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Geometría Moderna II: Los Diez Problemas de Apolonio

Por Armando Arzola Pérez

2 respuestas

Introducción

Un problema clásico de la geometría es el Problema de Apolonio el cual enuncia:

Encontrar una circunferencia dado tres condiciones, las cuales pueden surgir de lo siguiente:

  1. La circunferencia pasa por uno o más puntos «P»
  2. La circunferencia es tangente a una o más líneas «L»
  3. La circunferencia debe de ser tangente a uno o más círculos «C»

De lo anterior nacen los 10 Problemas de Apolonio (Las soluciones se darán a partir de construcciones).

Los Diez Problemas de Apolonio

Problema 1. Construir una circunferencia que pase por tres puntos dados (PPP).

Construcción. Dados tres puntos $A$, $B$ y $C$, de los cuales podemos formar un triángulo $\triangle ABC$. Trazando las mediatrices de cada lado encontraremos el circuncentro «$O$», que resulta ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $\triangle ABC$. De esta forma podemos dibujar la circunferencia $C(O,r)$.

$\square$

Problema 2. Construir una circunferencia que pase por dos puntos dados y tangente a una recta dada (PPL).

Construcción. Sean $A$ y $B$ dos puntos dados y $r$ una recta tangente a la circunferencia buscada.

El centro de la circunferencia buscada $C$ debe estar ubicada en la mediatriz del segmento $AB$, por ello dibujemos la mediatriz a través del arco de dos circunferencias con centro $A$ y centro $B$ las cuales se intersecan y se puede trazar la mediatriz.

Ahora tomamos un punto «$D$» de la mediatriz, del cual lo tomamos como centro de una circunferencia $C_1$ que pase por $A$ y $B$. También trazamos el segmento $AB$ que corte $r$ en $C$.

Debemos de encontrar una recta tangente a $C_1$ y que pase por el punto $C$. Por ello unimos $DC$ y sacamos la mediatriz con centro $E$, trazamos la circunferencia $C_2$ que interseca a $C_1$ en dos puntos del cual solo nos interesa uno que es $F$ y al unirlo con $C$ este forma una recta tangente a $C_1$.
Por ahora tenemos por potencia $CA * CB = CF^2$.

Ahora trazamos el arco de circunferencia con centro $C$ y radio $CF$ que corta a la recta $r$ en dos puntos $T_1$ y $T_2$ cumplen $CA * CB =CF^2 =CT_1^2 = CT_2^2$ perpendiculares por $T_1$ y otra por $T_2$, y cortan a la mediatriz $AB$.
Y en esas intersecciones van a estar los centros de las circunferencias que pasan por $A$, $B$ y tangentes a $r$.

$\square$

Problema 3. Construir una circunferencia tangente a dos líneas dadas y que pasa por un punto (PLL).

Construcción. Sean $l_1$ y $l_2$ dos rectas dadas y $P$ un punto dado, notemos que el centro de la circunferencia buscada es un punto de la bisectriz; Por otro lado, la circunferencia buscada debe contener a $P$ y $P’$ punto simétrico respecto a la bisectriz.
Si observamos tenemos el caso del problema 2 PPL, ya que tenemos dos puntos $P$ y $P’$ por los cuales pasara la circunferencia buscada, además de que es tangente a una recta $l_1$. Por tal motivo se puede seguir la misma construcción anterior para llegar a la solución.

$\square$

Problema 4. Construir un círculo tangente a tres líneas dadas (LLL).

Construcción. Sean tres rectas dadas $l_1$, $l_2$ y $l_3$, las cuales forman un triángulo $\triangle ABC$. Trazando las bisectrices de los ángulos internos del triángulo $\triangle ABC$ se intersecan en un único punto $O$.
El punto $O$ es el centro de la circunferencia inscrita del triángulo $\triangle ABC$ , ahora trazamos las perpendiculares por $O$ a cada lado y encontraremos el radio $OS$ el cual nos da la circunferencia tangente a $l_1$, $l_2$ y $l_3$.

$\square$

Problema 5. Construye una circunferencia pasando por dos puntos dados y tangente a un círculo dado (PPC).

Construcción. Existen varios casos para este problema, en este caso tomaremos a los puntos $A$ y $B$ fuera de la circunferencia dada $C(O,r)$.
Trazamos la mediatriz de $A$ y $B$, después tomamos un punto cuál sea $x$ en la mediatriz y generamos una circunferencia con centro en $x$ y radio $A$ o $B$ y que corta a la circunferencia $C(O,r)$. Los dos puntos de intersección los llamaremos $D$ y $E$ los uniremos y prolongaremos hasta que corte a la recta $AB$, el punto de intersección será $F$.

Unimos $F$ con $O$ y sacamos su mediatriz, denotamos a $G$ al punto de intersección de $FO$ con la mediatriz. Ahora trazamos la circunferencia con centro $G$ y radio $O$ la cual corta a $C(O,r)$ en $H$ y $I$.

