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Álgebra Lineal I: Más ejemplos de reducción gaussiana

Por Ayax Calderón

Introducción

En esta entrada veremos varios ejemplos que nos ayudarán a comprender que la reducción gaussiana es una herramienta muy poderosa a la hora de resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Problemas resueltos

Problema 1. Implementa el algoritmo de reducción gaussiana en la matriz
$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ - 3 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}) \end{array}$

Solución. Para este problema usaremos la siguiente notación para indicar las operaciones elementales que estamos efectuando :

$R_{i} \leftrightarrow R_{j}$ para intercambiar el renglón $i$ con el renglón $j$ .
$k R_{i}$ para multiplicar el renglón $i$ por el escalar $k$ .
$R_{i} + k R_{j}$ para sumarle $k$ veces el renglón $j$ al renglón $i$ .

$\begin{aligned} A = & (\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ - 3 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}) \\ R_{1} \leftrightarrow R_{2} & (\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ - 3 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}) \\ R_{4} - R_{1} & (\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ - 3 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}) \\ R_{3} + 3 R_{1} & (\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 1 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}) \\ \frac{1}{2} R_{2} & (\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}) \\ R_{3} - 4 R_{2} & (\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}) \end{aligned}$
$\begin{aligned} R_{1} - R_{2} & (\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}) \\ - 1 \cdot R_{3} & (\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}) \\ R_{4} - R_{3} & (\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \end{array}) \\ R_{2} - \frac{1}{2} R_{3} & (\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \end{array}) \\ R_{1} + \frac{1}{2} R_{3} & (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \end{array}) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \frac{1}{3} R_{4} & (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} \end{array}) \\ R_{3} + 4 R_{4} & (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} \end{array}) \\ R_{2} - \frac{5}{2} R_{4} & (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} \end{array}) \\ R_{1} + \frac{1}{2} R_{4} & (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} \end{array}) \\ = & A_{r e d} \end{aligned}$

$△$

Problema 2. Resuelve el siguiente sistema homogéneo.
$\begin{array}{r} {\begin{cases} x + 2 y - 3 z & = 0 \\ 2 x + 5 y + 2 z & = 0 \\ 3 x - y - 4 z & = 0 \end{cases} \end{array}$

Solución. La matriz asociada al sistema anterior es
$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & 2 & - 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 3 & - 1 & - 4 \end{array}) \end{array}$
Para resolver el sistema $A X = 0$ nos bastará con encontrar $A_{r e d}$ , pues el sistema $A_{r e d} X = 0$ es equivalente al sistema $A X = 0$ .
$\begin{aligned} (\begin{array}{c} 1 & 2 & - 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 3 & - 1 & - 4 \end{array}) \\ R_{2} - 2 R_{1} & (\begin{array}{c} 1 & 2 & - 3 \\ 0 & 1 & 8 \\ 3 & - 1 & - 4 \end{array}) \\ R_{3} - 3 R_{1} & (\begin{array}{c} 1 & 2 & - 3 \\ 0 & 1 & 8 \\ 0 & - 7 & 5 \end{array}) \\ R_{1} - 2 R_{2} & (\begin{array}{c} 1 & 0 & - 19 \\ 0 & 1 & 8 \\ 0 & - 7 & 5 \end{array}) \\ R_{3} + 7 R_{2} & (\begin{array}{c} 1 & 0 & - 19 \\ 0 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 61 \end{array}) \\ R_{2} - \frac{8}{61} R_{3} & (\begin{array}{c} 1 & 0 & - 19 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 61 \end{array}) \\ R_{1} + \frac{19}{61} R_{3} & (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 61 \end{array}) \\ \frac{1}{61} R_{3} & (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) \\ = A_{r e d} \end{aligned}$

De lo anterior se sigue que para resolver el sistema $A X = 0$ basta con resolver el sistema
$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) . \end{array}$
Pero este sistema es el sistema

$\begin{array}{r} {\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 0. \end{cases} \end{array}$

De esta forma, $x = y = z = 0$ es la (única) solución al sistema original.

$△$

Problema 3. Determina las soluciones fundamentales del sistema homogéneo $A X = 0$ , donde $A$ es la matriz
$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ - 2 & 4 & 0 & 2 \\ - 1 & 2 & 1 & 2 \end{array}) . \end{array}$

Solución. Sea $A X = 0$ el sistema
$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 \\ - 2 & 4 & 0 & 2 \\ - 1 & 2 & 1 & 2 \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \end{array}$

Para este problema nuevamente nos interesa llevar la matriz asociada al sistema a su forma escalonada reducida.

Aunque es muy importante saber cómo se hacen estos procedimientos, es cierto que también existen herramientas que nos ayudan a hacer estos cálculos de manera más rápida. En esta ocasión usaremos una calculadora de forma reducida escalonada disponible en línea, la cual nos indica que la forma escalonada reducida de la matriz $A$ es
$\begin{array}{r} A_{r e d} = (\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) . \end{array}$

De esta forma, el sistema del problema es equivalente al sistema $A_{r e d} X = 0$
$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \end{array}$
Las variables pivote son $x$ y $z$ . Las variables libres son $y$ y $w$ .

Como se mencionó en una entrada anterior, para encontrar las soluciones fundamentales hay que expresar a las variables pivote en términos de las variables libres. En el sistema anterior podemos notar que
$\begin{array}{r} {\begin{cases} x = 2 y + w \\ z = - w . \end{cases} \end{array}$
por lo que
$\begin{aligned} (\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array}) & = (\begin{array}{c} 2 y + w \\ y \\ - w \\ w \end{array}) \\ = y (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + w (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) \end{aligned}$
siendo los vectores columna de la última igualdad las soluciones fundamentales del sistema $A X = 0$ , es decir que con estas soluciones se pueden generar todas las demás.

