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Cálculo Diferencial e Integral I: Límites infinitos

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

¿Qué sucede cuando $f$ comienza a crecer o decrecer arbitrariamente cuando $x \to x_0$ ó $x \to \infty$? Así como en las sucesiones, el límite de una función en un punto también puede tener un comportamiento divergente y éste será el tema de la presente entrada.

Divergencia en un punto

Iniciaremos dando la definición de divergencia del límite de una función en un punto $x_0$ que, como podrás notarlo, es bastante similar a la definición de sucesiones divergentes.

Definición. Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$

$i$) Se dice que $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow x_0$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$$
si para toda $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que para toda $x \in A$ con $0 < |x-x_0|< \delta$, entonces $f(x) > M$

$ii$) Se dice que $f$ tiende a $- \infty$ cuando $x \rightarrow x_0$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$$
si para toda $m \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que para toda $x \in A$ con $0 < |x-x_0|< \delta$, entonces $f(x) < m$

Iniciaremos con uno de los ejemplos clásicos

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, sin pérdida de generalidad, supongamos que $M > 0$; consideremos $\delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$. Si $0 < |x-0| = |x| < \delta = \frac{1}{\sqrt{M}}$, entonces $|x| < \frac{1}{\sqrt{M}} \Rightarrow \frac{1}{x^2} > M$.

$\square$

Antes de dar el siguiente ejemplo, demostraremos un teorema que nos ayudara a hacer el cálculo de este tipo de límites.

Proposición. Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ y $x_0 \in A$. Supongamos que $f(x) \leq g(x)$ para toda $x \in A$ con $x \neq x_0$.

$i$) Si $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty, \quad \text{ entonces } \quad \lim_{x \to x_0} g(x) = \infty$$
$ii$) Si $$\lim_{x \to x_0} g(x) = -\infty, \quad \text{ entonces } \quad \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$$

Demostración.
$i$] Sea $M \in \mathbb{R}$. Como $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow x_0$, existe $\delta > 0$ tal que si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces $f(x) > M$. Por hipótesis $f(x) \leq g(x)$ para toda $x \in A$ con $x \neq x_0$, de esta forma tenemos que si $0 < |x-x_0| < \delta$, entonces $g(x) \geq f(x) > M$, es decir, $g(x) > M$. Por lo tanto $$\lim_{x \to x_0} g(x) = \infty$$

$ii$] La demostración es análoga.

$\square$

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} + |cos(x)| \right) = \infty$$

Demostración.

Sabemos que

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$$

Además,
\begin{gather*}
& |cos(x)| \geq 0 \\ \\
\Rightarrow & \frac{1}{x^2} \leq \frac{1}{x^2} + |cos(x)|
\end{gather*}

Usando el teorema anterior, podemos concluir que

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} + |cos(x)| \right) = \infty$$

$\square$

Divergencia en el infinito

La definición de divergencia del límite lo podemos extender para los límites en el infinito.

Definición.
$i$) Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Supongamos que $(a, \infty) \subset A$ para alguna $a \in A$. Se dice que $f$ tiende a $\infty$ cuando $x \rightarrow \infty$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$$ si para cualquier $M \in \mathbb{R}$ existe $K$ tal que para cualquier $x>K$, entonces $f(x) > M$.
$ii$) Sea $A \subset \mathbb{R}$, $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Supongamos que $(a, \infty) \subset A$ para alguna $a \in A$. Se dice que $f$ tiende a $- \infty$ cuando $x \rightarrow \infty$ y lo denotamos como $$\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty$$ si para cualquier $m \in \mathbb{R}$ existe $K$ tal que para cualquier $x>K$, entonces $f(x) < m$.

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, consideremos $K = M+1$. Si $x > K$, entonces $f(x) = x > K = M+1 > M$, es decir, $f(x) > M$.

$\square$

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} 3x^2 = \infty$$

Demostración.

Sea $M \in \mathbb{R}$, consideremos $K = \sqrt{\frac{M}{3}}$. Si $x > K = \sqrt{\frac{M}{3}}$, entonces $f(x) = 3x^2 > M$, es decir, $f(x) > M$.