Si unimos $I$ con $O$ corta a la mediatriz $AB$ en $O_1$, el cual será el centro de la circunferencia buscada con radio $O_1I$ y por lo cual pasa por $A$, $B$ y tangente $C(O,r)$. Ocurre lo mismo si unimos $H$ con $O$, corta a la mediatriz de $AB$ en $O_2$, este sería el centro $O_2$ y radio $O_2A$, el cual genera la otra circunferencia tangente a $C(O,r)$ y pasa por $A$ y $B$.

$\square$

Problema 6. Construir una circunferencia que pase por un punto dado, tangente a una recta dada y tangente a un círculo dado (PLC).

Construcción. Para este problema 6 podemos encontrar cuatro soluciones, pero por ahora solo se dará una parte de la construcción, ya que lo demás ya se ha venido trabajando en las construcciones anteriores.
Tenemos la circunferencia $C$, el punto $P$ y la recta $r$. Trazamos una perpendicular a $r$ que pase por $C$, ahora sea $O$ el punto de corte que será el centro de inversión que convierte la circunferencia $C$ en la recta $r$, entonces los puntos $x$ y $x’$ son inversos.
Ahora debemos encontrar el punto inverso de $P$, por ello trazamos la mediatriz de $xx’$ y trazamos la mediatriz de $xP$, estas dos rectas cortan en $Y$ el cual es el centro de circunferencia que corto a $x$, $x’$ y $P$, y el punto de intersección de esta circunferencia con la recta $OP$ tendremos $P’$.

Nos daremos cuenta de que tenemos el mismo problema 2 PPL, por lo cual solo se debe seguir la misma construcción para hallar las circunferencias buscadas.

De aquí en adelante se enunciarán únicamente los problemas faltantes.

Problema 7. Construir una circunferencia que pase por un punto $P$ dado y dos círculos tangentes a esta circunferencia buscada (PCC) (4 soluciones).

Problema 8. Construir una circunferencia tangente a dos rectas dadas y a un círculo dado (LLC) (8 soluciones).

Problema 9. Construir una circunferencia tangente a una línea dada y a dos círculos dados (LCC) (8 soluciones).

Problema 10. (Problema de Apollonius) Construir una circunferencia tangente a tres círculos dados (CCC).

Más adelante…

Una vez visto el tema de Polos y Polares, es hora de realizar unos ejercicios que se dejaran, todo con el objetivo de fortalecer los temas vistos.

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Geometría Moderna II: Circunferencia Polar

Por Armando Arzola Pérez

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Introducción

Como ya se vio en la entrada anterior de Triángulo Autopolar, se puede tener un triángulo autopolar dada una circunferencia y no solo eso, sino que además se puede tener un número infinito de triángulos autopolares dada una circunferencia, pero solamente existe una circunferencia (Circunferencia Polar) de la cual un triángulo dado sea autopolar.

Circunferencia Polar

Como mencione, solo existe una circunferencia de la cual un triángulo dado sea autopolar, donde el triángulo debe de ser obtuso. Por lo cual si se cumple lo anterior se tiene una circunferencia que se denomina Circunferencia Polar del triángulo.

Construcción. Dado $A$ un punto dado y $BC$ una recta dada. Supongamos $O$ el centro de la circunferencia, dado que la polar de $B$ pasa por $A$ y perpendicular a $BO$, y la polar de $C$ pasa por $A$ y perpendicular a $CO$, entonces $O$ es el ortocentro del triángulo $\triangle ABC$.

Ahora como el polo $A$ es el vértice, y el pie de la altura $D$ el cual pertenece a la polar de $A$ son puntos inversos, entonces $r= \sqrt{AO \times DO} $, de esta forma encontramos la circunferencia polar del triángulo $\triangle ABC $ la cual es única.

Construcción Circunferencia Polar

El triángulo $\triangle ABC $ es autopolar.

$\square$

Propiedad. Cualquier circunferencia la cual tiene una cuerda como altura del triángulo es ortogonal a la circunferencia polar del triángulo.

De la construcción anterior se tiene:

Propiedad. Si un triángulo es autopolar con respecto a una circunferencia, entonces el triángulo es obtusángulo.

Demostración. Se sabe que el $\triangle ABC$ es autopolar con respecto a la circunferencia $C(O,r)$ y se tiene que $O$ es el ortocentro. Además, $OA \times OA’ = OC \times OC’ = OB \times OB’ =r^2$.

Ahora supongamos $O$ interno al triángulo $\triangle ABC$, entonces los puntos inversos de cada par estarían en lados contrarios de sus respectivas líneas respecto a $O$ centro de inversión, entonces $OA \times OA’ = OC \times OC’ = OB \times OB’ =-r^2$. Por lo cual $O$ debe de ser un punto externo al triángulo $\triangle ABC$.

Entonces $\angle BAC$ es un angulo externo a $\triangle B’BA$, entonces $\angle BAC= \angle BB’A + \angle ABB’ = \pi /2 + \angle ABB’$, se tiene que $\angle BAC > \pi /2$. Por lo tanto, el $\triangle ABC$ es obtusangulo.

