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Álgebra Lineal II: Teorema de Sylvester

Por Diego Ligani Rodríguez Trejo

5 respuestas

Introducción

En entradas anteriores estudiamos las formas bilineales y las cuadráticas. También vimos las matrices que las representan. Introdujimos una noción de congruencia de matrices relacionada con todo esto. Y vimos que la congruencia de matrices preserva una noción de positividad para matrices. Ahora daremos un paso más y veremos que de hecho la congruencia de matrices preserva más que sólo eso.

Para ello, introduciremos la noción de la signatura de una matriz. A grandes rasgos, esta noción nos dice «qué tan positiva» es una matriz simétrica. Para definir esta noción, lo haremos primero para las matrices diagonales. Luego lo definiremos para todas las matrices simétricas a través del teorema que demostramos la entrada anterior. Toda la discusión la haremos en el caso real. El caso complejo tiene sus versiones análogas, que quedarán descritas en los ejercicios.

Signatura de una matriz diagonal

Comenzamos con la siguiente definición.

Definición. Sea $A$ una matriz diagonal en $M_n(\mathbb{R})$. Sea $P$ la cantidad de entradas positivas en la diagonal y $N$ la cantidad de entradas negativas en la diagonal. A $(P,N)$ le llamamos la signatura de $A$.

En cierto sentido, la signatura generaliza tanto la noción de rango, como la noción de positividad y de positividad definida. Esto queda plasmado en las siguientes observaciones.

Observación. Una matriz diagonal ya está en forma escalonada reducida. Y el rango de una matriz en forma escalonada reducida coincide con la cantidad de renglones no cero. Así, si la signatura de una matriz diagonal es $(P,N)$, entonces su rango es $P+N$.

Observación. Por lo que vimos en la entrada anterior, una matriz diagonal en $M_n(\mathbb{R})$ es positiva si y sólo si ninguna de sus entradas diagonales es negativa. Esto pasa si y sólo si su signatura es de la forma $(k,0)$ para algún $0\leq k\leq n$.

Observación. Por un resultado análogo al de la entrada anterior, una matriz diagonal es $M_n(\mathbb{R})$ es positiva definida si y sólo si todas sus entradas diagonales son positivas. Esto pasa si y sólo si su signatura es $(n,0)$.

La signatura es invariante bajo congruencias

El resultado clave de esta entrada es el siguiente lema.

Lema. Sean $A$ y $B$ matrices diagonales en $M_n(\mathbb{R})$ congruentes entre sí. Entonces la signatura de $A$ y la de $B$ son iguales.

Demostración. Llamemos $(P,N)$ a la signatura de $A$ y $(Q,M)$ a la signatura de $B$.

Como $A$ y $B$ son congruentes, entonces representan a una misma forma cuadrática $q:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$, pero quizás en diferentes bases. Sea $\alpha$ la base en la cual $q$ tiene matriz $A$ y $\beta$ la la base en la cual $q$ tiene matriz $B$. Sea $b$ la forma polar de $p$.

Como la signatura de $A$ es $(P,N)$, entonces $q$ es positivo (resp. negativo, cero) para $P$ (resp. $N$, $n-P-N$) elementos de la base $\alpha$. Tenemos algo análogo para $B$. Así, podemos llamar a las bases

\begin{align*}
\alpha&=\{a^+_1,\ldots,a^+_P,a^-_1,\ldots, a^-_N,a^0_1\ldots, a^0_{n-P-N}\},\\
\beta&= \{b^+_1,\ldots,b^+_Q,b^-_1,\ldots, b^-_M,b^0_1\ldots, b^0_{n-Q-M}\},\\
\end{align*}

en donde $q$ aplicado a alguno de estos elementos tiene el signo del superíndice.

Demostraremos que $P=Q$ por contradicción. Supongamos que no. Sin perder generalidad, $P>Q$. Consideremos $V$ el subespacio de $\mathbb{R}^n$ generado por los vectores $a^+_1,\ldots,a^+_P$ y $W$ el subespacio de $\mathbb{R}^n$ generado por los vectores $b^-_1,\ldots, b^-_M,b^0_1\ldots, b^0_{n-Q-M}.$ Estos espacios tienen dimensión $P$ y $n-Q$ respectivamente. Como $P>Q$, tenemos que $P+(n-Q)>Q+(n-Q)=n$. Así, los espacios $V$ y $W$ tienen intersección no trivial, y por lo menos hay un vector $v$ distinto de $0$ en $V\cap W$. ¿Cuánto vale $q(v)$?

Por un lado, $v$ está en $V$ así que es combinación lineal de elementos $a^+_i$: $$v=\sum_{i=1}^P r_i a^+_i.$$ De este modo:

\begin{align*}
q(v)=\sum_{i=1}^P r_i^2 q(a^+_i) + 2\sum_{i=1}^P\sum_{j=1}^P b(a^+_i,a^+_j).
\end{align*}

El primer sumando es positivo pues $q$ es positivo en todo $a^+_i$. El segundo sumando es cero pues cada término es $0$ por ser una entrada $(i,j)$ con $i\neq j$ de la matriz diagonal $A$. Así, $q(v)>0$.

Similarmente, $v$ está en $W$ así que es combinación lineal de elementos $b^-_i$ y elementos $b^0_i$, de donde se puede mostrar que $q(v)\leq 0$.

Hemos encontrado una contradicción que surgió de suponer $P\neq Q$, así que $P=Q$. De manera análoga se demuestra que $N=M$. Así, la signatura de $A$ y de $B$ debe ser la misma.

$\square$

Signatura para matrices simétricas

En la entrada anterior vimos que cualquier matriz simétrica en $M_n(\mathbb{R})$ es congruente a alguna matriz diagonal. Es posible que sea congruente a más de una matriz diagonal.

