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Álgebra Superior I: Introducción a vectores y matrices con entradas reales

Por Eduardo García Caballero

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Introducción

Los vectores y las matrices son algunos de los objetos matemáticos que nos encontraremos con mayor frecuencia durante nuestra formación matemática. Esto se debe a que nos permiten abordar con sencillez varios problemas de distintas áreas de las matemáticas, como lo son la geometría analítica y la teoría de gráficas. Además, nos ayudan a modelar con gran precisión fenómenos de otras disciplinas, como de la mecánica clásica, gráficos por computadora, circuitos eléctricos, robótica, entre otras.

A pesar de que el estudio a profundidad de los vectores y matrices lo realizaremos en los cursos de Álgebra Lineal I y Álgebra Lineal II, esto no es un impedimento para que nos familiaricemos con varios de los conceptos, técnicas y algoritmos que nos permitirán sacar provecho a esta maravillosa área de las matemáticas.

¿Qué son los vectores?

Dependiendo del área que estudiemos, nos podríamos encontrar con distintas definiciones de vectores. Por ejemplo, en la mecánica clásica se visualiza a los vectores como flechas en el plano o en el espacio, ancladas en un «origen» o en cualquier otro punto del plano. En ciencias de la computación, entenderemos que un vector consiste en un arreglo en el que todas sus entradas son datos del mismo tipo. Como veremos más adelante, las distintas formas de visualizar los vectores son equivalentes.

En este curso trabajaremos con un tipo específico de vectores: los vectores cuyas entradas son números reales. ¿Números reales? Sí. Aquí el temario de la asignatura de un brinco un poco grande. Hasta ahora, hemos intentado construir las matemáticas desde sus fundamentos: lógica, conjuntos, funciones, números naturales, etc. Sin embargo, ahora trabajaremos con el conjunto $\mathbb{R}$ de números reales.

Ya platicamos de que el conjunto de naturales $\mathbb{N}$ se puede pensar desde un sistema axiomático y que de hecho podemos «construir» a los naturales a partir de nociones de teoría de conjuntos. En el curso de Álgebra Superior 2 se platica de cómo construir al conjunto $\mathbb{Z}$ de enteros a partir de $\mathbb{N}$, al conjunto $\mathbb{Q}$ de racionales a partir de $\mathbb{Z}$ y finalmente de cómo construir a $\mathbb{R}$ desde $\mathbb{Q}$. Pero por ahora supondremos la existencia de $\mathbb{R}$ y que cumple todos los axiomas que se tratan por ejemplo en un curso de Cálculo Diferencial e Integral I.

Vectores con entradas reales

Un vector con entradas reales lo podemos entender como una lista ordenada de uno o más números (también conocida como tupla) en la que todos sus valores son números reales. Aquí «lista ordenada» lo pensamos no en el sentido de que sus entradas «van creciendo o decreciendo en orden», sino en el sentido «ordenado» como de parejas ordenadas de la segunda unidad de estas notas. Es decir, no nos importan no sólo los números usados, sino también en qué lugar quedaron.

Un ejemplo que seguramente ya has visto en tus clases de geometría analítica son los vectores en el plano o en el espacio. Recordemos que el vector $(5, \pi)$ determina una única posición en el plano, mientras que $\left(8, \sqrt{2}, \tfrac{4}{3}\right)$ determina una única posición en el espacio. Como ambas tuplas están formadas únicamente por números reales, podemos decir que son vectores con entradas reales. A cada uno de los números que aparecen en la lista le llamaremos entrada, y nos podemos referir a la posición de la entrada para decir cuál es su valor; por ejemplo, la primera entrada de $(5, \pi)$ es $5$, mientras que la tercera entrada de $\left(8, \sqrt{2}, \tfrac{4}{3}\right)$ es $\tfrac{4}{3}$.

Como recordarás, decimos que estos vectores se encuentran en $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$, respectivamente. Analizando los ejemplos, te darás cuenta de que el número que acompaña a $\mathbb{R}$ se refiere a la cantidad de números reales que están enlistados en cada vector. Entonces, probablemente te preguntarás qué pasa con listas de más números. Aunque quizá sean más difíciles de visualizar (¡aunque no imposibles!), también existen vectores con cuatro, cinco o incluso más entradas. Esto nos lleva a la siguiente definición.

Definición. Para un número entero positivo $n$, un vector con $n$ entradas reales es una lista ordenada de $n$ elementos, el cual escribiremos $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$. El conjunto $\mathbb{R}^n$ consiste de todos los vectores con $n$ entradas reales.

Así, podemos ver que tenemos que $(1,-3.5,e,1)$ es un vector en $\mathbb{R}^4$, mientras que $(1,1,2,3,5,7,13)$ es un vector en $\mathbb{R}^7$. En notación de conjuntos, $(1,-3.5,e,1)\in\mathbb{R}^4$ y $(1,1,2,3,5,7,13)\in\mathbb{R}^7$.

Una forma de empezar a ver cómo los vectores se relacionan entre ellos es preguntándonos cuándo estos son iguales. La primera condición que seguramente se nos vendrá a la mente es que los dos vectores deben tener la misma longitud; de este modo, podemos inmediatamente descartar que $(5, \pi)$ y $(8, \sqrt{2}, \tfrac{4}{3})$ sean iguales.

Otra condición que seguramente consideraremos es que todas sus entradas deben ser iguales. Así, podemos también descartar que $(5, \pi)$ y $(4, 8)$ sean iguales. Sin embargo, ¿son $(5,\pi)$ y $(\pi, 5)$ iguales? Como recordarás, los vectores son listas ordenadas, por lo que no sólo es importante que tengan las mismas entradas, sino que también aparezcan en el mismo orden. Así, podemos también descartar que $(5,\pi)$ y $(\pi, 5)$ sean iguales: basta ver con que la primera entrada del $(5,\pi)$ es $5$, mientras que la primera entrada de $(\pi,5)$ es $\pi$, y claramente $5\ne\pi$. Así mismo, $(1,5,8,1,3)$ es distinto de $(1,5,8,1,4)$ pues aunque compartan muchos elementos en varias de sus posiciones, en el primer vector la última entrada es $3$ y el el segundo la última entrada es $4$.

Definición. Diremos que dos vectores $(x_1,\ldots,x_n)$ y $(y_1,\ldots,y_n)$ de $\mathbb{R}^n$ son iguales si para toda $i=1,\ldots,n$ se tiene que $x_i=y_i$

Por otra parte, antes dijimos que los vectores tienen varias formas de ser representados. Como ejemplo de esto, podemos ver que el vector $(1,-3.5,e,1)$ puede ser representado como

\[
\begin{pmatrix}
1 \\
-3.5 \\
e \\
1
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
\begin{pmatrix}
1 & -3.5 & e & 1
\end{pmatrix}.
\]

Al formato de la izquierda se le conoce como vector vertical o vector columna, mientras que al formato de la derecha se le conoce como vector horizontal o vector fila. Dependiendo del contexto, en ocasiones nos encontraremos con estas representaciones en vez de la que mostramos inicialmente, aunque es importante recordar que siguen siendo vectores con entradas reales, pues son listas ordenadas de números reales.

Matrices con entradas reales

Otro objeto matemático en el que también se enlistan varios números reales se conoce como matriz, con la diferencia de que esta lista tiene forma de arreglo rectangular.

Definición. Una matriz con entradas reales es un arreglo rectangular en donde en cada una de sus posiciones se coloca un número real.

Por ejemplo, las siguientes son matrices con entradas reales:

\[
\begin{pmatrix}
0 & 8 & -4.5 \\
2 & 9 & 0 \\
1 & \pi & 5
\end{pmatrix},
\qquad
\begin{pmatrix}
0 & -3 & 9 & 4.25 \\
100 & 0.1 & -2 & \sqrt{2}
\end{pmatrix}.
\]
Como podrás ver, para poder identificar a una entrada de una matriz debemos de hacer referencia a dos propiedades: el número de fila y el número de columna en el que se encuentra. Las filas se cuentan de arriba hacia abajo, y las columnas de izquierda a derecha. Así, vemos que la entrada que se encuentra en la fila 3 y columna 2 de la primera matriz es $\pi$. A cada entrada le asignamos una coordenada $(i,j)$, donde $i$ es el número de fila y $j$ es el número de columna. Así, $\pi$ se encuentra en la posición $(3,2)$ de la primera matriz.

Por convención, cuando mencionamos el tamaño de una matriz, primero se especifica el número de filas y posteriormente el número de columnas. Así, la primera matriz es de tamaño $3\times 3$, mientras que la segunda es de tamaño $2 \times 4$. Ya que elegimos el tamaño de una matriz, podemos considerar a todas las matrices de ese tamaño.

Definición. El conjunto $M_{m,n}(\mathbb{R})$ consiste de todas las matrices de $m$ filas, $n$ columnas y en donde cada entrada es un número real.

En el caso de que la cantidad de filas y de columnas de la matriz sean el mismo, diremos que se trata de una matriz cuadrada. De nuestros ejemplos anteriores, la primera sí es una matriz cuadrada, pero la segunda no. Para simplificar un poco la notación, introducimos lo siguiente.

Definición. El conjunto $M_n(\mathbb{R})$ consiste de todas las matrices de $n$ filas, $n$ columnas y en donde cada entrada es un número real.

Es decir, simplemente $M_n(\mathbb{R})=M_{n,n}(\mathbb{R})$.

Al igual que pasa con los vectores, podemos comparar dos matrices para saber si estas son iguales. Como te podrás imaginar, hay algunas condiciones que dos matrices deben cumplir para ser iguales: en primera, ambas deben de tener el mismo tamaño; es decir, sus números de filas deben de ser iguales y sus números de columnas deben de ser iguales. Por lo tanto, vemos que las matrices mostradas anteriormente son diferentes. Además, sus correspondientes entradas deben de ser iguales. Podemos escribir esto en una definición como sigue.

Definición. Sean $A$ y $B$ matrices en $M_{m,n}(\mathbb{R})$. Diremos que estas matrices son iguales si para cada $i\in \{1,\ldots,m\}$ y cada $j\in \{1,\ldots,n\}$ se cumple que la entrada $(i,j)$ de $A$ es la misma que la entrada $(i,j)$ de $B$.

¿Puedes decir por qué las siguientes matrices son diferentes?
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
\ne
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{pmatrix}.
\]

Notación y algunos vectores y matrices especiales

En matemáticas, es usual que denotemos los vectores con letras minúsculas (siendo las más comunes la $u$, $v$ y $w$) aunque muchas veces te podrás encontrar con notaciones especiales que los hacen más fáciles de distinguir, por ejemplo, $\overrightarrow{a}$ o $\mathbf{a}$. Nosotros no haremos esta distinción y usaremos simplemente letras minúsculas. Por ejemplo podríamos tomar al vector $u=(1,2,3)$ de $\mathbb{R}^3$.

Por su parte, las matrices las solemos representar con letras mayúsculas (generalmente las primeras del abecedario: $A$, $B$, $C$). Si la entrada que se encuentra en la fila $i$ y colmuna $j$ de la matriz se le denota como con la correspondiente letra minúscula y con subíndices la posición de su entrada: $a_{ij}$. Así, tendríamos que en
\[
A=
\begin{pmatrix}
0 & 8 & -4.5 \\
2 & 9 & 0 \\
1 & \pi & 5
\end{pmatrix}
\]
la entrada $a_{13} = -4.5$ y la entrada $a_{31} = 1$. ¿Cuál es la entrada $a_{23}$?

