Es momento de estudiar el caso no homogéneo, es decir, ecuaciones del tipo $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=g(t)$$ donde la función $g$ no es la función constante cero. El primer método que estudiaremos es el de variación de parámetros que es, en cierta parte, análogo al método de variación de parámetros para ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden, y que puedes encontrar en el siguiente enlace.
El teorema principal de esta entrada nos dice que la solución general a una ecuación lineal no homogénea de segundo orden puede verse como la suma de la solución general a la ecuación homogénea asociada, que denotaremos por $y_{H}$, y una solución particular a la ecuación no homogénea denotada por $y_{P}$.
Dado que en entradas anteriores estudiamos ecuaciones lineales homogéneas y sabemos cómo encontrar su solución general, nos enfocaremos en encontrar únicamente la solución particular. El método de variación de parámetros nos ayudará a resolver este problema.
Vamos a comenzar!
Soluciones a ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden
En el video demostramos que la solución general a una ecuación lineal no homogénea de segundo orden puede verse como la suma de la solución general a la ecuación homogénea asociada y una solución particular a la ecuación no homogénea denotada.
Método de variación de parámetros
En el primer video desarrollamos el método de variación de parámetros para encontrar a la solución particular $y_{P}$. En el segundo video empleamos este método para resolver dos ejemplos particulares.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Encuentra una expresión para $u_{2}(t)$ similar a la encontrada para $u_{1}(t)$ en el segundo video: $$u_{1}(t)=-\int \frac{g(t)y_{2}(t)}{W[y_{1},y_{2}](t)} dt$$ con $u_{1}(t)$, $u_{2}(t)$ que satisfacen $$y_{P}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)$$ donde $y_{P}(t)$ es una solución particular a la ecuación diferencial $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=g(t)$$ y $y_{1}$, $y_{2}$ son soluciones a la ecuación homogénea asociada. (Revisa el video para mayor referencia).
Prueba que $y_{P}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)$ es solución a la ecuación diferencial $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=g(t)$$ una vez que has encontrado las expresiones para $u_{1}(t)$ y $u_{2}(t)$.
Resuelve la ecuación diferencial $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2\frac{dy}{dt}+y=3e^{-t}$$ por el método de variación de parámetros.
Resuelve el problema de condición inicial $$3\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+4\frac{dy}{dt}+y=e^{-t}\sin{t}; \,\,\,\,\,\, y(0)=1, \frac{dy}{dt}(0)=0.$$
Más adelante
Hemos presentado un primer método para resolver ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. En la siguiente entrada estudiaremos otro método de resolución, en particular para resolver ecuaciones de la forma $$a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+cy=g(t)$$ donde $a$, $b$ y $c$ son constantes, $a \neq 0$ y en la función $g(t)$ aparecen funciones exponenciales, polinómicas y funciones $\sin{\beta t}$ y $\cos{\beta t}$.
El método que estudiaremos será llamado coeficientes indeterminados.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
El teorema de Ptolomeo nos da una caracterización del cuando un cuadrilátero convexo es cíclico en términos de los productos entre sus lados y sus diagonales. Necesitaremos antes una caracterización diferente de cuadrilátero cíclico.
Cuadriláteros cíclicos
Definición. Si los vértices de un polígono están en una misma circunferencia decimos que está inscrito en ella o que es cíclico.
Teorema 1. Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si los ángulos opuestos son suplementarios.
Demostración. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en $(O, r)$, la circunferencia con centro en $O$.
Los ángulos opuestos $\angle ADC$ y $\angle CBA$ son subtendidos por los arcos $AC$ y $CA$ respectivamente y por el teorema de la medida del ángulo inscrito tenemos que $\angle ADC + \angle CBA = \dfrac{\angle AOC}{2} + \dfrac{\angle COA}{2} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$.
Figura 1
De manera análoga se ve que $\angle BAD$ y $\angle DCB$ son suplementarios.