Definición. Sea $A$ una matriz simétrica en $M_n(\mathbb{R})$. Sea $D$ una matriz diagonal congruente a $A$. Definimos la signatura de $A$ como la signatura de $D$.

El lema de la sección anterior nos permite asegurarnos de que la siguiente definición está bien hecha. Si $A$ fuera congruente a dos matrices diagonales $D$ y $E$, entonces $D$ y $E$ serían congruentes entre sí. De este modo, la signatura de $A$ no cambia si la tomamos con respecto a $D$ o con respecto a $E$.

Pensemos que dos matrices $A$ y $B$ son congruentes entre sí. Sean $D$ y $E$ matrices diagonales congruentes a $A$ y $B$ respectivamente. Por transitividad, $D$ y $E$ son congruentes, así que tienen la misma signatura. Así, $A$ y $B$ tienen la misma signatura.

Una última observación es la siguiente. Si $A$ y $B$ son simétricas y congruentes entre sí, entonces están relacionadas mediante un producto con matrices invertibles. Como el producto por matrices invertibles no afecta el rango, concluimos que $A$ y $B$ tienen el mismo rango. Juntando esto con observaciones anteriores, una matriz simétrica $A$ de signatura $(P,N)$ tiene rango $P+N$.

Resumimos todo esto en el siguiente resultado.

Proposición. Sean $A$ y $B$ matrices simétricas.

  • Si la signatura de $A$ es $(P,N)$, entonces su rango es $P+N$.
  • Si $A$ y $B$ son congruentes, entonces tienen la misma signatura. En particular:
    • Tienen el mismo rango.
    • Si una es positiva, la otra también lo es.
    • Si una es positiva definida, la otra también lo es.

El teorema de Sylvester

Enunciemos las versiones análogas a lo anterior en términos de formas cuadráticas. Comencemos con el teorema de Gauss. Tomemos una forma cuadrática $q$ de $\mathbb{R}^n$ y escribámosla como $$q=\sum_{i=1}^r a_i l_i^2$$ con $a_1,\ldots,a_r$ reales y $l_1,\ldots,l_r$ formas lineales linealmente independientes.

Podemos quitar todos los términos con $a_i=0$ sin afectar la igualdad. Además, si $a_i$ es positivo podemos factorizarlo en $l_i^2$ para definir $m_i=(\sqrt{a_i}l_i)^2$, y si $a_i$ es negativo podemos factorizar $-a_i$ en $l_i^2$ para obtener $m_i=(\sqrt{-a_i}l_i)^2$. En otras palabras, de cualquier expresión de Gauss podemos llegar a una de la forma $$q=\sum_{i=1}^r \epsilon_i m_i^2,$$

en donde los $\epsilon_i$ son $1$ o $-1$. Si tenemos $P$ valores de $\epsilon_i$ iguales a $1$ y $N$ valores de $\epsilon_i$ iguales a $-1$ diremos que la signatura de $q$ es $(P,N)$ y que el rango de $q$ es $P+N$.

¿Por qué esto está bien definido? Porque ya vimos que cada forma de Gauss de $q$ da una base en la cual la matriz que representa a $q$ es diagonal. Las entradas de la diagonal son los coeficientes de la forma de Gauss. Dos matrices que salen así son congruentes, así que por el lema de la sección anterior tienen la misma signatura. Esto garantiza que en ambas expresiones de Gauss de las de arriba hay la misma cantidad de $1$s y $-1$s.

El gran resumen de todo esto es el siguiente teorema.

Teorema (ley de inercia de Sylvester). Sea $q$ una forma cuadrática de $\mathbb{R}^n$. Entonces existen $\epsilon_1,\ldots,\epsilon_r$ iguales a $1$ o a $-1$ y formas lineales $l_1,\ldots,l_r$ linealmente independientes tales que $$q=\sum_{i=1}^r \epsilon_i l_i^2.$$

Cualesquiera dos expresiones de este estilo tienen la misma cantidad de coeficientes positivos, y la misma cantidad de coeficientes negativos.

Dato curioso: ¿Por qué ley de inercia?

En esta entrada nos hemos referido al teorema de Sylvester de dos maneras intercambiables: teorema de Sylvester y ley de inercia de Sylvester. La intuición diría que quizás existe alguna relación con la física. Quizás es porque algún uso especial de este teorema lo hace importante para el cálculo de la inercia. Esto no es así.

El nombre, curiosamente, viene de esta frase de Sylvester:

Este número constante de signos positivos que se asocian a una función cuadrática bajo cualquier transformación […] puede ser llamado, convenientemente, su inercia, hasta que una mejor palabra sea encontrada.

J. J. Sylvester, On the Theory of the Syzygetic Relations… (1853)

Aparentemente no se encontró una mejor palabra y ahora es el térimo que se usa. Interpretando un poco lo que dice Sylvester, la inercia se refiere a la resistencia de un cuerpo de cambiar de estado. Así, tal vez Sylvester pensó en la «resistencia a cambiar» de la signatura de una forma cuadrática bajo cambios de base.

Más adelante…

Hay mucha más teoría que se puede enunciar y demostrar para formas cuadráticas en general. Por ahora detendremos nuestra exploración hasta aquí, y ya sólo nos enfocaremos en las formas bilineales simétricas y positivas, es decir, en los productos interiores. Queremos enunciar y demostrar varios resultados para espacios con producto interior y para espacios euclideanos.

Dos conceptos que estudiaremos a continuidad son el de dualidad y el de ortogonalidad. Esto nos abrirá las puertas a entender correctamente algunos tipos de transformaciones lineales muy importantes, como las transformaciones simétricas, las normales y las ortogonales.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso. Sin embargo, ayudan para repasar los conceptos vistos en esta entrada.

En los siguientes ejercicios, usa el algoritmo de Gauss para escribir cada forma como combinación cuadrática de formas lineales linealmente independientes. Además encuentra su rango y signatura.