De los dos ejemplos vistos, podemos realizar generalizar esta idea y así tenemos el siguiente ejemplo.

$\square$

Ejemplo. Sea $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $p(x) = \alpha_n x^n + \alpha_{n-1} x^{n-1} + \cdot + \alpha_1 x \alpha_0$. Demuestra que $$\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty \text{, si } a_n > 0 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty \text{, si } a_n < 0$$

La prueba se quedará como tarea moral.

Divergencia lateral

A continuación daremos la definición de divergencia para los límites laterales y finalizaremos esta entrada con un ejemplo de los mismos.

Definición. Sea $A \subset \mathbb{R}$ y sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que el límite por la derecha de $f$ en $x_0$ diverge si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x – x_0<\delta$ entonces $f(x) > M$. Y lo denotamos $$\lim_{x \to x_0+} f(x) = \infty$$

Análogamente, tenemos la siguiente definición.

Definición. Sea $A \subset \mathbb{R}$ y sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Se dice que el límite por la izquierda de $f$ en $x_0$ diverge si para todo $M \in \mathbb{R}$ existe $\delta > 0$ tal que si $0<x_0 – x<\delta$ entonces $|f(x)-L| < \epsilon$. Cuando $f$ tiene límite en $L$ por la izquierda, lo denotamos $$\lim_{x \to x_0-} f(x) = \infty $$

Notemos que existen la definiciones análogas para cuando $f$ diverge a $-\infty$ en $x_0$.

Ejemplo. $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty$$
Demostración.
Sea $M \in \mathbb{R}$, sin pérdida de generalidad, consideremos $M > 0$.

Tomemos $\delta = \frac{1}{M}$.
Si $0<x-0< \delta = \frac{1}{M}$, entonces $f(x) = \frac{1}{x} > M$, así se tiene que

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty $$

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Sea $A \subset \mathbb{R}$, sean $f$, $g: A \rightarrow \mathbb{R}$ y suponer que $(a, \infty) \subset A$ para alguna $a \in \mathbb{R}$. Si $g(x) > 0$ para toda $x > a$ y para alguna $L \in \mathbb{R}$, $L \neq 0$, se tiene que $$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L,$$ entonces
    • Si $L > 0$, entonces $$\lim_{x \to \infty} f(x)= \infty \iff \lim_{x \to \infty} g(x)= \infty$$
    • Si $L < 0$, entonces $$\lim_{x \to \infty} f(x)= -\infty \iff \lim_{x \to \infty} g(x)= \infty$$
  • Sea $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $p(x) = \alpha_n x^n + \alpha_{n-1} x^{n-1} + \cdot + \alpha_1 x \alpha_0$. Demuestra que $$\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty \text{, si } a_n > 0 \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty \text{, si } a_n < 0$$ Hint: Usa el ejercicio anterior.
  • Escribe las definiciones de divergencia a $-\infty$ para los límites laterales.
  • Usando la definición que propusiste en el ejercicio anterior, prueba que $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty.$$

Más adelante…

En la siguiente entrada haremos uso del límite de una función en toda su extensión y emplearemos las propiedades revisadas en las entradas anteriores mediante la resolución de límites para la funciones trigonométricas que, particularmente, se habían destinado para los temas finales de esta unidad.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Límite de una función a través de sucesiones

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

Alternativamente a la definición $\varepsilon$-$\delta$ revisada en la entrada anterior, se puede estudiar el límite de una función a través de límites de sucesiones; este enfoque tiene varias bondades en el sentido de que podremos hacer un amplio uso de las propiedades demostradas anteriormente para el límite de una sucesión. En esta entrada nos enfocaremos en probar un teorema que nos indica la equivalencia entre ambas formas de concebir el límite de una función.

Negación de la definición del límite de una función

Veamos primero qué significa que el límite de una función no exista, es decir, revisaremos la negación del concepto dado en la entrada anterior, para ello retomemos la definición de límite de una función:

Definición. Decimos que $f$ tiende hacia el límite $L$ en $x_0$ si para todo $\epsilon > 0$ existe algún $\delta > 0$ tal que, para todo $x$, si $0<|x-x_0|< \delta$, entonces $|f(x)-L|< \epsilon$.

