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Álgebra Lineal I: Problemas de definición y propiedades de determinantes

Por Blanca Radillo

3 respuestas

Introducción

En esta entrada haremos una serie de problemas que nos ayudarán como repaso de los temas vistos durante las últimas dos semanas. Mostraremos algunas propiedades bastante interesantes acerca de las transformaciones alternantes y antisimétricas, así como de la transformación estrella de esta semana: el determinante.

Problemas de transformaciones antisimétricas

En la entrada del miércoles 6 de mayo, hablábamos sobre la equivalencia entre transformaciones alternantes y antisimétricas, justo resaltamos que ésto no es cierto si el campo $F$ es $\mathbb{Z}_2$, y el siguiente ejemplo lo expone:

Ejemplo. Sea $f:\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \rightarrow \mathbb{Z}_2$ definido como $f(x,y)=xy$. Claramente $f$ es bilineal, pero no es alternate ya que $f(1,1)=1\neq 0$. Por otro lado, $f$ es antisimétrica, porque $f(x,y)+f(y,x)=xy+yx=2xy=0$.

$\triangle$

De manera natural surge la pregunta: ¿cómo podemos construir una transformación $d$-lineal antisimétrica o alternante? El siguiente problema muestra un camino para obtener una transformación antisimétrica dada un mapeo $d$-lineal $f$.

Problema. Sea $f:V^d \rightarrow W$ una transformación $d$-lineal. Demuestra que

$A(f):=\sum_{\sigma \in S_d} \text{sign}(\sigma) \sigma (f)$

es un mapeo $d$-lineal antisimétrico.

Solución. Es fácil ver que $A(f)$ es una transformación $d$-lineal, dado que $A(f)$ es una combinación lineal de mapeos $d$-lineales. Queremos probar que, para $\tau \in S_d$, $\tau (A(f))=\text{sign}(\tau) A(f)$. Notemos que

\begin{align*}
\tau(A(f)) &= \sum_{\sigma \in S_d} \text{sign}(\sigma) \tau(\sigma(f)) \\
&= \sum_{\sigma \in S_d} \text{sign}(\sigma) (\tau\sigma)(f).
\end{align*}

Usando el hecho que $\text{sign}(\tau)\text{sign}(\sigma)=\text{sign}(\tau\sigma)$ y que $\{ \tau \sigma : \sigma \in S_d \}=S_d$, obtenemos que

\begin{align*}
\text{sign}(\tau)\tau(A(f)) &= \sum_{\sigma \in S_d} \text{sign}(\tau\sigma) (\tau\sigma)(f) \\
&= \sum_{\eta \in S_d} \text{sign}(\eta) (\eta)(f) =A(f).
\end{align*}

Por lo tanto, $\tau(A(f))=\text{sign}(\tau)A(f)$.

$\square$

Problemas de determinantes

Ahora continuando con la discusiones del determinante, sabemos que éste es una forma $n$-lineal alternante, y además que cualquier otra forma $n$-lineal alternante varía de $\det(b_1,\ldots,b_n)$ únicamente por un factor multiplicativo. Otro resultado interesante ese teorema es el siguiente:

Problema 1. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $F$ de dimensión finita. Sea $e_1,\ldots,e_n$ una base de $V$ y sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal. Demuestra que para todo $v_1,\ldots,v_n\in V$ tenemos que

$\sum_{i=1}^n \det(v_1,\ldots,v_{i-1},T(v_i),v_{i+1},\ldots, v_n) =\text{Tr}(T)\cdot \det(v_1,\ldots,v_n),$

donde todos los determinantes están calculados en la base canónica y $\text{Tr}(T)$ es la traza de la matriz de $T$ (con respecto a la base canónica).

Solución. Definimos el mapeo $\phi:V^n\rightarrow F$ como

$\phi(v_1,\ldots,v_n)=\sum_{i=1}^n \det(v_1,\ldots,v_{i-1},T(v_i),v_{i+1},\ldots,v_n).$

Esta transformación es la suma de transformaciones $n$-lineales, por lo tanto $\phi$ es $n$-lineal. Más aún, es alternante, ya que si asumimos, por ejemplo, que $v_1=v_2$, entonces

\begin{align*}
\phi(v_1,v_1,v_3,\ldots,v_n) &=\det(T(v_1),v_1,v_3,\ldots,v_n)+ \det(v_1,T(v_1),v_3,\ldots,v_n) \\
&+ \sum_{i=3}^n \det(v_1,v_1,\ldots,v_{i-1},T(v_i),v_{i+1},\ldots,v_n) \\
&= \det(T(v_1),v_1,v_3,\ldots,v_n)+ \det(v_1,T(v_1),v_3,\ldots,v_n) \\
&= \det(T(v_1),v_1,v_3,\ldots,v_n)- \det(T(v_1),v_1,v_3,\ldots,v_n) \\
&=0,
\end{align*}

debido a que el determinante es antisimétrico.

Por el último teorema visto en la clase del viernes pasado, existe escalar $\alpha$ tal que

$\phi(v_1,\ldots,v_n)=\alpha \det(v_1,\ldots,v_n)$

para todo $v_1,\ldots,v_n$. Sea $A=[a_{ij}]$ la matriz de $T$ con respecto a la base canónica. Si tomamos $v_1=e_1,\ldots,v_n=e_n$, por el mismo teorema tenemos que

\begin{align*}
\alpha &= \phi(e_1,\ldots,e_n) \\
&=\sum_{i=1}^n \det(e_1,\ldots,e_{i-1},\sum_{j=1}^n a_{ji}e_j, e_{i+1},\ldots,e_n)\\
&=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji}\det(e_1,\ldots,e_{i-1},e_j,e_{i+1},\ldots,e_n) \\
&= \sum_{i=1}^n a_{ii} = \text{Tr}(T).
\end{align*}

Por lo tanto, obtenemos lo que queremos.

$\square$

Por último, los siguientes dos problemas nos ilustran como podemos obtener información de las matrices de manera fácil y «bonita», usando algunas propiedades de los determinantes vistas en la sesión del martes pasado.

Problema 2. Sea $n$ un número impar y sean $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ matrices tal que $A^2+B^2=0_n$. Prueba que la matriz $AB-BA$ no es invertible.

Solución. Notemos que

$(A+iB)(A-iB)=A^2+B^2+i(BA-AB)=i(BA-AB).$

Por la propiedad del determinante de un producto, tenemos que

$\det(A+iB)\det(A-iB)=i^n \det(BA-AB).$

Suponemos que $AB-BA$ es invertible, entonces $\det(BA-AB)\neq 0$. Además sabemos que

$\det(A-iB)=\det(\overline{A+iB})=\overline{\det(A+iB)},$

esto implica que $|\det(A+iB)|^2=i^n\det(BA-AB).$ Como consecuencia, $i^n$ es un número real, contradiciendo al hecho que $n$ es impar. Por lo tanto $\det(BA-AB)=0$.

$\square$

Problema 3. Para $1\leq i,j\leq n$, definimos $a_{ij}$ como el número de divisores positivos en común de $i$ y $j$ y definimos $b_{ij}$ igual a 1 si $j$ divide $i$ e igual a 0 si no.

  1. Probar que $A=B\cdot ^t B$, donde $A=[a_{ij}]$ y $B=[b_{ij}]$.
  2. ¿Qué podemos decir de la forma de $B$?
  3. Calcula $\det(A)$.

