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Teoría de los Conjuntos I: Clases de equivalencia y particiones

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En la entrada anterior definimos a las relaciones de equivalencia, con lo cual ahora tenemos las bases para definir otros conceptos. Esta entrada estará dedicada a dos nociones nuevas a las que llamaremos clases de equivalencia y particiones. Dichos conjuntos nos permitirán agrupar a los elementos de un conjunto.

Clases de equivalencia

En la entrada anterior hemos usado la notación de pares para referirnos a los elementos de una relación. En esta entrada será más conveniente cambiar a la notación en la que ponemos a la relación entre dos elementos. Como recordatorio, esto quiere decir que para un conjunto $A$ y una relación $R$ en $A$, en vez de escribir $(a,b)\in R$, simplemente escribiremos $aRb$. Una versión abreviada de las propiedades de relación de equivalencia en esta notación es la siguiente:

  1. Para todo $a\in A$ se tiene $aRa$.
  2. Para $a,b\in X$ si $aRb$, entonces $bRa$.
  3. Para $a,b,c\in A$ si $aRb$ y $bRc$, entonces $aRc$.

La primera noción nueva que estudiaremos es la siguiente.

Definición. Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$. Dado $a\in A$, definimos la clase de equivalencia de $a$ con respecto a $R$, como:

$[a]_R=\set{x\in A: aRx}$.

Observación. Si $A$ es un conjunto no vacío, entonces, para cada $a\in A$ se tiene $[a]_R\not=\emptyset$ pues $aRa$ (por reflexividad de $R$).

Ejemplo.

Consideremos al conjunto $A=\set{a,b,c}$ y $R$ la relación de equivalencia en $A$ dada por $R=\set{(a,a), (b,b),(c,c), (a,b), (b,a)}$. Veamos cuáles son las clases de equivalencia de cada uno de los elementos de $A$.

Tenemos que:

\begin{align*}
[a]_R&= \set{x\in A: aRx}\\
&= \set{x\in \set{a,b,c}: aRx}\\
&=\set{a,b}.
\end{align*}

\begin{align*}
[b]_R&= \set{x\in A: bRx}\\
&= \set{x\in \set{a,b,c}: bRx}\\
&=\set{a,b}.
\end{align*}

\begin{align*}
[c]_R&= \set{x\in A: cRx}\\
&= \set{x\in \set{a,b,c}: cRx}\\
&=\set{c}.
\end{align*}

$\square$

Conjuntos completos de representantes

Del ejemplo anterior podemos notar que es posible que dos clases de equivalencia sean iguales. En ese ejemplo, tenemos que $[a]_{R}=[b]_{R}$, por lo que podemos considerar únicamente a un representante para estás clases, es decir, las clases distintas de $R$ estarán dadas por $[a]_R$ y $[c]_R$, pues $[a]_R$ representa tanto a $[a]_R$ como a $[b]_R$. Para formalizar estas ideas, podemos introducir la siguiente definición.

Definición. Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$. Decimos que $S\subseteq A$ es un conjunto completo de representantes con respecto a $R$, si se satisfacen las siguientes condiciones:

  1. Para cualesquiera $a,b\in S$, se tiene que $[a]_R\cap [b]_R=\emptyset$ si $a\not=b$,
  2. $\bigcup_{a\in S}[a]_R=A$.

Ejemplo.

Sea $X=\set{1,2}$. Consideremos las relaciones $R_1=\set{(1,1),(2,2)}$ y $R_2=\set{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)}$ en $X$. Las relaciones $R_1$ y $R_2$ son relaciones de equivalencia en $X$. Luego, un conjunto completo de representantes con respecto a $R_1$ es $S_1=\set{1,2}$ y un conjunto completo de representantes con respecto a $R_2$ es $S_2=\set{1}$.

Ejemplo.

Sea $X$ un conjunto no vacío y consideremos la relación $R=\set{(x,x):x\in X}$. Ciertamente $R$ es una relación de equivalencia en $X$, y un conjunto completo de representantes respecto a $R$ es $S=X$.

¿Será que para cualquier relación de equivalencia podremos encontar un conjunto completo de representantes? La respuesta es que sí, pero todavía no podemos demostrarlo. Se logrará hasta que introduzcamos el axioma de elección. Para seguir desarrollando tu intuición de por qué, piensa en qué sucedería si el conjunto $A$ en donde está la relación de equivalencia $R$ es infinito, y se tiene que todas las clases de equivalencia tienen dos elementos (digamos). Nuevamente, tenemos que elegir una infinidad de veces uno de los dos elementos. Para hacer estas elecciones infinitas es que se necesita el axioma de elección.

Teorema.1 Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$ y sean $a,b\in A$. Las siguientes propiedades son equivalentes:

  1. $aRb$,
  2. $[a]_R=[b]_R$,
  3. $[a]_R\cap[b]_R\not=\emptyset$.

Demostración.

$1)\rightarrow 2)$ Supongamos que $aRb$. Veamos que $[a]_R=[b]_R$.

$\subseteq]$ Sea $x\in [a]_R$, entonces $aRx$. Luego, como $aRb$ y $R$ es una relación simétrica entonces $bRa$. Así, $bRa$ y $aRx$ y por la transitividad de $R$ se tiene que $bRx$ y así, $x\in [b]_R$.

Por lo tanto, $[a]_R\subseteq [b]_R$.

$\supseteq]$ Sea $x\in [b]_R$, entonces $bRx$. Luego, como $aRb$ y $bRx$ se tiene por transitividad de $R$ que $aRx$ y así, $x\in [a]_R$.

Por lo tanto, $[b]_R\subseteq [a]_R$. Concluimos entonces que si $aRb$ entonces $[a]_R=[b]_R$.

$2)\rightarrow 3)$ Supongamos que $[a]_R=[b]_R$ entonces $[a]_R\cap[b]_R=[a]_R\not=\emptyset$ pues por la observación, $a\in [a]_R$.

$3)\rightarrow 1)$ Supongamos que $[a]_R\cap[b]_R\not=\emptyset$. Veamos que $aRb$.