De esta forma, si no se cumple la definición anterior, entonces tenemos lo siguiente: existe algún $\epsilon > 0$ tal que para toda $\delta > 0$ existe algún $x$ que satisface $0 < |x-x_0| < \delta$, pero $|f(x)-L| \geq \epsilon$.

Criterio de sucesiones para límites

Es momento de revisar un teorema que será particularmente útil para demostrar las propiedades del límite de una función. Este teorema nos indica que una función $f$ tiende al límite $L$ en $x_0$ si y solo si para toda sucesión $\{ a_n \}$ en el dominio de $f$ que converja a $x_0$ se tiene que la sucesión generada por $\{f(a_n) \}$ converge a L.

Teorema. Sea $f:A \rightarrow \mathbb{R}$ y sea $x_0 \in A$. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes.

  1. $$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$$
  2. Para toda sucesión $\{ a_n \}$ en $A$ que converge a $x_0$ tal que $a_n \neq x_0$ para todo $n\in \mathbb{N}$, la sucesión $\{f(x_n)\}$ converge a $L$

Demostración.

$1) \Rightarrow 2)]$ Sea $\epsilon >0$. Supongamos que $$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$$
Y sea $\{ a_n \}$ una sucesión en $A$ que converge a $x_0$ tal que $a_n \neq x_0$ para todo $n\in \mathbb{N}$,

Por hipótesis $f$ converge a $L$ en $x_0$, entonces existe $\delta > 0$ tal que si
$0<|x-x_0|<\delta$, entonces $|f(x)-L| < \epsilon$

Además como la sucesión $\{a_n\}$ converge a $x_0$, para el valor $\delta > 0$ dado, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_0$ entonces $0<|a_n- x_0| < \delta$ y por hipótesis de la convergencia de $f$ a $L$ en $x_0$, podemos concluir que $|f(a_n)-L| < \epsilon$. Así la sucesión $\{f(a_n)\}$ converge a $L$, es decir,
$$\lim_{n \to \infty} f(a_n) = L$$


$1) \Leftarrow 2)]$ Procederemos a hacer esta implicación por contrapositiva, es decir, demostraremos que si no sucede $1)$, entonces tampoco sucede $2)$.

Supongamos que $1)$ no se cumple, es decir, existe $\epsilon > 0$ tal que para toda $\delta$ existe al menos un real $x$ que cumple $0<|x-x_0| < \delta$ pero $|f(x)-L| \geq \epsilon$. Así, consideremos justo ese valor de $\epsilon$. Notemos que para todo natural $n \in \mathbb{N}$, si consideramos $ \frac{1}{n}$, entonces existe al menos un valor $x_n$ en $A$ tal que $0<|x_n-x_0| < \frac{1}{n}$, pero $|f(x_n)-L| \geq \epsilon_0$.

Tomemos la sucesión generada por $\{x_n\}$, se tiene que la sucesión $\{ x_n \}$ converge a $x_0$ y $x_n \neq x_0$ para toda $n \in \mathbb{N}$, pero la sucesión $\{f(a_n)\}$ no converge a $L$. Así, si no se cumple $1)$, entonces tampoco $2)$. Por lo anterior, podemos concluir que $2) \Rightarrow 1)$.

$\square$

Límite de una función a través de sucesiones

Ahora nos enfocaremos en hacer uso del teorema anterior. En el momento de hacer las demostraciones correspondientes, debemos tener presente que una vez que expresamos el límite de una función en términos del límite de una sucesión, podemos hacer uso de las propiedades del mismo.