Por lo tanto, los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios.
$\blacksquare$
Ahora supongamos que los ángulos opuestos $\angle ADC$ y $\angle CBA$ de $\square ABCD$ son suplementarios.
Consideremos el circuncírculo de $\triangle ABC$, entonces todos los puntos en el arco $\overset{\LARGE{\frown}}{CA}$ que no contiene a $B$ subtienden un ángulo $\angle ADC$ suplementario a $\angle CBA$, pero este lugar geométrico es único.
Por lo tanto $D \in \overset{\LARGE{\frown}}{CA}$ y en consecuencia $\square ABCD$ es cíclico.
$\blacksquare$
Teorema de Ptolomeo
Teorema 2, desigualdad de Ptolomeo. En todo cuadrilátero convexo la suma de los productos entre lados opuestos es mayor o igual al producto de las diagonales, y la igualdad se da si y solo si es el cuadrilátero es cíclico.
Demostración. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero convexo, construyamos sobre el segmento $AB$ (figura 2), un triángulo $\triangle ABE$ semejante a $\triangle ADC$ tal que $\angle ABE = \angle ADC$ y $\angle BAE = \angle CAD$ entonces
Dado que $\angle CAE = \angle BAD$ y por $(1)$, por criterio lado, ángulo, lado, los triángulos $\triangle EAC$ y $\triangle BAD$ son semejantes, entonces de la primera y segunda relaciones de semejanza tenemos que $\dfrac{EB}{CD} = \dfrac{AB}{AD}$ y $\dfrac{EC}{BD} = \dfrac{AC}{AD}$ $\Leftrightarrow$ $EB = \dfrac{AB \times CD}{AD}$ y $EC = \dfrac{AC \times BD}{AD}$.
Ahora notemos que tenemos dos casos:
Caso 1. (izquierda figura 2) $B \in EC$ $\Leftrightarrow$ $\angle CBA + \angle ADC = \angle CBA + \angle ABE = \pi$ $\Leftrightarrow$ $\square ABCD$ es cíclico, y en tal caso $EC = EB + BC$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{AC \times BD}{AD} = \dfrac{AB \times CD}{AD} + BC$ $\Leftrightarrow$ $AC \times BD = AB \times CD + AD \times BC$.
Caso 2. (derecha figura 2) $E$, $B$ y $C$ son tres puntos no colineales $\Leftrightarrow$ $\angle CBA + \angle ADC = \angle CBA + \angle ABE \ne \pi$ $\Leftrightarrow$ $\square ABCD$ no es cíclico, entonces aplicando la desigualdad del triángulo a $\triangle EBC$ tenemos que $EC < EB + BC$ $\Leftrightarrow$ $AC \times BD < AB \times CD + AD \times BC$.
De lo anterior se sigue que $AB \times CD + AD \times BC \geq AC \times BD$, con la igualdad si y solo si $\square ABCD$ es cíclico.
$\blacksquare$
Construcción del cuadrilátero cíclico
Problema 1. Construir un cuadrilátero convexo y cíclico dados sus cuatro lados $a$, $b$, $c$ y $d$.
Solución. Notemos primero que es necesario que la suma de cualesquiera tres de los lados dados sea mayor que el lado restante.
Si un lado es mayor que la suma de los otros tres no es posible construir ningún cuadrilátero y si es igual entonces solo es posible construir un cuadrilátero degenerado donde todos los vértices están alineados.
Supongamos que $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$ y $DA = d$, la prueba del teorema de Ptolomeo nos sugiere una manera de resolver este problema.
Trazamos el segmento $BC$ y lo extendemos del lado de $B$ hasta un punto $E$ tal que $EB = \dfrac{ac}{d}$, el cual es posible construir pues podemos construir el producto de dos magnitudes y el inverso de una magnitud dadas.