$△$

Hasta ahora hemos visto ejemplos de reducción gaussiana de matrices de tamaño muy concreto y entradas muy concretas. Sin embargo, otra habilidad importante es aprender a usar reducción gaussiana en una matriz de tamaño arbitrario, con algunas entradas específicas. Veamos un ejemplo de cómo hacer esto.

Problema 4. Sea $n > 2$ un número entero. Resuelve en números reales el sistema
$\begin{array}{r} x_{2} = \frac{x_{1} + x_{3}}{2}, x_{3} = \frac{x_{2} + x_{4}}{2}, \dots,, x_{n - 1} = \frac{x_{n - 2} + x_{n}}{2} . \end{array}$

Solución. Este es un sistema lineal homogéneo de ecuaciones. Esto se puede verificar multiplicando cada ecuación por $2$ e igualándola a $0$ . Por ejemplo, la primer ecuación se puede escribir como $x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = 0$ . Transformando el resto de las ecuaciones, obtenemos que el sistema se puede escribir en forma matricial como $A X = 0$ , donde $A$ es la matriz en $M_{n - 2, n} (F)$ dada por
$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 1 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & - 2 & 1 \end{array}) . \end{array}$

Esta matriz se ve algo intimidante, pero igual se le puede aplicar reducción gaussiana. Hagamos esto.

Afortunadamente, en cada fila ya tenemos un pivote y están «escalonados». Basta con hacer transvecciones para asegurar que en cada columna de un pivote, el pivote es la única entrada no cero. Haremos los primeros pasos para encontrar un patrón de qué va sucediendo.

En el primer paso, sumamos dos veces la fila $2$ a la primer fila. Al hacer esto obtenemos:

$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & 0 & - 3 & 2 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 1 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & - 2 & 1 \end{array}) . \end{array}$

Con esto la segunda columna ya queda lista. El el siguiente paso, multiplicamos por 3 (y 2) la tercer fila y se lo sumamos a la primera fila (y segunda, respectivamente). Obtenemos:

$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 4 & 3 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 3 & 2 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 1 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & - 2 & 1 \end{array}) . \end{array}$

Para el siguiente paso, ahora hay que multiplicar por 4 (3, 2) la cuarta fila y sumárselo a la primera (segunda, tercera, respectivamente), y obtenemos:

$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & - 5 & 4 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - 4 & 3 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - 3 & 2 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 & 1 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & - 2 & 1 \end{array}) . \end{array}$

El patrón es ahora claro. Conforme arreglamos la columna $j$ , luego la columna $j + 1$ tiene a los números $- (j + 1), - j, \dots, - 3, - 2$ y la columna $j + 2$ tiene a los números $j, j - 1, j - 2, \dots, 1, - 2, 1$ . Esto puede demostrarse formalmente por inducción. Al arreglar la columna $n - 2$ , la matriz queda en la siguiente forma escalonada reducida:

$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & - (n - 1) & n - 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & - (n - 2) & n - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & - (n - 3) & n - 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & - (n - 4) & n - 5 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & - 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & - 2 & 1 \end{array}) . \end{array}$

Estamos listos para resolver el sistema asociado. Las variables libres son $x_{n - 1}$ y $x_{n}$ , que podemos darles valores arbitrarios $a$ y $b$ . Las variables pivote son todas las demás, y de acuerdo a la forma de la matriz anterior, están dadas por

$\begin{aligned} x_{1} & = (n - 1) a - (n - 2) b \\ x_{2} & = (n - 2) a - (n - 3) b \\ x_{3} & = (n - 3) a - (n - 4) b \\ ⋮ \\ x_{n - 2} & = 2 a - b . \end{aligned}$

Esto determina todas las soluciones.

$△$

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Problemas de sistemas de ecuaciones y forma escalonada reducida

Por Ayax Calderón

2 respuestas

Introducción

En esta entrada nos encargaremos de resolver algunos problemas de sistemas de ecuaciones lineales y de dar algunos ejemplos más de matrices en forma escalonada reducida.

Problemas resueltos

Problema 1. ¿Para cuáles números reales $a$ se tiene que el siguiente sistema es consistente?. Resuelve el sistema para estos casos.

$\begin{array}{r} {\begin{cases} x + 2 y & = 1 \\ 4 x + 8 y & = a . \end{cases} \end{array}$

Solución. Tomando la primera ecuación y multiplicandola por $4$ vemos que

$\begin{array}{r} 4 x + 8 y = 4 \end{array}$

De lo anterior se sigue que el único número real $a$ para el cuál el sistema es consistente es $a = 4$ , pues en otro caso tendríamos ecuaciones lineales que se contradicen entre sí.

Cuando $a = 4$ , tenemos entonces una única ecuación $x + 2 y = 1$ . Para encontrar todas las soluciones a esta ecuación lineal, podemos fijar el valor de $y$ arbitrariamente como un número real $r$ . Una vez fijado $y$ , obtenemos que $x = 1 - 2 y = 1 - 2 r$ . Así, el conjunto de soluciones es ${(1 - 2 r, r) : r \in R} .$

$△$

Problema 2. Encuentra todos $a, b \in R$ para los cuales los sistemas

$\begin{array}{r} {\begin{cases} 2 x + 3 y & = - 2 \\ x - 2 y & = 6 \end{cases} \end{array}$
y
$\begin{array}{r} {\begin{cases} x + 2 a y & = 3 \\ - x - y & = b \end{cases} \end{array}$
son equivalentes.