Además, existen algunos vectores y matrices con entradas reales que nos encontraremos con bastante frecuencia, y por esta razón reciben nombres especiales:

  • El vector en el que todas sus entradas son el número cero se conoce como vector cero o vector nulo. Por ejemplo, el vector nulo en $\mathbb{R}^2$ es $ (0,0)$ mientras que el nulo en $\mathbb{R}^3$ es $(0,0,0)$. Generalmente, denotamos este vector como $0$ (o, en ocasiones, como $\overrightarrow{0}$ o $\mathbf{0}$) .Es importante observar que se usa el mismo símbolo para representar a los vectores nulos con números distintos de entradas (de modo que podremos encontrar que $0=(0,0)$, en el caso de $\mathbb{R}^2$, o que $0=(0,0,0)$, en el caso de $\mathbb{R}^3$). Esto es algo que debemos tener en cuenta, aunque no suele representar mayores complicaciones, pues el contexto nos dirá 1) Si el símbolo $0$ se usa para el real cero o el vector cero y 2) Con cuántas entradas estamos trabajando.
  • La matriz en el que todas sus entradas son cero se conoce como matriz cero o matriz nula. Ejemplos de matrices nulas son
    \[
    \begin{pmatrix}
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0
    \end{pmatrix}
    \qquad
    \text{y}
    \qquad
    \begin{pmatrix}
    0 & 0 \\
    0 & 0
    \end{pmatrix}.
    \]
    Estas matrices se suelen denotar con el símbolo $\mathcal{O}$, aunque en el caso de las matrices sí es común especificar las dimensiones de la matriz, de modo que la primera matriz escrita en este inciso se denota como $\mathcal{O}_{3\times 4}$ mientras que una matriz cuadrada, como la segunda de este inciso, se denota como $\mathcal{O}_2$.
  • El vector en $\mathbb{R}^n$ cuya $i$-ésima entrada es $1$ y el resto de sus entradas es $0$ se conoce como vector canónico, y se denota $\mathrm{e}_i$. Por ejemplo, el vector canónico $\mathrm{e}_3$ en $\mathbb{R}^4$ es $(0,0,1,0)$.
  • Además, al conjunto de todos los posibles vectores canónicos en $\mathbb{R}^n$ se conoce como la base canónica de $\mathbb{R}^n$; así, la base canónica de $\mathbb{R}^4$ es
    \[
    \{(1,0,0,0), \ (0,1,0,0), \ (0,0,1,0), (0,0,0,1)\} = \{\mathrm{e}_1, \mathrm{e}_2, \mathrm{e}_3, \mathrm{e}_4\}.
    \]
  • Llamamos diagonal de una matriz cuadrada a las componentes cuyos número de fila y número de columna coinciden. Además, diremos que una matriz es una matriz diagonal si es una matriz cuadrada en la que todas sus entradas que no están en la diagonal (es decir, que su número de fila es distinto a su número de columna) son cero. Ejemplos de matrices diagonales son
    \[
    \begin{pmatrix}
    5 & 0 & 0 \\
    0 & 8 & 0 \\
    0 & 0 & \pi
    \end{pmatrix}
    \qquad
    \text{y}
    \qquad
    \begin{pmatrix}
    6 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 7 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 9
    \end{pmatrix}
    \]
    (Observemos que aquellas entradas que se encuentran sobre su diagonal también pueden ser cero, aquí no tenemos ninguna restricción).
  • La matriz diagonal en la que todas sus entradas sobre la diagonal son 1 se conoce como matriz identidad. Ejemplos de matrices identidad son
    \[
    \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0\\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1
    \end{pmatrix}
    \qquad
    \text{y} \\
    \qquad
    \begin{pmatrix}
    1
    \end{pmatrix}.
    \]
    A esta matriz la denotamos por $\mathcal{I}$ y especificamos su tamaño como subíndice. Así, las matrices anteriores son ${I}_3$ e $\mathcal{I}_1$.

Más adelante…

En esta entrada vimos las definiciones de vectores y matrices con entradas reales que usaremos para trabajar en este curso. También revisamos cuándo dos vectores (o matrices) son iguales. Además, vimos algunos ejemplos de vectores y matrices que nos encontraremos con bastante frecuencia en las matemáticas.

En las siguientes entradas veremos que también se pueden hacer operaciones entre vectores y matrices, aunque necesitaremos que se cumplan algunas condiciones especiales.

Tarea moral

  1. Basándonos en la definiciones, verifica las siguientes igualdades:
    • El vector $(4-4,1,3)$ es igual al vector $(0,2-1,2+1)$.
    • La matriz $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4\end{pmatrix}$ es igual a la matriz $B$ de $2\times 2$ cuyas entradas están dadas por $b_{ij}=i\cdot j$.
  2. Encuentra todos los posibles vectores que hay en $\mathbb{R}^3$ cuyas entradas sean únicamente los números $1$ y $2$. ¿Cuántos deben de ser?
  3. Seguramente algunos los nombres de los vectores y matrices especiales te recuerdan a algún tipo de operación. ¿Qué operaciones crees que podamos hacer con los vectores y/o matrices, y qué comportamiento tendrían aquellos que reciben un nombre especial?
  4. ¿Por qué podemos decir que una matriz nula cuadrada cumple con ser una matriz diagonal?
  5. Escribe todos los elementos de la base canónica de $\mathbb{R}^6$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Cálculo Diferencial e Integral III: Divergencia, laplaciano y rotacional

Por Alejandro Antonio Estrada Franco

2 respuestas

Introducción

Después de algunas entradas muy técnicas, en las que hemos demostrado dos resultados sumamente importantes (el teorema de la función inversa y el teorema de la función implícita), pasaremos brevemente a una entrada un poco más ligera en términos de teoría, pero también relevante. En esta entrada nos volcaremos a una cara más práctica del cálculo diferencial e integral.

Recordemos que un campo vectorial es una función $F:S\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$. El nombre de campo vectorial está justificado con que a cada punto de un espacio base $\mathbb{R}^n$, estamos asignando otro vector, en $\mathbb{R}^m$. Si pegamos a cada vector del dominio el vector que le corresponde en a partir de $F$, podemos tener otra intuición geométrica de lo que hacen estas funciones. En la figura 1 apreciamos un ejemplo de esto, donde tenemos un campo vectorial $F$ de $\mathbb{R}^{3}$ en $\mathbb{R}^{3}$ y entonces a cada vector de $\mathbb{R}^3$ le estamos «pegando una flecha».

Figura 1

Esta manera de pensar a los campos vectoriales se presta mucho para entender propiedades físicas de los objetos: flujo eléctrico, flujo de calor, fuerza, trabajo, etc. Si pensamos en esto, otros conceptos que hemos estudiado también comienzan a tener significado. Por ejemplo, el gradiente de un campo escalar está íntimamente relacionado a otras propiedades físicas descritas por el campo escalar. Un ejemplo que hemos discutido es que el gradiente, por ejemplo, nos da la dirección de cambio máximo.

Un ejemplo más concreto sería el siguiente. Pensemos en $\mathbb{R}^{3}$ en un sólido $S$ y un campo escalar $T:S\rightarrow \mathbb{R}$ que da la temperatura de cada punto del sólido. Si consideramos la expresión $\textbf{J}=-k\triangledown T$, obtenemos lo que se conoce como el flujo de calor. Tiene sentido. Por lo que aprendemos en educación elemental, el calor va de los puntos de mayor temperatura a los de menor temperatura. El gradiente $\triangledown T$ da la dirección de máximo crecimiento. Pero entonces $-\triangledown T$ da la dirección de máximo descenso (así como su magnitud). La $k$ que aparece tiene que ver con qué tan bien el material del que hablamos transmite el calor.

Notación tradicional de los campos vectoriales

En el ámbito de las aplicaciones generalmente se usa la notación con gorros. Veamos un ejemplo de cómo escribir con esta notación. En vez de escribir para $\bar{v}\in \mathbb{R}^{3}$ la expresión $\bar{v}=(x,y,z)$, escribimos $$\bar{v}=x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+z\hat{k},$$ es decir, podemos pensar que $\hat{\imath}=(1,0,0)$, $\hat{\jmath}=(0,1,0)$, $\hat{k}=(0,0,1)$.

Si $F:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ es un campo vectorial, escribimos $$F=P\hat{\imath}+Q\hat{\jmath}+R\hat{k},$$ donde $P$, $Q$ y $R$ son los campos escalares componente, que cada uno de ellos va de $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}$.

Generalmente escribimos también $$F(x,y,z)=P(x,y,z)\hat{\imath}+Q(x,y,z)\hat{\jmath}+R(x,y,z)\hat{k}$$ tras evaluar.

Con esta notación también podemos escribir al gradiente y pensarlo como un «operador» que manda campos escalares a campos vectoriales. A este operador se le llama operador nabla. Lo escribimos de la siguiente manera:

\[ \triangledown =\frac{\partial}{\partial x}\hat{\imath}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{\jmath}+\frac{\partial}{\partial z}\hat{k}. \]

Si tenemos un campo escalar $\phi:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$, entonces el operador hace lo siguiente

\[ \triangledown \phi (x,y,z)=\frac{\partial \phi (x,y,z)}{\partial x}\hat{\imath}+\frac{\partial \phi (x,y,z)}{\partial y}\hat{\jmath}+\frac{\partial \phi (x,y,z)}{\partial z}\hat{k}.\]

Es decir, a partir de $\phi$ obtenemos su gradiente.

Líneas de flujo

Ahora introducimos el concepto de línea de flujo el cual es muy usado para campos vectoriales en el modelado fenómenos físicos.

Definición. Si $F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ es un campo vectorial, una línea de flujo para $F$ es una función $\alpha :U\subseteq \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ tal que $\alpha^{\prime}(t)=F(\alpha(t))$ para todo $t\in U$.

Es decir una línea de flujo es una trayectoria sobre la cual $F$ asigna en cada punto de ella su correspondiente vector tangente. En la Figura 2 tenemos una ilustración de una línea de flujo en un campo vectorial.

Figura 2

Divergencia

Supongamos que tenemos en el plano (o el espacio) una región $S$. Para cada punto $\bar{x}$ de $S$ sea $\textbf{x}(t)$ una línea de flujo que parte de $\bar{x}$ bajo el campo vectorial $F$. El conjunto de líneas $\textbf{x}(t)$ describe cómo cambia el conjunto $S$ bajo la acción de $F$ a través del tiempo. Formalizando esto un poco, en el caso del plano tomemos $F:S\subseteq \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$. Para cada $\bar{x}\in S$ podemos considerar $\gamma_x:I_{x}\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$, como la trayectoria $\textbf{x}(t)$ y que es línea de flujo bajo $F$. Estas trayectorias van mostrando «cómo se va deformando $S$ a causa del campo vectorial $F$». También, consideremos al conjunto $S’=\{\bar{x}+F(\bar{x})|\bar{x}\in S \}$, al cual pensaremos como el conjunto resultante de aplicar a $S$ el campo vectorial $F$.

Estas nociones se pueden analizar a través de una herramienta llamada divergencia. La definimos a continuación, pero una demostración formal de que el operador divergencia mide la expansión del efecto de un campo vectorial es un tema que se estudia en un cuarto curso de cálculo diferencial e integral.

Figura 3. Aquí se ilustra el efecto de un campo vectorial sobre una sección $S$ del plano.

Damos la definición en $\mathbb{R}^3$, pero podrías dar una versión análoga para $\mathbb{R}^2$.

Definición. Si $F=P\hat{\imath}+Q\hat{\jmath}+R\hat{k}$ es un campo vectorial definimos la divergencia de $F$ como:

\[ \triangledown \cdot F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.\]

En dimensiones más altas, si $F=(F_{1},\dots ,F_{n})$, entonces $\triangledown \cdot F=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{i}}$.