Dado que $[a]_R\cap [b]_R\not=\emptyset$, existe $x\in [a]_R\cap[b]_R$, es decir existe $x$ tal que $x\in[a]_R$ y $x\in [b]_R$. Entonces $aRx$ y $bRx$. Por lo tanto, $aRx$ y $xRb$ por la propiedad simétrica. Luego, $aRb$ por transitividad.

Por lo tanto, si $[a]_R\cap[b]_R\not=\emptyset$ entonces $aRb$.

Por lo tanto, $1)$, $2)$ y $3)$ son enunciados equivalentes.

$\square$

Particiones

A continuación definiremos qué es una partición de un conjunto. A grandes rasgos, se refiere a «fragmentar» un conjunto. Este concepto estará muy relacionado con el de las clases de equivancia de un conjunto completo de representantes.

Definición. Sean $A$ un conjunto no vacío y $P\subseteq \mathcal{P}(A)$. Decimos que $P$ es una partición de $A$ si cumple las siguientes condiciones:

  1. $B\not=\emptyset$ para todo $B\in P$,
  2. $B\cap C=\emptyset$ para cualesquiera $B,C\in P$ si $B\not=C$,
  3. $\bigcup P=A$.

Ejemplo.

Sea $X=\set{1,2,3,4}$. Consideremos a la siguiente colección de subconjuntos de $X$, $P=\set{\set{x}:x\in X}$.

Veamos que $P$ es una partición de $X$:

  1. Dado que para todo $x\in X$ se cumple que $x\in \set{x}$ tenemos que $\set{x}\not=\emptyset$.
  2. Ahora, como $P=\set{\set{x}:x\in X}=\set{\set{1},\set{2}, \set{3}, \set{4}}$ se cumple que para cualquier $x,y\in X$ tales que $\set{x}\not=\set{y}$, $\set{x}\cap\set{y}=\emptyset$.
  3. Tenemos que:

$\bigcup P=\set{1}\cup\set{2}\cup\set{3}\cup\set{4}=\set{1,2,3,4}=X$.

$\square$

A continuación se muestra el primero de varios resultados que vinculan a las relaciones de equivalencia con las particiones.

Teorema.2 Sea $R$ una relación de equivalencia en $A$ un conjunto no vacío. Si $S$ es un conjunto completo de representantes respecto a la relación $R$, entonces $\set{[a]_R: a\in S}$ es una partición de $A$.

Demostración.

Veamos que $\set{[a]_R:a\in S}$ es una partición de $A$. En efecto,

  1. Sea $a\in S\subseteq A$, entonces $aRa$ por reflexividad de $R$ y por lo tanto $a\in [a]_R$. De este modo, para cualquier $a\in S$ se cumple que $[a]_R\not=\emptyset$.
  2. Ahora, sean $a,b\in S$ tales que $a\not=b$. Por definición de conjunto completo de representantes se sigue que $[a]_R\cap [b]_R=\emptyset$.
  3. Finalmente, tenemos por definición que $\bigcup_{a\in S}[a]_R=A$.

Por lo tanto, $\set{[a]_R:a\in S}$ es una partición de $A$.

$\square$

Tarea moral

  1. Sea $A=\set{1,2,3,4}$. Da una partición del conjunto $A$ y verifica que en efecto es una partición.
  2. Sea $A=\set{1,2,3,4,5}$ y sea $R$ una relación de equivalencia en $A$ dada por $R=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)}$. Escribe las clases de equivalencia de $A$ con respecto a $R$.
  3. Sea $A=\set{1,2,3}$ y sea $R$ una relación de equivalencia en $A$ dada por $R=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)}$. Encuentra a un conjunto completo de representantes.
  4. Sean $R$ y $S$ relaciones de equivalencia en $X$. Demuestra que para cada $x\in X$ se tiene que $[x]_{R\cap S}=[x]_R\cap [x]_S$.

Más adelante…

En la siguiente entrada estableceremos otras conexiones de relaciones de equivalencia con particiones. Lo haremos a través de definir a una nueva noción llamada conjunto cociente.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

  1. También puedes consultar la prueba de este teorema en: Hernández, F., Teoría de Conjuntos, México: Aportaciones Matemáticas No.13,
    SMM, 1998, p. 65. ↩︎
  2. También puedes consultar la prueba de este teorema en: Gómez L. C, Álgebra Superior Curso Completo. Publicaciones Fomento Editorial, 2014, p. 67. ↩︎

Teoría de los Conjuntos I: Relaciones de equivalencia

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta entrada hablaremos acerca de un tipo de relaciones especiales a las que llamaremos relaciones de equivalencia. Veremos algunos ejemplos de relaciones que son de equivalencia, y algunos ejemplos de otras que no lo son.

Relaciones de equivalencia

Definición. Sea $R$ una relación en $A$. Decimos que $R$ es una relación de equivalencia si se satisfacen las siguientes condiciones:

  1. Para cualquier $a\in A$, se tiene que $(a,a)\in R$ (reflexividad),
  2. Para cualesquiera $a,b\in A$, se tiene que si $(a,b)\in R$, entonces $(b,a)\in R$ (simetría),
  3. Para cualesquiera $a,b,c\in A$, se tiene que si $(a,b)\in R$ y $(b,c)\in R$, entonces $(a,c)\in R$ (transitividad).

Algunos ejemplos

Ejemplo.

Sea $A=\set{a,b}$. La relación $R=\set{(a,a), (b,b), (a,b), (b,a)}$ es relación de equivalencia. En efecto, podemos verificar que $R$ es una relación en $A$ y se verifican las propiedades. En este caso es sencillo demostrarlo. Las propiedades que piden la reflexividad, simetría y transitividad son que alguna pareja esté en $R$. Pero $R$ es todo el producto cartesiano $A\times A$, así que cualquier pareja estará.

$\square$

Ejemplo.

Sea $A=\set{1,2,3}$. La relación $R=\set{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)}$ es relación de equivalencia. Veamos que cumple cada una de las propiedades.

