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Ecuaciones Diferenciales I: Soluciones a sistemas de ecuaciones diferenciales

Por Omar González Franco

Los errores y dificultades no resueltos en el pasado de las matemáticas
siempre han sido las oportunidades de su futuro.
– E. T. Bell

Introducción

En la entrada anterior vimos lo que es un sistema de ecuaciones diferenciales, en particular un sistema lineal de primer orden. Vimos también lo que es un problema de valores iniciales y establecimos la notación matricial.

Así mismo, vimos cómo es que una ecuación diferencial lineal de orden $n$ se puede transformar en un sistema lineal de primer orden, esto tiene bastante ventaja ya que, una vez que veamos cómo resolver sistemas de ecuaciones diferenciales, muchas veces será más sencillo resolver el sistema que resolver la ecuación de orden $n$ aplicando los métodos que ya conocemos.

En esta entrada estudiaremos las propiedades de las soluciones de los sistemas lineales de primer orden.

Cabe mencionar que mucho de lo que desarrollaremos en esta entrada es bastante similar a la teoría vista con las ecuaciones diferenciales de orden $n$ , comenzando por la validez del principio de superposición.

A partir de ahora sólo usaremos la notación matricial y toda la teoría básica del álgebra lineal que éstas conllevan.

Soluciones de sistemas lineales de primer orden

Comencemos por estudiar el caso homogéneo. El sistema lineal de primer orden homogéneo es

$\begin{matrix} (1) & (\begin{matrix} y_{1}^{'} \\ y_{2}^{'} \\ ⋮ \\ y_{n}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} (t) & a_{12} (t) & \dots & a_{1 n} (t) \\ a_{21} (t) & a_{22} (t) & \dots & a_{2 n} (t) \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} (t) & a_{n 2} (t) & \dots & a_{n n} (t) \end{matrix}) (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{matrix}) \end{matrix}$

O bien,

$\begin{matrix} (2) & Y^{'} = AY \end{matrix}$

En la entrada anterior definimos la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales en el intervalo $δ$ como el conjunto de $n$ funciones

$\begin{matrix} (3) & S_{0} = {y_{1} (t), y_{2} (t), \dots, y_{n} (t)} \end{matrix}$

definidas en $δ$ y diferenciables en el mismo intervalo, tales que satisfacen simultáneamente las $n$ ecuaciones diferenciables de un sistema lineal.

Las soluciones pueden ser escritas como el vector

$\begin{matrix} (4) & Y = (\begin{matrix} y_{1} (t) \\ y_{2} (t) \\ ⋮ \\ y_{n} (t) \end{matrix}) \end{matrix}$

cuyos elementos son funciones derivables que satisfacen un sistema lineal en el intervalo $δ$ .

En las siguientes definiciones y teoremas se supondrá que los coeficientes $a_{i j} (t)$ , $i, j \in {1, 2, 3, \dots, n}$ y ,para el caso no homogéneo, las funciones $g_{i} (t)$ , son continuas en algún intervalo común $δ$ .

Comencemos por mostrar que el principio de superposición también es valido para sistemas lineales.

Teorema: Sean

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{m}

vectores solución del sistema homogéneo (

2

) en un intervalo

δ

, entonces la combinación lineal

\begin{matrix} (5) & Y = c_{1} Y_{1} + c_{2} Y_{2} + \dots + c_{m} Y_{m} \end{matrix}

donde las

c_{i}

i = 1, 2, \dots, m

son constantes arbitrarias, es también una solución en el intervalo

δ

Demostración: Consideremos la combinación lineal

$Y = c_{1} Y_{1} + c_{2} Y_{2} + \dots + c_{m} Y_{m}$

con

$Y_{i} = (\begin{matrix} y_{1 i} \\ y_{2 i} \\ ⋮ \\ y_{n i} \end{matrix})$

para $i = 1, 2, \dots, m$ . La derivada de $Y_{i}$ esta dada por

$Y_{i}^{'} = (\begin{matrix} y_{1 i}^{'} \\ y_{2 i}^{'} \\ ⋮ \\ y_{n i}^{'} \end{matrix})$

Entonces la derivada de la combinación lineal es

$\begin{aligned} Y^{'} & = (\begin{array}{c} c_{1} y_{11}^{'} + c_{2} y_{12}^{'} + \dots + c_{m} y_{1 m}^{'} \\ c_{1} y_{21}^{'} + c_{2} y_{22}^{'} + \dots + c_{m} y_{2 m}^{'} \\ ⋮ \\ c_{1} y_{n 1}^{'} + c_{2} y_{n 2}^{'} + \dots + c_{m} y_{n m}^{'} \end{array}) \\ = c_{1} (\begin{array}{c} y_{11}^{'} \\ y_{21}^{'} \\ ⋮ \\ y_{n 1}^{'} \end{array}) + c_{2} (\begin{array}{c} y_{12}^{'} \\ y_{22}^{'} \\ ⋮ \\ y_{n 2}^{'} \end{array}) + \dots + c_{m} (\begin{array}{c} y_{1 m}^{'} \\ y_{2 m}^{'} \\ ⋮ \\ y_{n m}^{'} \end{array}) \\ = c_{1} Y_{1}^{'} + c_{2} Y_{2}^{'} + \dots + c_{m} Y_{m}^{'} \end{aligned}$

Como cada $Y_{i}$ , $i = 1, 2, \dots, m$ , es solución del sistema homogéneo ( $2$ ) en $δ$ , entonces

$Y_{i}^{'} = A Y_{i}$

así

$\begin{aligned} Y^{'} & = c_{1} ({AY}_{1}) + c_{2} ({AY}_{2}) + \dots + c_{m} ({AY}_{m}) \\ = A (c_{1} Y_{1} + c_{2} Y_{2} + \dots + c_{m} Y_{m}) \\ = AY \end{aligned}$

En donde se ha hecho uso de la propiedad distributiva de la matriz $A$ y de la hipótesis ( $5$ ). Por lo tanto, la combinación lineal

$Y = c_{1} Y_{1} + c_{2} Y_{2} + \dots + c_{m} Y_{m}$

también es solución y los es en el mismo intervalo común $δ$ ya que esta compuesta de soluciones definidas en dicho intervalo.

Corolario: Un múltiplo constante de cualquier vector solución de un sistema lineal homogéneo es también solución.

Intenta hacer la demostración.

Definición: Denotaremos como

S

al conjunto de vectores que son solución del sistema lineal homogéneo (

2

\begin{matrix} (6) & S = {Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{m}} \end{matrix}

Realicemos un ejemplo.

Ejemplo: Probar que la combinación lineal

$Y = c_{1} Y_{1} + c_{2} Y_{2} + c_{3} Y_{3} = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) + c_{2} (\begin{matrix} e^{2 t} \\ e^{2 t} \\ 0 \end{matrix}) + c_{3} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ e^{3 t} \end{matrix})$

es solución del sistema lineal

$Y^{'} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}) Y$

Solución: Probemos que cada uno de los vectores de la combinación lineal es solución y usemos el principio de superposición.

Los vectores son

$Y_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}), Y_{2} = (\begin{matrix} e^{2 t} \\ e^{2 t} \\ 0 \end{matrix}), Y_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ e^{3 t} \end{matrix})$

Por un lado, derivemos estos vectores.

$Y_{1}^{'} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), Y_{2}^{'} = (\begin{matrix} 2 e^{2 t} \\ 2 e^{2 t} \\ 0 \end{matrix}), Y_{3}^{'} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 e^{3 t} \end{matrix})$

Por otro lado, sustituyamos cada uno de los vectores en el sistema lineal y usemos los resultados anteriores.

${AY}_{1} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 - 1 \\ 1 - 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = Y_{1}^{'}$

${AY}_{2} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} e^{2 t} \\ e^{2 t} \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} e^{2 t} + e^{2 t} \\ e^{2 t} + e^{2 t} \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 e^{2 t} \\ 2 e^{2 t} \\ 0 \end{matrix}) = Y_{2}^{'}$

${AY}_{3} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ e^{3 t} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 e^{3 t} \end{matrix}) = Y_{3}^{'}$

De esta manera queda mostrado que los tres vectores son solución, ya que satisfacen el sistema. Por el principio de superposición concluimos que la combinación lineal

también es solución del sistema lineal.

El principio de superposición nos indica que un sistema lineal puede tener más de una solución, sin embargo, similar al caso de ecuaciones diferenciales de orden $n$ , buscamos soluciones que sean linealmente independientes entre sí. A continuación definimos la dependencia e independencia lineal de las soluciones en este contexto.

Definición: Sea

S = {Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{m}}

un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo (

2

) en un intervalo

δ

. Se dice que el conjunto es linealmente dependiente en el intervalo si existen constantes

c_{1}, c_{2}, \dots, c_{m}

, no todas cero, tales que

\begin{matrix} (7) & c_{1} Y_{1} + c_{2} Y_{2} + \dots + c_{m} Y_{m} = 0 \end{matrix}

para toda

t \in δ

. Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente en

δ

, es decir, si ocurre (

7

) implicando que

c_{1} = c_{2} = \dots = c_{m} = 0

, entonces se dice que el conjunto es linealmente independiente.

En la unidad anterior definimos una herramienta muy útil que, además de ayudarnos a resolver ecuaciones diferenciales de orden superior en algunos métodos, nos ayuda a determinar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente, dicha herramienta es el Wronskiano, la definición en el caso de los sistemas lineales de primer orden, es la siguiente.

Definición: Sean

Y_{1} (t) = (\begin{matrix} y_{11} \\ y_{21} \\ ⋮ \\ y_{n 1} \end{matrix}), Y_{2} (t) = (\begin{matrix} y_{12} \\ y_{22} \\ ⋮ \\ y_{n 2} \end{matrix}), \dots, Y_{n} (t) = (\begin{matrix} y_{1 n} \\ y_{2 n} \\ ⋮ \\ y_{n n} \end{matrix})

n

soluciones del sistema lineal homogéneo (

2

) en un intervalo

δ

, se define el Wronskiano como el siguiente determinante.

\begin{matrix} (8) & W (Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}) = | \begin{matrix} y_{11} & y_{12} & \dots & y_{1 n} \\ y_{21} & y_{22} & \dots & y_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ y_{n 1} & y_{n 2} & \dots & y_{n n} \end{matrix} | \end{matrix}

Se puede demostrar que si el Wronskiano es distinto de cero, entonces las soluciones son linealmente independientes, igual que antes, esto es conocido como el criterio para soluciones linealmente independientes. Para demostrar este hecho es conveniente recordar algunos resultados de álgebra que podremos usar en la demostración.

Recordemos que un sistema lineal de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas es un conjunto de ecuaciones

$\begin{matrix} (9) & \begin{matrix} b_{11} u_{1} + b_{12} u_{2} + \dots + b_{1 n} u_{n} = d_{1} \\ b_{21} u_{1} + b_{22} u_{2} + \dots + b_{2 n} u_{n} = d_{2} \\ ⋮ \\ b_{n 1} u_{1} + b_{n 2} u_{2} + \dots + b_{n n} u_{n} = d_{n} \end{matrix} \end{matrix}$

Con $b_{i, j}$ y $d_{i}$ , $i, j \in {1, 2, 3, \dots, n}$ números reales dados y $u_{i}$ , $i = 1, 2, \dots, n$ las incógnitas. Usando la notación matricial podemos escribir el sistema ( $9$ ) como

$\begin{matrix} (10) & BU = D \end{matrix}$

con

$B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ b_{n 1} & b_{n 2} & \dots & b_{n n} \end{matrix}), U = (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ ⋮ \\ u_{n} \end{matrix}), D = (\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ ⋮ \\ d_{n} \end{matrix})$

Los resultados que nos interesan son los siguientes.

Teorema: El sistema de ecuaciones (

10

) tiene una única solución si y sólo si el determinante de

B

es distinto de cero, es decir,

| B | \neq 0

Teorema: Si

D = 0

y el sistema sólo tiene solución trivial

U = 0

, entonces

| B | \neq 0

. En su efecto, si el sistema no tiene solución trivial, es decir,

U \neq 0

, entonces

| B | = 0

Si $D = 0$ , el sistema ( $10$ ) también recibe el nombre de sistema homogéneo.

Con estos resultados podemos demostrar el criterio para soluciones linealmente independientes que se enuncia a continuación.

Teorema: Sean

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}

n

vectores solución del sistema homogéneo (

2

) en un intervalo

δ

, entonces el conjunto de vectores solución

S = {Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}}

es linealmente independiente en

δ

si y sólo si

\forall

t \in δ

el Wronskiano es distinto de cero.

W (Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}) \neq 0

Demostración:

$\Rightarrow$ ) Por demostrar: $W (Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}) \neq 0$ .

Sea $t_{0} \in δ$ en el que $W (t_{0}) = 0$ , en donde $W (t_{0})$ denota al Wronskiano con cada vector solución evaluado en el punto $t_{0}$ .

$W (t_{0}) = W (Y_{1} (t_{0}), Y_{2} (t_{0}), \dots, Y_{n} (t_{0}))$

En una combinación de ambos teoremas de los resultados de álgebra podemos deducir que existen constantes $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ , no todos cero, tal que

$\begin{matrix} (11) & Y (t_{0}) = c_{1} Y_{1} (t_{0}) + c_{2} Y_{2} (t_{0}) + \dots + c_{n} Y_{n} (t_{0}) = 0 \end{matrix}$

Lo que tenemos es un sistema lineal de $n$ ecuaciones homogéneo con $n$ incógnitas (sistema lineal en el contexto algebraico ( $10$ ) con $D = 0$ , no sistema lineal de ecuaciones diferenciales), dichas incógnitas son las constantes $c_{i}$ , $i = 1, 2, \dots, n$ . La relación ( $11$ ) se cumple debido a que si el Wronskiano es igual a cero, entonces es posible que el sistema no tenga solución trivial y mucho menos una solución única, esto lo deducimos de los teoremas de álgebra que establecimos.

