Introducción
En esta entrada retomaremos el tema de relaciones que vimos anteriormente. Esta vez definiremos una nueva relación a partir de dos relaciones: la composición. Veremos si la composición de dos relaciones tiene propiedades como la conmutatividad o la asociatividad.
Definamos la composición
Definición. Sean $R_1$ y $R_2$ relaciones de $A$ en $B$ y de $C$ en $D$ respectivamente. Definimos a la composición de $R_1$ con $R_2$ como el siguiente conjunto:
$R_2\circ R_1=\set{(a,c): \exists b\ tal\ que\ (a,b)\in R_1\ y\ (b,c)\in R_2}$.
En otros símbolos, si $a,b,c$ son elementos tales que $aR_1b$ y $bR_2c$, entonces se cumplirá que $a (R_2\circ R_1) c$.
Ejemplo.
Sean $X=\set{0,1}$ y $Y=\set{1,2}$ y $Z=\set{1,2,3,4}$ conjuntos. Sean $R_1$ y $R_2$ relaciones de $X$ en $Y$ y de $Y$ en $Z$ definidas como sigue:
$R_1=\set{(0,1), (0,2)}\ y\ R_2=\set{(1,3), (1,4)}$.
Podemos hacer diagramas de ambas relaciones en una misma figura como sigue:
Luego, la composición de $R_2\circ R_1$ resulta ser el siguiente conjunto:
$R_2\circ R_1=\set{(0, 3), (0,4)}$.
Para leerlo en el diagrama, podemos ver que hay un «camino» de $0$ a $3$ que usa las flechas de $0$ a $1$, y de $1$ a $3$. También hay un «camino» de $0$ a $4$ que usa las flechas de $0$ a $1$, y de $1$ a $4$.
Además de notarlo en el diagrama, podemos verificar mediante la definición. La pareja $(0,3)$ está pues $1\in Y$ tal que $(0,1)\in R_1$ y $(1,3)\in R_2$. Por su parte, la pareja $(0,4)$ está pues existe $1\in Y$ tal que $(0,1)\in R_1$ y $(1,4)\in R_2$.
$\square$
Algunos resultados
A continuación hablaremos de algunos resultados de la composición, la relación inversa y la relación identidad.
Proposición. Si $R$ es una relación en $A$, entonces $R\circ Id_{A}=R$.
Demostración.
Sea $R$ una relación en $A$. Veamos que $R\circ Id_{A}=R$.
$\subseteq$] Sea $(x,z)\in R\circ Id_{A}$, entonces existe $y$ tal que $(x,y)\in Id_{A}$ y $(y,z)\in R$.
Luego, como $(x,y)\in Id_{A}$ se sigue que $x=y$ y así $(y,z)=(x,z)\in R$.
$\supseteq$] Sea $(a,c)\in R$. Como $a,c\in A$, se sigue que $(a,a)\in Id_{A}$. Por lo que existe $a$ tal que $(a,a)\in Id_{A}$ y $(a,c)\in R$. Por lo tanto, $(a,c)\in R\circ Id_{A}$.
Por lo tanto, $R\circ Id_{A}=R$.
$\square$
Proposición. Si $R$ es una relación de $A$ en $B$, entonces $Id_{Im\ R}\subseteq R\circ R^{-1}$.
Demostración.
Sea $y\in Im(R)$. Como $y\in Im\ R$ existe $a\in A$ tal que $(a,y)\in R$, y por definición de relación inversa tenemos que $(y,a)\in R^{-1}$.
Encontramos $a\in A$ tal que $(y,a)\in R^{-1}$ y $(a,y)\in R$, esto es $(y,y)\in R\circ R^{-1}$. Así, $Id_{Im\ R}\subseteq R\circ R^{-1}$.
$\square$
Propiedades de la composición
Hemos dicho hasta ahora que la composición es una operación entre dos conjuntos que son relaciones. Por ello, podemos preguntarnos qué pasa con la conmutatividad y la asociatividad de dicha operación.
En general, no es cierto que $R_1\circ R_2=R_2\circ R_1$, es decir, la composición no es conmutativa.
Ejemplo.
Consideremos $X=\set{1,2}$. Sean $R_1=\set{(1,1), (1,2)}$ y $R_2=\set{(1,2),(2,1)}$ relaciones en $X$.
Por un lado tenemos que
$R_1\circ R_2=\set{(2,1), (2,2)}$
y por otro lado
$R_2\circ R_1=\set{(1,2),(1,1)}$.
De modo que $R_1\circ R_2\not=R_2\circ R_1$.
$\square$
El segundo resultado que tenemos es que la asociatividad siempre se cumple.
Proposición. Si $R_1$, $R_2$ y $R_3$ son relaciones, entonces, $(R_3\circ R_2)\circ R_1=R_3\circ (R_2\circ R_1)$.
Demostración.
Sean $R_1$, $R_2$ y $R_3$ relaciones, tenemos que $(x,z)\in (R_3\circ R_2)\circ R_1$ si y sólo si existe $y$ tal que $(x,y)\in R_1$ y $(y,z)\in R_3\circ R_2$ si y sólo si $(x,y)\in R_1$ y existe $w$ tal que $(y,w)\in R_2$ y $(w,z)\in R_3$ para algún $y$ si y sólo si existe $w$ tal que $(x,w)\in R_2\circ R_1$ y $(w,z)\in R_3$ si y sólo si $(x,z)\in R_3\circ(R_2\circ R_1)$.
Por lo tanto, $(R_3\circ R_2)\circ R_1=R_3\circ (R_2\circ R_1)$.
$\square$
Hemos probado que la composición de relaciones es asociativa y a su vez concluimos que en general no conmuta.
Tarea moral
- Demuestra que si $R$ es una relación arbitraria, $R\circ \emptyset=\emptyset=\emptyset\circ R$.
- Prueba que si $R$ es una relación en $A$, entonces $R=Id_{A}\circ R$.
- Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Demuestra que $Id_{\text{DomAct} R}\subseteq R^{-1}\circ R$.
- Sean $A= \set{1,2,3}$, $B=\set{1,2}$ y $C=\set{1,2,3,4}$. Sean $R_1=\set{(1,2), (3,1)}$ y $R_2=\set{(1,4), (2,1), (2,3)}$ relaciones de $A$ en $B$ y de $B$ en $C$ respectivamente. Calcula $R_2\circ R_1$.
Más adelante…
Ya hemos hablado de relaciones en general, y de cómo componerlas. A partir de ahora comenzaremos a pedirle más propiedades a nuestras relaciones para que se conviertan en algunos tipos de relaciones muy especiales: funciones, relaciones de equivalencia, órdenes, etc. Comenzaremos a hacer esto en la siguiente entrada, en donde veremos qué se le debe pedir a una relación para que sea una función. Así, todas las funciones son relaciones, sin embargo, no toda relación será función.
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