  1. Reflexividad.
    Los elementos de $A$ son $1,2,3$ y en efecto $(1,1),(2,2),(3,3)$ son elementos de $R$.
  2. Simetría.
    Verifiquemos que se cumple para cada uno de los pares en $R$.
    – $(1,1)\in R$ y en efecto $(1,1)\in R$.
    – $(2,2)\in R$ y en efecto $(2,2)\in R$.
    – $(3,3)\in R$ y en efecto $(3,3)\in R$.
    – $(1,3)\in R$ y en efecto $(3,1)\in R$.
    – $(3,1)\in R$ y en efecto $(1,3)\in R$.
  3. Transitividad.
    Aquí tenemos muchas posibilidades por verificar. Estrictamente hablando, hay que verificar todas las siguientes posibilidades.
    -$(1,1)\in R$ y $(1,1)\in R$ y, en efecto, $(1,1)\in R$.
    -$(1,1)\in R$ y $(1,3)\in R$ y, en efecto, $(1,3)\in R$.
    -$(2,2)\in R$ y $(2,2)\in R$ y, en efecto, $(2,2)\in R$.
    -$(3,3)\in R$ y $(3,3)\in R$ y, en efecto, $(3,3)\in R$.
    -$(3,3)\in R$ y $(3,1)\in R$ y, en efecto, $(3,1)\in R$.
    -$(1,3)\in R$ y $(3,3)\in R$ y, en efecto, $(3,3)\in R$.
    -$(1,3)\in R$ y $(3,1)\in R$ y, en efecto, $(1,1)\in R$.
    -$(3,1)\in R$ y $(1,1)\in R$ y, en efecto, $(3,1)\in R$.
    -$(3,1)\in R$ y $(1,3)\in R$ y, en efecto, $(3,3)\in R$.

Así, $R$es relación de equivalencia en $X=\emptyset$.

$\square$

Ejemplo.

Sea $R=\emptyset$ la relación vacía pensada como una relación en $X=\emptyset$. Veamos que $R$ es relación de equivalencia. En efecto, podemos verificar las propiedades:

  1. Reflexividad.
    No existe $x\in X$, así que por vacuidad para todo $x\in X$ se cumple que $(x,x)\in R$.
  2. Simetría.
    Como la $R$ es la relación vacía, no hay $(x,y)\in R$. Así, por vacuidad $(x,y)\in \emptyset$ implica que $(y,x)\in R$.
  3. Transitividad.
    También se cumple por vacuidad, pues no es posible encontrar $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$.

Por lo tanto, $R$ es relación de equivalencia en $X=\emptyset$.

$\square$

En este último ejemplo fue muy importante que $X=\emptyset$. Una de las propiedades falla si no es el caso. ¿Cuál?

Relaciones casi de equivalencia

La definición de relación de equivalencia nos pide verificar tres propiedades: reflexividad, simetría y transitividad. Uno podría preguntarse si es necesario pedir las tres propiedades o si dos de ellas ya implican la tercera. Los siguientes ejemplos muestran que pedir cada cosa es necesario, pues para cualquier combinación de dos propiedades y la negación de la tercera, podemos encontrar un ejemplo.

Ejemplo. (Simétrica y transitiva pero no reflexiva).

Sea $X$ un conjunto no vacío. La relación vacía en $X$ no es relación de equivalencia. En efecto, podemos verificar que $\emptyset$ es simétrica y transitiva por un argumento por vacuidad (como hicimos arriba), pero $\emptyset$ no es una relación reflexiva, dado que al tomar $x\in X$ arbitrario,se tiene que $(x,x)\not \in \emptyset$.

$\square$

Ejemplo. (Reflexiva y simétrica pero no transitiva).

Sea $X=\set{a,b,c}$ y sea $R=\set{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a), (a,c), (c,a)}$. Tenemos que $R$ no es relación de equivalencia, pues aunque es reflexiva y simétrica no es transitiva. La razón por la cual no es transitiva es que $(c,a)\in R$ y $(a,b)\in R$, pero $(c,b)\notin R$.

$\square$

Ejemplo. (Reflexiva, transitiva pero no simétrica).

Sea $X=\set{a,b,c}$ y sea $R=\set{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b)}$. Tenemos que $R$ no es relación de equivalencia, pues aunque es reflexiva y transitiva no es simétrica. Para ver esto último, notamos que $(a,b)\in R$, pero $(b,a)\not\in R$.

$\square$

Algunas propiedades de relaciones de equivalencia

Proposición. Sean $R_1$ y $R_2$ relaciones de equivalencia en $A$. Se tiene que $R_1\cap R_2$ es relación de equivalencia.

Demostración.

Supongamos que $R_1$ y $R_2$ son relaciones de equivalencia en $A$. Veamos que $R_1\cap R_2$ es una relación de equivalencia en $A$, para ello debemos verificar que $R_1\cap R_2$ es reflexiva, simétrica y transitiva.

Afirmación 1. $R_1\cap R_2$ es reflexiva.

Sea $a\in A$, veamos que $(a,a)\in R_1\cap R_2$.
Como $a\in A$ y $R_1$ es relación de equivalencia en $A$, entonces en particular es reflexiva, de modo que $(a,a)\in R_1$.

Luego, como $a\in A$ y $R_2$ es reflexiva por ser relación de equivalencia se cumple que $(a,a)\in R_2$. Por lo tanto, $(a,a)\in R_1$ y $(a,a)\in R_2$, esto es $(a,a)\in R_1\cap R_2$.

Por lo tanto, $R_1\cap R_2$ es reflexiva.

Afirmación 2. $R_1\cap R_2$ es simétrica.

Sea $(a,b)\in R_1\cap R_2$, veamos que $(b,a)\in R_1\cap R_2$.

Como $(a,b)\in R_1\cap R_2$, entonces $(a,b)\in R_1$ y $(a,b)\in R_2$. Luego, $(b,a)\in R_1$ y $(b,a)\in R_2$ por ser $R_1$ y $R_2$ relaciones simétricas respectivamente. Por lo tanto, $(b,a)\in R_1\cap R_2$.

Por lo tanto, $R_1\cap R_2$ es simétrica.

Afirmación 3. $R_1\cap R_2$ es transitiva.

Sean $(a,b), (b,c)\in R_1\cap R_2$, veamos que $(a,c)\in R_1\cap R_2$.