Por otro lado, sabemos por hipótesis que los vectores $Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}$ son solución del sistema homogéneo ( $2$ ) en el intervalo $δ$ , por el principio de superposición sabemos también que la combinación lineal

$Y (t) = c_{1} Y_{1} + c_{2} Y_{2} + \dots + c_{n} Y_{n}$

es solución de ( $2$ ) en $δ$ . Del resultado ( $11$ ) y de la unicidad de la solución se deduce que $Y (t) = 0$ para algún punto $t = t_{0} \in δ$ , es decir,

$c_{1} Y_{1} + c_{2} Y_{2} + \dots + c_{n} Y_{n} = 0$

Pero por hipótesis los vectores $Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}$ son linealmente independientes en $δ$ , lo que implica que

$c_{1} = c_{2} = \dots = c_{n} = 0$

lo cual es una contradicción con lo que establecimos en ( $11$ ). Por lo tanto, el Wronskiano tiene que ser distinto de cero, es decir

$W (Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}) \neq 0$

$\Leftarrow$ ) Por demostrar: $S$ es linealmente independiente.

Este caso también lo demostraremos por contradicción. Supongamos que los vectores solución $Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}$ son linealmente dependientes en $δ$ , esto implica que existen constantes $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ no todos cero, tal que

$c_{1} Y_{1} + c_{2} Y_{2} + \dots + c_{n} Y_{n} = 0$

Este sistema lo podemos escribir en la forma ( $9$ ) como

$\begin{matrix} c_{1} y_{11} + c_{2} y_{12} + \dots + c_{n} y_{1 n} = 0 \\ c_{1} y_{21} + c_{2} y_{22} + \dots + c_{n} y_{2 n} = 0 \\ ⋮ \\ c_{1} y_{n 1} + c_{2} y_{n 2} + \dots + c_{n} y_{n n} = 0 \end{matrix}$

En donde las funciones $y_{i j}$ , $i, j \in {1, 2, 3, \dots, n}$ son los coeficientes y las constantes $c_{i}$ , $i = 1, 2, \dots, n$ son las incógnitas. Debido a que las $c_{i}$ no son todas cero implica que el sistema no tiene solución trivial y por el segundo teorema de los resultados de álgebra concluimos que

$W (Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}) = 0$

Pero, por hipótesis

$W (Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}) \neq 0$

lo cual es una contradicción y todo nace de considerar a $S$ como un conjunto linealmente dependiente. Por lo tanto, el conjunto de soluciones

$S = {Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}}$

es linealmente independiente en $δ$ .

Un resultado interesante se enuncia a continuación.

Teorema: Sean

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}

n

vectores solución del sistema homogéneo (

2

), entonces para toda

t \in δ

ocurre sólo uno de los siguientes casos:

W (Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}) = 0

W (Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}) \neq 0

Este resultado nos garantiza que si $W \neq 0$ para algún punto $t_{0} \in δ$ , entonces $W \neq 0$ para toda $t \in δ$ y por el criterio anterior las soluciones serán linealmente independientes en ese intervalo.

El conjunto de soluciones linealmente independientes del sistema lineal ( $2$ ) recibe un nombre especial.

Definición: Al conjunto

S = {Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}}

n

vectores solución linealmente independientes del sistema homogéneo (

2

) en un intervalo

δ

se dice que es un conjunto fundamental de soluciones en dicho intervalo.

El siguiente teorema nos garantiza la existencia de este conjunto.

Teorema: Existe un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo en un intervalo

δ

El conjunto fundamental de soluciones está constituido por vectores que son linealmente independientes entre sí, con estos vectores es posible formar una matriz cuyas columnas están formadas con las entradas de dichos vectores, esta matriz tiene un nombre especial.

Definición: Sean

Y_{1} (t), Y_{2} (t), \dots, Y_{n} (t)

n

soluciones linealmente independientes del sistema lineal homogéneo (

2

). Se le denomina matriz fundamental de soluciones del sistema a la matriz conformada por los vectores solución.

\begin{matrix} (12) & M (t) = (\begin{matrix} y_{11} (t) & y_{12} (t) & \dots & y_{1 n} (t) \\ y_{21} (t) & y_{22} (t) & \dots & y_{2 n} (t) \\ ⋮ & ⋮ \\ y_{n 1} (t) & y_{n 2} (t) & \dots & y_{n n} (t) \end{matrix}) \end{matrix}

Un hecho interesante es que el determinante de la matriz fundamental de soluciones corresponde al Wronskiano.

$\begin{matrix} (13) & W (Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}) = | M (t) | \end{matrix}$

Realicemos un ejemplo, para ello consideremos el sistema lineal del ejemplo anterior.

Ejemplo: Mostrar que las soluciones

$Y_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}), Y_{2} = (\begin{matrix} e^{2 t} \\ e^{2 t} \\ 0 \end{matrix}), Y_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ e^{3 t} \end{matrix})$

del sistema lineal

$Y^{'} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}) Y$

son linealmente independientes.

Solución: En el ejemplo anterior ya comprobamos que efectivamente son solución del sistema lineal dado. Para determinar si son linealmente independientes veamos si el Wronskiano es distinto de cero.

$W (Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}) = | \begin{matrix} 1 & e^{2 t} & 0 \\ - 1 & e^{2 t} & 0 \\ 0 & 0 & e^{3 t} \end{matrix} | = e^{5 t} + 0 + 0 - 0 - 0 - (- e^{5 t}) = 2 e^{5 t} \neq 0$

Como $W \neq 0$ , $\forall$ $t \in R$ , entonces los vectores dados son linealmente independientes y por lo tanto forman un conjunto fundamental de soluciones en $R$ .

$S = {(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} e^{2 t} \\ e^{2 t} \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ e^{3 t} \end{matrix})}$

La matriz fundamental de soluciones es

$M (t) = (\begin{matrix} 1 & e^{2 t} & 0 \\ - 1 & e^{2 t} & 0 \\ 0 & 0 & e^{3 t} \end{matrix})$

Un buen ejercicio sería mostrar que un conjunto de soluciones del sistema lineal homogéneo ( $2$ ) forma un espacio vectorial, es relativamente sencillo probar cada una de las propiedades o axiomas que definen a un espacio vectorial. El resultado a demostrar de tarea moral es el siguiente.

Teorema: El conjunto de soluciones (

6

) del sistema lineal homogéneo (

2

) forma un espacio vectorial con la suma y el producto por escalares usuales de matrices.

Soluciones generales a sistemas lineales

Ahora que conocemos algunas propiedades de las soluciones de sistemas lineales, es momento de conocer la forma general de las soluciones de los sistemas lineales tanto homogéneos como no homogéneos.

Comencemos por enunciar el teorema que establece la forma de la solución general de un sistema lineal homogéneo ( $2$ ).

Teorema: Sea

S = {Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}}

un conjunto fundamental de soluciones del sistema lineal homogéneo

Y^{'} = AY

en un intervalo

δ

. Entonces la solución general del sistema en el intervalo

δ

\begin{matrix} (14) & Y = c_{1} Y_{1} + c_{2} Y_{2} + \dots + c_{n} Y_{n} \end{matrix}

donde las

c_{i}

i = 1, 2, \dots, n

son constantes arbitrarias.

Demostración: Sea $Y (t)$ una solución arbitraria del sistema lineal homogéneo en el intervalo $δ$ , sea $t_{0} \in δ$ y supongamos que

$Y (t_{0}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}) = Y_{0}$

Es decir, la función $Y (t)$ satisface el problema de valores iniciales $Y^{'} = AY; Y (t_{0}) = Y_{0}$ .

Por otro lado, por el principio de superposición sabemos que la combinación lineal

$\hat{Y} (t) = c_{1} Y_{1} (t) + c_{2} Y_{2} (t) + \dots + c_{n} Y_{n} (t)$

también es solución del sistema lineal $Y^{'} = AY$ . Donde $c_{i}$ , $i = 1, 2, \dots, n$ son constantes arbitrarias y las $Y_{i}$ , $i = 1, 2, \dots, n$ son las soluciones del conjunto fundamental de soluciones del sistema lineal. Supongamos que

$\hat{Y} (t_{0}) = c_{1} Y_{1} (t_{0}) + c_{2} Y_{2} (t_{0}) + \dots + c_{n} Y_{n} (t_{0}) = Y_{0}$

Lo que tenemos es el siguiente sistema de $n$ ecuaciones.

$\begin{matrix} c_{1} y_{11} (t_{0}) + c_{2} y_{12} (t_{0}) + \dots + c_{n} y_{1 n} (t_{0}) = b_{1} \\ c_{1} y_{21} (t_{0}) + c_{2} y_{22} (t_{0}) + \dots + c_{n} y_{2 n} (t_{0}) = b_{2} \\ ⋮ \\ c_{1} y_{n 1} (t_{0}) + c_{2} y_{n 2} (t_{0}) + \dots + c_{n} y_{n n} (t_{0}) = b_{n} \end{matrix}$

En donde las incógnitas son las contantes $c_{i}$ , $i = 1, 2, \dots, n$ . Como las funciones $y_{i j}$ , $i, j \in {1, 2, 3, \dots, n}$ pertenecen a vectores del conjunto de soluciones, entonces sabemos que $Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}$ son linealmente independientes y por el criterio para soluciones linealmente independientes inferimos que $W (t_{0}) \neq 0$ , donde

$W (t_{0}) = W (Y_{1} (t_{0}), Y_{2} (t_{0}), \dots, Y_{n} (t_{0}))$

De los resultados de álgebra deducimos que el sistema de $n$ ecuaciones tiene solución única, esto significa que existen constantes únicas $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ , tal que

$c_{1} Y_{1} (t_{0}) + c_{2} Y_{2} (t_{0}) + \dots + c_{n} Y_{n} (t_{0}) = Y_{0}$

Esto nos indica que

$\hat{Y} (t) = c_{1} Y_{1} (t) + c_{2} Y_{2} (t) + \dots + c_{n} Y_{n} (t)$

es solución del problema de valores iniciales. Por el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneas concluimos que $Y (t) = \hat{Y} (t)$ , es decir,

$Y (t) = c_{1} Y_{1} (t) + c_{2} Y_{2} (t) + \dots + c_{n} Y_{n} (t)$

Como $Y (t)$ es una solución arbitraria, entonces debe ser la solución general del sistema lineal homogéneo en $δ$ .

Para concluir la entrada estudiemos el caso no homogéneo.

Sistemas no homogéneos

El sistema lineal de primer orden no homogéneo es

$\begin{matrix} (15) & (\begin{matrix} y_{1}^{'} (t) \\ y_{2}^{'} (t) \\ ⋮ \\ y_{n}^{'} (t) \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} (t) & a_{12} (t) & \dots & a_{1 n} (t) \\ a_{21} (t) & a_{22} (t) & \dots & a_{2 n} (t) \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} (t) & a_{n 2} (t) & \dots & a_{n n} (t) \end{matrix}) (\begin{matrix} y_{1} (t) \\ y_{2} (t) \\ ⋮ \\ y_{n} (t) \end{matrix}) + (\begin{matrix} g_{1} (t) \\ g_{2} (t) \\ ⋮ \\ g_{n} (t) \end{matrix}) \end{matrix}$

O bien,

$\begin{matrix} (16) & Y^{'} = AY + G \end{matrix}$

El vector de funciones que satisface el sistema ( $16$ ) es una solución y recibe un nombre.

Definición: Se le denomina solución particular

Y_{p}

a cualquier vector que es libre de parámetros arbitrarios cuyos elementos son funciones que satisfacen el sistema (

16

) en algún intervalo

δ

A continuación se enuncia el teorema que nos muestra la forma general de la solución de un sistema lineal no homogéneo.

Teorema: Sea

Y_{p}

una solución particular del sistema no homogéneo (

16

) en un intervalo

δ

y sea

\begin{matrix} (17) & Y_{c} = c_{1} Y_{1} + c_{2} Y_{2} + \dots + c_{n} Y_{n} \end{matrix}

la solución general en el mismo intervalo

δ

del sistema homogéneo asociado

Y^{'} = AY

. Entonces la solución general del sistema no homogéneo en el intervalo

δ

, es

\begin{matrix} (18) & Y (t) = Y_{c} (t) + Y_{p} (t) \end{matrix}

Demostración: Sea

$Y_{p} (t) = (\begin{matrix} y_{1 p} \\ y_{2 p} \\ ⋮ \\ y_{n p} \end{matrix})$

una solución particular de ( $16$ ) y sean $Y_{1} (t), Y_{2} (t), \dots, Y_{n} (t)$ , $n$ soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo asociado $Y^{'} = AY$ .

Sea $Y (t)$ una solución arbitraria del sistema no homogéneo, notemos lo siguiente.

