decir que si tenemos un valor de $h$ lo suficientemente pequeño, menor que una delta y que si consideramos un punto definido por $x_0 + h$ asegurando que se encuentra dentro de nuestro intervalo de integración; entonces la diferencia entre la función evaluada en cualquier punto $t$ y $f(x_0)$ es menor a épsilon, para cualquier punto $t$ entre $x_0$ y $x_0 + h$.

Por lo tanto, esto implica:

\begin{align*}
\left| \frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} \ – \ f(x_0) \right| & < \left| \frac{1}{h} \int \limits_{x_0}^{x_0 + h} [f(t) \ – \ f(x_0)] \ dt \right| \\ &
= \left| \frac{1}{h} \int \limits_{x_0}^{x_0 + h} \epsilon \ dt \right| = \epsilon.
\end{align*}

Siempre que $0 < |h| < \delta$ y $(x_0 + h) \in [a,b]$.

Entonces,

\begin{align*}
\left| \frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} \ – \ f(x_0) \right| & < \epsilon.
\end{align*}

Sin pérdida de generalidad, se puede ver que:

\begin{align*}
\frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} \ – \ f(x_0) < \epsilon \\
\frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} \ < \ f(x_0) + \epsilon.
\end{align*}

De forma que, al aplicar el límite haciendo que $h$ tienda a cero, recuperamos la definición de la derivada:

$$\lim_{h \to 0} \frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} = G'(x_0).$$

Entones, estamos mostrando que:

$$G'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} = f(x_0)$$

para todo $x_0 \in [a,b]$.

Si consideramos el otro valor posible de la desigualdad del valor absoluto, tenemos el siguiente caso:

\begin{align*}
\frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} \ – \ f(x_0) > – \ \epsilon \\
\ f(x_0) \ – \ \frac{ G(x_0 + h) \ – \ G(x_0) }{h} \ < \epsilon.
\end{align*}

A pesar del cambio en el signo, la demostración se sigue de forma análoga llegando al mismo resultado.

$~\square$

Ejemplo:

Sea $S(x) = \int \limits_0^3 x^2 dx$. Encuentre $S'(x)$.

Entonces, queremos la derivada de la integral de la función $f(x)=x^2$.

$$\frac{d}{dx} S(x) = \frac{d}{dx} \int \limits_0^3 x^2 dx . $$

Entonces, por el teorema fundamental del cálculo (primera parte), tenemos lo siguiente.

$$S'(x) = f(x), ~sobre ~[0,3].$$

$$ \left. S'(x) = x^2 \right]_0^3 = 3^2 – 0^2 = 9. $$

Corolario: Sea $f$ continua en $[a,b]$ y existe $g$ tal que $f = g’$, entonces:

$$ \int \limits_a^b f = g(b) \ – \ g(a) $$

Más adelante…

Acabamos de presentar formalmente y de demostrar el primer teorema fundamental del cálculo.

En resumen, este teorema nos dice que la derivada de una integral es la función original, siempre y cuando la función es continua y la integral es continua y derivable.

Entonces, cuando tenemos este tipo de funciones, las transformaciones si son funciones inversas, prácticamente no estamos modificando la función al hacerla pasar por estos procesos.

Esto es útil cuando tenemos funciones que sabemos que provienen de una integral y que queremos derivar, pero que su proceso de cálculo tradicional o, coloquialmente, al momento de arrastrar el lápiz el desarrollo puede ser engorroso. Pero al saber su origen o de donde proviene, el procedimiento se simplifica.

En la siguiente entrada veremos la segunda parte del teorema fundamental. Sería la contraposición al teorema que acabamos de analizar.

Si en este partimos de la integral hacia la derivada, en el siguiente que vamos a ver será a partir de la derivada para terminar con la integral.