Solución. 1) Fijando $i,j$ tenemos que

$\det(B\cdot ^t B)_{ij}=\sum{k=1}^n b_{ik}b_{jk}.$

Notemos que $b_{ik}b_{jk}$ no es cero ($b_{ij},b_{jk}=1$) si y sólo si $k$ divide a $i$ y a $j$, esto implica que la cantidad de términos de la suma no ceros corresponde exactamente con la cantidad de los divisores en común que tengan $i$ y $j$. Por lo tanto $\det(B\cdot ^tB)_{ij}=a_{ij}$.

2) Si $i<j$, no es posible que $j$ divida a $i$. Entonces $b_{ij}=0$ para todo $i<j$, esto significa que $B$ es, al menos, triangular inferior. Un dato más que podemos asegurar es que $b_{ii}=1$ para toda $i$, por lo tanto, al menos, todos los términos de la diagonal de $B$ son iguales a 1.

3) Dada la propiedad multiplicativa del determinante, dado que $\det(B)=\det(^tB)$ y usando el inciso (1), tenemos que $\det(A)=\det(B\cdot ^tB)=(\det B)^2.$ Pero por el inciso (2), $\det B=1$, concluimos que $\det A=1$.

$\triangle$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Técnicas básicas de cálculo de determinantes

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

7 respuestas

Introducción

Ya definimos a los determinantes para vectores, para transformaciones y para matrices. Además, mostramos algunas propiedades básicas de determinantes y las usamos para resolver varios problemas. Como hemos discutido, los determinantes guardan información importante sobre una transformación lineal o sobre una matriz. También ayudan a implementar la técnica de diagonalización la cual introdujimos hace algunas entradas y en la cual profundizaremos después. Es por esta razón que es importante tener varias técnicas para el cálculo de determinantes.

Fuera de este curso, los determinantes sirven en muchas otras áreas de las matemáticas. Cuando se hace cálculo de varias variables ayudan a enunciar el teorema del cambio de variable. En combinatoria ayudan a calcular el número de árboles generadores de una gráfica. Más adelante en tu formación matemática es probable que te encuentres con otros ejemplos.

Calculo de determinantes de $2\times 2$

Como ya discutimos anteriormente, una matriz en $M_2(F)$, digamos $A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ tiene determinante $ad-bc$.

Problema. Calcula el determinante de la matriz $$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}^8.$$

Solución. Por la fórmula para el determinante de las matrices de $2\times 2$, se tiene que $\begin{vmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{vmatrix} = 0\cdot 1 – 1\cdot 1 = -1.$

Como el determinante es multiplicativo, $\det(A^2)=\det(A)\det(A)=(\det(A))^2$, e inductivamente se puede mostrar que para todo entero positivo $n$ se tiene que $\det(A^n)=(\det(A))^n$. De esta forma, el determinante que buscamos es $(-1)^8=1$.

$\triangle$

Observa que hubiera tomado más trabajo elevar la matriz a la octava potencia. Aunque esto usualmente no es recomendable, en este problema hay algo interesante que sucede con esta matriz. Llamémosla $A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$. Haciendo las cuentas para las primeras potencias, se tiene que
\begin{align*}
A&=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\\
A^2&=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}\\
A^3&=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 3\end{pmatrix}\\
A^4&=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 3 & 5\end{pmatrix}\\
A^5&=\begin{pmatrix} 3 & 5\\ 5 & 8\end{pmatrix}
\end{align*}

Aquí aparece la sucesión de Fibonacci, dada por $F_0=0$, $F_1=1$ y $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ para $n\geq 0$, cuyos primeros términos son $$0,1,1,2,3,5,8,13,21,\ldots.$$ De hecho se puede probar por inducción que $$A^n=\begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix}.$$

Así, por un lado el determinante de la matriz $A^n$ es $F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2$, usando la fórmula de determinante de $2\times 2$. Por otro lado, es $(-1)^n$, por el argumento del problema. Con esto hemos demostrado que para cualquier entero $n$ tenemos la siguiente identidad para los números de Fibonacci: $$F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2 = (-1)^n.$$

Cálculo de determinantes de $3\times 3$

Para calcular el determinante de una matriz en $M_3(F)$ por definición, digamos de $A=\begin{pmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{pmatrix}$, tenemos que hacer una suma de $3!=6$ términos. Si se hacen las cuentas de manera explícita, el valor que se obtiene es $$aei+bfg+cdh-ceg-afh-bdi.$$

Esto se puede recordar mediante el siguiente diagrama, en el cual se ponen la primera y la segunda columna de nuevo, a la derecha. Las diagonales hacia abajo son términos positivos y las diagonales hacia arriba son términos negativos.

Cálculo de determinantes de matrices de 3x3
Cálculo de determinantes de $3\times 3$

Veamos un ejemplo de un problema en el que se puede aprovechar esta técnica.

Problema. Determina para qué reales $a,b,c$ se tiene que los vectores $(a,b,0)$, $(a,0,b)$ y $(0,a,b)$ son una base de $\mathbb{R}^3$.

Solución. Para que estos vectores sean una base de $\mathbb{R}^3$, basta con que sean linealmente independientes, pues son $3$. Como hemos visto en entradas anteriores, para que sean linealmente independientes, es necesario y suficiente que el determinante de la matriz $\begin{pmatrix}a&b&0\\ a&0&b\\ 0&a&b\end{pmatrix}$ sea distinto de cero.

Usando la técnica de arriba, hacemos siguiente diagrama:

De aquí, vemos que el determinante es $$0+0+0-0-a^2b-ab^2=-ab(a+b).$$ Esta expresión es igual a cero si $a=0$, si $b=0$ o si $a+b=0$. En cualquier otro caso, el determinante no es cero, y por lo tanto los vectores forman una base.

$\triangle$

Ten mucho cuidado. Esta técnica no funciona para matrices de $4\times 4$ o más. Hay una forma sencilla de convencerse de ello. Por ejemplo, el determinante de una matriz de $4\times 4$ debe tener $4!=24$ sumandos. Si intentamos copiar la técnica de arriba, tendremos solamente $8$ sumandos ($4$ en una diagonal y $4$ en otra). Para cuando tenemos matrices de $4\times 4$ o más, tenemos que recurrir a otras técnicas.

Reducción gaussiana para determinantes

Cuando vimos el tema de sistemas de ecuaciones hablamos del algoritmo de reducción gaussiana, y vimos que este siempre lleva una matriz en $M_{m,n}(F)$ a su forma escalonada reducida mediante operaciones elementales. Cuando aplicamos el algoritmo a matrices en $M_n(F)$, siempre llegamos a una matriz triangular, en donde sabemos fácilmente calcular el determinante: es simplemente el producto de las entradas en la diagonal. Nota cómo lo anterior también se cumple para las matrices diagonales, pues son un caso particular de matrices triangulares.

Por esta razón, es fundamental para el cálculo de determinantes saber qué le hacen las operaciones elementales al determinante de una matriz.

Teorema. Las operaciones elementales tienen el siguiente efecto en el determinante de una matriz $A$:

  1. Si todos los elementos de un renglón o columna de $A$ se multiplican por $\lambda$, entonces el determinante se multiplica por $\lambda$.
  2. Cuando se intercambian dos renglones o columnas de $A$, el determinante se multiplica por $-1$.
  3. Si a un renglón de $A$ se le suma un múltiplo escalar de otro renglón, entonces el determinante no cambia. Sucede algo análogo para columnas.

