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Álgebra Superior I: Los espacios vectoriales $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$

Por Eduardo García Caballero

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Introducción

A lo largo de esta unidad nos hemos enfocado en estudiar los vectores, las operaciones entre estos y sus propiedades. Sin embargo, hasta ahora solo hemos ocupado una definición provisional de vectores —listas ordenadas con entradas reales—, pero no hemos dado una definición formal de estos. En esta entrada definiremos qué es un espacio vectorial y exploraremos algunas de las propiedades de dos ejemplos importantes de espacios vectoriales: $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$-

Las propiedades de espacio vectorial

En entradas anteriores demostramos que los pares ordenados con entradas reales (es decir, los elementos de $\mathbb{R}^2$), en conjunto con la suma entrada a entrada y el producto escalar, cumplen las siguientes propiedades:

1. La suma es asociativa:
\begin{align*}
(u+v)+w &= ((u_1,u_2) + (v_1,v_2)) + (w_1,w_2) \\
&= (u_1,u_2) + ((v_1,v_2) + (w_1,w_2)) \\
&= u+(v+w).\end{align*}

2. La suma es conmutativa:
\begin{align*}u+v &= (u_1,u_2) + (v_1,v_2) \\&= (v_1,v_2) + (u_1,u_2) \\&= v+u.\end{align*}

3. Existe un elemento neutro para la suma:
\begin{align*}
u + 0 &= (u_1,u_2) + (0,0) \\&= (0,0) + (u_1,u_2) \\&= (u_1,u_2) \\&= u.
\end{align*}

4. Para cada par ordenado existe un elemento inverso:
\begin{align*}
u + (-u) &= (u_1,u_2) + (-u_1,-u_2) \\&= (-u_1,-u_2) + (u_1,u_2) \\&= (0,0) \\&= 0.
\end{align*}

5. La suma escalar se distribuye bajo el producto:
\begin{align*}
(r+s)u &= (r+s)(u_1,u_2) \\&= r(u_1,u_2) + s(u_1,u_2) \\&= ru + su.
\end{align*}

6. La suma de pares ordenados se distribuye bajo el producto escalar:
\begin{align*}
r(u + v) &= r((u_1,u_2) + (v_1,v_2)) \\&= r(u_1,u_2) + r(v_1,v_2) \\&= ru + rv.
\end{align*}

7. El producto escalar es compatible con el producto de reales:
\[
(rs)u = (rs)(u_1,u_2) = r(s(u_1,u_2)) = r(su).
\]

8. Existe un elemento neutro para el producto escalar, que justo es el neutro del producto de reales:
\[
1u = 1(u_1,u_2) = (u_1,u_2) = u.
\]

Cuando una colección de objetos matemáticos, en conjunto con una operación de suma y otra operación de producto, cumple las ocho propiedades anteriormente mencionadas, decimos que dicha colección forma un espacio vectorial. Teniendo esto en consideración, los objetos matemáticos que pertenecen a la colección que forma el espacio vectorial los llamaremos vectores.

Así, podemos ver que los pares ordenados con entradas reales, en conjunto con la suma entrada a entrada y el producto escalar, forman un espacio vectorial, al cual solemos denominar $\mathbb{R}^2$. De este modo, los vectores del espacio vectorial $\mathbb{R}^2$ son exactamente los pares ordenados con entradas reales.

Como recordarás, anteriormente también demostramos que las ternas ordenadas con entradas reales, en conjunto con su respectiva suma entrada a entrada y producto escalar, cumplen las ocho propiedades antes mencionadas (¿puedes verificarlo?). Esto nos indica que $\mathbb{R}^3$ también es un espacio vectorial, y sus vectores son las ternas ordenadas con entradas reales. En general, el que un objeto matemático se pueda considerar o no como vector dependerá de si este es elemento de un espacio vectorial.

Como seguramente sospecharás, para valores de $n$ distintos de 2 y de 3 también se cumple que $\mathbb{R}^n$ forma un espacio vectorial. Sin embargo los espacios $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$ son muy importantes pues podemos visualizarlos como el plano y el espacio, logrando así describir muchas de sus propiedades. Por esta razón, en esta entrada exploraremos algunas de las principales propiedades de $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$.

Observación. Basándonos en la definición, el hecho de que una colección de elementos se pueda considerar o no como espacio vectorial depende también a las operaciones de suma y producto. Por esta razón, es común (y probablemente más conveniente) encontrar denotado el espacio vectorial $\mathbb{R}^2$ como $(\mathbb{R}^2,+,\cdot)$. Más aún, a veces será importante destacar a los elementos escalares y neutros, encontrando el mismo espacio denotado como $(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}, +, \cdot, 0, 1)$. Esto lo veremos de manera más frecuente cuando trabajamos con más de un espacio vectorial, sin embargo, cuando el contexto nos permite saber con qué operaciones (y elementos) se está trabajando, podemos omitir ser explícitos y denotar el espacio vectorial simplemente como $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$.

Combinaciones lineales

Como vimos en entradas anteriores, la suma de vectores en $\mathbb{R}^2$ la podemos visualizar en el plano como el resultado de poner una flecha seguida de otra, mientras que el producto escalar lo podemos ver como redimensionar y/o cambiar de dirección una flecha.

En el caso de $\mathbb{R}^3$, la intuición es la misma, pero esta vez en el espacio.

Si tenemos varios vectores, podemos sumar múltiplos escalares de ellos para obtener otros vectores. Esto nos lleva a la siguiente definición.

Definición. Dado un conjunto de $n$ vectores $v_1, \ldots, v_n$ en $\mathbb{R}^2$ o ($\mathbb{R}^3$), definimos una combinación lineal de estos vectores como el resultado de la operación
\[
r_1v_1 + r_2v_2 + \cdots + r_nv_n,
\]
donde $r_1, \ldots, r_n$ son escalares.

Ejemplo. En $\mathbb{R}^2$, las siguientes son combinaciones lineales:
\begin{align*}
4(9,-5) + 7(-1,0) + 3(-4,2) &= (17,-14), \\[10pt]
5(1,0) + 4(-1,-1) &= (1,-4), \\[10pt]
-1(1,0) + 0(-1,-1) &= (-1,0), \\[10pt]
5(3,2) &= (15,10).
\end{align*}
De este modo podemos decir que $(17,-14)$ es combinación lineal de los vectores $(9,-5)$, $(-1,0)$ y $(-4,2)$; los vectores $(1,-4)$ y $(-1,0)$ son ambos combinación lineal de los vectores $(1,0)$ y $(-1,-1)$; y $(15,10)$ es combinación lineal de $(3,2)$.

Las combinaciones lineales también tienen un significado geométrico. Por ejemplo, la siguiente figura muestra cómo se vería que $(1,-4)$ es combinación lineal de $(1,0)$ y $(-1,-1)$:

$\triangle$

Ejemplo. En el caso de $\mathbb{R}^3$, observamos que $(7,13,-22)$ es combinación lineal de los vectores $(8,1,-5)$, $(1,0,2)$ y $(9,-3,2)$, pues
\[
4(8,1,-5) + 2(1,0,2) + (-3)(9,-3,2) = (7,13,-22).
\]

$\triangle$

Espacio generado

La figura de la sección anterior nos sugiere cómo entender a una combinación lineal de ciertos vectores dados. Sin embargo, una pregunta natural que surge de esto es cómo se ve la colección de todas las posibles combinaciones lineales de una colección de vectores dados.

Definición. Dado un conjunto de $n$ vectores $v_1, \ldots, v_n$ en $\mathbb{R}^2$ o ($\mathbb{R}^3$), definimos al espacio generado por ellos como el conjunto de todas sus posibles combinaciones lineales. Al espacio generado por estos vectores podemos encontrarlo denotado como $\operatorname{span}(v_1, \ldots, v_n)$ o $\langle v_1, \ldots, v_n \rangle$ (aunque esta última notación a veces se suele dejar para otra operación del álgebra lineal).

¿Cómo puede verse el espacio generado por algunos vectores? Puede demostrarse que en el caso de $\mathbb{R}^2$ tenemos los siguientes casos.

  • Un punto: esto sucede si y sólo si todos los vectores del conjunto son iguales al vector $0$.
  • Una recta: esto sucede si al menos un vector $u$ es distinto de 0 y todos los vectores se encuentran alineados. La recta será precisamente aquella formada por los múltiplos escalares de $u$.
  • Todo $\mathbb{R}^2$: esto sucede si al menos dos vectores $u$ y $v$ de nuestro conjunto no son cero y además no están alineados. Intenta convencerte que en efecto en este caso puedes llegar a cualquier vector del plano sumando un múltiplo de $u$ y uno de $v$.

En $\mathbb{R}^3$, puede mostrarse que el espacio generado se ve como alguna de las siguientes posibilidades:

  • Un punto: esto sucede si y sólo si todos los vectores del conjunto son iguales al vector $0$.
  • Una recta: esto sucede si al menos un vector $u$ es distinto de $0$ y todos los vectores se encuentran alineados con $u$. La recta consiste precisamente de los reescalamientos de $u$.
  • Un plano: esto sucede si al menos dos vectores $u$ y $v$ no son cero y no están alineados, y además todos los demás están en el plano generado por $u$ y $v$ estos dos vectores.
  • Todo $\mathbb{R}^3$: esto sucede si hay tres vectores $u$, $v$ y $w$ que cumplan que ninguno es el vector cero, no hay dos de ellos alineados, y además el tercero no está en el plano generado por los otros dos.

Muchas veces no sólo nos interesa conocer la forma del espacio generado, sino también obtener una expresión que nos permita conocer qué vectores pertenecen a este. Una forma en la que podemos hacer esto es mediante ecuaciones.

Ejemplo. Por ejemplo, observemos que el espacio generado el vector $(3,2)$ en $\mathbb{R}^2$ corresponde a los vectores $(x,y)$ que son de la forma
\[
(x,y) = r(2,3),
\]
donde $r \in \mathbb{R}$ es algún escalar. Esto se cumple si y sólo si
\[
(x,y) = (2r,3r),
\]
lo cual a su vez se cumple si y sólo si $x$ y $y$ satisfacen el sistema de ecuaciones
\[
\begin{cases}
x = 2r \\
y = 3r
\end{cases}.
\]
Si despejamos $r$ en ambas ecuaciones y las igualamos, llegamos a que
\[
\frac{x}{2} = \frac{y}{3},
\]
de donde podemos expresar la ecuación de la recta en su forma homogénea:
\[
\frac{1}{2}x – \frac{1}{3}y = 0;
\]
o bien en como función de $y$:
\[
y = \frac{3}{2}x.
\]

$\triangle$

La estrategia anterior no funciona para todos los casos, y tenemos que ser un poco más cuidadosos.

Ejemplo. El espacio generado por $(0,4)$ corresponde a todos los vectores $(x,y)$ tales que existe $r \in \mathbb{R}$ que cumple
\begin{align*}
(x,y) &= r(0,4) \\
(x,y) &= (0,4r),
\end{align*}
es decir,
\[
\begin{cases}
x = 0 \\
y = 4r
\end{cases}.
\]
En este caso, la única recta que satisface ambas ecuaciones es la recta $x = 0$, la cual no podemos expresar como función de $y$.