Aquí usaremos que $B \in EC$ $\Leftrightarrow$ $\square ABCD$ es cíclico y que los triángulos $\triangle ABE$ y $\triangle ADC$ son semejantes, como en la prueba anterior.
La razón de semejanza está dada por $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{BE}{CD} = \dfrac{ac}{dc} = \dfrac{a}{d}$.
Esto último nos dice que la razón entre las distancias de $A$ a los puntos $E$ y $C$ es una razón fija por lo tanto $A$ esta en la circunferencia de Apolonio determinada por $E$, $C$ y la razón $\dfrac{a}{d}$.
Por otro lado, el vértice $A$ se encuentra en la circunferencia con centro en $B$ y radio $a$, por lo tanto, $A$ esta determinado por la intersección de $(B, a)$ y la circunferencia de Apolonio mencionada.
Ahora que conocemos la diagonal $AC$ podemos completar el triángulo $\triangle ACD$ trazando circunferencias $(A, d)$ y $(C, c)$, una de las intersecciones será el cuarto vértice del cuadrilátero buscado.
Figura 3
Por construcción $\triangle ABE$ y $\triangle ADC$ son semejantes por lo que $\angle CBA$ y $\angle ADC$ son suplementarios.
Por lo tanto $\square ABCD$ es cíclico.
$\blacksquare$
Distancia de los vértices de un polígono cíclico a un punto del circuncírculo
Problema 2. Sean $\triangle ABC$ isósceles con $AB = AC$ y $P$ un punto en el arco $\overset{\LARGE{\frown}}{BC}$ del circuncírculo de $\triangle ABC$, muestra que $\dfrac{PA}{PB + PC} = \dfrac{AC}{BC}$.
Figura 4
Solución. Aplicando el teorema de Ptolomeo a $\square ABPC$ tenemos que $PA \times BC = AB \times PC + AC \times PB $ $= AC \times PC + AC \times PB = AC(PC + PB)$.
Por lo tanto, $\dfrac{PA}{PB + PC} = \dfrac{AC}{BC}$.
$\blacksquare$
Problema 3. Sean $ABCDE$ un pentágono regular inscrito en una circunferencia y $P$ un punto en el arco $\overset{\LARGE{\frown}}{BC}$, muestra que $PA + PD = PB + PC + PE$.
Solución. Como el pentágono es regular, entonces sus diagonales tienen la misma longitud.
Figura 5
Aplicando el teorema de Ptolomeo a $\square ABPC$ y $\square BPCD$ obtenemos $BC \times PA = AB \times PC + AC \times PB = BC \times PC + AC \times PB$ $BC \times PD = PB \times CD + PC \times BD = PB \times BC + PC \times AC$.
Sumando estas dos últimas igualdades tenemos $\begin{equation} BC(PA + PD) = BC(PB + PC) + AC(PB + PC). \end{equation}$
Por otra parte dado que $\triangle BEC$ es isósceles podemos aplicar el resultado del problema anterior y obtenemos $\dfrac{PE}{PB + PC} = \dfrac{EC}{BC}$
Problema 4. Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo inscrito en una circunferencia. Consideremos las diagonales que dividen al hexágono en dos cuadriláteros cíclicos, $AD = d$, $CF = e$ y $BE = f$ y los lados del hexágono que no comparten vértices con dichas diagonales $BC = a$, $EF = a’$, $DE = b$, $AB = b’$, $AF = c$, $CD = c’$ respectivamente, entonces $def = aa’d + bb’e + cc’f + abc +a’b’c’$.
Figura 6
Demostración. Aplicando el teorema de Ptolomeo a $\square ABCD$ y $\square BCDE$ obtenemos $ad + b’c’ = AC \times BD$ y $ab + c’f = BD \times CE$.
Multiplicamos por $a’$ y $c$ respectivamente y después sumamos el resultado y obtenemos: $aa’d + a’b’c’ + abc + cc’f $ $= a’(AC \times BD) + c(BD \times CE) = BD(a’AC + cCE)$.