Demostración. El punto $1$ ya lo demostramos en la entrada anterior, en donde vimos que el determinante es homogéneo.

Para los puntos $2$ y $3$, usemos que si $e_1,\ldots e_n$ es la base canónica de $F^n$, el determinante de una matriz con renglones $R_1,\ldots,R_n$ es $$\det_{(e_1,\ldots,e_n)}(R_1,\ldots,R_n).$$

Intercambiar los renglones $i$ y $j$ es hacer $\det_{(e_1,\ldots,e_n)}(R_{\sigma(1)},\ldots,R_{\sigma(n)})$ para la transposición $\sigma$ que intercambia $i$ y $j$. Como el determinante es antisimétrico y $\sigma$ tiene signo $-1$, obtenemos la conclusión.

Hagamos ahora el tercer punto. Tomemos $i\neq j$ y un escalar $\lambda$. Si al $i$-ésimo renglón de $A$ le sumamos $\lambda$ veces el $j$-ésimo renglón de $A$, esto es lo mismo que multiplicar a $A$ por la izquierda por la matriz $B$ que tiene unos en la diagonal y $\lambda$ en la entrada $(i,j)$. La matriz $B$ es triangular, de modo que su determinante es el producto de las entradas, que es $1$. De esta forma, $$\det(BA)=\det(B)\det(A)=\det(A).$$

$\square$

Así, una estrategia para calcular el determinante de una matriz es hacer reducción gaussiana hasta llegar a una matriz diagonal (incluso es suficiente que sea triangular superior) de determinante $\Delta$. Si en el camino se hicieron $r$ intercambios de renglones y se multiplicaron los renglones por escalares $\lambda_1,\ldots,\lambda_s$, entonces el determinante de $A$ será $$\frac{(-1)^r \Delta}{\lambda_1\cdot\ldots\cdot \lambda_s}.$$

Otras propiedades para calcular determinantes

Aquí recolectamos otras propiedades de determinantes que pueden ayudar a calcularlos. Ya mostramos todas ellas, salvo la número $2$. Esta la mostramos después de la lista.

  1. Si se descompone una columna de una matriz como suma de dos columnas, entonces el determinantes es la suma de los determinantes en los que ponemos cada columna en vez de la original.
  2. Si $A$ es una matriz en $M_n(\mathbb{C})$, entonces el determinante de la matriz conjugada $\overline{A}$ es el conjugado del determinante de $A$.
  3. El determinante es multiplicativo.
  4. Si $A$ es una matriz en $M_n(F)$, el determinante de $\lambda A$ es $\lambda^n$ veces el determinante de $A$.
  5. El determinante de una matriz triangular es el producto de sus entradas en la diagonal.
  6. El determinante de una matriz invertible es el inverso multiplicativo del determinante de la matriz.
  7. Una matriz tiene el mismo determinante que su transpuesta.

Proposición. Si $A$ es una matriz en $M_n(\mathbb{C})$, entonces el determinante de la matriz conjugada $\overline{A}$ es el conjugado del determinante de $A$.

Demostración. La conjugación compleja abre sumas y productos. Aplicando esto repetidas veces obtenemos la siguiente cadena de igualdades:

\begin{align*}
\overline{\det(A)}&=\overline{\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)}}\\
&=\sum_{\sigma \in S_n} \overline{\text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)}}\\
&=\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)\overline{a_{1\sigma(1)}}\cdot\ldots\cdot \overline{a_{n\sigma(n)}}\\
&=\det(\overline{A}).
\end{align*}

$\square$

Hay una última técnica que es fundamental para el cálculo de determinantes: la expansión de Laplace. En algunos textos incluso se usa para definir el determinante. Probablemente la conoces: es la que consiste en hacer el determinante «con respecto a una fila o columna» y proceder de manera recursiva. Hablaremos de ella más adelante y veremos por qué funciona.

Dos problemas de cálculo de determinantes

Problema 1. Considera la matriz $$A=\begin{pmatrix}5& 1 & 2& 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 2\\ -1 & -3 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$ Calcula los siguientes determinantes:

  • $\det A$
  • $\det(^t A)$
  • $\det(A^{-1})$
  • $\det(^t A A)$
  • $\det(-2A)$

Solución. Hagamos primero el determinante de la matriz $A$. Para ello, haremos operaciones elementales como sigue
\begin{align*}
&\begin{pmatrix}5& 1 & 2& 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 2\\ -1 & -3 & 0 & 1\end{pmatrix}\\
\to&\begin{pmatrix}5& 1 & 2& 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 2\\ 0 & -\frac{14}{5} & \frac{2}{5} & 1\end{pmatrix}\\
\to &\begin{pmatrix}5& 1 & 2& 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 2\\ 0 & 0 & -\frac{12}{5} & \frac{33}{5}\end{pmatrix}\\
\to& \begin{pmatrix}5& 1 & 2& 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 2\\ 0 & 0 & 0 & \frac{189}{25}\end{pmatrix}.
\end{align*}

En el primer paso sumamos $1/5$ veces el primer renglón al último. Luego, sumamos $14/5$ veces el segundo renglón al último. Finalmente, sumamos $12/25$ veces el tercer renglón al último. De esta forma, nunca cambiamos el determinante de la matriz. Así, del determinante de $A$ es el mismo que el de la matriz final, que por ser triangular superior es el producto de las entradas en su diagonal. De este modo, $$\det(A) = 5\cdot 1 \cdot 5 \cdot \frac{189}{5} = 189.$$

El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta, así que $\det(^t A)=\det(A)$. El determinante $\det(A^{-1})$ es el inverso multiplicativo de $\det(A)$, así que es $\frac{1}{189}$.

Como el determinante es multiplicativo, $$\det({^tA}A)=\det({^tA})\det(A)=189\cdot 189=35721.$$

Finalmente, usando que el determinante es homogéneo y que estamos en $M_4(\mathbb{R})$, tenemos que
\begin{align*}
\det(-2A)&=(-2)^4\det(A)\\
&=16\cdot 189\\
&=3024.
\end{align*}

$\triangle$

Problema 2. Sean $a,b,c$ números complejos. Calculando el determinante de la matriz $$A=\begin{pmatrix}a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{pmatrix}$$ en $M_3(\mathbb{C})$ de dos formas distintas, muestra que $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$$

Solución. Usando la técnica para determinantes de $3\cdot 3$ tenemos que por un lado,
\begin{align*}
\det(A) &= a^3 + b^3 + c^3 – abc – bca – cab\\
&=a^3+b^3+c^3-3abc.
\end{align*}

Por otro lado, el determinante no cambia si al primer renglón le sumamos los otros dos, así que el determinante de $A$ también es $$\begin{vmatrix}a+b+c&a+b+c&a+b+c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{vmatrix}.$$ Como el determinante es homogéneo, podemos factorizar $a+b+c$ de la primera entrada para obtener que $$\det(A)=(a+b+c)\begin{vmatrix}1&1&1\\ c&a&b\\ b&c&a\end{vmatrix}.$$

Aplicando de nuevo la fórmula de determinantes de $3\times 3$, tenemos que $$\begin{vmatrix}1&1&1\\ c&a&b\\ b&c&a\end{vmatrix} = a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca.$$

Concluimos entonces que $$\det(A)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$$ Igualando ambas expresiones para $\det(A)$ obtenemos la identidad deseada.