  1. Encuentra el rango y la signatura de la forma cuadrática$q : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}$ dada por
    \begin{align*} q(x,y,z,t)= xy + yz + zt+tx. \end{align*}
  2. Completa algunos detalles faltantes en las demostraciones anteriores. Por ejemplo:
    1. ¿Por qué las formas $m_i$ de la discusión del teorema de Sylvester son linealmente independientes?
    2. ¿Por qué son análogas las demostraciones faltantes en el lema que demostramos?
  3. Demuestra que cualquier matriz simétrica es congruente a una matriz diagonal cuya diagonal es de la forma $1,\ldots,1,-1\ldots,-1,0,\ldots,0$.
  4. Enuncia y demuestra un resultado análogo al lema principal de esta entrada, pero para matrices con entradas complejas. Recuerda que en este caso debes usar matrices hermitianas y las congruencias son a través de usar una matriz invertible y su traspuesta conjutada.
  5. Enuncia y demuestra una ley de inercia de Sylvester para formas cuadráticas hermitianas.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Ecuaciones Diferenciales I: Soluciones a las ecuaciones diferenciales

Por Omar González Franco

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Las matemáticas son la puerta y la llave a la ciencia.
– Roger Bacon

Introducción

En la entrada anterior vimos lo que son las ecuaciones diferenciales (ED), en particular las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) con las que trabajaremos a lo largo del curso. Vimos también como clasificarlas por tipo, orden y linealidad.

Mencionábamos que lo que nos interesa al tener una ecuación diferencial es hallar la función involucrada que depende de la variable independiente, hallar dicha función significa que hemos resuelto la ecuación diferencial y a la función encontrada la llamaremos función solución, o simplemente solución. Antes de aprender a resolver ecuaciones diferenciales, en esta entrada estudiaremos las propiedades mismas de una solución.

Soluciones de ecuaciones diferenciales

Una función $f$ es solución si para una ecuación diferencial ordinaria de $n$-ésimo orden cumple lo siguiente.

$$F(x, f(x), f^{\prime}(x), \cdots, f^{(n)}(x)) = 0 \tag{1} \label{1}$$

para toda $x \in \delta$. En este curso supondremos que una solución $f$ es una función con valores reales, es decir, $\delta \in \mathbb{R}$.

El intervalo de solución $\delta$ también es conocido como intervalo de definición, intervalo de existencia, intervalo de validez o dominio de la solución y puede ser un intervalo abierto $(a, b)$, un intervalo cerrado $[a, b]$, un intervalo infinito $(a, \infty)$, etcétera.

Ejemplo: Verificar que la función

$$f(x) = y = \dfrac{1}{x}$$

es solución de la ecuación diferencial

$$x \dfrac{dy}{dx} + y = 0$$

Solución: Consideremos la función $y = \dfrac{1}{x}$ para toda $x \neq 0$. La derivada de esta función es

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{x^{2}}$$

para toda $x \neq 0$. Sustituyamos estas funciones en la ecuación diferencial y verifiquemos que se satisface la igualdad.

\begin{align*}
x \dfrac{dy}{dx} + y &= x \left( -\dfrac{1}{x^{2}} \right) + \dfrac{1}{x} \\
&= -\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} \\
&= 0
\end{align*}

Como hemos recuperado la ecuación diferencial decimos que en efecto $y = \dfrac{1}{x}$ es solución. Observemos que la solución no está definida para $x = 0$, sin embargo, al ser solución significa que es una función definida en un intervalo $\delta$ en el que es derivable y satisface la ecuación, esto indica que $y$ es solución en cualquier intervalo que no contenga al $0$.

Como observación notemos que la función $f(x) = y = 0$ y la derivada correspondiente $\dfrac{dy}{dx} = 0$, también satisfacen la misma ecuación diferencial, entonces decimos que dicha ecuación diferencial tiene solución trivial.

Como podemos notar, tanto la función $y = \dfrac{1}{x}$, como la función constante $y = 0$, son solución de la misma ecuación diferencial, ¡esto significa que una ecuación diferencial puede tener más de una solución!.

$\square$

Curva solución de una ecuación diferencial

Las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de una variable dependiente son funciones de una variable independiente, por lo tanto se pueden graficar en el plano $XY$. De acuerdo a la definición de solución, y al ejemplo anterior, es importante hacer una distinción entre el dominio de una función (los valores para los cuales la función está definida) y un intervalo de solución.

Si $f(x)$ es solución de una ecuación diferencial, entonces $f(x)$ es derivable, lo que también significa que es continua en su intervalo de definición $\delta$, esto es necesario para ser solución y no siempre va a ocurrir para todo el dominio de la función $f$. Puede haber diferencia entre la gráfica de la función $f(x)$ y la gráfica de la solución $f(x)$. En el ejemplo anterior el dominio de la función $y = \dfrac{1}{x}$ es $D = \mathbb{R} -\{0\}$, mientras que el intervalo de solución es cualquier intervalo que no contenga al $0$, por ejemplo $\delta = (-\infty, -1)$, $\delta = (5, 100)$ o $\delta = (1, \infty)$, etcétera. El intervalo de solución no necesita ser igual al dominio de la función $f(x)$.

Gráfica de la función $y = \dfrac{1}{x}$.
Curva solución definida por $y = \dfrac{1}{x}$ en el intervalo $\delta = (1, 100)$.

Ejemplo: Comprobar que la función

$$f(x) = y = \dfrac{1}{4 -x^{2}}$$

es solución de la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} = 2xy^{2}$$

y determinar al menos un intervalo de solución.

Solución: La función dada es

$$y = \dfrac{1}{4 -x^{2}}$$

La derivada de esta función es

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x}{(4 -x^{2})^{2}}$$

Esta ecuación se puede reescribir de la siguiente manera:

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x}{(4 -x^{2})^{2}} = 2x \dfrac{1}{(4 -x^{2})^{2}} = 2x \left(\dfrac{1}{4 -x^{2}}\right) ^{2} = 2xy^{2}$$

Esto es,

$$\dfrac{dy}{dx} = 2xy^{2}$$

Efectivamente, la función dada es solución de la ecuación diferencial.

