En esta entrada retomaremos el tema de relaciones que vimos anteriormente. Esta vez definiremos una nueva relación a partir de dos relaciones: la composición. Veremos si la composición de dos relaciones tiene propiedades como la conmutatividad o la asociatividad.
Definamos la composición
Definición. Sean $R_1$ y $R_2$ relaciones de $A$ en $B$ y de $C$ en $D$ respectivamente. Definimos a la composición de $R_1$ con $R_2$ como el siguiente conjunto:
Podemos hacer diagramas de ambas relaciones en una misma figura como sigue:
Luego, la composición de $R_2\circ R_1$ resulta ser el siguiente conjunto:
$R_2\circ R_1=\set{(0, 3), (0,4)}$.
Para leerlo en el diagrama, podemos ver que hay un «camino» de $0$ a $3$ que usa las flechas de $0$ a $1$, y de $1$ a $3$. También hay un «camino» de $0$ a $4$ que usa las flechas de $0$ a $1$, y de $1$ a $4$.
Además de notarlo en el diagrama, podemos verificar mediante la definición. La pareja $(0,3)$ está pues $1\in Y$ tal que $(0,1)\in R_1$ y $(1,3)\in R_2$. Por su parte, la pareja $(0,4)$ está pues existe $1\in Y$ tal que $(0,1)\in R_1$ y $(1,4)\in R_2$.
$\square$
Algunos resultados
A continuación hablaremos de algunos resultados de la composición, la relación inversa y la relación identidad.
Proposición. Si $R$ es una relación en $A$, entonces $R\circ Id_{A}=R$.
Demostración.
Sea $R$ una relación en $A$. Veamos que $R\circ Id_{A}=R$.
$\subseteq$] Sea $(x,z)\in R\circ Id_{A}$, entonces existe $y$ tal que $(x,y)\in Id_{A}$ y $(y,z)\in R$. Luego, como $(x,y)\in Id_{A}$ se sigue que $x=y$ y así $(y,z)=(x,z)\in R$.
$\supseteq$] Sea $(a,c)\in R$. Como $a,c\in A$, se sigue que $(a,a)\in Id_{A}$. Por lo que existe $a$ tal que $(a,a)\in Id_{A}$ y $(a,c)\in R$. Por lo tanto, $(a,c)\in R\circ Id_{A}$.
Por lo tanto, $R\circ Id_{A}=R$.
$\square$
Proposición.Si $R$ es una relación de $A$ en $B$, entonces $Id_{Im\ R}\subseteq R\circ R^{-1}$.
Demostración.
Sea $y\in Im(R)$. Como $y\in Im\ R$ existe $a\in A$ tal que $(a,y)\in R$, y por definición de relación inversa tenemos que $(y,a)\in R^{-1}$.
Encontramos $a\in A$ tal que $(y,a)\in R^{-1}$ y $(a,y)\in R$, esto es $(y,y)\in R\circ R^{-1}$. Así, $Id_{Im\ R}\subseteq R\circ R^{-1}$.
$\square$
Propiedades de la composición
Hemos dicho hasta ahora que la composición es una operación entre dos conjuntos que son relaciones. Por ello, podemos preguntarnos qué pasa con la conmutatividad y la asociatividad de dicha operación.
En general, no es cierto que $R_1\circ R_2=R_2\circ R_1$, es decir, la composición no es conmutativa.
Ejemplo.
Consideremos $X=\set{1,2}$. Sean $R_1=\set{(1,1), (1,2)}$ y $R_2=\set{(1,2),(2,1)}$ relaciones en $X$.
Por un lado tenemos que
$R_1\circ R_2=\set{(2,1), (2,2)}$
y por otro lado
$R_2\circ R_1=\set{(1,2),(1,1)}$.
De modo que $R_1\circ R_2\not=R_2\circ R_1$.
$\square$
El segundo resultado que tenemos es que la asociatividad siempre se cumple.
Proposición. Si $R_1$, $R_2$ y $R_3$ son relaciones, entonces, $(R_3\circ R_2)\circ R_1=R_3\circ (R_2\circ R_1)$.
Demostración.
Sean $R_1$, $R_2$ y $R_3$ relaciones. Si $(x,z)\in (R_3\circ R_2)\circ R_1$, existe $y$ tal que $(x,y)\in R_1$ y $(y,z)\in R_3\circ R_2$. Luego, como $(y,z)\in R_3\circ R_2$, existe $w$ tal que $(y,w)\in R_2$ y $(w,z)\in R_3$. Así, dado que $(x,y)\in R_1$ y $(y,w)\in R_2$, $(x,w)\in R_2\circ R_1$, y como $(w,z)\in R_3$ entonces $(x,z)\in R_3\circ(R_2\circ R_1)$. Por tanto, $(R_3\circ R_2)\circ R_1\subseteq R_3\circ(R_2\circ R_1)$. Ahora, si $(x,z)\in R_3\circ(R_2\circ R_1)$, existe $w$ tal que $(x,w)\in R_2\circ R_1$ y $(w,z)\in R_3$. Luego, existe $y$ tal que $(x,y)\in R_1$ y $(y,w)\in R_2$ y, por tanto, $(x,y)\in R_1$ y $(y,z)\in R_3\circ R_2$, por lo que $(x,z)\in (R_3\circ R_2)\circ R_1$. En consecuencia, $R_3\circ(R_2\circ R_1)\subseteq(R_3\circ R_2)\circ R_1$.
Por lo tanto, $(R_3\circ R_2)\circ R_1=R_3\circ (R_2\circ R_1)$.
$\square$
Hemos probado que la composición de relaciones es asociativa y a su vez concluimos que en general no conmuta.
Tarea moral
Demuestra que si $R$ es una relación arbitraria, $R\circ \emptyset=\emptyset=\emptyset\circ R$.
Prueba que si $R$ es una relación en $A$, entonces $R=Id_{A}\circ R$.
Si $R$ y $S$ son relaciones, entonces $S\circ R\subseteq dom(R)\times im(S)$.
Sean $A= \set{1,2,3}$, $B=\set{1,2}$ y $C=\set{1,2,3,4}$. Sean $R_1=\set{(1,2), (3,1)}$ y $R_2=\set{(1,4), (2,1), (2,3)}$ relaciones de $A$ en $B$ y de $B$ en $C$ respectivamente. Calcula $R_2\circ R_1$.
Más adelante…
Ya hemos hablado de relaciones en general, y de cómo componerlas. A partir de ahora comenzaremos a pedirle más propiedades a nuestras relaciones para que se conviertan en algunos tipos de relaciones muy especiales: funciones, relaciones de equivalencia, órdenes, etc. Comenzaremos a hacer esto en la siguiente entrada, en donde veremos qué se le debe pedir a una relación para que sea una función. Así, todas las funciones son relaciones, sin embargo, no toda relación será función.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
Las matemáticas son el juez supremo; de sus decisiones no hay apelación. – Tobias Dantzig
Introducción
Ahora que conocemos algunas de las propiedades cualitativas más importantes a analizar de los sistemas autónomos compuestos por dos ecuaciones diferenciales, dedicaremos las siguientes entradas a estudiar exclusivamente los sistemas lineales homogéneos, logrando hacer una conexión entre la unidad 3 y la unidad 4 del curso.
Esta y las siguientes entradas serán el complemento cualitativo del método de valores y vectores propios para resolver sistemas lineales homogéneos, con la restricción de que los sistemas que estudiaremos estarán compuestos por dos ecuaciones diferenciales ya que son el tipo de sistemas en los que conjuntamente podemos hacer una descripción geométrica en $\mathbb{R}^{2}$, concretamente en el plano fase o plano $XY$.
En la primera entrada de esta unidad mostramos los casos posibles de acuerdo al valor que pueden tomar los valores propios, dichos casos pueden ser
Valores propios reales y distintos:
$\lambda_{1} < \lambda_{2} < 0$.
$\lambda_{1} > \lambda_{2} > 0$.
$\lambda_{1} < 0$ y $\lambda_{2} > 0$.
Valores propios complejos:
$\lambda_{1} = \alpha + i \beta$ y $\lambda_{2} = \alpha -i \beta$ con $\alpha < 0$.
$\lambda_{1} = \alpha + i \beta$ y $\lambda_{2} = \alpha -i \beta$ con $\alpha = 0$.