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to 1} \frac{x^3-x^2+x-1}{x-1} = 2.$$

Demostración.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión en $\mathbb{R}$ tal que

  • $\lim_{n \to \infty} a_n = 1$
  • Para todo $n \in \mathbb{N}$, $a_n \neq 1$
  • Para todo $n \in \mathbb{N}$, $a_n \in Dom_f$

Entonces tenemos que

\begin{align*}
\lim_{x \to 1} f(x) & = \lim_{n \to \infty} f(a_n) \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n^3-a_n^2+a_n-1}{a_n-1} \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{(a_n-1)(a_n^2+1)}{a_n-1} \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} (a_n^2+1) \\ \\
& = 1+1 \\ \\
& = 2
\end{align*}

$$\therefore \lim_{x \to 1} \frac{x^3-x^2+x-1}{x-1} = 2$$

$\square$

Ejemplo. Demuestra que $$\lim_{x \to 2} \sqrt{x} = \sqrt{2}.$$

Sea $\{a_n\}$ una sucesión en $\mathbb{R}$ tal que

  • $\lim_{n \to \infty} a_n = 2$
  • Para todo $n \in \mathbb{N}$, $a_n \neq 2$
  • Para todo $n \in \mathbb{N}$, $a_n \in Dom_f$

Sabemos que si $\{a_n\}$ converge a $2$, entonces $\{ \sqrt{a_n} \}$ converge a $\sqrt{2}$. Así, tenemos que

\begin{align*}
\lim_{x \to 2} f(x) & = \lim_{n \to \infty} f(a_n) \\
& = \lim_{n \to \infty} \sqrt{a_n} \\
& = \sqrt{2}
\end{align*}

$$\therefore \lim_{x \to 2} \sqrt{x} = \sqrt{2}$$

$\square$

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to 0} \frac{(3+x)^2-9}{x} = 6.$$

Demostración.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión en $\mathbb{R}$ tal que

  • $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$
  • Para todo $n \in \mathbb{N}$, $a_n \neq 0$
  • Para todo $n \in \mathbb{N}$, $a_n \in Dom_f$

\begin{align*}
\lim_{x \to 0} f(x) & = \lim_{n \to \infty} f(a_n) \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{(3+a_n)^2-9}{a_n} \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{9+6a_n+a_n^2-9}{a_n} \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{6a_n+a_n^2}{a_n} \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} (6+a_n) \\ \\ 
& = 6
\end{align*}

$$\therefore \lim_{x \to 0} \frac{(3+x)^2-9}{x} = 6$$

$\square$

Hasta este momento solo hemos hecho uso del criterio de sucesiones para límites para probar la existencia de los mismos. Sin embargo, es posible usarlo también para el caso en el que tal límite no existe. Derivado directamente del teorema anterior se tiene que:

  • Si existen dos sucesiones $\{ a_n \}$, $\{b_n\}$ en el dominio de $f$, ambas convergentes a $x_0$, tal que $a_n$, $b_n \neq x_0$ para todo $n \in \mathbb{N}$, pero $\lim f(a_n) \neq \lim f(b_n)$ entonces no existe el límite de $f$ en $x_0$.

Veremos ahora un ejemplo donde el límite no existe.

Ejemplo. Prueba que el límite

$$\lim_{x \to 1} \frac{|x-1|}{x-1}$$

no existe.

Demostración.

Sean $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ dos sucesiones en el dominio de $f$ definidas de la siguiente forma:

$$a_n = 1 + \frac{1}{n} \quad \text{y} \quad b_n = 1 – \frac{1}{n}$$

Es claro que

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = 1 \quad \text{y} \quad \lim_{n \to \infty} b_n = 1.$$

Además $a_n \neq 1$, $b_n \neq 1$ para todo $n \in \mathbb{N}$.

Se tiene que

\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} f(a_n) & = \lim_{n \to \infty} \frac{|a_n-1|}{a_n-1} \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{ |1 + \frac{1}{n} – 1|}{1 + \frac{1}{n} -1} \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{ |\frac{1}{n}|}{ \frac{1}{n} } \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n} }{ \frac{1}{n} } \\ \\
& = 1
\end{align*}

$$\therefore \lim_{n \to \infty} f(a_n) = 1 \tag{1}$$

Por otro lado,

\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} f(b_n) & = \lim_{n \to \infty} \frac{|b_n-1|}{b_n-1} \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{ |1 – \frac{1}{n} – 1|}{1 – \frac{1}{n} -1} \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{ |- \frac{1}{n}|}{- \frac{1}{n} } \\ \\
& = \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n} }{ – \frac{1}{n} } \\ \\
& = – 1
\end{align*}

$$\therefore \lim_{n \to \infty} f(b_n) = -1 \tag{2}$$

De $(1)$ y $(2)$, se tiene que

\begin{gather*}
\lim_{n \to \infty} f(a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n) \\ \\
\therefore \lim_{x \to 1} \frac{|x-1|}{x-1} \text{ no existe.}
\end{gather*}