Tarea moral

  1. Demuestra el Corolario presentando en la parte anterior.
  2. Encuentra las derivadas de las siguientes funciones.
    • $G(x)=\int \limits_0^x \sqrt{1 + t^2}dt.$
    • $G(x)= \int \limits_a^{x^3} sin^3(t) dt .$
    • $G(x)= \int \limits_a^{x^4} sec(t) dt.$
    • $G(x)= \int \limits_1^x \frac{1}{t^3+1}dt .$
    • $G(x)= \int \limits_1^{1-3x} \frac{u^3}{u^2+1}dt .$
  3. Suponga una función $F (x) = \int \limits_1^{\sqrt x} sen(t) \ dt$. Calcule la derivada de $F'(x)$. Observación: utilizar la regla de la cadena.
  4. Suponga una función $F (x) = \int \limits_{x}^{2 x} t^3 \ dt$. Calcule la derivada de $F'(x)$. Observación: utilizar la regla de la cadena y propiedades de la integral, debido a que ambos límites son variables.

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Teoría de los Conjuntos I: Mínimos, máximos, minimales y maximales

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

Una vez que se le ha dado un orden a los elementos de un conjunto, podemos decir más acerca de ellos. En esta entrada hablaremos de aquellos elementos con características especiales, según sean éstas los llamaremos mínimos, máximos, minimales o maximales.

Mínimos y máximos

Comenzaremos definiendo a los mínimos y máximos en un conjunto parcialmente ordenado.

Definición. Sea $\leq$ un orden parcial en $A$ y sea $B\subseteq A$. Decimos que $b\in B$ es elemento mínimo de $B$ en el orden $\leq$ si para cualquier $x\in B$, se tiene que $b\leq x$.

Ejemplo.

Consideremos $A= \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ y sea $\subseteq_A$ la relación de contención en $A$. Si consideramos $A\subseteq A$, tenemos que $\emptyset$ es elemento mínimo pues para cada elemento de $A$, se tiene que $\emptyset$ está por debajo o es igual. Más explícitamente, $\emptyset\subseteq \emptyset$, $\emptyset\subseteq \set{\emptyset}$ y $\emptyset\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, como se muestra en el siguiente diagrama:

4$\square$

Definición. Sea $\leq$ un orden parcial en $A$ y sea $B\subseteq A$. Decimos que $b\in B$ es elemento máximo de $B$ en el orden $\leq$ si para cualquier $x\in B$, se tiene que $x\leq b$.

Ejemplo.

Consideremos $A= \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ y sea $\subseteq_A$ la relación de contención en $A$. Si consideramos $A\subseteq A$, tenemos que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ es elemento máximo pues para cada elemento de $A$, se tiene que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ esta por encima o es igual a ellos. Más explícitamente, $\emptyset\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, $\set{\emptyset}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ como se muestra en el siguiente diagrama:

$\square$

Minimales y maximales

Definición. Sea $\leq$ un orden parcial en $A$ y sea $B\subseteq A$. Decimos que $b\in B$ es elemento minimal de $B$ en el orden $\leq$ si no existe $x\in B$ tal que $x\leq b$ y $x\not=b$.

Ejemplo.

Consideremos $A= \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ y sea $\subseteq_A$ la relación de contención en $A$. Si consideramos $A\subseteq A$, tenemos que $\emptyset$ es elemento minimal pues no existe $x\in B$ tal que $x\subseteq \emptyset$ y $x\not=\emptyset$.

$\square$

Definición. Sea $\leq$ un orden parcial en $A$ y sea $B\subseteq A$. Decimos que $b\in B$ es elemento maximal de $B$ en el orden $\leq$ si no existe $x\in B$ tal que $b\leq x$ y $x\not=b$.

Ejemplo.

Consideremos $A=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ y sea $\subseteq_A$ la relación de contención en $A$. Si consideramos $A\subseteq A$, tenemos que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ es elemento maximal pues no existe $x\in B$ tal que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\subseteq x$ y $x\not=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$.

$\square$

Diferencias entre las definiciones

Podemos preguntarnos si la definición de minimal es equivalente a la de mínimo o si la de maximal es equivalente a la de máximo. Sin embargo, va a resultar que las definiciones de minimal y maximal son más débiles que las de mínimo y máximo, respectivamente. Veamos el siguiente ejemplo que muestra que pueden existir elementos minimales sin que haya un elemento mínimo.

