Presentación inicial

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Problemas introductorios

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Notas del curso

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Presentación final

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El Comité Organizador del Concurso Galois-Noether y la
Facultad de Ciencias de la UNAM presentan la siguiente

CONVOCATORIA

VII Concurso Universitario de Matemáticas
Galois – Noether

Lineamientos

• Los problemas abarcarán temas de matemáticas universitarias como teoría de números, geometría, combinatoria, análisis, cálculo y álgebra.
• Puede participar cualquier estudiante que se encuentre cursando una carrera universitaria.
• La participación en el concurso es gratuita.
• La inscripción es en línea. Se recibirán inscripciones hasta el jueves 30 de marzo. La página es la siguiente:
  https://blog.nekomath.com/inscripcion-galois-noether-2017/
• El concurso cuenta con dos etapas
  • Primera etapa. Sábado 1 de abril de 2017. Es un examen de 25 preguntas de opción múltiple para realizarse en 3 horas.
  • Segunda etapa. Sábado 17 de junio de 2017. Es un examen de 6 preguntas de demostración para realizarse en 4 horas y media. Se otorgarán puntos por avances en la solución de los problemas.
• Ambas etapas se llevarán a cabo en Ciudad Universitaria y otras sedes nacionales e internacionales. El lugar preciso y la hora de cada etapa serán dados a conocer oportunamente a los participantes inscritos.
• Los concursantes deberán presentarse únicamente con lápiz, goma y pluma. En particular, no está permitido el uso de guías, celulares, calculadoras, libros, apuntes, etc.

Premios

• Los concursantes que así lo deseen recibirán un Reconocimiento por su participación.
• Del total de estudiantes que participen en la primera etapa, se invitará al 15% correspondiente a los mejores lugares, para que participen en la segunda etapa.
• Se premiará a los primeros tres lugares de la segunda etapa.
• Adicionalmente, los mejores participantes de la UNAM serán invitados al equipo para la IX CIIM* que se llevará a cabo tentativamente en la ciudad de Guatemala, Guatemala, aproximadamente a finales de septiembre o principios de octubre.

Para consultar los problemas de las ediciones anteriores, tips para practicar y saber más acerca de este concurso, puedes consultar la página oficial: https://blog.nekomath.com/concurso-galois-noether/

*La Competencia Iberoamericana Interuniversitaria de Matemáticas (CIIM) es un concurso anual internacional de matemáticas universitario en el cual participan varios países Iberoamericanos.

Imagen derivada de Ken / CC-BY 2.0

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Afirmación

No hay soluciones para $a^n+b^n=c^n$ con $n> 2$ y $a, b, c$ en los enteros positivos.

Demostración

La afirmación anterior es simétrica en $a, b$ y $c$. En efecto, al intercambiarlos tenemos enunciados que son lógicamente equivalentes. Por ejemplo:

No hay soluciones para $b^n+c^n=a^n$ con $n> 2$ y $b, c, a$ en los enteros positivos.

Así, por la simetría, podemos suponer que $a\geq b\geq c$. Usando que $b> 0$:

$a^n+b^n \geq c^n +b^n > c^n$

De esta forma, el lado izquierdo siempre es más grande y por lo tanto la afirmación es cierta.

QED

¿Qué está mal?

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En esta entrada les contaré una solución sencilla a una de las partes del Problema 6 de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de este año. El problema dice lo siguiente:

Se tienen $n\geq 2$ segmentos en el plano tales que cada par de segmentos se intersectan en un punto interior a ambos, y no hay tres segmentos que tengan un punto en común. Mafalda debe elegir uno de los extremos de cada segmento y colocar una rana mirando hacia el otro extremo. Luego silbará $n-1$ veces. En cada silbido, cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hasta el siguiente punto de intersección sobre su segmento. Las ranas nunca cambian las direcciones de sus saltos. Mafalda quiere colocar las ranas de tal forma que nunca dos de ellas ocupen al mismo tiempo el mismo punto de intersección.

A) Demuestra que si $n$ es impar, Mafalda siempre puede lograr su objetivo.
B) Demuestra que si $n$ es par, Mafalda nunca logrará su objetivo

Es un lindo problema de geometría combinatoria y se puede jugar con él. El objetivo de esta entrada es dar una solución muy sencilla a la Parte A que fue propuesta durante las reuniones de jurado.  Para disfrutar un poco esta solución es recomendable intentarlo un rato antes de pasar a la siguiente sección. La solución de la Parte B y otras soluciones se pueden ver en www.imo-official.org (hay que buscarlas en el menú de Problemas).

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