Ahora debemos determinar un intervalo de solución, para hacerlo podemos comenzar por determinar el dominio de la función. La función $y = \dfrac{1}{4 -x^{2}}$ no está definida cuando $4 = x^{2}$, es decir, cuando $x = 2$ o $x = -2$, por lo tanto el dominio de la función es

$$D = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$$

Gráfica de la función $\dfrac{1}{4 -x^{2}}$.

El intervalo de solución es cualquiera que no contenga al $-2$ ni al $2$, el ejercicio nos pide determinar al menos un intervalo de solución, podemos entonces considerar el intervalo abierto$\delta = (2, \infty)$ como el intervalo de solución.

Curva solución en el intervalo $ \delta = (2, \infty)$.

$\square$

Soluciones explícitas y soluciones implícitas

Recordemos que una función es explícita si se puede escribir como $y = f(x)$, es decir, si la variable dependiente se puede escribir en términos de la variable independiente, mientras que una función implícita esta dada por la forma $f(x, y) = 0$. Ya sabemos que las soluciones de las ecuaciones diferenciales son funciones por lo que estos conceptos se pueden extender a estas soluciones.

Una solución explicita $y = f(x)$ la podemos manejar, evaluar y derivar usando las reglas usuales. Más adelante nos encontraremos con soluciones en las que no es factible obtener la forma explicita y tendremos que hallar al menos una forma implícita de la solución.

Ejemplo: Verificar que la relación

$$x^{2} + y^{2} = 100$$

es una solución implícita de la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$$

y determinar las soluciones explícitas.

Solución: Primero notemos que, de acuerdo a la definición de solución implícita, la relación dada se puede escribir como

$$G(x, y) = x^{2} + y^{2} -100 = 0$$

Derivemos esta ecuación implícitamente.

\begin{align*}
\dfrac{d}{dx} \left( x^{2} + y^{2} -100 \right) &= \dfrac{d}{dx} (0) \\
\dfrac{d}{dx} (x^{2}) + \dfrac{d}{dx} (y^{2}) -\dfrac{d}{dx} (100) &= \dfrac{d}{dx} (0) \\
2x + \dfrac{d}{dy}y^{2}\dfrac{dy}{dx} -0 &= 0 \\
2x + 2y \dfrac{dy}{dx} &= 0
\end{align*}

De la última relación despejamos $\dfrac{dy}{dx}$ obteniendo así la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$. Por lo tanto $x^{2} + y^{2} = 100$ es una solución implícita. El intervalo de solución es $\delta = (-10, 10)$.

Gráfica de la solución implícita $x^{2} + y^{2} = 100$

La relación $x^{2} + y^{2} = 100$ es una solución implícita ya que no es de la forma $y = f(x)$, sin embargo se puede obtener la solución explícita con sólo despejar a $y$.

$$y = \pm \sqrt{100 -x^{2}}$$

Pero notemos que ahora tenemos dos soluciones.

$$y_{1} = \sqrt{100 -x^{2}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y_{2} = -\sqrt{100 -x^{2}}$$

Estas funciones satisfacen respectivamente $x^{2} + y_{1}^{2} = 100$ y $x^{2} + y_{2}^{2} = 100$, además de la ecuación diferencial. Por lo tanto, ambas son soluciones explícitas en el mismo intervalo $\delta = (-10, 10)$ .

En las siguientes gráficas se muestran las curvas solución de cada solución explícita.

Curva solución $y_{1} = \sqrt{100 -x^{2}}$.
Curva solución $y_{2} = -\sqrt{100 -x^{2}}$.

Observamos que cada solución explícita corresponde a un tramo de la solución implícita y ambas forman dicha solución.

$\square$

Con este ejemplo vemos que es importante entender las circunstancias del problema para poder determinar la solución adecuada de la ecuación diferencial. En este caso la solución implícita involucra a las dos soluciones explícitas y nos permite conocer más acerca del problema. Cabe mencionar que no siempre será necesario o posible obtener la solución explícita, en el ejemplo fue sencillo obtener la función $y$ en términos de $x$, pero no siempre será el caso y obtener la solución implícita $G(x, y) = 0$ será suficiente.

Otro punto importante a observar es que al derivar la constante $100$ se obtiene un cero, eso significa que, independientemente del valor de la constante, al derivar siempre vamos a obtener un cero, considerando esto, la forma más general de expresar la solución anterior es

$$x^{2} + y^{2} = c$$

donde $c$ es una constante arbitraria. Si derivamos obtendremos nuevamente la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$$

Debido a que hay una infinidad de valores que puede tomar $c$ (en el campo de los reales), entonces significa que la ecuación diferencial ¡tiene infinitas soluciones!.

En efecto, una ecuación diferencial puede tener una infinidad de soluciones, así que dependerá del problema o de las condiciones, la solución que debamos considerar. A pesar de que una ecuación diferencial puede tener infinitas soluciones es posible encontrar un solución general que considere todas las posibilidades.

Familias de soluciones

Al resolver una ecuación diferencial de primer orden

$$F(x, y , y^{\prime}) = 0 \label{2} \tag{2}$$

normalmente se obtiene una solución que contiene una sola constante arbitraria $c$.

Este concepto se puede extender a una ecuación diferencial de orden $n$

$$F(x, y, y^{\prime}, \cdots, y^{(n)}) = 0 \label{4} \tag{4}$$

en este caso la solución

$$G(x, y, c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}) = 0 \label{5} \tag{5}$$

corresponde a una familia de soluciones $n$-paramétrica.