$\lambda_{1} = \alpha + i \beta$ y $\lambda_{2} = \alpha -i \beta$ con $\alpha > 0$.
$$\mathbf{Y}^{\prime} = \begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix}, \hspace{1cm} \mathbf{Y} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$
$$F_{1}(x, y) = ax + by \hspace{1cm} y \hspace{1cm} F_{2}(x, y) = cx + dy \label{4} \tag{4}$$
entonces el sistema autónomo (\ref{1}) se puede escribir, alternativamente, como
$$Y^{\prime} = F(x, y) \label{5} \tag{5}$$
Veremos que el plano fase del sistema depende casi por completo de los valores propios de la matriz $\mathbf{A}$ y habrá diferencias notables si los valores propios de $\mathbf{A}$ cambian de signo o se vuelven imaginarios.
Sean $\lambda_{1}$ y $\lambda_{2}$ los dos valores propios reales de $\mathbf{A}$, tal que $\lambda_{1} \neq \lambda_{2}$, recordemos que la solución general para este caso es de la forma
En donde $\mathbf{K}_{1}$ y $\mathbf{K}_{2}$ son los vectores propios de $\mathbf{A}$ y $c_{1}$ y $c_{2}$ son constantes arbitrarias que se determinan a partir de las condiciones iniciales del problema.
Comencemos por estudiar el caso en el que los valores propios son negativos.
Valores propios negativos
Caso 1: $\lambda_{1} < \lambda_{2} < 0$.
Sean $\mathbf{K}_{1}$ y $\mathbf{K}_{2}$ los vectores propios de $\mathbf{A}$ con valores propios $\lambda_{1}$ y $\lambda_{2}$, respectivamente. La solución general está dada por (\ref{6}), sin embargo es conveniente hacer un análisis por separado de las soluciones linealmente independientes
Comencemos por trazar en el plano $XY$, o plano fase, cuatro semirrectas, dos de ellas $l_{1}$ y $l_{2}$ siendo paralelas a $\mathbf{K}_{1}$ y $\mathbf{K}_{2}$, respectivamente, mientras que las semirrectas $l^{\prime}_{1}$ y $l^{\prime}_{2}$ paralelas a $-\mathbf{K}_{1}$ y $-\mathbf{K}_{2}$, respectivamente.
Esta solución es siempre proporcional a $\mathbf{K}_{1}$ y la constante de proporcionalidad $c_{1}e^{\lambda_{1} t}$ varía de $\pm \infty$ a cero, dependiendo de si $c_{1}$ es positiva o negativa. Por lo tanto, la trayectoria de esta solución es la semirrecta $l_{1}$ para $c_{1} > 0$, y la semirrecta $l^{\prime}_{1}$ para $c_{1} < 0$. Análogamente, la trayectoria de la solución
Notemos que toda solución $\mathbf{Y}(t)$ tiende al punto $(0, 0)$ cuando $t \rightarrow \infty$. Por lo tanto, toda trayectoria de (\ref{1}) tiende al origen cuando $t$ tiende a infinito.
Observemos que $e^{\lambda_{2} t} \mathbf{K}_{2}$ es muy pequeño comparado con $e^{\lambda_{1} t} \mathbf{K}_{1}$ cuando $t$ es grande (recordemos que $\lambda_{1} < \lambda_{2} < 0$). Por lo tanto, para $c_{1} \neq 0$, $\mathbf{Y}(t)$ se aproxima cada vez más a $c_{1} e^{\lambda_{1} t} \mathbf{K}_{1}$ conforme $t \rightarrow \infty $, esto implica que la tangente a la trayectoria de $\mathbf{Y}(t)$ tiende a $l_{1}$ si $c_{1}$ es positiva y a $l^{\prime}_{1}$, si $c_{1}$ es negativa.
Con todas estas características el plano fase de (\ref{1}), para el caso en el que los valores propios son negativos, tiene la forma que se presenta en la siguiente figura.
Plano fase para valores propios negativos.
Observamos que todas las trayectorias, con excepción de una sola recta, tienden al origen. En este caso se dice que el punto de equilibrio $Y_{0} = (0, 0)$ de (\ref{1}) es un nodo atractor y su estabilidad es asintóticamente estable.
Una última observación es que la trayectoria de toda solución $\mathbf{Y}(t)$ de (\ref{1}) tiende al origen cuando $t$ tiende a infinito, sin embargo ese punto no pertenece a la trayectoria de ninguna solución no trivial $\mathbf{Y}(t)$.
Veamos ahora que ocurre cuando los valores propios son positivos.
Valores propios positivos
Caso 2: $0 < \lambda_{1} < \lambda_{2}$.
Para este caso se hace análogamente el mismo análisis que en el caso anterior, de modo que el plano fase es exactamente el mismo, excepto que el sentido de las trayectorias es el opuesto. El plano fase se muestra a continuación.
Plano fase para valores propios positivos.
Como las soluciones se alejan del punto de equilibrio $Y_{0} = (0, 0)$ de (\ref{1}), se dice que dicho punto es un nodo repulsor e inestable.
Antes de realizar algunos ejemplos concluyamos con el caso en el que un valor propio es negativo, mientras que el otro es positivo.
Valores propios con signos opuestos
Caso 3: $\lambda_{1} < 0 < \lambda_{2}$.
Sean nuevamente $\mathbf{K}_{1}$ y $\mathbf{K}_{2}$ los vectores propios de $\mathbf{A}$ con valores propios $\lambda_{1}$ y $\lambda_{2}$, respectivamente.
De forma similar que en los casos anteriores, comencemos por trazar en el plano $XY$ cuatro semirrectas, dos de ellas $l_{1}$ y $l_{2}$ siendo paralelas a $\mathbf{K}_{1}$ y $\mathbf{K}_{2}$, respectivamente, mientras que las semirrectas $l^{\prime}_{1}$ y $l^{\prime}_{2}$ paralelas a $-\mathbf{K}_{1}$ y $-\mathbf{K}_{2}$, respectivamente.
Consideremos nuevamente las soluciones linealmente independientes por separado.
es $l_{2}$ para $c_{2} > 0$ y $l^{\prime}_{2}$ para $c_{2} < 0$.
Notemos que la solución $c_{1} e^{\lambda_{1} t} \mathbf{K}_{1}$ tiende al origen $(0, 0)$ cuando $t \rightarrow \infty$, mientras que la solución $c_{2} e^{\lambda_{2} t} \mathbf{K}_{2}$ con $c_{2} \neq 0$ es no acotada conforme $t \rightarrow \infty$.
Por otro lado, observemos que $e^{\lambda_{1} t} \mathbf{K}_{1}$ es muy pequeño comparado con $e^{\lambda_{2} t} \mathbf{K}_{2}$ cuando $t$ crece mucho. Por lo tanto, toda solución $\mathbf{Y}(t)$ de (\ref{1}) con $c_{2} \neq 0$ es no acotada cuando $t$ tiende a infinito y su trayectoria tiende a $l_{2}$ o a $l^{\prime}_{2}$. De forma similar notamos que $e^{\lambda_{2} t} \mathbf{K}_{2}$ es muy pequeño comparado con $e^{\lambda_{1} t} \mathbf{K}_{1}$ cuando $t$ crece mucho con signo negativo. Por lo tanto, la trayectoria de cualquier solución $\mathbf{Y}(t)$ de (\ref{1}) con $c_{1} \neq 0$ tiende a $l_{1}$ o a $l^{\prime}_{1}$ cuando $t$ tiende a menos infinito.
Por lo tanto, en el caso en el que los valores propios tienen signos opuestos, el plano fase, con las características mencionadas, tiene la siguiente forma.
Plano fase para valores propios con signos opuestos.
Es posible observar que el plano fase se asemeja a una silla de montar cerca del origen, por esta razón se dice que el punto de equilibrio $Y_{0} = (0, 0)$ de (\ref{1}) es un punto silla y es inestable.
Para concluir con la entrada realicemos un ejemplo por cada caso analizado. En los ejemplos de esta y las próximas entradas estaremos usando las herramientas antes proporcionadas para visualizar el plano fase y el campo vectorial asociado. Puedes usarlas tu mismo para comprobar los resultados o visualizar otros sistemas.
Caso 1: $\lambda_{1} < \lambda_{2} < 0$.
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema lineal y hacer un análisis cualitativo de las soluciones.