En la siguiente entrada veremos otras estrategias para describir de manera analítica el espacio generado.

$\triangle$

El saber si un vector está o no en el espacio generado por otros es una pregunta que se puede resolver con un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo. ¿Será que el vector $(4,1,2)$ está en el espacio generado por los vectores $(2,3,1)$ y $(1,1,1)$? Para que esto suceda, necesitamos que existan reales $r$ y $s$ tales que $r(2,3,1)+s(1,1,1)=(4,1,2)$. Haciendo las operaciones vectoriales, esto quiere decir que $(2r+s,3r+s,r+s)=(4,1,2)$, de donde tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\left\{\begin{matrix} 2r+s &=4 \\ 3r+s&=1 \\ r+s &= 2.\end{matrix}\right.$$

Este sistema no tiene solución. Veamos por qué. Restando la primera igualdad a la segunda, obtendríamos $r=1-4=-3$. Restando la tercera igualdad a la primera, obtendríamos $r=2-4=-2$. Así, si hubiera solución tendríamos la contradicción $-2=r=-3$. De este modo no hay solución.

Así, el vector $(4,1,2)$ no está en el espacio generado por los vectores $(2,3,1)$ y $(1,1,1)$. Geométricamente, $(4,1,2)$ no está en el plano en $\mathbb{R}^3$ generado por los vectores $(2,3,1)$ y $(1,1,1)$.

$\triangle$

Si las preguntas de espacio generado tienen que ver con sistemas de ecuaciones lineales, entonces seguramente estarás pensando que todo lo que hemos aprendido de sistemas de ecuaciones lineales nos servirá. Tienes toda la razón. Veamos un ejemplo importante.

Ejemplo. Mostraremos que cualquier vector en $\mathbb{R}^2$ está en el espacio generado por los vectores $(1,2)$ y $(3,-1)$. Para ello, tomemos el vector $(x,y)$ que nosotros querramos. Nos gustaría (fijando $x$ y $y$) poder encontrar reales $r$ y $s$ tales que $r(1,2)+s(3,-1)=(x,y)$. Esto se traduce al sistema de ecuaciones

$$\left \{ \begin{matrix} r+3s&=x\\2r-s&=y. \end{matrix} \right.$$

En forma matricial, este sistema es $$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r \\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$$

Como la matriz $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ tiene determinante $1(-1)-(3)(2)=-7$, entonces es invertible. ¡Entonces el sistema siempre tiene solución única en $r$ y $s$ sin importar el valor de $x$ y $y$! Hemos con ello demostrado que cualquier vector $(x,y)$ es combinación lineal de $(1,2)$ y $(3,-1)$ y que entonces el espacio generado por ambos es todo $\mathbb{R}^2$.

$\triangle$

Independencia lineal

Mientras platicábamos en la sección anterior de las posibilidades que podía tener el espcio generado de un conjunto de vectores en $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$, fuimos haciendo ciertas precisiones: «que ningún vector sea cero», «que nos vectores no estén alineados», «que ningún vector esté en los planos por los otros dos», etc. La intuición es que si pasaba lo contrario a alguna de estas cosas, entonces los vectores no podían generar «todo lo posible». Si sí se cumplían esas restricciones, entonces cierta cantidad de vectores sí tenía un espacio generado de la dimensión correspondiente (por ejemplo, $2$ vectores de $\mathbb{R}^3$ no cero y no alineados sí generan un plano, algo de dimensión $2$). Resulta que todas estas restricciones se pueden resumir en una definición muy importante.

Definición. Dado un conjunto de $n$ vectores $v_1, \ldots, v_n$ en $\mathbb{R}^2$ o ($\mathbb{R}^3$), diremos que son linealmente independientes si es imposible escribir al vector $0$ como combinación lineal de ellos, a menos que todos los coeficientes de la combinación lineal sean iguales a $0$. En otras palabras, si sucede que $$r_1v_1 + r_2v_2 + \cdots + r_nv_n=0,$$ entonces forzosamente fue porque $r_1=r_2=\ldots=r_n=0$.

Puede mostrarse que si un conjunto de vectores es linealmente independiente, entonces ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal del resto de vectores en el conjunto. Así, la intuición de que «generan todo lo que pueden generar» se puede justificar como sigue: como el primero no es cero, genera una línea. Luego, como el segundo no es múltiplo del primero, entre los dos generarán un plano. Y si estamos en $\mathbb{R}^3$, un tercer vector quedará fuera de ese plano (por no ser combinación lineal de los anteriores) y entonces generarán entre los tres a todo el espacio.

La independencia lineal también se puede estudiar mediante sistemas de ecuaciones lineales.

Ejemplo. ¿Serán los vectores $(3,-1,-1)$, $(4,2,1)$ y $(0,-10,-7)$ linealmente independientes? Para determinar esto, queremos saber si existen escalares $r,s,t$ tales que $r(3,-1,-1)+s(4,2,1)+t(0,-10,-7)=(0,0,0)$ en donde al menos alguno de ellos no es el cero. Esto se traduce a entender las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:

$$\left\{ \begin{array} 33r + 4s &= 0 \\ -r +2s -10t &= 0 \\ -r + s -7t &= 0.\end{array} \right. $$

Podemos entender todas las soluciones usando reducción Gaussiana en la siguiente matriz:

$$\begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -10 & 0 \\ -1 & 1 & -7 & 0 \end{pmatrix}.$$

Tras hacer esto, obtenemos la siguiente matriz:

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 4 & 0\\0 & 1 & -3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Así, este sistema de ecuaciones tiene a $t$ como variable libre, que puede valer lo que sea. De aquí, $s=3t$ y $r=-4t$ nos dan una solución. Así, este sistema tiene una infinidad de soluciones. Tomando por ejemplo $t=1$, tenemos $s=3$ y $r=-4$. Entonces hemos encontrado una combinación lineal de los vectores que nos da el vector $(0,0,0)$. Puedes verificar que, en efecto, $$(-4)(3,-1,-1)+3(4,2,1)+(0,-10,-7)=(0,0,0).$$

Concluimos que los vectores no son linealmente independientes.

$\triangle$

Si la única solución que hubiéramos obtenido es la $r=s=t=0$, entonces la conclusión hubiera sido que sí, que los vectores son linealmente independientes. También podemos usar lo que hemos aprendido de matrices y determinantes en algunos casos para poder decir cosas sobre la independencia lineal.

Ejemplo. Mostraremos que los vectores $(2,3,1)$, $(0,5,2)$ y $(0,0,1)$ son linealmente independientes. ¿Qué sucede si una combinación lineal de ellos fuera el vector cero? Tendríamos que $r(2,3,1)+s(0,5,2)+t(0,0,1)=(0,0,0)$, que se traduce en el sistema de ecuaciones $$\left\{ \begin{array} 2r &= 0 \\ 3r + 5s &= 0 \\ r + 2s + t &= 0. \end{array}\right.$$

La matriz asociada a este sistema de ecuaciones es $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, que por ser triangular inferior tiene determinante $2\cdot 5 \cdot 1 = 10\neq 0$. Así, es una matriz invertible, de modo que el sistema de ecuaciones tiene una única solución. Como $r=s=t$ sí es una solución, esta debe ser la única posible. Así, los vectores $(2,3,1)$, $(0,5,2)$ y $(0,0,1)$ son linealmente independientes. Geométricamente, ninguno de ellos está en el plano hecho por los otros dos.

$\triangle$

Bases

Como vimos anteriormente, existen casos en los que el espacio generado por vectores en $\mathbb{R}^2$ (o $\mathbb{R}^3$) no genera a todo el plano (o al espacio). Por ejemplo, en ambos espacios vectoriales, el espacio generado por únicamente un vector es una recta. Esto también puede pasar aunque tengamos muchos vectores. Si todos ellos están alineados con el vector $0$, entonces su espacio generado sigue siendo una recta también. En la sección anterior platicamos que intuitivamente el problema es que los vectores no son linealmente independientes. Así, a veces unos vectores no generan todo el espacio que pueden generar.

Hay otras ocasiones en las que unos vectores sí generan todo el espacio que pueden generar, pero lo hacen de «manera redundante», en el sentido de que uno o más vectores se pueden poner de más de una forma como combinación lineal de los vectores dados.

Ejemplo. Si consideramos los vectores $(2,1)$, $(1,0)$ y $(2,3)$, observamos que el vector $(2,3)$ se puede escribir como
\[
0(2,1)+3(1,0) + 2(2,3) = (7,6)
\]
o
\[
3(2,2) + 1(1,0) + 0(2,3)= (7,6),
\]
siendo ambas combinaciones lineales del mismo conjunto de vectores.

$\triangle$

Uno de los tipos de conjuntos de vectores más importantes en el álgebra lineal son aquellos conocidos como bases, que evitan los dos problemas de arriba. Por un lado, sí generan a todo el espacio. Por otro lado, lo hacen sin tener redundancias.

Definición. Diremos que un conjunto de vectores es base de $\mathbb{R}^2$ (resp. $\mathbb{R}^3$) si su espacio generado es todo $\mathbb{R}^2$ (resp. $\mathbb{R}^3$) y además son linealmente independientes.

El ejemplo de base más inmediato es el conocido como base canónica.

Ejemplo. En el caso de $\mathbb{R}^2$, la base canónica es $(1,0)$ y $(0,1)$. En \mathbb{R}^3$ la base canónica es $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ y $(0,0,1)$.

Partiendo de las definiciones dadas anteriormente, vamos que cualquier vector $(a,b)$ en $\mathbb{R}$ se puede escribir como $a(1,0) + b(0,1)$; y cualquier vector $(a,b,c)$ en $\mathbb{R}^3$ se puede escribir como $a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1)$.

Más aún, es claro que los vectores $(1,0)$ y $(0,1)$ no están alineados con el origen. Y también es claro que $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ son linealmente idependientes, pues la combinación lineal $r(1,0,0)+s(0,1,0)+t(0,0,1)=(0,0,0)$ implica directamente $r=s=t=0$.

$\triangle$

Veamos otros ejemplos.

Ejemplo. Se tiene lo siguiente:

  • Los vectores $(3,4)$ y $(-2,0)$ son base de $\mathbb{R}^2$ pues son linealmente independientes y su espacio generado es todo $\mathbb{R}^2$.
  • Los vectores $(8,5,-1)$, $(2,2,7)$ y $(-1,0,9)$ son base de $\mathbb{R}^3$ pues son linealmente independientes y su espacio generado es todo $\mathbb{R}^3$.

¡Ya tienes todo lo necesario para demostrar las afirmaciones anteriores! Inténtalo y haz dibujos en $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$ de dónde se encuentran estos vectores.