Rotacional

Figura 4

Pensemos en un fluido que se mueve de acuerdo con el flujo marcado por el campo vectorial $F$. Tenemos una forma de determinar la rotación que el fluido imprimiría sobre un sólido llevado por él. Imaginemos un remolino y una pequeña esfera solida llevada por el remolino. Lo que llamaremos el rotacional del vector nos proporcionará la información sobre las rotaciones sobre su eje que el fluido imprime a la pequeña esfera (Figura 4).

Definición. Sea $$F(x,y,z)=F_{1}(x,y,z)\hat{\imath}+F_{2}(x,y,z)\hat{\jmath}+F_{3}(x,y,z)\hat{k}.$$ Entonces definimos al rotacional de $F$ como el siguiente campo vectorial:

\[ \triangledown \times F(x,y,z)=\left( \frac{\partial F_{3}}{\partial y} – \frac{\partial F_{2}}{\partial z} \right)\hat{\imath}+\left( \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x} \right)\hat{\jmath}+\left( \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y} \right)\hat{k}.\]

También suele representarse por el siguiente determinante:

\[ \triangledown \times F=\begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ {\large \frac{\partial}{\partial x}} & {\large \frac{\partial}{\partial y}} & {\large \frac{\partial}{\partial z}} \\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{vmatrix}. \]

Una visión mas clara de por qué esta expresión calcula lo que queremos se puede aprender en un cuarto curso de cálculo diferencial e integral, o bien en algún curso de aplicaciones del cálculo a la física. Por ahora veremos en los ejemplos solamente la parte operativa.

Laplaciano

Hay un operador más que surge naturalmente en las ecuaciones que involucran al gradiente y a la divergencia.

Definición. Sea $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ un campo escalar. El operador laplaciano se establece de la siguiente manera:

\[ \triangledown ^{2}f=\frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}\hat{\imath}+\frac{ \partial^{2}f}{\partial y^{2}}\hat{\jmath}+\frac{\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}\hat{k}. \]

Es decir, el laplaciano consiste en aplicar el operador divergencia al gradiente de un campo escalar.

Ejemplos de problemas de los conceptos anteriores

Revisemos algunos problemas que tienen que ver con estos operadores. Esto nos permitirá ampliar nuestra visión en cuanto a la practicidad de esta herramienta matemática.

Consideremos el siguiente campo vectorial en el plano $F(x,y)=x\hat{\imath}$. Pensaremos el signo de la divergencia de $F$ como la razón del cambio de áreas bajo este campo. Interpretaremos a $F$ como aquel que asigna a cada punto del plano un vector velocidad de un fluido en el plano.

Para $x>0$ el campo apunta hacia la derecha con vectores paralelos al eje $x$ con tamaño $|x|$, para $x<0$ los vectores apuntan a la izquierda paralelamente al eje $x$ con tamaño $|x|$ (Figura 5). Por ello las longitudes de las flechas de $F$ son mas cortas en torno al origen; así cuando el fluido se mueve, se expande. Y esto coincide con el hecho de que $\triangledown \cdot F=1$.

Figura 5

En el siguiente ejemplo consideremos el campo vectorial $F(x,y)=-y\hat{\imath}+x\hat{\jmath}$. Las líneas de flujo de $F$ siguen circunferencias concéntricas centradas al origen en dirección contrarias a las manecillas del reloj. Al calcular la divergencia tenemos lo siguiente:

\[ \triangledown \cdot F=\frac{\partial }{\partial x}(-y)+\frac{\partial}{\partial y}(x)=0. \]

En la figura 6 tenemos la ilustración de cómo se ve el campo de este ejemplo. Suena razonable. En este caso el fluido no se está expandiendo, sino que más bien está rotando.

Figura 6

En el laplaciano aplicamos la divergencia a un gradiente. Pero, ¿qué pasa cuando aplicamos el rotacional a un gradiente? Consideremos una función $f$ con derivadas parciales diferenciables continuas es decir, de clase $C^{2}$. Para una función así tenemos

\[ \triangledown f(x,y,z)=(\partial f/\partial x,\partial f/ \partial y,\partial f/\partial z). \]

De acuerdo con la definición de rotacional, tenemos:

\begin{align*} \triangledown \times (\triangledown f)&= \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z} \end{vmatrix}\\ &= \left( \frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial z}-\frac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial y} \right)\hat{\imath}+\left( \frac{\partial ^{2}f}{\partial z\partial x}-\frac{\partial ^{2}f}{\partial x \partial z} \right)\hat{\jmath}+\left( \frac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}-\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x} \right)\hat{k}\\ &=\bar{0} \end{align*}

por la igualdad de las parciales mixtas. Es decir; si $f$ es un campo escalar cuyas derivadas parciales son diferenciables con derivada continua tenemos $\triangledown \times \triangledown f=0$.

Esto nos puede ayudar a saber si una cierta función puede obtenerse como gradiente de otra. Tomemos $G(x,y,z)= y\hat{\imath}-x\hat{\jmath}$. Notemos que las funciones en $\hat{\imath}$ y en $\hat{\jmath}$ son diferenciables con derivada continua. Entonces nos preguntaremos ¿$G$ es gradiente de un campo escalar? Para ello calculemos $\triangledown \times G$ cuyo resultado en caso afirmativo debería ser igual a cero. Sin embargo,

\[ \triangledown \times G=\begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y & -x & 0 \end{vmatrix}=-2\hat{k}\neq 0,\]

por lo tanto $G$ no es un gradiente.

También tenemos que la divergencia de un rotacional es igual a cero, es decir si $F$ es un campo vectorial $\triangledown \cdot (\triangledown \times F)=0$. Queda como tarea moral demostrar este hecho.

Mas adelante…

Con esta entrada terminamos nuestro estudio de conceptos relacionados con campos vectoriales. Sin embargo, aún no los descartaremos por completo. Retomaremos a los campos vectoriales en la última unidad del curso. En ella, retomaremos varias partes de la teoría para establecer resultados de optimización de campos escalares, y de funciones bajo restricciones.

Tarea moral

  1. Para los siguientes campos vectoriales, halla su divergencia
    • $F(x,y)=x^{3}\hat{\imath}+x\hspace{0.1cm}sen\hspace{0.1cm}(xy)\hat{\jmath}$
    • $G(x,y,z)=e^{xy}\hat{\imath}+e^{xy}\hat{\jmath}+e^{yz}\hat{k}$.
  2. Obtén el rotacional de los siguientes campos vectoriales:
    • $F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(3\hat{\imath}+4\hat{\jmath}+5\hat{k})$
    • $G(x,y,z)=yz\hat{\imath}+xz\hat{\jmath}+xy\hat{k}$.
  3. Dibuja algunas líneas de flujo del campo $F(x,y)=-3x\hat{\imath}-y\hat{\jmath}$. Calcula $\triangledown \cdot F$ y explica el significado del resultado de la divergencia en su relación con las líneas de flujo.
  4. Demuestra que $\triangledown \cdot (\triangledown \times F)=0$
  5. Sean $f$ y $g$ dos campos escalares diferenciables, y $F$, y $G$ dos campos vectoriales diferenciables. Demuestra las siguientes identidades (solo usa la parte operativa, piensa que todos los campos tanto los vectoriales como los escalares tienen el mismo dominio):
    1. $\triangledown \cdot gG =g(\triangledown \cdot G) + G\cdot (\triangledown g)$
    2. $\triangledown (fg)=f(\triangledown g) +g (\triangledown f)$
    3. $\triangledown \cdot (F\times G)= G\cdot (\triangledown \times F)-F\cdot (\triangledown \times G)$

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Cálculo Diferencial e Integral III: Ejemplos e intuición del teorema de la función implícita

Por Alejandro Antonio Estrada Franco

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Introducción

En la entrada anterior revisamos el teorema de la función implícita formalmente enunciado y demostrado. En ésta lo que haremos será reflexionar sobre él y observar con más detalle su propósito y usos.

Dicho de forma simplista pero resaltando su objetivo principal el teorema de la función implícita busca establecer las condiciones bajo las cuales podemos despejar unas variables en término de otras. Da una condición en términos de cierta diferenciabilidad. Como esbozamos en la entrada anterior, lo que el teorema nos dice es cuándo es posible despejar las variables de un sistema de ecuaciones (o funciones coordenadas de un campo vectorial) en función de ciertas las variables libres, y alrededor de una vecindad. Para hacer esto, básicamente hay que resolver un sistema de ecuaciones en donde ciertos coeficientes vienen de ciertas derivadas parciales. El teorema de la función implícita también habla de cómo derivar una función definida implícitamente respecto de cualquiera de sus derivables.

¿Por qué teorema de la función implícita?

¿Por qué este nombre? En numerosos problemas matemáticos derivados de aplicaciones diversas se utilizan modelos geométricos. Estos modelos geométricos usualmente se construyen a partir de restringir ciertas variables con ciertas ecuaciones. Pensemos en objetos geométricos en tres dimensiones. Tenemos variables $x,y,z$. Definamos $G(x,y,z):=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1$. Podemos preguntarnos por el objeto geométrico descrito por la ecuación $G(x,y,z)=0.$ Sabemos que las ternas $(x,y,z)$ que satisfacen esto justo conforman una esfera de radio 1 centrada en el origen. Decimos que esta ecuación proporciona una representación implícita de la superficie.

Pero quizás nuestra aplicación nos lleva a preguntarnos si alguna coordenada está en términos de las otras para los puntos que están en dicha esfera. En afortunadas ocasiones es posible despejar en la ecuación $G(x,y,z)$ algunas de las variables en términos de las otras. Esto nos lleva a una o varias ecuaciones de la forma $z=g(x,y)$, en nuestro caso particular tenemos:

\begin{align*}z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} && \textup{y} && z=-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}.\end{align*}

El teorema de la función inversa nos dice que si ciertas derivadas existen y son invertibles como transformaciones lineales, entonces podemos hacer estos despejes. De hecho, nos dice algo mejor: que podemos hacerlos alrededor de toda una vecindad donde no se anule dicha derivada. De aquí sale la idea de «función implícita». Algunas ecuaciones, aunque no permitan despejar variables, sí lo permiten «localmente» y entonces ahí hay una «función oculta».

En la gran mayoría de los casos es difícil lograr estos despejes mediante expresiones algebraicas sencillas por ejemplo en una superficie representada por la ecuación $y^{3}+z^{2}-xz+e^{zx}-4=0$ suena muy difícil que podamos despejar $z$. Sin embargo el teorema de la función implícita nos garantiza que, aunque no sepamos cómo, la variable $z$ sí se puede poner en función de las variables $x$ y $y$.

La derivada de la función implícita

Otra buena notica es que aunque no conozcamos explícitamente el despeje que nos interesa, con el teorema de la función implícita sí podemos encontrar las derivadas parciales de la función implícita que aparece. Si pensaste los problemas de la tarea moral de la entrada anterior, quizás ya hayas llegado al siguiente resultado.

Corolario. Sea $F:S\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ un campo escalar diferenciable con $S$ abierto. Supongamos que la ecuación $F(x_{1},\dots ,x_{n})=0$ define implícitamente a $x_{n}$ como función diferenciable de $x_{1},\dots ,x_{n-1}$ como $x_{n}=f(x_{1},\dots ,x_{n-1})$, para todos los puntos $(x_{1},\dots ,x_{n-1})\in S’\subseteq \mathbb{R}^{n-1}$, entonces para cada $k=1,2,\dots ,n-1$ la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x_{k}}$ está dada por la fórmula:

\[ \begin{equation}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x_{k}}}{\frac{\partial F}{\partial x_{n}}}\end{equation} \]

en los puntos en los que $\frac{\partial F}{\partial x_{n}}\neq 0$. Las derivadas parciales de $F$ están calculadas en el punto $(x_{1},\dots ,x_{n-1},f(x_{1},\dots ,x_{n}))$.