$\triangle$

Más adelante…

En esta entrada vimos varias formas para calcular el determinante de una matriz. Cuando nos enfrentemos con un problema que requiere el cálculo de un determinante, tenemos que elegir la que más nos convenga (o la que requiera menos pasos). La mejor forma de desarrollar un poco de «intuición» al momento de elegir el mejor método para calcular determinantes es haciendo ejercicios.

A continuación pondremos en práctica lo que aprendimos en esta entrada haciendo varios ejercicios de cálculo de determinantes.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Sea $\alpha$ un número real. Encuentra el determinante de la matriz $$\begin{pmatrix}\sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{pmatrix}.$$
  • Determina para qué valores de $a$ la matriz $$\begin{pmatrix} a & 0 & a & 0 & a \\0 & a & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & a & 0 \\ a & 0 & a & 0 & a \end{pmatrix}$$ es invertible.
  • Encuentra el determinante de la matriz $$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.$$
  • Sea $x$ un número complejo. Muestra que el determinante de la matriz $$\begin{pmatrix}3x^2-6x+5&2x^2-4x+2&x^2-2x\\ 2x^2-4x+2&2x^2+2x+1&x^2-x\\ x^2-2x&x^2-x&x^2\end{pmatrix}$$ es $x^6$. Sugerencia. Hay una solución simple, factorizando a la matriz como el producto de dos matrices triangulares, una superior y una inferior, una transpuesta de la otra.
  • Muestra que si $A=\begin{pmatrix}0& 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$, entonces $$A^n=\begin{pmatrix} F_{n-1} & F_n\\ F_n & F_{n+1}\end{pmatrix},$$ donde $\{F_n\}$ es la sucesión de Fibonacci. Muestra que para los números de Fibonacci se satisface que $$F_{2n}=F_n(F_{n+1}+F_{n-1}).$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Determinantes de matrices y transformaciones lineales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

6 respuestas

Introducción

En la entrada anterior dimos la definición de determinante para ciertos vectores con respecto a una base. En esta entrada continuamos con la construcción de determinantes. Primero, basados en la teoría que desarrollamos anteriormente, definiremos determinantes de transformaciones lineales. Luego, mediante la cercanía entre transformaciones lineales y matrices, definimos determinantes de matrices.

Determinantes de transformaciones lineales

Ahora definiremos el determinante para transformaciones lineales. Antes de esto, necesitamos hacer algunas observaciones iniciales y demostrar un resultado.

Si tomamos un espacio vectorial $V$ de dimensión finita $n\geq 1$ sobre un campo $F$, una transformación lineal $T:V\to V$ y una forma $n$-lineal $f:V^n\to F$, se puede mostrar que la transformación $$T_f:V^n\to F$$ dada por $$T_f(x_1,\ldots,x_n)=f(T(x_1),\ldots,T(x_n))$$ también es una forma $n$-lineal. Además, se puede mostrar que si $f$ es alternante, entonces $T_f$ también lo es. Mostrar ambas cosas es relativamente sencillo y queda como tarea moral.

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n\geq 1$ sobre el campo $F$. Para cualquier transformación lineal $T:V\to V$ existe un único escalar $\det T$ en $F$ tal que $$f(T(x_1),\ldots,T(x_n))=\det T\cdot f(x_1,\ldots, x_n)$$ para cualquier forma $n$-lineal alternante $f:V^n\to F$ y cualquier elección $x_1,\ldots,x_n$ de vectores en $V$.

Demostración. Fijemos una base $B=(b_1,\ldots,b_n)$ cualquiera de $V$. Llamemos $g$ a la forma $n$-lineal alternante $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}$. Por la discusión de arriba, la asignación $T_g:V^n\to F$ dada por $$(x_1,\ldots,x_n)\mapsto g(T(x_1),\ldots,T(x_n))$$ es una forma $n$-lineal y alternante.

Por el teorema que mostramos en la entrada de determinantes de vectores, se debe cumplir que $$T_g = T_g(b_1,\ldots,b_n) \cdot g.$$ Afirmamos que $\det T:= T_g(b_1,\ldots, b_n)$ es el escalar que estamos buscando.

En efecto, para cualquier otra forma $n$-lineal alternante $f$, tenemos por el mismo teorema que $$f=f(b_1,\ldots,b_n) \cdot g.$$ Usando la linealidad de $T$ y la igualdad anterior, se tiene que

\begin{align*}
T_f &= f(b_1,\ldots,b_n)\cdot T_g\\
&=f(b_1,\ldots,b_n) \cdot \det T \cdot g\\
&= \det T \cdot f.
\end{align*}

Con esto se prueba que $\det T$ funciona para cualquier forma lineal $f$. La unicidad sale eligiendo $(x_1,\ldots,x_n)=(b_1,\ldots,b_n)$ y $f=g$ en el enunciado del teorema, pues esto forza a que $$\det T = g(T(b_1),\ldots,T(b_n)).$$

$\square$

Ahora sí, estamos listos para definir el determinante de una transformación lineal.

Definición. El escalar $\det T$ del teorema anterior es el determinante de la transformación lineal $T$.

Para obtener el valor de $\det T$, podemos entonces simplemente fijar una base $B=(b_1,\ldots,b_n)$ y el determinante estará dado por $$\det T = \det_{(b_1,\ldots,b_n)}(T(b_1),\ldots, T(b_n)).$$ Como el teorema también prueba unicidad, sin importar que base $B$ elijamos este número siempre será el mismo.

Ejemplo 1. Vamos a encontrar el determinante de la transformación lineal $T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ dada por $$T(x,y,z)=(2z,2y,2x).$$ Para ello, usaremos la base canónica de $\mathbb{R}^3$. Tenemos que
\begin{align*}
T(1,0,0)&=(0,0,2)=2e_3\\
T(0,1,0)&=(0,2,0)=2e_2\\
T(0,0,1)&=(2,0,0)=2e_1.
\end{align*}

De acuerdo al teorema anterior, podemos encontrar al determinante de $T$ como $$\det T = \det_{(e_1,e_2,e_3)}(2e_3,2e_2,2e_1).$$

Como el determinante (para vectores) es antisimétrico, al intercambiar las entradas $1$ y $3$ su signo cambia en $-1$. Usando la $3$-linealidad en cada entrada, podemos sacar un factor $2$ de cada una. Así, tenemos:
\begin{align*}
\det T &= \det_{(e_1,e_2,e_3)}(2e_3,2e_2,2e_1)\\
&= -\det_{(e_1,e_2,e_3)}(2e_1,2e_2,2e_3)\\
&=-8\det_{(e_1,e_2,e_3)}(e_1,e_2,e_3)\\
&=-8.
\end{align*}

Concluimos entonces que el determinante de $T$ es $-8$.

$\triangle$

Ejemplo 2. Vamos ahora a encontrar el determinante de la transformación $T:\mathbb{R}_n[x]\to \mathbb{R}_n[x]$ que deriva polinomios, es decir, tal que $T(p)=p’$. Tomemos $q_0=1,q_1=x,\ldots,q_n=x^n$ la base canónica de $\mathbb{R}_n[x]$.

Notemos que, $T(1)=0$, de modo que los vectores $T(1),\ldots,T(x^n)$ son linealmente dependientes. Así, sin tener que hacer el resto de los cálculos, podemos deducir ya que $$\det_{(q_0,\ldots,q_n)}(T(q_0),\ldots,T(q_n))=0.$$ Concluimos entonces que $\det T = 0$.