Lo primero que sabemos es que el punto de equilibrio $Y_{0} = (0, 0)$ es un nodo atractor estable lo que implica que todas las soluciones tienden al origen, pero nunca llegan a él ya que dicho punto no pertenece a ninguna solución.
Las rectas paralelas a los vectores propios $\mathbf{K}_{1}$ y $\mathbf{K}_{2}$ están definidas por las funciones $y(x) = -x$ y $y(x) = x$, respectivamente. La forma de comprobarlo es considerando las soluciones linealmente independientes por separado.
La gráfica en el plano $XY$ de las cuatro trayectorias anteriores, cerca del origen, se muestra a continuación.
$4$ trayectorias particulares del sistema.
Por supuesto hay infinitas trayectorias, una para cada posible par de valores $c_{1}$ y $c_{2}$.
En la parte izquierda de la siguiente figura se encuentra el plano fase del sistema con algunas trayectorias, los vectores propios de $\mathbf{A}$ y las rectas paralelas a dichos vectores. En el lado derecho se encuentra el sistema que estamos analizando y el valor de los eigenvalores y eigenvectores.
Plano fase del sistema.
En la figura anterior también se encuentran los datos $\Delta = 24$ y $\tau = -10$, estos valores corresponden al valor del determinante y la traza de $\mathbf{A}$, respectivamente. Por el momento no tenemos que preocuparnos por estos valores, sin embargo más adelante veremos que nos serán de mucha utilidad cuando estudiemos el llamado plano traza – determinante.
Para concluir con el ejemplo determinemos el campo vectorial asociado. La función $F(x, y)$ en este caso es
$$F(x, y) = (-5x + y, x -5y)$$
El campo vectorial asociado junto con algunas trayectorias se muestra a continuación.
Trayectorias y campo vectorial.
$\square$
Caso 2: $0 < \lambda_{1} < \lambda_{2}$.
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema lineal y hacer un análisis cualitativo de las soluciones.
Comencemos por determinar las funciones que definen las rectas paralelas a los vectores propios, para ello consideremos por separado las soluciones linealmente independientes
De donde vemos que $y = x = -2c_{1}e^{3t}$, por tanto la recta paralela a $\mathbf{K}_{1}$ se define por la función $y(x) = x$. Por otro lado, de la solución $\mathbf{Y}_{2}(t)$ se tiene las soluciones
En este caso vemos que $y = -2x = -2c_{2}e^{6t}$, por tanto la recta paralela al vector propio $\mathbf{K}_{2}$ esta definida por la función $y(x) = -2x$.
La función paramétrica que nos permite trazar las trayectorias es
Si lo deseas intenta graficar algunas trayectorias para algunos valores de $c_{1}$ y $c_{2}$ como lo hicimos en el ejemplo anterior.
El plano fase del sistema indicando algunas trayectorias, los vectores propios y las rectas paralelas a estos vectores, se muestra a continuación.
Plano fase del sistema.
Se puede observar que las trayectorias son un poco similares a las del ejemplo anterior con la diferencia de que el sentido es el opuesto, de forma que el punto de equilibrio $Y_{0} = (0, 0)$ es nodo repulsor inestable.
El campo vectorial asociado está dado por la función vectorial
$$F(x, y) = (4x -y, -2x + 5y)$$
El campo vectorial con algunas trayectorias se muestra a continuación.
Trayectorias y campo vectorial.
$\square$
Concluyamos con un ejemplo del tercer caso.
Caso 3: $\lambda_{1} < 0 < \lambda_{2}$.
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema lineal y hacer un análisis cualitativo de las soluciones.
La recta paralela al vector propio $\mathbf{K}_{1}$ está definida por la función $y(x) = 5x$, mientras que la recta paralela al vector propio $\mathbf{K}_{2}$ está definida por la función $y(x) = x$.
Las trayectorias son trazadas de acuerdo a la función paramétrica
Conforme $t$ crece el término $-e^{-2t}$ se hace muy pequeño comparado con el término $5e^{2t}$, de manera que si $t \rightarrow \infty$, entonces $x(t) \rightarrow 5e^{2t}$, de forma similar el término $-5e^{-2t}$ se hace muy pequeño en comparación con el término $5e^{2t}$, es decir, si $t \rightarrow \infty$, entonces $y(t) \rightarrow 5e^{2t}$. Esto nos permite notar que si $t \rightarrow \infty$, entonces $y \rightarrow x$. Por el contrario, si $t \rightarrow -\infty$, entonces $y \rightarrow 5x$. En la gráfica anterior vemos este comportamiento para la trayectoria verde.
Intenta hacer este mismo análisis para las tres trayectorias restantes de la gráfica anterior y logra notar que en los casos límites las trayectorias tienden a las rectas paralelas a los vectores propios.
En la siguiente figura se muestra el plano fase indicando algunas trayectorias, los vectores propios y las rectas paralelas a estos vectores.
Plano fase del sistema.
Efectivamente, el punto de equilibrio $Y_{0} = (0, 0)$ es un punto silla y es inestable.
Finalmente apreciemos el campo vectorial asociado, definido por la función vectorial
$$F(x, y) = (3x -y, 5x -3y)$$
Trayectorias y campo vectorial.
$\square$
Con esto concluimos esta entrada. En la siguiente entrada veremos que ocurre si los valores y vectores propios son complejos.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Resolver los siguientes sistemas lineales y hacer un análisis cualitativo de las soluciones.
Concluimos con el caso en el que los valores propios de la matriz $\mathbf{A}$ son reales y distintos.
En la siguiente entrada haremos un análisis muy similar a como lo hicimos en esta entrada, pero en el caso en el que los valores propios de la matriz $\mathbf{A}$ son complejos. Veremos que en este caso existen soluciones que son periódicas.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
En esta nueva entrada veremos el concepto de relación, para lo cual es necesario tener fresco el concepto de producto cartesiano. Así mismo, definiremos nuevos conjuntos a partir de una relación, como lo son el dominio, la imagen de una relación, la imagen de un conjunto bajo una relación y el concepto de relación inversa. Concluiremos esta entrada definiendo a la imagen inversa de un conjunto bajo una relación.
Relación
Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Una relación $R$ de $A$ en $B$ es un subconjunto de $A\times B$. A $A$ le llamamos el dominio de la relación y a $B$ el codominio.
Si $A=B$ diremos que $R$ es una relación en $A$.
Ejemplo 1.
Sea $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ y $B=\set{\emptyset, \set{\set{\emptyset}}}$ y definimos $R$ como:
Dado que $A\times B=\set{(\emptyset,\emptyset), (\emptyset, \set{\set{\emptyset}}), (\set{\emptyset}, \emptyset), (\set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}})}$ y $R\subseteq A\times B$ decimos que $R$ es una relación de $A$ en $B$.
$\square$
Ejemplo 2.
Sea $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3}$. Definimos $S=\set{(1,1), (1,2), (1,3)}$. Tenemos que $S$ es una relación de $A$ en $B$. En efecto, esto sucede pues $S=\set{(1,1), (1,2), (1,3)}\subseteq A\times B$, ya que $A\times B=\set{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}$.
Podemos representar a $S$ mediante el siguiente diagrama. Del lado izquierdo hemos puesto al dominio $A$. Del lado derecho al codominio $B$. Para cada pareja $(a,b)$ de la relación, hemos puesto una flecha de $a$ a $b$.
$\square$
Definición. Si $(x,y)\in R$ con $R$ relación, decimos que $x$ está relacionado con $y$ mediante $R$ (o simplemente que $x$ está relacionado con $y$ si por el contexto es claro quién es $y$) y lo denotaremos como $xRy$.
Si retomamos el Ejemplo 1 podemos decir que $\emptyset R\emptyset$ y $\emptyset R\set{\set{\emptyset}}$.
A partir del Ejemplo 2 podemos decir que $1S1$, $1S2$ y $1S3$.
Relaciones relevantes
A continuación hablaremos de algunos ejemplos de relaciones que nos serán de utilidad más adelante.
Relación vacía. Si $R=\emptyset$, entonces $R$ será llamada la relación vacía. Esto tiene sentido pues $\emptyset\subseteq A\times B$ para cualesquiera $A$ y $B$ conjuntos.
Relación identidad. Sea $A$ un conjunto cualquiera. Definimos la relación identidad en $A$ como: $$Id_{A}=\set{(a,a):a\in A}.$$ Notamos que $Id_{A}\subseteq A\times A$ pues para cualquier $(x,y)\in Id_{A}$ se tiene que $x=y$ con $x,y\in A$, lo que significa que $(x,y)\in A\times A$.