$\triangle$

Como podemos observar, las bases de un espacio vectorial no son únicas, sin embargo, las bases que mencionamos para $\mathbb{R}^2$ coinciden en tener dos vectores, mientras que las bases para $\mathbb{R}^3$ coinciden en tener tres vectores. ¿Será cierto que todas las bases para un mismo espacio vectorial tienen la misma cantidad de vectores?

Más adelante…

En esta entrada revisamos qué propiedades debe cumplir una colección de objetos matemáticos para que sea considerado un espacio vectorial, además de que analizamos con más detalle los espacios vectoriales $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$.

Como seguramente sospecharás, para otros valores de $n$ también se cumple que $\mathbb{R}^n$, en conjunto con sus respectivas suma entrada a entrada y producto escalar, forman un espacio vectorial. Sin embargo, en contraste con los espacios $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$, este espacio es más difícil de visualizar. En la siguiente entrada generalizaremos para $\mathbb{R}^n$ varias de las propiedades que aprendimos en esta entrada.

Tarea moral

  1. Realiza lo siguiente:
    • De entre los siguientes vectores, encuentra dos que sean linealmente independientes: $(10,16),(-5,-8),(24,15),(10,16),(15,24),(-20,-32)$.
    • Encuentra un vector de $\mathbb{R}^2$ que genere a la recta $2x+3y=0$.
    • Determina qué es el espacio generado por los vectores $(1,2,3)$ y $(3,2,1)$ de $\mathbb{R}^3$.
    • Da un vector $(x,y,z)$ tal que $(4,0,1)$, $(2,1,0)$ y $(x,y,z)$ sean una base de $\mathbb{R}^3$.
  2. Demuestra que $(0,0)$ es el único vector $w$ en $\mathbb{R}^2$ tal que para todo vector $v$ de $\mathbb{R}^2$ se cumple que $v+w=v=w+v$.
  3. Prueba las siguientes dos afirmaciones:
    • Tres o más vectores en $\mathbb{R}^2$ nunca son linealmente independientes.
    • Dos o menos vectores en $\mathbb{R}^3$ nunca son un conjunto generador.
  4. Sean $u$ y $v$ vectores en $\mathbb{R}^2$ distintos del vector cero. Demuestra que $u$ y $v$ son linealmente independientes si y sólo si $v$ no está en la línea generada por $u$.
  5. Encuentra todas las bases de $\mathbb{R}^3$ en donde las entradas de cada uno de los vectores de cada base sean iguales a $0$ ó a $1$.

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Álgebra Superior I: Cálculo de determinantes

Por Eduardo García Caballero

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Introducción

En la entrada anterior introdujimos el concepto de determinante de matrices cuadradas. Dimos la definición para matrices de $2\times 2$. Aunque no dimos la definición en general (pues corresponde a un curso de Álgebra Lineal I), dijimos cómo se pueden calcular los determinantes de manera recursiva. Pero, ¿hay otras herramientas para hacer el cálculo de determinantes más sencillo?

En esta entrada hablaremos de más propiedades de los determinantes. Comenzaremos viendo que si en una matriz tenemos dos filas o columnas iguales, el determinante se hace igual a cero. Luego, veremos que los determinantes son lineales (por renglón o columna), que están muy contectados con las operaciones elementales y platicaremos de algunos determinantes especiales.

Linealidad por filas o columnas

El determinante «abre sumas y saca escalares», pero hay que ser muy cuidadosos, pues no lo hace para toda una matriz, sino sólo renglón a renglón, o columna a columna. Enunciemos esto en las siguientes proposiciones.

Proposición. El determinante saca escalares renglón por renglón o columna por columna. Por ejemplo, pensemos en sacar escalares por renglón. Si $k$ es un número real y tenemos una matriz de la forma
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix},
\]
entonces
\[
\operatorname{det}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
=
k\operatorname{det}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}.
\]

No podemos dar la demostración muy formalmente, pues necesitamos de más herramientas. Pero puedes convencerte de que esta proposición es cierta pensando en lo que sucede cuando se calcula el determinante recursivamente en la fila $i$. En la matriz de la izquierda, usamos los coeficientes $ka_{i1},\ldots,ka_{in}$ para acompañar a los determinantes de las matrices de $(n-1)\times (n-1)$ que van saliendo. Pero entonces en cada término aparece $k$ y se puede factorizar. Lo que queda es $k$ veces el desarrollo recursivo de la matriz sin las $k$’s en el renglón $i$.

Ejemplo. Calculemos el determinante de la matriz $A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & 1\end{pmatrix}$. En la primera columna hay un $0$, así que nos conviene usar esta columna para encontrar el determinante. Aplicando la regla recursiva, obtenemos que:

\begin{align*}
\det(A)=\begin{vmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & 1\end{vmatrix} &= (2) \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} – (0) \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}\\
&=2(2\cdot 1 – 3 \cdot 2) – 0 (2 \cdot 1 – (-1)\cdot 2) – 3 (2\cdot 3 – (-1)\cdot 2)\\
&=2(-4)-0(4)-3(8)\\
&=-32.
\end{align*}

¿Qué sucedería si quisiéramos ahora el determinante de la matriz $B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ -3 & 1 & 1\end{pmatrix}$? Podríamos hacer algo similar para desarrollar en la primera fila. Pero esta matriz está muy relacionada con la primera. La segunda columna de $B$ es $1/2$ veces la segunda columna de $A$. Por la propiedad que dijimos arriba, tendríamos entonces que $$\det(B)=\frac{1}{2}\det(A)=\frac{-32}{2}=-16.$$

$\triangle$

Ejemplo. Hay que tener mucho cuidado, pues el determinante no saca escalares con el producto escalar de matrices. Observa que si $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, entonces $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2\cdot 1 – 1\cdot 1 = 1$. Sin embargo, $$\det(2A)=\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}=4\cdot 2 – 2 \cdot 2 = 4\neq 2\det(A).$$

En vez de salir dos veces el determinante, salió cuatro veces el determinante. Esto tiene sentido de acuerdo a la propiedad anterior: sale un factor $2$ pues la primera fila es el doble, y sale otro factor $2$ porque la segunda fila también es el doble.

$\square$

Proposición. El determinante abre sumas renglón por renglón, o columa por columna. Por ejemplo, veamos el caso para columnas. Si tenemos una matriz de la forma
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1i} + b_{1i} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & a_{2i} + b_{2i} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{ni} + b_{ni} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix},
\]
entonces este determinante es igual a
\begin{align*}
\operatorname{det}
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
+
\operatorname{det}
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & b_{1i} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & b_{2i} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & b_{ni} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Una vez más, no podemos dar una demostración muy formal a estas alturas. Pero como en el caso de sacar escalares, también podemos argumentar un poco informalmente qué sucede. Si realizamos el cálculo de determinantes en la columna $i$, entonces cada término de la forma $a_{ji}+b_{ji}$ acompaña a un determinante $D_{ji}$ de una matriz de $(n-1)\times (n-1)$ que ya no incluye a esa columna. Por ley distributiva, cada sumando es entonces $(a_{ji}+b_{ji})D_{ji}=a_{ji}D_{ji}+b_{ji}D_{ji}$ (acompañado por un $+$ o un $-$). Agrupando en un lado los sumandos con $a_{ji}$’s y por otro los sumandos con $b_{ji}$’s obtenemos la identidad deseada.

Ejemplo. Las matrices $\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ tienen determinantes $1$ y $-8$ respectivamente (verifícalo). De acuerdo a la propiedad anterior, el determinante de la matriz $$\begin{pmatrix} 5 + 2 & 2 + 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 7 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$

debería ser $1 + (-8) = -7$. Y sí, en efecto $7\cdot 1 – 2 \times 7 = -7$.

$\triangle$

Hay que tener mucho cuidado, pues en esta propiedad de la suma las dos matrices tienen que ser iguales en casi todas las filas (o columnas), excepto en una. En esa fila (o columna) es donde se da la suma. En general, no sucede que $\det(A+B)=\det(A)+\det(B)$.

Ejemplo. Puedes verificar que las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$ tienen ambas determinante $1$. Sin embargo, su suma es la matriz de puros ceros, que tiene determinante $0$. Así, $$\det(A)+\det(B)=2\neq 0 = \det(A+B).$$

$\triangle$

El determinante y operaciones elementales

El siguiente resultado nos dice qué sucede al determinante de una matriz cuando le aplicamos operaciones elementales.

Teorema. Sea $A$ una matriz cuadrada.

  • Si $B$ es una matriz que se obtiene de $A$ al reescalar un renglón con el escalar $\alpha$, entonces $\det(B)=\alpha\det(A)$.
  • Si $B$ es una matriz que se obtiene de $A$ al intercambiar dos renglones, entonces $\det(B)=-\det(A)$.
  • Si $B$ es una matriz que se obtiene de $A$ al hacer una transvección, entonces $\det(B)=\det(A)$.

No nos enfocaremos mucho en demostrar estas propiedades, pues se demuestran con más generalidad en el curso de Álgebra Lineal I. Sin embargo, a partir de ellas podemos encontrar un método de cálculo de determinantes haciendo reducción gaussiana.

Teorema. Sea $A$ una matriz cuadrada. Supongamos que para llevar $A$ a su forma escalonada reducida $A_{red}$ se aplicaron algunas transvecciones, $m$ intercambios de renglones y $k$ reescalamientos por escalares no cero $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ (en el orden apropiado). Entonces $$\det(A)=\frac{(-1)^m\det(A_{red})}{\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_k}.$$ En particular:

  • Si $A_{red}$ no es la identidad, entonces $\det(A_{red})=0$ y entonces $\det(A)=0$.
  • Si $A_{red}$ es la identidad, entonces $\det(A_{red})=1$ y entonces $$\det(A)=\frac{(-1)^m}{\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_k}.$$

Veamos un ejemplo.

Ejemplo. Calculemos el determinante de la matriz $A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & 1\end{pmatrix}$ usando reducción gaussiana. Multiplicamos la primera fila por $\alpha_1=1/2$ y la sumamos tres veces a la última (transvección no cambia el determinante):

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & -2\end{pmatrix}$$

Multiplicamos por $\alpha_2=1/5$ la segunda fila y la intercambiamos con la tercera (va $m=1$).

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{5} \\ 0 & 2 & 3\end{pmatrix}.$$

Restamos dos veces la segunda fila a la tercera (transvección no cambia el determinante)

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{5} \\ 0 & 0 & \frac{19}{5}\end{pmatrix},$$

y multiplicamos la tercera fila por $\alpha_3=5/19$:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{5}\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$

Hacemos transvecciones para hacer cero las entradas arriba de la diagonal principal (transvecciones no cambian el determinante): $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$

Ya llegamos a la identidad. Los reescalamientos fueron por $1/2$, $1/5$ y $5/19$ y usamos en total $1$ intercambio. Así, $$\det(A)=\frac{(-1)^1}{(1/2)(1/5)(5/19)}=-38.$$

$\triangle$

Es recomendable que calcules el determinante del ejemplo anterior con la regla recursiva de expansión por menores para que verifiques que da lo mismo.