Ejemplo.

Consideremos el conjunto parcialmente ordenado $(\set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}, \subseteq)$. Veamos el siguiente diagrama:

En la imagen anterior podemos notar que $\set{\emptyset}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $\set{\set{\emptyset}}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y que éstas son las únicas relaciones posibles por la definición de contención. Luego, $\set{\emptyset}$ y $\set{\set{\emptyset}}$ son minimales pues no existe $x\in \set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ tal que $x\subseteq \set{\emptyset}$ y $x\not=\set{\emptyset}$ ni $x\subseteq \set{\set{\emptyset}}$ y $x\not=\set{\set{\emptyset}}$.

Además, $\set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ no tiene elemento mínimo pues de existir $x\in \set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$ tal que $x\subseteq y$ para todo $y\in \set{\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$, en particular, se tendría que $x\subseteq \set{\emptyset}$. Luego, el único elemento $x$ con esta propiedad en el conjunto $\set{\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}},\set{\emptyset,\set{\emptyset}}}$ es $\set{\emptyset}$ y en consecuencia, $x=\set{\emptyset}$. Por otro lado, por ser $x$ mínimo se tendría que $x\subseteq \set{\set{\emptyset}}$, y así $\set{\emptyset}\subseteq \set{\set{\emptyset}}$, es decir, $\set{\emptyset}\subseteq\set{\set{\emptyset}}$, lo cual no es verdad. Por lo tanto, no existe un mínimo en el conjunto $ \set{\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}},\set{\emptyset,\set{\emptyset}}} $.

$\square$

De este ejemplo podemos concluir que aunque un conjunto tenga minimal no necesariamente tendrá mínimo. Esto se debe a que en un conjunto puede existir más de un elemento minimal y en cambio, si un conjunto tiene mínimo, entonces éste resulta ser único, como demostraremos a continuación.

Proposición. Sea $(A, \leq)$ un orden parcial. Si $b\in A$ es mínimo, entonces es único.

Demostración.

Sea $b\in A$ un elemento mínimo, entonces $b\leq a$ para cualquier $a\in A$. Supongamos que $c\in A$ también es elemento mínimo, así, $c\leq a$ para cualquier $a\in A$. Como $b\in A$, entonces $c\leq b$ y de manera similar, $b\leq c$, pues $c\in A$. Por lo tanto, $b=c$ por la antisimetría de $\leq$ en $A$.

$\square$

Dado que el elemento mínimo de un orden parcial $(A,\leq)$ es único, le podemos asignar una notación y lo vamos a denotar como $\min(A)$.

Ahora, veamos el siguiente ejemplo que muestra que pueden existir elementos maximales sin que haya un elemento máximo.

Ejemplo.

Consideremos el conjunto parcialmente ordenado $(\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}, \subseteq)$. Veamos el siguiente diagrama:

En la imagen anterior podemos notar que $\emptyset\subseteq \set{\emptyset}$ y $\emptyset\subseteq \set{\set{\emptyset}}$ y que estás son las únicas relaciones posibles por la definición de contención. Luego, $\set{\emptyset}$ y $\set{\set{\emptyset}}$ son maximales pues no existe $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$ tal que $\set{\emptyset}\subseteq x$ y $x\not=\set{\emptyset}$ y $\set{\set{\emptyset}}\subseteq x$ y $x\not=\set{\set{\emptyset}}$, respectivamente.

Notemos también que $\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$ no tiene elemento máximo pues de existir $x\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}} $ tal que $y\subseteq x$ para todo $y\in \set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$, se tendría en particular que $\set{\emptyset}\subseteq x$, de donde se sigue que $x=\set{\emptyset}$, pues este es el único elemento con tal propiedad en el conjunto $\set{\emptyset,\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}$. Luego, como $x=\set{\emptyset}$ es máximo se sigue que $\set{\set{\emptyset}}\subseteq\set{\emptyset}$, es decir, $\set{\set{\emptyset}}\subseteq\set{\emptyset}$, lo cual no es verdad. Por lo tanto, el conjunto $\set{\emptyset,\set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}$ no tiene elemento máximo.