En el ejemplo que vimos, la relación

$$x^{2} + y^{2} = c$$

corresponde a la solución general de la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} = – \dfrac{x}{y}$$

mientras que la relación

$$x^{2} + y^{2} = 100$$

corresponde a una posible solución, en este caso decimos que es una solución particular.

Concluyamos esta entrada con un último ejemplo.

Ejemplo: Mostrar que la función

$$y(x) = 3x^{2} + c_{1}x + c_{2}$$

con $c_{1}$ y $c_{2}$ constantes arbitrarias, es solución general de la ecuación diferencial

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6$$

Solución: Derivemos dos veces la función dada y veamos si obtenemos la ecuación diferencial. Derivando una vez obtenemos lo siguiente.

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{d}{dx}(3x^{2}) + \dfrac{d}{dx}(c_{1}x) + \dfrac{d}{dx}(c_{2}) \\
&= 2(3x) + c_{1} + 0 \\
&= 6x + c_{1}
\end{align*}

La primer derivada es

$$ \dfrac{dy}{dx} = 6x + c_{1}$$

Derivemos nuevamente esta función.

\begin{align*}
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} &= \dfrac{d}{dx}(6x) + \dfrac{d}{dx}(c_{1}) \\
&= 6 + 0 \\
&= 6
\end{align*}

Efectivamente

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6$$

Por lo tanto, la función

$$y(x) = 3x^{2} + c_{1}x + c_{2}$$

es solución de la ecuación diferencial. Sabemos que es la solución general porque satisface a la ecuación diferencial de segundo orden y contiene dos constantes arbitrarias. Una posible solución particular sería la función

$$y(x) = 3x^{2} + 10x -5$$

o

$$y(x) = 3x^{2} -0.2x + 155$$

etcétera. En este caso no hay restricción de valores para $x$ por lo que el intervalo de solución puede ser cualquiera en $\mathbb{R}$ o bien $\delta = \mathbb{R}$

$\square$

Hemos concluido la entrada.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Comprobar que las siguientes funciones $y = f(x)$ son solución de la correspondiente ecuación diferencial y establecer un adecuado intervalo de solución $\delta$.
  • $2 \dfrac{dy}{dx} + y = 0$; $\hspace{1cm}$ $y = e^{-x/2}$
  • $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -6\dfrac{dy}{dx} + 13y = 0$; $\hspace{1cm}$ $y = e^{3x} \cos{(2x)}$
  • $(y -x) \dfrac{dy}{dx} = y -x + 8$; $\hspace{1cm}$ $y = x + 4\sqrt{x + 2}$
  1. Comprobar que las siguientes familias de soluciones son solución de la correspondiente ecuación diferencial y establecer un adecuado intervalo de solución $\delta$.
  • $\dfrac{dy}{dx} = y(1 -y)$; $\hspace{1cm}$ $y = \dfrac{c_{1}e^{x}}{1 + c_{1}e^{x}}$
  • $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4\dfrac{dy}{dx} + 4y = 0$; $\hspace{1cm}$ $y = c_{1}e^{2x} + c_{2}xe^{2x}$

Más adelante…

Ahora ya conocemos algunas características de las funciones solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Sabemos que existen soluciones generales, o familias de soluciones, de una ecuación diferencial, sin embargo en algunas situaciones nos veremos en la necesidad de conocer una solución particular debido a condiciones prescritas según el problema que estemos estudiando, a estas condiciones prescritas las llamamos condiciones iniciales (o valores iniciales) y serán las que establezcan una solución particular que nos sirva para modelar nuestro problema.

En la siguiente entrada estudiaremos soluciones con condiciones iniciales y revisaremos algunos problemas del mundo real que involucran ecuaciones diferenciales ordinarias.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior I: Problemas de condicionales y cuantificadores

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

En esta entrada resolveremos problemas de temas vistos en entradas anteriores. Haremos algunos ejemplos relacionados con los conectores condicionales que vimos en una entrada anterior: la implicación y la doble implicación. También veremos algunos de cuantificadores lógicos.

Problemas resueltos

Problema. Si $P$ y $R$ son verdaderas y $Q$ es falsa, di si la siguiente proposición es verdadera o falsa: $$(P \lor R) \Rightarrow \neg(Q \land R).$$

Solución. Haremos una tabla de verdad pero únicamente con los valores que nos dan, es decir, no vamos a hacer la tabla para todos los casos, sino únicamente los que nos interesan en este momento:

$P$$Q$$R$$P \lor R$ $Q \land R$$\neg (Q \land R)$$(P \lor R) \Rightarrow \neg(Q \land R)$
$1$$0$$1$  $1$ $0$  $1$   $1$

Por lo tanto la proposición es verdadera para los valores de verdad dados.

$\square$

Problema. Di si las siguientes proposiciones sobre los números enteros son verdaderas o no:

  1. $(3+1=4) \Rightarrow (0<10)$
  2. $(4=5) \Leftrightarrow (9+1=10)$
  3. $((6<7) \lor (3^2=10)) \Rightarrow (12<12^2)$
  4. $((-1<1) \land (1<-1)) \Leftrightarrow ((13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2))$

Solución.

Vamos a hacer algunas verificaciones sobre cada una de las proposiciones para encontrar su valor de verdad:

  • $(3+1=4) \Rightarrow (0<10)$

Como $3+1=4$ es verdadera y $0<10$ es verdadera también, entonces la proposición es verdadera.

  • $(4=5) \Leftrightarrow (9+1=10)$

Recordemos que la doble condicional es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Por un lado no es cierto que $4=5$ mientras que sí es verdad que $9+1=10$. Por lo tanto la proposición es falsa.

  • $((6<7) \lor (3^2=10)) \Rightarrow (12<12^2)$

Vamos a ver la proposición por partes. Primero veamos que $((6<7) \lor (3^2=10))$ es una disyunción verdadera pues una de las proposiciones que la componen, $6<7$, lo es. Como $12<12^2$ es verdad, entonces la implicación tiene antecedente y subsecuente verdaderos y por lo tanto es verdadera.