Demostración. Pensemos $F:\mathbb{R}^{n-1}\times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Si $(x_{1},\dots x_{n})$ es tal que $F(x_{1},\dots ,x_{n})=0$, por el teorema de la función implícita tenemos a una única función $f:\mathbb{R}^{n-1}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $F(x_{1},\dots ,x_{n-1},f(x_{1},\dots ,x_{n-1}))=0$.

(Nota. En la entrada anterior teníamos entradas de la forma $(y,x)$ y $y$ quedaba en función de $x$. De manera totalmente análoga podemos intercambiar los papeles de $x$ y $y$, pidiendo las hipótesis correctas. De hecho, usualmente se piensa en parejas $(x,y)$ y las variables de $y$ son las que quedan en términos de las variables $x$)

Ahora, pensemos en el campo vectorial $G:S’\subseteq \mathbb{R}^{n-1}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ dado por $G(x_{1},\dots ,x_{n-1})=(x_{1},\dots ,x_{n-1},f(x_{1},\dots ,x_{n-1}))$. Así $(F\circ G)(x_{1},\dots ,x_{n-1})=0$. Por regla de la cadena, $DFDG=0$. Tenemos así $0=\triangledown F\cdot DG$, lo cual explícitamente es:

\[ 0=\begin{bmatrix} \frac{\partial F}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial F}{\partial x_{n}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \\ \frac{\partial f}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f}{\partial x_{2}} & \dots & \frac{\partial f}{\partial x_{n-1}} \end{bmatrix}= \]

\[ \begin{bmatrix} \frac{\partial F}{\partial x_{1}}+\frac{\partial F}{\partial x_{n}}\frac{\partial f}{\partial x_{1}} & \frac{\partial F}{\partial x_{2}}+\frac{\partial F}{\partial x_{n}}\frac{\partial f}{\partial x_{2}} & \dots & \frac{\partial F}{\partial x_{n-1}}+\frac{\partial F}{\partial x_{n}}\frac{\partial f}{\partial x_{n-1}} \end{bmatrix}.\]

Por ello, para cada $i$ tenemos:

\[ \frac{\partial F}{\partial x_{i}}+\frac{\partial F}{\partial x_{n}}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}=0.\]

De esta ecuación se deduce la $(1)$.

$\square$

Un primer ejemplo del teorema de la función inversa

Pasemos ahora a hacer algunas cuentas concretas para entender mejor lo que uno tiene que hacer para aplicar el teorema de la función implícita en funciones particulares.

Ejemplo. Consideremos la ecuación $y^{2}+xz+z^{2}-e^{z}-c=0$. Expresaremos a $z$ en función de $x$ e $y$, es decir, $z=f(x,y)$. Nos gustaría encontrar un valor de la constante $c$ tal que $f(0,e)=2$. Para dicha $c$, queremos calcular las derivadas parciales con respecto a $x$ y $y$ en el punto $(x,y)=(0,e)$.

Para la primera parte sustituimos $x=0$, $y=e$ y $z=2$. Tenemos $$e^{2}+0\cdot 2+2^{2}-e^{2}-c=0,$$ que es lo mismo que $4-c=0$, y esto implica $c=4$. De esta manera, estudiaremos la función $$F(x,y,z)=y^{2}+xz+z^{2}-e^{z}-4.$$

Notemos que

\begin{align*}\frac{\partial F}{\partial z}=x+2z-e^{z},&&\frac{\partial F}{\partial x}=z,&&\frac{\partial F}{\partial y}=2y,\end{align*}

por lo cual

\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{z}{x+2z-e^{z}},&&\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{2y}{x+2z-e^{z}}.\end{align*}

Así para $x=0$, $y=e$ y $z=2$ al sustituir resulta

\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(0,e)=\frac{2}{e^{2}-4}&&\textup{y}&&\frac{\partial f}{\partial y}(0,e)=\frac{2e}{e^{2}-4}. \end{align*}

$\triangle$

En este ejemplo vemos cómo hemos podido calcular las derivadas parciales de $z=f(x,y)$ usando el valor de $f$ en el punto $(0,e)$, sin conocer quién es la función $f(x,y)$.

Un repaso chiquito de la demostación del teorema de la función implícita

Ahora repasaremos la demostración del teorema de la función implícita pero para un caso muy particular: Dos superficies $S_{1}$ y $S_{2}$ en el espacio con las siguientes representaciones implícitas:

$$ \textup{para}\hspace{0.3cm}S_{1}:\Psi (x,y,z)=0\hspace{1cm}\textup{y}\hspace{1cm}\textup{para}\hspace{0.3cm}S_{2}:\Gamma (x,y,z)=0.$$

Supongamos que las superficies se cortan en la curva $\mathfrak{C}$. En otras palabras, $\mathfrak{C}$ es el conjunto solución para el siguiente sistema de ecuaciones:

\[ \left \{\begin{matrix} \Psi (x,y,z)=0 \\ \Gamma (x,y,z)=0. \end{matrix} \right.\]

Supongamos que podemos despejar $x$ y $y$ en estas ecuaciones en términos de $z$ de la siguiente manera:

\[ \begin{equation}x=X(z),\hspace{1cm}y=Y(z)\hspace{0.3cm}\textup{para todo}\hspace{0.1cm}z\in (a,b).\end{equation} \]

Aquí, al reemplazar $x$ y $y$ por $X(z)$ y $Y(z)$ (respectivamente), el sistema $(2)$ se satisface. Por tanto tenemos $\Psi (X(z),Y(z),z)=0$ y $\Gamma (X(z),Y(z),z)=0$ para todo $z\in (a,b)$. Podemos calcular las derivadas $X^{\prime}(z)$, $Y^{\prime}(z)$, sin un conocimiento explícito de $X(z)$ y $Y(z)$.

¿Cómo hacemos esto? Consideramos las siguientes funciones auxiliares:

\begin{align*}
\psi (z)&=\Psi (X(z),Y(z),z),\\
\gamma (z)&=\Gamma (X(z),Y(z),z).
\end{align*}

Tenemos $\psi (z)=\gamma (z)=0$ y en consecuencia $\psi^{\prime}(z)=\gamma^{\prime}(z)=0$.

Derivando con la regla de la cadena tenemos:

\begin{align*}
\psi^{\prime}(z)&=\frac{\partial \Psi}{\partial x}X'(z)+\frac{\partial \Psi}{\partial y}Y'(z)+\frac{\partial \Psi}{\partial z},\\
\gamma^{\prime}(z)&=\frac{\partial \Gamma}{\partial x}X'(z)+\frac{\partial \Gamma}{\partial y}Y'(z)+\frac{\partial \Gamma}{\partial z}
\end{align*}

Dado que $\psi^{\prime} (z)=\gamma^{\prime}(z)=0$ tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas $X^{\prime}(z)$, $Y^{\prime}(z)$:

\[ \left \{\begin{matrix}\frac{\partial \Psi}{\partial x}X^{\prime}(z)+\frac{\partial \Psi}{\partial y}Y^{\prime}(z)=-\frac{\partial \Psi}{\partial z}\\ \frac{\partial \Gamma}{\partial x}X^{\prime}(z)+\frac{\partial \Gamma}{\partial y}Y^{\prime}(z)=-\frac{\partial \Gamma}{\partial z} \end{matrix} \right.\]

En los puntos en los cuales el determinante del sistema no es cero, usamos la regla de Cramer para obtener las soluciones como sigue:

\[ X^{\prime}(z)={\Large -\frac{\begin{vmatrix}\frac{\partial \Psi}{\partial z} & \frac{\partial \Psi}{\partial y}\\ \frac{\partial \Gamma}{\partial z} & \frac{\partial \Gamma }{\partial y}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial \Psi}{\partial x} & \frac{\partial \Psi}{\partial y} \\ \frac{\partial \Gamma}{\partial x} & \frac{\partial \Gamma}{\partial z} \end{vmatrix}} },\hspace{0.5cm}Y^{\prime}(z)={\Large -\frac{\begin{vmatrix}\frac{\partial \Psi}{\partial x} & \frac{\partial \Psi}{\partial z}\\ \frac{\partial \Gamma}{\partial x} & \frac{\partial \Gamma }{\partial z}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial \Psi}{\partial x} & \frac{\partial \Psi}{\partial y} \\ \frac{\partial \Gamma}{\partial x} & \frac{\partial \Gamma}{\partial z} \end{vmatrix}} }.\]

Otro ejemplo para encontrar derivadas de funciones implícitas

Veamos un último ejemplo en donde pondemos usar las ideas anteriores.

Ejemplo. Consideremos las ecuaciones $y=uv^{2}$, y $x=u+v$. Queremos ver que podemos determinar una función $h$ tal que $v=h(x,y)$ y para la cual:

\[ \frac{\partial h}{\partial x}(x,y)= \frac{h(x,y)}{3h(x,y)-2x}.\]

Además, queremos encontrar una fórmula análoga para $\frac{\partial h}{\partial y}$.

Primero, en la ecuación $x=u+v$ despejamos $u$ y sustituimos en $y=uv^{2}$, tenemos $y=(x-v)v^{2}$. De aquí $$xv^{2}-v^{3}-y=0.$$ Esto nos sugiere pensar en la función $$F(x,y,v):=xv^{2}-v^{3}-y,$$ pues nos permite representar nuestra ecuación como $F(x,y,v)=0$. Por el teorema de la función implícita (¡verifica las hipótesis!), esta ecuación define implícitamente a $v$ como función de $x$ e $y$, digamos, como $v=h(x,y)$. Aplicando las fórmulas que conocemos para las derivadas de la función implicita, tenemos lo siguiente:

\[ \frac{\partial h}{\partial x}= -\frac{\partial F /\partial x}{\partial F /\partial v}\hspace{0.5cm}\textup{y}\hspace{0.5cm}\frac{\partial h}{\partial y}=-\frac{\partial F /\partial y}{\partial F /\partial v} \]

Donde $\frac{\partial F}{\partial x}=v^{2}$, $\frac{\partial F}{\partial v}=2xv-3v^{2}$ y $\frac{\partial F}{\partial y}=-1$. Luego tenemos:

\begin{align*} \frac{\partial h}{\partial x}(x,y)&=-\frac{v^{2}}{2xv-3v^{2}}\\ &=-\frac{v}{2x-3v}\\ &=\frac{h(x,y)}{3h(x,y)-2x}.\end{align*}

Esto muestra la primera parte. Para encontra la fórmula análoga, volvemos a usar las fórmulas para derivadas de la función implícita:

\begin{align*}\frac{\partial h}{\partial y}(x,y)&=-\frac{-1}{2xv-3v^{2}}\\ &=\frac{1}{2xh(x,y)-3h^{2}(x,y)}.\end{align*}

$\triangle$

Más adelante…

Hemos cubierto el teorema de la función inversa y el teorema de la función implícita. Estos son temas teóricos profundos e importantes que tienen muchas consecuencias. Tienen también otras versiones en contextos más amplios como variedades, geometría diferencial, etc. Por el momento, dejaremos hasta aquí nuestro estudio de estos temas, pero te recomendamos de vez en cuando repasarlos, pues cada vez entenderás más de sus demostraciones y lo que significan.