$\square$

Teorema. El circuncirculo de un triángulo autopolar y su circunferencia de los nueve puntos son mutuamente inversas con respecto a la circunferencia polar.

Propiedad. Tres de los cuatro triángulos de un grupo ortocentrico son obtusos.

Circunferencia Polar triángulos Obtusos

Los triángulos $DAB$, $DBC$ y $ DCA$ son obtusos en $D$, se tienen $r_C$, $r_A$ y $r_B$ los radios de las circunferencias polares $C$, $A$ y $B$ de estos triángulos respectivamente.

Entonces se tiene $r^2_B=BA’ \times BC$ y $r^2_C=A’C \times BC$, de lo anterior se obtiene $r^2_B + r^2_C = (BA’ \times A’C) BC = BC^2$.

De esta forma las circunferencias $B$ y $C$ son ortogonales, como $A’$ y $C$ son puntos inversos con respecto a la circunferencia $B$, $A’A$ es la polar de $C$ respecto a la circunferencia $B$ y pasa por los puntos de intersección de las circunferencias $B$ y $C$, por lo cual se tiene el siguiente teorema.

Teorema. Dados los tres triángulos obtusos de un grupo ortocentrico sus circunferencias polares son ortogonales en pares, y sus puntos de intersección están en los tres lados de un cuadrángulo que pasa por el vértice común de los ángulos obtusos.

Más adelante…

Se abordarán los 10 problemas de Apolonio.

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Conjuntos anidados

Por Lizbeth Fernández Villegas

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$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción:

En esta ocasión nos vamos a fijar en colecciones de conjuntos que están contenidos unos en otros. Vamos a suponer que es una cantidad numerable de conjuntos. El primer conjunto contiene al segundo, que a su vez contiene a un tercero y así, sucesivamente.

Ahora pensemos en la intersección de todos esos conjuntos. Intuitivamente podemos visualizar que se tratará de un conjunto muy pequeño, que estará contenido en todos los demás.

Aquí tenemos un ejemplo de una sucesión de conjuntos donde los últimos términos corresponden al mismo conjunto. La intersección de todos los conjuntos es, evidentemente, ese último conjunto

Observemos la sucesión de intervalos $[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]_{n \in \mathbb{N}}.$

Nota que todos tienen como elemento al cero. Además es el único elemento que pertenece a la intersección de todos los intervalos, pues si suponemos que hay otro más, dado que $\frac{1}{n} \to 0$ es posible encontrar un intervalo suficientemente pequeño, que deje fuera este elemento.

Con un radio menor a la distancia entre $0$ y el punto rojo, este último queda fuera.

Ahora consideremos el subespacio $\mathbb{Q}$ con la métrica usual. En esta ocasión los intervalos serán $(\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}), \, n \in \mathbb{N}.$ Queda como ejercicio al lector demostrar que la intersección de estos conjuntos es vacía en $\mathbb{Q}$.

Entonces, ¿bajo qué condiciones podremos asegurar que la intersección no es vacía pese a que los conjuntos se hagan «cada vez más pequeños» y estén contenidos unos en otros? Veamos la siguiente definición:

Definición bolas encajadas: Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $(\overline{B}(x_n,\varepsilon_n))_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de bolas cerradas en $X$. Si $\forall n \in \mathbb{N}$ se cumple que $\overline{B}(x_{n+1},\varepsilon_{n+1}) \subset \overline{B}(x_{n},\varepsilon_{n})$ diremos que la sucesión $(\overline{B}(x_n,\varepsilon_n))_{n \in \mathbb{N}}$ es de bolas encajadas.

Sucesión de bolas cerradas encajadas

Proposición principio de bolas encajadas: $(X,d)$ es un espacio métrico completo si y solo si para cualquier sucesión de bolas cerradas encajadas $(\overline{B}(x_n,\varepsilon_n))_{n \in \mathbb{N}}$ cuyos radios tienden a cero, es decir $\varepsilon_n \to 0,$ se cumple que la intersección de todas las bolas cerradas es no vacía. Además $\underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, \overline{B}(x_n,\varepsilon_n) = \{x\}$ para algún $x \in X.$

Demostración:
Supongamos que $(X,d)$ es completo. Sea $(\overline{B}(x_n,\varepsilon_n))_{n \in \mathbb{N}} \,$ una sucesión de bolas encajadas. Vamos a probar primero que la sucesión de los centros de las bolas cerradas $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \,$ es de Cauchy. Sea $\varepsilon > 0,$ como $\varepsilon_n \to 0,$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \, n \geq N, \, \varepsilon_n < \frac{\varepsilon}{2}.$ Como la sucesión es de bolas encajadas, tenemos que $\forall \, l,m \geq N, \, \overline{B}(x_l,\varepsilon_l) \subset \overline{B}(x_N,\varepsilon_N)$ y $\overline{B}(x_m,\varepsilon_m) \subset \overline{B}(x_N,\varepsilon_N)$ entonces $d(x_l,x_m) \leq d(x_l,x_N) + d(x_N,x_m) \leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$ Por lo tanto $(x_n)$ es de Cauchy. Como $X$ es completo, se sigue que $x_n \to x$ para algún $x \in X$