Solución. Para resolver el primer sistema tomamos la segunda ecuación y despejamos $x$ :
$\begin{array}{r} x = 6 + 2 y . \end{array}$
Sustituyendo lo anterior en la primera ecuación se tiene
$\begin{aligned} 2 (6 + 2 y) + 3 y & = - 2 \\ 12 + 7 y & = - 2 \\ 7 y & = - 14 \\ y & = - 2. \end{aligned}$
Luego sustituimos el valor de $y$ para encontrar $x$
$\begin{aligned} x & = 6 + 2 y \\ = 6 + 2 (- 2) \\ = 2. \end{aligned}$
Ahora, para encontrar los valores de $a$ y $b$ , sustituimos los valores de $x$ y $y$ que encontramos en el primer sistema y de esta forma garantizamos que ambos sistemas tendrán el mismo conjunto de soluciones, es decir, son equivalentes.
$\begin{array}{r} {\begin{cases} x + 2 a y & = 3 \\ - x - y & = b \end{cases} \end{array}$
$\begin{array}{r} {\begin{cases} 2 + 2 a (- 2) & = 3 \\ - 2 - (- 2) & = b \end{cases} \end{array}$
De la segunda ecuación es inmediato que $b = 0$ .
Por otro lado, despejando $a$ de la primera ecuación se tiene
$\begin{aligned} 2 - 4 a & = 3 \\ - 4 a & = 1 \\ a & = - \frac{1}{4} \end{aligned}$
Concluimos que los sistemas son equivalentes cuando
$\begin{array}{r} a = - \frac{1}{4}, b = 0. \end{array}$

$△$

Más ejemplos de forma escalonada reducida

Para finalizar con esta entrada veremos más ejemplos de matrices que están en forma escalonada reducida y de matrices que no lo están.

Ejemplo 1. La matriz
$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 2 & - 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 7 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & - 1 \end{array}) \end{array}$
no está en forma escalonada reducida, pues todas las entradas de la primera columna son distintas de cero.
En cambio, la matriz
$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$
sí está en forma escalonada reducida. Queda como tarea moral verificar que esto es cierto.

$△$

Ejemplo 2. La matriz
$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$
no está en forma escalonada reducida, pues hay filas cero por encima de filas no cero. Otro problema que tiene es que el pivote de la tercer fila no es igual a $1$ .

En cambio
$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}) \end{array}$
sí está en forma escalonada reducida.

$△$

Ejemplo 3. La matriz $(\begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})$ no está en forma escalonada reducida pues el pivote de la segunda fila está más a la izquierda que el de la primera. Sin embargo, si intercambiamos las filas, la matriz $(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix})$ sí está en forma escalonada reducida.

$△$

Más adelante veremos un método para llevar una matriz a su forma escalonada reducida y veremos que esto es muy útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Matrices de bloques

Por Julio Sampietro

2 respuestas

Introducción

En esta entrada definimos el concepto de submatriz y estudiamos las llamadas matrices de bloques que esencialmente son matrices grandes obtenidas por matrices más pequeñas (esto tendrá sentido después de algunos ejemplos). Las matrices de bloque aparecen frecuentemente en muchas áreas y permiten realizar cálculos que podrían ser bastante complicados de otra manera.

Dentro de este curso, nos encontraremos con las matrices de bloque cuando hablemos de solución de ecuaciones lineales y de encontrar inversas de matrices usando el método de reducción gaussiana.

Definición de matrices de bloques

Definición. Una submatriz de una matriz $A \in M_{m, n} (F)$ es una matriz que se obtiene al quitar filas y/o columnas de $A$ .

Notamos que $A$ es submatriz de si misma. Una matriz puede partirse en submatrices marcando líneas verticales u horizontales en la matriz. Llamamos a una matriz de este estilo una matriz de bloques y a las submatrices marcadas las llamamos bloques.

Unos ejemplos de matrices de bloques:

$\begin{array}{r} (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}), (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & - 3 \end{array}), \\ (\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 5 & 16 & 2 & 0 \\ 17 & 19 & - 5 & 3 \\ 117 & 0 & 0 & 11 \end{array}) . \end{array}$

Como mencionamos en la introducción, podemos ver a una matriz de bloques como una ‘matriz de matrices’: una matriz de bloques en $M_{m, n} (F)$ típica se ve como

$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 k} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{l 1} & A_{l 2} & \dots & A_{l k} \end{array}), \end{array}$

en donde cada submatriz $A_{i j}$ es una matriz de tamaño $m_{i} \times n_{j}$ para algunos enteros positivos $m_{1}, \dots, m_{l}$ y $n_{1}, \dots, n_{k}$ tales que $m_{1} + \dots + m_{l} = m$ y $n_{1} + \dots + n_{k} = n$ . La matriz tiene entonces $l$ filas de bloques y $k$ columnas de bloques.

Si $l = k$ , llamamos a los bloques $A_{11}, \dots, A_{k k}$ los bloques diagonales y decimos que $A$ es diagonal por bloques si todos los bloques aparte de los diagonales son la matriz cero del tamaño correspondiente. Es decir, una matriz diagonal por bloques es de la forma

$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} A_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & A_{21} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & A_{k k} . \end{array}) \end{array}$

Observa que sólo estamos pidiendo que $k = l$ , es decir, que haya la misma cantidad de filas de bloques y de columnas de bloques. Sin embargo, no es necesario que la matriz $A$ sea cuadrada para que sea diagonal por bloques.

Por más que la definición en abstracto pueda ocultar su sentido práctico, uno siempre reconoce una matriz diagonal por bloques cuando la ve.