Nuestra atención se enfocará ahora en otros conceptos que se pueden definir en términos de funciones de varias variables: la divergencia, el laplaciano y el rotacional. Después, hablaremos un poco de cómo la teoría que hemos desarrollado nos ayudará a encontrar puntos críticos para funciones de varias variables.

Tarea moral

  1. Las ecuaciones $x+y=uv$ y $xy=u-v$ definen $x$ y $y$ como funciones implícitas de $u$ y $v$, sean éstas $x=X(u,v)$ y $y=Y(u,v)$. Demuestra que $\partial X/\partial u=(xv-1)/(x-y)$ si $x\neq y$, y halla las fórmulas para $\partial X/\partial v$, $\partial Y/\partial v$, $\partial Y/\partial u$.
  2. Las tres ecuaciones \[ \left\{\begin{matrix} x^{2}-y\hspace{0.1cm}cos\hspace{0.1cm}(uv)+z^{2}=0, \\ x^{2}+y^{2}-\hspace{0.1cm}sen\hspace{0.1cm}(uv)+2z^{2}=2, \\ xy-\hspace{0.1cm}sen\hspace{0.1cm}u\hspace{0.1cm}cos\hspace{0.1cm}v+z=0 \end{matrix}\right.\] definen $x$, $y$, y $z$ como funciones de $u$ y $v$. Calcula las derivadas parciales $\partial x/\partial u$ y $\partial x/\partial v$ en el punto $x=y=1$, $u=\pi /2$, $v=0$, $z=0$.
  3. Las ecuaciones $x+y=uv$ y $xy=u-v$ definen $x$ y $v$ como funciones de $u$ y $y$, sean éstas $x=X(u,v)$ y $v=V(u,y)$. Demuestra que $\partial X/\partial u=(u+v)/(1+yu)$ si $1+yu\neq 0$ y halla las fórmulas de $\partial X/\partial y$, $\partial V /\partial u$, $\partial V /\partial y$.
  4. Sigue las ideas de los resultados de la entrada anterior para escribir una calca de ella pero ahora para $f:S\subseteq \mathbb{R}^{m} \times \mathbb{R}^{l}$, en donde la función que se busca tiene ahora dominio en $\mathbb{R}^{m}$ que pone a las variables del dominio $\mathbb{R}^l$ en términos de las de $\mathbb{R}^m$.
  5. Haz un esfuerzo extra, y medita nuevamente en el teorema de la función implícita tratando de escribir una demostración de como sería el asunto para $f$ con dominio en $\mathbb{R}^{m}\times \mathbb{R}^{l}\times \mathbb{R}^{k}$. ¿Se podrá hallar la función $h$, pero ahora con dominio en $\mathbb{R}^{l}$?

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Cálculo Diferencial e Integral III: Demostración del teorema de la función inversa

Por Alejandro Antonio Estrada Franco

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Introducción

En la entrada anterior empezamos a hablar del teorema de la función inversa. Dimos su enunciado y probamos varias herramientas que nos ayudarán ahora con su demostración.

Recordemos que lo que queremos demostrar es lo siguiente.

Teorema (de la función inversa). Sea $f:S\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ de clase $C^{1}$ en el abierto $S$. Si $Df(\bar{a})$ es invertible, entonces, existe $\delta >0$ tal que:

  1. $B_{\delta}(\bar{a})\subseteq S$ y $f$ es inyectiva en $B_{\delta}(\bar{a})$.
  2. $f^{-1}:f(B_{\delta}(\bar{a}))\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ es continua en $f(B_{\delta}(\bar{a}))$.
  3. $f(B_{\delta}(\bar{a}))\subseteq \mathbb{R}^{n}$ es un conjunto abierto.
  4. $f^{-1}$ es de clase $C^{1}$ en $f(B_{\delta}(\bar{a}))$ y además, si $\bar{x}=f(\bar{v})\in f(B_{\delta}(\bar{a}))$, entonces, $Df^{-1}(\bar{x})=Df^{-1}(f(\bar{v}))=(Df(\bar{v}))^{-1}$.

La herramienta más importante que probamos en la entrada anterior nos dice que si una función $f:S\subseteq \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ es de clase $C^1$, $\bar{a}\in S$ y $DF(\bar{a})$ es invertible, entonces existe una $\delta>0$ tal que $B_\delta(\bar{a})\subseteq S$ y $Df(\bar{b})$ es invertible para todo $\bar{b}\in B_\delta(\bar{a})$. Veremos cómo esta herramienta y otras que desarrollaremos en el transcurso de esta entrada nos permiten demostrar el teorema.

La función $f$ es inyectiva en una vecindad de $\bar{a}$

Vamos a enfocarnos en el punto $(1)$ del teorema. Veremos que existe la $\delta$ que hace que la función restringida a la bola de radio $\delta$ centrada en $\bar{a}$ es inyectiva. En esta parte de la prueba es conveniente que recuerdes que la norma infinito de un vector $(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}^n$ es $$||\bar{x}||_{\infty}:=máx\{ |x_{1}|,\dots ,|x_{n}|\}.$$

Además, cumple para todo $\bar{x}\in \mathbb{R}^{n}$ que $$||\bar{x}||\leq \sqrt{n} ||\bar{x}||_{\infty}.$$

Veamos que bajo las hipótesis del problema se puede acotar $||f(\bar{u})-f(\bar{v})||$ en términos de $||\bar{u}-\bar{v}||$ dentro de cierta bola.

Proposición. Sea $f:S\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ de clase $C^{1}$ en el conjunto abierto $S$, y $\bar{a}\in S$. Si $Df(\bar{a})$ es invertible, entonces existe $\delta >0$ y $\varepsilon>0$ tal que $B_{\delta}(\bar{a})\subseteq S$ y $||f(\bar{u})-f(\bar{v})||\geq \varepsilon||\bar{u}-\bar{v}||$ para cualesquiera $\bar{u},\bar{v}\in B_{\delta}(\bar{a})$.

Demostración. Por la diferenciabilidad de $f$ en $\bar{a}$, tenemos

\[ Df(\bar{a})(\bar{x})=\begin{pmatrix} \triangledown f_{1}(\bar{a})\cdot \bar{x} \\ \vdots \\ \triangledown f_{n}(\bar{a})\cdot \bar{x}\end{pmatrix} \]

para cada $\bar{a}\in S$ y cada $\bar{x}\in \mathbb{R}^{n}$.

Como $Df(\bar{a})$ es invertible, por los resultados de la entrada anterior existe un $m>0$ tal que

\[ ||Df(\bar{a})(\bar{x})||\geq m||\bar{x}|| \]

para todo $\bar{x}\in \mathbb{R}^{n}$.

También por resultados de la entrada anterior, para $\epsilon:=\frac{m}{2\sqrt{n}}>0$ existe $\delta >0$ tal que si $\bar{b}\in B_{\delta}(\bar{a})\subseteq S$ entonces

\[||(Df(\bar{b})-Df(\bar{a}))(\bar{x})||\leq \frac{m}{2\sqrt{n}}||\bar{x}||\]

para todo $\bar{x}\in \mathbb{R}^{n}$.

Usaremos en un momento estas desigualdades, pero por ahora fijemos nuestra atención en lo siguiente. Dados $\bar{u},\bar{v}\in B_{\delta}(\bar{a})$, tomemos el $k\in \{1,\dots ,n\}$ tal que $$||Df(\bar{a})(\bar{u}-\bar{v})||_{\infty}=|\triangledown f_{k}(\bar{a})\cdot (\bar{u}-\bar{v})|.$$

Para dicho $k$, tenemos

\begin{align*}
|\triangledown f_{k}(\bar{a})\cdot (\bar{u}- \bar{v})|&=||Df(\bar{a})(\bar{u}-\bar{v})||_{\infty}\\
&\geq \frac{1}{\sqrt{n}}||Df(\bar{a})(\bar{u}-\bar{v})||.
\end{align*}

¿Cómo podemos seguir con nuestras desigualdades? Necesitamos usar el teorema del valor medio. Bastará el que demostramos para campos escalares. Aplicándolo a $f_k$ en los puntos $\bar{u},\bar{v}$ cuyo segmento se queda en la bola convexa $B_\delta(\bar{a})$, podemos concluir que existe un vector $\bar{w}$ en el segmento $\bar{\bar{u}\bar{v}}$ que cumple

$$f_k(\bar{u})-f_k(\bar{v})=\triangledown f(\bar{w}) \cdot (\bar{u}-\bar{v}).$$

Sabemos que para cualquier vector el valor absoluto de cualquiera de sus coordenadas es en valor menor o igual que la norma del vector. Además, demostramos inicialmente unas desigualdades anteriores. Juntando esto, obtenemos la siguiente cadena de desigualdades:

\begin{align*}
||f(\bar{u})-f(\bar{v})||&\geq |f_{k}(\bar{u})-f_{k}(\bar{v})|\\
&=|\triangledown f(\bar{w}) \cdot (\bar{u}-\bar{v})|\\
&\geq |\triangledown f_k(\bar{a})\cdot (\bar{u}-\bar{v})|-|\triangledown f_k(\bar{w}) \cdot (\bar{u}-\bar{v})-\triangledown f_k(\bar{a})\cdot (\bar{u}-\bar{v})|\\
&\geq \frac{1}{\sqrt{n}}||Df(\bar{a})(\bar{u}-\bar{v})|| – ||Df(\bar{w})(\bar{u}-\bar{v})-Df(\bar{a})(\bar{u}-\bar{v})||\\
&\geq \frac{1}{\sqrt{n}}(m||\bar{u}-\bar{v}||)-\frac{m}{2\sqrt{n}}||\bar{u}-\bar{v}||\\
&=\frac{m}{2\sqrt{n}}||\bar{u}-\bar{v}||\\
&=\varepsilon||\bar{u}-\bar{v}||.
\end{align*}

La gran conclusión de esta cadena de desigualdades es que $$||f(\bar{u})-f(\bar{v})||\geq \varepsilon||\bar{u}-\bar{v}||,$$ que es lo que buscábamos.

$\square$

¡Esto es justo lo que nos pide el primer punto! Hemos encontrado una bola alrededor de $\bar{a}$ dentro de la cual si $\bar{u}\neq \bar{v}$, entonces $||f(\bar{u})-f(\bar{v})||\geq \varepsilon ||\bar{u}-\bar{v}||>0$, de modo que $f(\bar{u})\neq f(\bar{v})$. ¡La función restringida en esta bola es invertible! En términos geométricos el último teorema nos dice lo siguiente: Si $f$ es diferenciable en un abierto $S$, y $Df(\bar{a})$ es invertible, entonces hay una vecindad alrededor de $\bar{a}$ en donde $f$ «no se pega», es decir $f$ es inyectiva.

Figura 1: Si la función no es inyectiva, lo que tenemos es que proyecta el rectángulo $\mathcal{R}$ en una superficie que pega los puntos $\bar{a}$ y $\bar{b}$. Arriba una función inyectiva y abajo una que no lo es.

Ya vimos cómo encontrar una bola $B_\delta(\bar{a})$ dentro de la cual $f$ es inyectiva. Si pensamos que el contradominio es exactamente $f(B_\delta(\bar{a}))$, entonces la función también es suprayectiva. Esto hace que sea biyectiva y por tanto que tenga inversa $f^{-1}$.

La función inversa es continua

Veamos ahora que la función inversa es continua. De hecho, mostraremos algo un poco más fuerte.

Teorema. Sea $f:S\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ de clase $C^{1}$ en el abierto $S$, y $\bar{a}\in S$. Si $Df(\bar{a})$ es invertible, entonces existe $\delta >0$ tal que $B_{\delta}(\bar{a})\subseteq S$, $f$ es inyectiva en $B_{\delta}(\bar{a})$ y además $f^{-1}:f(B_{\delta}(\bar{a}))\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ es uniformemente continua en su dominio.