  • $((-1<1) \land (1<-1)) \Leftrightarrow ((13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2))$

De nuevo vamos a dividir la proposición en sus partes, $(-1<1) \land (1<-1)$ y $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$. Primero notemos que $(-1<1) \land (1<-1)$ es falsa, pues no es cierto que $1<-1$.

Ahora, veamos cómo es $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$. Nota que $12=13-1$ y $12=12-1+1$, entonces $13-1=12-1+1$. Entonces esta primera parte es verdad, mientras que $1+1=2$ pero no es cierto que $2<2$. Así que es falso que $1+1<2$. Entonces $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$ es falso.

Como $(-1<1) \land (1<-1)$, $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$ son ambas falsas, entonces $((-1<1) \land (1<-1)) \Leftrightarrow ((13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2))$ es verdadero.

$\square$

Nota: En este tipo de ejercicios, ¿viste cómo se dieron las argumentaciones de las proposiciones en cada caso? El secreto aquí fue «desarmar» las proposiciones en partes más pequeñas. Esto lo hacemos pues recuerda que los conectores son binarios, esto significa que su valor de verdad depende del valor de verdad de las dos proposiciones que conectan.

Así, para ver cuál es el valor de verdad de $((6<7) \lor (3^2=10)) \Rightarrow (12<12^2)$, lo que hicimos fue deshacerlo en sus partes. Una parte $A$ fue $(6<7) \lor (3^2=10)$ y la otra parte $B$ fue $12<12^2$. Entonces bastaba con verificar cuáles eran los valores de verdad de $A$ y $B$. Para ello, volvimos a «desarmar» a $A$ en sus partes «atómicas». Es decir, desarmamos $(6<7) \lor (3^2=10)$ en $6<7$ y $3^2=10$ y estudiamos el valor de verdad de cada uno de ellos. Usualmente este tipo de pensamiento de «desarmar un problema en sus partes» te ayudará a verificar o demostrar cosas más adelante.

Problema. Sean $P(x)$, $Q(x)$ y $R(x)$ los siguientes predicados:

  • $P(x): x \leq 4$
  • $Q(x): x +1$ es par.
  • $R(x): x> 0$

Si nuestro universo de discurso son los números enteros, ¿cuáles son los valores de verdad de las siguientes proposiciones?

  1. $P(1)$
  2. $P(1) \Rightarrow Q(1)$
  3. $P(0) \Rightarrow (R(5) \Rightarrow Q(0))$
  4. $R(-1) \lor P(2)$
  5. $\neg R(-2) \land P(-2)$

Solución.

1.$P(1)$

Es verdadera, pues $1 \leq 4$.

2. $P(1) \Rightarrow Q(1)$

Como $P(1)$ es verdadera y además $1+1=2$ es par, entonces la proposición es verdadera.

3. $P(0) \Rightarrow (R(5) \Rightarrow Q(0))$

Vamos a dividir la proposición en partes. Primero notemos que $P(0)$ es verdad. Mientras que $R(5) \Rightarrow Q(0)$ es falsa, ya que es cierto que $5>0$ pero es falso que $0+1$ sea par. Entonces la proposición es falsa.

4. $R(-1) \lor P(2)$

Como $R(-1)$ es falsa pero $P(2)$ es verdad, entonces la proposición es verdadera.

5. $\neg R(-2) \land P(-2)$

Como $-2>0$ es falsa, entonces $\neg R(-2)$ es verdad. Además, $-2<4$ es verdad. De esta manera la proposición es verdadera.

$\square$

Problema. Considera los siguientes predicados:

  • $P(x): 2x>0$
  • $Q(x):x>0$
  • $R(x): x=20$
  • $T(x):x<0$

Determina la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones, considerando que nuestro universo de discurso son los números enteros. Si la proposición no es verdadera, da un contraejemplo o explicación de ello.

  1. $\forall x: (P(x) \Rightarrow Q(x))$
  2. $\exists x: (Q(x) \land T(x))$
  3. $\forall x: (R(x) \Rightarrow Q(x))$
  4. $\exists ! x:(R(x))$
  5. $ \nexists x :(Q(x) \land P(x))$

Solución.

  • $\forall x:(P(x) \Rightarrow Q(x))$

Nota que siempre que se cumple $2x>0$ entonces $x>0$ (más adelante demostrarás esto con toda formalidad, pero de momento lo daremos por cierto). Por lo tanto la proposición es verdadera.

  • $\exists x: (Q(x) \land T(x))$

Para que esto sucediera, necesitaríamos la existencia de al menos un elemento $x$ que cumpla $0<x$ y $x>0$, es decir necesitaríamos un elemento que sea positivo y negativo a la vez, pero esto no es posible. Por lo tanto la proposición es falsa.

  • $\forall x:(R(x) \Rightarrow Q(x))$

Lo que nos dice esta proposición es «Para todo número entero $x$ que cumpla $x=20$ entonces $x>0$» o dicho de otra manera: «Si un número entero es igual a 20, entonces será positivo.» Lo cuál es correcto, pues si el número es distinto a 20, la implicación será correcta (recuerda la tabla de verdad de la implicación), mientras que el único caso en donde la hipótesis se cumple es cuando $x=20$ y claramente es un número que cumple $x>0$. Entonces la proposición es verdadera.

  • $\exists ! x:(R(x))$

Esto nos quiere decir que existe un único número entero que sea igual a 20, e inmediatamente podemos saber que es verdadera, pero ¿A qué nos referiremos que un número sea igual a 20? Primero tendríamos que ponernos de acuerdo de qué significa la igualdad. Aunque ahora no lo haremos, piensa el cómo nos aseguraríamos de que es el único número entero que cumple esa propiedad. ¿Qué pasaría si no fuera cierto?