Ejemplo. La matriz

$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 15 & - 2 \end{array}) \end{array}$

es diagonal por bloques, y los resaltamos con las líneas de división

$\begin{array}{r} (\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 15 & - 2 \end{array}) . \end{array}$

La matriz
$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 8 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}) \end{array}$

también es diagonal por bloques, aunque los bloques no necesariamente sean cuadrados. Resaltamos la lineas divisorias a continuación:

$\begin{array}{r} (\begin{array}{cccc} 2 & - 1 & 0 & 0 \\ 8 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}) . \end{array}$

Los bloques diagonales son $\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 8 & 3 \\ 2 & 3 \end{array}) \end{array}$ y $\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 0 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array}) . \end{array}$

$△$

Operaciones con matrices de bloques

Al ser ‘matrices de matrices’, las matrices de bloques se comportan adecuadamente con las operaciones de suma y producto de matrices que conocemos. Enunciamos esto con más detalle en la siguiente proposición que no demostraremos. Las demostraciones son directas pero tediosas.

Proposición.

Si
$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 k} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{l 1} & A_{l 2} & \dots & A_{l k} \end{array}) \end{array}$ y $\begin{array}{r} B = (\begin{array}{c} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1 k} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ B_{l 1} & B_{l 2} & \dots & B_{l k} \end{array}) \end{array}$
son matrices de bloques con $A_{i j}$ y $B_{i j}$ del mismo tamaño para cada $i, j$ (es decir, la partición es igual) entonces
$\begin{array}{r} A + B = (\begin{array}{c} A_{11} + B_{11} & A_{12} + B_{12} & \dots & A_{1 k} + B_{1 k} \\ A_{21} + B_{21} & A_{22} + B_{22} & \dots & A_{2 k} + B_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{l 1} + B_{l 1} & A_{l 2} + B_{l 2} & \dots & A_{l k} + B_{l k} \end{array}) \end{array}$
Si
$\begin{array}{r} A = (\begin{array}{c} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 k} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 k} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{l 1} & A_{l 2} & \dots & A_{l k} \end{array}) \end{array}$ y $\begin{array}{r} B = (\begin{array}{c} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1 r} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ B_{k 1} & B_{k 2} & \dots & B_{k r} \end{array}) \end{array}$
son de tamaño $m \times n$ y $n \times p$ respectivamente tal que $A_{i j}$ es de tamaño $m_{i} \times n_{j}$ y $B_{i j}$ de tamaño $n_{i} \times p_{j}$ , entonces
$\begin{array}{r} A B = (\begin{array}{c} C_{11} & C_{12} & \dots & C_{1 r} \\ C_{21} & C_{22} & \dots & C_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ C_{l 1} & C_{l 2} & \dots & C_{l r} \end{array}) \end{array}$
donde
$\begin{array}{r} C_{i j} = \sum_{u = 1}^{k} A_{i u} B_{u j} . \end{array}$

Más adelante…

En unas cuantas entradas hablaremos del algoritmo de reducción gaussiana y lo usaremos para resolver sistemas de ecuaciones y encontrar inversas de matrices. Nos encontraremos con matrices de bloque muy específicas, por ejemplo, las que resultan de «pegarle» un vector columna a una matriz, por ejemplo

$\begin{array}{r} (\begin{array}{ccccc} - 3 & - 1 & 3 & - 11 & 0 \\ 8 & 3 & 0 & 2 & - 1 \\ 1 & - 5 & 0 & 0 & 0 \end{array}) . \end{array}$

y las que resultan de «pegarle» la matriz identidad a una matriz cuadrada, por ejemplo

$\begin{array}{r} (\begin{array}{cccccc} - 3 & - 1 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & - 5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) . \end{array}$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

¿Cómo se portan las matrices de bloques respecto a la transposición?
Escribe todas las formas en las que puedes dividir a la matriz $I_{3}$ para que quede como una matriz de bloques. Aquí hay algunas: $\begin{array}{r} (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) . \end{array}$
Demuestra que toda matriz diagonal puede verse como una matriz diagonal por bloques. Muestra que no toda matriz diagonal por bloques es una matriz diagonal.
Escribe todas las formas en las que puedes dividir a la matriz $I_{4}$ para que quede como una matriz diagonal por bloques.
¿Cómo es la inversa de una matriz diagonal por bloques?

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Problemas de sistemas de ecuaciones e inversas de matrices

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

5 respuestas

Introducción

En esta entrada resolveremos problemas relacionados con el uso del método de reducción gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones y encontrar inversas de matrices.

Problemas resueltos

Problema 1. Sea $A$ una matriz de tamaño $m \times n$ y sean $b$ y $c$ dos vectores en $R^{m}$ tales que $A X = b$ tiene una única solución y el sistema $A X = c$ no tiene solución. Explica por qué tiene que ser cierto que $m > n$ .

Solución. Dado que el sistema $A X = b$ es consistente, usando el teorema de existencia y unicidad podemos concluir que

$(A^{'} | b^{'})$ no tiene pivotes en la última columna,
$A^{'}$ tiene pivotes en todas sus columnas.

Sin embargo, sabemos que el sistema $A X = c$ no tiene solución. Otra vez por el teorema de existencia y unicidad, esto nos implica que $(A^{'} | c^{'})$ tiene un pivote en la última columna. Sin embargo, ya sabíamos que $A^{'}$ tiene pivotes en todas sus columnas, pero aún así hay espacio en $(A^{'} | c^{'})$ para un pivote más, es decir, nos sobra espacio hasta abajo por lo que necesariamente tenemos al menos un renglón más que el número de columnas. Es decir $m \geq n + 1$ , y por lo tanto $m > n$ .