Vamos a demostrar que $x \in \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, \overline{B}(x_n,\varepsilon_n).$ Sea $n \in \mathbb{N}.$ Como las bolas son encajadas, tenemos que $\forall k \geq n, \, B(x_k,\varepsilon_k) \subset B(x_n,\varepsilon_n)$ en consecuencia $\forall k \geq n,$ el término de la sucesión $x_k$ es elemento de $B(x_n,\varepsilon_n),$ que es un conjunto cerrado. Ya que la subsucesión formada por estos últimos términos converge en $x$ se sigue de lo que vimos en Convergencia que $x \in B(x_n,\varepsilon_n).$ Como esto ocurre $\forall n \in \mathbb{N},$ concluimos que $x \in \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, \overline{B}(x_n,\varepsilon_n).$

Además $x$ es el único punto en la intersección, pues si existe otro punto $x’ \in \underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, \overline{B}(x_n,\varepsilon_n)$ existen también bolas cerradas suficientemente pequeñas que no contienen a ambos puntos. La demostración de este hecho se deja como ejercicio.

Para el regreso buscamos demostrar que $(X,d)$ es completo. Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy.

Vamos a construir una sucesión de bolas encajadas de la siguiente forma:
Ya que la sucesión $(x_n)$ es de Cauchy, podemos afirmar que existe $N_1 \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \, n,m \geq N_1, \, d(x_n,x_m)\leq \frac{1}{2}.$ Entonces $\forall \, n \geq N_1, \, x_n \in B(x_{N_1}, \frac{1}{2}) \subset B(x_{N_1},1).$

Nuevamente, como $(x_n)$ es de Cauchy, existe $N_2 \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \, n,m \geq N_2, \, d(x_n,x_m)\leq \frac{1}{2^2}.$ Entonces $\forall \, n \geq N_2, \, x_n \in B(x_{N_2}, \frac{1}{2^2}) \subset B(x_{N_2},\frac{1}{2}).$ Nota que esta bola está contenida en la anterior.

Continuando recursivamente, la bola $k$ de la sucesión en construcción estará dada por el centro $x_{N_k}$ donde $N_k$ es tal que $\forall \, n,m \geq N_k, \, d(x_n,x_m)\leq \frac{1}{2^k}.$ Entonces $\forall \, n \geq N_k, \, x_n \in B(x_{N_k}, \frac{1}{2^k}) \subset B(x_{N_k},\frac{1}{2^{k-1}}).$

Así, la sucesión $(B(x_{N_n},\frac{1}{2^{n-1}}))_{n \in \mathbb{N}}$ es de bolas encajadas y sus radios tienden a cero. Por hipótesis sabemos que la intersección de estos conjuntos es $\{x\},$ para algún $x \in X.$ Es sencillo probar que la sucesión de centros $(x_{N_n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge en $x$ (se dejará como ejercicio). Entonces tenemos una subsucesión de la sucesión de Cauchy $(x_n)$ que es convergente y, como vimos en entrada anterior, esto demuestra que $(x_n) \to x$ por lo que $X$ es completo.

Notemos que para asegurar la contención de un conjunto en otro, necesitamos obtener información acerca de las distancias entre sus elementos. Esto motiva una definición para conjuntos más generales que una bola cerrada:

Definición diámetro de un conjunto: Sea $A \subset X$. Entonces el diámetro de $A$ se define como:
$$diam(A) = sup\{d(x_1,x_2): x_1,x_2 \in A \}$$.

Cuando el conjunto $\{d(x_1,x_2): x_1,x_2 \in A \}$ no es acotado, diremos que el diámetro es $\infty.$

Proposición: Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión en $(X,d)$ y para cada $N \in \mathbb{N}, \, X_N=\{x_k:k\geq N\}$ el conjunto de los términos de la sucesión que van a partir de $x_N.$ Entonces $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy si y solo si
$$\underset{N \to \infty}{lim}\, diam \, (X_N)=0$$

Demostración:
Supón que $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy en $X$ y sea $\varepsilon>0$. Entonces existe $K \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \, l,m \geq K, \, d(x_l,x_m)<\varepsilon$. En consecuencia $diam\,(X_K) \leq \varepsilon.$ Como para todo $L \geq K, \, (X_L) \subset (X_K)$ se sigue que para todo $L \geq K, \, diam(X_L) \leq diam(X_K) \leq \varepsilon.$ Por lo tanto $\underset{N \to \infty}{lim}\, diam \, (X_N)=0$

Ahora supongamos que $\underset{N \to \infty}{lim}\, diam \, (X_N)=0.$ Buscamos demostrar que $(x_n)$ es de Cauchy. Sea $\varepsilon >0$, como los diámetros tienden a cero, existe $K \in \mathbb{N}$ tal que en particular $(X_K)$ satisface que $diam \, (X_K) < \varepsilon.$ Entonces $\forall \, l,m \geq K, \, d(x_l,x_m) < \varepsilon$ lo cual demuestra que $(x_n)$ es de Cauchy.