Como $(a,b)\in R_1\cap R_2$, entonces $(a,b)\in R_1$ y $(a,b)\in R_2$. Luego, como $(b,c)\in R_1\cap R_2$ entonces $(b,c)\in R_1$ y $(b,c)\in R_2$.

Así, $(a,b)\in R_1$ y $(b,c)\in R_1$ y por la transitividad de $R_1$ se sigue que $(a,c)\in R_1$.

De forma similar, como $(a,b)\in R_2$ y $(b,c)\in R_2$ se sigue que $(a,c)\in R_2$ por transitividad de $R_2$.

De los argumentos anteriores se tiene que $(a,c)\in R_1\cap R_2$.

Por lo tanto, $R_1\cap R_2$ es transitiva.

De la Afirmación 1, Afirmación 2 y Afirmación 3 concluimos que $R_1\cap R_2$ es relación de equivalencia en $A$.

$\square$

Proposición. Si $R$ es una relación sobre un conjunto $X$ que cumple con las propiedades

  1. $(x,x)\in R$ para todo $x\in X$ y
  2. Si $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$, entonces $(z,x)\in R$,

entonces $R$ es relación de equivalencia.

Demostración.

Supongamos que $R$ es una relación tal que $(x,x)\in R$ para todo $x\in X$ y si $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$, entonces $(z,x)\in R$. Veamos que $R$ es relación de equivalencia.

Tenemos que $R$ es reflexiva pues por hipótesis $(x,x)\in R$ para todo $x\in X$. Luego, si $(x,y)\in R$, veamos que $(y,x)\in R$ para probar que $R$ es simétrica. Dado que $(x,y)\in R$ entonces $x,y\in X$ y por reflexividad $(y,y)\in R$. Así, por hipótesis tenemos que $(y,x)\in R$.

Ahora veamos que $R$ es transitiva. Supongamos que $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$ y mostremos que $(x,z)\in R$. Como $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$, entonces $(z,x)\in R$ y por simetría de $R$ se tiene que $(x,z)\in R$.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te será útil para verificar por tu cuenta que ciertas relaciones son de equivalencia:

  1. Demuestra que $Id_A$ es una relación de equivalencia para $A$ un conjunto cualquiera.
  2. En el texto tomamos como ejemplo a $X=\set{a,b,c}$ y $R=\set{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a), (a,c), (c,a)}$ y mencionamos que $R$ era reflexiva y simétrica. Demuéstralo explícitamente.
  3. También tomamos $X=\set{a,b,c}$ y $R=\set{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b)}$ y mencionamos que era reflexiva y transitiva. Haz todos los casos para mostrar que esto es cierto.
  4. Construye $R$ una relación tal que $R$ sea reflexiva pero no sea ni simétrica ni transitiva.
  5. Demuestra o da un contraejemplo a las siguientes afirmaciones:
    • Si $R_1$ y $R_2$ son relaciones de equivalencia en $A$, entonces $R_1\cup R_2$ es relación de equivalencia en $A$.
    • Si $R_1$ es relación de equivalencia en $A$, $R_2$ es relación de equivalencia en $B$ y $A\cap B=\emptyset$, entonces $R_1\cup R_2$ es relación de equivalencia en $A\cup B$.
  6. Un clásico argumento falso para demostrar que la reflexividad no es necesaria en la definición de relación de equivalencia es «argumentar» que si tenemos $(x,y)$ en la relación, por simetría tenemos $(y,x)$ y entonces por transitividad al tener $(x,y)$ y $(y,x)$ podemos deducir que tenemos $(x,x)$. ¿Cuál es el problema con este argumento?
  7. Sea $X$ un conjunto y $R$ una relación simétrica y transitiva en $X$, tal que para todo $x\in X$ se tenga que exista un $y$ tal que $(x,y)\in R$. Demuestra que $R$ es relación de equivalencia.

Más adelante…

En la siguiente entrada seguiremos tratando a las relaciones de equivalencia. Esta vez hablaremos acerca de los elementos del conjunto en el cual hay una relación de equivalencia y cómo podemos estudiarlos según estén relacionados con otros elementos. Definiremos una nueva noción llamada clase de equivalencia. En una clase de equivalencia se encontrarán todos aquellos elementos que estén relacionados con un mismo elemento bajo la relación de equivalencia dada.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Composición de relaciones

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta entrada retomaremos el tema de relaciones que vimos anteriormente. Esta vez definiremos una nueva relación a partir de dos relaciones: la composición. Veremos si la composición de dos relaciones tiene propiedades como la conmutatividad o la asociatividad.

Definamos la composición

Definición. Sean $R_1$ y $R_2$ relaciones de $A$ en $B$ y de $C$ en $D$ respectivamente. Definimos a la composición de $R_1$ con $R_2$ como el siguiente conjunto:

$R_2\circ R_1=\set{(a,c): \exists b((a,b)\in R_1\ y\ (b,c)\in R_2)}$.

En otros símbolos, si $a,b,c$ son elementos tales que $aR_1b$ y $bR_2c$, entonces se cumplirá que $a (R_2\circ R_1) c$.

Ejemplo.

Sean $X=\set{0,1}$ y $Y=\set{1,2}$ y $Z=\set{1,2,3,4}$ conjuntos. Sean $R_1$ y $R_2$ relaciones de $X$ en $Y$ y de $Y$ en $Z$ definidas como sigue:

$R_1=\set{(0,1), (0,2)}\ y\ R_2=\set{(1,3), (1,4)}$.

Podemos hacer diagramas de ambas relaciones en una misma figura como sigue:

Luego, la composición de $R_2\circ R_1$ resulta ser el siguiente conjunto:

$R_2\circ R_1=\set{(0, 3), (0,4)}$.

Para leerlo en el diagrama, podemos ver que hay un «camino» de $0$ a $3$ que usa las flechas de $0$ a $1$, y de $1$ a $3$. También hay un «camino» de $0$ a $4$ que usa las flechas de $0$ a $1$, y de $1$ a $4$.

Además de notarlo en el diagrama, podemos verificar mediante la definición. La pareja $(0,3)$ está pues $1\in Y$ tal que $(0,1)\in R_1$ y $(1,3)\in R_2$. Por su parte, la pareja $(0,4)$ está pues existe $1\in Y$ tal que $(0,1)\in R_1$ y $(1,4)\in R_2$.