$\begin{aligned} (Y (t) - Y_{p} (t))^{'} & = Y^{'} (t) - Y_{p}^{'} (t) \\ = (AY (t) + G) - ({AY}_{p} (t) + G) \\ = A (Y (t) - Y_{p} (t)) \end{aligned}$

Este resultado nos indica que $Y (t) - Y_{p} (t)$ es solución del sistema homogéneo, eso significa que se puede escribir como

$Y (t) - Y_{p} (t) = c_{1} Y_{1} (t) + c_{2} Y_{2} (t) + \dots + c_{n} Y_{n} (t)$

entonces, la solución $Y$ tiene la forma

$\begin{matrix} (19) & Y (t) = c_{1} Y_{1} (t) + c_{2} Y_{2} (t) + \dots + c_{n} Y_{n} (t) + Y_{p} (t) \end{matrix}$

La solución $Y (t)$ , al ser cualquier solución del sistema lineal no homogéneo, podemos deducir que la solución general debe tener la forma ( $19$ ), por lo que concluimos que $Y (t)$ se trata de la solución general de ( $16$ ).

Considerando la hipótesis ( $17$ ) concluimos que la solución general del sistema lineal no homogéneo es

$Y (t) = Y_{c} (t) + Y_{p} (t)$

Cuando estamos trabajando con un sistema lineal no homogéneo, la solución general del sistema lineal homogéneo asociado ( $17$ ) recibe un nombre particular.

Definición: La solución general

Y_{c}

del sistema lineal homogéneo asociado se le denomina función complementaria del sistema lineal no homogéneo.

Concluyamos con un ejemplo.

Ejemplo: Probar que el vector

$Y_{p} = (\begin{matrix} - \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{1}{2} t e^{2 t} \\ - e^{t} + \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{1}{2} t e^{2 t} \\ \frac{1}{2} t^{2} e^{3 t} \end{matrix})$

es una solución particular del siguiente sistema lineal no homogéneo.

$Y^{'} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}) Y + (\begin{matrix} e^{t} \\ e^{2 t} \\ t e^{3 t} \end{matrix})$

Solución: Por un lado, derivemos el vector dado.

$Y_{p}^{'} = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} e^{2 t} + \frac{1}{2} e^{2 t} + t e^{2 t} \\ - e^{t} + \frac{1}{2} e^{2 t} + \frac{1}{2} e^{2 t} + t e^{2 t} \\ t e^{3 t} + \frac{3}{2} t^{2} e^{3 t} \end{matrix}) = (\begin{matrix} t e^{2 t} \\ - e^{t} + e^{2 t} + t e^{2 t} \\ t e^{3 t} + \frac{3}{2} t^{2} e^{3 t} \end{matrix})$

Por otro lado, sustituyamos directamente en el sistema al vector dado.

$Y^{'} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} - \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{1}{2} t e^{2 t} \\ - e^{t} + \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{1}{2} t e^{2 t} \\ \frac{1}{2} t^{2} e^{3 t} \end{matrix}) + (\begin{matrix} e^{t} \\ e^{2 t} \\ t e^{3 t} \end{matrix})$

Operando obtenemos lo siguiente.

$Y^{'} = (\begin{matrix} - \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{1}{2} t e^{2 t} - e^{t} + \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{1}{2} t e^{2 t} + e^{t} \\ - \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{1}{2} t e^{2 t} - e^{t} + \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{1}{2} t e^{2 t} + e^{2 t} \\ \frac{3}{2} t^{2} e^{3 t} + t e^{3 t} \end{matrix}) = (\begin{matrix} t e^{2 t} \\ - e^{t} + e^{2 t} + t e^{2 t} \\ t e^{3 t} + \frac{3}{2} t^{2} e^{3 t} \end{matrix})$

Los resultados obtenidos son los mismos, por lo tanto el vector $Y_{p}$ es solución del sistema.

En los ejemplos anteriores de esta entrada probamos que el conjunto fundamental de soluciones del sistema lineal homogéneo asociado

$Y^{'} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}) Y$

esta constituido por los vectores linealmente independientes

$Y_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}), Y_{2} = (\begin{matrix} e^{2 t} \\ e^{2 t} \\ 0 \end{matrix}), Y_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ e^{3 t} \end{matrix})$

de manera que la función complementaria es

$Y_{c} = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) + c_{2} (\begin{matrix} e^{2 t} \\ e^{2 t} \\ 0 \end{matrix}) + c_{3} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ e^{3 t} \end{matrix})$

Como la solución general es

$Y = Y_{c} + Y_{p}$

Entonces la solución general del sistema lineal no homogéneo es

$Y (t) = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) + c_{2} (\begin{matrix} e^{2 t} \\ e^{2 t} \\ 0 \end{matrix}) + c_{3} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ e^{3 t} \end{matrix}) + (\begin{matrix} - \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{1}{2} t e^{2 t} \\ - e^{t} + \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{1}{2} t e^{2 t} \\ \frac{1}{2} t^{2} e^{3 t} \end{matrix})$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Los siguientes vectores son soluciones de un sistema lineal homogéneo $Y^{'} = AY$ . Determinar si forman un conjunto fundamental de soluciones en $R$ .

$Y_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) e^{t}, Y_{2} = (\begin{matrix} 2 \\ 6 \end{matrix}) e^{t} + (\begin{matrix} 8 \\ - 8 \end{matrix}) t e^{t}$

$Y_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 6 \\ - 13 \end{matrix}), Y_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) e^{- 4 t}, Y_{3} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix}) e^{3 t}$

Probar que el vector $Y_{p}$ es una solución particular del sistema lineal dado.

$Y^{'} = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix}) Y - (\begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix}) e^{t}, Y_{p} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) e^{t} + (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) t e^{t}$

$Y^{'} = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ - 4 & 2 & 0 \\ - 6 & 1 & 0 \end{matrix}) Y + (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) \sin (3 t), Y_{p} = (\begin{matrix} \sin (3 t) \\ 0 \\ \cos (3 t) \end{matrix})$

Mostrar que la solución general de

$Y^{'} = (\begin{matrix} 0 & 6 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}) Y$

en el intervalo $(- \infty, \infty)$ es

$Y = c_{1} (\begin{matrix} 6 \\ - 1 \\ - 5 \end{matrix}) e^{- t} + c_{2} (\begin{matrix} - 3 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) e^{- 2 t} + c_{3} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) e^{3 t}$

Mostrar que la solución general de

$Y^{'} = (\begin{matrix} - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) Y + (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) t^{2} + (\begin{matrix} 4 \\ - 6 \end{matrix}) t + (\begin{matrix} - 1 \\ 5 \end{matrix})$

en el intervalo $(- \infty, \infty)$ es

$Y = c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 - \sqrt{2} \end{matrix}) e^{\sqrt{2 t}} + c_{2} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 + \sqrt{2} \end{matrix}) e^{- \sqrt{2 t}} + (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) t^{2} + (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \end{matrix}) t + (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$

Demostrar que el conjunto de soluciones del sistema lineal homogéneo $Y^{'} = AY$ forma un espacio vectorial con la suma y el producto por escalares usuales de matrices.

Más adelante…

Ahora que conocemos lo que son los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales y las propiedades de sus soluciones estamos casi listos para comenzar a desarrollar los distintos métodos de resolución, sin embargo, antes de ello es necesario definir una herramienta matemática que será de suma utilidad en el desarrollo posterior de esta unidad. Dicha herramienta es la exponencial de una matriz.

En la siguiente entrada definiremos lo que significa $e^{A t}$ , donde $A$ es una matriz de $n \times n$ con componentes constantes y veremos como se relaciona con un sistema lineal $Y^{'} = AY$ . Así mismo, profundizaremos en el concepto de matriz fundamental de soluciones.

Entradas relacionadas

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Video relacionado al tema: Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema lineal de ecuaciones de primer orden

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden – Método de variación de parámetros

Por Omar González Franco

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Las matemáticas son un lugar donde puedes hacer
cosas que no puedes hacer en el mundo real.
– Marcus du Sautoy

Introducción

Con lo que hemos estudiado en las dos últimas entradas somos capaces de resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes, es decir, ecuaciones de la forma

$Label '1' multiply defined$

Con $a, b, c$ constantes y $g (x) = 0$ en el caso homogéneo o $g (x) \neq 0$ en el caso no homogéneo, en éste último caso aún estamos limitados a la forma que puede tener la función $g$ , pues sabemos resolver las ecuaciones diferenciales en el caso en el que la función $g$ es una constante, una función polinomial, una función exponencial, funciones seno o coseno, o una combinación entre ellas. La pregunta ahora es, ¿cómo resolver este tipo de ecuaciones para cualquier tipo de función $g (x)$ ?.

En esta entrada desarrollaremos un método que nos permite obtener la solución general independientemente de la forma que tenga la función $g (x)$ . A dicho método se le conoce como variación de parámetros.

El nombre de este método resulta familiar. En la unidad anterior desarrollamos éste método para el caso de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden como método alterno al método por factor integrante. Lo que haremos en esta entrada es una adaptación del método de variación de parámetros para el caso en el que las ecuaciones diferenciales son de orden superior, en particular, de segundo orden.

Variación de parámetros

Consideremos la ecuación diferencial

$Label '2' multiply defined$

Si $a_{2} (x) \neq 0$ para toda $x$ en el intervalo $δ$ en el que está definida la solución, entonces podemos definir las funciones

$P (x) = \frac{a_{1} (x)}{a_{2} (x)}, Q (x) = \frac{a_{0} (x)}{a_{2} (x)} y g (x) = \frac{g_{0} (x)}{a_{2} (x)}$

de manera que la ecuación ( $2$ ) la podemos escribir en su forma estándar como

$Label '3' multiply defined$

En el caso de primer orden se hizo la suposición de que la solución particular era de la forma

$y_{p} (x) = k (x) y_{1} (x) = k (x) e^{- \int P (x) d x}$

Manteniendo esta idea, en el caso de segundo orden se busca una solución de la forma

$Label '4' multiply defined$

Donde $y_{1}$ y $y_{2}$ forman un conjunto fundamental de soluciones en $δ$ de la ecuación homogénea asociada a ( $3$ ). Determinemos la primera y segunda derivada de $y_{p}$ para sustituir los resultados en la ecuación diferencial ( $3$ ).

$Label '5' multiply defined$

$Label '6' multiply defined$

Sustituyendo en ( $3$ ) y reorganizando los términos obtenemos lo siguiente.

$\begin{array}{r} k_{1} [\frac{d^{2} y_{1}}{d x^{2}} + P \frac{d y_{1}}{d x} + Q y_{1}] + y_{1} \frac{d^{2} k_{1}}{d x^{2}} + \frac{d k_{1}}{d x} \frac{d y_{1}}{d x} + k_{2} [\frac{d^{2} y_{2}}{d x^{2}} + P \frac{d y_{2}}{d x} + Q y_{2}] \\ + y_{2} \frac{d^{2} k_{2}}{d x^{2}} + \frac{d k_{2}}{d x} \frac{d y_{2}}{d x} + P [y_{1} \frac{d k_{1}}{d x} + y_{2} \frac{d k_{2}}{d x}] + \frac{d y_{1}}{d x} \frac{d k_{1}}{d x} + \frac{d y_{2}}{d x} \frac{d k_{2}}{d x} = g (x) \end{array}$

Como $y_{1}$ y $y_{2}$ son soluciones de la ecuación homogénea asociada, entonces

$\frac{d^{2} y_{1}}{d x^{2}} + P \frac{d y_{1}}{d x} + Q y_{1} = 0 y \frac{d^{2} y_{2}}{d x^{2}} + P \frac{d y_{2}}{d x} + Q y_{2} = 0$

y además notamos que

$Label '7' multiply defined$

$Label '8' multiply defined$

Considerando lo anterior la ecuación diferencial queda como

$Label '9' multiply defined$

Nuestro propósito es determinar a las funciones $k_{1} (x)$ y $k_{2} (x)$ de ( $4$ ), esto implica que debemos formar un sistema con dos ecuaciones que debemos resolver para obtener dichas funciones. De acuerdo al resultado obtenido vamos a establecer la restricción de que las funciones $k_{1}$ y $k_{2}$ satisfacen la relación

$Label '10' multiply defined$

Considerando esto la ecuación se reduce a

$Label '11' multiply defined$

Las ecuaciones ( $10$ ) y ( $11$ ) corresponden al sistema de dos ecuaciones que debemos resolver.

Como podemos notar, es un sistema para determinar las derivadas de las funciones $k_{1}$ y $k_{2}$ y no las funciones mismas, esto implica que una vez que determinemos a las derivadas será necesario hacer una integración a cada una de ellas. Resolvamos el sistema.

Multipliquemos la ecuación ( $10$ ) por $\frac{d y_{2}}{d x}$ y la ecuación ( $11$ ) por $y_{2}$ .

$Label '12' multiply defined$

$Label '13' multiply defined$

Si a la ecuación ( $12$ ) le restamos la ecuación ( $13$ ) obtenemos lo siguiente.

$Label '14' multiply defined$

Recordemos que el Wronskiano esta definido como

$Label '15' multiply defined$

Entonces la ecuación ( $14$ ) la podemos escribir como

$Label '16' multiply defined$

Como $y_{1}$ y $y_{2}$ forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada, entonces

$W (y_{1}, y_{2}) \neq 0$

Así, de la ecuación ( $16$ ) obtenemos que

$Label '17' multiply defined$

Hemos encontrado el valor de la derivada de la función $k_{1} (x)$ , integrando obtenemos finalmente que

$Label '18' multiply defined$

En un proceso totalmente análogo, si multiplicamos a la ecuación ( $10$ ) por $\frac{d y_{1}}{d x}$ y a la ecuación ( $11$ ) por $y_{1}$ y realizamos los mismos pasos obtendremos la ecuación para la derivada de la función $k_{2} (x)$ .