Algunos determinantes especiales

A continuación enunciamos otras propiedades que cumplen los determinantes. Todas estas puedes demostrarlas suponiendo propiedades que ya hemos enunciado.

Proposición. Para cualquier entero positivo $n$ se cumple que la matriz identidad $\mathcal{I}_n$ tiene como determinante $\operatorname{det}(\mathcal{I}_n) = 1$.

Este resultado es un caso particular de una proposición más general.

Proposición. El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal; es decir,
\[
\operatorname{det}
\begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
=
a_{11} a_{12} \cdots a_{nn}.
\]

Para probar esta proposición, puedes usar la regla recursiva para hacer la expansión por la última fila (o columna) y usar inducción.

Proposición. $\operatorname{det}(A^T) = \operatorname{det}(A)$.

Este resultado también sale inductivamente. Como los determinantes se pueden expandir por renglones o columnas, entonces puedes hacer una expansión en alguna fila de $A$ y será equivalente a hacer la expansión por columnas en $A^T$.

Proposición. Si $A$ es una matriz invertible, entonces $\operatorname{det}(A^{-1}) = \dfrac{1}{\operatorname{det}(A)}$.

Para demostrar este resultado, se puede usar la proposición del determinante de la identidad, y lo que vimos la entrada pasada sobre que $\det(AB)=\det(A)\det(B)$.

Los argumentos que hemos dado son un poco informales, pero quedará en los ejercicios de esta entrada que pienses en cómo justificarlos con más formalidad.

Ejemplos interesantes de cálculo de determinantes

Las propiedades anteriores nos permiten hacer el cálculo de determinantes de varias maneras (no sólo expansión por menores). A continuación presentamos dos ejemplos que usan varias de las técnicas discutidas arriba.

Ejemplo. Calculemos el siguiente determinante:

$$\begin{vmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 9 & 1 \\ 5 & 4 & 3 \end{vmatrix}.$$

Como aplicar transvecciones no cambia el determinante, podemos restar la primera fila a la segunda, y luego cinco veces la primera fila a la tercera y el determinante no cambia. Así, este determinante es el mismo que

$$\begin{vmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & -21 & -12 \end{vmatrix}.$$

Multiplicar la segunda fila por $-1$ cambia el determinante en $-1$. Y luego multiplicar la tercera por $-1$ lo vuelve a cambiar en $-1$. Entonces haciendo ambas operaciones el determinante no cambia y obtenemos que el determinante es igual a

$$\begin{vmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 21 & 12 \end{vmatrix}.$$

En esta matriz podemos expandir por la primera columna en donde hay dos ceros. Por ello, el determinante es

$$\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 21 & 12 \end{vmatrix}= (1\cdot 12) – (5 \cdot 21) = -93.$$

$\triangle$

Ejemplo. Calculemos el siguiente determinante:

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}.$$

Hacer transvecciones no cambia el determinante, entonces podemos sumar todas las filas a la última sin alterar el determinante. Como $1+2+3+4=10$, obtenemos:

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 10 & 10 & 10 & 10 \end{vmatrix}.$$

Ahora, la última fila tiene un factor $10$ que podemos factorizar:

$$10\cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}.$$

Ahora, podemos restar la primera columna a todas las demás, sin cambiar el determinante:

$$10\cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}.$$

Luego, podemos sumar la segunda fila a la tercera sin cambiar el determinante:

$$10\cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & -1 \\ 5 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}.$$

Expandiendo por la última fila:

$$-10\cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix}.$$

Expandiendo nuevamente por la última fila:

$$-10 \cdot 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}.$$

El determinante de $2\times 2$ que queda ya sale directo de la fórmula como $2\cdot (-1)-3\cdot 2 = -8$. Así, el determinante buscado es $(-10)\cdot 2 \cdot (-8)=160$.

$\triangle$

Más adelante…

Los determinantes son una propiedad fundamental de las matrices. En estas entradas apenas comenzamos a platicar un poco de ellos. Por un lado, son muy importantes algebraicamente pues ayudan a decidir cuándo una matriz es invertible. Se pueden utilizar para resolver sistemas de $n$ ecuaciones lineales en $n$ incógnitas con algo conocido como la regla de Cramer. Por otro lado, los determinantes también tienen una interpretación geométrica que es sumamente importante en geometría analítica y en cálculo integral de varias variables. En cursos posteriores en tu formación matemática te los seguirás encontrando.

Tarea moral

  1. Calcula el siguiente determinante: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \end{vmatrix}.$$ Intenta hacerlo de varias formas, aprovechando todas las herramientas que hemos discutido en esta entrada.
  2. También se pueden obtener determinantes en matrices en donde hay variables en vez de escalares. Encuentra el determinante de la matriz $$\begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{pmatrix}.$$
  3. Encuentra todas las matrices $A$ de $2\times 2$ que existen tales que $$\det(A+I_2)=\det(A)+1.$$
  4. Demuestra todas las propiedades de la sección de «Algunos determinantes especiales». Ahí mismo hay sugerencias de cómo puedes proceder.
  5. Revisa las entradas Álgebra Lineal I: Técnicas básicas de cálculo de determinantes y Seminario de Resolución de Problemas: Cálculo de determinantes para conocer todavía más estrategias y ejemplos de cálculo de determinantes.

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Álgebra Superior I: Operaciones de suma y producto escalar con vectores y matrices

Por Eduardo García Caballero

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Introducción

Anteriormente definimos qué son los vectores y las matrices con entradas reales. Así mismo, mencionamos que existen distintas operaciones que los involucran. En esta entrada conocerás dos de estas operaciones: la suma de vectores/matrices y el producto escalar.

Suma de vectores

Una de las operaciones más sencillas que involucra a los vectores es su suma. Para sumar dos vectores con entradas reales, debemos asegurarnos de que ambos tengan la misma cantidad de entradas. De este modo, podemos ver que los vectores $(1,0,3)$ y $(-2,\sqrt{5})$ no pueden ser sumados, pero los vectores $(7,\frac{1}{2},-5)$ y $(\pi,4,3)$ sí.

Para denotar la suma de dos vectores utilizaremos el símbolo $+$ en medio de ellos. Por ejemplo, la suma de $(7,\frac{1}{2},-5)$ y $(\pi,4,3)$ la escribimos como
\[
(7,\tfrac{1}{2},-5)+(\pi,4,3).
\]

El resultado de esta operación lo obtendremos sumando entrada a entrada los dos vectores originales. Es decir, la primera entrada del nuevo vector será igual a la suma de las primeras entradas de los vectores originales; su segunda entrada será igual a la suma de las segundas entradas de los vectores originales; y así sucesivamente (observemos que, de este modo, el vector resultante tiene el mismo tamaño que los vectores originales). Así, el resultado de sumar $(7,\tfrac{1}{2},-5)$ y $(\pi,4,3)$ es
\[
(7,\tfrac{1}{2},-5)+(\pi,4,3) = (7+\pi, \tfrac{1}{2}+4,-5+3).
\]

Además, ya te habrás dado cuenta de que podemos reducir algunas operaciones de cada entrada del vector (esto por la definición de igualdad de vectores que vimos en la entrada anterior). Así, obtenemos que
\[
(7+\pi,\tfrac{1}{2}+4,-5+3) = (7+\pi, \tfrac{9}{2},-2),
\]
y, al ser la igualdad transitiva, llegamos a que
\[
(7,\tfrac{1}{2},-5)+(\pi,4,3) = (7+\pi, \tfrac{9}{2},-2).
\]

El ejemplo que discutimos aquí es para vectores con tres entradas, pero pudimos hacer exactamente lo mismo con vectores de dos entradas, de cuatro o de más.

Producto escalar de vectores

Otra operación que realizaremos de manera frecuente es el producto escalar. Para efectuar esta operación, requeriremos un número real y un vector, y los denotamos escribiendo primero el número y de manera seguida al vector. De este modo, el producto escalar del número real $4$ y el vector $(3,\sqrt{2},5)$ lo denotaremos por
\[
4(3,\sqrt{2},5).
\]

El resultado es esta operación consiste consiste en multiplicar cada una de las entradas de nuestro vector por el número real escogido. Así, podemos ver que
\[
4(3,\sqrt{2},5) = (4(3), 4(\sqrt{2}), 4(5)),
\]
y, al igual que pasa con la suma, en cada entrada tenemos ahora operaciones en los números reales que podemos simplificar, de modo que
\[
(4(3), 4(\sqrt{2}), 4(5)) = (12,4\sqrt{2},20),
\]
y, por lo tanto,
\[
4(3,\sqrt{2},5) = (12,4\sqrt{2},20).
\]

Al número real por el cual multiplicamos el vector lo denominaremos escalar.

Repaso de propiedades de la suma y producto de números reales

Antes de pasar a ver algunas de las propiedades que cumplen las operaciones vistas anteriormente, será conveniente que repasemos algunas de las propiedades que cumplen los números reales (seguramente estas propiedades las recuerdas de tu curso de Cálculo Diferencial e Integral I). Recordemos que si $a$, $b$ y $c$ son números reales, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

Suma:

  • Es asociativa: $(a+b)+c = a+(b+c)$.
  • Es conmutativa: $a+b = b+a$.
  • Tiene neutro: el $0$ es un número real y cumple que $a+0 = 0+a = a$.
  • Tiene inversos: para cada $a$ existe un número real, denotado $-a$, es cual cumple que $a+(-a) = (-a)+a = 0$.

Producto:

  • Es asociativo: $(ab)c = a(bc)$.
  • Es conmutativo: $ab = ba$.
  • Tiene neutro: el $1$ es un número real y cumple que $a(1) = (1)a = a$.
  • Tiene inversos: si $a$ es distinto a $0$, entonces existe un número real, denotado $a^{-1}$, el cual cumple que $a(a^{-1}) = (a^{-1})a = 1$.

Suma y producto:

  • El producto se distribuye sobre la suma: $a(b+c) = ab + ac$ y también $(a+b)c = ac + bc$.

Propiedades de suma y el producto escalar de vectores

En esta sección trabajaremos con vectores en $\mathbb{R}^3$, pero las deducciones son muy parecidas para vectores de cualquier otro tamaño (¿podrías intentarlas para vectores de $\mathbb{R}^4?$).

Primeramente, veamos un ejemplo. Observemos que si $u = (4,6,-2)$ y $v = (1,\tfrac{1}{3},2)$, entonces
\begin{align*}
(4,6,-2) + (1,\tfrac{1}{3}, 2)
&= (4+1,6+\tfrac{1}{3}, -2+2) \\
&= (1+4, \tfrac{1}{3}+6, 2+(-2)) \\
&= (1,\tfrac{1}{3}, 2) + (4,6,-2),
\end{align*}
es decir, $u + v = v+u$. La razón por la cual podemos intercambiar los sumandos en la segunda igualdad es porque las sumas en cada una de las entradas ya son sumas de números reales. Así, la conmutatividad de la suma de reales nos ayudó a ver la conmutatividad de una suma de vectores.