$△$

Problema 2. Determina si existen reales $w$ , $x$ , $y$ y $z$ tales que las matrices $(\begin{matrix} x & 2 \\ y & 1 \end{matrix})$ y $(\begin{matrix} 5 & - 2 \\ z & w \end{matrix})$ sean inversas la una de la otra.

Solución. En una entrada anterior mostramos que para que dos matrices cuadradas $A$ y $B$ del mismo tamaño sean inversas, basta con mostrar que $A B = I$ . De esta forma, haciendo el producto tenemos que el enunciado es equivalente a

$\begin{array}{r} (\begin{array}{c} 5 x + 2 z & - 2 x + 2 w \\ 5 y + z & - 2 y + w \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) . \end{array}$

Es decir, tenemos un sistema lineal

$\begin{array}{r} {\begin{cases} 5 x + 2 z & = 1 \\ - 2 x + 2 w & = 0 \\ 5 y + z & = 0 \\ - 2 y + w & = 1. \end{cases} \end{array}$

Este es un sistema lineal de la forma $A X = b$ , donde $A = (\begin{matrix} 5 & 0 & 2 & 0 \\ - 2 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 1 \end{matrix})$ y $b = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) .$

Para determinar si tiene solución, aplicamos reducción gaussiana a la matriz $(A | b)$ . En los siguientes pasos estamos aplicando una o más operaciones elementales.

$\begin{aligned} (\begin{array}{c} 5 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ - 2 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 1 & 1 \end{array}) \\ \to & (\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ - 2 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 1 & 1 \end{array}) \\ \to & (\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & \frac{4}{5} & 2 & \frac{2}{5} \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & 1 & 1 \end{array}) \\ \to & (\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4}{5} & 2 & \frac{2}{5} \\ 0 & - 2 & 0 & 1 & 1 \end{array}) \\ \to & (\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4}{5} & 2 & \frac{2}{5} \\ 0 & 0 & \frac{2}{5} & 1 & 1 \end{array}) \\ \to & (\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{5} & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & \frac{2}{5} & 1 & 1 \end{array}) \\ \to & (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{10} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{4}{5} \end{array}) \\ \to & (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) \end{aligned}$

Ya encontramos la forma escalonada reducida $(A^{'} | b^{'})$ de $(A | b)$ . La última columna de $(A^{'} | b^{'})$ tiene un pivote (el de la última fila). De esta forma, el sistema de ecuaciones no tiene solución.

$△$

En la práctica, se pueden usar herramientas tecnológicas para para resolver algunos problemas numéricos concretos. Sin embargo, es importante tener un sólido conocimiento teórico para saber cómo aprovecharlas.

Problema 3. Determina si las siguientes matrices son invertibles. En caso de serlo, encuentra la inversa. $\begin{aligned} A & = (\begin{array}{c} - 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 7 & 3 & 2 \end{array}) \\ B & = (\begin{array}{c} 1 & 5 & - 1 & 2 \\ - 1 & 3 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 1 & - 2 \\ - 15 & 9 & - 1 & 22 \end{array}) . \end{aligned}$

Solución. Usando la calculadora de forma escalonada reducida de eMathHelp, obtenemos que la forma escalonada reducida de $A$ y $B$ son, respectivamente

$\begin{aligned} A_{r e d} & = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) \\ B_{r e d} & = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{9}{8} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{5}{8} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) . \end{aligned}$

Por uno de nuestros teoremas de caracterización, para que una matriz cuadrada sea invertible debe de suceder que su forma escalonada reducida sea la identidad. Esto nos dice que $A$ sí es invertible, pero $B$ no.

Para encontrar la inversa de $A$ , consideramos la matriz extendida $(A | I_{3})$ , y a ella le aplicamos reducción gaussiana. Usamos de nuevo la calculadora de eMathHelp para obtener

$\begin{array}{r} (A_{r e d} | X) = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{13}{27} & \frac{7}{27} & \frac{2}{27} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{35}{27} & - \frac{23}{27} & \frac{5}{27} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{7}{27} & \frac{10}{27} & - \frac{1}{27} \end{array}) . \end{array}$

De aquí obtenemos que la inversa de $A$ es $\begin{array}{r} A^{- 1} = (\begin{array}{c} - \frac{13}{27} & \frac{7}{27} & \frac{2}{27} \\ \frac{35}{27} & - \frac{23}{27} & \frac{5}{27} \\ - \frac{7}{27} & \frac{10}{27} & - \frac{1}{27} \end{array}) . \end{array}$

$△$

Finalmente, hay algunos problemas en los que no es posible aplicar herramientas digitales, o por lo menos no es directo cómo hacerlo. Esto sucede, por ejemplo, cuando en un problema las dimensiones o entradas de una matriz son variables.

Problema 4. Sea $a$ un número real. Determina la inversa de la siguiente matriz en $M_{n} (R)$ : $A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ a^{2} & a & 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a^{n - 2} & a^{n - 3} & a^{n - 4} & \dots & 1 & 0 \\ a^{n - 1} & a^{n - 2} & a^{n - 3} & \dots & a & 1 \end{matrix}) .$

Solución. Recordemos que para obtener la inversa de una matriz cuadrada $A$ , si es que existe, se puede aplicar a la matriz identidad las mismas operaciones elementales que se le apliquen a $A$ para llevarla a forma escalonada reducida.

¿Qué operaciones necesitamos hacer para llevar a $A$ a su forma escalonada reducida? La esquina $(1, 1)$ ya es un pivote, y con transvecciones de factores $- a, - a^{2}, \dots, - a^{n - 1}$ podemos hacer $0$ al resto de las entradas en la columna $1$ .