Por lo tanto, $def = aa’d + bb’e + cc’f + abc +a’b’c’$.
$\blacksquare$
Más adelante…
En la próxima entrada estudiaremos trigonometría y mostraremos algunas identidades trigonométricas aplicando el teorema de Ptolomeo.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Muestra que un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si: $i)$ un ángulo interno formado con una diagonal y un lado es igual al ángulo interno formado con la otra diagonal y el lado opuesto, $ii)$ las mediatrices de los lados del cuadrilátero son concurrentes.
Sean $l_{1}$, $l_{2}$ y $l_{3}$, $l_{4}$ dos pares de rectas tales que la bisectriz del primer par es transversal al segundo par y forma ángulos internos iguales entonces decimos que $l_{3}$ y $l_{4}$ son antiparalelas respecto a $l_{1}$ y $l_{2}$. Muestra que un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si un par de lados opuestos es antiparalelo respecto al otro par de lados opuestos.
Figura 7
Como podrás haber notado nuestra construcción del cuadrilátero cíclico no es única pues partimos de una suposición arbitraria, que $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$ y $DA = d$ para $a$, $b$, $c$ y $d$ dados. Muestra que es posible construir tres cuadriláteros cíclicos diferentes con los mismos lados y que de estos se obtienen tres diagonales diferentes.
Expresa la razón de las diagonales de un cuadrilátero cíclico en términos de sus lados.
Considera $\triangle ABC$ equilátero y $P$ un punto en el arco $\overset{\LARGE{\frown}}{BC}$ del circuncírculo de $\triangle ABC$, prueba que $PA = PB + PC$.
Sean $\square ABCD$ un cuadrado y $P \in \overset{\LARGE{\frown}}{BC}$ del circuncírculo de $\square ABCD$, muestra que $\dfrac{PA +PC}{PD + PB} = \dfrac{PD}{PA}$.
Si $ABCDEF$ es un hexágono regular y $P \in \overset{\LARGE{\frown}}{BC}$ del circuncírculo de $ABCDEF$, muestra que $PE + PF = PA + PB + PC + PD$.
Sean $\triangle ABC$ equilátero, $P \in \overset{\LARGE{\frown}}{BC}$ del circuncírculo de $\triangle ABC$ y $D$ la intersección de $BC$ con $AP$, demuestra que $\dfrac{1}{PD} = \dfrac{1}{PB} + \dfrac{1}{PC}$.
Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 127-131.
Santos, J., Tesis Geometría del Cuadrilátero. 2010, pp 15-19, 31-34.
Posamentier, A. y Salkind, C; Challenging Problems in Geometry. New York: Dover, 1996, pp 33-35.
Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 62-66.
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
Ya hemos visto que el campo de los números reales cumple con la propiedad de ser completos, esta propiedad la vimos enunciada con el Axioma del Supremo en la entrada pasada. Ahora veremos que utilizando Cortaduras de Dedekind podemos dar una equivalencia.
Una idea intuitiva
Previamente vimos que existe una relación biunívoca entre el conjunto de los números reales $\r$ y la recta: a cada punto en la recta le corresponde un único número real y viceversa.
Imaginemos que tomamos un punto $p$ en la recta:
Observemos que ahora la recta queda dividida en dos secciones. La primera conformada por todos los elementos menores (o iguales) que $p$ a la que llamaremos $A$:
Y la segunda por los elementos mayores (o iguales) que $p$ que será $B$:
De este modo vemos que tenemos las siguientes posibilidades:
Cada una cumple que $A$ y $B$ no son vacíos además de ser ajenos. En la próxima sección veremos formalmente su definición.
Definición de Cortadura
Definición: Sean $A, B \subseteq \r$. Decimos que la pareja $(A,B)$ forma una cortadura de un campo ordenado $\mathbb{U} \Leftrightarrow$
$A$ y $B$ son distintos del vacío.