Demostración. La primera parte y la existencia de $f^{-1}:f(B_\delta(a))\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ se debe a la discusión de la sección anterior. De hecho, lo que mostramos es que existe $\delta >0$ y $\varepsilon>0$ tal que $||f(\bar{v})-f(\bar{u})||\geq \varepsilon||\bar{v}-\bar{u}||$ para todo $\bar{u},\bar{v}\in B_{\delta}(\bar{a})$.

Supongamos que nos dan un $\varepsilon^\ast$. Tomemos $\delta^\ast=\varepsilon^\ast \varepsilon$. Tomemos $\bar{x},\bar{y}$ en $f(B_\delta(\bar{a}))$ tales que $||\bar{y}-\bar{x}||<\delta ^{\ast}$. Como $\bar{x}$ y $\bar{y}$ están en dicha bola, podemos escribirlos como $\bar{x}=f(\bar{u})$, $\bar{y}=f(\bar{v})$ con $\bar{u},\bar{v}\in B_{\delta}(\bar{a})$. Notemos entonces que

\begin{align*}
||f^{-1}(\bar{y})-f^{-1}(\bar{x})||&=||\bar{v}-\bar{u}||\\
&\leq \frac{1}{\varepsilon}||f(\bar{v})-f(\bar{u})||\\
&= \frac{1}{\varepsilon}||\bar{y}-\bar{x}||\\
&<\frac{\varepsilon^\ast\varepsilon}{\varepsilon}\\
&=\varepsilon^\ast.
\end{align*}

Tenemos entonces que $f^{-1}$ es uniformemente continua en $f(B_\delta(\bar{a}))$.

$\square$

Esto demuestra el punto $(2)$ de nuestro teorema. La prueba de que el conjunto $f(B_\delta(\bar{a}))$ es abierto no es para nada sencilla como parecería ser. Una demostración muy instructiva, al nivel de este curso, se puede encontrar en el libro Cálculo diferencial de varias variables del Dr. Javier Páez Cárdenas editado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) en las páginas 474-476.

La función inversa es diferenciable

Resta hacer la demostración de $(4)$. En esta sección veremos que la inversa $f^{-1}$ es derivable y que la derivada es precisamente lo que propone el teorema. En la siguiente sección veremos que la inversa es $C^1$.

Tomemos un punto $\bar{x}_0=f(\bar{v}_0)\in f(B_{\delta}(\bar{a}))$. Mostraremos que, en efecto, $T=(Df(\bar{v}_0))^{-1}$ es la derivada de $f^{-1}$ en $\bar{x}_0$, lo cual haremos por definición verificando que

\[ \lim\limits_{\bar{x}\to \bar{x}_{0}}\frac{f^{-1}(\bar{x})-f^{-1}(\bar{x}_{0})-T(\bar{x}-\bar{x}_{0})}{||\bar{x}-\bar{x}_{0}||}=0.\]

Para ello, introducimos la siguiente función auxiliar $g:B_{\delta}(\bar{a})\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ dada por:

\[ g(\bar{v})=\left\{ \begin{matrix} \frac{\bar{v}-\bar{v}_{0}-T(f(\bar{v})-f(\bar{v}_{0}))}{||f(\bar{v})-f(\bar{v}_{0})||} & \bar{v}\neq \bar{v}_{0} \\ \bar{0} & \bar{v}=\bar{v}_{0}. \end{matrix} \right. \]

Esta función está bien definida, pues $f$ es inyectiva en la bola $B_{\delta}(\bar{a})$. La composición $g\circ f^{-1}$ también está bien definida en el abierto $f(B_{\delta}(\bar{a}))$ y

\[ (g\circ f^{-1})(\bar{x})=\left\{ \begin{matrix} \frac{f^{-1}(\bar{x})-f^{-1}(\bar{x}_{0})-T(\bar{x}-\bar{x}_{0})}{||\bar{x}-\bar{x}_{0}||} & \bar{x}\neq \bar{x}_{0} \\ \bar{0} & \bar{x}=\bar{x}_{0} \end{matrix} \right.\]

para todo $\bar{x}\in f(B_{\delta}(\bar{a}))$. Esto nos permite poner el límite buscado como el límite de una composición de la siguiente forma:

\[ \lim\limits_{\bar{x}\to \bar{x}_{0}}\frac{f^{-1}(\bar{x})-f^{-1}(\bar{x}_{0})-T(\bar{x}-\bar{x}_{0})}{||\bar{x}-\bar{x}_{0}||}=\lim\limits_{\bar{x}\to \bar{x}_{0}}(g\circ f^{-1})(\bar{x}) \]

Como $f^{-1}$ es continua en $\bar{x}_{0}$, basta demostrar que $g$ es continua en $\bar{v}_{0}=f^{-1}(\bar{x}_{0})$. Esto equivale a probar que

\[ \lim\limits_{\bar{v}\to \bar{v}_{0}}g(\bar{v})=\lim\limits_{\bar{v}\to \bar{v}_{0}}\frac{\bar{v}-\bar{v}_{0}-(Df(\bar{v}_{0}))^{-1}(f(\bar{v})-f(\bar{v}_{0})))}{||f(\bar{v})-f(\bar{v}_{0})||}=0.\]

Hay que demostrar este último límite. Reescribimos la expresión

$$\frac{\bar{v}-\bar{v}_{0}-(Df(\bar{v}_{0}))^{-1}(f(\bar{v})-f(\bar{v}_{0}))}{||f(\bar{v})-f(\bar{v}_{0})||}$$ como

$$\frac{(Df(\bar{v}_{0}))^{-1}[Df(\bar{v}_{0})(\bar{v}-\bar{v}_{0})-(f(\bar{v})-f(\bar{v}_{0}))]}{||f(\bar{v})-f(\bar{v}_{0})||},$$

y luego multiplicamos y dividimos por $||\bar{v}-\bar{v}_0||$ y reorganizamos para obtener

\[ -\frac{||\bar{v}-\bar{v}_{0}||}{||f(\bar{v})-f(\bar{v}_{0})||}(Df(\bar{v}_{0}))^{-1}\left( \frac{f(\bar{v})-f(\bar{v}_{0})-Df(\bar{v}_{0})(\bar{v}-\bar{v}_{0})}{||\bar{v}-\bar{v}_{0}||}\right).\]

Como $(Df(\bar{v}_{0}))^{-1}$ es continua (por ser lineal) y $f$ es diferenciable en $\bar{v}_{0}$, se tiene que

\begin{align*}
\lim\limits_{\bar{v}\to \bar{v}_{0}}(Df(\bar{v}_{0}))&^{-1}\left( \frac{f(\bar{v})-f(\bar{v}_{0})-Df(\bar{v}_{0})(\bar{v}-\bar{v}_{0})}{||\bar{v}-\bar{v}_{0}||}\right)\\
&=(Df(\bar{v}_{0}))^{-1}\left( \lim\limits_{\bar{v}\to \bar{v}_{0}}\frac{f(\bar{v})-f(\bar{v}_{0})-Df(\bar{v}_{0})(\bar{v}-\bar{v}_{0})}{||\bar{v}-\bar{v}_{0}||}\right)\\
&=(Df(\bar{v}_{0}))^{-1}(\bar{0})\\
&=\bar{0}.
\end{align*}

El factor que nos falta entender es $\frac{||\bar{v}-\bar{v}_{0}||}{||f(\bar{v})-f(\bar{v}_{0})||}$. Pero por la primera proposición de esta entrada, sabemos que existe una $\epsilon>0$ que acota este factor superiormente por $\frac{1}{\epsilon}$. De esta manera,

\[ \lim\limits_{\bar{v}\to \bar{v}_{0}}g(\bar{v})=\cancelto{acotado}{\lim\limits_{\bar{v}\to \bar{v}_{0}}\frac{-||\bar{v}-\bar{v}_{0}||}{||f(\bar{v})-f(\bar{v}_{0})||}}\cancelto{0}{(Df(\bar{v}_{0}))^{-1}\left( \frac{f(\bar{v})-f(\bar{v}_{0})-Df(\bar{v}_{0})(\bar{v}-\bar{v}_{0})}{||\bar{v}-\bar{v}_{0}||}\right)}=0.\]

Esto nos dice entonces que $g$ es continua en $\bar{v}_0$ y por lo tanto:

\begin{align*}
\lim\limits_{\bar{x}\to \bar{x}_{0}}(g\circ f^{-1})(\bar{x}) &= g\left(\lim_{\bar{x}\to \bar{x}_0} f^{-1}(\bar{x})\right)\\
&=g(f^{-1}(\bar{x}_0))\\
&=g(\bar{v}_0)\\
&=\bar{0}.
\end{align*}

Por lo tanto $f^{-1}$ es diferenciable en $\bar{x}_{0}$ mediante la derivada que propusimos, es decir,

\[ Df^{-1}(\bar{x}_{0})=Df^{-1}(f(\bar{v}_{0}))=(Df(\bar{v}_{0}))^{-1}=(Df(f^{-1}(\bar{x}_{0})))^{-1} \]

para todo $\bar{x}_0\in f(B_{\delta}(\bar{a}))$.

La función inversa es de clase $C^1$

Resta verificar que $f^{-1}$ es de clase $C^{1}$ en $f(B_{\delta}(\bar{a}))$. Lo haremos con la caracterización de la entrada anterior. Tomemos una $\mu>0$. Nos gustaría ver que si $\bar{x}$ y $\bar{x}_0$ están suficientemente cerca, entonces

$$||Df^{-1}(\bar{x})(\bar{z})-Df^{-1}(\bar{x}_{0})(\bar{z})||<\mu ||\bar{z}||$$

para toda $\bar{z} \in \mathbb{R}^n$.

Recordemos que por la entrada anterior hay una $m>0$ tal que para todo $\bar{z}$ en $\mathbb{R}^n$ se cumple

\begin{equation}
\label{eq:clasec1}
\frac{1}{m}||\bar{z}||=\frac{1}{m}|Df(\bar{v})((Df(\bar{v}))^{-1})(\bar{z})||\geq ||(Df(\bar{v}))^{-1}(\bar{z})||
\end{equation}

También notemos que, si $X,Y$ son matrices invertibles en $M_n(\mathbb{R})$, tenemos:

$$X^{-1}(Y-X)Y^{-1}=X^{-1}YY^{-1}-X^{-1}XY^{-1}=X^{-1}-Y^{-1}.$$

Tomando $X=Df(\bar{v})$ y $Y=Df(\bar{v}_0)$, aplicando la igualdad anterior en un punto $\bar{x}$ en $\mathbb{R}^n$, sacando normas y usando la desigualdad \eqref{eq:clasec1}, obtenemos:

\begin{align*}
||(X^{-1}-Y^{-1})(\bar{z})||&=||(X^{-1}(Y-X)Y^{-1})(\bar{z})||\\
&\leq \frac{1}{m} ||((Y-X)Y^{-1})(\bar{z})||\\
&=\frac{1}{m}||((Df(\bar{v}_0)-Df(\bar{v}))Df^{-1}(f(\bar{v}_0)))(\bar{z})||.
\end{align*}

Como $f$ es de clase $C^1$, por la entrada anterior podemos construir una $\delta^\ast$ tal que $B_{\delta^\ast}(\bar{v}_0)\subseteq B_\delta(\bar{a})$ y para la cual si $\bar{v}$ está en $B_{\delta^\ast}(\bar{v}_0)$, entonces:

\[ \begin{equation}||(Df(\bar{v}_{0})-Df(\bar{v}))(\bar{z})||\leq m^{2}\mu||\bar{z}||\end{equation}.\]

Para todo $\bar{x}\in \mathbb{R}^{n}$.