$\triangle$

Determinantes de matrices

La expresión $$\det T = \det_{(b_1,\ldots,b_n)}(T(b_1),\ldots, T(b_n))$$ para una transformación lineal $T$ también nos permite poner al determinante en términos de las entradas de la matriz de $T$ con respecto a la base $B$. Recordemos que dicha matriz $A_T=[a_{ij}]$ tiene en la columna $i$ las coordenadas de $b_i$ en la base $B$. En otras palabras, para cada $i$ se cumple que $$T(b_i)=\sum_{j=1}^n a_{ji}b_i.$$

Usando esta notación, obtenemos que $$\det T = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)},$$ de manera que podemos expresar a $\det T$ en términos únicamente de su matriz en la base $B$.

Esto nos motiva a definir el determinante de una matriz en general.

Definición. Para una matriz $A$ en $M_n(F)$ de entradas $A=[a_{ij}]$, el determinante de $A$ es $$\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)}.$$ A $\det A$ también lo escribimos a veces en notación de «matriz con barras verticales» como sigue:

\begin{align*}
\det A = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\vdots & & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}.
\end{vmatrix}
\end{align*}

Ejemplo. Si queremos calcular el determinante de una matriz en $M_2(F)$, digamos $$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},$$ debemos considerar dos permutaciones: la identidad y la transposición $(1,2)$.

La identidad tiene signo $1$ y le corresponde el sumando $ad$. La transposición tiene signo $-1$ y le corresponde el sumando $bc$. Así, $$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc.$$

$\triangle$

Retomando la discusión antes de la definición, tenemos entonces que $\det T = \det A_T$, en donde a la izquierda hablamos de un determinante de transformaciones lineales y a la derecha de uno de matrices. La matriz de $T$ depende de la base elegida, pero como vimos, el determinante de $T$ no. Esta es una conclusión muy importante, y la enunciamos como teorema en términos de matrices.

Teorema. Sean $A$ y $P$ matrices en $M_n(F)$ con $P$ invertible. El determinante de $A$ y el de $P^{-1}AP$ son iguales.

Determinantes de matrices triangulares

Terminamos esta entrada con un problema que nos ayudará a repasar la definición y que más adelante servirá para calcular determinantes.

Problema. Muestra que el determinante de una matriz triangular superior o triangular inferior es igual al producto de las entradas de su diagonal.

Solución. En una matriz triangular superior tenemos que $a_{ij}=0$ si $i>j$. Vamos a estudiar la expresión $$\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)}.$$

Si una permutación $\sigma$ no es la identidad, entonces hay un entero $i$ que no deja fijo, digamos $\sigma(i)\neq i$. Tomemos a $i$ como el mayor entero que $\sigma$ no deja fijo. Notemos que $\sigma(i)$ tampoco queda fijo por $\sigma$ pues $\sigma(\sigma(i))=\sigma(i)$ implica $\sigma(i)=i$, ya que $\sigma$ es biyectiva, y estamos suponiendo $\sigma(i)\neq i$. Por la maximalidad de $i$, concluimos que $\sigma(i)<i$.Entonces el sumando correspondiente a $\sigma$ es $0$ pues tiene como factor a la entrada $a_{i\sigma(i)}=0$.

En otras palabras, la única permutación a la que le puede corresponder un sumando no cero es la identidad, cuyo signo es $1$. De esta forma,
\begin{align*}
\det(A) &= \sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)}\\
&=a_{11}\cdot \ldots \cdot a_{nn}.
\end{align*}

$\square$

Más adelante…

En esta entrada planteamos cómo se define el concepto de matriz para transformaciones lineales y cómo esta definición se extiende naturalmente a la definición del determinante de una matriz, recordando que a cada transformación lineal se le puede asociar una matriz y viceversa.

En las siguientes entradas vamos a ver qué propiedades que cumplen los determinantes y aprenderemos diferentes técnicas para calcularlos. A lo largo de la unidad, desarrollaremos bastante práctica en el cálculo y la manipulación de los determinantes, ya sea el determinante de un conjunto de vectores, de una transformación lineal o de una matriz.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Muestra que la transformación $T_f$ definida en la entrada es $n$-lineal y alternante.
  • Usando la definición de determinante para transformaciones lineales, encuentra el determinante de la transformación lineal $T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ dada por $$T(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(x_2,x_3,\ldots,x_1).$$
  • Calcula por definición el determinante de las matrices $$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1\end{pmatrix}$$ y $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \\ 1 & 4 & 16 \end{pmatrix}.$$
  • Calcula por definición el determinante de la matriz $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & 9 & 16\end{pmatrix}$$ y compáralo con el de la matriz de $3\times 3$ del inciso anterior. ¿Qué notas?
  • Completa el argumento para mostrar que el determinante de una matriz triangular inferior es el producto de las entradas en su diagonal.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Propiedades de determinantes

Por Ayax Calderón

6 respuestas

Introducción

Para esta entrada enunciaremos y demostraremos algunas de las propiedades más importantes de los determinantes tanto para transformaciones lineales como para matrices. Estas propiedades de determinantes y en general el concepto de determinante tiene numerosas aplicaciones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo de volúmenes $n-$dimensionales o el wronskiano en ecuaciones diferenciales, sólo por mencionar algunos, por eso es importante analizar a detalle el determinante de los distintos tipos de matrices y transformaciones lineales que conocemos.

Como recordatorio, veamos qué hemos hecho antes de esta entrada. Primero, transformaciones multilineales. De ellas, nos enfocamos en las que son alternantes y antisimétricas. Definimos el determinante para un conjunto de vectores con respecto a una base, y vimos que, en cierto sentido, son las únicas formas $n$-lineal alternantes en un espacio vectorial de dimensión $n$. Gracias a esto, pudimos mostrar que los determinantes para transformaciones lineales están bien definidos, y con ellos motivar la definición de determinante para matrices.

El determinante es homogéneo

La primera de las propiedades de determinantes que enunciaremos tiene que ver con «sacar escalares» del determinante.

Teorema. Sea $A$ una matriz en $M_n(F)$.

  1. Si multiplicamos un renglón o una columna de $A$ por un escalar $\lambda$, entonces su determinante se multiplica por $\lambda$.
  2. Se tiene que $\det(\lambda A)=\lambda^n A$.

Demostración. 1. Sea $A_j$ la matriz obtenida me multiplicar el $j$-ésimo renglón por $\lambda$. Siguiendo la definición de determinante vista en la entrada de ayer (determinantes de matrices) vemos que
\begin{align*}
\det A_j&=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\dots \lambda a_{j\sigma(j)}\dots a_{n\sigma(n)}\\
&=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} \text{sign}(\sigma)\lambda a_{1\sigma(1)}\dots a_{n\sigma(n)}\\
&= \lambda \det A.
\end{align*}

La demostración para la $j$-ésima columna queda como tarea moral.

2. Sea $\lamda A=[\lambda a_{ij}]$, entonces por definición tenemos

\begin{align*}
\det (\lambda A)&=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} \text{sign}(\sigma)(\lambda a_{1\sigma(1)})\dots (\lambda a_{n\sigma(n)})\\
&=\displaystyle\sum_{\sigma\in S_n} \text{sign}(\sigma)\lambda^n a_{1\sigma(1)}\dots a_{n\sigma(n)}\\
&=\lambda^n \cdot \det A
\end{align*}

De manera alternativa, podemos aplicar el primer inciso $n$ veces, una por cada renglón.