Terminemos con la siguiente:

Proposición: Sean $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ una sucesión de subconjuntos cerrados de un espacio métrico completo $(X,d)$ tales que para todo $n \in \mathbb{N}, \, A_{n+1} \subset A_{n}$ y además $\underset{n \to \infty}{lim} \, diam(A_n) \to 0.$ Entonces $\underset{n \in \mathbb{N}}{\cap}A_n=\{x\}$ para algún $x \in X$).

Demostración:
Para cada $n \in \mathbb{N}$ elegimos $x_n \in A_n.$ Entonces para cada $N \in \mathbb{N}$ el conjunto $X_N$ definido en la proposición anterior está contenido en $A_N$, pues los conjuntos están anidados. En consecuencia, $diam(X_N) \leq diam(A_n) \to 0.$ La proposición anterior nos permite concluir que $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy. Como $X$ es completo, se sigue que $(x_n) \to x$ para algún $x \in X.$ Dejamos como ejercicio demostrar que $\underset{n \in \mathbb{N}}{\cap}A_n=\{x\}$.

¿Recuerdas la distancia de Hausdorff vista en La métrica de Hausdorff? Nota que si $A$ y $B$ son subconjuntos de $X$ entonces $d_H(A,B)\leq diam(A \cup B).$ En esa misma entrada vimos que conjuntos anidados convergen a la intersección de todos ellos, y que este conjunto está formado por los puntos de convergencia de sucesiones que tienen elementos en los conjuntos anidados. En entradas futuras veremos que los espacios compactos son cerrados. ¿Cómo justificarías las proposiciones vistas en esta entrada a partir de los resultados presentados en la métrica de Hausdorff?

Más adelante…

Veremos los conceptos de conjunto denso y conjunto nunca denso. Descubriremos un resultado que ha sido muy importante en el estudio de los espacios métricos completos: El teorema de Baire.

Tarea moral

  1. Sea $\mathbb{Q}$ el subespacio de $\mathbb{R}$ con la métrica usual. Demuestra que la intersección de los intervalos $[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}], \, n \in \mathbb{N}$ es vacía.
  2. Demuestra que si $x$ está en la intersección de bolas encajadas $\underset{n \in \mathbb{N}}{\cap} \, \overline{B}(x_n,\varepsilon_n)$ entonces es único.
  3. Demuestra que la sucesión de centros $(x_{N_n})_{n \in \mathbb{N}}$ de la proposición converge en $x$.
  4. Sea $A \subset X.$ Demuestra que $diam(A)=diam(\overline{A}).$
  5. Da un ejemplo de un espacio métrico completo y de una sucesión de bolas cerradas en este espacio, encajadas unas en otras que tenga intersección vacía.

Enlaces

Espacios métricos completos

Por Lizbeth Fernández Villegas

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$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

En la entrada anterior vimos que no es suficiente que una sucesión sea de Cauchy para asegurar que sea convergente. Hay espacios donde sí lo es y serán llamados «completos». Contar con este recurso nos permite solo tener que justificar que una sucesión satisface la condición de Cauchy cuando esto resulte ser más sencillo que demostrar su convergencia en un punto. Comencemos con la definición:

Definición espacio métrico completo y espacio de Banach: Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Decimos que $X$ es un espacio métrico completo si toda sucesión de Cauchy $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es convergente en $X$.
A un espacio normado que es completo con la métrica inducida por su norma le llamaremos espacio de Banach.

Ejemplos:

  1. El espacio métrico euclideano $\mathbb{R}^n$ es completo. La demostración la vimos en la sección anterior. (Sucesiones de Cauchy).
  2. Sea $X$ un conjunto no vacío con la métrica discreta. Entonces $X$ es completo. La demostración se propondrá como ejercicio.
  3. $\mathbb{R}^n$ con la métrica $d_\infty(x,y)=máx \{ |x_1-y_1|,…,|x_n-y_n| \}$ donde $x=(x_1,…,x_n)$ y $y=(y_1,…,y_n)$ es completo.

Demostración:
Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en $\mathbb{R}^n$. En la sección anterior vimos que $(x_n)$ converge en la métrica euclidiana $d_2$. Sea $x$ el punto de convergencia. En la entrada Más conceptos de continuidad vimos que $d_\infty$ y $d_2$ son métricas equivalentes, entonces para todo $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ y $c>0$ tales que para todo $n \geq N$:
$d_\infty(x_n,x)\leq c\,d_{2}(x_n,x) \leq c \frac{\varepsilon}{c}=\varepsilon$
Por lo tanto $x_n \to x$ en $(\mathbb{R}^n, d_\infty),$ lo cual demuestra que es un espacio métrico completo.

En general, la completitud no es una propiedad invariante bajo homeomorfismos. Esto es, un espacio completo puede ser homeomorfo a otro que no lo sea.