Para todo $x \in A$ y $y \in B$ ocurre que $x \leq y$.
$A \cup B = \mathbb{U}$ $A \cap B = \emptyset$.
Completitud por Cortaduras de Dedekind
Principio de Completitud por Cortaduras de Dedekind: Para toda cortadura $(A,B)$ de $\r$ existe un único $p \in \r$ tal que $\forall x \in A, \forall y \in B$: $$x \leq p \leq y.$$
Este principio no lo cumplen los números racionales. A continuación veremos la razón: Consideremos al campo como $\mathbb{U} = \mathbb{Q}$. Proponemos a los conjuntos $A$ y $B$ siguientes: $$ A = \left\{ x \in \mathbb{Q} : x^{2} \leq 2 \quad \text{o} \quad x < 0 \right\}$$ $$ B = \left\{ y \in \mathbb{Q} : y^{2} > 2 \quad \text{y} \quad y > 0 \right\}$$
Primero debemos probar que son una cortadura de $\mathbb{Q}$:
$A \neq \emptyset$ ya que $-1 <0$. Por lo que $-1 \in A$. $B \neq \emptyset$ pues $2 <3^{2}$. Así $2 \in B$.
Vemos que $A,B \subseteq \mathbb{Q}$ ya que así fueron definidos.
Para $x \in A$ observamos que $x^{2} \leq 2$ o $x<0$. $\Rightarrow |x| \leq \sqrt{2}$ o $x <0$. $\therefore x \in [- \sqrt{2}, \sqrt{2}] \cup (-\infty, 0) = (- \infty, \sqrt{2}) \cap \mathbb{Q}$. Por lo que concluimos $A=(- \infty, \sqrt{2}] \cap \mathbb{Q}$ que vemos es un subconjunto de $\mathbb{Q}$.
Ahora si $y \in B$ tenemos que $y^{2} > 2$ y $y>0$. $\Rightarrow |y| > \sqrt{2}$ y $y >0$. $\therefore y \in ((-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2},\infty)) \cap (0,\infty) = (\sqrt{2}, \infty) \cap \mathbb{Q}$. Así $B = (\sqrt{2}, \infty) \cap \mathbb{Q}$ y vemos que también es un subconjunto de los racionales.
Notemos que para toda $x \in A$ y para toda $y \in B$ ocurre: $-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}\quad$ o $\quad x<0$, $\sqrt{2}<y\quad$ y $\quad y>0$. $\Rightarrow x \leq \sqrt{2}\quad$ o $\quad x<0<y$. $\therefore x\leq y$.
Así probamos que $A$ y $B$ son una cortadura de $\mathbb{Q}$.
Veamos que el único número $p$ que cumple la desigualdad $x \leq p \leq y$ para cualesquiera $x \in A$ y $y \in B$ es $p = \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. $\therefore \mathbb{Q}$ no es completo.
$\square$
Notemos que anteriormente afirmamos que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$, a continuación, veremos su prueba: Afirmación: $\sqrt{2}$ es irracional. Demostración: Procederemos por contradicción. Supongamos que $\sqrt{2}$ es racional, es por ello que podemos expresar dicha raíz como una fracción irreducible: $$\sqrt{2}=\frac{a}{b}.$$
De este modo, $a$ y $b\in \mathbb{Z}$ no tienen ningún factor en común distinto de $1$.
Ahora bien, elevando al cuadrado la igualdad anterior: \begin{align*} 2=\frac{a^{2}}{b^{2}} &\Rightarrow 2b^{2}= a^{2}\\ &\Rightarrow a^{2} \text{ es par}\\ &\Rightarrow a \quad\text{es par} \tag{por Lema auxiliar}\\ &\therefore a=2q. \end{align*}
Sustituyendo $a=2q$ nos queda: \begin{align*} 2b^{2}= a^{2}&\Rightarrow 2b^{2}= (2q)^{2}\\ &\Rightarrow 2b^{2}= 4q^{2}\\ &\Rightarrow b^{2}= 2q^{2}\\ &\Rightarrow b^{2} \text{ es par}\\ &\Rightarrow b \quad\text{es par}. \tag{por Lema auxiliar}\\ \end{align*} Concluimos que $2$ es un factor común de $a$ y $b \contradiccion$ lo cual es una contradicción.