Como puedes ver, para llegar al resultado anterior no nos basamos en ningún valor de $u$ o $v$ en particular. ¡De hecho ni siquiera fue necesario hacer las operaciones! Nos basamos únicamente en las definiciones de igualdad y suma, y en las propiedades de los números reales. Por esta razón, este argumento lo podemos hacer general.

Observemos que cualesquiera vectores $u = (u_1,u_2,u_3)$ y $v=(v_1,v_2,v_3)$ cumplen que
\begin{align*}
u+v
&= (u_1,u_2,u_3)+(v_1,v_2,v_3) \\
&= (u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3) \\
&= (v_1+u_1,v_2+u_2,v_3+u_3) \\
&= (v_1,v_2,v_3)+(u_1,u_2,u_3) \\
&= v+u.
\end{align*}

Otra propiedad bastante interesante tiene que ver con un vector especial que conocimos anteriormente. Recordarás que en la entrada anterior definimos al vector cero. Como su nombre lo sugiere, este vector juega el papel de elemento neutro de la suma. Recordemos que el vector cero en $\mathbb{R}^3$ es $0=(0,0,0)$. Observemos que si $u = (8,\pi,-10)$, entonces
\[
u+0 = (8,\pi,-10) + (0,0,0) = (8+0,\pi+0,-10+0) = (8,\pi,-10) = u.
\]
Aunque pudiera parecer que en este caso sí simplificamos el resultado de la operación, en realidad otra vez hicimos únicamente uso de las definiciones de igualdad y suma de vectores, y esta vez la propiedad de que el $0$ (número real) es neutro para la suma de números reales.

Entonces, podemos ver que para cualquier vector $u = (u_1,u_2,u_3)$ se cumple que
\[
u+0 = (u_1,u_2,u_3) + (0,0,0) = (u_1+0,u_2+0,u_3+0) = (u_1,u_2,u_3) = u.
\]

Otras dos propiedades que cumple la suma de vectores, y que cuya deducción se deja como ejercicio al lector, son las siguientes:

  • Para cualesquiera vectores $u = (u_1,u_2,u_3)$, $v=(v_1,v_2,v_3)$ y $w=(w_1,w_2,w_3)$ se cumple que $(u+v)+w = u+(v+w)$.
  • Para cualquier vector $u = (u_1,u_2,u_3)$ existe un vector $v$ que cumple $u+v = 0$ (Recuerda que aquí $0$ denota al vector $(0,0,0)$. Basta con decir cuál es el vector $v$ que cumple esa propiedad). Más aún, podemos demostrar que $v$ es único para cada $u$. Por esta razón, al único vector $v$ que cumple esta propiedad lo denotaremos $-u$.

Por otra parte, revisemos algunas de las propiedades que cumplen en conjunto la suma de vectores y el producto escalar de vectores.

Veamos que para el escalar (número real) $r$ y para los vectores $u = (u_1,u_2,u_3)$ y $v=(v_1,v_2,v_3)$ se cumple que
\begin{align*}
r(u+v)
&= r((u_1,u_2,u_3) + (v_1,v_2,v_3)) \\
&= r(u_1+v_1, u_2+v_2, u_3+v_3) \\
&= (r(u_1+v_1), r(u_2+v_2), r(u_3+v_3)) \\
&= (ru_1+rv_1, ru_2+rv_2, ru_3+rv_3) \\
&= (ru_1,ru_2+ru_3) + (rv_1,rv_2,rv_3) \\
&= r(u_1,u_2,u_3) + r(v_1,v_2,v_3) \\
&= ru + rv.
\end{align*}

(¿Qué se está usando en cada igualdad? ¿Una definición? ¿Una propiedad de los números reales?)

Asimismo, para cuales quiera $r$ y $s$ escalares, y para cualquier vector $u = (u_1,u_2,u_3)$ se cumple que $(r+s)u = ru + su$. ¿Puedes ver cómo se deduce esta propiedad?

Aunque estas dos propiedades son muy parecidas, realmente dicen cosas distintas: $r(u+v)$ indica que el producto escalar se distribuye sobre la suma de vectores, mientras que $(r+s)u$ indica que el producto escalar se distribuye sobre la suma de escalares (números reales).

Una última propiedad de la suma de vectores y producto de vectores es la siguiente: si $r$ y $s$ son escalares, y $u=(u_1,u_2,u_3)$ es un vector, entonces
\begin{align*}
r(s(u))
&= r(s(u_1,u_2,u_3)) \\
&= r(su_1, su_2, su_3) \\
&= (r(su_1), r(su_2), r(su_3)) \\
&= ((rs)u_1, (rs)u_2, (rs)u_3) \\
&= (rs)(u_1,u_2,u_3) \\
&= (rs)u.
\end{align*}
Aún cuando pudiera parecer trivial, esta última propiedad es muy interesante, pues observemos que $r(su)$ involucra únicamente productos escalares, mientras que en $(rs)u$ aparecen tanto el producto de números reales como el producto escalar.

Conocer estas propiedades nos permitirá manipular con facilidad las operaciones entre vectores. Así, por ejemplo, para saber cuál es el resultado de $((1,4,-1) + 5(0,3,4)) + 5(1,1,-5)$, no tendremos que recurrir a efectuar cada operación por definición: podemos optar por manipular la expresión para obtener
\begin{align*}
((1,4,-1) + 5(0,3,4)) + 5(1,1,-5)
&= (1,4,-1) + (5(0,3,4) + 5(1,1,-5)) \\
&= (1,4,-1) + 5((0,3,4) + (1,1,-5)) \\
&= (1,4,-1) + 5(1,4,-1) \\
&= 1(1,4,-1) + 5(1,4,-1) \\
&= (1+5)(1,4,-1) \\
&= 6(1,4,-1) \\
&= (6,24,-6).
\end{align*}

¿Puedes ver qué propiedad(es) usamos en cada paso?

Suma de matrices

La suma de matrices con entradas reales es muy parecida a la suma de vectores. Al igual que con los vectores, tenemos que asegurarnos que las dos matrices que deseamos sumar tengan el mismo tamaño, es decir, que tengan el mismo número de filas y el mismo de columnas. La suma de matrices también la denotaremos utilizando el símbolo $+$ y de igual manera la realizaremos entrada a entrada, según la fila y columna que estemos calculando.

Así, por ejemplo, la suma de
\[
\begin{pmatrix}
8 & 0 & \sqrt{5} \\
-2 & 10 & 0
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
\begin{pmatrix}
-3 & 1 & \sqrt{5} \\
4 & \pi & -2
\end{pmatrix}
\]
es
\[
\begin{pmatrix}
8 & 0 & \sqrt{5} \\
-2 & 10 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-3 & 1 & \sqrt{5} \\
4 & \pi & -2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
8+(-3) & 0+1 & \sqrt{5}+\sqrt{5} \\
-2+4 & 10+\pi & 0+(-2)
\end{pmatrix},
\]
lo cual queda simplificado como,
\[
\begin{pmatrix}
8 & 0 & \sqrt{5} \\
-2 & 10 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-3 & 1 & \sqrt{5} \\
4 & \pi & -2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5 & 1 & 2\sqrt{5} \\
2 & 10+\pi & -2
\end{pmatrix}.
\]

Producto escalar de matrices

A igual que pasa con la suma, también podemos definir el producto escalar de matrices. Como seguramente ya lo habrás imaginado, esta operación se parece mucho al producto escalar de vectores.

Esta operación involucra a un número real y a una matriz. La denotamos colocando al número real seguido de la matriz, y consiste en multiplicar cada entrada de la matriz por dicho número real.

Por ejemplo, el producto escalar de $-3$ y la matriz
\[
\begin{pmatrix}
8 & 3 \\
\frac{1}{2} & \pi \\
\frac{1}{3} & 4
\end{pmatrix}
\]
es
\[
(-3)
\begin{pmatrix}
8 & 3 \\
\frac{1}{2} & \pi \\
\frac{1}{3} & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(-3)(8) & (-3)3 \\
(-3)(\frac{1}{2}) & (-3)(\pi) \\
(-3)(\frac{1}{3}) & (-3)4
\end{pmatrix},
\]
es decir,
\[
(-3)
\begin{pmatrix}
8 & 3 \\
\frac{1}{2} & \pi \\
\frac{1}{3} & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-24 & -9 \\
-\tfrac{3}{2} & -3\pi \\
-1 & -12
\end{pmatrix}.
\]

Propiedades de suma y producto escalar de matrices

Veamos algunas propiedades que cumplen la suma y el producto escalar de matrices. Para esto, trabajaremos con matrices con tamaño $2 \times 3$, pero verás que las deducciones para matrices de cualquier otro tamaño son muy parecidas.

Recordemos que la matriz cero de tamaño $2 \times 3$ es
\[
\mathcal{O} = \mathcal{O}_{2 \times 3} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]

Observemos que para cualquier matriz
\[
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\]
se cumple que
\begin{align*}
A + \mathcal{O}
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}+0 & a_{12}+0 & a_{13}+0 \\
a_{21}+0 & a_{22}+0 & a_{23}+0
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&= A.
\end{align*}

Por otra parte, dada una matriz $A$, como cada entrada $a_{ij}$ de la matriz es un número real, entonces tienen un respectivo inverso aditivo, es decir, un número $(-a_{ij})$ que cumple que $a_{ij}+(-a_{ij}) = 0$. Así, si definimos
\[
B=
\begin{pmatrix}
(-a_{11}) & (-a_{12}) & (-a_{13}) \\
(-a_{21}) & (-a_{22}) & (-a_{23})
\end{pmatrix}.
\]
Entonces, observemos que
\begin{align*}
A + B
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{2_3}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
(-a_{11}) & (-a_{12}) & (-a_{13}) \\
(-a_{21}) & (-a_{22}) & (-a_{23})
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}+(-a_{11}) & a_{12}+(-a_{12}) & a_{13}+(-a_{13}) \\
a_{21}+(-a_{21}) & a_{22}+(-a_{22}) & a_{23}+(-a_{23})
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\mathcal{O}.
\end{align*}

La matriz $B$ la definimos basándonos en la matriz $A$. Entonces, para cada matriz existe una matriz $B$ que cumple que $A + B = \mathcal{O}$. Como te podrás dar cuenta, la matriz $B$ que cumple esta propiedad es única (¿por qué se cumple esto?); por esta razón, a la $B$ que cumple esta propiedad la denotamos como $-A$.

Seguramente notarás que estas dos propiedades se parecen mucho a las que cumple la suma de vectores. ¿Podrías también probar las siguientes propiedades?

Para cuales quiera matrices $A$, $B$ y $C$ de tamaño $2\times 3$ se cumple que

  • $(A+B)+C = A+(B+C)$.
  • $A+B = B+A$.

Por otra parte, el producto escalar de matrices también se comporta de manera similar al producto escalar de vectores.