Tras esto, la entrada $(2, 2)$ es ahora pivote de la segunda fila, y con transvecciones de factores $- a, - a^{2}, \dots, - a^{n - 2}$ podemos hacer $0$ al resto de las entradas en la columna $2$ . Siguiendo este procedimiento, llevamos a $A$ a su forma escalonada reducida. Esto puede demostrar formalmente usando inducción.

Ahora veamos qué sucede si aplicamos estas mismas operaciones a la matriz identidad. Si aplicamos las mismas operaciones que arreglan la primer columna de $A$ , pero a la matriz identidad, obtenemos

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ - a & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ - a^{2} & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ - a^{n - 2} & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \\ - a^{n - 1} & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix}) .$

Si ahora aplicamos las operaciones que arreglan la segunda columna de $A$ , obtenemos

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ - a & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & - a & 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & - a^{n - 3} & 0 & \dots & 1 & 0 \\ 0 & - a^{n - 2} & 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix}) .$

Continuando de esta manera, en cada columna sólo nos quedará un $1$ y un $- a$ . Esto puede probarse formalmente de manera inductiva. Al final, obtenemos la matriz

$B = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ - a & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & - a & 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & - a & 1 \end{matrix}),$

en donde la diagonal principal consiste de puros unos, y la diagonal debajo de ella consiste de puras entradas $- a$ .

Hay dos formas de proceder para dar una demostración formal que esta matriz encontrada es la inversa de $A$ . La primera es completar las demostraciones inductivas que mencionamos. La segunda es tomar lo que hicimos arriba como una exploración del problema y ahora realizar de manera explícita el producto $A B$ o el producto $B A$ .

$△$

Entradas relacionadas

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Álgebra Lineal I: Técnicas básicas de cálculo de determinantes

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

8 respuestas

Introducción

Ya definimos a los determinantes para vectores, para transformaciones y para matrices. Además, mostramos algunas propiedades básicas de determinantes y las usamos para resolver varios problemas. Como hemos discutido, los determinantes guardan información importante sobre una transformación lineal o sobre una matriz. También ayudan a implementar la técnica de diagonalización la cual introdujimos hace algunas entradas y en la cual profundizaremos después. Es por esta razón que es importante tener varias técnicas para el cálculo de determinantes.

Fuera de este curso, los determinantes sirven en muchas otras áreas de las matemáticas. Cuando se hace cálculo de varias variables ayudan a enunciar el teorema del cambio de variable. En combinatoria ayudan a calcular el número de árboles generadores de una gráfica. Más adelante en tu formación matemática es probable que te encuentres con otros ejemplos.

Calculo de determinantes de $2 \times 2$

Como ya discutimos anteriormente, una matriz en $M_{2} (F)$ , digamos $A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ tiene determinante $a d - b c$ .

Problema. Calcula el determinante de la matriz ${(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})}^{8} .$

Solución. Por la fórmula para el determinante de las matrices de $2 \times 2$ , se tiene que $| \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} | = 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = - 1.$

Como el determinante es multiplicativo, $det (A^{2}) = det (A) det (A) = (det (A))^{2}$ , e inductivamente se puede mostrar que para todo entero positivo $n$ se tiene que $det (A^{n}) = (det (A))^{n}$ . De esta forma, el determinante que buscamos es $(- 1)^{8} = 1$ .

$△$

Observa que hubiera tomado más trabajo elevar la matriz a la octava potencia. Aunque esto usualmente no es recomendable, en este problema hay algo interesante que sucede con esta matriz. Llamémosla $A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ . Haciendo las cuentas para las primeras potencias, se tiene que
$\begin{aligned} A & = (\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}) \\ A^{2} & = (\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}) \\ A^{3} & = (\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}) \\ A^{4} & = (\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}) \\ A^{5} & = (\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 5 & 8 \end{array}) \end{aligned}$

Aquí aparece la sucesión de Fibonacci, dada por $F_{0} = 0$ , $F_{1} = 1$ y $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ para $n \geq 0$ , cuyos primeros términos son $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots .$ De hecho se puede probar por inducción que $A^{n} = (\begin{matrix} F_{n - 1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n + 1} \end{matrix}) .$

Así, por un lado el determinante de la matriz $A^{n}$ es $F_{n - 1} F_{n + 1} - F_{n}^{2}$ , usando la fórmula de determinante de $2 \times 2$ . Por otro lado, es $(- 1)^{n}$ , por el argumento del problema. Con esto hemos demostrado que para cualquier entero $n$ tenemos la siguiente identidad para los números de Fibonacci: $F_{n - 1} F_{n + 1} - F_{n}^{2} = (- 1)^{n} .$

Cálculo de determinantes de $3 \times 3$

Para calcular el determinante de una matriz en $M_{3} (F)$ por definición, digamos de $A = (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix})$ , tenemos que hacer una suma de $3! = 6$ términos. Si se hacen las cuentas de manera explícita, el valor que se obtiene es $a e i + b f g + c d h - c e g - a f h - b d i .$

Esto se puede recordar mediante el siguiente diagrama, en el cual se ponen la primera y la segunda columna de nuevo, a la derecha. Las diagonales hacia abajo son términos positivos y las diagonales hacia arriba son términos negativos.

Cálculo de determinantes de matrices de 3x3 — Cálculo de determinantes de $3 \times 3$

Veamos un ejemplo de un problema en el que se puede aprovechar esta técnica.

Problema. Determina para qué reales $a, b, c$ se tiene que los vectores $(a, b, 0)$ , $(a, 0, b)$ y $(0, a, b)$ son una base de $R^{3}$ .

Solución. Para que estos vectores sean una base de $R^{3}$ , basta con que sean linealmente independientes, pues son $3$ . Como hemos visto en entradas anteriores, para que sean linealmente independientes, es necesario y suficiente que el determinante de la matriz $(\begin{matrix} a & b & 0 \\ a & 0 & b \\ 0 & a & b \end{matrix})$ sea distinto de cero.