Finalmente, como $f^{-1}$ es continua en $f(B_{\delta}(\bar{a}))$, si $\bar{x}$ y $\bar{x}_0$ están suficientemente cerca, digamos $||\bar{x}-\bar{x}_0||<\nu$, entonces

\[ \begin{equation}||f^{-1}(\bar{x})-f^{-1}(\bar{x}_{0})||=||\bar{v}-\bar{v}_{0}||<\delta ^\ast.\end{equation}.\]

Usamos todo lo anterior para establecer la siguiente cadena de desigualdades cuando $||\bar{x}-\bar{x}_0||<\nu$:

\begin{align*}
||Df^{-1}(\bar{x})(\bar{z})-Df^{-1}(\bar{x}_{0})(\bar{z})||&=||Df^{-1}(f(\bar{v}))(\bar{z})-Df^{-1}(f(\bar{v}_{0}))(\bar{z})||\\
&\leq \frac{1}{m}||[Df(\bar{v}_{0})-Df(\bar{v})](Df^{-1}(f(\bar{v}_{0})))(\bar{z})||\\
&\leq \frac{1}{m}\left( m^{2}\mu ||Df^{-1}(f(\bar{v}_{0}))(\bar{z})||\right) \\
&=m\mu ||Df^{-1}(f(\bar{v}_{0}))(\bar{z})||\\
&\leq m\mu \left( \frac{1}{m}||\bar{z}||\right)\\
&=\mu||\bar{z}||.
\end{align*}

Esto implica que $f^{-1}$ es de clase $C^1$. Como tarea moral, revisa los detalles y di explícitamente qué resultado de la entrada anterior estamos usando.

$\square$

Ejemplo del teorema de la función inversa

Ejemplo. Consideremos $\xi :\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ dada por $\xi (r,\theta, \phi)=(r\hspace{0.15cm}sen \phi \hspace{0.15cm}cos\theta ,r\hspace{0.15cm} sen \phi \hspace{0.15cm}sen\theta ,r\hspace{0.15cm}cos \phi)$. Se tiene que $\xi$ es diferenciable en todo su dominio pues cada una de sus derivadas parciales es continua. Esta es la función de cambio de coordenadas de esféricas a rectangulares o cartesianas. La matriz jacobiana está dada como sigue.

\[ D\xi (r,\theta ,\phi )=\begin{pmatrix} sen\phi \hspace{0.1cm}cos\theta & -r\hspace{0.1cm}sen\phi \hspace{0.1cm}sen\theta & r\hspace{0.1cm}cos\phi \hspace{0.1cm}cos\theta \\ sen\phi \hspace{0.1cm}sen\theta & r\hspace{0.1cm}sen\phi \hspace{0.1cm}cos\theta & r\hspace{0.1cm}cos\phi \hspace{0.1cm}sen\theta \\ cos\phi & 0 & -r\hspace{0.1cm}sen\phi \end{pmatrix}.\]

Luego $\det(D\xi (r,\theta ,\phi ))=-r^{2}\hspace{0.1cm}sen\phi$ entonces $D\xi$ es invertible cuando $r\neq 0$ y $\phi \neq k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Su inversa es:

\[ (D\xi (r,\theta ,\phi ))^{-1}=\begin{pmatrix} sen\phi \hspace{0.1cm}cos\theta & sen\phi \hspace{0.1cm}sen\theta & cos\phi \\ -\frac{sen\theta}{r\hspace{.01cm}sen\phi} & \frac{cos\theta}{r\hspace{0.1cm}sen\phi} & 0 \\ \frac{1}{r}\hspace{0.1cm}cos\theta \hspace{0.1cm}cos\phi & \frac{1}{r}\hspace{0.1cm}cos\phi \hspace{0.1cm}sen\theta & -\frac{1}{r}\hspace{0.1cm}sen\phi \end{pmatrix}.\]

El teorema de la función inversa nos garantiza la existencia local de una función $\xi ^{-1}$. En este caso, sería la función de cambio de coordenadas rectangulares a esféricas. Si $f:S\subseteq \mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}$ es una función $C^{1}$ dada en coordenadas esféricas; podemos asumir que $f\circ \xi ^{-1}$ es la misma función pero en términos de coordenadas rectangulares.

$\triangle$

Más adelante…

¡Lo logramos! Hemos demostrado el teorema de la función inversa, uno de los resultados cruciales de nuestro curso. El siguiente tema es el teorema de la función implícita, que será otro de nuestros resultados principales. Uno podría pensar que nuevamente tendremos que hacer una demostración larga y detallada. Pero afortunadamente la demostración del teorema de la función implícita se apoya fuertemente en el teorema de la función inversa que ya demostramos. En la siguiente entrada enunciaremos y demostraremos nuestro nuevo resultado y una entrada más adelante veremos varios ejemplos para profundizar en su entendimiento.

Tarea moral

  1. En el ejemplo que dimos, verifica que el determinante en efecto es $-r^2\sin\phi$. Verifica también que la inversa es la matriz dada.
  2. Repasa cada una de las demostraciones de esta entrada y asegúrate de entender por qué se siguen cada una de las desigualdades. Explica en qué momentos estamos usando resultados de la entrada anterior.
  3. Da la función inversa de la transformación de cambio de coordenadas polares a rectangulares $g(r,\theta)=(r\hspace{0.1cm}cos\theta , r\hspace{0.1cm}sen\theta )$.
  4. Demuestra que para todo $\bar{x}\in \mathbb{R}^{n}$ se tiene $||\bar{x}||\leq \sqrt{n}||\bar{x}||_{\infty}.$
  5. Verifica que en efecto $||\cdot||_{\infty}$ es una norma.

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Cálculo Diferencial e Integral III: Polinomio característico

Por Alejandro Antonio Estrada Franco

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Introducción

En la entrada anterior estudiamos las representaciones matriciales de una transformación lineal. Vimos cómo dadas ciertas bases del espacio dominio y codominio, existe un isomorfismo entre matrices y transformaciones lineales. Así mismo, planteamos la pregunta de cómo encontrar bases para que dicha forma matricial sea sencilla. Vimos que unos conceptos cruciales para entender esta pregunta son los de eigenvalor, eigenvector y eigenespacio. Lo que haremos ahora es introducir una nueva herramienta que nos permitirá encontrar los eigenvalores de una transformación: el polinomio característico.

A partir del polinomio característico daremos un método para encontrar también a los eigenvectores y, en algunos casos especiales, encontrar una representación de una transformación lineal como matriz diagonal. Todo lo que hacemos es una versión resumida de lo que se puede encontrar en un curso más completo de álgebra lineal. Dentro del blog, te recomendamos consultar las siguientes entradas:

Polinomio característico

Pensemos en el problema de hallar los eigenvalores de una transformación lineal $T:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$. Si $\lambda \in \mathbb{R}$ es uno de estos eigenvalores, queremos poder encontrar vectores $\bar{v}\neq \bar{0}$ tales que $T(\bar{v})=\lambda \bar{v}$. Esto sucede si y sólo si $\lambda \bar{v}-T(\bar{v})=\bar{0}$, lo cual sucede si y sólo si $(\lambda \text{Id}-T)(\bar{v})=\bar{0}$, en donde $\text{Id}:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ es la transformación identidad de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^n$. Tenemos de esta manera que $\bar{v}$ es un eigenvector si y sólo si $\bar{v}\in \ker(\lambda\text{Id}-T)$.

Si existe $\bar{v}\neq \bar{0}$ tal que $\bar{v}\in \ker(\lambda \text{Id}-T)$; entonces $\ker(\lambda \text{Id}-T)\neq \{ \bar{0}\}$ por lo cual la transformación $\lambda \text{Id}-T$ no es invertible, pues no es inyectiva. Así, en ninguna base $\text{Mat}_\beta(\lambda \text{Id}-T)$ es invertible, y por tanto su determinante es $0$. Estos pasos son reversibles. Concluimos entonces que $\lambda\in \mathbb{R}$ es un eigenvalor de $T$ si y sólo si en alguna base $\beta$ se cumple que $\det(\text{Mat}_\beta(\lambda \text{Id} – T))=0.$ Esto motiva la siguiente definición.

Definición. Sea $T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ una transformación lineal. Llamamos a $\det(\text{Mat}_\beta(\lambda \text{Id} – T))$ al polinomio característico de $T$ en la base $\beta$.

Por la discusión anterior, los escalares que cumplen $\det(\text{Mat}_\beta(\lambda \text{Id} – T))=0$ son los eigenvalores $T$. Para obtener los correspondientes eigenvectores, basta con resolver $\text{Mat}_\beta(T)X=\lambda X$, lo cual es un sistema de ecuaciones en el vector de variables $X$. Las soluciones $X$ nos darán las representaciones matriciales de vectores propios $\bar{v}\in \mathbb{R}^n$ en la base $\beta$.

Por el momento parece ser que tenemos mucha notación, pues debemos considerar la base en la que estamos trabajando. Un poco más adelante veremos que en realidad la base no importa mucho para determinar el polinomio característico. Pero por ahora, veamos un ejemplo concreto de las ideas platicadas hasta ahora.

Ejemplo: Consideremos $T:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ dada por $T(x,y,z)=(2x+z,y+x,-z)$. Calculemos su representación matricial con respecto a la base canónica $\beta$. Para ello, realizamos las siguientes evaluaciones:
\begin{align*}
T(1,0,0)&=(2,1,0)\\
T(0,1,0)&=(0,1,0)\\
T(0,0,1)&=(1,0,-1),
\end{align*}

de donde: $$\text{Mat}_\beta=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Calculando el polinomio característico obtenemos: \[ det\begin{pmatrix} \lambda-2 & 0 & -1 \\ -1 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda+1 \end{pmatrix}= (\lambda-2)(\lambda-1)(\lambda+1). \]

Las raíces de $(\lambda-2)(\lambda-1)(\lambda+1)$ son $\lambda_{1}=2$, $\lambda_{2}=1$ y $\lambda_{3}=-1$. Pensemos ahora en quiénes son los eigenvectores asociados a cada eigenvalor. Tomemos como ejemplo el eigenvalor $\lambda=2$. Para que $(x,y,z)$ represente a un eigenvector en la base canónica, debe pasar que:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix},\]

lo cual sucede si y sólo si:

\[\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} – 2\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix};\]

\[\left[ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} – 2\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix};\]

\[\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1& 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\]

De aquí, podemos llegar a la siguiente forma escalonada reducida del sistema de ecuaciones:

\[\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\]

En esta forma es sencillo leer las soluciones. Tenemos que $z$ es variable pivote con $z=0$, que $y$ es variable libre, y que $x$ es variable pivote dada por $x=y$. Concluimos entonces que todos los posibles eigenvectores para el eigenvalor $2$ son de la forma $(y,y,0)$, es decir $E_2=\{(y,y,0): y \in \mathbb{R}\}$.

Queda como tarea moral que encuentres los eigenvectores correspondientes a los eigenvalores $1$ y $-1$.

$\triangle$

Matrices similares

En la sección anterior definimos el polinomio de una transformación lineal en términos de la base que elegimos para representarla. En realidad, la base elegida no es muy importante. Demostraremos un poco más abajo que dos representaciones matriciales cualesquiera de una misma transformación lineal tienen el mismo polinomio característico. Para ello, comencemos con la siguiente discusión.