Si $r$ y $s$ son escalares y
\[
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix},
\]
entonces
\begin{align*}
(r+s)A
&=
(r+s)
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
(r+s)a_{11} & (r+s)a_{12} & (r+s)a_{13} \\
(r+s)a_{21} & (r+s)a_{22} & (r+s)a_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
ra_{11}+sa_{11} & ra_{12}+sa_{12} & ra_{13}+sa_{13} \\
ra_{21}+sa_{21} & ra_{22}+sa_{12} & ra_{23}+sa_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
ra_{11} & ra_{12} & ra_{13} \\
ra_{21} & ra_{22} & ra_{23}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
sa_{11} & sa_{12} & sa_{13} \\
sa_{21} & sa_{22} & sa_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
r
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
+
s
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
rA + sA.

\end{align*}

Dejamos como ejercicio para el lector probar también las siguientes propiedades:

Para cualquiesquiera escalares $r$ y $s$, y cualesquiera matrices $A$ y $B$ de tamaño $2\times 3$, se cumple que

  • $r(A+B) = rA + rB$.
  • $r(sA) = (rs)A$.

Más adelante…

En esta entrada conocimos las suma y el producto escalar de vectores/matrices, y revisamos algunas propiedades que estas operaciones cumple. Emplear sus propiedades nos permitirá calcular de manera más sencilla sus resultados, además de que se integrarán con operaciones que definiremos en entradas futuras.

En la siguiente entrada conoceremos una nueva operación, la cual involucra al mismo tiempo matrices y vectores.

Tarea moral

  1. Sea $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$. Encuentra explícitamente el resultado de la operación $A+2A+3A+4A+5A+6A+7A$. Como sugerencia, si usas apropiadamente las propiedades que hemos discutido, sólo tendrás que hacer un producto escalar.
  2. ¿Podrías desarrollar las pruebas de las propiedades de suma y producto escalar para vectores en $\mathbb{R}^4$? ¿Podrías hacerlo para suma y producto escalar de matrices de $3 \times 2$?
  3. Como vimos en esta entrada, para cada vector $u$ existe un vector $v$ que cumple que $u+v = 0$. ¿Puedes ver por qué $v$ es único?
  4. En los reales está el escalar $-1$. Demuestra que el producto escalar $(-1)v$ es precisamente el inverso aditivo $-v$ de $v$. Enuncia y demuestra un resultado similar para matrices.
  5. Podemos definir la resta de vectores (o de matrices) de la siguiente manera: $u-v=u+(-v)$. Determina si esta operación es asociativa, conmutativa, si tiene neutro y/o inversos.

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Álgebra Superior I: Introducción a vectores y matrices con entradas reales

Por Eduardo García Caballero

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Introducción

Los vectores y las matrices son algunos de los objetos matemáticos que nos encontraremos con mayor frecuencia durante nuestra formación matemática. Esto se debe a que nos permiten abordar con sencillez varios problemas de distintas áreas de las matemáticas, como lo son la geometría analítica y la teoría de gráficas. Además, nos ayudan a modelar con gran precisión fenómenos de otras disciplinas, como de la mecánica clásica, gráficos por computadora, circuitos eléctricos, robótica, entre otras.

A pesar de que el estudio a profundidad de los vectores y matrices lo realizaremos en los cursos de Álgebra Lineal I y Álgebra Lineal II, esto no es un impedimento para que nos familiaricemos con varios de los conceptos, técnicas y algoritmos que nos permitirán sacar provecho a esta maravillosa área de las matemáticas.

¿Qué son los vectores?

Dependiendo del área que estudiemos, nos podríamos encontrar con distintas definiciones de vectores. Por ejemplo, en la mecánica clásica se visualiza a los vectores como flechas en el plano o en el espacio, ancladas en un «origen» o en cualquier otro punto del plano. En ciencias de la computación, entenderemos que un vector consiste en un arreglo en el que todas sus entradas son datos del mismo tipo. Como veremos más adelante, las distintas formas de visualizar los vectores son equivalentes.

En este curso trabajaremos con un tipo específico de vectores: los vectores cuyas entradas son números reales. ¿Números reales? Sí. Aquí el temario de la asignatura de un brinco un poco grande. Hasta ahora, hemos intentado construir las matemáticas desde sus fundamentos: lógica, conjuntos, funciones, números naturales, etc. Sin embargo, ahora trabajaremos con el conjunto $\mathbb{R}$ de números reales.

Ya platicamos de que el conjunto de naturales $\mathbb{N}$ se puede pensar desde un sistema axiomático y que de hecho podemos «construir» a los naturales a partir de nociones de teoría de conjuntos. En el curso de Álgebra Superior 2 se platica de cómo construir al conjunto $\mathbb{Z}$ de enteros a partir de $\mathbb{N}$, al conjunto $\mathbb{Q}$ de racionales a partir de $\mathbb{Z}$ y finalmente de cómo construir a $\mathbb{R}$ desde $\mathbb{Q}$. Pero por ahora supondremos la existencia de $\mathbb{R}$ y que cumple todos los axiomas que se tratan por ejemplo en un curso de Cálculo Diferencial e Integral I.

Vectores con entradas reales

Un vector con entradas reales lo podemos entender como una lista ordenada de uno o más números (también conocida como tupla) en la que todos sus valores son números reales. Aquí «lista ordenada» lo pensamos no en el sentido de que sus entradas «van creciendo o decreciendo en orden», sino en el sentido «ordenado» como de parejas ordenadas de la segunda unidad de estas notas. Es decir, no nos importan no sólo los números usados, sino también en qué lugar quedaron.

Un ejemplo que seguramente ya has visto en tus clases de geometría analítica son los vectores en el plano o en el espacio. Recordemos que el vector $(5, \pi)$ determina una única posición en el plano, mientras que $\left(8, \sqrt{2}, \tfrac{4}{3}\right)$ determina una única posición en el espacio. Como ambas tuplas están formadas únicamente por números reales, podemos decir que son vectores con entradas reales. A cada uno de los números que aparecen en la lista le llamaremos entrada, y nos podemos referir a la posición de la entrada para decir cuál es su valor; por ejemplo, la primera entrada de $(5, \pi)$ es $5$, mientras que la tercera entrada de $\left(8, \sqrt{2}, \tfrac{4}{3}\right)$ es $\tfrac{4}{3}$.

Como recordarás, decimos que estos vectores se encuentran en $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$, respectivamente. Analizando los ejemplos, te darás cuenta de que el número que acompaña a $\mathbb{R}$ se refiere a la cantidad de números reales que están enlistados en cada vector. Entonces, probablemente te preguntarás qué pasa con listas de más números. Aunque quizá sean más difíciles de visualizar (¡aunque no imposibles!), también existen vectores con cuatro, cinco o incluso más entradas. Esto nos lleva a la siguiente definición.

Definición. Para un número entero positivo $n$, un vector con $n$ entradas reales es una lista ordenada de $n$ elementos, el cual escribiremos $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$. El conjunto $\mathbb{R}^n$ consiste de todos los vectores con $n$ entradas reales.

Así, podemos ver que tenemos que $(1,-3.5,e,1)$ es un vector en $\mathbb{R}^4$, mientras que $(1,1,2,3,5,7,13)$ es un vector en $\mathbb{R}^7$. En notación de conjuntos, $(1,-3.5,e,1)\in\mathbb{R}^4$ y $(1,1,2,3,5,7,13)\in\mathbb{R}^7$.

Una forma de empezar a ver cómo los vectores se relacionan entre ellos es preguntándonos cuándo estos son iguales. La primera condición que seguramente se nos vendrá a la mente es que los dos vectores deben tener la misma longitud; de este modo, podemos inmediatamente descartar que $(5, \pi)$ y $(8, \sqrt{2}, \tfrac{4}{3})$ sean iguales.

Otra condición que seguramente consideraremos es que todas sus entradas deben ser iguales. Así, podemos también descartar que $(5, \pi)$ y $(4, 8)$ sean iguales. Sin embargo, ¿son $(5,\pi)$ y $(\pi, 5)$ iguales? Como recordarás, los vectores son listas ordenadas, por lo que no sólo es importante que tengan las mismas entradas, sino que también aparezcan en el mismo orden. Así, podemos también descartar que $(5,\pi)$ y $(\pi, 5)$ sean iguales: basta ver con que la primera entrada del $(5,\pi)$ es $5$, mientras que la primera entrada de $(\pi,5)$ es $\pi$, y claramente $5\ne\pi$. Así mismo, $(1,5,8,1,3)$ es distinto de $(1,5,8,1,4)$ pues aunque compartan muchos elementos en varias de sus posiciones, en el primer vector la última entrada es $3$ y el el segundo la última entrada es $4$.

Definición. Diremos que dos vectores $(x_1,\ldots,x_n)$ y $(y_1,\ldots,y_n)$ de $\mathbb{R}^n$ son iguales si para toda $i=1,\ldots,n$ se tiene que $x_i=y_i$

Por otra parte, antes dijimos que los vectores tienen varias formas de ser representados. Como ejemplo de esto, podemos ver que el vector $(1,-3.5,e,1)$ puede ser representado como

\[
\begin{pmatrix}
1 \\
-3.5 \\
e \\
1
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
\begin{pmatrix}
1 & -3.5 & e & 1
\end{pmatrix}.
\]

Al formato de la izquierda se le conoce como vector vertical o vector columna, mientras que al formato de la derecha se le conoce como vector horizontal o vector fila. Dependiendo del contexto, en ocasiones nos encontraremos con estas representaciones en vez de la que mostramos inicialmente, aunque es importante recordar que siguen siendo vectores con entradas reales, pues son listas ordenadas de números reales.

Matrices con entradas reales

Otro objeto matemático en el que también se enlistan varios números reales se conoce como matriz, con la diferencia de que esta lista tiene forma de arreglo rectangular.

Definición. Una matriz con entradas reales es un arreglo rectangular en donde en cada una de sus posiciones se coloca un número real.

Por ejemplo, las siguientes son matrices con entradas reales:

\[
\begin{pmatrix}
0 & 8 & -4.5 \\
2 & 9 & 0 \\
1 & \pi & 5
\end{pmatrix},
\qquad
\begin{pmatrix}
0 & -3 & 9 & 4.25 \\
100 & 0.1 & -2 & \sqrt{2}
\end{pmatrix}.
\]
Como podrás ver, para poder identificar a una entrada de una matriz debemos de hacer referencia a dos propiedades: el número de fila y el número de columna en el que se encuentra. Las filas se cuentan de arriba hacia abajo, y las columnas de izquierda a derecha. Así, vemos que la entrada que se encuentra en la fila 3 y columna 2 de la primera matriz es $\pi$. A cada entrada le asignamos una coordenada $(i,j)$, donde $i$ es el número de fila y $j$ es el número de columna. Así, $\pi$ se encuentra en la posición $(3,2)$ de la primera matriz.

Por convención, cuando mencionamos el tamaño de una matriz, primero se especifica el número de filas y posteriormente el número de columnas. Así, la primera matriz es de tamaño $3\times 3$, mientras que la segunda es de tamaño $2 \times 4$. Ya que elegimos el tamaño de una matriz, podemos considerar a todas las matrices de ese tamaño.