$\square$

Aquí arriba hicimos la prueba explícita a partir de la definición. Una forma alternativa de proceder es notar que el determinante de una matriz es precisamente el determinante $\det$ (de vectores) con respecto a la base canónica de $F^n$ evaluada en los renglones de $A$. Al multiplicar uno de los renglones por $\lambda$, el vector entrada de $\det$ se multiplica por $\lambda$. El resultado se sigue inmediatamente de que $\det$ es una forma $n$-lineal.

El determinante es multiplicativo

Quizás de entre las propiedades de determinantes, la más importante es que es multiplicativo. Mostraremos esto a continuación.

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita y transformaciones lineales $T_1:V\to V$, $T_2:V\to V$. Se tiene que $$\det(T_1\circ T_2) = \det T_1\cdot \det T_2.$$

Demostración. Sea $(v_1,\dots , v_n)$ una base cualquiera de $V$. Del resultado visto en la entrada anterior y la definición de determinante, se sigue que
\begin{align*}
\det (T_1 \circ T_2)&= \det _{(v_1,\dots , v_n)}(T_1(T_2(v_1)),\dots , T_1(T_2(v_n)))\\
&=\det T_1 \cdot \det_{(v_1,\dots , v_n)}(T_2(v_1), \dots , T_2(v_n))\\
&= \det T_1 \cdot \det T_2.
\end{align*}

$\square$

Observa cómo la demostración es prácticamente inmediata, y no tenemos que hacer ningún cálculo explícito en términos de coordenadas. La demostración de que el determinante es multiplicativo para las matrices también es muy limpia.

Teorema. Sean $A$ y $B$ matrices en $M_n(F)$. Se tiene que $$\det(AB)=\det A \cdot \det B.$$

Demostración. Sean $V=F^n$, $T_1:V\to V$ la transformación lineal definida por $x\mapsto Ax$ y similarmente $T_2:V\to V$ la transformación lineal definida por $x\mapsto Bx$. Sabemos que $A, B, AB$ son las matrices asociadas a $T_1, T_2, T_1\circ T_2$ con respecto a la base canónica, respectivamente.

Recordemos que para una transformación lineal $T$ en $V$, $\det T = \det A_T$, para una matriz que la represente en cualquier base. Entonces

\begin{align*}
\det(AB)&=\det A_{T_1\circ T_2}\\
&= \det T_1\circ T_2\\
&=\det T_1 \cdot \det T_2\\
&=\det A_{T_1} \cdot \det A_{T_2} \\
&= \det A \cdot \det B.
\end{align*}

$\square$

Nota que hubiera sido muy complicado demostrar que el determinante es multiplicativo a partir de su definición en términos de permutaciones.

El determinante detecta matrices invertibles

Otra de las propiedades fundamentales del determinante es que nos ayuda a detectar cuándo una matriz es invertible. Esto nos permite agregar una equivalencia más a la lista de equivalencias de matrices invertibles que ya teníamos.

Teorema. Una matriz $A$ en $M_n(F)$ es invertible si y sólo si $\det A\neq 0$.

Demostración. Supongamos que $A$ es invertible, entonces existe $B\in M_n(F)$ tal que $AB=I_n=BA$.
Así,

$1=\det I_n = \det (AB) = \det A \cdot \det B$.

Como el lado izquierdo es $1$, ambos factores del lado derecho son distintos de $0$. Por lo tanto $\det A \neq 0.$ Nota que además esta parte de la prueba nos dice que $\det A^{-1}=(\det A)^{-1}$.

Ahora supongamos que $\det A \neq 0$. Sea $(e_1, \dots , e_n)$ la base canónica de $F^n$ y $C_1,\dots , C_n$ las columnas de $A$. Como $\det_{(e_1,\ldots,e_n)}$ es una forma lineal alternante, sabemos que si $C_1,\ldots,C_n$ fueran linealmente dependientes, la evaluación daría cero. Ya que la columna $C_i$ es la imagen bajo $A$ de $e_i$, entonces

$\det A =\det _{(e_1,\dots , e_n)}(C_1, \dots , C_n) \neq 0$.

Por lo tanto los vectores $C_1, \dots , C_n$ son linealmente independientes y así $\text{rank}(A)=n$. Se sigue que $A$ es una matriz invertible.

$\square$

Determinante de transformación y matriz transpuesta

Una cosa que no es totalmente evidente a partir de la definición de determinante para matrices es que el determinante no cambia si transponemos una matriz o una transformación lineal. Esta es la última de las propiedades de determinantes que probaremos ahora.

Teorema. Sea $A$ una matriz en $M_n(F)$. Se tiene que $$\det({^tA})=\det A.$$

Demostración. Por definición

$\det({^tA})=\displaystyle\sum_{\sigma \in S_n}\text{sign}(\sigma^{-1})a_{\sigma^{-1}(1)1 \dots a_{\sigma^{-1}(n)n}}.$

Luego, para cualquier permutación $\sigma$ se tiene

$$a_{\sigma(1)1}\dots a_{\sigma(n)n}=a_{1\sigma^{-1}(1)}\dots a_{n\sigma^{-1}(n)}$$

pues $a_{i\sigma^{-1}(i)}=a_{\sigma(j)j}$, donde $j=\sigma^{-1}(i)$.
También vale la pena notar que $$\text{sign}(\sigma^{-1})=\text{sign}(\sigma)^{-1}=\text{sign}(\sigma).$$

De lo anterior se sigue que

\begin{align*}
\det({^tA})&=\displaystyle\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma^{-1})a_{1\sigma^{-1}(1)}\dots a_{n\sigma^{-1}(n)}\\
&=\displaystyle\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\dots a_{n\sigma(n)}\\
&=\det A.
\end{align*}

$\square$

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $T:V\to V$ una transformación lineal. Se tiene que $$\det(^t T) = \det T.$$

Demostración. Sea $A$ la matriz asociada a $T$, entonces $^tA$ es la matriz asociada a $^tT$. Luego $$\det (^tT)=\det (^tA)=\det A = \det T.$$

$\square$

Veamos un ejemplo de un problema en el que podemos aplicar algunas de las propiedades anteriores.

Problema. Sea $A\in M_n(F)$ una matriz antisimétrica para algún $n$ impar. Demuestra que $\det(A)=0$.

Demostración. Como $A=-A^t$, entonces $\det A = \det (- {^tA})$, pero $\det A = \det ({^tA})$.
Se sigue que
\begin{align*}
\det ({^tA}) &= \det (-{^tA})\\
&=(-1)^n \det ({^tA})\\
&=-\det ({^tA}).
\end{align*}

Concluimos $\det (^tA)=0$

$\square$

Más adelante…

En esta entrada enunciamos y demostramos varias propiedades de los determinantes. Ahora, vamos a ponerlas en práctica resolviendo algunos problemas.

En las siguientes entradas, que constituyen la parte final del curso, vamos a hablar de diferentes técnicas para calcular el determinante de una matriz y obtendremos sus eigenvalores y eigenvectores. Vamos a ver cómo esto nos conduce a uno de los teoremas más importantes del curso de Álgebra Lineal I: el teorema espectral.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Muestra que al multiplicar una columna de una matriz por $\lambda$, entonces su determinante se multiplica por $\lambda$.
  • Demuestra que si una matriz tiene dos columnas iguales, entonces su determinante es igual a cero.
  • Analiza cómo es el determinante de una matriz antisimétrica $A\in M_n(F)$ con $n$ par.
  • Formaliza la frase «el determinante detecta transformaciones invertibles» en un enunciado matemático. Demuéstralo.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Determinantes de vectores e independencia lineal

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

4 respuestas

Introducción

En este cuarto y último bloque del curso comenzamos hablando de transformaciones multilineales y de permutaciones. Luego, nos enfocamos en las transformaciones multilineales antisimétricas y alternantes. Con la teoría que hemos desarrollado hasta ahora, estamos listos para definir determinantes de vectores, de transformaciones lineales y de matrices.