Ejemplo: El espacio euclidiano $\mathbb{R}$ es homeomorfo al subespacio $(-1,1).$

En efecto:

$$ \phi: (-1,1) \longrightarrow \mathbb R, \qquad \phi(x) = \frac{x}{1-x^2} $$

Es un homeomorfismo entre ambos espacios. No obstante la sucesión $(1- \frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}} \,$ tiene sus elementos en $(-1,1)$ y es de Cauchy pero no converge en el subespacio. Por lo tanto $(-1,1)$ no es completo pese a que $\mathbb{R}$ sí lo es.

$(-1,1)$ es homeomorfo a $\mathbb{R}$

Por otro lado, la completitud sí se conserva bajo equivalencias. (Concepto visto en Más conceptos de continuidad):

Proposición: Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos con $\phi: X \to Y$ una equivalencia entre ellos. Entonces $X$ es completo si y solo si $Y$ lo es.

Demostración:
Supongamos que $X$ es completo. Buscamos demostrar que $Y$ también lo es. Sea $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en $Y$. Como $\phi$ es equivalencia entonces $\phi^{-1}$ es lipschitz continua. Considera la sucesión $\phi^{-1}(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $X$. Dadas las hipótesis, para toda $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ y $c>0$ tales que si $n,m \geq N$ entonces:
$d_X(\phi^{-1}(y_n),\phi^{-1}(y_m))\leq c\, d_Y(y_n,y_m) \leq c \, \frac{\varepsilon}{c} = \varepsilon$ lo cual prueba que la sucesión $\phi^{-1}(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es de Cauchy en $X$, espacio que es completo, en consecuencia $\phi^{-1}(y_n) \to x$ en $X$ para algún $x \in X.$

Finalizamos aplicando $\phi$ a la última sucesión. En la entrada de Funciones continuas en espacios métricos vimos que podemos concluir que $\phi(\phi^{-1}(y_n)) \to \phi(x)$ en $Y$. Por lo tanto $(y_n)$ es una sucesión convergente lo cual demuestra que $Y$ es un espacio métrico completo.
El regreso es análogo y se propondrá como ejercicio al final de esta sección.

Proposición: Todo espacio normado de dimensión finita es de Banach.

Demostración:
Sea $V$ un espacio con norma asociada $\norm{\cdot}_V$ con dimensión finita $n$. En la entrada anterior probamos que el espacio euclideano $\mathbb{R}^n$ es de Banach. En la entrada Más conceptos de continuidad probamos que la norma $\norm{\cdot}_2$ es equivalente a $\norm{\cdot}_1$. De acuerdo a la proposición anterior, bastará con encontrar una equivalencia entre $(\mathbb{R}^n,\norm{\cdot}_1)$ y $(V, \norm{\cdot}_V)$.
Sea $\{e_1,…,e_n\}$ la base canónica de $\mathbb{R}^n,$ $\{v_1,…,v_n\},$ una base ordenada de $V$ y $\mathcal{L}: \mathbb{R}^n \to V$ tal que para cada $i=1,…,n, \, \mathcal{L}(e_i)=v_i.$ Es sencillo demostrar que $\mathcal{L}$ es una transformación lineal y que es también una función biyectiva. Esta afirmación se propondrá como ejercicio.
Sean $a,b \in \mathbb{R}^n$ tales que $a=\sum_{i=1}^{n}a_i e_i$ y $b=\sum_{i=1}^{n}b_i e_i$ con $a_i,b_i \in \mathbb{R}, 1\leq i\leq n.$ Sea $c=\underset{1 \leq i \leq n}{máx} \, \{ \norm{v_i}_V\},$ entonces:

\begin{align*}
\norm{\mathcal{L}(\sum_{i=1}^{n}a_i e_i) -\mathcal{L}(\sum_{i=1}^{n}b_i e_i)}_V&=\norm{\sum_{i=1}^{n}a_i \mathcal{L}(e_i)-\sum_{i=1}^{n}b_i \mathcal{L}(e_i)}_V\\
&=\norm{\sum_{i=1}^{n}a_i v_i-\sum_{i=1}^{n}b_i v_i}_V\\
&=\norm{\sum_{i=1}^{n}(a_i-b_i) v_i}_V \\
&\leq \sum_{i=1}^{n}|a_i-b_i| \norm{v_i}_V \\
&\leq \underset{1 \leq i \leq n}{máx} \, \{ \norm{v_i}_V\}\sum_{i=1}^{n}|a_i-b_i|\\
&=c \sum_{i=1}^{n}|a_i-b_i| \\
&=c \norm{a-b}_1
\end{align*}

Entonces $\mathcal{L}$ es una función Lipschitz continua. La prueba de que la inversa es Lipschitz continua se deja como ejercicio. Esto demostraría que $V$ también es un espacio de Banach.

La completitud no siempre se hereda a los subespacios de un espacio métrico completo. La siguiente proposición nos muestra las condiciones requeridas para que esto ocurra:

Proposición: Sea $(X,d)$ un espacio métrico completo y $A \subset X.$ Entonces el subespacio $(A,d)$ es completo si solo si $A$ es cerrado en $X.$

Demostración:

Supón que $(A,d)$ es completo. Buscamos demostrar que $\overline{A} \subset A.$ Sea $x \in \overline{A}.$ En la entrada de Convergencia concluimos que existe una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de términos en $A$ tal que $x_n \to x.$ Como converge, se concluye que es de Cauchy. Como todos los términos están en $A$, que es completo, se concluye que es convergente en $A.$ Como el límite es único, concluimos que el punto de convergencia $x \in A.$ Por lo tanto $\overline{A} \subset A,$ probando así que $A$ es cerrado.