$\square$
Lema auxiliar: Si consideramos $p \in \mathbb{Z}$ tenemos que:
$ p^{2}$ es par $\Leftrightarrow p$ es par.
$ p^{2}$ es impar $\Leftrightarrow p$ es impar.
Equivalencia
Ahora veremos que el Axioma del Supremo y el Principio de Completitud por Cortaduras de Dedekind son equivalentes:
Teorema: Axioma del Supremo $\Leftrightarrow$ Principio de Completitud por Cortaduras de Dedekind Demostración: $\Rightarrow ):$ Tomemos $(A,B)$ una cortadura de Dedekind de $\r$ cualquiera, así por definición sabemos que se cumple: $$x \leq y,$$ para cualquier $x \in A$ y cualquier $y \in B$.
Observemos que $A$ es un conjunto acotado superiormente, entonces aplicando el Axioma del Supremo se sigue que: $\exists \alpha \in \r$ tal que $\alpha = sup(A).$ Por lo que $\alpha$ cumple ser la menor de las cotas superiores de $A$ y $x \leq \alpha$ para toda $x \in A$. Ya que para todo $y \in B$ ocurre que $y$ es cota superior de $A$ y $\alpha$ supremo de $A$ $\Rightarrow \alpha \leq y.$ Así concluimos que $\forall x \in A$ y $\forall y \in B$: $$x \leq \alpha \leq y.$$
$\Leftarrow ):$ Consideremos a un conjunto de reales $C$ no vacío y acotado superiormente. Así tenemos que existe $M \in \r$ cota superior de $C$ por lo que si tomamos: $$B = \left\{ cotas \quad superiores \quad de \quad C \right\},$$ podemos afirmar que $B \neq \emptyset$. Definamos al conjunto $A = B^{c}$ y hagamos las siguientes observaciones:
$A\neq \emptyset$. Si suponemos lo contrario se seguiría: $A= \emptyset \Rightarrow A^{c}= (B^{c})^{c} \Rightarrow B= \r$. Por lo que $C = \emptyset \quad \contradiccion$ lo que es una contradicción. $\therefore A, B$ son no vacíos.
Para cualquier $x \in A$ y para cualquier $y \in B$ se cumple la desigualdad $x \leq y$. De lo contrario tendríamos que: $\Rightarrow \exists x_{0} \in A$ y $\exists y_{0} \in B$ donde $y_{0} < x_{0}$. Como $y_{0}$ es cota superior de $C$, para cualquier $x \in C$ se cumple que: $$x \leq y_{0} < x_{0} \Rightarrow x < x_{0}.$$ $\therefore x_{0}$ es cota superior de $C$. Por lo que $x_{0} \in B=A^{c}$ y $x_{0} \in A \quad \contradiccion.$
De todo lo anterior concluimos que los conjuntos $A$ y $B$ son una cortadura de Dedekind de $\r$.
Por el Principio de Completitud por Cortaduras de Dedekind existe un único $p \in \r$ tal que para todo $x \in A$ y para todo $y \in B$ cumple que: $$x \leq p \leq y.$$ Queremos probar que $p =sup(C)$, es decir:
$p$ es cota superior de $C$.
$p$ es la menor de todas las cotas superiores.