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

A través del criterio de sucesiones para límite, prueba si existen o no los siguientes límites:

  • $$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x+1}$$
  • $$\lim_{x \to 0} x \cdot |x|$$
  • $$\lim_{x \to 7} \frac{x^2-5x+10}{2-x}$$
  • $$\lim_{x \to 0} \frac{x}{|x|}$$
  • Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida de la siguiente forma
    $$f = \begin{cases}
    x & \text{si x es racional} \\
    0 & \text{si x es irracional}
    \end{cases} $$
    Determina en qué puntos existe el límite y en cuáles no.

Más adelante…

En las siguientes entradas veremos propiedades específicas que nos ayudarán a calcular el límite de una función; y, como podrás imaginar, varias de estas propiedades son un símil a las revisadas para las sucesiones convergentes.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Asíntotas

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

En esta entrada revisaremos el concepto de asíntota de una función; de manera intuitiva podemos pensar que mientras nos vamos «moviendo» a través de una curva, si ésta comienza a tener una distancia respecto a una recta cada vez más cercana a cero, entonces tal recta es una asíntota de la curva. En otras palabras, revisaremos aquellas curvas que a partir de determinado momento comienzan a tener un comportamiento muy similar al de una recta.

Un par de funciones conocidas

Daremos inicio a esta entrada retomando la función $f(x) = tan(x)$. Para nuestra revisión, consideraremos $f: (- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \to \mathbb{R}$.

Recordemos que $f(x) = tan(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)}$, notemos que la función tiene una particularidad cuando $x \to \frac{\pi}{2}$ y $x \to -\frac{\pi}{2}$, pues es en estos puntos donde el denominador, $cos(x)$, se hace cero. Para investigar un poco más al respecto, veamos qué pasa en el límite.

\begin{align*}
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} tan(x) = & \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{sen(x)}{cos(x)} \\
= & \infty
\end{align*}

Por otro lado,
\begin{align*}
\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} tan(x) = & \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} \frac{sen(x)}{cos(x)} \\
= & -\infty
\end{align*}

Con lo anterior, podemos notar que cuando nos acercamos por la izquierda a $\frac{\pi}{2}$, la función tiende a $\infty$ y cuando nos acercamos por la derecha a $-\frac{\pi}{2}$ la función tiende a $- \infty$, este es un ejemplo de comportamiento asintótico y lo podemos visualizar con mayor facilidad en la siguiente gráfica:


Las rectas $l_1: x = -\frac{\pi}{2}$, $l_2: x = \frac{\pi}{2}$ (líneas punteadas en rojo) las llamaremos asíntotas de la función.


Revisemos un segundo ejemplo antes de dar las definiciones correspondientes. En una entrada anterior vimos que para la función $f(x) = \frac{1}{x}$, se tiene que $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$, análogamente se puede probar que $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$. Tales límites nos indican que la función $f$ comienza a parecerse mucho a la recta $y = 0$ cuando $x$ es muy grande o muy pequeño. En este sentido, dicha recta es una asíntota horizontal de $f$ tal y como lo podemos visualizar en la gráfica.

Tras haber visto la gráfica de la función es claro que también tiene un comportamiento similar al de una recta cuando $x \to 0$. Si bien el límite en tal punto no existe, ya conocemos sus límites laterales:

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty, \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$$

Cuando sucede que el límite en un punto $x_0$ es $\infty$ ó $- \infty$, la recta $x=x_0$ se le llama asíntota vertical. De esta manera, en nuestro ejemplo tenemos dos tipos de asíntotas: horizontal y vertical.

Existe un tercer tipo llamado asíntota oblicua que sucede cuando la función se aproxima a una recta del tipo $y = ax + b$ con $a \neq 0$.

Asíntota de una curva

A continuación presentamos la definición de los 3 tipos de asíntotas.