  • $ \nexists x: (Q(x) \land P(x))$

Lo que dice la proposición es que ningún número $x$ va a cumplir a la vez $x>0$ y $2x>0$, pero esto no es cierto, pues pensemos en $x=1$. Cumple $Q(x)$ ya que $1>0$ y cumple $P(x)$ porque $2\cdot 1=2>0$. Entonces podemos decir que es falso pues dimos un contraejemplo que contradijo la proposición.

$\square$

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Campo de pendientes asociado a una ecuación diferencial, curvas integrales y método de las isoclinas

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

Hola, bienvenidos a una nueva entrada del curso de Ecuaciones Diferenciales I. En la entrada anterior definimos a las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria. Así que ahora veremos un poco de la geometría de soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden, en particular de la forma \begin{align*}\frac{dy}{dt}=f(t,y(t)).\end{align*}

Comenzaremos asociando un campo de pendientes a una ecuación diferencial, definiremos posteriormente el concepto de curvas integrales, y estudiaremos la relación que existe con las soluciones a la ecuación asociada.

Posteriormente revisaremos el método de las isoclinas el cual sirve para encontrar y dibujar las soluciones a una ecuación diferencial usando las curvas de nivel de $\frac{dy}{dt}=f(t,y(t))$, vista como una función $f:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$.

Manos a la obra!

Campo de pendientes asociado a una ecuación diferencial y relación con sus soluciones

En el primer video, vemos cómo asociar un campo de pendientes a una ecuación de la forma $\frac{dy}{dt}=f(t,y(t))$ y revisamos un par de ejemplos.

Una vez que asociamos un campo de pendientes, en los siguientes dos videos definimos a las curvas integrales y estudiamos la relación que guardan con las soluciones a la ecuación diferencial.

Método de las isoclinas

Estudiamos un método bastante sencillo, llamado de las isoclinas, para conocer el comportamiento de las soluciones a una ecuación diferencial, mediante las curvas de nivel de la función $f:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ que define a la ecuación y el campo de pendientes asociado que definimos en los videos de la sección anterior.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Esboza el campo de pendientes asociado a la ecuación $\frac{dy}{dt}=y$.
  • Dibuja las curvas integrales del campo de pendientes asociado a la ecuación $\frac{dy}{dt}=y$.
  • Prueba que si $\phi: (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ es una curva integral del campo de pendientes asociado a la ecuación $\frac{dy}{dt}=f(t,y(t))$ entonces $\phi(t)$ es solución a la ecuación diferencial.
  • Esboza las soluciones de la ecuación $\frac{dy}{dt}=-\frac{t}{y}$, con base en la información obtenida en el segundo ejemplo del último video. Analiza qué sucede con los puntos sobre el eje $t$, ¿forman parte de alguna solución a la ecuación?
  • En el último video hablamos acerca de las ventajas del método de las isoclinas. ¿Cuáles son las desventajas de usar este método para encontrar las soluciones a una ecuación?
  • Utiliza el método de las isoclinas para encontrar las soluciones a la ecuación $\frac{dy}{dt}=\frac{y}{t}$.

Más adelante

En la próxima entrada continuaremos analizando soluciones de una ecuación diferencial de primer orden desde un punto de vista geométrico. En esta ocasión nos enfocaremos en el caso particular de las ecuaciones del tipo $\frac{dy}{dt}=f(y)$.

Para esto analizaremos los puntos de equilibrio de la función $f(y)$ y haremos un diagrama bastante sencillo de dibujar que nos servirá para hacer un esbozo de las soluciones a la ecuación.

Nos vemos en la próxima ocasión.

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Idea intuitiva de límite de una función

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

2 respuestas

Introducción

La definición de límite de una función suele ser uno de los conceptos más retadores dentro del cálculo y es por ello que, antes de entrar a su análisis formal, queremos dar una introducción con la finalidad de desarrollar la intuición necesaria para lograr el entendimiento de esta definición.

Idea intuitiva de límite de una función

Consideremos la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(x) = 10x$.

En la gráfica de la función $f(x) = 10x$, podemos observar que si $x$ toma valores cercanos a $2$, entonces $f(x)$ se aproxima a $20$. ¿Pero qué tanto es posible aproximar los valores de la función $f(x)$ a $20$?

Por ejemplo, ¿podemos encontrar un valor de $x$ distinto de $2$ tal que $f(x)$ esté a una distancia de $20$ menor que $12$ , es decir, $|f(x) – 20| < 12$?

Consideremos $x = 1$. De esta forma, $f(1) = 10$ y $|f(1) – 20| = |10 – 20| = 10 < 12$.

¿Podemos encontrar un valor de $x$ distinto de $2$ tal que $f(x)$ esté a una distancia de $20$ menor que $1$, es decir, $|f(x) – 20| < 1$?

Si tomamos $x=1.99$, se tiene que $|f(1.99) – 20| = |19.9 – 20| = 0.1 < 1$.

Hasta este momento, se han encontrado valores puntuales de $x$ que permiten que $f(x)$ se aproxime a $20$. Sin embargo, existen más valores de $x$ que lo pueden cumplir. Retomando la última aproximación deseada, podemos ver que $x=2.02$ también cumple el propósito, pues $|f(2.02) – 20| = |20.2- 20| = 0.2 < 1$. En realidad, es posible hallar todo un intervalo que lo cumpla.

Para poder obtener dicho intervalo, procedemos estableciendo la desigualdad deseada

\begin{gather*}
& |f(x) – 20| < 1. \\ \\
\Leftrightarrow & |10x – 20|< 1. \\ \\
\Leftrightarrow & \frac{|10x – 20|}{10}< \frac{1}{10}. \\ \\
\Leftrightarrow & |x – 2| < \frac{1}{10}.
\end{gather*}

Lo anterior indica que para que $f(x)$ esté a una distancia de $20$ menor que $1$, entonces $x$ debe estar a una distancia de $2$ menor que $\frac{1}{10}$.