Relación de pertenencia. Sea $A$ un conjunto. Definimos a la relación de pertenencia en $A$ como el siguiente conjunto: $$\in_{A}=\set{(a,b): a\in A,\ b\in A,\ a\in b}.$$
Relación de contención. Sea $A$ un conjunto. Definimos a la relación de contención en $A$ como el siguiente conjunto: $$\subseteq_{A}=\set{(a,b): a\in A,\ b\in A,\ a\subseteq b}.$$
Dominio de una relación
Ya que hemos definido el concepto de relación, a continuación definiremos al dominio de una relación.
Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Definimos el dominio de la relación como:
Sean $A=B=\set{1,2}$. Definimos $R=\set{(1,2), (1,1), (2,2)}\subseteq A\times B$. Tenemos que $\text{dom}(R)=\set{1,2}$ pues para $1\in A$ existe, digamos, $1\in B$ tal que $(1,1)\in R$ y para $2\in A$ existe $2\in B$ tal que $(2,2)\in R$.
$\square$
Imagen de una relación
A continuación vamos a definir lo análogo al dominio activo, pero para el codominio. Le daremos un nombre al subconjunto de elementos del codominio que sí participan en la relación.
Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Definimos la imagen de $R$ como el conjunto
Sean $A=B=\set{1,2}$. Definimos $R=\set{(1,2), (2,2)}\subseteq A\times B$.
Tenemos que $\text{im}(R)=\set{2}$ pues para $2\in B$ existe, digamos $2\in A$ tal que $(2,2)\in R$. Sin embargo, $1\not \in \text{im}(R)$ pues $R$ no tiene ninguna pareja de la forma $(x,1)$ con $x\in A$.
$\square$
Imagen de un conjunto bajo una relación
A veces queremos preguntarnos por los elementos del codominio que participan en la relación, pero sólamente con ciertos elementos del dominio. La siguiente definición establece esto.
Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Sea $C\subseteq A$. Definimos a la imagen de $C$ bajo $R$ como el el conjunto
$R[C]=\set{y\in B: \exists x\in C (xRy)}$.
Ejemplo.
Sean $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3,4}$ conjuntos. Sea $R=\set{(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (2,4)}$, la cual es una relación de $A$ en $B$. Tomemos $C=\set{1}\subseteq A$. Tenemos que
Para cerrar esta entrada, introduciremos un concepto más: el de relación inversa.
Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Definimos la relación inversa de $R$ como la relación $R^{-1}$ de $B$ en $A$ definida como sigue:
$R^{-1}=\set{(b,a): (a,b)\in R}$.
Notemos que la relación inversa intercambia el orden de las entradas de las parejas ordenadas que son elementos de la relación $R$.
Ejemplo.
Sea $A=\set{\emptyset}$ y $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y definimos $R$ como:
En efecto, como $(\emptyset, \emptyset)\in R$ tendremos que $(\emptyset, \emptyset)\in R^{-1}$ y como $(\set{\emptyset}, \emptyset)\in R$ tendremos que $(\emptyset, \set{\emptyset})\in R^{-1}$.
$\square$
Proposición. Sea $R$ una relación. Se cumple que $(R^{-1})^{-1}=R$.
Definición. Sea $R$ una relación de $A$ en $B$. Sea $C\subseteq B$. Definimos a la imagen inversa de $C$ bajo $R$ como el el conjunto
$R^{-1}[C]=\set{x\in A: \exists y\in C (xRy)}$.
Ejemplo.
Sean $A=\set{1,2}$ y $B=\set{1,2,3,4}$ conjuntos. Si $R=\set{(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (2,4)}$ es una relación de $A$ en $B$, entonces $R^{-1}=\{(1,1), (1,2), (2,2), (3,1), (4,2)\}$. Tomemos $C=\set{1}\subseteq B$. Tenemos que
La siguiente lista de ejercicios te permitira reforzar los conceptos de relación, dominio activo e imagen.
Si $R$ es la relación vacía, encuentra el dominio activo y la imagen de $R$.
Para $R$ es la relación identidad de $A$, encuentra el dominio y la imagen de $R$.
Sea $R=\set{(1,2), (3,4)}$ una relación de $A=\set{1,2,3}$ en $B=\set{1,2,3,4}$. Encuentra el dominio y la imagen de $R$. Además, escribe al conjunto $R^{-1}$.
Si $R$ es la relación identidad de $A$, describe quién es $R^{-1}$.
Más adelante…
En la siguiente entrada continuaremos con el tema de relaciones. Esta vez trataremos el tema de composición de relaciones. Definiremos a la composición de relaciones como una relación que se construye a partir de al menos dos relaciones cuyos dominios y codominios tienen ciertas propiedades en común.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
Profundiza lo suficiente en cualquier cosay encontrarás las matemáticas. – Dean Schlicter
Introducción
En la entrada anterior comenzamos a desarrollar formalmente la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales, en particular estudiamos algunos sistemas lineales y no lineales autónomos planos, es decir, con dos ecuaciones diferenciales.
Ahora sabemos cómo obtener un bosquejo del campo vectorial asociado al sistema y dibujar algunas trayectorias de forma tangente a los vectores, esto sin siquiera conocer explícitamente las soluciones del sistema. También sabemos identificar los puntos de equilibrio de un sistema y clasificarlos como estables, asintóticamente estables o inestables. Según sea la naturaleza del punto de equilibrio tendremos más información sobre las soluciones del sistema, al menos de forma cualitativa.
En esta entrada haremos un análisis más detallado sobre las trayectorias que se forman en el plano fase y que representan soluciones particulares del sistema. Veremos, además, una forma relativamente sencilla de obtener las trayectorias sin apoyarnos del campo vectorial asociado y es ¡resolviendo una ecuación de primer orden!.
Trayectorias de un sistema autónomo
Recordemos que los sistemas que estamos estudiando son de la forma
Hasta ahora en el plano fase hemos trazado trayectorias descritas por las soluciones de un sistema autónomo guiándonos por el campo vectorial asociado. En esta ocasión desarrollaremos otro método para obtenerlas y es resolviendo una ecuación de primer orden.
Supongamos que
$$Y(t) = (x(t), y(t)) \label{2} \tag{2}$$
es una solución del sistema (\ref{1}) que no permanece constante en el tiempo, es decir, que no se trata de una solución de equilibrio y además la derivada $\dfrac{dx}{dt}$ es distinta de cero en $t = t_{0}$, entonces en un entorno del punto $x_{1} = x(t_{0})$ se verifica que
En el caso en el que $\dfrac{dx}{dt}$ sea cero para todo $t$, se tendrá que verificar que $\dfrac{dy}{dt}$ no siempre sea nula, por lo que la trayectoria de esa solución verifica, análogamente, la ecuación diferencial
En cualquier caso, las trayectorias se podrán determinar resolviendo una ecuación diferencial de primer orden.
Más adelante veremos algunos ejemplos.
Propiedades cualitativas de las trayectorias
Las propiedades cualitativas de las trayectorias nos permiten obtener información sobre el comportamiento de las soluciones. Algunas de las propiedades más importantes se enuncian a continuación.
Cada trayectoria del plano fase representa infinitas soluciones del sistema autónomo.
Teorema: Supongamos que $Y(t) = (x(t), y(t))$ es solución del sistema (\ref{1}), entonces para cada $c \in \mathbb{R}$ se tiene que $$\hat{Y}(t) = (\hat{x}(t), \hat{y}(t)) = (x(t + c), y(t + c)) = Y(t + c) \label{5} \tag{5}$$ es otra solución de (\ref{1}).
Demostración: Sea $Y(t) = (x(t), y(t))$ una solución de (\ref{1}), entonces se cumple que
Por lo tanto, la función $\hat{Y}(t) = Y(t + c)$ es otra solución del sistema.
$\square$
Este teorema es valido para cada $c \in \mathbb{R}$ lo que muestra que cada una de las trayectorias del plano fase puede representar infinitas soluciones del sistema.
Por ejemplo, una solución del sistema
\begin{align*} x^{\prime} &= y \\ y^{\prime} &= 2xy \end{align*}
también son solución del mismo sistema y ambas trazan la misma trayectoria en el plano fase, sin embargo no coinciden en el mismo punto al momento de evaluar en $t = t_{0}$.