Definición. El conjunto $M_{m,n}(\mathbb{R})$ consiste de todas las matrices de $m$ filas, $n$ columnas y en donde cada entrada es un número real.

En el caso de que la cantidad de filas y de columnas de la matriz sean el mismo, diremos que se trata de una matriz cuadrada. De nuestros ejemplos anteriores, la primera sí es una matriz cuadrada, pero la segunda no. Para simplificar un poco la notación, introducimos lo siguiente.

Definición. El conjunto $M_n(\mathbb{R})$ consiste de todas las matrices de $n$ filas, $n$ columnas y en donde cada entrada es un número real.

Es decir, simplemente $M_n(\mathbb{R})=M_{n,n}(\mathbb{R})$.

Al igual que pasa con los vectores, podemos comparar dos matrices para saber si estas son iguales. Como te podrás imaginar, hay algunas condiciones que dos matrices deben cumplir para ser iguales: en primera, ambas deben de tener el mismo tamaño; es decir, sus números de filas deben de ser iguales y sus números de columnas deben de ser iguales. Por lo tanto, vemos que las matrices mostradas anteriormente son diferentes. Además, sus correspondientes entradas deben de ser iguales. Podemos escribir esto en una definición como sigue.

Definición. Sean $A$ y $B$ matrices en $M_{m,n}(\mathbb{R})$. Diremos que estas matrices son iguales si para cada $i\in \{1,\ldots,m\}$ y cada $j\in \{1,\ldots,n\}$ se cumple que la entrada $(i,j)$ de $A$ es la misma que la entrada $(i,j)$ de $B$.

¿Puedes decir por qué las siguientes matrices son diferentes?
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
\ne
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{pmatrix}.
\]

Notación y algunos vectores y matrices especiales

En matemáticas, es usual que denotemos los vectores con letras minúsculas (siendo las más comunes la $u$, $v$ y $w$) aunque muchas veces te podrás encontrar con notaciones especiales que los hacen más fáciles de distinguir, por ejemplo, $\overrightarrow{a}$ o $\mathbf{a}$. Nosotros no haremos esta distinción y usaremos simplemente letras minúsculas. Por ejemplo podríamos tomar al vector $u=(1,2,3)$ de $\mathbb{R}^3$.

Por su parte, las matrices las solemos representar con letras mayúsculas (generalmente las primeras del abecedario: $A$, $B$, $C$). Si la entrada que se encuentra en la fila $i$ y colmuna $j$ de la matriz se le denota como con la correspondiente letra minúscula y con subíndices la posición de su entrada: $a_{ij}$. Así, tendríamos que en
\[
A=
\begin{pmatrix}
0 & 8 & -4.5 \\
2 & 9 & 0 \\
1 & \pi & 5
\end{pmatrix}
\]
la entrada $a_{13} = -4.5$ y la entrada $a_{31} = 1$. ¿Cuál es la entrada $a_{23}$?

Además, existen algunos vectores y matrices con entradas reales que nos encontraremos con bastante frecuencia, y por esta razón reciben nombres especiales:

  • El vector en el que todas sus entradas son el número cero se conoce como vector cero o vector nulo. Por ejemplo, el vector nulo en $\mathbb{R}^2$ es $ (0,0)$ mientras que el nulo en $\mathbb{R}^3$ es $(0,0,0)$. Generalmente, denotamos este vector como $0$ (o, en ocasiones, como $\overrightarrow{0}$ o $\mathbf{0}$) .Es importante observar que se usa el mismo símbolo para representar a los vectores nulos con números distintos de entradas (de modo que podremos encontrar que $0=(0,0)$, en el caso de $\mathbb{R}^2$, o que $0=(0,0,0)$, en el caso de $\mathbb{R}^3$). Esto es algo que debemos tener en cuenta, aunque no suele representar mayores complicaciones, pues el contexto nos dirá 1) Si el símbolo $0$ se usa para el real cero o el vector cero y 2) Con cuántas entradas estamos trabajando.
  • La matriz en el que todas sus entradas son cero se conoce como matriz cero o matriz nula. Ejemplos de matrices nulas son
    \[
    \begin{pmatrix}
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0
    \end{pmatrix}
    \qquad
    \text{y}
    \qquad
    \begin{pmatrix}
    0 & 0 \\
    0 & 0
    \end{pmatrix}.
    \]
    Estas matrices se suelen denotar con el símbolo $\mathcal{O}$, aunque en el caso de las matrices sí es común especificar las dimensiones de la matriz, de modo que la primera matriz escrita en este inciso se denota como $\mathcal{O}_{3\times 4}$ mientras que una matriz cuadrada, como la segunda de este inciso, se denota como $\mathcal{O}_2$.
  • El vector en $\mathbb{R}^n$ cuya $i$-ésima entrada es $1$ y el resto de sus entradas es $0$ se conoce como vector canónico, y se denota $\mathrm{e}_i$. Por ejemplo, el vector canónico $\mathrm{e}_3$ en $\mathbb{R}^4$ es $(0,0,1,0)$.
  • Además, al conjunto de todos los posibles vectores canónicos en $\mathbb{R}^n$ se conoce como la base canónica de $\mathbb{R}^n$; así, la base canónica de $\mathbb{R}^4$ es
    \[
    \{(1,0,0,0), \ (0,1,0,0), \ (0,0,1,0), (0,0,0,1)\} = \{\mathrm{e}_1, \mathrm{e}_2, \mathrm{e}_3, \mathrm{e}_4\}.
    \]
  • Llamamos diagonal de una matriz cuadrada a las componentes cuyos número de fila y número de columna coinciden. Además, diremos que una matriz es una matriz diagonal si es una matriz cuadrada en la que todas sus entradas que no están en la diagonal (es decir, que su número de fila es distinto a su número de columna) son cero. Ejemplos de matrices diagonales son
    \[
    \begin{pmatrix}
    5 & 0 & 0 \\
    0 & 8 & 0 \\
    0 & 0 & \pi
    \end{pmatrix}
    \qquad
    \text{y}
    \qquad
    \begin{pmatrix}
    6 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 7 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 9
    \end{pmatrix}
    \]
    (Observemos que aquellas entradas que se encuentran sobre su diagonal también pueden ser cero, aquí no tenemos ninguna restricción).
  • La matriz diagonal en la que todas sus entradas sobre la diagonal son 1 se conoce como matriz identidad. Ejemplos de matrices identidad son
    \[
    \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0\\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1
    \end{pmatrix}
    \qquad
    \text{y} \\
    \qquad
    \begin{pmatrix}
    1
    \end{pmatrix}.
    \]
    A esta matriz la denotamos por $\mathcal{I}$ y especificamos su tamaño como subíndice. Así, las matrices anteriores son ${I}_3$ e $\mathcal{I}_1$.

Más adelante…

En esta entrada vimos las definiciones de vectores y matrices con entradas reales que usaremos para trabajar en este curso. También revisamos cuándo dos vectores (o matrices) son iguales. Además, vimos algunos ejemplos de vectores y matrices que nos encontraremos con bastante frecuencia en las matemáticas.

En las siguientes entradas veremos que también se pueden hacer operaciones entre vectores y matrices, aunque necesitaremos que se cumplan algunas condiciones especiales.

Tarea moral

  1. Basándonos en la definiciones, verifica las siguientes igualdades:
    • El vector $(4-4,1,3)$ es igual al vector $(0,2-1,2+1)$.
    • La matriz $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4\end{pmatrix}$ es igual a la matriz $B$ de $2\times 2$ cuyas entradas están dadas por $b_{ij}=i\cdot j$.
  2. Encuentra todos los posibles vectores que hay en $\mathbb{R}^3$ cuyas entradas sean únicamente los números $1$ y $2$. ¿Cuántos deben de ser?
  3. Seguramente algunos los nombres de los vectores y matrices especiales te recuerdan a algún tipo de operación. ¿Qué operaciones crees que podamos hacer con los vectores y/o matrices, y qué comportamiento tendrían aquellos que reciben un nombre especial?
  4. ¿Por qué podemos decir que una matriz nula cuadrada cumple con ser una matriz diagonal?
  5. Escribe todos los elementos de la base canónica de $\mathbb{R}^6$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Espacios de funciones

Por Lizbeth Fernández Villegas

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Introducción

En las entradas anteriores hablamos de métricas definidas en distintos conjuntos. Trabajamos a partir de las distancias entre elementos representados como puntos. La mayoría de estos ejemplos fueron sobre el conjunto $\mathbb{R}^n$ pero, ¿será posible considerar como elementos objetos, aparentemente más complejos? Observemos ahora conjuntos de funciones y veamos si es posible definir una métrica entre ellas.

Considera el conjunto $C^0[a,b]$, que es el conjunto de funciones continuas que van del intervalo $[a,b] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Sean $f,g \in C^0[a,b]$. La suma de funciones y el producto de una función por un escalar para $\lambda \in \mathbb{R}$ definidos como:

\begin{align*}
(f+g)(x)&:= f(x)+g(x)\\
(\lambda f)(x)&:= \lambda f(x)
\end{align*}

Nos permiten considerar $C^0[a,b]$ como un espacio vectorial. Presentamos algunas normas para este espacio:

$$\norm{f}_p:= (\int_{a}^{b} |f(x)|^p \,dx)^{1/p} , \text{si } p \in [1,\infty),$$

$$\norm{f}_\infty:= máx\{|f(x)|:a\leq x \leq b \}.$$

En la sección de Espacios normados pudimos observar que una norma induce una métrica en un espacio vectorial. Es importante observar que la distancia entre funciones puede ser diferente según la métrica que se considere. Como ejemplo, consideremos las funciones en $C^0[0,1]$ definidas como:

\begin{align*}
f_k(x) &= \left\{ \begin{array}{lcc}
1-kx & si & 0\leq x \leq \frac{1}{k}\\
0 & si & \frac{1}{k} \leq x \leq 1
\end{array}
\right.\\
g(x)&= 0, \forall x \in [0,1]
\end{align*}

A continuación visualizamos el comportamiento de $f_k(x)$ para $k=1,2,3.$

Mientras que la función $g$ permanece sobre el eje horizontal.

Si calculamos la distancia entre $f_k(x)$ y $g(x)$ con la norma $||\cdot||_\infty$, podemos ver que $\forall \, k \geq 1$

\begin{align*}
||f_k(x)-g(x)||_\infty &= máx\{|f_k(x)-g(x)|:0\leq x \leq 1 \}\\
&= máx\{|1-kx-0|: 0\leq x \leq \frac{1}{k} \}\\
&= máx\{|1-kx|:0\leq x \leq \frac{1}{k} \}\\
&= 1
\end{align*}

La distancia es la línea más grande entre $f_k$ y el eje horizontal.