Definición (Asíntota vertical). Sea $x = x_0$ una recta $l$. Decimos que $l$ es asíntota vertical de la curva $f$ si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:

  1. $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm \infty$
  2. $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm \infty$
  3. $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm \infty$

Notemos que las condiciones nos indican que una función tiene una asíntota vertical si mientras nos acercamos a determinado punto $x_0$ (ya sea por la izquierda, derecha o de ambas formas) la función crece o decrece de forma arbitraria. Este tipo de asíntotas suelen presentarse en las funciones racionales donde el denominador se hace cero.

Definición (Asíntota horizontal). Sea $y=b$ una recta $l$. Decimos que $l$ es una asíntota horizontal de la curva $f$ si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:

  1. $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$
  2. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$

En este caso, la definición nos indica que existe una asíntota horizontal si la función comienza a acercarse a un número real conforme $x$ se hace arbitrariamente grande o pequeño.

Definición (Asíntota Oblicua). Sea $y = ax +b$ una recta $l$. Decimos que $l$ es una asíntota oblicua de la curva $f$ si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

  1. $\lim_{x \to \infty} [f(x)- (ax+b)] = 0$
  2. $\lim_{x \to -\infty} [f(x)- (ax+b)] = 0$

La forma práctica de encontrar las asíntotas oblicuas de una curva $f$ es de la manera siguiente:

Si existen los límites $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ y $\lim_{x \to \pm \infty} [f(x)-ax] = b$

La recta $y = ax+b$ es una asíntota oblicua. Particularmente si $a=0$, esto se reduce al caso asíntota horizontal.

Ahora veremos algunos ejemplos donde encontraremos todas las asíntotas para cada función dada.

Ejemplo. Encuentra las asíntotas de la función $f(x) = \frac{x^2+5}{x-1}$

  • Asíntota vertical
    Notemos que de la primera definición nos interesa encontrar los puntos en los cuales la función tiende a infinito, y el denominador se acerca a cero cuando $x \rightarrow 1$. Es decir $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2+5}{x-1} = \infty \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2+5}{x-1} = -\infty$$
    Por lo tanto, $x=1$ es una asíntota.
  • Asíntota horizontal
    $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+5}{x-1} = \infty \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+5}{x-1} = -\infty$$
    Por lo que no hay asíntotas horizontales.
  • Asíntota oblicua
    Veamos ahora que
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x^2+5}{x-1}}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+5}{x^2-x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+5}{x^2-x} \cdot \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1+\frac{5}{x^2}}{1-\frac{1}{x}} \\ \\
    = & 1
    \end{align*}

    Por otro lado,
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} [f(x)-ax] = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+5}{x-1} -x \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+5-x^2+x}{x-1} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x+5}{x-1} \\ \\
    = & 1
    \end{align*}
    Así, tenemos una asíntota oblicua en $y = x+1$.

Ejemplo. $f(x) = \frac{x^2+x-3}{x}$

  • Asíntota vertical
    Notemos que
    $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2+x-3}{x} = -\infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+x-3}{x} = \infty$$
    Por lo tanto, hay una asíntota vertical en $x=0$.
  • Asíntota horizontal
    $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+x-3}{x} = \infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+x-3}{x} = -\infty $$
    Por lo tanto, no hay asíntota horizontal.
  • Asíntota Oblicua
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x^2+x-3}{x}}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+x-3}{x^2} \\ \\
    = & 1
    \end{align*}
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} [f(x)-ax] = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+x-3}{x} – x \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2+x-3-x^2}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x-3}{x} \\ \\
    = & 1
    \end{align*}

    Así, $f$ tiene como asíntota oblicua la recta $y = x+1$.



Ejemplo. $f(x) = \frac{1}{x^2+x-30}$

  • Asíntota vertical
    Revisemos en qué momento el denominador se hace cero
    $x^2+x-30 = 0 \iff (x+6)(x-5) = 0 \iff x =-6 \text{ ó } x = 5$
    Así,
    $$\lim_{x \to -6^+} \frac{1}{x^2+x-30} = -\infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to -6^-} \frac{1}{x^2+x-30} = \infty$$
    $$\lim_{x \to 5^+} \frac{1}{x^2+x-30} = \infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 5^-} \frac{1}{x^2+x-30} = -\infty$$
    Por tanto, hay dos asíntotas verticales, una en $x = 5$ y otra en $x= -6$.
  • Asíntota horizontal
    $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^2+x-30} = 0$$
    Hay una asíntota horizontal en $y = 0$.
  • Asíntota oblicua
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{1}{x^2+x-30}}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^3+x^2-30x} \\ \\
    = & 0
    \end{align*}
    Como el límite es cero, no hay asíntota oblicua.