Ahora partamos de suponer que $A \subset X$ es cerrado. Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en $A.$ Como $X$ es completo, se sigue que $x_n \to x$ en $X$ para algún $x \in X.$ Por el mismo resultado de la entrada de Convergencia concluimos que $x \in A.$ por lo tanto $x_n \to x$ en $A$ lo cual demuestra que $A$ es completo.

Ya que sabemos que un espacio normado de dimensión finita es de Banach, es natural preguntarse qué ocurre con los de dimensión infinita. Como ejemplo tenemos al espacio de los polinomios $\mathcal{P}[0,1].$ Visto como subespacio del espacio de funciones continuas $C^0[0,1]$ es de dimensión infinita pero no es cerrado. La proposición anterior nos permite concluir que $\mathcal{P}[0,1]$ no es completo. La demostración del ejemplo se puede consultar en las notas de Luis O. Manuel. El documento se encuentra en este link.

Más adelante…

Buscaremos aplicar estos resultados en conjuntos anidados, unos dentro de otros. Partir de una sucesión de Cauchy nos permitirá asegurar la existencia de un punto de convergencia, cuando estemos en un espacio completo. Conoceremos condiciones en las que dicho punto existe y pertenece a la intersección de los conjuntos anidados.

Tarea moral

  1. Demuestra que si $X$ es un conjunto no vacío con la métrica discreta entonces $X$ es completo.
  2. Sean $(X,d_X)$ y $(Y,d_Y)$ espacios métricos con $\phi: X \to Y$ una equivalencia entre ellos. Prueba que si $Y$ es completo entonces $X$ lo es.
  3. Sea $V$ un espacio con norma asociada $\norm{\cdot}_V$ con dimensión finita $n$ y $\{v_1,…,v_n\},$ una base ordenada de $V.$ Sea $\{e_1,…,e_n\}$ la base canónica de $\mathbb{R}^n,$ y $\mathcal{L}: \mathbb{R}^n \to V$ tal que para cada $i=1,…,n, \, \mathcal{L}(e_i)=v_i.$ Demuestra que $\mathcal{L}$ es una transformación lineal y que es también una función biyectiva.
  4. Prueba que la función inversa de la función del ejercicio anterior es Lipschitz continua.
  5. Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión creciente y acotada en $\mathbb{R}.$ Concluye que $(x_n)$ es convergente en $\mathbb{R}$ demostrando que es de Cauchy.

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Sucesiones de Cauchy

Por Lizbeth Fernández Villegas

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$ \textit{ MATERIAL EN REVISIÓN}$

Introducción

En otros cursos, donde el conjunto de los números reales es el protagonista, se suele hablar de una propiedad: El conjunto $\mathbb{R}$ es completo. Esto puede concluirse a partir de 3 situaciones que son válidas en $\mathbb{R}:$

  1. El axioma del supremo o de completitud.
  2. La intersección de intervalos cerrados encajados cuya longitud tiende a cero es no vacía.
  3. Las sucesiones de Cauchy son convergentes en $\mathbb{R}$.

En las siguientes entradas veremos cómo las propiedades $2$ y $3$ son generalizadas a los espacios métricos. La primera no es posible, por ejemplo, en conjuntos métricos que no están ordenados. Pero tampoco basta que un conjunto tenga un orden en sus elementos para que todos sus subconjuntos acotados tengan un supremo en el conjunto. Este es el caso de algunos conjuntos acotados en el subespacio $\mathbb{Q}$ que tendrán supremo en $\mathbb{R}$ pero no en $\mathbb{Q}.$ ¿Puedes dar un ejemplo?

Recordemos que en la entrada de Convergencia vista anteriormente, hablamos de sucesiones $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ que se aproximan a un punto $x$ en un espacio métrico $(X,d)$. Según la definición, $x_n \to x$ significa que dado $\varepsilon >0$ existe $N \in \mathbb{N}$ que cumple para cada $n \geq N, \, d(x_n,x)< \varepsilon.$ Esta definición compara la distancia entre cada punto de la sucesión con un punto fijo $x$. Sin embargo, ¿qué podemos decir de la distancia entre cualesquiera dos puntos de la sucesión?

Sea $\varepsilon>0$. En una sucesión convergente $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}\,$ ocurrirá que para algún $N \in \mathbb{N}$ si $n \geq N$ entonces $d(x_n,x)< \frac{\varepsilon}{2}.$

Sucesión convergente

Podemos ver que mientras más se aproximan los puntos de la sucesión al punto de convergencia $x$, los puntos de la sucesión se acercan cada vez más entre ellos también.