$Label '19' multiply defined$

Integrando obtendremos la función que buscamos

$\begin{matrix} (20) & k_{2} (x) = \int \frac{y_{1} (x) g (x)}{W (y_{1}, y_{2})} d x \end{matrix}$

Sustituyendo los resultados ( $18$ ) y ( $20$ ) en la solución particular ( $4$ ) obtenemos finalmente la solución que buscábamos

$\begin{matrix} (21) & y_{p} (x) = - y_{1} (x) \int \frac{y_{2} (x) g (x)}{W (y_{1}, y_{2})} d x + y_{2} (x) \int \frac{y_{1} (x) g (x)}{W (y_{1}, y_{2})} d x \end{matrix}$

El resultado ( $21$ ) corresponde a la solución particular de la ecuación diferencial ( $2$ ) que, a diferencial del método de coeficientes indeterminados, se aplica para cualquier función $g (x)$ , aunque cabe mencionar que si la función $g$ es muy compleja, entonces nos resultará, en algunas ocasiones, complicado resolver las integrales involucradas.

A lo largo del curso hemos motivado a no memorizar las formulas y en su lugar desarrollar el procedimiento del método correspondiente, sin embargo, en esta ocasión se trata de un método muy largo y complicado para usarse cada vez que se intente resolver una ecuación diferencial, por lo que se recomienda seguir los siguientes pasos.

Primero se determina la solución complementaria $y_{c} = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}$ de la ecuación diferencial homogénea asociada, esto nos permitirá determinar el conjunto fundamental de soluciones ${y_{1}, y_{2}}$ .

Una vez conocido el conjunto fundamental de soluciones se procede a calcular el Wronskiano $W (y_{1}, y_{2})$ .

Posteriormente se divide la ecuación diferencial por $a_{2}$ para escribir la ecuación es su forma estándar ( $3$ ) y así obtener la forma de la función $g (x)$ .

Se sustituyen los valores correspondientes en ( $18$ ) y ( $20$ ) para obtener las funciones $k_{1}$ y $k_{2}$ respectivamente.

Finalmente se sustituyen los resultados en la solución particular $y_{p} = k_{1} y_{1} + k_{2} y_{2}$ y posteriormente en la solución general $y = y_{c} + y_{p}$

Cuando se calculan las integrales indefinidas ( $18$ ) y ( $20$ ) no es necesario considerar las constantes de integración. Para mostrar esto consideremos las constantes $c_{3}$ y $c_{4}$ , tales que

$\begin{aligned} y (x) & = y_{c} (x) + y_{p} (x) \\ = c_{1} y_{1} (x) + c_{2} y_{2} (x) + [k_{1} (x) + c_{3}] y_{1} (x) + [k_{2} (x) + c_{4}] y_{2} (x) \\ = [c_{1} + c_{3}] y_{1} (x) + [c_{2} + c_{4}] y_{2} (x) + k_{1} (x) y_{1} (x) + k_{2} (x) y_{2} (x) \\ = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x) + k_{1} (x) y_{1} (x) + k_{2} (x) y_{2} (x) \end{aligned}$

Es decir, las constantes de la solución complementaria contienen todas las constantes que puedan aparecer en el método.

Realicemos algunos ejemplos.

Ejemplo: Determinar la solución general de la ecuación diferencial

$3 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 6 \frac{d y}{d x} + 6 y = e^{x} \sec (x)$

Solución: El primer paso es obtener la solución complementaria. La ecuación auxiliar es

$3 k^{2} - 6 k + 6 = 0$

De donde $k_{1} = 1 + i$ y $k_{2} = 1 - i$ , identificamos que $α = β = 1$ , entonces la forma de la solución complementaria es

$y_{c} (x) = c_{1} e^{x} \cos (x) + c_{2} e^{x} \sin (x)$

El conjunto fundamental de soluciones esta conformado por las funciones

$y_{1} (x) = e^{x} \cos (x) y y_{2} (x) = e^{x} \sin (x)$

La derivada de ambas soluciones son

$\frac{d y_{1}}{d x} = e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) y \frac{d y_{2}}{d x} = e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

Usando estos resultados calculemos el Wronskiano.

$\begin{aligned} W & = | \begin{array}{c} e^{x} \cos (x) & e^{x} \sin (x) \\ e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) & e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) \end{array} | \\ = e^{2 x} \cos (x) \sin (x) + e^{2 x} \cos^{2} (x) - e^{2 x} \cos (x) \sin (x) + e^{2 x} \sin^{2} (x) \\ = e^{2 x} \end{aligned}$

El Wronskiano es

$W (x) = e^{2 x}$

¡Cuidado!, como en la ecuación diferencial la segunda derivada tiene un coeficiente, debemos dividir toda la ecuación por dicho coeficiente para obtener la forma estándar y así la función $g (x)$ . La ecuación en su forma estándar es

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{e^{x} \sec (x)}{3}$

En este caso la función $g$ es

$g (x) = \frac{e^{x} \sec (x)}{3}$

Ahora que ya conocemos los valores que necesitábamos, recurrimos a las ecuaciones ( $18$ ) y ( $20$ ) para obtener las funciones que buscamos.

Para la función $k_{1} (x)$ , tenemos lo siguiente.

$\begin{aligned} k_{1} (x) & = - \int \frac{y_{2} (x) g (x)}{W (y_{1}, y_{2})} d x \\ = - \int \frac{(e^{x} \sin (x)) (\frac{e^{x} \sec (x)}{3})}{e^{2 x}} d x \\ = - \int \frac{e^{2 x} \sin (x) \sec (x)}{3 e^{2 x}} d x \\ = - \frac{1}{3} \int \tan (x) d x \\ = \frac{1}{3} \ln | \cos (x) | \end{aligned}$

La integral de la tangente es común. Por tanto, la función $k_{1}$ es

$k_{1} (x) = \frac{1}{3} \ln | \cos (x) |$

Para el caso de la función $k_{2} (x)$ , tenemos lo siguiente.

$\begin{aligned} k_{2} (x) & = \int \frac{y_{1} (x) g (x)}{W (y_{1}, y_{2})} d x \\ = \int \frac{(e^{x} \cos (x)) (\frac{e^{x} \sec (x)}{3})}{e^{2 x}} d x \\ = \int \frac{e^{2 x} \cos (x) \sec (x)}{3 e^{2 x}} d x \\ = \frac{1}{3} \int d x \\ = \frac{1}{3} x \end{aligned}$

La función $k_{2}$ es

$k_{2} (x) = \frac{1}{3} x$

Ya podemos establecer que la solución particular, de acuerdo a ( $4$ ), es

$y_{p} (x) = \frac{1}{3} \ln | \cos (x) | [e^{x} \cos (x)] + \frac{1}{3} x [e^{x} \sin (x)]$

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial

$3 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 6 \frac{d y}{d x} + 6 y = e^{x} \sec (x)$

$y (x) = c_{1} e^{x} \cos (x) + c_{2} e^{x} \sin (x) + \frac{1}{3} e^{x} \cos (x) \ln | \cos (x) | + \frac{1}{3} x e^{x} \sin (x)$

Con este ejemplo encontramos un buen momento para reflexionar y darnos cuenta de que ya hemos avanzado mucho, tan sólo observa el tipo de ecuación que acabamos de resolver y no sólo eso, observa que tan compleja es la solución general.

¡Sigamos adelante!.

Ejemplo: Determinar la solución general de la ecuación diferencial

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} + y = \frac{e^{- x}}{x}$

Solución: Como la ecuación ya está es su forma estándar la función $g$ es

$g (x) = \frac{e^{- x}}{x}$

Determinemos la solución complementaria, la ecuación auxiliar es

$k^{2} + 2 k + 1 = 0$

De donde $k_{1} = k_{2} = - 1$ , la multiplicidad de la solución nos indica que la forma de la solución complementaria es

$y_{c} (x) = c_{1} e^{- x} + c_{2} x e^{- x}$

El conjunto fundamental de soluciones esta conformado por las funciones

$y_{1} (x) = e^{- x} y y_{2} (x) = x e^{- x}$

Usando estas soluciones y sus derivadas calculemos el Wronskiano.

$\begin{aligned} W & = | \begin{array}{c} e^{- x} & x e^{- x} \\ - e^{- x} & e^{- x} - x e^{- x} \end{array} | \\ = e^{- 2 x} - x e^{2 x} + x e^{- 2 x} \\ = e^{- 2 x} \end{aligned}$

El Wronskiano es

$W (x) = e^{- 2 x}$

Sustituyamos estos resultados directamente en la ecuación ( $21$ ).

$\begin{aligned} y_{p} (x) & = - e^{- x} \int \frac{(x e^{- x}) (\frac{e^{- x}}{x})}{e^{- 2 x}} d x + x e^{- x} \int \frac{(e^{- x}) (\frac{e^{- x}}{x})}{e^{- 2 x}} d x \\ = - e^{- x} \int d x + x e^{- x} \int \frac{d x}{x} \\ = - x e^{- x} + x e^{- x} \ln (x) \end{aligned}$

La solución particular es

$y_{p} (x) = - x e^{- x} + x e^{- x} \ln (x)$

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es

$y (x) = c_{1} e^{- x} + c_{2} x e^{- x} - x e^{- x} + x e^{- x} \ln (x)$

Un ejemplo más.

Ejemplo: Determinar la solución general de la ecuación diferencial

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - y = 4 x^{3} e^{x}$

Solución: La función $g$ es

$g (x) = 4 x^{3} e^{x}$

y la ecuación auxiliar es

$k^{2} - 1 = 0$

De donde $k_{1} = 1$ y $k_{2} = - 1$ . Entonces, la solución complementaria es

$y_{c} (x) = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- x}$

El conjunto fundamental de soluciones esta conformado por

$y_{1} (x) = e^{x} y y_{2} (x) = e^{- x}$

Usando estas funciones y sus derivadas calculemos el Wronskiano.

$\begin{aligned} W & = | \begin{array}{c} e^{x} & e^{- x} \\ e^{x} & - e^{- x} \end{array} | = - 2 \end{aligned}$

El Wronskiano es $W = - 2$ . Sustituyendo estos resultados directamente en la ecuación ( $21$ ), obtenemos lo siguiente.

$\begin{aligned} y_{p} (x) & = - e^{x} \int \frac{(e^{- x}) (4 x^{3} e^{x})}{- 2} d x + e^{- x} \int \frac{(e^{x}) (4 x^{3} e^{x})}{- 2} d x \\ = 2 e^{x} \int x^{3} d x - 2 e^{- x} \int x^{3} e^{2 x} d x \\ = \frac{1}{2} x^{4} e^{x} - 2 e^{- x} \int x^{3} e^{2 x} d x \end{aligned}$

La integral que nos falta se puede resolver por partes tomando $u = x^{2}$ y $v^{'} = e^{2 x}$ . Resolviendo la integral obtendremos lo siguiente.

$\int x^{3} e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} x^{3} - \frac{3}{4} e^{2 x} x^{2} + \frac{3}{4} e^{2 x} x - \frac{3}{8} e^{2 x}$

Sustituyendo en la solución particular tenemos

$\begin{aligned} y_{p} (x) & = \frac{1}{2} x^{4} e^{x} - 2 e^{- x} (\frac{1}{2} e^{2 x} x^{3} - \frac{3}{4} e^{2 x} x^{2} + \frac{3}{4} e^{2 x} x - \frac{3}{8} e^{2 x}) \\ = \frac{1}{2} x^{4} e^{x} - x^{3} e^{x} + \frac{3}{2} x^{2} e^{x} - \frac{3}{2} x e^{x} + \frac{3}{4} e^{x} \end{aligned}$

Finalmente obtenemos como solución particular a la función

$y_{p} (x) = e^{x} (\frac{1}{2} x^{4} - x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{3}{4})$

Y por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es

$y (x) = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{4} - x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{3}{4})$

Este resultado es válido, sin embargo se puede simplificar más, ya que se puede reescribir a la solución como

$y (x) = e^{x} (c_{1} + \frac{3}{4}) + c_{2} e^{- x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{4} - x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x)$

y definir la constante $C_{1} = c_{1} + \frac{3}{4}$ para finalmente escribir la solución como

$y (x) = C_{1} e^{x} + c_{2} e^{- x} + e^{x} (\frac{1}{2} x^{4} - x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x)$

Variación de parámetros en ecuaciones de orden superior

Este método se puede generalizar a ecuaciones de orden $n$ aunque, por su puesto, los cálculos se vuelven más extensos.

A continuación mostraremos el panorama general para ecuaciones diferenciales de orden $n$ y mostraremos los resultados para el caso $n = 3$ que nos mostrará la forma en que aumenta la complejidad de los cálculos.

