Introducción
En esta entrada hablaremos acerca de un tipo de relaciones a las que llamaremos relaciones de equivalencia. Trataremos ejemplos que son relaciones de equivalencia así como ejemplos que no lo son.
Sobre el concepto
Definición: Sea $R$ una relación en $A$. Decimos que $R$ es una relación de equivalencia si se satisfacen las siguientes condiciones:
- Para cualquier $a\in A$, $(a,a)\in R$ (reflexiva),
- Si $(a,b)\in R$, entonces $(b,a)\in R$ (simetría),
- Si $(a,b)\in R$ y $(b,c)\in R$, entonces $(a,c)\in R$ (transitiva).
Una forma de recordar las propiedades que caracterizan a la definición de relación de equivalencia es pensar en lo siguiente:
- Cualquier persona es amiga de si misma (reflexividad),
- Si Juan es amigo de Pedro, entonces Pedro es amigo de Juan (simetría),
- Si Ana es amiga de Luis y Luis es amigo de Adrián, entonces Ana es amiga de Adrián (transitividad).
Algunos ejemplos
Ejemplo:
Sea $A=\set{a,b}$. $R=\set{(a,a), (b,b), (a,b), (b,a)}$ es relación de equivalencia. En efecto, podemos verificar que $R$ es una relación en $A$ y se verifican las propiedades:
- Reflexivilidad:
Sea $x\in A$, entonces $x=a$ o $x=b$. Luego, como $(a,a)\in R$ y $(b,b)\in R$ se cumple que $R$ es una relación reflexiva. - Simetría:
Dado que nuestra relación es un conjunto pequeño podemos evaluar que pasa con cada uno de sus elementos:
-Si $(a,a)\in R$, entonces $(a,a)\in R$ es verdadero,
-Si $(b,b)\in R$, entonces $(b,b)\in R$ es verdadero,
-Si $(a,b)\in R$, entonces $(b,a)\in R$ es verdadero,
-Si $(b,a)\in R$, entonces $(a,b)\in R$ es verdadero.
Por lo tanto, $R$ es simetrica. - Transitividad:
Dado que si $(a,b)\in R$ y $(b,a)\in R$ entonces $(a,a)\in R$ se cumple. Del mismo modo se cumple que si $(b,a)\in R$ y $(a,b)\in R$, entonces $(b,b)\in R$.
Por lo tanto, $R$ es transitiva.
$\square$
Ejemplo:
Sea $X=\emptyset$, la relación vacía es relación de equivalencia. En efecto, podemos verificar las propiedades:
- Reflexividad:
Sea $x\in X$, entonces $(x,x)\in \emptyset$ es verdadero, pues $x\in X=\emptyset$ es falso y la reflexividad se verifica por vacuidad. - Simetría:
Sea $(x,y)\in \emptyset$, entonces $(y,x)\in \emptyset$ por vacuidad. - Transitividad:
Sean $(x,y)\in \emptyset$ y $(y,z)\in\emptyset$, entonces $(x,y)\in \emptyset$ por vacuidad.
Por lo tanto, $\emptyset$ es relación de equivalencia en $X=\emptyset$.
$\square$
Relaciones casi de equivalencia
La definición de relación de equivalencia nos pide verificar tres propiedades: reflexividad, simetría y transitividad. Si alguna relación verifica alguna de ellas pero no todas, entonces no será de equivalencia. Veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo: (Simétrica y transitiva pero no reflexiva)
Sea $X$ un conjunto no vacío, la relación vacía en $X$ no es relación de equivalencia. En efecto, podemos verificar que $\emptyset$ es simétrica y transitiva por un argumento por vacuidad, pero $\emptyset$ no es una relación reflexiva.
Dado que si $x\in X$ arbitrario, entonces $(x,x)\in \emptyset$ es falso, pues la relación vacía no tiene elementos, concluimos que $\emptyset$ no es reflexiva.
$\square$
Ejemplo: (Reflexiva, simétrica pero no transitiva)
Sea $X=\set{a,b,c}$ y sea $R=\set{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a), (a,c), (c,a)}$. Tenemos que $R$ no es relación de equivalencia, pues aunque es reflexiva y simétrica no es transitiva.
$R$ no es una relación transitiva pues $(c,a)\in R$ y $(a,b)\in R$, pero $(c,b)\notin R$.
$\square$
Ejemplo: (Reflexiva, transitiva pero no simétrica)
Sea $X=\set{a,b,c}$ y sea $R=\set{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b)}$. Tenemos que $R$ no es relación de equivalencia, pues aunque es reflexiva y transitiva no es simétrica.
$R$ no es una relación transitiva pues $(c,a)\in R$ y $(a,b)\in R$, pero $(c,b)\notin R$.
$\square$
Resultados
Teorema: Sean $R_1$ y $R_2$ relaciones de equivalencia en $A$. Demuestra que $R_1\cap R_2$ es relación de equivalencia.