Usando la técnica de arriba, hacemos siguiente diagrama:

De aquí, vemos que el determinante es $0 + 0 + 0 - 0 - a^{2} b - a b^{2} = - a b (a + b) .$ Esta expresión es igual a cero si $a = 0$ , si $b = 0$ o si $a + b = 0$ . En cualquier otro caso, el determinante no es cero, y por lo tanto los vectores forman una base.

$△$

Ten mucho cuidado. Esta técnica no funciona para matrices de $4 \times 4$ o más. Hay una forma sencilla de convencerse de ello. Por ejemplo, el determinante de una matriz de $4 \times 4$ debe tener $4! = 24$ sumandos. Si intentamos copiar la técnica de arriba, tendremos solamente $8$ sumandos ( $4$ en una diagonal y $4$ en otra). Para cuando tenemos matrices de $4 \times 4$ o más, tenemos que recurrir a otras técnicas.

Reducción gaussiana para determinantes

Cuando vimos el tema de sistemas de ecuaciones hablamos del algoritmo de reducción gaussiana, y vimos que este siempre lleva una matriz en $M_{m, n} (F)$ a su forma escalonada reducida mediante operaciones elementales. Cuando aplicamos el algoritmo a matrices en $M_{n} (F)$ , siempre llegamos a una matriz triangular, en donde sabemos fácilmente calcular el determinante: es simplemente el producto de las entradas en la diagonal. Nota cómo lo anterior también se cumple para las matrices diagonales, pues son un caso particular de matrices triangulares.

Por esta razón, es fundamental para el cálculo de determinantes saber qué le hacen las operaciones elementales al determinante de una matriz.

Teorema. Las operaciones elementales tienen el siguiente efecto en el determinante de una matriz $A$ :

Si todos los elementos de un renglón o columna de $A$ se multiplican por $λ$ , entonces el determinante se multiplica por $λ$ .
Cuando se intercambian dos renglones o columnas de $A$ , el determinante se multiplica por $- 1$ .
Si a un renglón de $A$ se le suma un múltiplo escalar de otro renglón, entonces el determinante no cambia. Sucede algo análogo para columnas.

Demostración. El punto $1$ ya lo demostramos en la entrada anterior, en donde vimos que el determinante es homogéneo.

Para los puntos $2$ y $3$ , usemos que si $e_{1}, \dots e_{n}$ es la base canónica de $F^{n}$ , el determinante de una matriz con renglones $R_{1}, \dots, R_{n}$ es $\underset{(e_{1}, \dots, e_{n})}{det} (R_{1}, \dots, R_{n}) .$

Intercambiar los renglones $i$ y $j$ es hacer $\underset{(e_{1}, \dots, e_{n})}{det} (R_{σ (1)}, \dots, R_{σ (n)})$ para la transposición $σ$ que intercambia $i$ y $j$ . Como el determinante es antisimétrico y $σ$ tiene signo $- 1$ , obtenemos la conclusión.

Hagamos ahora el tercer punto. Tomemos $i \neq j$ y un escalar $λ$ . Si al $i$ -ésimo renglón de $A$ le sumamos $λ$ veces el $j$ -ésimo renglón de $A$ , esto es lo mismo que multiplicar a $A$ por la izquierda por la matriz $B$ que tiene unos en la diagonal y $λ$ en la entrada $(i, j)$ . La matriz $B$ es triangular, de modo que su determinante es el producto de las entradas, que es $1$ . De esta forma, $det (B A) = det (B) det (A) = det (A) .$

Así, una estrategia para calcular el determinante de una matriz es hacer reducción gaussiana hasta llegar a una matriz diagonal (incluso es suficiente que sea triangular superior) de determinante $Δ$ . Si en el camino se hicieron $r$ intercambios de renglones y se multiplicaron los renglones por escalares $λ_{1}, \dots, λ_{s}$ , entonces el determinante de $A$ será $\frac{(- 1)^{r} Δ}{λ_{1} \cdot \dots \cdot λ_{s}} .$

Otras propiedades para calcular determinantes

Aquí recolectamos otras propiedades de determinantes que pueden ayudar a calcularlos. Ya mostramos todas ellas, salvo la número $2$ . Esta la mostramos después de la lista.

Si se descompone una columna de una matriz como suma de dos columnas, entonces el determinantes es la suma de los determinantes en los que ponemos cada columna en vez de la original.
Si $A$ es una matriz en $M_{n} (C)$ , entonces el determinante de la matriz conjugada $\overset{―}{A}$ es el conjugado del determinante de $A$ .
El determinante es multiplicativo.
Si $A$ es una matriz en $M_{n} (F)$ , el determinante de $λ A$ es $λ^{n}$ veces el determinante de $A$ .
El determinante de una matriz triangular es el producto de sus entradas en la diagonal.
El determinante de una matriz invertible es el inverso multiplicativo del determinante de la matriz.
Una matriz tiene el mismo determinante que su transpuesta.

Proposición. Si $A$ es una matriz en $M_{n} (C)$ , entonces el determinante de la matriz conjugada $\overset{―}{A}$ es el conjugado del determinante de $A$ .