La ecuación de orden $n$ es su forma estándar es

$\begin{matrix} (22) & \frac{d^{n} y}{d x^{n}} + P_{n - 1} (x) \frac{d^{n - 1} y}{d x^{n - 1}} + \dots + P_{1} (x) \frac{d y}{d x} + P_{0} (x) y = g (x) \end{matrix}$

Si la solución complementaria de ( $22$ ) es

$\begin{matrix} (23) & y_{c} (x) = c_{1} y_{1} (x) + c_{2} y_{2} (x) + \dots + c_{n} y_{n} (x) \end{matrix}$

Entonces una solución particular debe ser

$\begin{matrix} (24) & y_{p} (x) = k_{1} (x) y_{1} (x) + k_{2} (x) y_{2} (x) + \dots + k_{n} (x) y_{n} (x) \end{matrix}$

Análogo a las ecuaciones ( $10$ ) y ( $11$ ), las derivadas $\frac{d k_{i}}{d x} = k_{i}^{'}$ con $i = 1, 2, \dots, n$ se determinan del sistema de $n$ ecuaciones

$\begin{aligned} y_{1} k_{1}^{'} + y_{2} k_{2}^{'} + \dots + y_{n} k_{n}^{'} & = 0 \\ y_{1}^{'} k_{1}^{'} + y_{2}^{'} k_{2}^{'} + \dots + y_{n}^{'} k_{n}^{'} & = 0 \\ ⋮ \\ (25) & y_{1}^{(n - 1)} k_{1}^{'} + y_{2}^{(n - 1)} k_{2}^{'} + \dots + y_{n}^{(n - 1)} k_{n}^{'} & = g (x) \end{aligned}$

Al igual que el caso de segundo orden, las primeras $n - 1$ ecuaciones del sistema son suposiciones que se hacen para simplificar la ecuación resultante de sustituir la solución ( $24$ ) en la ecuación ( $22$ ).

Usando la regla de Cramer para resolver el sistema se obtiene que

$\begin{matrix} (26) & \frac{d k_{i}}{d x} = \frac{W_{i}}{W}; i = 1, 2, \dots, n \end{matrix}$

Donde $W$ es el Wronskiano del conjunto fundamental ${y_{1} (x), y_{2} (x), \dots, y_{n} (x)}$ y $W_{i}$ es el determinante que se obtiene de remplazar la $i$ -ésima columna del Wronskiano por la columna formada por el lado derecho de ( $25$ ), es decir, la columna que consta de $(0, 0, \dots, g (x))$ .

Para que quede más claro lo anterior, en el caso $n = 3$ las $\frac{d k_{i}}{d x}$ , $i = 1, 2, 3$ quedan como

$\begin{matrix} (27) & \frac{d k_{1}}{d x} = \frac{W_{1}}{W}, \frac{d k_{2}}{d x} = \frac{W_{2}}{W}, \frac{d k_{3}}{d x} = \frac{W_{3}}{W} \end{matrix}$

Donde

$\begin{matrix} (28) & W = | \begin{matrix} y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ y_{1}^{'} & y_{2}^{'} & y_{3}^{'} \\ y_{1}^{''} & y_{2}^{''} & y_{3}^{''} \end{matrix} | \end{matrix}$

$\begin{array}{r} W_{1} = | \begin{array}{c} 0 & y_{2} & y_{3} \\ 0 & y_{2}^{'} & y_{3}^{'} \\ g (x) & y_{2}^{''} & y_{3}^{''} \end{array} |, W_{2} = | \begin{array}{c} y_{1} & 0 & y_{3} \\ y_{1}^{'} & 0 & y_{3}^{'} \\ y_{1}^{''} & g (x) & y_{3}^{''} \end{array} |, W_{3} = | \begin{array}{c} y_{1} & y_{2} & 0 \\ y_{1}^{'} & y_{2}^{'} & 0 \\ y_{1}^{''} & y_{2}^{''} & g (x) \end{array} | \end{array}$

Habrá que integrar las ecuaciones de ( $27$ ) para obtener las funciones $k_{i}$ , $i = 1, 2, 3$ y así obtener la solución particular

$\begin{matrix} (29) & y_{p} (x) = k_{1} (x) y_{1} (x) + k_{2} (x) y_{2} (x) + k_{3} (x) y_{3} (x) \end{matrix}$

Notemos que usando esta notación, los resultados ( $17$ ) y ( $19$ ) del caso $n = 2$ se pueden escribir como

$\begin{matrix} (30) & \frac{d k_{1}}{d x} = \frac{W_{1}}{W} = - \frac{y_{2} g (x)}{W} y \frac{d k_{2}}{d x} = \frac{W_{2}}{W} = \frac{y_{1} g (x)}{W} \end{matrix}$

Donde

$\begin{array}{r} (31) & W = | \begin{array}{c} y_{1} & y_{2} \\ y_{1}^{'} & y_{2}^{'} \end{array} |, W_{1} = | \begin{array}{c} 0 & y_{2} \\ g (x) & y_{2}^{'} \end{array} | y W_{2} = | \begin{array}{c} y_{1} & 0 \\ y_{1}^{'} & g (x) \end{array} | \end{array}$

Realicemos un ejemplo con una ecuación de orden $3$ .

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial de tercer orden

$\frac{d^{3} y}{d x^{3}} + \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Solución: La función $g$ es

$g (x) = \tan (x)$

y la ecuación auxiliar es

$k^{3} + k = k (k^{2} + 1) = 0$

De donde $k_{1} = 0$ , $k_{2} = i$ y $k_{3} = - i$ . Dos raíces son complejas conjugadas con $α = 0$ y $β = 1$ . La primer raíz nos indica que la forma de una solución es

$y_{1} (x) = e^{k_{1} x} = 1$

mientras que las dos raíces restantes nos indican dos solución de la forma

$y_{2} (x) = e^{α x} \cos (β x) = \cos (x)$

$y_{3} (x) = e^{α x} \sin (β x) = \sin (x)$

Por lo tanto, la solución complementaria de la ecuación diferencial es

$y_{c} (x) = c_{1} + c_{2} \cos (x) + c_{3} \sin (x)$

Como vimos, el conjunto fundamental de soluciones es ${y_{1} = 1, y_{2} = \cos (x), y_{3} = \sin (x)}$ , las primeras y segundas derivadas correspondientes son

$\frac{d y_{1}}{d x} = 0, \frac{d y_{2}}{d x} = - \sin (x), \frac{d y_{3}}{d x} = \cos (x)$

$\frac{d^{2} y_{1}}{d x^{2}} = 0, \frac{d^{2} y_{2}}{d x^{2}} = - \cos (x), \frac{d^{2} y_{3}}{d x^{2}} = - \sin (x)$

Ahora calculemos los determinantes correspondientes, el primero de ellos es el Wronskiano

$W = | \begin{matrix} 1 & \cos (x) & \sin (x) \\ 0 & - \sin (x) & \cos (x) \\ 0 & - \cos (x) & - \sin (x) \end{matrix} | = \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$

Para el resto de determinantes, tenemos

$W_{1} = | \begin{matrix} 0 & \cos (x) & \sin (x) \\ 0 & - \sin (x) & \cos (x) \\ \tan (x) & - \cos (x) & - \sin (x) \end{matrix} | = \tan (x) [\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)] = \tan (x)$

$W_{2} = | \begin{matrix} 1 & 0 & \sin (x) \\ 0 & 0 & \cos (x) \\ 0 & \tan (x) & - \sin (x) \end{matrix} | = - \cos (x) \tan (x) = - \sin (x)$

$W_{3} = | \begin{matrix} 1 & \cos (x) & 0 \\ 0 & - \sin (x) & 0 \\ 0 & - \cos (x) & \tan (x) \end{matrix} | = - \sin (x) \tan (x) = - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Sustituyendo estos resultados en ( $27$ ), obtenemos

$\frac{d k_{1}}{d x} = \tan (x), \frac{d k_{2}}{d x} = - \sin (x), \frac{d k_{3}}{d x} = - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Procedemos a integrar cada ecuación (sin considerar constantes) para obtener las funciones que buscamos.

La primer integral es común,

$k_{1} (x) = \int \tan (x) d x = - \ln | \cos (x) |$

La segunda integral es directa

$k_{2} (x) = - \int \sin (x) d x = \cos (x)$

Mientras que para la tercer integral si se requiere de un mayor cálculo.

$\begin{aligned} k_{3} (x) & = - \int \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} d x \\ = - \int \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos (x)} d x \\ = - \int \frac{1}{\cos (x)} d x + \int \cos (x) d x \end{aligned}$

Por un lado

$- \int \frac{1}{\cos (x)} d x = - \int \sec (x) d x = - \ln | \tan (x) + \sec (x) |$

por otro lado,

$\int \cos (x) d x = \sin (x)$

entonces

$k_{3} (x) = - \ln | \tan (x) + \sec (x) | + \sin (x)$

Ahora que conocemos las funciones incógnita concluimos que la solución particular de la ecuación diferencial es

$\begin{aligned} y_{p} (x) & = - \ln | \cos (x) | (1) + \cos (x) [\cos (x)] + [- \ln | \tan (x) + \sec (x) | + \sin (x)] (\sin (x)) \\ = - \ln | \cos (x) | + \cos^{2} (x) - \sin (x) \ln | \tan (x) + \sec (x) | + \sin^{2} (x) \\ = - \ln | \cos (x) | - \sin (x) \ln | \tan (x) + \sec (x) | \end{aligned}$

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial de tercer orden es

$y (x) = c_{1} + c_{2} \cos (x) + c_{3} \sin (x) - \ln | \cos (x) | - \sin (x) \ln | \tan (x) + \sec (x) |$

Como podemos notar, los cálculos se hacen más extensos, sin embargo los pasos a seguir son los mismos para cualquier orden.

El método de variación de parámetros, a diferencia del método de coeficientes indeterminados, tiene la ventaja de que siempre produce una solución de la ecuación diferencial independientemente de la forma de la función $g (x)$ , siempre y cuando se pueda resolver la ecuación homogénea asociada. Además, el método de variación de parámetros es aplicable a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Obtener la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 9 \frac{d y}{d x} = 18 x^{2} e^{9 x}$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 9 y = 18 e^{x} \sin (x)$

$4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 \frac{d y}{d x} + y = e^{x / 2} \sqrt{1 - x^{2}}$

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales para las condiciones iniciales dadas.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} = 12 e^{4 x} (x + 1); y (0) = 0, y^{'} (0) = 4$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 6 y = 10 e^{x} \sin (x); y (0) = \frac{2}{17}, y^{'} (0) = 0$

Obtener la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales de tercer orden. Simplificar la forma de la solución redefiniendo las constantes.

$\frac{d^{3} y}{d x^{3}} + 4 \frac{d y}{d x} = \sec (2 x)$

$\frac{d^{3} y}{d x^{3}} + \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - \frac{d y}{d x} - y = 2 e^{- x}$

Más adelante…

Hemos concluido con el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes.

Lo que sigue es estudiar este mismo tipo de ecuaciones, pero en el caso en el que los coeficientes no son constantes, es decir, son coeficientes variables. Estas ecuaciones suelen ser mucho más difícil de resolver, sin embargo existe un tipo de ecuación especial, conocida como ecuación de Cauchy – Euler, que contiene coeficientes variables, pero que su método de resolución es bastante similar a lo que hemos desarrollado en el caso de coeficientes constantes, pues su resolución involucra resolver una ecuación auxiliar. En la siguiente entrada estudiaremos dicha ecuación.

Entradas relacionadas

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Video relacionado al tema: Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Solución por variación de parámetros

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema lineal de ecuaciones de primer orden

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior comenzamos el estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden $\begin{aligned} {\dot{x}}_{1} & = F_{1} (t, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \\ {\dot{x}}_{2} & = F_{2} (t, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \\ ⋮ \\ {\dot{x}}_{n} & = F_{n} (t, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \end{aligned}$ donde revisamos las principales definiciones y enunciamos el teorema de existencia y unicidad correspondiente a sistemas de primer orden y sus problemas de condición inicial. Es momento ahora de estudiar las principales propiedades que cumple el conjunto de soluciones a un sistema lineal de ecuaciones de primer orden, las cuales se comportan de una manera bastante similar al conjunto de soluciones a una ecuación de segundo orden lineal que revisamos en la unidad anterior.

Iniciaremos revisando al conjunto de soluciones al sistema lineal homogéneo $\dot{X} = A X$ el cual cumple el principio de superposición, es decir, si tenemos $n$ soluciones, digamos $X_{1} (t), X_{2} (t), \dots, X_{n} (t)$ , entonces cualquier combinación lineal de estas también lo será. Si recuerdas tus cursos de Álgebra Lineal, esta última propiedad nos dice que el conjunto de soluciones es cerrado bajo la suma y producto por escalar usuales definidos para matrices. Con estas operaciones, veremos que el conjunto de soluciones al sistema lineal homogéneo forma un espacio vectorial.

Posteriormente definiremos el Wronskiano de un subconjunto de soluciones al sistema lineal homogéneo, el cual es similar más no igual al Wronskiano que definimos para ecuaciones lineales de segundo orden. En la tarea moral demostrarás la relación que tienen estos dos Wronskianos.

Si hablamos del Wronskiano y del conjunto de soluciones como un espacio vectorial, debemos hablar también de dependencia e independencia lineal entre las soluciones al sistema. Además, demostraremos que si el Wronskiano no se anula entonces el subconjunto de soluciones es linealmente independiente. Además si lo último ocurre podremos expresar cualquier solución como una combinación lineal de las soluciones linealmente independientes. Con estos conceptos podremos definir a la matriz fundamental de soluciones del sistema, la cual revisaremos más a detalle en entradas posteriores.

Terminaremos revisando el caso no homogéneo $\dot{X} = A X + Q$ demostrando que su solución general será la suma de la solución general al sistema homogéneo y una solución particular al sistema no homogéneo.

El espacio vectorial del conjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo

En el primer video probamos el principio de superposición de soluciones al sistema lineal homogéneo. Además, vemos que el conjunto de soluciones al sistema forma un espacio vectorial con la suma y producto por escalar usuales para matrices.