Demostración:
Supongamos que $R_1$ y $R_2$ son relaciones de equivalencia en $A$. Veamos que $R_1\cap R_2$ es una relación de equivalencia en $A$, para ello debemos verificar que $R_1\cap R_2$ es reflexiva, simétrica y transitiva.
Afirmación 1: $R_1\cap R_2$ es reflexiva.
Sea $a\in A$, veamos que $(a,a)\in R_1\cap R_2$.
Como $a\in A$ y $R_1$ es relación de equivalencia en $A$, entonces en particular es reflexiva, de modo que $(a,a)\in R_1$.
Luego, como $a\in A$ y $R_2$ es reflexiva por ser relación de equivalencia se cumple que $(a,a)\in R_2$. Por lo tanto, $(a,a)\in R_1$ y $(a,a)\in R_2$, esto es $(a,a)\in R_1\cap R_2$.
Por lo tanto, $R_1\cap R_2$ es reflexiva.
Afirmación 2: $R_1\cap R_2$ es simétrica.
Sea $(a,b)\in R_1\cap R_2$, veamos que $(b,a)\in R_1\cap R_2$.
Como $(a,b)\in R_1\cap R_2$, entonces $(a,b)\in R_1$ y $(a,b)\in R_2$. Luego, $(b,a)\in R_1$ y $(b,a)\in R_2$ por ser $R_1$ y $R_2$ relaciones simétricas respectivamente. Por lo tanto, $(b,a)\in R_1\cap R_2$.
Por lo tanto, $R_1\cap R_2$ es simétrica.
Afirmación 3: $R_1\cap R_2$ es transitiva.
Sean $(a,b), (b,c)\in R_1\cap R_2$, veamos que $(a,c)\in R_1\cap R_2$.
Como $(a,b)\in R_1\cap R_2$, entonces $(a,b)\in R_1$ y $(a,b)\in R_2$. Luego, como $(b,c)\in R_1\cap R_2$ entonces $(b,c)\in R_1$ y $(b,c)\in R_2$.
Así, $(a,b)\in R_1$ y $(b,c)\in R_1$ y por la transitividad de $R_1$ se sigue que $(a,c)\in R_1$.
De forma similar, como $(a,b)\in R_2$ y $(b,c)\in R_2$ se sigue que $(a,c)\in R_2$ por transitividad de $R_2$.
De los argumentos anteriores se tiene que $(a,c)\in R_1\cap R_2$.
Por lo tanto, $R_1\cap R_2$ es transitiva.
Por lo tanto, $R_1\cap R_2$ es relación de equivalencia en $A$.
$\square$
Proposición: Demuestra que si $R$ es una relación sobre un conjunto $X$, cumple con las siguientes propiedades:
- $(x,x)\in R$ para todo $x\in X$,
- Si $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$, entonces $(z,x)\in R$.
Entonces $R$ es relación de equivalencia.
Demostración:
Supongamos que $R$ es una relación tal que $(x,x)\in R$ para todo $x\in X$ y si $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$, entonces $(z,x)\in R$. Veamos que $R$ es relación de equivalencia.
Tenemos que $R$ es reflexiva pues por hipótesis $(x,x)\in R$ para todo $x\in X$. Luego, si $(x,y)\in R$, veamos que $(y,x)\in R$ para probar que $R$ es simétrica. Dado que $(x,y)\in R$ entonces $x,y\in X$ y por reflexividad $(y,y)\in R$. Así, por hipótesis tenemos que $(y,x)\in R$.
Ahora veamos que $R$ es transitiva. Supongamos que $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$ y mostremos que $(x,z)\in R$. Como $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$, entonces $(z,x)\in R$ y por simetría de $R$ se tiene que $(x,z)\in R$.
$\square$
Tarea moral
La siguiente lista de ejercicios te será útil para verificar por tu cuenta que ciertas relaciones son de equivalencia:
- Demuestra que $Id_A$ es una relación de equivalencia para $A$ un conjunto cualquiera.
- Sea $X=\set{a,b,c}$ y sea $R=\set{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a), (a,c), (c,a)}$. Demuestra que $R$ es reflexiva y simétrica.
- Sea $X=\set{a,b,c}$ y sea $R=\set{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b)}$. Demuestra que $R$ es reflexiva y simétrica.
- Construye $R$ una relación tal que $R$ sea reflexiva pero no sea ni simétrica ni transitiva.
Más adelante…
En la siguiente sección seguiremos tratando a las relaciones de equivalencia, esta vez hablaremos acerca de sus elementos y como podemos estudiarlos según estén relacionados con otros elementos. Definiremos a un nuevo conjunto llamado clase de equivalencia en el que se encontraran aquellos elementos que estén relacionados con un mismo elemento.
Enlaces
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