$\square$

Algunos resultados

A continuación hablaremos de algunos resultados de la composición, la relación inversa y la relación identidad.

Proposición. Si $R$ es una relación en $A$, entonces $R\circ Id_{A}=R$.

Demostración.

Sea $R$ una relación en $A$. Veamos que $R\circ Id_{A}=R$.

$\subseteq$] Sea $(x,z)\in R\circ Id_{A}$, entonces existe $y$ tal que $(x,y)\in Id_{A}$ y $(y,z)\in R$.
Luego, como $(x,y)\in Id_{A}$ se sigue que $x=y$ y así $(y,z)=(x,z)\in R$.

$\supseteq$] Sea $(a,c)\in R$. Como $a,c\in A$, se sigue que $(a,a)\in Id_{A}$. Por lo que existe $a$ tal que $(a,a)\in Id_{A}$ y $(a,c)\in R$. Por lo tanto, $(a,c)\in R\circ Id_{A}$.

Por lo tanto, $R\circ Id_{A}=R$.

$\square$

Proposición. Si $R$ es una relación de $A$ en $B$, entonces $Id_{Im\ R}\subseteq R\circ R^{-1}$.

Demostración.

Sea $y\in Im(R)$. Como $y\in Im\ R$ existe $a\in A$ tal que $(a,y)\in R$, y por definición de relación inversa tenemos que $(y,a)\in R^{-1}$.

Encontramos $a\in A$ tal que $(y,a)\in R^{-1}$ y $(a,y)\in R$, esto es $(y,y)\in R\circ R^{-1}$. Así, $Id_{Im\ R}\subseteq R\circ R^{-1}$.

$\square$

Propiedades de la composición

Hemos dicho hasta ahora que la composición es una operación entre dos conjuntos que son relaciones. Por ello, podemos preguntarnos qué pasa con la conmutatividad y la asociatividad de dicha operación.

En general, no es cierto que $R_1\circ R_2=R_2\circ R_1$, es decir, la composición no es conmutativa.

Ejemplo.

Consideremos $X=\set{1,2}$. Sean $R_1=\set{(1,1), (1,2)}$ y $R_2=\set{(1,2),(2,1)}$ relaciones en $X$.

Por un lado tenemos que

$R_1\circ R_2=\set{(2,1), (2,2)}$

y por otro lado

$R_2\circ R_1=\set{(1,2),(1,1)}$.

De modo que $R_1\circ R_2\not=R_2\circ R_1$.

$\square$

El segundo resultado que tenemos es que la asociatividad siempre se cumple.

Proposición. Si $R_1$, $R_2$ y $R_3$ son relaciones, entonces, $(R_3\circ R_2)\circ R_1=R_3\circ (R_2\circ R_1)$.

Demostración.

Sean $R_1$, $R_2$ y $R_3$ relaciones. Si $(x,z)\in (R_3\circ R_2)\circ R_1$, existe $y$ tal que $(x,y)\in R_1$ y $(y,z)\in R_3\circ R_2$. Luego, como $(y,z)\in R_3\circ R_2$, existe $w$ tal que $(y,w)\in R_2$ y $(w,z)\in R_3$. Así, dado que $(x,y)\in R_1$ y $(y,w)\in R_2$, $(x,w)\in R_2\circ R_1$, y como $(w,z)\in R_3$ entonces $(x,z)\in R_3\circ(R_2\circ R_1)$. Por tanto, $(R_3\circ R_2)\circ R_1\subseteq R_3\circ(R_2\circ R_1)$.
Ahora, si $(x,z)\in R_3\circ(R_2\circ R_1)$, existe $w$ tal que $(x,w)\in R_2\circ R_1$ y $(w,z)\in R_3$. Luego, existe $y$ tal que $(x,y)\in R_1$ y $(y,w)\in R_2$ y, por tanto, $(x,y)\in R_1$ y $(y,z)\in R_3\circ R_2$, por lo que $(x,z)\in (R_3\circ R_2)\circ R_1$. En consecuencia, $R_3\circ(R_2\circ R_1)\subseteq(R_3\circ R_2)\circ R_1$.

Por lo tanto, $(R_3\circ R_2)\circ R_1=R_3\circ (R_2\circ R_1)$.

$\square$

Hemos probado que la composición de relaciones es asociativa y a su vez concluimos que en general no conmuta.

Tarea moral

  1. Demuestra que si $R$ es una relación arbitraria, $R\circ \emptyset=\emptyset=\emptyset\circ R$.
  2. Prueba que si $R$ es una relación en $A$, entonces $R=Id_{A}\circ R$.
  3. Si $R$ y $S$ son relaciones, entonces $S\circ R\subseteq dom(R)\times im(S)$.
  4. Sean $A= \set{1,2,3}$, $B=\set{1,2}$ y $C=\set{1,2,3,4}$. Sean $R_1=\set{(1,2), (3,1)}$ y $R_2=\set{(1,4), (2,1), (2,3)}$ relaciones de $A$ en $B$ y de $B$ en $C$ respectivamente. Calcula $R_2\circ R_1$.

Más adelante…

Ya hemos hablado de relaciones en general, y de cómo componerlas. A partir de ahora comenzaremos a pedirle más propiedades a nuestras relaciones para que se conviertan en algunos tipos de relaciones muy especiales: funciones, relaciones de equivalencia, órdenes, etc. Comenzaremos a hacer esto en la siguiente entrada, en donde veremos qué se le debe pedir a una relación para que sea una función. Así, todas las funciones son relaciones, sin embargo, no toda relación será función.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Relaciones

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta nueva entrada veremos el concepto de relación, para lo cual es necesario tener fresco el concepto de producto cartesiano. Así mismo, definiremos nuevos conjuntos a partir de una relación, como lo son el dominio, la imagen de una relación, la imagen de un conjunto bajo una relación y el concepto de relación inversa. Concluiremos esta entrada definiendo a la imagen inversa de un conjunto bajo una relación.

Relación

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Una relación $R$ de $A$ en $B$ es un subconjunto de $A\times B$. A $A$ le llamamos el dominio de la relación y a $B$ el codominio.