¿Podemos encontrar un valor de $x$ distinto de $2$ tal que $f(x)$ esté a una distancia de $20$ menor que $\varepsilon > 0$, es decir, $|f(x) – 20| < \varepsilon$?

Análogamente, se obtiene que para que $|f(x)-20| < \varepsilon$, entonces $|x-2| < \frac{\varepsilon}{10}$. Generalizando más, podemos notar que para cualquier $x_0 \in \mathbb{R}$ se tiene que $|f(x)-10x_0| < \varepsilon$ con $x \neq x_0$, siempre que $|x-x_0| < \frac{\varepsilon}{10}.$

En la siguiente entrada se proporcionará la definición formal del límite. Sin embargo, de forma provisional para esta entrada, diremos que $L \in \mathbb{R}$ es el límite de la función $f$ en $x_0$ si la distancia entre $f(x)$ y $L$ es menor que un número $\varepsilon > 0$ elegido de antemano cuando $x$ se aproxima a $x_0$, pero es distinto de $x_0$.

Considerando lo anterior para nuestro ejemplo, se tiene que el límite de $f$ en $x_0 = 2$ es $L = 20$.

Usemos como segundo ejemplo la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(x) = x^2$.

Veremos que el límite de $f$ en $x_0 = 4$ es $L=16$. Para ello, notemos que

\begin{gather*}
& |f(x) – 16| < \varepsilon. \\
\Leftrightarrow & |x^2 – 16| < \varepsilon. \\
\Leftrightarrow & |(x-4)(x+4)| < \varepsilon. \\
\Leftrightarrow &|x-4||x+4| < \varepsilon.
\end{gather*}

A diferencia del caso anterior, parece que no es tan directo llegar a nuestro objetivo, pero notemos que particularmente podemos pedir que $|x-4| < 1$, entonces

\begin{gather*}
& -1< x-4 < 1. \\
\Leftrightarrow & 3 < x < 5. \\
\Leftrightarrow & 7 < x+4<9.
\end{gather*}

En resumen, si $|x-4|<1$, entonces $|x+4| < 9$. Lo cual implica que
$$|x^2 – 16| = |x-4||x+4| < 9|x-4|.$$
Si además restringimos la distancia de $x$ respecto a $4$ de tal manera que $|x-4| < \frac{\varepsilon}{9}$ y retomando la expresión anterior llegamos a lo siguiente:

\begin{gather*}
|x^2 – 16| = |x-4||x+4| < 9|x-4| < 9 \cdot \frac{\varepsilon}{9} = \varepsilon. \\
\therefore |x^2 – 16| < \varepsilon.
\end{gather*}

Esto siempre que $|x-4|$ sea menor que $1$ y $\frac{\varepsilon}{9}$, es decir, siempre que $|x-4| < min\{1, \frac{\varepsilon}{9} \}$.


De los dos ejemplos revisados en esta entrada, podemos notar que logramos que $f(x)$ se aproxime a $L$ con una distancia menor de épsilon cuando $x$ está lo suficientemente cerca de $x_0$. Para lograr esto último, acotamos $x-x_0$ en términos de un valor positivo que depende de $\varepsilon$ (para el primer ejemplo fue $\frac{\varepsilon}{5}$ y para el segundo $min\{1, \frac{\varepsilon}{9} \}$). Vale la pena entonces darle un nombre a este valor positivo: $\delta$.

Parafraseando: Logramos que $f$ se aproxime arbitrariamente, dado $\varepsilon > 0$, a $L$ cuando $x$ está lo suficientemente cerca, $\delta > 0$, de $x_0$.

Obtenemos así un indicio muy importante, para probar que $L$ es el límite de $f$ en $x_0$, habrá que dar un valor arbitrario fijo y positivo $\varepsilon > 0$ para el cual necesitaremos encontrar otro valor positivo, $\delta > 0$, tal que si $|x-x_0|<\delta$, entonces se cumpla que $|f(x)-L| < \varepsilon$. Adicionalmente, se pide que $x \neq x_0$, tal condición puede ser compactada de la siguiente forma $0 < |x-x_0| < \delta$, pues que la distancia entre $x$ y $x_0$ sea mayor que cero implica directamente que son distintos.

Antes de finalizar con esta entrada, es conveniente aclarar que no siempre tendremos funciones tan amigables en las cuales podamos evaluar directamente el valor de $x_0$ en $f$ para encontrar $L$. Incluso habrá ocasiones en las cuales no nos podamos aproximar de la manera en la que lo hicimos en estos ejemplos, pero por ahora no daremos muchos detalles extra al respecto, será tema para entradas posteriores.

Más adelante…

En la siguiente entrada daremos la definición formal de límite de una función y veremos varios ejemplos de funciones cuyo límite existe. Una vez dominemos la definición podremos incursionar en varias de sus propiedades y podremos tomar ventaja de estos conocimientos para tener una mayor comprensión sobre el comportamiento de diversas funciones de interés.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Para corroborar que la idea intuitiva de límite de una función se ha comprendido, se queda como ejercicio realizar un análisis similar al expuesto en esta entrada. Consideremos la función $f(x) = 4x^2$ definida para todo $x \in \mathbb{R}$. En este caso, tomaremos $x_0=3$ y $f(x_0) = 4(3)^2 =36.$

  • Grafica $f(x)$.
  • Encuentra un valor de $x$ tal que $|f(x)-36| < 30$.
  • Encuentra un valor de $x$ tal que $|f(x)-36| < 1$.
  • Encuentra un intervalo de $x$ alrededor de $x_0 = 3$ tal que $|f(x)-36| < \frac{1}{100}$.
  • Encuentra un intervalo de $x$ alrededor de $x_0 = 3$ tal que $|f(x)-36| < \varepsilon$, con $\varepsilon > 0$.

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»