Sea $T:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$ una transformación lineal y sean $\beta_1=\{ \bar{e}_{1}, \dots , \bar{e}_{n}\}$, $\beta_2=\{ \bar{u}_{1}, \dots , \bar{u}_{n}\}$ dos bases (ordenadas) de $\mathbb{R}^n$. Supongamos que:

\begin{align*}
A&=\text{Mat}_{\beta_1}(T)=[a_{ij}]\\
B&=\text{Mat}_{\beta_2}(T)=[b_{ij}].
\end{align*}

Por cómo se construyen las matrices $A$ y $B$, tenemos que:

\begin{align*}
T(\bar{e}_j)&=\sum_{i=1}^n a_{ij} \bar{e}_i\quad\text{para $j=1,\ldots,n$}\\
T(\bar{u}_k)&=\sum_{j=1}^n b_{jk} \bar{u}_j\quad\text{para $k=1,\ldots,n$}.
\end{align*}

Como $\beta_{1}$ es base, podemos poner a cada un de los $\bar{u}_k$ de $\beta_{2}$ en términos de la base $\beta_{1}$ mediante combinaciones lineales, digamos:

\begin{equation}
\bar{u}_{k}=\sum_{j=1}^{n}c_{jk}\bar{e}_{j}
\label{eq:valor-u}
\end{equation}

en donde los $c_{jk}$ son escalares para $j=1,\ldots, n$ y $k=1,\ldots,n$. La matriz $C$ de $n\times n$, con entradas $c_{jk}$ representa a una transformación lineal invertible, ya que es una transformación que lleva uno a uno los vectores de una base a otra. Afirmamos que $CB=AC$. Para ello, tomaremos una $k$ en $[n]$ y expresaremos $T(\bar{u}_k)$ de dos formas distintas.

Por un lado, usando \eqref{eq:valor-u} y por como es cada $T(\bar{e}_k)$ en la base $\beta_{1}$ tenemos que:

\begin{align*}
T(\bar{u}_k)&=\sum_{j=1}^n c_{jk} T(\bar{e}_j)\\
&=\sum_{j=1}^n c_{jk} \sum_{i=1}^n a_{ij} \bar{e}_i\\
&=\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n (c_{jk} a_{ij} \bar{e}_i)\\
&=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (c_{jk} a_{ij} \bar{e}_i)\\
&=\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n a_{ij} c_{jk}\right) \bar{e}_i.
\end{align*}

Por otro lado, usando $\eqref{eq:valor-u}$ y por como es cada $T(\bar{u}_k)$ en la base $\beta_{2}$:

\begin{align*}
T(\bar{u}_k)&=\sum_{j=1}^nb_{jk} \bar{u}_j\\
&=\sum_{j=1}^n b_{jk} \sum_{i=1}^{n}c_{ji}\bar{e}_{j} \\
&=\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n (b_{jk} c_{ij} \bar{e}_i)\\
&=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (b_{jk} c_{ij} \bar{e}_i)\\
&=\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n c_{ij} b_{jk} \right) \bar{e}_i.
\end{align*}

Comparemos ambas expresiones para $T(\bar{u}_k)$. La primera es una combinación lineal de los $\bar{e}_i$ y la segunda también. Como $T(\bar{u}_k)$ tiene una única expresión como combinación lineal de los $\bar{e}_i$, entonces los coeficientes de la combinación lineal deben coincidir. Concluimos que para cada $i$ se cumple:

$$\sum_{j=1}^n a_{ij} c_{jk}=\sum_{j=1}^n c_{ij} b_{jk}.$$

Pero esto precisamente nos dice que la entrada $(i,k)$ de la matriz $AC$ es igual a la entrada $(i,k)$ de la matriz $CB$. Con esto concluimos que $AC=CB$, como queríamos.

En resumen, obtuvimos que para dos matrices $A$ y $B$ que representan a la misma transformación lineal, existe una matriz invertible $C$ tal que: $B=C^{-1}AC$. Además $C$ es la matriz con entradas dadas por \eqref{eq:valor-u}.

Introduciremos una definición que nos permitirá condensar en un enunciado corto el resultado que hemos obtenido.

Definición. Dos matrices $A$ y $B$ se llamarán similares (o semejantes), cuando existe otra matriz $C$ invertible tal que $B=C^{-1}AC$.

Sintetizamos nuestro resultado de la siguiente manera.

Proposición. Si dos matrices representan a la misma transformación lineal, entonces estas matrices son similares.

El recíproco de la proposición también se cumple, tal y como lo afirma el siguiente resultado.

Proposición. Sean $A$ y $B$ matrices similares. Entonces $A$ y $B$ representan a una misma transformación lineal $T$, quizás bajo distintas bases.

Demostración: Supongamos que las matrices $A$ y $B$ son similares con $B=C^{-1}AC$, donde las matrices $A$, $B$, $C$ están dadas por entradas $A=[a_{ij}]$ $B=[b_{ij}]$, $C=[c_{jk}]$. Tomemos una base ordenada $\beta=\{\bar{e}_{1}, \dots ,\bar{e}_{n}\}$ de $\mathbb{R}^n$. Consideremos la transformación lineal $T\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$ dada por $$T(\bar{e}_j)=\sum_{i=1}^n a_{ij} \bar{e}_i.$$

De esta manera $T$ tiene forma matricial $A$ en la base $\beta$.

Construyamos ahora una nueva base ordenada de $\mathbb{R}^n$ dada por vectores $\bar{u}_k$ para $k=1,\ldots,n$ construidos como sigue:

$$\bar{u}_{k}=\sum_{j=1}^{n}c_{jk}\bar{e}_{j}.$$

Como $C$ es invertible, en efecto tenemos que $\beta’:=\{\bar{u}_1,\ldots,\bar{u}_n\}$ también es base de $\mathbb{R}^n$. Además, de acuerdo con las cuentas que hicimos anteriormente, tenemos que precisamente la forma matricial de $T$ en la base $\beta’$ será $B$.

Así, hemos exhibido una transformación $T$ que en una base tiene representación $A$ y en otra tiene representación $B$.

$\square$

Juntando ambos resultados en uno solo, llegamos a lo siguiente.

Teorema. Dos matrices $A$ y $B$ en $M_n(\mathbb{R})$ son similares si y sólo si representan a una misma transformación lineal $T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$, quizás bajo distintas bases.

El polinomio característico no depende de la base

Si dos matrices son similares, entonces comparten varias propiedades relevantes para el álgebra lineal. Veamos un ejemplo de esto.

Teorema. Sea $T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ una transformación lineal en un espacio sobre $\mathbb{R}$ de dimensión finita. Sean $\beta$ y $\beta’$ bases de $\mathbb{R}^n$. Entonces se obtiene lo mismo calculando el polinomio característico de $T$ en la base $\beta$, que en la base $\beta’$.

Demostración. Tomemos $A=\text{Mat}_{\beta}(T)$ y $B=\text{Mat}_{\beta’}(T)$. Como $A$ y $B$ representan a la misma transformación lineal $T$, entonces son similares y por lo tanto existe $C$ invertible con $B=C^{-1}AC$.

Para encontrar el polinomio característico de $T$ en la base $\beta$, necesitamos $\Mat_{\beta}(\lambda\text{Id}-T)$, que justo es $\lambda I -A$. Así mismo, en la base $\beta’$ tenemos $\lambda I – B$. Debemos mostrar que el determinante de estas dos matrices es el mismo. Para ello, procedemos como sigue:

\begin{align*}
\det(\lambda I -B) &= \det (\lambda C^{-1}C – C^{-1} A C)\\
&=\det(C^{-1}(\lambda I – A) C)\\
&=\det(C^{-1})\det(\lambda I – A) \det(C)\\
&=\det(C^{-1})\det(C)\det(\lambda I-A)\\
&=\det(I)\det(\lambda I-A)\\
&=\det(\lambda I-A).
\end{align*}

Aquí estamos usando que el determinante es multiplicativo. Cuando reordenamos expresiones con $\det$, lo hicimos pues los determinantes son reales, cuyo producto es conmutativo.

$\square$

Este teorema nos permite hablar del polinomio característico de una transformación lineal.

Concluimos esta entrada con un resultado que relaciona al polinomio característico de una transformación lineal, con la posibilidad de que exista una base cuya representación matricial sea diagonal.

Teorema. Sea $T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ una transformación lineal. Supongamos que el polinomio característico de $T$ tiene raíces distintas $\lambda_{1}, \dots ,\lambda_{n}$. Entonces se cumple lo siguiente:

  1. Si tomamos un eigenvector $\bar{u}_i$ para cada eigenvalor $\lambda_i$, entonces $\bar{u}_{1},\dots ,\bar{u}_{n}$ forman una base $\beta$ para $\mathbb{R}^n$.
  2. Con dicha base $\beta$, se cumple que $\text{Mat}_\beta(T)$ es una matriz diagonal con entradas $\lambda_{1},\dots ,\lambda_{n}$ en su diagonal.
  3. Si $\beta’$ es otra base de $\mathbb{R}^n$ y $A=\text{Mat}_{\beta’}(T)$, entonces $\text{Mat}_\beta(T) = C^{-1}AC$ para una matriz invertible $C$ con entradas dadas por \eqref{eq:valor-u}.

La demostración de este resultado queda como tarea moral.

Más adelante…

En la entrada planteamos entonces un método para encontrar los eigenvectores de una transformación $T$: 1) la transformamos en una matriz $A$, 2) encontramos el polinomio característico mediante $\det(\lambda I – A)$, 3) encontramos las raíces de este polinomio, 4) cada raíz es un eigenvalor y las soluciones al sistema lineal de ecuaciones $(\lambda I – A) X=0$ dan los vectores coordenada de los eigenvectores.

Como platicamos en la entrada, una condición suficiente para que una transformación de $\mathbb{R}^n$ a sí mismo sea diagonalizable es que tenga $n$ eigenvalores distintos. Otro resultado muy bonito de álgebra lineal es que si la transformación tiene alguna forma matricial simétrica, entonces también es diagonalizable. A esto se le conoce como el teorema espectral para matrices simétricas reales. En otros cursos de álgebra lineal se estudia la diagonalizabilidad con mucho detalle. Aquí en el blog puedes consultar el curso de Álgebra Lineal II.

Otra herramienta de álgebra lineal que usaremos en el estudio de la diferenciabilidad y continuidad de las funciones de $\mathbb{R}^{n}$ a $\mathbb{R}^{m}$ son las formas bilineales y las formas cuadráticas. En la siguiente entrada comenzaremos con estos temas.

Tarea moral

  1. Encuentra los eigenvectores faltantes del ejemplo de la sección de polinomio característico.
  2. Considera la transformación lineal $T(x,y,z)=(2x+z,y+x,-z)$ de $\mathbb{R}^3$ en $\mathbb{R}^3$. Nota que es la misma que la del ejemplo de la entrada. Encuentra su representación matricial con respecto a la base $\{(1,1,1),(1,2,3),(0,1,1)\}$ de $\mathbb{R}^3$. Verifica explícitamente que, en efecto, al calcular el polinomio característico con esta base se obtiene lo mismo que con la dada en el ejemplo.
  3. Demuestra que si $A$ y $B$ son dos representaciones matriciales de una misma transformación lineal $T$, entonces $\det(A)=\det(B)$.
  4. Sea $T:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}^{3}$ dada por $T(x,y,z)=(x+y+z,x,y)$. Encuentra los eigenvalores correspondientes a la transformación, y responde si es posible representarla con una matriz diagonal. En caso de que sí, encuentra explícitamente la base $\beta$ en la cual $\text{Mat}_{\beta}(T)$ es diagonal.
  5. Demuestra el último teorema de la entrada. Necesitarás usar resultados de la entrada anterior.

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