El Wronskiano de un subconjunto de soluciones e independencia lineal

Definimos el Wronskiano de un subconjunto de soluciones al sistema lineal homogéneo, así como los conceptos de dependencia e independencia lineal de soluciones. Probamos un importante teorema que relaciona estos dos conceptos y nos dice cómo se ve la solución general al sistema. Finalizamos definiendo la matriz fundamental de soluciones del sistema.

Solución general al sistema lineal no homogéneo

Finalizamos la entrada demostrando que la solución general al sistema lineal no homogéneo es la suma de la solución general al sistema homogéneo y una solución particular al sistema no homogéneo.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

¿El conjunto de soluciones a un sistema lineal no homogéneo forma un espacio vectorial con las operaciones usuales de matrices?

Prueba que $X_{1} (t) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}); X_{2} (t) = (\begin{matrix} t \\ 2 \\ 0 \end{matrix}); X_{3} (t) = (\begin{matrix} t^{2} \\ t \\ 0 \end{matrix})$ son linealmente independientes en $R .$

Sean $X_{1} (t), X_{2} (t), \dots, X_{n} (t)$ soluciones al sistema $\dot{X} = A X$ en el intervalo $[a, b]$ . Demuestra que $W [X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}] (t) = 0 \forall t \in [a, b]$ , ó $W [X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}] (t) \neq 0 \forall t \in [a, b]$ .

Considera el sistema lineal $\dot{X} = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) X .$ Prueba que $X_{1} (t) = (\begin{matrix} e^{t} \\ - e^{t} \end{matrix}); X_{2} (t) = (\begin{matrix} e^{- t} \\ e^{- t} \end{matrix})$ son soluciones al sistema. Además prueba que son linealmente independientes en $R$ y por lo tanto forma una matriz fundamental de soluciones al sistema.

Considera la ecuación $\ddot{y} + p (t) \dot{y} + q (t) y = 0$ y su sistema de ecuaciones correspondiente $\dot{X} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - q (t) & - p (t) \end{matrix}) X .$ Prueba que si $X_{1} (t)$ , $X_{2} (t)$ son soluciones linealmente independientes al sistema de ecuaciones, y si $y_{1} (t)$ , $y_{2} (t)$ forman un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación de segundo orden, entonces se satisface la identidad $W [y_{1}, y_{2}] (t) = c W [X_{1}, X_{2}] (t)$ para alguna constante $c \neq 0$ .

Más adelante

En la siguiente entrada comenzaremos a resolver algunos sistemas lineales bastante sencillos. El método que estudiaremos será el de eliminación de variables, el cual consiste en eliminar variables dependientes hasta quedarnos con una ecuación diferencial de orden superior. Resolviendo esta última ecuación podremos encontrar la solución general al sistema original. Este método funciona para sistemas lineales con coeficientes constantes.

¡Hasta la próxima!

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I: Soluciones a ecuaciones diferenciales de orden superior

Por Omar González Franco

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Las matemáticas son la música de la razón.
– James Joseph Sylvester

Introducción

En la entrada anterior comenzamos a estudiar los problemas con valores iniciales (PVI) y problemas con valores en la frontera (PVF), ambos para el caso de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Vimos también que si $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{k}$ son $k$ soluciones de una ecuación homogénea de $n$ -ésimo orden en un intervalo $δ$ , entonces la combinación lineal

$Label '1' multiply defined$

donde las $c_{i}$ , $i = 1, 2, \dots, k$ son constantes, también es solución en el intervalo $δ$ , este resultado es conocido como principio de superposición y nuestro propósito en esta entrada es estudiar las propiedades de todas estas soluciones donde la independencia lineal de las funciones jugará un papel muy importante en la construcción del conjunto fundamental de soluciones y de la solución general.

Es importante tener presente el concepto de conjunto fundamental de soluciones presentado en la entrada anterior.

Definición: Cualquier conjunto

{y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}}

n

soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de

n

-ésimo orden en un intervalo

δ

es un conjunto fundamental de soluciones en dicho intervalo.

Soluciones a ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

Estamos interesados en soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden superior de la forma

$Label '2' multiply defined$

Al intentar responder la pregunta de si el conjunto de $n$ soluciones ${y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}}$ de ( $2$ ) es linealmente independiente podemos apelar directamente a la definición de independencia lineal, sin embargo esta pregunta se puede responder de una forma mecánica usando un determinante llamado el Wronskiano.

Definición: Sean

f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{n} (x)

funciones que tienen al menos

n - 1

derivadas cada una. El determinante

Label '3' multiply defined

donde las primas denotan derivadas, se llama el Wronskiano de las funciones.

El Wronskiano es una herramienta que podemos utilizar para determinar si el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial ( $2$ ) es un conjunto linealmente independiente y la forma de hacerlo es a través del siguiente teorema conocido como criterio para soluciones linealmente independientes.

Teorema: Sean

y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}

n

soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de

n

-ésimo orden (

2

) en el intervalo

δ

. El conjunto de soluciones es linealmente independiente en

δ

si, y solo si

Label '4' multiply defined

para toda

x

en el intervalo

δ

Este teorema nos dice que sólo basta mostrar que el Wronskiano es distinto de cero para garantizar que el conjunto de soluciones ${y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}}$ es linealmente independiente y por tanto formará un conjunto fundamental de soluciones.

Al conjunto de soluciones linealmente independiente ${y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}}$ de la ecuación ( $2$ ) se le denomina fundamental porque, así como cualquier vector en $R^{3}$ se puede expresar como una combinación lineal de los vectores linealmente independientes $\hat{i}, \hat{j}$ y $\hat{k}$ , cualquier solución de una ecuación diferencial de la forma ( $2$ ) se puede expresar como una combinación lineal de las $n$ soluciones del conjunto fundamental, podemos decir que las soluciones ${y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}}$ son los bloques básicos para la solución general de la ecuación.

En el siguiente teorema se enuncia la forma general de la solución de la ecuación diferencial ( $2$ ).

Teorema: Sea

{y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}}

un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de

n

-ésimo orden (

2

) en el intervalo

δ

. Entonces la solución general de la ecuación en el intervalo es

Label '5' multiply defined

donde

c_{i}, i = 1, 2, \dots, n

son constantes arbitrarias.

Aterricemos estas ideas generales al caso de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden.

Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden

Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden es de la forma

$Label '6' multiply defined$

Sobre esta ecuación desarrollaremos la siguiente teoría. Primero definamos el Wronskiano para el caso $n = 2$ .

Definición: Sean

y_{1} (x)

y_{2} (x)

soluciones de la ecuación (

6

), el Wronskiano de las funciones es

Label '7' multiply defined

Ahora que conocemos la forma del Wronskiano para $n = 2$ , demostremos el teorema de la solución general para el caso $n = 2$ .

Teorema: Sean

y_{1} (x)

y_{2} (x)

soluciones de la ecuación diferencial (

6

) en el intervalo

δ

y supongamos que

W (y_{1}, y_{2}) \neq 0

para toda

x \in δ

, entonces

y (x) = c_{1} y_{1} (x) + c_{2} y_{2} (x)

es la solución general de la ecuación diferencial (

4

Demostración: Sea $y (x)$ una solución de la ecuación diferencial ( $6$ ) en el intervalo $δ$ y sea $x_{0} \in δ$ , tal que

$y (x_{0}) = α y \frac{d y}{d x} (x_{0}) = β$ $

con $α$ y $β$ constantes. Supongamos que existen $c_{1}$ y $c_{2}$ constantes tales que

$Label '8' multiply defined$

$Label '9' multiply defined$

esto debido a que por hipótesis $y_{1} (x)$ y $y_{2} (x)$ son soluciones de la ecuación diferencial y por tanto la combinación lineal también lo será. Aplicando el teorema de existencia y unicidad obtenemos que la solución $y (x)$ tiene que ser de la forma

$y (x) = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}$

por lo que nuestro problema se reduce a demostrar que las constantes $c_{1}$ y $c_{2}$ existen.

Si multiplicamos a la ecuación ( $8$ ) por $\frac{d y_{2}}{d x} (x_{0})$ y a la ecuación ( $9$ ) por $y_{2} (x_{0})$ obtenemos lo siguiente, respectivamente.

$Label '10' multiply defined$

$Label '11' multiply defined$

Restémosle a la ecuación ( $10$ ) la ecuación ( $11$ ).

$Label '12' multiply defined$

Sabemos que el Wronskiano, en $x = x_{0}$ , está definido como

$Label '13' multiply defined$

Por comodidad denotaremos a $W (y_{1} (x_{0}), y_{2} (x_{0}))$ como $W (x_{0})$ . Entonces la ecuación ( $12$ ) se puede escribir de la siguiente manera.

$Label '14' multiply defined$

Debido a que por hipótesis $W (y_{1}, y_{2}) \neq 0$ para toda $x \in δ$ , en particular lo es en $x = x_{0}$ , por tanto podemos despejar a la constante $c_{1}$ y así obtener un valor para dicha constante lo que muestra su existencia.

Para obtener la expresión de $c_{2}$ hacemos algo similar, multiplicamos a la ecuación ( $8$ ) por $\frac{d y_{1}}{d x} (x_{0})$ y a la ecuación ( $9$ ) por $y_{1} (x_{0})$ y repetimos el mismo procedimiento demostrando así que existe un valor para la constante $c_{2}$ .

Como hemos encontrado valores para $c_{1}$ y $c_{2}$ , entonces existen y por lo tanto la solución general a la ecuación ( $4$ ) es

$Label '15' multiply defined$

Ya hemos definido lo que es el conjunto fundamental de soluciones de una ecuación diferencial de orden $n$ , para el caso $n = 2$ lo podemos definir de la siguiente manera.

Definición: Decimos que

{y_{1} (x), y_{2} (x)}

es un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación diferencial (

6

) si cualquier solución puede escribirse como combinación lineal de

y_{1}

y_{2}

, o lo que es equivalente, que

y_{1}

y_{2}

sean linealmente independientes en

δ

Así, si encontramos un conjunto fundamental de soluciones ${y_{1} (x), y_{2} (x)}$ , entonces

$W (y_{1}, y_{2}) \neq 0$

para toda $x \in δ$ y por tanto

$y (x) = c_{1} y_{1} (x) + c_{2} y_{2} (x)$

será la solución general de la ecuación diferencial ( $4$ ).

Del criterio para soluciones linealmente independientes se puede hacer notar que cuando $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ son $n$ soluciones de la ecuación diferencial ( $2$ ) en un intervalo $δ$ , el Wronskiano $W (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ es siempre igual a cero o nunca es cero en todo $δ$ . Vamos a demostrar este hecho para el caso $n = 2$ .

Teorema: Sean

a_{2} (x) \neq 0

a_{1} (x)

a_{0} (x)

funciones continuas en

δ

de la ecuación diferencial (

6

) y sean

y_{1} (x)

y_{2} (x)

soluciones de la misma ecuación en

δ

. Entonces

W (y_{1}, y_{2}) = 0 o W (y_{1}, y_{2}) \neq 0

para todo

x \in δ

Demostración: Como $y_{1} (x)$ y $y_{2} (x)$ son soluciones de la ecuación ( $6$ ), entonces

$Label '16' multiply defined$

$Label '17' multiply defined$

Si multiplicamos a la ecuación ( $16$ ) por $y_{2}$ y a la ecuación ( $17$ ) por $y_{1}$ obtenemos lo siguiente, respectivamente.

$Label '18' multiply defined$

$Label '19' multiply defined$

A la ecuación ( $19$ ) vamos a restarle la ecuación ( $18$ ).

$Label '20' multiply defined$

Sabemos que

$W (y_{1}, y_{2}) = y_{1} \frac{d y_{2}}{d x} - y_{2} \frac{d y_{1}}{d x}$

y notemos lo siguiente

$\begin{aligned} \frac{d W}{d x} & = \frac{d}{d x} (y_{1} \frac{d y_{2}}{d x} - y_{2} \frac{d y_{1}}{d x}) \\ = \frac{d y_{1}}{d x} \frac{d y_{2}}{d x} + y_{1} \frac{d^{2} y_{2}}{d x^{2}} - \frac{d y_{2}}{d x} \frac{d y_{1}}{d x} - y_{2} \frac{d^{2} y_{1}}{d x^{2}} \\ = y_{1} \frac{d^{2} y_{2}}{d x^{2}} - y_{2} \frac{d^{2} y_{1}}{d x^{2}} \end{aligned}$

Es decir,

$Label '21' multiply defined$

En términos del Wronskiano la ecuación ( $20$ ) se puede escribir como

$Label '22' multiply defined$

Como $a_{2} (x) \neq 0$ para toda $x \in δ$ , entonces podemos definir la función

$P (x) = \frac{a_{1} (x)}{a_{2} (x)}$

tal que la ecuación ( $22$ ) se pueda escribir como

$Label '23' multiply defined$

Esta resultado corresponde a una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden y ya sabemos que la solución es de la forma

$W (x) = k e^{- \int P (x) d x}$

de manera que hay dos posibilidades:

Si $k = 0 \Rightarrow W (x) = 0, \forall x \in δ$

Si $k \neq 0 \Rightarrow W (x) \neq 0, \forall x \in δ$

El criterio para soluciones linealmente independientes nos garantiza que si el Wronskiano es distinto de cero, entonces el conjunto de soluciones es linealmente independiente en $δ$ , lo opuesto es cierto bajo ciertas condiciones, si el Wronskiano es igual a cero, entonces el conjunto de soluciones es linealmente dependiente. Demostremos este hecho.