Pero si consideramos $||\cdot||_p$ para $p=1$
\begin{align*}
\norm{f_k(x)-g(x)}_1&=\norm{f_k(x)-0}_1\\
&=\norm{f_k(x)}_1\\
&= \int_{0}^{1} |f(x)| \,dx)\\
&= \int_{0}^{1/k}1-kx\\
&=\dfrac{1}{2k}
\end{align*}

De modo que cuando $k \to \infty, \norm{f_k(x)-g(x)}_1 \to 0$

La distancia es el área bajo la curva $f_k$

Esto muestra que la distancia entre dos funciones puede variar, considerablemente, al variar también la métrica usada.

Comentarios antes de la proposición

Nota que en el ejemplo anterior las funciones son acotadas, como lo son en general las funciones de $C^0[a,b]$, pues son continuas en un conjunto compacto en $\mathbb{R}$. ¿Qué pasa si alguna de las funciones no es acotada?

Sean $f:[0,1] \to \mathbb{R} \text{ y } g:[0,1] \to \mathbb{R}$ definidas como:
\begin{align*}
f(x) &= \left\{ \begin{array}{lcc}
1/x & si & 0 < x \leq 1\\
0 & si & x = 0
\end{array}
\right.\\
g(x)&= 0
\end{align*}
Entonces $\forall x \in [0,1]$
$|f(x)-g(x)|=|f(x)-0|=|f(x)|=f(x)$
Como $f$ no es acotada en $[0,1]$ no podemos hablar del valor del supremo por lo que la métrica inducida por $\norm{.}_\infty$ no está definida en este caso.

La función no tiene supremo

¿Qué pasa si $f \text{ y }g$ son acotadas pero no necesariamente son continuas?
Sean $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ y $g:[a,b] \to \mathbb{R}$ tales que $\forall \, x\in [a,b], |f(x)|\leq M_f \text{ y } |g(x)| \leq M_g$ para $M_f, M_g \in \mathbb{R}$ Entonces:
\begin{align*}
|f(x)-g(x)|&=|f(x)+(-g(x))|\\
&\leq|f(x)|+|g(x)|\\
&\leq M_f + M_g
\end{align*}

Se concluye que el conjunto $\{|f(x)-g(x)|: x \in [a,b]|\}$ es acotado y por tanto aquí sí podemos hablar del supremo.

Podemos pensar que para generalizar esta distancia entre funciones, basta con que esa distancia esté acotada. Veamos lo siguiente:

Definición función acotada: Sea $S$ un conjunto y $X=(X,d)$ un espacio métrico. Decimos que una función $f:S \to X$ es acotada si existe $M \in \mathbb{R}$ y $x_0 \in X$ tales que $\forall \, y \in S$ ocurre que $d(f(y),x_0) \leq M$. El conjunto de funciones acotadas de $f$ en $X$ se denota como:
$$\mathcal{B}(S,X):= \{ f:S \to X:f \text{ es acotada}\}$$.

La bola $B(x_0,M)$ contiene al conjunto $f(S)$


Proposición: La métrica $d$ en $X$ induce una métrica en $\mathcal{B}(S,X)$ dada por:
$$d_\infty (f,g):= \underset{z\in S}{sup}\,d(f(z),g(z))$$
Y recibe el nombre de métrica uniforme.
Demostración:
Sean $f,g,h \in \mathcal{B}$ entonces:
1) \begin{align*} d_\infty(f,g)&=0 \\
\Leftrightarrow \underset{z\in S}{sup}\,d(f(z),g(z))&=0 \\
\Leftrightarrow \forall \, z \in S, d(f(z),g(z))&=0 \\
\Leftrightarrow \forall \, z \in S, f(z)&=g(z) \\
\Leftrightarrow f&=g. \\
\text{Por lo tanto: } d_\infty (f,g)=0 &\Leftrightarrow f=g
\end{align*}

2) \begin{align*}
d_\infty (f,g)&=\underset{z\in S}{sup}\,d(f(z),g(z))\\
&=\underset{z\in S}{sup}\,d(g(z),f(z)) \\
&=d_\infty(g,f).\\
\text{Por lo tanto: } d_\infty(f,g)&=d_\infty(g,f)
\end{align*}

3) \begin{align*}
d_\infty(f,g)&=\underset{z\in S}{sup}\,d(f(z),g(z))\\
&\leq \underset{z\in S}{sup}\,\{d(f(z),h(z))+d(h(z),g(z))\}\\
&\leq \underset{z\in S}{sup}\,d(f(z),h(z)) + \underset{z\in S}{sup}\,d(h(z),g(z))\\
&\leq d_\infty(f,h)+d_\infty(h,g)\\
\text{Por lo tanto: }d_\infty(f,g)&\leq d_\infty(f,h)+d_\infty(h,g)
\end{align*}

Ejemplos de espacios de funciones

Veamos ejemplos de espacios de funciones y analicemos la cercanía entre ellas. Recordemos que esto lo hacemos a través de las bolas abiertas con centro en un elemento del espacio métrico. En este caso, el centro es una función.

Funciones continuas del intervalo $[0,1]$ en $\mathbb{R}$
Si consideramos a $C[0,1]$ podemos observar que la bola abierta con centro en $f=0$ y radio $1$ está dado por $\{h: |h(x)|<1,x \in [0,1]\}$. Entonces, una función $h$ que esté en $B(f=0,1)$ debe satisfacer que $\forall x \in [0,1], -1<h(x)<1$.

La distancia entre la función $h$ y $0$ es menor que $1$.

En consecuencia, la bola abierta queda representada por curvas cuyos puntos se encuentren entre las rectas $y=-1$ y $y=1$.

Funciones cuya distancia a la función $0$ es menor que $1$.

Por otro lado, si consideramos como centro la función identidad $I(x)=x$ la bola de radio $1$ está dada por $\{h:|h(x)-x|<1,x \in [0,1]\}$. Entonces, una gráfica $h$ que esté en $B(I,1)$ debe satisfacer que $\forall x \in [0,1], -1<h(x)-x<1$ es decir $\forall x \in [0,1], x-1<h(x)<x+1$.

La distancia entre la función $h$ y la identidad es menor que $1$.

Entonces, la bola abierta queda representada por curvas cuyos puntos se encuentren entre las rectas $y=x-1$ y $y=x+1$.

Funciones cuya distancia a la función identidad es menor que $1$.

De manera general si consideramos como centro una función $f(x)$ la bola de radio $1$ está dada por $\{h: |h(x)-f(x)|<1,x \in [0,1]\}$. Entonces, una gráfica $h$ que esté en $B(f,1)$ debe satisfacer que $\forall x \in [0,1], -1<h(x)-f(x)<1$ es decir $\forall x \in [0,1], f(x)-1<h(x)<f(x)+1$.

$f: [0,1] \to \mathbb{R}$
La distancia entre la función $h$ y $f$ es menor que $1$.

Entonces, la bola abierta queda representada por curvas cuyos puntos se encuentren entre las curvas de $f(x)-1$ y $f(x)+1$.

Funciones cuya distancia a la función $f$ es menor que $1$.


Funciones continuas del intervalo $[0,1]$ en $\mathbb{R}^2$
Consideremos a $\mathbb{R}^2$ con la métrica euclideana y a $C[0,1] \to \mathbb{R}^2$ el conjunto de funciones continuas. Una función en este conjunto se representa como una curva continua en $\mathbb{R}^2$

$h:[0,1] \to \mathbb{R}^2$

Entonces, una función $h$ que esté en la bola abierta con centro en $f=0$ y radio $1$ debe satisfacer $\{ h: \norm{h(x)-0}<1,x \in [0,1]\}$. Entonces su representación debe estar dentro de la bola de radio $1$ con centro en $0$.

La distancia entre la función $h$ y $0$ es menor que $1$.

Concluimos que $B(f=0,1)=\{ h: \norm{h(x)}<1, x \in [0,1], \}$. Dicho conjunto puede representarse de esta forma:

Funciones cuya distancia a la función $0$ es menor que $1$.

Funciones continuas de $[0,1]^2$ en $\mathbb{R}$

Ahora identifiquemos el conjunto $B(f=0,1)$ en el espacio $C^0[0,1]^2 \to \mathbb{R}$
El cuadrado $[0,1]^2$ visualizado en el plano $x_1 \, x_2$ se muestra como una sábana continua y representa la función $f(x)=0, x \in [0,1]^2$.

Función $f=0$.

Si $h$ está en $B(f=0,1)$ entonces $|h(x)-0|<1,x \in [0,1]^2$, es decir, para todo $x \in [0,1]^2, -1<h(x)<1$. De modo que su gráfica será una sábana que esté entre las gráficas de $f_1(x)=-1 \, y\, f_2(x)=1$.

La distancia entre la función $h$ y $0$ es menor que $1$.

La $B(f=0,1)$ será la colección de todas las sábanas que cumplan esas condiciones:

Funciones cuya distancia a la función $0$ es menor que $1$.

Ahora considera como centro la función $f(x_1,x_2)=x_1$. Observemos el conjunto $B(f,1)$ en el espacio $C^0[0,1]^2 \to \mathbb{R}$.
La gráfica de $f$ se muestra a continuación.

Función $f$.

Si $h$ está en $B(f,1)$ entonces $|h(x)-f(x)|<1,x \in [0,1]^2$, es decir, para todo $x \in [0,1]^2, x_{1}-1<h(x_1,x_2)<x_{2}+1$. De modo que su gráfica será una sábana que esté entre las gráficas de $f_1(x_1,x_2)=x_{1}-1\, y \, f_2(x_1,x_2)=x_{1}+1$.

La distancia entre la función $h$ y $f$ es menor que $1$.

La $B(f,1)$ será la colección de todas las sábanas que cumplan esas condiciones:

Queda como ejercicio al lector hacer el análisis corresponiente para una bola abierta con centro en una función arbitraria.

Funciones cuya distancia a la función $f$ es menor que $1$.
Función $h:[0,1]^2 \to \mathbb{R}^2$

Funciones continuas de $[0,1]^2$ en $\mathbb{R}^2$

Considera $h$ una función en $C^0[0,1]^2 \to \mathbb{R}^2$. Bajo esa función, el cuadrado $[0,1]^2$ es transformado en una superficie como las mostradas en la imagen.

Si buscamos funciones que estén en la bola con centro en la función $0$ y radio $1$, demuestra que las figuras que representan la imagen de estas funciones estarán dentro del círculo unitario.

Más adelante…

Aprenderemos cómo identificar objetos que se aproximan entre sí y las condiciones que debe haber para que esto ocurra. Conoceremos el concepto de sucesión convergente en espacios métricos y descubriremos más particularidades que en el espacio euclideano no ocurren pero en otros espacios sí.

Tarea moral

  1. Describe una representación de la bola abierta en $\mathbb{R}^2$ con un centro en una función distinta a la función cero.
  2. Describe una representación de la bola abierta con centro en una función arbitraria en el espacio de funciones continuas de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}$.
  3. En el espacio de funciones continuas de $[0,1]^2$ en $\mathbb{R}^2$ buscamos funciones que estén en la bola con centro en la función $0$ y radio $1$. Demuestra que las figuras que representan la imagen de estas funciones estarán dentro del círculo unitario.

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