Ejemplo. $f(x) = \frac{x^5}{x^4-1}$

  • Asíntota vertical
    El denominador se hace cero si $x^4 – 1 = 0 \iff x = 1 \text{ ó } x = -1$
    $$\lim_{x \to -1^+} \frac{x^5}{x^4-1} = \infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to -1^-} \frac{x^5}{x^4-1} = -\infty$$
    $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^5}{x^4-1} = \infty \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 1^-} \frac{x^5}{x^4-1} = -\infty$$
    Por lo tanto, hay dos asíntotas verticales, una en $x=1$ y otra en $x=-1$.
  • Asíntota horizontal
    Notemos que
    $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^5}{x^4-1} = \pm \infty$$
    Por lo que no hay asíntota horizontal.
  • Asíntota oblicua
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x^5}{x^4-1}}{x} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^5}{x^5-x} \\ \\
    = & 1
    \end{align*}
    \begin{align*}
    \lim_{x \to \pm \infty} [f(x)-ax] = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^5}{x^4-1} – x \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^5-x^5+x}{x^4-1} \\ \\
    = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{x^4-1} \\ \\
    = & 0
    \end{align*}
    Así, $f$ tiene como asíntota oblicua la recta $y = x$.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

Encuentra todas las asíntotas de las siguientes funciones:

  • $f(x) = \frac{x^2+2}{x+1}$
  • $f(x) = \frac{x^5+1}{x^2-1}$
  • $f(x) = x \sqrt{\frac{x+10}{x-10}}$
  • $f(x) = \frac{x^2+3}{\sqrt{x^2+4}}$
  • $f(x) = \frac{1-x^2}{x^2-4}$

Más adelante…

En las siguientes entradas estudiaremos el concepto de continuidad puntual y en un intervalo, también veremos diversos teoremas de las funciones continuas; para hacer la revisión de este nuevo concepto haremos amplio uso de la definición de límite así como las propiedades que se revisaron a lo largo de esta unidad.

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Cálculo Diferencial e Integral: Límites de funciones trigonométricas

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

En las entradas anteriores nos enfocamos en desarrollar el concepto de límite y revisamos diversos tipos de funciones, sin embargo, evitamos un tipo particular: funciones trigonométricas. En esta entrada centraremos nuestra atención en la revisión de estos límites haciendo uso de toda la teoría revisada hasta este punto.

Límite de funciones trigonométricas en un punto

En los primeros ejemplos podrás visualizar la gráfica de la función con la finalidad de tener cierta intuición respecto a los límites, pero, en caso de requerirlo, puedes repasar las funciones trigonométricas.

Ejemplo. Prueba que el siguiente límite no existe $$\lim_{x \to 0} sen \left( \frac{1}{x} \right)$$

Demostración.

Notemos que por la relación entre el límite de una función y el de una sucesión, basta dar dos sucesiones $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ que converjan a $x_0 = 0$ (sin ser $0$), pero tales que las sucesiones generadas evaluándolas en la función, $\{f(a_n)\}$, $\{f(b_n)\}$ converjan a valores distintos.

Definimos $f(x) = sen(\frac{1}{x})$ y consideremos las sucesiones $a_n = (\pi n) ^{-1} \quad$ y $b_n = (\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n)^{-1},$ donde $a_n$, $b_n \neq 0$ para toda $n \in \mathbb{N}$.