Teorema: Sean

a_{2} (x) \neq 0

a_{1} (x)

a_{0} (x)

funciones continuas en

δ

de la ecuación diferencial (

6

) y sean

y_{1}

y_{2} \neq 0

soluciones de la misma ecuación en

δ

. Supongamos que

W (y_{1} (x), y_{2} (x)) = 0

\forall x \in δ

. Entonces

y_{1} (x)

y_{2} (x)

son linealmente dependientes.

Demostración: Por hipótesis

$W (y_{1} (x), y_{2} (x)) = 0$

$\forall x \in δ$ , es decir

$Label '24' multiply defined$

Consideremos el siguiente resultado.

$Label '25' multiply defined$

Donde hemos considerado la hipótesis $y_{2} \neq 0$ . Si usamos la hipótesis ( $24$ ) obtenemos que

$\frac{d}{d x} (- \frac{y_{1}}{y_{2}}) = 0$

$\forall x \in δ$ , integrando esta ecuación obtenemos que

$- \frac{y_{1}}{y_{2}} = - k$

O bien,

$Label '26' multiply defined$

con $k$ una constante. Esto demuestra que $y_{1}$ y $y_{2}$ son linealmente dependientes.

Hay que tener muy presentes las hipótesis de este teorema, pues es posible que el Wronskiano sea cero aún cuando las funciones consideradas en un cierto intervalo sean linealmente independientes en él.

Como consecuencia del teorema anterior podemos establecer el criterio para soluciones linealmente independientes en el caso $n = 2$ .

Corolario: Dos soluciones

y_{1} (x)

y_{2} (x)

de la ecuación diferencial (

6

) son linealmente independientes en

δ

si, y sólo si

\forall x \in δ

W (y_{1} (x), y_{2} (x)) \neq 0

Realicemos un ejemplo.

Ejemplo: En la entrada anterior de tarea moral tenías que verificar que las funciones

$y_{1} (x) = e^{- 3 x} y y_{2} (x) = e^{4 x}$

forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - \frac{d y}{d x} - 12 y = 0$

en $δ = (- \infty, \infty)$ . Demostremos esto mismo usando los teoremas vistos anteriormente.

Solución: Consideremos las soluciones

$y_{1} (x) = e^{- 3 x} y y_{2} (x) = e^{4 x}$

y sus respectivas derivadas

$\frac{d y_{1}}{d x} = - 3 e^{- 3 x} y \frac{d y_{2}}{d x} = 4 e^{4 x}$

Calculemos el Wronskiano.

$\begin{array}{r} W (y_{1}, y_{2}) = | \begin{array}{c} e^{- 3 x} & e^{4 x} \\ - 3 e^{- 3 x} & 4 e^{4 x} \end{array} | = e^{- 3 x} (4 e^{4 x}) - e^{4 x} (- 3 e^{- 3 x}) = 7 e^{- x} \neq 0 \end{array}$

Como

$W (y_{1}, y_{2}) = 7 e^{- x} \neq 0$

entonces ${y_{1} (x) = e^{- 3 x}, y_{2} (x) = e^{4 x}}$ forma un conjunto fundamental de soluciones y la solución general está dada por

$y (x) = c_{1} e^{- 3 x} + c_{2} e^{4 x}$

Con esto concluimos el estudio de algunas propiedades importantes de las soluciones a la ecuación diferencial lineal homogénea de orden superior, terminemos esta entrada con el estudio del caso no homogéneo.

Ecuaciones no homogéneas

La ecuación diferencial lineal no homogénea de $n$ -ésimo orden es

$Label '27' multiply defined$

Nuestro objetivo es obtener la forma general de la solución de la ecuación no homogénea ( $27$ ) y estudiar algunas propiedades de las soluciones.

Definición: Una función

y_{p} (x)

que es libre de parámetros arbitrarios y que satisface la ecuación diferencial lineal no homogénea de

n

-ésimo orden (

27

) se dice que es una solución particular o integral particular de la ecuación.

Si recordamos al operador polinomial

$Label '28' multiply defined$

la definición anterior implica que

$Label '29' multiply defined$

Veamos el siguiente resultado.

Teorema: Sean

y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}

soluciones de la ecuación diferencial homogénea (

2

) en el intervalo

δ

y sea

y_{p}

la solución particular de la ecuación no homogénea (

27

) en

δ

. Entonces la combinación lineal

Label '30' multiply defined

es solución de la ecuación no homogénea (

27

), en

δ

Demostración: Sea $y (x)$ la combinación lineal

$y (x) = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} + \dots + c_{n} y_{n} + y_{p}$

si aplicamos el operador polinomial, tenemos

$\begin{aligned} L {y (x)} & = L {c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} + \dots + c_{n} y_{n} + y_{p}} \\ = c_{1} L {y_{1}} + c_{2} L {y_{2}} + \dots + c_{n} L {y_{n}} + L {y_{p}} \\ = 0 + g (x) \\ = g (x) \end{aligned}$

Ya que $L {y_{i}} = 0$ para cada $i = 1, 2, \dots, n$ por ser cada $y_{i}$ solución de la ecuación homogénea, mientras que $L {y_{p}} = g (x)$ por ser solución de la ecuación no homogénea. Entonces, como

$L {y (x)} = g (x)$

concluimos que la combinación lineal

$y (x) = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} + \dots + c_{n} y_{n} + y_{p}$

es solución de la ecuación diferencial no homogénea.

¿Y qué ocurre si las soluciones $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ forman un conjunto fundamental de soluciones?. La respuesta es que la combinación lineal

$y (x) = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} + \dots + c_{n} y_{n} + y_{p}$

sería la solución general de la ecuación diferencial no homogénea ( $27$ ). Demostremos este resultado.

Teorema: Sea

y_{p} (x)

cualquier solución particular de la ecuación diferencial lineal no homogénea de

n

-ésimo orden (

27

) en el intervalo

δ

, y sea

{y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}}

un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial homogénea asociada (

2

) en

δ

. Entonces la solución general de la ecuación no homogénea es

Label '31' multiply defined

en el intervalo

δ

y donde

c_{i}, i = 1, 2, \dots, n

son constantes arbitrarias.

Demostración: Sea $y (x)$ la solución general de la ecuación no homogénea ( $27$ ) y sea $y_{p} (x)$ una solución particular de la misma ecuación, ambas definidas en el intervalo $δ$ , de manera que

$L {y (x)} = L {y_{p} (x)} = g (x)$

con $L$ el operador polinomial ( $28$ ). Nuestro objetivo es encontrar la forma explícita de $y (x)$ .

Definamos la función

$\begin{matrix} (32) & h (x) = y (x) - y_{p} (x) \end{matrix}$

y notemos lo siguiente.

$\begin{aligned} L {h (x)} & = L {y (x) - y_{p} (x)} \\ = L {y (x)} - L {y_{p} (x)} \\ = g (x) - g (x) \\ = 0 \end{aligned}$

Esto es,

$L {h (x)} = 0$

lo que significa que la función $h (x)$ es solución de la ecuación homogénea ( $2$ ) y por el teorema de la solución general de ecuaciones homogéneas podemos establecer que la función $h (x)$ tiene la siguiente forma.

$\begin{matrix} (33) & h (x) = c_{1} y_{1} (x) + c_{2} y_{2} (x) + \dots + c_{n} y_{n} (x) \end{matrix}$

Con ${y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}}$ un conjunto fundamental de soluciones. Sustituyendo ( $33$ ) en ( $32$ ) y despejando a la solución general $y (x)$ obtenemos finalmente que

$y (x) = c_{1} y_{1} (x) + c_{2} y_{2} (x) + \dots + c_{n} y_{n} (x) + y_{p} (x)$

que es lo que queríamos demostrar.

La diferencia entre las soluciones $(30)$ y $(31)$ es que en $(31)$ las $y_{i}, i = 1, 2, \dots, n$ forman un conjunto fundamental de soluciones, es decir, son linealmente independientes entre sí, mientras que en ( $30$ ) no necesariamente forman una conjunto fundamental y sin embargo, también son solución de la ecuación ( $27$ ).

En el caso de las ecuaciones no homogéneas vemos que la solución general corresponde a la suma de la solución general de la ecuación homogénea asociada más una solución particular de la ecuación no homogénea. En este caso no homogéneo la solución general de la ecuación homogénea tiene un nombre particular.

Definición: La combinación lineal

y_{c} (x) = c_{1} y_{1} (x) + c_{2} y_{2} (x) + \dots + c_{n} y_{n} (x)

que es la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea de

n

-ésimo orden (

2

), se denomina función complementaria para la ecuación no homogénea (

27

Por tanto, resolver una ecuación lineal no homogénea implica resolver primero la ecuación homogénea asociada para obtener la función complementaria $y_{c} (x)$ y luego se encuentra una solución particular $y_{p} (x)$ de la ecuación no homogénea para finalmente sumarlas

$\begin{matrix} (34) & y (x) = y_{c} (x) + y_{p} (x) \end{matrix}$

Realicemos un ejemplo.

Ejemplo: Probar que la función

$y (x) = c_{1} e^{2 x} + c_{2} x e^{2 x} + x^{2} e^{2 x} + x - 2$

definida en el intervalo $δ = (- \infty, \infty)$ , es la solución general de la ecuación diferencial

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 e^{2 x} + 4 x - 12$

Solución: Primero probemos que las funciones

$y_{1} = e^{2 x} y y_{2} = x e^{2 x}$

forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 0$

Para ello veamos que $y_{1}$ y $y_{2}$ son soluciones de la ecuación homogénea y que son linealmente independientes, es decir, que $W (y_{1}, y_{2}) \neq 0$ . Calculemos las derivadas.

$y_{1} = e^{2 x} \Rightarrow \frac{d y_{1}}{d x} = 2 e^{2 x} \Rightarrow \frac{d^{2} y_{1}}{d x^{2}} = 4 e^{2 x}$

$y_{2} = x e^{2 x} \Rightarrow \frac{d y_{2}}{d x} = e^{2 x} + 2 x e^{2 x} \Rightarrow \frac{d^{2} y_{2}}{d x^{2}} = 4 e^{2 x} + 4 x e^{2 x}$

De tarea moral muestra que ambas funciones son solución de la ecuación homogénea asociada, es decir, que

$\frac{d^{2} y_{1}}{d x^{2}} - 4 \frac{d y_{1}}{d x} + 4 y_{1} = 0 y \frac{d^{2} y_{2}}{d x^{2}} - 4 \frac{d y_{2}}{d x} + 4 y_{2} = 0$

Ahora probemos que forman un conjunto fundamental de soluciones, para ello calculemos el Wronskiano.

$\begin{array}{r} W (y_{1}, y_{2}) = | \begin{array}{c} e^{2 x} & x e^{2 x} \\ 2 e^{2 x} & e^{2 x} + 2 x e^{2 x} \end{array} | = e^{2 x} (e^{2 x} + 2 x e^{2 x}) - x e^{2 x} (2 e^{2 x}) = e^{4 x} \neq 0 \end{array}$

Como $W (y_{1}, y_{2}) \neq 0$ , $\forall x \in δ$ , por los teoremas vistos anteriormente concluimos que ${y_{1} = e^{2 x}, y_{2} = x e^{2 x}}$ forma un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada y que la solución general a dicha ecuación es

$y_{c} (x) = c_{1} e^{2 x} + c_{2} x e^{2 x}$

donde el subíndice $c$ indica que es la función complementaria.

Ahora verifiquemos que la función

$y_{p} (x) = x^{2} e^{2 x} + x - 2$

es una solución particular de la ecuación no homogénea. Calculemos la primera y segunda derivada.

$\frac{d y_{p}}{d x} = 2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} + 1$

$\frac{d^{2} y_{p}}{d x^{2}} = 2 e^{2 x} + 8 x e^{2 x} + 4 x^{2} e^{2 x}$

Sustituyamos en la ecuación diferencial.

$\begin{aligned} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 \frac{d y}{d x} + 4 y & = (2 e^{2 x} + 8 x e^{2 x} + 4 x^{2} e^{2 x}) - 4 (2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} + 1) + 4 (x^{2} e^{2 x} + x - 2) \\ = 2 e^{2 x} + (8 x e^{2 x} - 8 x e^{2 x}) + (4 x^{2} e^{2 x} - 8 x^{2} e^{2 x} + 4 x^{2} e^{2 x}) + 4 x - 12 \\ = 2 e^{2 x} + 4 x - 12 \end{aligned}$

Esto es,

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 e^{2 x} + 4 x - 12$

que justo corresponde a la ecuación diferencial no homogénea, por lo tanto, efectivamente $y_{p}$ es una solución particular.

Como ${y_{1} = e^{2 x}, y_{2} = x e^{2 x}}$ es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada y

$y_{p} (x) = x^{2} e^{2 x} + x - 2$

es una solución particular de la ecuación no homogénea, por el teorema de la solución general de ecuaciones no homogéneas concluimos que la función

$y (x) = c_{1} e^{2 x} + c_{2} x e^{2 x} + x^{2} e^{2 x} + x - 2$

es la solución general de la ecuación no homogénea.

