Álgebra Moderna I: Asociatividad Generalizada y Leyes de los Exponentes

Introducción

Una de las condiciones que pedimos para que un conjunto con una operación sea un grupo, es la asociatividad, la vimos en el caso de tres factores:

$\begin{align*}
a * b * c &= (a * b) * c \\
& = a *(b * c).
\end{align*}$

Intuitivamente sabemos que esto se vale para más factores. Por ejemplo, con cuatro factores podemos escribir las distintas maneras de asociar a los factores, algunas de las cuales se muestran a continuación:

$\begin{align*}
a * b * c *d& = (a * (b * c)) * d \\
& = ((a * b) * c) * d \\
& = (a * b) * (c * d).
\end{align*}$

Para más factores es un problema escribir todas las asociaciones posibles y justificar que el resultado de la operación no cambia sin importar la forma de asociar los factores. Para resolverlo, intuitivamente usaríamos inducción sobre el número de factores. Sin embargo, la inducción usual no nos ayuda ya que la forma de asociar no siempre consiste de algún factor que sea a su vez el producto de $n$ factores. Por ejemplo si queremos comparar el producto $a_1* (a_2* \cdots * a_n) * a_{n+1}$ con la expresión $(a_1 * (a_2 * \cdots * a_{n-1}))* (a_n * a_{n+1})$, en la primera expresión el segundo factor es el producto de $n$ factores pero en la segunda expresión no. Así, necesitamos usar la inducción modificada en la demostración.

Teorema de la Asociatividad Generalizada

Teorema. (Asociatividad Generalizada)
Sea $(G,*)$ en un grupo, $n \in \n$ con $3 \leq n$ y $a_1,…,a_n \in G$. Cualesquiera dos maneras de multiplicar estos elementos en dicho orden proporciona el mismo resultado (sin importar cómo se elijan factores adyacentes).

Demostración. Por inducción modificada.
Caso base $n =3$. Se cumple por la asociatividad de $*$.
Sea $n\in \n$ con $3 < n$.
Hipótesis de Inducción (H.I.): Supongamos que para menos de $n$ factores, el resultado se cumple.

Consideremos $a_1 * a_2 * \cdots * a_n$. Al elegir dos elementos adyacentes y multiplicarlos se tiene un factor menos. Así con cada producto que se realice, el número de factores decrece en uno. Eventualmente quedarán sólo dos factores.

Sean

$\begin{align*}
X &= (a_1 * \cdots * a_i) * (a_{i+1} * \cdots * a_n) \\
Y&=(a_1 * \cdots * a_j) * (a_{j+1} * \cdots * a_n).
\end{align*}$

con $i,j \in \{1,\cdots,n\}$. Supongamos que $X$ y $Y$ son elementos de $G$ obtenidos por dos personas multiplicando las $a$’s (cada quien con sus propias elecciones). Sin pérdida de generalidad supongamos que $i<j$.

Por H.I. podemos asociar de la forma que queramos el segundo factor de $X$ y el primer factor de $Y$:

$\begin{align*}
X &= (a_1 * \cdots * a_i) * \left[(a_{i+1} * \cdots * a_j) * (a_{j+1} * \cdots * a_n)\right] \\
Y &= \left[(a_1 * \cdots * a_i) * (a_{i+1} * \cdots * a_j)\right] * (a_{j+1} * \cdots * a_n).
\end{align*}$

Denotaremos por

$\begin{align*}
A &= a_1 * \cdots * a_i \\
B &= a_{i+1} * \cdots * a_j \\
C &= a_{j+1} * \cdots * a_n.
\end{align*}$

Por la H.I. $A, B$ y $C$ están bien definidos. Por lo que no tenemos que especificar cómo se asocian esos productos.

entonces,

$\begin{align*}
X = A * [B * C]\\
Y = [A * B] * C
\end{align*}$

con $A, B, C \in G$. Por el paso base (cuando $n=3$) obtenemos que $X = Y$.

$\square$

Notación. A partir de aquí simplificaremos la notación y escribiremos $ab$ en vez de $a*b$. Cuando el grupo es abeliano, escribiremos en ocasiones $a+b$ en vez de $a*b$. Si no hay confusión, pondremos $G$ en lugar de $(G,*)$.

Consecuencias del Teorema

Corolario. Sea $G$ un grupo, $a,b \in G$. Entonces

$(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$.

Demostración. Sean $a, b \in G$. Como el inverso de un elemento es único, y $(ab)^{-1}$ es el inverso de $ab$, resta demostrar que $b^{-1}a^{-1}$ también es el inverso de $ab$. Por lo tanto, debemos demostrar que $(ab)(b^{-1}a^{-1}) = e$. Entonces,

$\begin{align*}
(ab)(b^{-1}a^{-1}) &= a (b b^{-1}) a^{-1} & \text{por la asociatividad generalizada} \\
& = a e a^{-1}\\
& = (ae)a^{-1}\\
& = a a^{-1} \\
& = e.
\end{align*}$

Así $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$.

$\square$

Definición de potencia

Ahora, daremos una definición que nos servirá para simplificar la notación en futuras entradas.

Definición. Sea $G$ un grupo y $a \in G$. Entonces

  1. $a^0 = e$.
  2. $a^{n+1} = a a^n \qquad\text{ para toda } n \in \n$ .
  3. $a^{-n} = (a^{-1})^n \qquad\text{ para toda } n \in \n$.

Observación 1. Sea $G$ un grupo $a \in G$ y $n \in \n$. Entonces

$a^n = \underbrace{a\, a \cdots a}_{n \text{ veces}}$,

$a^{-n} = \underbrace{a^{-1} a^{-1} \cdots a^{-1}}_{n \text{ veces}}$.

Observación 2. Sea $G$ un grupo, $a \in G$ y $n \in \n$. Entonces $a^{-n} = (a^n)^{-1}$.

Leyes de los Exponentes

Proposición. (Leyes de los Exponentes)
Sea $G$ un grupo, $a,b \in G$ y $m,n \in \z$:

  1. Si $ab = ba$, entonces $(ab)^n = a^n b^n$. Si $a$ y $b$ no conmutan, esto no necesariamente se cumple.
  2. $a^n a^m = a^{n+m}$.
  3. $(a^n)^m = a^{n\,m}$.

Notación. Cuando la operación binaria esté denotada con $+$ la potencia $a^n$ se escribe como $na,$ mientras que las leyes de los exponentes se escriben de la siguiente manera:

  1. $n(a+b) = na + nb$.
  2. $na + ma = (n+m)a$.
  3. $m(na) = (mn) a$.

Tarea moral

  1. Demuestra las observaciones 1 y 2. (Sugerencia: Usa inducción para demostrar la observación 1).
  2. Busca un ejemplo de grupo en el que existan $a,b\in G$ y $n\in\mathbb{Z}$ de modo que $(ab)^n \neq a^n b^n$.
  3. Demuestra las leyes de los exponenetes para grupos.

Más adelante…

En la siguiente entrada nos fijaremos en un tipo de grupo especial: un grupo dentro de otro grupo. Es decir, comenzaremos a definir los subgrupos y a dar ejemplos de ellos.
Más adelante veremos que la notación de exponentes nos servirá, no sólo para expresar inversos sino para definir el orden de un elemento.

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