Para el caso lineal se puede verificar explícitamente el teorema anterior.
Sea $\mathbf{Y}^{\prime} = \mathbf{AY}$ un sistema lineal, sabemos que toda solución $\mathbf{Y}(t)$ de esta ecuación es de la forma
para cualesquiera valores de $t$ y $c$. Sea el vector constante $\mathbf{C} = e^{\mathbf{A}c}\mathbf{K}$, entonces la solución anterior se puede escribir como
$$\mathbf{Y}(t + c) = e^{\mathbf{A}t} \mathbf{C} \label{11} \tag{11}$$
Por lo tanto, $\mathbf{Y}(t + c)$ es también una solución de $\mathbf{Y}^{\prime} = \mathbf{AY}$.
Una observación más es que el teorema anterior no es válido si la función $F$ depende explícitamente de $t$. Supongamos que $Y(t)$ es una solución de la ecuación diferencial no autónoma
por consiguiente, la función $Y(t + c)$ satisface la ecuación diferencial
$$Y^{\prime} = F(t + c, Y) \label{14} \tag{14}$$
y tal ecuación es diferente de la ecuación no autónoma (\ref{12}).
Existencia y unicidad de las trayectorias.
Teorema: Supongamos que cada una de las funciones $F_{1}(x, y)$ y $F_{2}(x, y)$ de un sistema autónomo plano (\ref{1}) tiene derivadas parciales continuas con respecto a $x$ y $y$, entonces existe una única trayectoria a través de cada punto $Y_{0} = (x_{0}, y_{0})$ en el plano fase.
En particular, si las trayectorias de dos soluciones $Y = \phi(t)$ y $Y = \psi(t)$ tienen un punto común, entonces deben ser idénticas.
Demostración: Sea $Y_{0} = (x_{0}, y_{0})$ un punto cualquiera en el espacio fase y sea $Y = \phi(t)$ la solución del problema de valores iniciales
La trayectoria de esta solución pasa por el punto $Y_{0}$, de manera que existe al menos una trayectoria a través de cada punto $Y_{0}$, esto muestra la existencia. Supongamos ahora que la trayectoria de alguna otra solución $Y = \psi(t)$ también pasa por el punto $Y_{0}$, esto significa que existe $t_{0} \neq 0$, tal que $\psi(t_{0}) = Y_{0}$. Por el teorema anterior se tiene que la función
$$Y = \psi(t + t_{0})$$
es también una solución del sistema. Notemos que $\psi(t + t_{0})$ y $\phi(t)$ tienen el mismo valor en $t = 0$, tal valor es
Dadas las hipótesis del teorema y el resultado (\ref{16}) estamos en condiciones de aplicar el teorema de existencia y unicidad de los sistemas de ecuaciones diferenciales, por este teorema se tiene que $\psi(t + t_{0})$ es igual a $\phi(t)$ para todo $t \in \mathbb{R}$. Esto implica que las trayectorias de $\phi(t)$ y $\psi(t)$ son idénticas quedando demostrada la unicidad de las trayectorias.
$\square$
Observemos que si $\hat{Y}_{0}$ es un punto de la trayectoria de $\phi(t)$, es decir, $\hat{Y}_{0} = \phi(t_{1})$ para alguna $t_{1}$, entonces $\hat{Y}_{0}$ está también en la trayectoria de $\psi(t)$, ya que
Recíprocamente, si $\hat{Y}_{0}$ es un punto de la trayectoria de $\psi(t)$, es decir, existe $t_{2}$, tal que $\psi (t_{2}) = \hat{Y}_{0}$, entonces $ \hat{Y}_{0} $ está también en la trayectoria de $\phi (t)$, ya que
En la entrada anterior vimos que los puntos de equilibrio estables se caracterizan por que las trayectorias cercanas a dicho punto nunca llegan a él, dichas curvas solían ser cerradas, veremos a continuación que las curvas cerradas son periódicas.
Las trayectorias cerradas corresponden a soluciones periódicas.
Teorema: Sea $Y = \phi(t)$ una solución del sistema autónomo plano (\ref{1}). Si $$\phi(t_{0} + T) = \phi (t_{0}) \label{19} \tag{19}$$ para alguna $t_{0}$ y $T > 0$, entonces para todo $t \in \mathbb{R}$ $$\phi(t + T) = \phi(t) \label{20} \tag{20}$$ Es decir, si una solución $Y = \phi(t)$ de (\ref{1}) regresa a su valor inicial después de un tiempo $T > 0$, entonces debe ser periódica con periodo $T$.
Demostración: Sea $Y = \phi(t)$ una solución de (\ref{1}) y supongamos que
$$\phi(t_{0} + T) = \phi(t_{0})$$
para algún par de números $t_{0}$ y $T$. Por el primer teorema, la función
$$\psi(t) = \phi (t + T)$$
es también una solución de (\ref{1}) que coincide con $\phi(t)$ en el tiempo $t = t_{0}$. Por el teorema de existencia y unicidad de los sistemas de ecuaciones diferenciales se satisface que $\psi(t) = \phi(t + T)$ es idénticamente igual a $\phi(t)$, por lo tanto
$$\phi(t + T) = \phi(t)$$
$\square$
Explícitamente vemos que si $(x(t), y(t))$ es una solución del sistema (\ref{1}), que en dos instantes $t_{0}$ y $t_{0} + T$ toma el mismo valor, entonces
Vemos que $(x, y) = (0, 0)$ es un punto de equilibrio y todo punto de la circunferencia
$$x^{2} + y^{2} = 1$$
es también un punto de equilibrio.
Ahora podemos determinar las trayectorias del sistema analíticamente resolviendo una ecuación diferencial de primer orden, de acuerdo a (\ref{3}) dicha ecuación es
\begin{align*} y dy &= -xdx \\ \int y dy &= -\int x dx \\ \dfrac{y^{2}}{2} &= -\dfrac{x^{2}}{2} + k \\ x^{2} + y^{2} &= c^{2} \end{align*}
En donde $c^{2}$ engloba todas las constantes. Notamos que las trayectorias corresponden a circunferencias concéntricas de radio $c$, tal que $c\neq 1$. El plano fase se ve de la siguiente forma.
Plano fase del sistema.
Efectivamente las trayectorias son circunferencias concéntricas lo que significa que son periódicas ya que cada cierto tiempo $T$ vuelven al mismo punto de inicio $t_{0}$, sin embargo al no conocer explícitamente las soluciones $x(t)$ y $y(t)$ no no es posible determinar el valor del periodo $T$.
Notemos también que las trayectorias para $c < 1$ giran en la dirección de las manecillas del reloj, mientras que las trayectorias para $c > 1$ giran en la dirección opuesta. Es claro que todos los puntos de equilibrio son estables ya que ninguna trayectoria tiende a ellos, pero las que están cerca a ellos permanecen cerca para todo $t \in \mathbb{R}$.
$\square$
Ejemplo: Mostrar que las soluciones de la siguiente ecuación diferencial de segundo orden son periódicas.
$$\dfrac{d^{2}z}{dt^{2}} + z + z^{5} = 0$$
Solución: Lo primero que haremos será escribir la ecuación de segundo orden en un sistema de dos ecuaciones de primer orden. Sean
$$x = z \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y = \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dz}{dt}$$
Esta ecuación define una curva cerrada para cada valor de $c$ en el plano $XY$ y como el único punto de equilibrio es el origen, entonces toda solución es periódica. El plano fase se ve de la siguiente forma.
Plano fase del sistema.
Gráficamente observamos que efectivamente las soluciones son periódicas, sin embargo no es posible calcular el periodo de ninguna solución particular.
$\square$
Ejemplo: Demostrar cualitativamente que las soluciones $Y(t) = (x(t), y(t))$ del sistema
que comienzan en el primer cuadrante $(x > 0, y> 0)$ deben permanecer en él para todo $t \in \mathbb{R}$.
Solución: Este es un ejemplo que nos muestra que no siempre puede ser sencillo obtener las trayectorias resolviendo una ecuación de primer orden, en este caso la ecuación a resolver sería
$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-1+xy + \cos(y)}{x^{2} + y \sin(x)}$$
Sin embargo, el ejercicio nos pide demostrarlo cualitativamente. La función vectorial $F$ es
$$F(x, y) = (x^{2} + y \sin(x), -1+xy + \cos(y))$$
El plano fase con el campo vectorial asociado y las trayectorias sobre el primer cuadrante se ilustra a continuación.