En esta entrada comenzaremos con la definición de determinantes de vectores. En la siguiente entrada hablaremos acerca de determinantes de matrices y de transformaciones lineales. Después de definir determinantes, probaremos varias de las propiedades que satisfacen. Posteriormente, hablaremos de varias técnicas que nos permitirán calcular una amplia variedad de determinantes para tipos especiales de matrices.

Determinantes de vectores

Para empezar, definiremos qué es el determinante de un conjunto de vectores en un espacio de dimensión finita con respecto a una base.

Definición. Sea $B=(b_1,\ldots,b_n)$ una base de un espacio vectorial $V$ de dimensión finita $n$ y $x_1,\ldots,x_n$ vectores de $V$. Cada uno de los $x_i$ se puede escribir como $$x_i=\sum_{j=1}^n a_{ji}b_j.$$

El determinante de $x_1,\ldots,x_n$ con respecto a $(b_1,\ldots,b_n)$ es $$\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)},$$ y lo denotamos por $\det_{(b_1,\ldots,b_n)} (x_1,\ldots,x_n)$.

Observa que estamos sumando tantos términos como elementos en $S_n$. Como existen $n!$ permutaciones de un conjunto de $n$ elementos, entonces la suma de la derecha tiene $n!$ sumandos.

Ejemplo. Consideremos la base $b_1=1$, $b_2=1+x$ y $b_3=1+x+x^2$ del espacio vectorial $\mathbb{R}_2[x]$ de polinomios con coeficientes reales y grado a lo más $2$. Tomemos los polinomios $v_1=1$, $v_2=2x$ y $v_3=3x^2$. Vamos a calcular el determinante de $v_1, v_2, v_3$ con respecto a la base $(b_1,b_2,b_3)$.

Para hacer eso, lo primero que tenemos que hacer es expresar a $v_1, v_2, v_3$ en términos de la base. Hacemos esto a continuación:
\begin{align*}
v_1&= 1\cdot b_1 + 0 \cdot b_2 + 0 \cdot b_3\\
v_2&= -2\cdot b_1 + 2 \cdot b_2 + 0 \cdot b_3\\
v_3&= 0 \cdot b_1 – 3 \cdot b_2 +3 b_3.
\end{align*}

De aquí, obtenemos
\begin{align*}
a_{11}&=1, a_{21}=0, a_{31}=0,\\
a_{12}&=-2, a_{22}=2, a_{32}=0,\\
a_{13}&=0, a_{23}=-3, a_{33}=3.
\end{align*}

Si queremos calcular el determinante, tenemos que considerar las $3!=3\cdot 2 \cdot 1 = 6$ permutaciones en $S_3$. Estas permutaciones son

\begin{align*}
\sigma_1 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}\\
\sigma_2 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}\\
\sigma_3 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{pmatrix}\\
\sigma_4 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix}\\
\sigma_5 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\\
\sigma_6 &= \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{pmatrix}.
\end{align*}

Los signos de $\sigma_1,\ldots,\sigma_6$ son, como puedes verificar, $1$, $-1$, $-1$, $1$, $-1$ y $1$, respectivamente.

El sumando correspondiente a $\sigma_1$ es
\begin{align}
\text{sign}(\sigma_1) &a_{1\sigma_1(1)}a_{2\sigma_1(2)}a_{3\sigma_1(3)}\\
&= 1 \cdot a_{11}a_{22}a_{33}\\
&=1\cdot 1\cdot 2 \cdot 3 = 6.
\end{align}

El sumando correspondiente a $\sigma_2$ es
\begin{align}
\text{sign}(\sigma_2) &a_{1\sigma_2(1)}a_{2\sigma_2(2)}a_{3\sigma_2(3)}\\
&= (-1) \cdot a_{11}a_{23}a_{32}\\
&=(-1) \cdot 1\cdot (-3) \cdot 0 = 0.
\end{align}

Continuando de esta manera, se puede ver que los sumandos correspondientes a $\sigma_1,\ldots,\sigma_6$ son $$+6,-0,-0,+0,-0,+0,$$ respectivamente de modo que el determinante es $6$.

$\triangle$

La expresión de determinante puede parecer algo complicada, pero a través de ella podemos demostrar fácilmente algunos resultados. Consideremos como ejemplo el siguiente resultado.

Proposición. Sea $B=(b_1,\ldots,b_n)$ una base de un espacio vectorial $V$ de dimensión finita $n$. El determinante de $B$ con respecto a sí mismo es $1$.

Demostración. Cuando escribimos a $b_i$ en términos de la base $b$, tenemos que $$b_i=\sum_{j=1}^n a_{ji} b_j.$$ Como la expresión en una base es única, debemos tener $a_{ii}=1$ y $a_{ji}=0$ si $j\neq i$. Ahora, veamos qué le sucede al determinante $$\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)}.$$

Si $\sigma$ es una permutación tal que $\sigma(i)\neq i$ para alguna $i$, entonces en el producto del sumando correspondiente a $\sigma$ aparece $a_{i\sigma(i)}=0$, de modo que ese sumando es cero. En otras palabras, el único sumando no cero es cuando $\sigma$ es la permutación identidad.

Como el signo de la identidad es $1$ y cada $a_{ii}$ es $1$, tenemos que el determinante es
\begin{align*}
\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}&(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)} \\
&=a_{11}\cdot\ldots\cdot a_{nn}\\
&= 1\cdot\ldots\cdot 1 \\
& = 1.
\end{align*}

$\square$

El determinante es una forma $n$-lineal alternante

La razón por la cual hablamos de transformaciones $n$-lineales antisimétricas y alternantes antes de hablar de determinantes es que, en cierto sentido, los determinantes de vectores son las únicas transformaciones de este tipo. Los siguientes resultados formalizan esta intuición.

Teorema. Sea $B=(b_1,\ldots,b_n)$ una base de un espacio vectorial $V$ sobre $F$. Entonces la transformación $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}:V^n \to F$ es una forma $n$-lineal y alternante.

Demostración. La observación clave para demostrar este resultado es que $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}$ se puede reescribir en términos de la base dual $b_1^\ast, \ldots, b_n^\ast$. En efecto, recuerda que $b_i^\ast$ es la forma lineal que «lee» la coordenada de un vector $v$ escrito en la base $B$. De esta forma,

\begin{align*}
\det_{(b_1,\ldots,b_n)}&(v_1,\ldots,v_n)\\
&=\sum_{\sigma\in S_n}\left(\text{sign}(\sigma) \prod_{j=1}^n b_j^\ast(v_{\sigma(j)})\right)\\
\end{align*}

Para cada permutación $\sigma$, el sumando correspondiente es una forma $n$-lineal, pues es producto de $n$ formas lineales evaluadas en los distintos vectores. Así que $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}$ es suma de formas $n$-lineales y por lo tanto es forma $n$-lineal.

Para mostrar que el determinante es alternante, tenemos que mostrar que es igual a $0$ cuando algún par de sus entradas son iguales. Supongamos que $i\neq j$ y que $v_i=v_j$. Tomemos $\tau$ a la transposición que intercambia a $i$ y a $j$. Cuando se compone una permutación con una transposición, su signo cambia. Así, para cualquier permutación $\sigma$, tenemos que $\sigma\tau$ tiene signo diferente.