Hay algo muy interesante que ocurre en el ejemplo anterior. Mostramos que la función

$y_{p} (x) = x^{2} e^{2 x} + x - 2$

es una solución particular de la ecuación no homogénea

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 e^{2 x} + 4 x - 12 = g (x)$

Sin embargo, si haces los cálculos correspondientes notarás que la función

$y_{p 1} (x) = x^{2} e^{2 x}$

es una solución particular de la ecuación

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 e^{2 x} = g_{1} (x)$

mientras que la función

$y_{p 2} (x) = x - 2$

es una solución particular de la ecuación

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 4 x - 12 = g_{2} (x)$

Así, si superponemos las soluciones particulares

$y_{p} (x) = y_{p 1} (x) + y_{p 2} (x)$

obtenemos en la ecuación diferencial la superposición de la funciones

$g (x) = g_{1} (x) + g_{2} (x)$

Lo anterior es efecto del principio de superposición para ecuaciones no homogéneas.

Teorema: Sean

y_{p 1}, y_{p 2}, \dots, y_{p k}

k

soluciones particulares de la ecuación diferencial lineal no homogénea de

n

-ésimo orden (

27

) en un intervalo

δ

, que corresponde, a su vez, a

k

funciones diferentes

g_{1}, g_{2}, \dots, g_{k}

. Es decir, se supone que

y_{p i}

denota una solución particular de la ecuación diferencial correspondiente

\begin{matrix} (35) & a_{n} (x) \frac{d^{n} y}{d x^{n}} + a_{n - 1} (x) \frac{d^{n - 1} y}{d x^{n - 1}} + \dots + a_{1} (x) \frac{d y}{d x} + a_{0} (x) y = g_{i} (x) \end{matrix}

donde

i = 1, 2,, \dots, k

. Entonces,

\begin{matrix} (36) & y_{p} (x) = y_{p 1} (x) + y_{p 2} (x) + \dots + y_{p k} (x) \end{matrix}

es una solución particular de

\begin{matrix} (37) & a_{n} \frac{d^{n} y}{d x^{n}} + a_{n - 1} \frac{d^{n - 1} y}{d x^{n - 1}} + \dots + a_{1} \frac{d y}{d x} + a_{0} y = g_{1} (x) + g_{2} (x) + \dots + g_{k} (x) \end{matrix}

Demostración: Sea $L$ el operador polinomial ( $28$ ) y sean $y_{p i} (x)$ , $i = 1, 2, \dots, k$ , soluciones particulares de las ecuaciones no homogéneas

$L {y_{p i} (x)} = g_{i} (x)$

$i = 1, 2, \dots, k$ respectivamente. Definamos la función

$y_{p} (x) = y_{p 1} (x) + y_{p 2} (x) + \dots + y_{p k} (x)$

Nuestro objetivo es demostrar que la función $y_{p} (x)$ es una solución particular de la ecuación ( $37$ ), es decir, que se cumple que

$L {y_{p} (x)} = g_{1} (x) + g_{2} (x) + \dots + g_{k} (x)$

En efecto

$\begin{aligned} L {y_{p} (x)} & = L {y_{p 1} (x) + y_{p 2} (x) + \dots + y_{p k} (x)} \\ = L {y_{p 1} (x)} + L {y_{p 2} (x)} + \dots + L {y_{p k} (x)} \\ = g_{1} (x) + g_{2} (x) + \dots + g_{k} (x) \end{aligned}$

Con esto queda probado que

$y_{p} (x) = y_{p 1} (x) + y_{p 2} (x) + \dots + y_{p k} (x)$

es solución de ( $37$ ).

Corolario: Si la soluciones

y_{p i} (x)

son soluciones particulares de (

35

) para

i = 1, 2, \dots, k

, entonces la combinación lineal

\begin{matrix} (38) & y_{p} (x) = c_{1} y_{p 1} (x) + c_{2} y_{p 2} (x) + \dots + c_{k} y_{p k} (x) \end{matrix}

donde las

c_{i}

son constantes, es también una solución particular de la ecuación diferencial

\begin{matrix} (39) & a_{n} \frac{d^{n} y}{d x^{n}} + a_{n - 1} \frac{d^{n - 1} y}{d x^{n - 1}} + \dots + a_{1} \frac{d y}{d x} + a_{0} y = c_{1} g_{1} + c_{2} g_{2} + \dots + c_{k} g_{k} \end{matrix}

Realicemos un último ejemplo.

Ejemplo: Probar que

$y_{p 1} (x) = - 4 x^{2}$ es solución particular de $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 4 y = - 16 x^{2} + 24 x - 8$ ,

$y_{p 2} (x) = e^{2 x}$ es solución particular de $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 e^{2 x}$ ,

$y_{p 3} (x) = x e^{x}$ es solución particular de $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x e^{x} - e^{x}$ .

y probar que la superposición

$y (x) = y_{p 1} (x) + y_{p 2} (x) + y_{p 3} (x) = - 4 x^{2} + e^{2 x} + x e^{x}$

es una solución de

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 4 y = - 16 x^{2} + 24 x - 8 + 2 e^{2 x} + 2 x e^{x} - e^{x}$

Solución: Sean

$g_{1} (x) = - 16 x^{2} + 24 x - 8, g_{2} (x) = 2 e^{2 x} y g_{3} (x) = 2 x e^{x} - e^{x}$

De tarea moral muestra que efectivamente,

$\frac{d^{2} y_{p 1}}{d x^{2}} - 3 \frac{d y_{p 1}}{d x} + 4 y_{p 1} = g_{1} (x)$

$\frac{d^{2} y_{p 2}}{d x^{2}} - 3 \frac{d y_{p 2}}{d x} + 4 y_{p 2} = g_{2} (x)$

$\frac{d^{2} y_{p 3}}{d x^{2}} - 3 \frac{d y_{p 3}}{d x} + 4 y_{p 3} = g_{3} (x)$

Por el principio de superposición para ecuaciones no homogéneas sabemos que la función

$y (x) = y_{p 1} (x) + y_{p 2} (x) + y_{p 3} (x)$

es solución de la ecuación

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 4 y = g_{1} (x) + g_{2} (x) + g_{3} (x)$

Por lo tanto, la función

$y (x) = - 4 x^{2} + e^{2 x} + x e^{x}$

es solución de la ecuación diferencial

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 4 y = - 16 x^{2} + 24 x - 8 + 2 e^{2 x} + 2 x e^{x} - e^{x}$

Si gustas puedes calcular la primera y segunda derivada de $y (x)$ y verificar la ecuación anterior para asegurarte del resultado.

Con esto concluimos nuestro estudio sobre algunas propiedades de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. En la siguiente entrada conoceremos un primer método para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Dadas las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden superior en el intervalo dado, calcular el Wronskiano para determinar si es un conjunto fundamental de soluciones y en caso de serlo dar la solución general.

$x^{3} \frac{d^{3} y}{d x^{3}} + 6 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 x \frac{d y}{d x} - 4 y = 0$ , con soluciones

$y_{1} = x, y_{2} = \frac{1}{x^{2}}, y_{3} = \frac{1}{x^{2}} \ln (x); δ = (0, \infty)$ .

$\frac{d^{4} y}{d x^{4}} + \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$ , con soluciones

$y_{1} = 1, y_{2} = x, y_{3} = \cos (x), y_{4} = \sin (x); δ = (\infty, \infty)$ .

Dadas las soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de orden superior en el intervalo dado, probar que se trata de la solución general de la ecuación.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 7 \frac{d y}{d x} + 10 y = 24 e^{x}$ , con solución

$y (x) = c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{5 x} + 6 e^{x}; δ = (\infty, \infty)$ .

$2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 5 x \frac{d y}{d x} + y = x^{2} - x$ , con solución

$y (x) = c_{1} \frac{1}{\sqrt{x}} + c_{2} \frac{1}{x} + \frac{1}{15} x^{2} - \frac{1}{6} x; δ = (0, \infty)$ .

Comprobar que las funciones $y_{p 1} (x) = 3 e^{2 x} y y_{p 2} (x) = x^{2} + 3 x$ son, respectivamente, soluciones particulares de $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 6 \frac{d y}{d x} + 5 y = - 9 e^{2 x} y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 6 \frac{d y}{d x} + 5 y = 5 x^{2} + 3 x - 16$

Usando el ejercicio anterior, encontrar la solución particular de las siguientes ecuaciones.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 6 \frac{d y}{d x} + 5 y = 5 x^{2} + 3 x - 16 - 9 e^{2 x}$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 6 \frac{d y}{d x} + 5 y = - 10 x^{2} - 6 x + 32 + e^{2 x}$

Más adelante…

Ahora que ya conocemos algunas propiedades de las ecuaciones diferenciales de orden superior y sus soluciones, en particular de las ecuaciones lineales de segundo orden, es momento de comenzar a desarrollar los distintos métodos de resolución de estas ecuaciones diferenciales.

En la siguiente entrada comenzaremos con un método que permite reducir una ecuación de segundo orden en una ecuación de primer orden, de tal manera que podremos resolverla aplicando alguno de los métodos vistos en la unidad anterior. No es casualidad que dicho método se conozca como método de reducción de orden.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. Propiedades del conjunto de soluciones

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

Hola a todos. Después de haber estudiado ecuaciones diferenciales de primer orden, llegamos a la segunda unidad del curso donde analizaremos ecuaciones diferenciales de segundo orden. Dada la dificultad para resolver este tipo de ecuaciones, nos enfocaremos únicamente en las ecuaciones lineales de segundo orden, es decir, de la forma $a_{0} (t) \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + a_{1} (t) \frac{d y}{d t} + a_{2} (t) y = g (t) .$

En esta entrada comenzaremos con el caso de las ecuaciones homogéneas de segundo orden, es decir, cuando $g (t)$ es la función constante cero en un intervalo $(α, β)$ . Estudiaremos la teoría de las soluciones a este tipo de ecuaciones antes de analizar las distintas técnicas para resolverlas. Debido a que el conjunto de soluciones a este tipo de ecuaciones se comportan de buena manera, podremos encontrar la solución general a la ecuación si previamente conocemos dos soluciones particulares que cumplan una hipótesis que daremos a conocer en el intervalo $(α, β)$ . Definiremos el Wronskiano y la independencia lineal de dos soluciones a una ecuación diferencial, y probaremos distintos teoremas y propiedades de las soluciones con base en estos conceptos.

¡Comencemos!

Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden, Teorema de existencia y unicidad y solución general

En este video damos una introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden, y en particular, a las ecuaciones lineales de segundo orden. Enunciamos el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de segundo orden, y comenzamos a desarrollar la teoría para encontrar la solución general a ecuaciones homogéneas.

Conjunto fundamental de soluciones y el Wronskiano

Continuando con la teoría de las soluciones a ecuaciones homogéneas de segundo orden, demostramos un par de teoremas que nos ayudan a encontrar la solución general a este tipo de ecuaciones. Además, definimos al conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea y el Wronskiano de dos funciones.

Independencia lineal de soluciones

En este último video definimos el concepto de independencia lineal de soluciones a la ecuación homogénea de segundo orden, y demostramos un teorema que nos da otra forma de encontrar un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación diferencial homogénea.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Prueba que $y_{1} (t) = \sin t$ y $y_{2} (t) = \cos t$ son soluciones a la ecuación diferencial $\frac{d^{2} y}{d t^{2}} + y = 0.$ Posteriormente prueba que $y (t) = k_{1} \sin t + k_{2} \cos t$ también es solución a la ecuación, donde $k_{1}$ , $k_{2}$ son constantes.

Prueba que ${\sin t, \cos t}$ es un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación del ejercicio anterior. ¿En qué intervalo es el conjunto anterior un conjunto fundamental de soluciones?

Prueba que si $p (t)$ , $q (t)$ son continuas en $(α, β)$ , $y_{1} (t)$ , $y_{2} (t)$ son soluciones a la ecuación $\frac{d^{2} y}{d t^{2}} + p (t) \frac{d y}{d t} + q (t) y = 0$ en $(α, β)$ y existe $t_{0}$ en dicho intervalo, donde $W [y_{1}, y_{2}] (t_{0}) \neq 0$ , entonces ${y_{1} (t), y_{2} (t)}$ forman un conjunto fundamental de soluciones en $(α, β)$ .

Prueba que si $p (t)$ , $q (t)$ son continuas en $(α, β)$ , entonces existe un conjunto fundamental de soluciones ${y_{1} (t), y_{2} (t)}$ a la ecuación $\frac{d^{2} y}{d t^{2}} + p (t) \frac{d y}{d t} + q (t) y = 0$ en el mismo intervalo. (Hint: Toma un punto en el intervalo $(α, β)$ y dos problemas de condición inicial adecuados de tal forma que puedas utilizar el teorema de existencia y unicidad y el Wronskiano para deducir el resultado).

Prueba que $y_{1} (t) = t | t |$ , $y_{2} (t) = t^{2}$ son linealmente independientes en $[- 1, 1]$ pero linealmente dependientes en $[0, 1]$ . Verifica que el Wronskiano se anula en $R$ . ¿Pueden ser $y_{1} (t)$ , $y_{2} (t)$ soluciones a la ecuación $\frac{d^{2} y}{d t^{2}} + p (t) \frac{d y}{d t} + q (t) y = 0$ en $(- 1, 1)$ si $p$ y $q$ son continuas en este intervalo?

Más adelante

En la próxima entrada conoceremos el método de reducción de orden, donde supondremos que ya conocemos una solución particular $y_{1} (t)$ a la ecuación lineal homogénea de segundo orden, y con ayuda de esta hallaremos una segunda solución $y_{2} (t)$ tal que forma un conjunto fundamental de soluciones junto con $y_{1}$ .

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