Plano fase del sistema.
Al menos geométricamente logramos observar que todas las trayectorias que comienzan en el primer cuadrante permanecen en él para todo $t \in \mathbb{R}$, esto significa que las soluciones siempre permanecerán positivas para $x > 0$ y $y > 0$.
$\square$
Para concluir estudiemos el movimiento de un péndulo como ejemplo.
en donde $l$ es la longitud del hilo del péndulo, $\theta$ el ángulo que forma el hilo con la vertical y $g$ la aceleración de la gravedad.
Péndulo simple.
Analizar el movimiento del péndulo.
Solución: Primero comprendamos el fenómeno. Estamos considerando un péndulo simple en el cual si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo $\theta$ con la vertical, y luego la soltamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas $\theta$ y $-\theta$, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud $l$ del hilo.
Comencemos por escribir la ecuación del péndulo en una sistema de dos ecuaciones de primer orden. Sean
$$x = \theta \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y = \dfrac{d \theta}{dt} = \dfrac{dx}{dy}$$
\begin{align*} \dfrac{dx}{dt} &= y \\ \dfrac{dy}{dt} &= -\dfrac{g}{l} \sin(x) \end{align*}
La función vectorial $F$ es
$$F(x, y) = \left( y, -\dfrac{g}{l} \sin(x) \right)$$
Los puntos de equilibrio son los puntos tal que
\begin{align*} y &= 0 \\ -\dfrac{g}{l} \sin(x) &= 0 \end{align*}
De la primer ecuación tenemos $y = 0$ y de la segunda notamos que para que $\sin(x) = 0$ se debe cumplir que $x = k \pi$ con $k$ una constante entera, por tanto el sistema tiene infinitos puntos de equilibrio y son de la forma $(k\pi ,0)$ con $k\in \mathbb{Z}$.
Consideremos los puntos de equilibrio $(0,0)$ y $(\pi ,0)$. El primer punto indica que
$$x = \theta = 0 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y = \dfrac{d \theta}{dt} = 0$$
En este caso el péndulo se encuentra en reposo en la posición de equilibrio y no hay desplazamiento ya que la velocidad es nula.
En el caso del segundo punto crítico se tiene que
$$x = \theta = \pi \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y = \dfrac{d \theta}{dt} = 0$$
Por tanto, el ángulo de desplazamiento es $\pi$, y la velocidad nuevamente es nula. En cualquiera de estas dos situaciones el péndulo continuará así indefinidamente. Sin embargo, estos dos puntos de equilibrio son diferentes. Cuando nos encontramos en la situación de equilibrio $(0,0)$, ante cualquier pequeño cambio de la situación (cambio de posición o de velocidad), el sistema presentará pequeñas oscilaciones, mientras que cuando nos encontramos en la situación de equilibrio $(\pi, 0)$, estos pequeños cambios harán que el sistema presente una notable desviación. Estas características indican que el punto de equilibrio $(0, 0)$ es estable, mientras que el punto de equilibrio $(\pi, 0)$ es inestable.
A continuación se muestra el plano fase del sistema en el cual podemos observar las trayectorias para distintas soluciones particulares $(x(t), y(t))$ y lo que sucede alrededor de los puntos de equilibrio.
Plano fase del péndulo simple.
El plano fase muestra geométricamente que las soluciones para valores de $x = \theta$ pequeños el movimiento es periódico y deja de serlo conforme nos acercamos a los puntos de equilibrio $(-\pi, 0)$ o $(\pi, 0)$. Esto tiene sentido, pues la ecuación del péndulo (\ref{22}) no corresponde a un movimiento armónico simple debido a la presencia de la función seno, sin embargo para oscilaciones de pequeña amplitud en los que el ángulo es suficientemente pequeño se puede hacer la aproximación $\sin(\theta) \approx \theta$, en este caso la ecuación del péndulo se reduce a
$$l \dfrac{d^{2} \theta}{dt^{2}} + g \theta = 0 \label{23} \tag{23}$$
la cual corresponde a una ecuación de movimiento armónico simple refiriéndose al movimiento angular en lugar del movimiento rectilíneo.
La solución de la ecuación (\ref{23}) es
$$\theta = A \sin(\omega t + \phi) \label{24} \tag{24}$$
y $A$ y $\phi$ son constantes correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicial del movimiento, respectivamente y son determinadas por las condiciones iniciales.
$\square$
Con esto concluimos esta entrada.
En las próximas entradas revisaremos nuevamente los sistemas lineales homogéneos y el método de valores y vectores propios para hacer un análisis desde una perspectiva cualitativa.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Para las demostraciones cualitativas puedes usar la herramienta que hemos estado utilizando.
Demostrar cualitativamente que todas las soluciones $Y(t) = (x(t), y(t))$ del sistema
$x^{\prime} = y(e^{x} -1)$ $y^{\prime} = x + e^{y}$
que comienzan en el semiplano derecho $(x > 0)$ deben permanecer en él para todo $t \in \mathbb{R}$.
Demostrar cualitativamente que todas las soluciones $Y(t) = (x(t), y(t))$ del sistema
En la unidad anterior desarrollamos el método de valores y vectores propios para resolver sistemas lineales homogéneos, vimos que existen distintos casos de acuerdo al valor que tomen los valores propios y el método de resolución para cada caso es relativamente distinto. En las siguientes entradas estudiaremos nuevamente estos sistemas con la adición de que ahora estudiaremos el tipo de trayectorias que genera cada sistema en el plano fase y veremos la dependencia que tienen éstas con el valor que tomen los valores propios.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
Si hay un Dios, es un gran matemático. – Paul Dirac
Introducción
En la entrada anterior realizamos un desarrollo geométrico y un tanto cualitativo de un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden homogéneas con coeficientes constantes con el fin de introducirnos a la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales. En dicha entrada justificamos la razón por la que estudiaremos principalmente los sistemas compuestos por dos ecuaciones de primer orden.
En esta entrada presentaremos formalmente la teoría cualitativa y geométrica de los sistemas tanto lineales como no lineales compuestos por dos ecuaciones diferenciales de primer orden.
Teoría cualitativa
A lo largo del curso nos hemos centrado en el problema de obtener soluciones, hemos desarrollado una serie de métodos de resolución de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales y sistemas lineales. Lo que haremos ahora es dar otro enfoque al estudio de las ecuaciones diferenciales planteándonos obtener información cualitativa sobre el comportamiento de las soluciones.
Hemos visto que, a medida que aumenta la complejidad de las ecuaciones diferenciales, o los sistemas lineales, mayor es la dificultad que tenemos para obtener soluciones. Existen incluso ecuaciones que no se sabe cómo se resuelven o ecuaciones en las que obtener su solución es bastante costoso, por lo que una alternativa será hacer un análisis cualitativo, pues muchas veces bastará conocer el comportamiento de las soluciones.
Recordemos que, además de hacer un análisis cualitativo, estamos interesados en hacer un análisis geométrico, así que centraremos nuestra atención en los sistemas de dos ecuaciones diferenciales ya que, como vimos en la entrada anterior, tenemos la oportunidad de hacer gráficas en dos dimensiones, es decir, podremos visualizar sin ningún problema el plano fase.
Sistemas autónomos
En la entrada anterior vimos la importancia de que el sistema no dependa explícitamente de la variable independiente $t$ para poder hacer nuestro desarrollo geométrico. Este tipo de sistemas tienen un nombre particular.
Definición: Un sistema autónomo plano es un sistema de dos ecuaciones diferenciales de la forma \begin{align*} x^{\prime} &= F_{1}(x, y) \\ y^{\prime} &= F_{2}(x, y) \label{1} \tag{1} \end{align*} En donde las funciones $F_{1}$ y $F_{2}$ son continuas y con derivadas parciales de primer orden continuas en todo el plano.