Los puntos de la bola abierta son más cercanos

Más aún, la desigualdad del triángulo garantiza que si $n,m \geq N$ entonces:
$$d(x_n,x_m) \leq d(x_n,x) + d(x,x_m) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon.$$ como lo expresa la siguiente imagen:

Hay puntos con distancias arbitrariamente pequeñas

Esto indica que es posible identificar un término de la sucesión, a partir del cual las distancias entre cualesquiera dos de ellos será arbitrariamente pequeña. Aunque ya vimos que esto pasa en sucesiones convergentes también puede ocurrir en algunas que no lo son. Cuando las sucesiones tienen esta característica son denominadas como sigue:

Definición sucesión de Cauchy: Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de un espacio métrico $(X,d).$ Decimos que es una sucesión de Cauchy si satisface la condición de Cauchy que es que:
$\forall \, \varepsilon>0,$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \, n,m \geq N$ ocurre que $d(x_n,x_m)< \varepsilon.$

Proposición: Si una sucesión es de Cauchy entonces es acotada.

Demostración:
Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy. Entonces para $\varepsilon=1$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \, n,m>N$ se cumple que $d(x_n,x_m)<1$ Entonces, $\forall \, m \geq N, d(x_N,x_m)< 1.$ Si definimos las distancias faltantes en los términos de la sucesión, es decir, las distancias $d_i= d(x_N,x_i)$ con $i=1,…,N-1$ y hacemos $M = máx \{ d_i,1 \} , i=1,…,N-1$ se concluye que existe una bola abierta que contiene todos los términos de la sucesión, la bola $B(x_N,M)$.

Una sucesión de Cauchy es acotada

A pesar de que una sucesión convergente es de Cauchy, no toda sucesión de Cauchy es convergente.

Ejemplo: La sucesión $(\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}}$ en el subespacio euclideano $(0,1]$ es de Cauchy, pero no es convergente en $(0,1].$ La demostración se deja como ejercicio.

No obstante tenemos el siguiente resultado:

Proposición: Sea $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en el espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$, entonces la sucesión también es convergente.

Demostración:
Si el conjunto de términos de la sucesión dado por $\{ x_n \} :=\{x_n:n \in \mathbb{N}\}$ es finito entonces es convergente. (Ejercicio de la tarea moral de la entrada de Convergencia). Pero si es infinito entonces, al ser también acotado (por la proposición anterior) se sigue que el conjunto de los términos de la sucesión tiene un punto de acumulación $x \in \mathbb{R}^n$. Esto es resultado del teorema de Bolzano-Weierstrass, que se ve en los cursos de cálculo y dice que todo conjunto infinito acotado en $\mathbb{R}^n$ tiene un punto de acumulación. (La demostración puede consultarse en el libro «Análisis Matemático, Introducción Moderna al Cálculo Superior» de Tom. M. Apóstol).

Sea $\varepsilon >0$. Como $(x_n)$ es de Cauchy entonces existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall \, n,m \geq N$ ocurre que $d(x_n,x_m)<\frac{\varepsilon}{2}$.

Como $x$ es punto de acumulación del conjunto $\{x_n\}$ podemos garantizar que existe un término de la sucesión $x_k \in B(x,\frac{\varepsilon}{2})$ con $k \geq N.$ (Se te pedirá argumentar esto al final de esta sección).

Existe $x_k \in B(x,\frac{\varepsilon}{2})$

Entonces, $\forall \, n \geq N$
\begin{align*}
d(x_n,x) &\leq d(x_n,x_k)+d(x_k,x) \\
&\leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\
&= \varepsilon
\end{align*}
Por lo tanto $x_n \to x$.

$x_n \to x$

Finalizamos esta sección con la siguiente:

Proposición: Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $(x_n)_{n \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en $X$. Entonces $(x_n)$ es convergente si y solo si tiene una subsucesión convergente.

Demostración: Queda como ejercicio.

Más adelante…

Ya que conocemos el concepto de las sucesiones de Cauchy procederemos a explorar espacios donde este tipo de sucesiones sí es convergente. Esto motiva la definición de espacio métrico completo que conoceremos en la siguiente entrada.

Tarea moral

  1. Demuestra que la sucesión $(\frac{1}{n})_{n \in \mathbb{N}}$ en el subespacio euclideano $(0,1]$ es de Cauchy, pero no es convergente en $(0,1].$
  2. En la demostración de la proposición anterior, prueba que que existe un término de la sucesión $(x_n)$ de $\mathbb{R}^n$, digamos $x_k$ tal que $x_k \in B(x,\frac{\varepsilon}{2})$ con $k \geq N.$
  3. Demuestra que si $(x_n)_{n \mathbb{N}}$ es una sucesión de Cauchy en un espacio $X$, entonces $(x_n)$ es convergente si y solo si tiene una subsucesión convergente.
  4. Sea $X = [1,\infty)$ y sea $d(x,y)=|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|$. Demuestra que $d$ es una métrica en $X.$
  5. Para cada $n \in \mathbb{N}$ definimos $x_n=n+1$. Prueba que la sucesión $(x_n)$ es de Cauchy en el espacio métrico del ejercicio anterior.

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