Además, para cualquier $\sigma$ tenemos que $$a_{1\sigma(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma(n)}$$ y $$a_{1\sigma\tau(1)}\cdot\ldots\cdot a_{n\sigma\tau(n)}$$ son iguales, pues $v_i=v_j$. Combinando ambas ideas, podemos emparejar a cada sumando del determinante con otro con el cual sume cero. Esto muestra que el determinante es $0$.

$\square$

Usando la teoría que desarrollamos en la entrada anterior, tenemos el siguiente corolario.

Corolario. La forma $n$-lineal $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}$ es antisimétrica.

Los determinantes de vectores son las «únicas» formas $n$-lineales alternantes

Ya vimos que el determinante es una forma $n$-lineal alternante. Veamos ahora por qué decimos que es «la única». El siguiente resultado dice que cualquier otra forma $n$-lineal alternante varía de $\det_{(b_1,\ldots,b_n)}$ únicamente por un factor multiplicativo.

Teorema. Sea $B=(b_1,\ldots,b_n)$ una base de un espacio vectorial $V$. Si $f:V^n \to F$ es cualquier forma $n$-lineal y alternante, entonces $$f=f(b_1,\ldots,b_n)\det_{(b_1,\ldots,b_n)}.$$

Demostración. Para mostrar la igualdad del teorema, que es una igualdad de transformaciones, tenemos que ver que es cierta al evaluar en cualesquiera vectores $x_1,\ldots,x_n$. Escribamos a cada $x_i$ en términos de la base $B$: $$x_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}b_j.$$

Usando la $n$-linealidad de $f$ en cada una de las entradas, tenemos que
\begin{align*}
f(x_1,\ldots,x_n)&=\sum_{i=1}^n a_{1i} f(b_i,x_2,\ldots,x_n)\\
&=\sum_{i,j=1}^n a_{1i}a_{2i} f(b_i,b_j,x_3,\ldots,x_n)\\
&=\ldots\\
&=\sum_{i_1,\ldots,i_n = 1}^n a_{1i_1}\ldots a_{ni_n} f(b_{i_1},\ldots,b_{i_n}).
\end{align*}

Aquí hay muchos términos, pero la mayoría de ellos son $0$. En efecto, si $b_{i_k}=b_{i_l}$, como $f$ es alternante tendríamos que ese sumando es $0$. Así, los únicos sumandos que pueden ser no cero son cuando la elección de subíndices es una permutación, es decir cuando existe $\sigma$ en $S_n$ tal que para $i_k=\sigma(k)$.

Por lo tanto, podemos simplificar la expresión anterior a
$$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{\sigma \in S_n}a_{1 \sigma(1)}\ldots a_{n\sigma(n)} f(b_{\sigma(1)},\ldots,b_{\sigma(n)}).$$

Como $f$ es alternante, entonces es antisimétrica. De este modo, podemos continuar la igualdad anterior como
\begin{align*}
&=\sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma) a_{1 \sigma(1)}\ldots a_{n\sigma(n)} f(b_1,\ldots,b_n)\\
&=f(b_1,\ldots,b_n) \det_{(b_1,\ldots,b_n)}(x_1,\ldots, x_n).
\end{align*}

Esto es justo lo que queríamos probar.

$\square$

Los determinantes de vectores caracterizan bases

Como consecuencia del último teorema de la sección anterior, los determinantes de vectores caracterizan totalmente a los conjuntos de vectores que son bases. A continuación enunciamos esto formalmente.

Corolario. En un espacio vectorial $V$ de dimensión $n$ son equivalentes las siguientes tres afirmaciones para vectores $x_1,\ldots,x_n$ de $V$:

  1. El determinante de $x_1,\ldots,x_n$ con respecto a toda base es distinto de $0$.
  2. El determinante de $x_1,\ldots,x_n$ con respecto a alguna base es distinto de $0$.
  3. $x_1,\ldots,x_n$ es una base de $V$.

Demostración. La afirmación (1) es más fuerte que la (2) y por lo tanto la implica.

Ahora, probemos que la afirmación (2) implica la afirmación (3). Como $x_1,\ldots,x_n$ son $n$ vectores y $n$ es la dimensión de $V$, para mostrar que forman una base basta mostrar que son linealmente independientes. Anteriormente, vimos que cualquier forma alternante manda vectores linealmente dependientes a $0$. Como la hipótesis de (2) es que existe alguna forma alternante que no se anula en $x_1,\ldots, x_n$, entonces deben ser linealmente independientes y por lo tanto formar una base.

Finalmente, probemos que (3) implica (1). Tomemos $B=(b_1,\ldots,b_n)$ otra base de $V$. Como $\det_{(x_1,\ldots,x_n)}$ es una forma $n$-lineal, podemos aplicar el teorema anterior y evaluar en $x_1,\ldots,x_n$ para concluir que
\begin{align*}
\det_{(x_1,\ldots,x_n)}&(x_1,\ldots,x_n)&\\
&=\det_{(x_1,\ldots,x_n)}(b_1,\ldots,b_n) \det_{(b_1,\ldots,b_n)}(x_1,\ldots,x_n).
\end{align*}

El término de la izquierda es igual a $1$, de modo que ambos factores a la derecha deben ser distintos de $0$.

$\square$

Ejemplo. En el ejemplo que dimos de polinomios vimos que el determinante de $1$, $2x$ y $3x^2$ con respecto a la base $1$, $1+x$ y $1+x+x^2$ es igual a $6$. De acuerdo al teorema anterior, esto implica que $1$, $2x$ y $3x^2$ es un conjunto linealmente independiente de polinomios, y de hecho una base.

Además, el teorema anterior también implica que sin importar que otra base $B$ de $\mathbb{R}_2[x]$ tomemos, el determinante de $1$, $2x$ y $3x^2$ con respecto a $B$ también será distinto de $0$.

$\triangle$

Más adelante…

A lo largo de esta entrada estudiamos la definición de determinantes para un conjunto de vectores y enunciamos sus principales propiedades. En las siguientes entradas vamos a hablar cómo se define el determinante para matrices y para transformaciones lineales. Después de las definiciones, pasaremos a estudiar cómo se calculan los determinantes y veremos cómo se aplican a diferentes problemas de álgebra lineal.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • ¿Cuántos sumandos tendrá el determinante de $5$ vectores en un espacio vectorial de dimensión $5$ con respecto a cualquier base? Da el número de manera explícita.
  • Verifica que en el primer ejemplo de determinantes de esta entrada, en efecto los sumandos correspondientes a $\sigma_1,\ldots,\sigma_6$ son los que se enuncian.
  • Encuentra el determinante de los vectores $(3,1)$ y $(2,4)$ con respecto a la base $((5,1), (2,3))$ de $\mathbb{R}^2$.
  • Muestra que los vectores $(1,4,5,2)$, $(0,3,2,1)$, $(0,0,-1,4)$ y $(0,0,0,1)$ son linealmente independientes calculando por definición su determinante con respecto a la base canónica de $\mathbb{R}^4$.
  • Usa un argumento de determinantes para mostrar que los vectores $(1,4,3)$, $(2,-2,9)$, $(7,8,27)$ de $\mathbb{R}^3$ no son linealmente independientes. Sugerencia. Calcula su determinante con respecto a la base canónica.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»