El sistema se denomina autónomo debido a que la variable independiente $t$ no aparece explícitamente en las ecuaciones del sistema. Las condiciones de $F_{1}$ y $F_{2}$ garantizan la existencia y unicidad de la solución definida $\forall$ $t \in \mathbb{R}$ del problema de valores iniciales
Entonces el sistema autónomo (\ref{5}) se puede escribir como
$$Y^{\prime} = F(x, y) \label{8} \tag{8}$$
Por su puesto, si se define la matriz de coeficientes
$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \label{9} \tag{9}$$
entonces el sistema lineal (\ref{5}) se puede escribir como
$$\begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \label{10} \tag{10}$$
Notación: Hemos visto que no necesariamente haremos uso de la notación vectorial como en la unidad anterior, así que con fines de notación usaremos letras en negrita cuando trabajemos con vectores (o matrices) y letras sin negrita cuando no usemos la notación vectorial a pesar de indicar lo mismo. Por ejemplo, la solución de un sistema en notación vectorial la escribiremos como
mientras que la misma solución sin notación vectorial como
$$Y(t) = (x(t), y(t))$$
Está última notación nos será de utilidad para representar coordenadas en el plano $\mathbb{R}^{2}$.
Algunas definiciones
Las siguientes definiciones son generales, para cualquier sistema autónomo de dos ecuaciones diferenciales de primer orden.
Las soluciones de un sistema autónomo reciben un nombre especial.
Definición: Las variables dependientes $x(t)$ y $y(t)$, que son solución de un sistema autónomo plano (\ref{1}), se llaman variables de estado del sistema.
En la entrada anterior ya trabajamos con el plano fase, definámoslo formalmente.
Definición: El plano formado por los pares de valores $(x, y)$ se llama plano fase.
Definición: Una curva $$C = [x(t), y(t)] \label{12} \tag{12}$$ en el plano $XY$ o plano fase está definida por el par de funciones $x(t)$ y $y(t)$ que son solución del sistema lineal (\ref{1}).
Cada punto de la curva $C$ determina el estado del sistema en un instante $t$ correspondiente a una condición inicial determinada.
Definición: Al conjunto de curvas $C = [x(t), y(t)]$ en el plano fase se les llama trayectorias u órbitas.
En la entrada anterior vimos que en cada punto $(x, y)$ de una curva solución, el vector
$$F(x, y) = (F_{1}(x, y), F_{2}(x, y))$$
es un vector tangente a dicha curva en cada punto $(x, y)$. El conjunto de vectores tangentes recibe un nombre.
Definición: Al conjunto de vectores $F(x, y)$ tangentes a las trayectorias se le denomina campo de direcciones o campo vectorial del sistema.
Con estas definiciones podemos decir que el plano fase es una representación geométrica de todas las trayectorias de un sistema dinámico en el plano, donde cada curva representa una condición inicial diferente. Entendemos por sistema dinámico al sistema cuyo estado evoluciona con el tiempo.
Como ejemplo visualicemos el campo vectorial de dos sistemas de ecuaciones diferenciales sencillos usando la herramienta que ya conocemos.
Ejemplo: Visualizar el campo vectorial del sistema lineal
\begin{align*} x^{\prime} &= x \\ y^{\prime} &= y \end{align*}
Solución: La función vectorial es
$$F(x, y) = (x, y)$$
El campo vectorial en el plano fase se ilustra a continuación.
Campo vectorial $F(x, y) = (x, y)$.
Los vectores del campo vectorial siempre señalan directamente alejándose del origen.
$\square$
Ejemplo: Visualizar el campo vectorial del sistema lineal
En este caso los vectores del campo vectorial apuntan directamente hacia el origen.
$\square$
Como el campo vectorial es tangente a las soluciones del sistema, entonces en los dos ejemplos anteriores deducimos que las soluciones son rectas con distintas pendientes para cada solución particular.
En la herramienta que utilizamos se puede dar clic sobre el campo vectorial para trazar distintas soluciones. Inténtalo con los ejemplos anteriores.
Puntos de equilibrio
Por sí solo el campo vectorial de un sistema ya nos da información sobre el comportamiento que presentan las trayectorias sin siquiera conocer explícitamente las soluciones del sistema, sin embargo en cada plano fase existe al menos un punto particular sobre el cual dependerá casi por completo el comportamiento de las soluciones, dichos puntos se conocen como puntos de equilibrio.
Definición: El punto $$Y_{0} = (x_{0}, y_{0})$$ tal que, $$F(x_{0}, y_{0}) = (0, 0)$$ se dice que es un punto crítico o punto de equilibrio del sistema.
Como ejemplo determinemos los puntos de equilibrio de dos sistemas de ecuaciones diferenciales.
Ejemplo: Hallar los puntos de equilibrio del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales y visualizar que ocurre alrededor de ellos.
Hemos encontrado dos puntos de equilibrio. Veamos cómo se ve el campo vectorial del sistema y que forma tienen las soluciones alrededor de estos puntos.
Plano fase: Campo vectorial, puntos de equilibrio y trayectorias del sistema.
Recordemos que la dirección de las trayectorias está definida por la dirección del campo vectorial. En el plano fase observamos que alrededor del punto de equilibrio $(-1, 1)$ las soluciones son trayectorias cerradas que giran en torno a dicho punto, mientras que alrededor del punto de equilibrio $(1, -1)$ las trayectorias tienden a acercarse a dicho punto, pero cuando se aproximan a él inmediatamente se alejan.
$\square$
Más adelante caracterizaremos a los puntos de equilibrio de acuerdo al tipo de comportamiento que tienen las trayectorias alrededor de él. Por ahora notemos estas características. Veamos un ejemplo más.
Ejemplo: Hallar los puntos de equilibrio del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales y visualizar que ocurre alrededor de ellos.
De la segunda ecuación obtenemos inmediatamente que $y_{0} = 0$ y de la primer ecuación obtenemos que $x^{2}_{0}= 1$. Por lo tanto, los puntos de equilibrio son
Plano fase: Campo vectorial, puntos de equilibrio y trayectorias del sistema.
En esta ocasión observamos que las trayectorias tienden hacía el punto de equilibrio $(-1, 0)$, mientras que alrededor del punto de equilibrio $(1, 0)$ las trayectorias tienden a alejarse de él.
$\square$
Con estos dos ejemplos observamos tres cualidades de las trayectorias alrededor de los puntos de equilibrio. El primero de ellos es que hay trayectorias cerradas que permanecen cerca de un punto de equilibrio, pero que nunca llegan a él, por otro lado, hay trayectorias que tienden directamente hacía a un punto de equilibrio y finalmente hay puntos de equilibrio en los que las trayectorias tienden a alejarse de él. A esto se le conoce como estabilidad de los puntos de equilibrio y lo estudiaremos más adelante en esta entrada.
Un hecho importante es que los sistemas de los dos ejemplos anteriores son sistemas no lineales y ya comenzamos a caracterizar y visualizar el comportamiento de las soluciones a pesar de no conocer ningún método para obtener las soluciones explícitamente, de ahí la importancia de este análisis cualitativo.
Cabe mencionar que resolver sistemas no lineales puede ser muy complejo, al menos para un primer curso de ecuaciones diferenciales, es por ello que dedicamos la unidad anterior al caso exclusivamente lineal.
Por otro lado, es claro que cada punto del plano fase, o bien es un punto de equilibrio, o bien pasa por él una única trayectoria. Existe un resultado importante que nos permite saber cuando el único punto de equilibrio de un sistema lineal es el origen.
Teorema: Si $\mathbf{A}$ es una matriz con determinante distinto de cero $\left( \left | \mathbf{A} \right |\neq 0 \right)$, entonces el único punto de equilibrio para el sistema lineal ${\mathbf{Y}}’ = \mathbf{AY}$ es el origen.
Demostración: Consideremos el sistema lineal ${\mathbf{Y}}’ = \mathbf{AY}$ cuya matriz de coeficientes es (\ref{9}), entonces podemos escribir al sistema lineal como
$$\begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$
Sabemos que un punto $Y_{0} = (x_{0}, y_{0})$ es un punto de equilibrio del sistema si el campo vectorial en $Y_{0}$ es cero, es decir, si
$$F(x_{0}, y_{0}) = (0, 0)$$
Sabemos, por otro lado, que el sistema lineal también se puede escribir en términos de la función vectorial $F$ como
Es claro que $(x_{0}, y_{0}) = (0, 0)$ es una solución de las ecuaciones (\ref{18}). Por tanto, $Y_{0} = (0, 0)$ es un punto de equilibrio y la función constante
$$Y(t) = (0, 0) \label{19} \tag{19}$$
para toda $t \in \mathbb{R}$ es una solución del sistema lineal. Ahora veamos si existe otra solución que no sea la trivial.