Comenzaremos probando el punto 1 procediendo por contradicción: Supongamos que $p$ no es una cota superior de $C$, así existe $x’ \in C$ donde $p<x’$. Aplicando la densidad de los reales se sigue que existe $y’ \in \r$ tal que: $$p<y'<x’.$$ Por hipótesis toda $x \in A$ cumple $x \leq p$ entonces $x < y’$. Por lo que concluiríamos que $y’ \in B$ por ser cota superior de $C$ y $y'<x$ con $x \in C \quad \contradiccion$. $\therefore p$ es cota superior de $C$.
Ahora debemos probar que $p$ es la menor de las cotas superiores. Si suponemos que no lo es entonces existe $M \in B$ con $M<p \quad \contradiccion$ lo que contradice que $p \leq y$ para toda $y \in B$. $\therefore p= sup(C)$.
$\square$
Más adelante
En la siguiente entrada veremos como tema adicional para esta unidad a los Conjuntos infinitos. Para ello daremos las definiciones necesarias y revisaremos teoremas útiles.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
Ahora que entendemos lo que es una variable aleatoria, Lo que buscamos con estas cantidades es asignarles probabilidades. Nos interesa entonces calcular la probabilidad del evento tal que la variable aleatoria no excede un cierto valor x. Estas probabilidades asociadas a la variable aleatoria se describen mediante una función llamada función de distribución.
Función de distribución
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.
Tarea moral
Sea $F$ una función de distribución de $X$, prueba que $P(X>x)=1-F(x)$.
Demuestra que toda función de distribución tiene a lo más una cantidad numerable de discontinuidades.
Una variable aleatoria $X$ tiene función de distribución $F$, Si $a$ y $b$ son números reales ¿Cuál es la función de distribución de $Y=aX+b$?
Demuestra que si $F$ y $G$ funciones de distribución y sea $0\le a\le1$ entonces $aF+(1-a)G$ es una función de distribución.
Más adelante…
Gran parte del estudio de las variables aleatorias se dedica a las funciones de distribución, el estudio de estas funciones y sus aplicaciones se vuelve mucho más fácil si concentramos nuestra atención a ciertas subclases de variables aleatorias; estas son las variables aleatorias discretas y las variables aleatorias continuas, que estudiaremos en los próximos videos.
En muchos experimentos estaremos interesados más que en el experimento en sí mismo, en alguna consecuencia de su resultado aleatorio. Tales consecuencias pueden valorarse en términos numéricos, es decir podemos asociar a los resultados aleatorios un número real y esto puede considerarse como una función que mapea al espacio muestral en la recta real.
Estas funciones se denominan «variables aleatorias».
Variables aleatorias
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Sea $X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ una función y sean $x\le\ y$ dos números reales. Demuestre que $(X\le\ x)\subseteq(X\le\ y)$.
Sea $\mathcal{F}$ la familia de todos los subconjuntos de $\Omega$, Demuestra cualquier función $X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ es una variable aleatoria.
Sea $\Omega=\left \{ a,b,c,d,e,f \right \}$ con $\mathcal{F}=\left \{ \emptyset,\left \{ a.c.e \right \} ,\left \{ b,d,f \right \} ,\Omega \right \}$ y sea $X(\omega)=\omega$. Determina si $X$ es una variable aleatoria y justifica por qué.
Sea $A$ un evento, es decir, $A\in\mathcal{F}$ y sea $X$ una función tal que $$\\ X(\omega)= \left \{ \begin{matrix} 1 & \mbox{si }\omega\in A \\ 0 & \mbox{si }\omega\notin A \end{matrix} \right.$$ demuestra que $X$ es una variable aleatoria..
Sean $X$ y $Y$ variables aleatorias, demuestra que:
$X+Y$ es una variable aleatoria.
$XY$ es una variable aleatoria.
Si $Y\neq0$ entonces $X/Y$ es variable aleatoria.
Más adelante…
Para especificar las probabilidades de los valores de las variables aleatorias tan diversificadas y poder especificarlas de la misma manera, introducimos a continuación en la teoría de la probabilidad el concepto de función de distribución de una variable aleatoria.