Demostración. La conjugación compleja abre sumas y productos. Aplicando esto repetidas veces obtenemos la siguiente cadena de igualdades:

$\begin{aligned} \overset{―}{det (A)} & = \overset{―}{\sum_{σ \in S_{n}} sign (σ) a_{1 σ (1)} \cdot \dots \cdot a_{n σ (n)}} \\ = \sum_{σ \in S_{n}} \overset{―}{sign (σ) a_{1 σ (1)} \cdot \dots \cdot a_{n σ (n)}} \\ = \sum_{σ \in S_{n}} sign (σ) \overset{―}{a_{1 σ (1)}} \cdot \dots \cdot \overset{―}{a_{n σ (n)}} \\ = det (\overset{―}{A}) . \end{aligned}$

Hay una última técnica que es fundamental para el cálculo de determinantes: la expansión de Laplace. En algunos textos incluso se usa para definir el determinante. Probablemente la conoces: es la que consiste en hacer el determinante «con respecto a una fila o columna» y proceder de manera recursiva. Hablaremos de ella más adelante y veremos por qué funciona.

Dos problemas de cálculo de determinantes

Problema 1. Considera la matriz $A = (\begin{matrix} 5 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 2 \\ - 1 & - 3 & 0 & 1 \end{matrix}) .$ Calcula los siguientes determinantes:

$det A$
$det (^{t} A)$
$det (A^{- 1})$
$det (^{t} A A)$
$det (- 2 A)$

Solución. Hagamos primero el determinante de la matriz $A$ . Para ello, haremos operaciones elementales como sigue
$\begin{aligned} (\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 2 \\ - 1 & - 3 & 0 & 1 \end{array}) \\ \to & (\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & - \frac{14}{5} & \frac{2}{5} & 1 \end{array}) \\ \to & (\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & - \frac{12}{5} & \frac{33}{5} \end{array}) \\ \to & (\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{189}{25} \end{array}) . \end{aligned}$

En el primer paso sumamos $1 / 5$ veces el primer renglón al último. Luego, sumamos $14 / 5$ veces el segundo renglón al último. Finalmente, sumamos $12 / 25$ veces el tercer renglón al último. De esta forma, nunca cambiamos el determinante de la matriz. Así, del determinante de $A$ es el mismo que el de la matriz final, que por ser triangular superior es el producto de las entradas en su diagonal. De este modo, $det (A) = 5 \cdot 1 \cdot 5 \cdot \frac{189}{5} = 189.$

El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta, así que $det (^{t} A) = det (A)$ . El determinante $det (A^{- 1})$ es el inverso multiplicativo de $det (A)$ , así que es $\frac{1}{189}$ .

Como el determinante es multiplicativo, $det (^{t} A A) = det (^{t} A) det (A) = 189 \cdot 189 = 35721.$

Finalmente, usando que el determinante es homogéneo y que estamos en $M_{4} (R)$ , tenemos que
$\begin{aligned} det (- 2 A) & = (- 2)^{4} det (A) \\ = 16 \cdot 189 \\ = 3024. \end{aligned}$

$△$

Problema 2. Sean $a, b, c$ números complejos. Calculando el determinante de la matriz $A = (\begin{matrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix})$ en $M_{3} (C)$ de dos formas distintas, muestra que $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) .$

Solución. Usando la técnica para determinantes de $3 \cdot 3$ tenemos que por un lado,
$\begin{aligned} det (A) & = a^{3} + b^{3} + c^{3} - a b c - b c a - c a b \\ = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c . \end{aligned}$

Por otro lado, el determinante no cambia si al primer renglón le sumamos los otros dos, así que el determinante de $A$ también es $| \begin{matrix} a + b + c & a + b + c & a + b + c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix} | .$ Como el determinante es homogéneo, podemos factorizar $a + b + c$ de la primera entrada para obtener que $det (A) = (a + b + c) | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix} | .$

Aplicando de nuevo la fórmula de determinantes de $3 \times 3$ , tenemos que $| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix} | = a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a .$

Concluimos entonces que $det (A) = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) .$ Igualando ambas expresiones para $det (A)$ obtenemos la identidad deseada.

$△$

Más adelante…

En esta entrada vimos varias formas para calcular el determinante de una matriz. Cuando nos enfrentemos con un problema que requiere el cálculo de un determinante, tenemos que elegir la que más nos convenga (o la que requiera menos pasos). La mejor forma de desarrollar un poco de «intuición» al momento de elegir el mejor método para calcular determinantes es haciendo ejercicios.

A continuación pondremos en práctica lo que aprendimos en esta entrada haciendo varios ejercicios de cálculo de determinantes.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Sea $α$ un número real. Encuentra el determinante de la matriz $(\begin{matrix} \sin α & \cos α \\ - \cos α & \sin α \end{matrix}) .$
Determina para qué valores de $a$ la matriz $(\begin{matrix} a & 0 & a & 0 & a \\ 0 & a & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & a & 0 \\ a & 0 & a & 0 & a \end{matrix})$ es invertible.
Encuentra el determinante de la matriz $(\begin{matrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix}) .$
Sea $x$ un número complejo. Muestra que el determinante de la matriz $(\begin{matrix} 3 x^{2} - 6 x + 5 & 2 x^{2} - 4 x + 2 & x^{2} - 2 x \\ 2 x^{2} - 4 x + 2 & 2 x^{2} + 2 x + 1 & x^{2} - x \\ x^{2} - 2 x & x^{2} - x & x^{2} \end{matrix})$ es $x^{6}$ . Sugerencia. Hay una solución simple, factorizando a la matriz como el producto de dos matrices triangulares, una superior y una inferior, una transpuesta de la otra.
Muestra que si $A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ , entonces $A^{n} = (\begin{matrix} F_{n - 1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n + 1} \end{matrix}),$ donde ${F_{n}}$ es la sucesión de Fibonacci. Muestra que para los números de Fibonacci se satisface que $F_{2 n} = F_{n} (F_{n + 1} + F_{n - 1}) .$

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