Si $A=B$ diremos que $R$ es una relación en $A$.

Ejemplo 1.

Sea $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$ y definimos $R$ como:

$R=\set{(\emptyset, \emptyset), (\emptyset, \set{\set{\emptyset}})}$.

Dado que $A\times B=\set{(\emptyset,\emptyset), (\emptyset, \set{\set{\emptyset}}), (\set{\emptyset}, \emptyset), (\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}})}$ y $R\subseteq A\times B$ decimos que $R$ es una relación de $A$ en $B$.

$\square$

Ejemplo 2.

Sea $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3}$. Definimos $S=\set{(1,1), (1,2), (1,3)}$. Tenemos que $S$ es una relación de $A$ en $B$. En efecto, esto sucede pues $S=\set{(1,1), (1,2), (1,3)}\subseteq A\times B$, ya que $A\times B=\set{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}$.

Podemos representar a $S$ mediante el siguiente diagrama. Del lado izquierdo hemos puesto al dominio $A$. Del lado derecho al codominio $B$. Para cada pareja $(a,b)$ de la relación, hemos puesto una flecha de $a$ a $b$.

Imagen de relación del ejemplo 2

$\square$

Definición. Si $(x,y)\in R$ con $R$ relación, decimos que $x$ está relacionado con $y$ mediante $R$ (o simplemente que $x$ está relacionado con $y$ si por el contexto es claro quién es $y$) y lo denotaremos como $xRy$.

Si retomamos el Ejemplo 1 podemos decir que $\emptyset R\emptyset$ y $\emptyset R\set{\set{\emptyset}}$.

A partir del Ejemplo 2 podemos decir que $1S1$, $1S2$ y $1S3$.

Relaciones relevantes

A continuación hablaremos de algunos ejemplos de relaciones que nos serán de utilidad más adelante.

  1. Relación vacía.
    Si $R=\emptyset$, entonces $R$ será llamada la relación vacía. Esto tiene sentido pues $\emptyset\subseteq A\times B$ para cualesquiera $A$ y $B$ conjuntos.
  2. Relación identidad.
    Sea $A$ un conjunto cualquiera. Definimos la relación identidad en $A$ como:
    $$Id_{A}=\set{(a,a):a\in A}.$$
    Notamos que $Id_{A}\subseteq A\times A$ pues para cualquier $(x,y)\in Id_{A}$ se tiene que $x=y$ con $x,y\in A$, lo que significa que $(x,y)\in A\times A$.
  3. Relación de pertenencia.
    Sea $A$ un conjunto. Definimos a la relación de pertenencia en $A$ como el siguiente conjunto:
    $$\in_{A}=\set{(a,b): a\in A,\ b\in A,\ a\in b}.$$
  4. Relación de contención.
    Sea $A$ un conjunto. Definimos a la relación de contención en $A$ como el siguiente conjunto:
    $$\subseteq_{A}=\set{(a,b): a\in A,\ b\in A,\ a\subseteq b}.$$

Dominio de una relación

Ya que hemos definido el concepto de relación, a continuación definiremos al dominio de una relación.

Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Definimos el dominio de la relación como:

$\text{dom}(R)=\set{x\in A:\exists y\in B( (x,y)\in R)}$.

Ejemplo.

Sean $A=B=\set{1,2}$. Definimos $R=\set{(1,2), (1,1), (2,2)}\subseteq A\times B$. Tenemos que $\text{dom}(R)=\set{1,2}$ pues para $1\in A$ existe, digamos, $1\in B$ tal que $(1,1)\in R$ y para $2\in A$ existe $2\in B$ tal que $(2,2)\in R$.

$\square$

Imagen de una relación

A continuación vamos a definir lo análogo al dominio activo, pero para el codominio. Le daremos un nombre al subconjunto de elementos del codominio que sí participan en la relación.

Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Definimos la imagen de $R$ como el conjunto

$\text{im}(R)=\set{y\in B:\exists x\in A( (x,y)\in R)}$.

Ejemplo.

Sean $A=B=\set{1,2}$. Definimos $R=\set{(1,2), (2,2)}\subseteq A\times B$.

Tenemos que $\text{im}(R)=\set{2}$ pues para $2\in B$ existe, digamos $2\in A$ tal que $(2,2)\in R$. Sin embargo, $1\not \in \text{im}(R)$ pues $R$ no tiene ninguna pareja de la forma $(x,1)$ con $x\in A$.

$\square$

Imagen de un conjunto bajo una relación

A veces queremos preguntarnos por los elementos del codominio que participan en la relación, pero sólamente con ciertos elementos del dominio. La siguiente definición establece esto.

Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Sea $C\subseteq A$. Definimos a la imagen de $C$ bajo $R$ como el el conjunto

$R[C]=\set{y\in B: \exists x\in C (xRy)}$.

Ejemplo.

Sean $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3,4}$ conjuntos. Sea $R=\set{(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (2,4)}$, la cual es una relación de $A$ en $B$. Tomemos $C=\set{1}\subseteq A$. Tenemos que

$R[C]=\set{y\in \{1,2,3,4\}:\exists x\in\{1\}(xRy)}= \set{1,3}$.

$\square$

Relación inversa

Para cerrar esta entrada, introduciremos un concepto más: el de relación inversa.

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Definimos la relación inversa de $R$ como la relación $R^{-1}$ de $B$ en $A$ definida como sigue:

$R^{-1}=\set{(b,a): (a,b)\in R}$.

Notemos que la relación inversa intercambia el orden de las entradas de las parejas ordenadas que son elementos de la relación $R$.

Ejemplo.

Sea $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y definimos $R$ como:

$R=\set{(\emptyset, \emptyset), (\emptyset,\set{\emptyset})}.$

Tenemos que

$R^{-1}=\set{(\emptyset, \emptyset), (\set{\emptyset}, \emptyset)}.$

En efecto, como $(\emptyset, \emptyset)\in R$ tendremos que $(\emptyset, \emptyset)\in R^{-1}$ y como $(\set{\emptyset}, \emptyset)\in R$ tendremos que $(\emptyset, \set{\emptyset})\in R^{-1}$.

