3.5 Los Diez Problemas de Apolonio

Un problema clásico de la geometría es el «Problema de Apolonio» el cual enuncia:

Encontrar una circunferencia dado tres condiciones, las cuales pueden surgir de lo siguiente:

1. La circunferencia pasa por uno o más puntos «P»
2. La circunferencia es tangente a una o más líneas «L»
3. La circunferencia debe de ser tangente a uno o más círculos «C»

De lo anterior nacen los 10 Problemas de Apolonio. (Las soluciones se darán a partir de construcciones)

Problema 1.

Construir una circunferencia que pase por tres puntos dados (PPP).

Construcción

Dados tres puntos $A$, $B$ y $C$, de los cuales podemos formar un triángulo $\triangle ABC$. Trazando las mediatrices de cada lado encontraremos el circuncentro «$O$», que resulta ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $\triangle ABC$. De esta forma podemos dibujar la circunferencia $C(O,r)$

Problema 2.

Construir una circunferencia que pase por dos puntos dados y tangente a una recta dada (PPL).

Construcción

Sean $A$ y $B$ dos puntos dados y $r$ una recta tangente a la circunferencia buscada.

El centro de la circunferencia buscada $C$ debe estar ubicada en la mediatriz del segmento $AB$, por ello dibujemos la mediatriz a través del arco de dos circunferencias con centro $A$ y centro $B$ las cuales se intersecan y se puede trazar la mediatriz.

Ahora tomamos un punto «$D$» de la mediatriz, del cual lo tomamos como centro de una circunferencia $C_1$ que pase por $A$ y $B$. También trazamos el segmento $AB$ que corte $r$ en $C$.

Debemos de encontrar una recta tangente a $C_1$ y que pase por el punto $C$. Por ello unimos $DC$ y sacamos la mediatriz con centro $E$, trazamos la circunferencia $C_2$ que interseca a $C_1$ en dos puntos del cual solo nos interesa uno que es $F$ y al unirlo con $C$ este forma una recta tangente a $C_1$.
Por ahora tenemos por potencia $CA * CB = CF^2$.

Ahora trazamos el arco de circunferencia con centro $C$ y radio $CF$ que corta a la recta $r$ en dos puntos $T_1$ y $T_2$ cumplen $CA * CB =CF^2 =CT_1^2 = CT_2^2$ perpendiculares por $T_1$ y otra por $T_2$, y cortan a la mediatriz $AB$.
Y en esas intersecciones van a estar los centros de las circunferencias que pasan por $A$, $B$ y tangentes a $r$. $_\blacksquare$

Problema 3.

Construir una circunferencia tangente a dos líneas dadas y que pasa por un punto (PLL).

Construcción

Sean $l_1$ y $l_2$ dos rectas dadas y $P$ un punto dado, notemos que el centro de la circunferencia buscada es un punto de la bisectriz; Por otro lado, la circunferencia buscada debe contener a $P$ y $P’$ punto simétrico respecto a la bisectriz.
Si observamos tenemos el caso del problema 2 PPL, ya que tenemos dos puntos $P$ y $P’$ por los cuales pasara la circunferencia buscada, además de que es tangente a una recta $l_1$. Por tal motivo se puede seguir la misma construcción anterior para llegar a la solución.

Problema 4.

Construir un círculo tangente a tres líneas dadas (LLL).

Construcción

Sean tres rectas dadas $l_1$, $l_2$ y $l_3$, las cuales forman un triángulo $\triangle ABC$. Trazando las bisectrices de los ángulos internos del triángulo $\triangle ABC$ se intersecan en un único punto $O$.
El punto $O$ es el centro de la circunferencia inscrita del triángulo $\triangle ABC$ , ahora trazamos las perpendiculares por $O$ a cada lado y encontraremos el radio $OS$ el cual nos da la circunferencia tangente a $l_1$, $l_2$ y $l_3$.

Problema 5.

Construye una circunferencia pasando por dos puntos dados y tangente a un círculo dado (PPC).

Construcción

Existen varios casos para este problema, en este caso tomaremos a los puntos $A$ y $B$ fuera de la circunferencia dada $C(O,r)$.
Trazamos la mediatriz de $A$ y $B$, después tomamos un punto cuál sea $x$ en la mediatriz y generamos una circunferencia con centro en $x$ y radio $A$ o $B$ y que corta a la circunferencia $C(O,r)$. Los dos puntos de intersección los llamaremos $D$ y $E$ los uniremos y prolongaremos hasta que corte a la recta $AB$, el punto de intersección será $F$.

Unimos $F$ con $O$ y sacamos su mediatriz, denotamos a $G$ al punto de intersección de $FO$ con la mediatriz. Ahora trazamos la circunferencia con centro $G$ y radio $O$ la cual corta a $C(O,r)$ en $H$ y $I$.

Si unimos $I$ con $O$ corta a la mediatriz $AB$ en $O_1$, el cual será el centro de la circunferencia buscada con radio $O_1I$ y por lo cual pasa por $A$, $B$ y tangente $C(O,r)$. Ocurre lo mismo si unimos $H$ con $O$, corta a la mediatriz de $AB$ en $O_2$, este sería el centro $O_2$ y radio $O_2A$, el cual genera la otra circunferencia tangente a $C(O,r)$ y pasa por $A$ y $B$.

Problema 6.

Construir una circunferencia que pase por un punto dado, tangente a una recta dada y tangente a un círculo dado (PLC).

Construcción

Para este problema 6 podemos encontrar cuatro soluciones, pero por ahora solo se dara una parte de la construcción, ya que lo demás ya se ha venido trabajando en las construcciones anteriores.
Tenemos la circunferencia $C$, el punto $P$ y la recta $r$. Trazamos una perpendicular a $r$ que pase por $C$, ahora sea $O$ el punto de corte que será el centro de inversión que convierte la circunferencia $C$ en la recta $r$, entonces los puntos $x$ y $x’$ son inversos.
Ahora debemos encontrar el punto inverso de $P$, por ello trazamos la mediatriz de $xx’$ y trazamos la mediatriz de $xP$, estas dos rectas cortan en $Y$ el cual es el centro de circunferencia que corto a $x$, $x’$ y $P$, y el punto de intersección de esta circunferencia con la recta $OP$ tendremos $P’$.

Nos daremos cuenta de que tenemos el mismo problema 2 PPL, por lo cual solo se debe seguir la misma construcción para hallar las circunferencias buscadas.

De aquí en adelante se enunciarán únicamente los problemas faltantes.

Problema 7.

Construir una circunferencia que pase por un punto $P$ dado y dos círculos tangentes a esta circunferencia buscada (PCC) (4 soluciones).

Problema 8.

Construir una circunferencia tangente a dos rectas dadas y a un círculo dado (LLC) (8 soluciones).

Problema 9.

Construir una circunferencia tangente a una línea dada y a dos círculos dados (LCC) (8 soluciones).

Problema 10. Problema de Apollonius

Construir una circunferencia tangente a tres círculos dados (CCC).

Más adelante…

Una vez visto el tema de Polos y Polares, es hora de realizar unos ejercicios que se dejaran, todo con el objetivo de fortalecer los temas vistos.

Entradas relacionadas

• Ir a Geometría Moderna II
• Entrada anterior del curso: Circunferencia Polar
• Siguiente entrada del curso: Ejercicios Unidad 3