Cualesquiera puntos de equilibrio $(x_{0}, y_{0}) \neq (0, 0)$ deben también satisfacer el sistema (\ref{18}). Para encontrarlos supongamos por ahora que $a\neq 0$, de la primer ecuación se obtiene que
$$y_{0} = 0 \hspace{1cm} o \hspace{1cm} ad -bc =0$$
Si $y_{0} = 0$, entonces $x_{0} = 0$ y de nuevo obtenemos la solución trivial. Por tanto, un sistema lineal tiene puntos de equilibrio no triviales sólo si
$$ad -bc = 0$$
es decir si el determinante de $\mathbf{A}$ es igual a cero. Esto significa que si $|\mathbf{A}| \neq 0$, entonces el único punto de equilibrio del sistema lineal es el origen.
$\square$
Una observación importante en la demostración es que el cálculo que hicimos no depende de los valores de los coeficientes $a, b, c$ y $d$, sólo de la condición $a \neq 0$, por tanto ¡todo sistema lineal tiene un punto de equilibrio en el origen!.
Estabilidad de puntos de equilibrio
Veíamos que hay tres cualidades de las trayectorias alrededor de puntos de equilibrio. De acuerdo al comportamiento que tengan las trayectorias alrededor de los puntos de equilibrio éstos recibirán un nombre.
Definición: Dado un sistema autónomo, el punto $(x_{0}, y_{0})$ es un punto de equilibrio estable si $\forall$ $\varepsilon > 0$, $\exists$ $\delta > 0$, tal que si $(x(t), y(t))$ es una solución del sistema y $$\left \| (x(t_{0}), y(t_{0})) -(x_{0}, y_{0}) \right \| < \delta \label{22} \tag{22}$$ entonces, $\forall$ $t \geq t_{0}$ $$\left \| (x(t), y(t)) -(x_{0}, y_{0}) \right \| < \varepsilon \label{23} \tag{23}$$
Lo que esta definición nos dice es que si una trayectoria está cerca del punto de equilibrio $(x_{0}, y_{0})$, entonces se mantendrá cerca de él para $t_{0} \leq t \rightarrow \infty$.
Definición: Dado un sistema autónomo, el punto $(x_{0}, y_{0})$ es un punto de equilibrio asintóticamente estable si $\exists$ $\delta > 0$, tal que $$\left \| (x(t_{0}), y(t_{0})) -(x_{0}, y_{0}) \right \| < \delta$$ entonces, cuando $t \rightarrow \infty$, se tiene que $$(x(t), y(t)) \rightarrow (x_{0}, y_{0})$$
Es este caso las trayectorias cercanas al punto de equilibrio $(x_{0}, y_{0})$ no sólo se mantendrán cerca de dicho punto, sino que tenderán a él para $t_{0} \leq t \rightarrow \infty$.
Definición: Dado un sistema autónomo, el punto $(x_{0}, y_{0})$ es un punto de equilibrio inestable si no es un punto de equilibrio estable.
Contrario a un punto de equilibrio estable, si las trayectorias están cerca del punto de equilibrio $(x_{0}, y_{0})$, entonces se alejarán de él para $t_{0} \leq t \rightarrow \infty$.
Las definiciones anteriores son aplicables a cualquier punto de equilibrio $(x_{0}, y_{0})$, sin embargo las definiciones se vuelven más intuitivas si el punto de equilibrio sobre el que se trabaja es el origen $(x_{0}, y_{0}) = (0, 0)$ del plano $XY$ o plano fase.
Supongamos que el punto de equilibrio del sistema (\ref{1}) es el origen y que está aislado, esto es que existe un entorno donde no hay otro punto de equilibrio. Notemos que el hecho de que el punto de equilibrio sea el origen no supone ningún tipo de restricción ya que se puede hacer el cambio de variable
\begin{align*} \hat{x} &= x -x_{0} \\ \hat{y} &= y -y_{0} \label{24} \tag{24} \end{align*}
cuyo punto de equilibrio es el punto $(0, 0)$. En estas condiciones definimos de manera más intuitiva la estabilidad de un punto de equilibrio.
Definición: Se dice que el punto de equilibrio $(0, 0)$ del sistema (\ref{1}) es estable si para todo número $R > 0$ existe algún $r > 0$, $r \leq R$, tal que cada trayectoria que está dentro del circulo $$x^{2} + y^{2} = r^{2}$$ en algún momento $t_{0}$ permanezca dentro del circulo $$x^{2} + y^{2} = R^{2}$$ para todos los $t > t_{0}$.
Definición: Se dice que el punto de equilibrio $(0, 0)$ del sistema (\ref{1}) es asintóticamente estable cuando es estable y existe algún número $r_{0} > 0$, tal que toda trayectoria que está dentro del circulo $$x^{2} + y^{2} = r^{2}_{0}$$ en algún momento $t_{0}$, se aproxime al origen cuando $t \rightarrow \infty$.
Definición: Se dice que el punto de equilibrio $(0, 0)$ del sistema (\ref{1}) es inestable cuando no es estable.
Realicemos algunos ejemplos de manera gráfica.
Ejemplo: Definir el tipo de punto de equilibrio del siguiente sistema visualizando el comportamiento de las trayectorias alrededor de dicho punto.
Solución: Es claro que el punto de equilibrio es el origen ya que si $x = 0$ y $y = 0$, entonces
$$F(0, 0) = (0, 0)$$
El campo vectorial y algunas trayectorias del sistema se muestran a continuación.
Plano fase del sistema.
Observamos que las trayectorias son cerradas, lo que significa que todas las que están cerca del punto de equilibrio permanecerán cerca de él, pero nunca llegarán a él conforme $t \rightarrow \infty$. De acuerdo a las definiciones anteriores, el punto de equilibrio corresponde a un punto estable. Veremos más adelante que este tipo de trayectorias corresponden a soluciones periódicas.
$\square$
Ejemplo: Definir el tipo de punto de equilibrio del siguiente sistema visualizando el comportamiento de las trayectorias alrededor de dicho punto.
Solución: Como el sistema es lineal podemos aplicar el teorema visto para verificar que el único punto de equilibrio del sistemas es el origen. La matriz de coeficientes es
Como $|A| \neq 0$, entonces el único punto de equilibrio es el origen.
El plano fase del sistema se ilustra a continuación.
Plano fase del sistema.
Es este caso se logra observar que las trayectorias cerca del punto de equilibrio tienden a él conforme $t \rightarrow \infty$, lo que lo define como un punto de equilibrio asintóticamente estable.
$\square$
Veamos un último ejemplo.
Ejemplo: Definir el tipo de punto de equilibrio del siguiente sistema visualizando el comportamiento de las trayectorias alrededor de dicho punto.
Solución: Nuevamente se puede verificar que el único punto de equilibrio del sistema es el origen. Observemos el plano fase.
Plano fase del sistema.
En este caso se observa que cerca del punto de equilibrio las trayectorias se alejan de él, por lo que dicho punto es un punto inestable.
$\square$
Al menos geométricamente ya somos capaces de identificar el tipo de comportamiento que tienen las trayectorias alrededor de los puntos de equilibrio según su clasificación.
Más adelante resolveremos algunos sistemas lineales y haremos este mismo análisis desde una perspectiva analítica analizando las soluciones que obtengamos. Más aún, veremos que de acuerdo al valor de los eigenvalores del sistema será el tipo de punto de equilibrio que tendrá dicho sistema. Pero antes de ello, en la siguiente entrada estudiemos algunas propiedades cualitativas de las trayectorias.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Visualizar el campo vectorial y algunas trayectorias de los siguientes sistemas. ¿Tienen puntos de equilibrio?.
Determinar los puntos de equilibrio de los siguientes sistemas y clasificarlos como estables, asintóticamente estables o inestables. Visualizar el campo vectorial y algunas trayectorias.
Analizar el comportamiento de las curvas solución del siguiente sistema.
$x^{\prime} = 3/y$ $y^{\prime} = 2/x$
¿Qué se puede observar?. ¿Hay puntos de equilibrio?.
Más adelante…
Conforme avanzamos nos damos cuenta que es posible describir cualitativamente las soluciones de un sistema tanto lineal como no lineal compuesto por dos ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneas con coeficientes contantes, esto tiene la enorme ventaja de que ya no es necesario conocer explícitamente las soluciones del sistema para poder trabajar.
Continuando con nuestro desarrollo cualitativo, en la siguiente entrada estudiaremos algunas propiedades de las trayectorias en el plano fase.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