$\square$

Proposición. Sea $R$ una relación. Se cumple que $(R^{-1})^{-1}=R$.

Demostración.

Tenemos que

\begin{align*}
(R^{-1})^{-1}&=\set{(x,y): (y,x)\in R^{-1}}\\
&= \set{(x,y): (x,y)\in R}\\
&= R.
\end{align*}

$\square$

Imagen inversa de un conjunto bajo una relación

Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Sea $C\subseteq B$. Definimos a la imagen inversa de $C$ bajo $R$ como el el conjunto

$R^{-1}[C]=\set{x\in A: \exists y\in C (xRy)}$.

Ejemplo.

Sean $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3,4}$ conjuntos. Si $R=\set{(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (2,4)}$ es una relación de $A$ en $B$, entonces $R^{-1}=\{(1,1), (1,2), (2,2), (3,1), (4,2)\}$. Tomemos $C=\set{1}\subseteq B$. Tenemos que

$R^{-1}[C]=\set{x\in \{1,2\}:\exists y\in\{1\}(xRy)}= \set{1,2}$.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitira reforzar los conceptos de relación, dominio activo e imagen.

  1. Si $R$ es la relación vacía, encuentra el dominio activo y la imagen de $R$.
  2. Para $R$ es la relación identidad de $A$, encuentra el dominio y la imagen de $R$.
  3. Sea $R=\set{(1,2), (3,4)}$ una relación de $A=\set{1,2,3}$ en $B=\set{1,2,3,4}$. Encuentra el dominio y la imagen de $R$. Además, escribe al conjunto $R^{-1}$.
  4. Si $R$ es la relación identidad de $A$, describe quién es $R^{-1}$.

Más adelante…

En la siguiente entrada continuaremos con el tema de relaciones. Esta vez trataremos el tema de composición de relaciones. Definiremos a la composición de relaciones como una relación que se construye a partir de al menos dos relaciones cuyos dominios y codominios tienen ciertas propiedades en común.

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Teoría de los Conjuntos I: Propiedades del producto cartesiano

Por Gabriela Hernández Aguilar

2 respuestas

Introducción

En esta nueva entrada demostraremos algunas de las propiedades del producto cartesiano. Discutiremos sobre si esta operación en conjuntos es conmutativa, además de ver el comportamiento del producto cartesiano con respecto a las operaciones que definimos antes: unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica.

Producto cartesiano

Recordemos la definición de producto cartesiano.

Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos cualesquiera, definimos el producto cartesiano de $A$ y $B$, como:

$A\times B=\set{(a,b): a\in A\ y\ b\in B}$.

Ejemplo.

Consideremos los conjuntos $A=\set{0,1}$ y $B=\set{0,1,2,3}$. Tenemos que $A\times B=\set{(0,0),(0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3)}$. De hecho, podemos representar geométricamente a este conjunto como se muestra en la siguiente imagen:

Imagen representación geométrica del producto cartesiano.

Por supuesto, esta representación es un poco informal pues estamos usando la recta numérica con números reales (que no hemos dicho qué son) y estamos asumiendo cierto orden (del cuál no hemos hablado). Por el momento, piensa que esta representación es sólo para conectar la idea de producto cartesiano con conceptos que has visto en otros cursos.

$\square$

Conmutatividad del producto cartesiano

En general el producto cartesiano no es conmutativo, es decir, si $A$ y $B$ son conjuntos, no necesariamente es cierto que $A\times B=B\times A$.

Ejemplo.

Sean $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\set{\emptyset}}$, tenemos que:

$A\times B=\set{(\emptyset, \set{\emptyset})}$.

Por otro lado,

$B\times A=\set{(\set{\emptyset},\emptyset)}$.

Dado que tanto $A\times B$ y $B\times A$ sólo tienen un elemento, para que pase que $A\times B=B\times A$, tendría que ocurrir que $(\emptyset,\set{\emptyset})=(\set{\emptyset}, \emptyset)$. Usando el teorema que vimos en la entrada pasada tendríamos que $\emptyset=\set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset}=\emptyset$, lo cual no ocurre. Por lo tanto, $A\times B\not=B\times A$.

$\square$

Veamos ahora bajo qué condición el producto cartesiano sí conmuta.

Proposición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Entonces $A\times B=B\times A$ si y sólo si $A=B$ o $A=\emptyset$ o $B=\emptyset$.

Demostración.

$\rightarrow$] Supongamos que $A$ y $B$ son conjuntos tales que $A\times B=B\times A$.

Caso 1: Si $A=\emptyset$ se cumple la proposición.

Caso 2: Si $B=\emptyset$ se cumple la proposición.

Caso 3: Si $A$ y $B$ son conjuntos no vacíos. Sea $x\in A$. Como $B\not=\emptyset$, existe $y\in B$ y así la pareja $(x,y)\in A\times B$. Por hipótesis $A\times B=B\times A$, por lo que $(x,y)\in B\times A$, esto es $x\in B$ y $y\in A$. En particular, $x\in B$ y por lo tanto, $A\subseteq B$.

Para ver que $B\subseteq A$ seguimos un argumento análogo al anterior. Por lo tanto, $A=B$.

$\leftarrow$] Si $A=B$, tenemos que $A\times B=A\times A=B\times B= B\times A$. Si $A=\emptyset$, entonces por definición de producto cartesiano $A\times B=\emptyset\times B=\emptyset$ y $B\times A=B\times \emptyset= \emptyset$, por lo que $A\times B=B\times A$. Análogamente si $B=\emptyset$.

$\square$

Producto cartesiano y unión

Las siguientes dos proposiciones verifican que el producto cartesiano se distribuye sobre la unión.

Proposición. Para $A,B,C$ conjuntos se cumple que $(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C)$.

Demostración.

Se tiene que $(x,y)\in (A\cup B)\times C$
si y sólo si $x\in A\cup B$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ o $x\in B)$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ o $(x\in B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ o $(x,y)\in B\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times C)\cup (B\times C)$.

$\square$

Proposición. Para $A,B,C$ conjuntos se cumple que $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$.

Demostración.