$\square$

De este ejemplo podemos concluir que aunque un conjunto tenga elementos maximales no necesariamente tendrá máximo. Esto se debe a que puede existir más de un elemento maximal y, si un conjunto tiene máximo, éste resulta ser único.

Proposición: Sea $(A, \leq)$ un orden parcial. Si $b\in A$ es máximo, entonces es único.

Demostración.

Sea $b\in A$ un elemento máximo, entonces $a\leq b$ para cualquier $a\in A$. Supongamos que $c\in A$ también es elemento máximo, así, $a\leq c$ para cualquier $a\in A$. Como $b\in A$, entonces $b\leq c$ y de manera similar, $c\leq b$, pues $c\in A$. Por lo tanto, $b=c$ por la antisimetría de $\leq$ en $A$.

$\square$

Dado que el elemento máximo de un orden parcial $(A,\leq)$ es único, le podemos asignar una notación y lo vamos a denotar como $\max(A)$

Máximo y maximal en un orden total

Ya vimos que los conceptos de elemento máximo y maximal en un orden parcial no coinciden en general, sin embargo, podríamos preguntarnos si esto mismo sucede en un orden total. En el siguiente lema veremos que en un orden total de hecho sí coinciden.

Lema: Sea $(A, \leq)$ un orden total. Entonces, $b$ es elemento maximal de $A$ si y sólo si $b$ es elemento máximo de $A$.

Demostración.

Sea $(A,\leq)$ un orden total. Supongamos que $b\in A$ es un elemento maximal. Sea $a\in A$. Luego, por ser $(A,\leq)$ un orden total, $a\leq b$ o $b\leq a$. Si $b\leq a$, entonces, $a=b$ por ser $b$ elemento maximal, de modo que las condiciones $a\leq b$ o $b\leq a$ pueden ser escritas como $a\leq b$ o $a=b$, es decir, $a\leq b$. Por lo tanto, para cada $a\in A$, $a\leq b$ y, en consecuencia, $b=max(A)$.

Si ahora suponemos que $b\in A$ es elemento máximo, entonces, no existe $a\in A$ con $b\leq a$ y $b\not=a$, de lo contrario $b$ no sería máximo. Por lo tanto, $b$ es elemento maximal. Por lo tanto, $b$ es maximal si y sólo si $b$ es máximo.

$\square$

Definiciones para órdenes estrictos

Definición. Sea $<$ un orden estricto en $A$ y sea $B\subseteq A$. Decimos que $b\in B$ es elemento mínimo de $B$ en el orden $<$ si para cualquier $x\in B\setminus\set{b}$, $b<x$.

Definición. Sea $<$ un orden estricto en $A$ y sea $B\subseteq A$. Decimos que $b\in B$ es elemento máximo de $B$ en el orden $<$ si para cualquier $x\in B\setminus\set{b}$, $x<b$.

Definición. Sea $<$ un orden estricto en $A$ y sea $B\subseteq A$. Decimos que $b\in B$ es elemento minimal de $B$ en el orden $<$ si no existe $x\in B$ tal que $x< b$.

Definición. Sea $<$ un orden en $A$ y sea $B\subseteq A$. Decimos que $b\in B$ es elemento maximal de $B$ en el orden $<$ si no existe $x\in B$ tal que $b< x$.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el tema de esta sección:

Sea $(A, \leq)$ un conjunto parcialmente ordenado. Demuestra que si $A$ tiene máximo, entonces tiene maximal.

Sea $(A, \leq)$ un conjunto parcialmente ordenado. Demuestra que si $A$ tiene mínimo, entonces tiene minimal.

Muestra que si $(A,\leq)$ es un conjunto totalmente ordenado y $A$ tiene un elemento minimal, entonces es único.

Más adelante…

En la siguiente entrada seguiremos hablando de elementos con características especiales en un conjunto según estén ordenados. Hablaremos acerca de las cotas superiores e inferiores, así como de supremos e ínfimos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»