Se tiene que $(x,y)\in A\times (B\cup C)$
si y sólo si $x\in A$ y $y\in B\cup C$
si y sólo si $x\in A$ y $(y\in B$ o $y\in C)$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in B)$ o $(x\in A$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times B$ o $(x,y)\in A\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times B)\cup (A\times C)$.

$\square$

Proposición. Para cualesquiera $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos ocurre que $(A\times C)\cup (B\times D)\subseteq (A\cup B)\times (C\cup D)$.

Demostración.

Sean $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos. Tomemos $(x,y)\in (A\times C)\cup (B\times D)$ arbitrario, entonces $(x,y)\in A\times C$ o $(x,y)\in B\times D$.

Si $(x, y)\in A\times C$, entonces $x\in A$ y $y\in C$. Luego, como $A\subseteq A\cup B$ y $C\subseteq C\cup D$ se sigue que $x\in A\cup B$ y $y\in C\cup D$. Así, $(x,y)\in (A\cup B)\times (C\cup D)$.

Si $(x, y)\in B\times D$, entonces $x\in B$ y $y\in D$. Luego, como $B\subseteq A\cup B$ y $D\subseteq C\cup D$ se sigue que $x\in A\cup B$ y $y\in C\cup D$. Así, $(x,y)\in (A\cup B)\times (C\cup D)$.

$\square$

Producto cartesiano e intersección

Con la siguientes dos demostraciones podremos ver que el producto cartesiano se distribuye sobre la intersección.

Proposición. Para $A,B,C$ conjuntos se cumple que $(A\cap B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C)$.

Demostración.

Se tiene que $(x,y)\in (A\cap B)\times C$
si y sólo si $x\in A\cap B$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $x\in B)$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ y $(x\in B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ y $(x,y)\in B\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times C)\cap (B\times C)$.

$\square$

Proposición. Para $A,B,C$ conjuntos se cumple que $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$.

Demostración.

Se tiene que $(x,y)\in A\times (B\cap C)$
si y sólo si $x\in A$ y $y\in B\cap C$
si y sólo si $x\in A$ y $(y\in B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in B)$ y $(x\in A$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times B$ y $(x,y)\in A\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times B)\cap (A\times C)$.

$\square$

Proposición. Para cualesquiera $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos ocurre que $(A\times C)\cap (B\times D)= (A\cap B)\times (C\cap D)$.

Demostración.

Sean $A, B, C, D$ conjuntos no vacíos. Tenemos que:
$(x,y)\in (A\times C)\cap (B\times D)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ y $(x,y)\in B\times D$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ y $(x\in B$ y $y\in D)$
si y sólo si $(x\in A$ y $x\in B)$ y $(y\in C$ y $y\in D)$
si y sólo si $x\in A\cap B$ y $y\in C\times D$
si y sólo si $(x,y)\in (A\cap B)\times (C\cap D)$.

$\square$

Producto cartesiano y diferencia

Con los siguientes resultados probamos que el producto cartesiano se distribuye sobre la diferencia.

Proposición. Sean $A, B, C$ conjuntos no vacíos. Se tiene que $A\times (B\setminus C)= (A\times B)\setminus (A\times C)$.

Demostración.

Se tiene que $(x,y)\in A\times (B\setminus C)$
si y sólo si $x\in A$ y $y\in B\setminus C$
si y sólo si $x\in A$ y ($y\in B$ y $y\notin C$)
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in B)$ y $(x\in A$ y $y\notin C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times B$ y $(x,y)\notin A\times C$
si y sólo si $(x,y)\in (A\times B)\setminus (A\times C)$.

$\square$

Proposición. Para $A,B,C$ conjuntos se cumple que $(A\setminus B)\times C=(A\times C)\setminus (B\times C)$.

Demostración.

Se tiene que $(x,y)\in (A\setminus B)\times C$
si y sólo si $x\in A\setminus B$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $x\notin B)$ y $y\in C$
si y sólo si $(x\in A$ y $y\in C)$ y $(x\notin B$ y $y\in C)$
si y sólo si $(x,y)\in A\times C$ y $(x,y)\notin B\times C$
si y sólo si $(x, y)\in (A\times C)\setminus (B\times C)$.

$\square$

Producto cartesiano y diferencia simétrica

La siguiente proposición demuestra que el producto cartesiano distribuye a la diferencia simétrica. Como ya demostramos propiedades de cómo interactúa el producto cartesiano con la unión, intersección y diferencia, podremos dar una demostración muy breve usando álgebra de conjuntos.

Proposición. Sean $A, B, C$ conjuntos. Se tiene que $A\times (B\triangle C)= (A\times B)\triangle (A\times C)$.

Demostración. Procedemos por álgebra de conjuntos:

\begin{align*}
A\times (B\triangle C) &= A\times ((B\cup C)\setminus (B\cap C))\\
&=(A\times (B\cup C))\setminus (A\times (B\cap C))\\
&=((A\times B)\cup (A\times C))\setminus (A\times (B\cap C))\\
&=((A\times B)\cup (A\times C) \setminus ((A\times B)\cap (A\times C))\\
&=(A\times B)\triangle (A\times C).
\end{align*}

$\square$

Tarea moral

  • Demuestra que $A\times B=\emptyset$ si y sólo si $A=\emptyset$ o $B=\emptyset$.
  • Muestra que si $C\times D\not=\emptyset$ entonces $C\times D\subseteq A\times B$ si y sólo si $C\subseteq A$ y $D\subseteq B$.
  • Muestra que no siempre se da la igualdad $(A\times C)\cup (B\times D)= (A\cup B)\times (C\cup D)$.
  • Demuestra que $(A\cup B)\times (C\cup D)=(A\times C)\cup (B\times D)\cup (A\times D)\cup (B\times C)$.
  • Muestra que $(X\times Y)\setminus (B\times C)=((X\setminus B)\times Y)\cup(X\times (Y\setminus C))$.
  • Demuestra que $(A\triangle B)\times C=(A\times C)\triangle (B\times C)$.

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos qué es una relación. Para ello utilizaremos el concepto de producto cartesiano y pareja ordenada. Resultará que una relación es un subconjunto de un producto cartesiano, por lo que es importante que comprendas bien el concepto de producto cartesiano que hemos visto en las últimas dos entradas.

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