Veamos que
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} a_n = & \lim_{n \to \infty} (\pi n) ^{-1} \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi n} \\
= & 0
\end{align*}
$$\therefore \lim_{n \to \infty} a_n = 0$$
Además,
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} b_n = & \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \pi + 2 \pi n \right)^{-1}\\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{\pi + 4 \pi n}{2}} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\pi + 4 \pi n} \\ \\
= & 0
\end{align*}
$$\therefore \lim_{n \to \infty} b_n = 0$$
Es decir, las sucesiones $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ tienden a cero. Y notemos que $f(a_n) = sen(n \pi ) = 0$ y $f(b_n) = sen(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n) = 1$ para todo $n \in \mathbb{N}$.

De esta forma $$\lim_{n \to \infty} f(a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n)$$
Por tanto, podemos concluir que el límite no existe.

$\square$

Ejemplo. $$\lim_{x \to 0} x sen(\frac{1}{x}) = 0$$

Demostración.

Haremos la demostración de este límite mediante la definición $\epsilon$-$\delta$.

Sea $\epsilon > 0$, consideremos $\delta = \epsilon$.
Si $0<|x-0| < \delta$, entonces
\begin{gather*}
|x| < \delta = \epsilon \\
\Rightarrow |x|< \epsilon
\end{gather*}
Además sabemos que $-1 < sen \left( \frac{1}{x} \right) < 1$ para cualquier $x \neq 0$. Entonces

\begin{align*}
|f(x)-0| = & |x sen(x) | \\
= & |x||sen(x)| \\
\leq & \delta \cdot 1 \\
= & \epsilon
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to 0} x sen(\frac{1}{x}) = 0$$

$\square$

Ejemplo. Determina el siguiente límite $$\lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x) }{x}.$$

Si $0< |x| < \pi$, entonces

\begin{align*}
\frac{1-cos(x)}{x} = & \frac{1-cos(x)}{x} \cdot \frac{1+cos(x)}{1+cos(x)} \\ \\
= & \frac{1-cos^2(x)}{x (1+cos(x) )} \\ \\
= & \frac{sen^2(x)}{x(1+cos(x))} \\ \\
= & \frac{sen(x)}{x} \frac{sen(x)}{1+cos(x)}
\end{align*}

Así,
\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x) }{x} = & \lim_{x \to 0}\frac{sen(x)}{x} \cdot \frac{sen(x)}{1+cos(x)} \\
= & \lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{1+cos(x)} \\
= & 1 \cdot \frac{0}{2} \\
= & 0
\end{align*}

$$\therefore \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x) }{x} = 0$$

Observación. Se usó que $\lim_{x \to 0 } \frac{sen(x)}{x} = 1$, la prueba de tal límite quedará como tarea moral.

Ejemplo. Calcula el siguiente límite $$\lim_{x \to 0} \frac{x+sen(x)}{x^2-sen(x)}.$$

\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{x+sen(x)}{x^2-sen(x)} = & \lim_{x \to 0} \frac{x+sen(x)}{x^2-sen(x)} \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} \\ \\
= & \lim_{x \to 0} \frac{1+\frac{sen(x)}{x}}{x-\frac{sen(x)}{x}} \\ \\
= & \frac{1+1}{0-1} \\ \\
= & -2
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to 0} \frac{x+sen(x)}{x^2-sen(x)} = -2$$

Ejemplo. Calcula $$\lim_{x \to 0} \frac{sec(x) -1}{x}.$$

\begin{align*}
\lim_{x \to 0} \frac{sec(x) -1}{x} = & \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{cos(x)} -1}{x} \\ \\
= & \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1- cos(x)}{cos(x)}}{x} \\ \\
= & \lim_{x \to 0} \frac{1- cos(x)}{x cos(x)} \\ \\
= & \lim_{x \to 0} \frac{1}{cos(x)} \frac{1- cos(x)}{x} \\ \\
= & 1 \cdot 0 \\ \\
= & 0
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to 0} \frac{sec(x) -1}{x} = 0$$

Límite de funciones trigonométricas en el infinito

Ahora procederemos a revisar algunos ejemplos de funciones trigonométricas cuando $x \to \infty$.

Ejemplo. Determina el siguiente límite $$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2-sen(5x)}{x^2+2}.$$

Recordemos que $-1 < sen(5x) < 1$, de donde se sigue que $-1 < -sen(5x) < 1$, así
\begin{align*}
& 3x^2-1 < 3x^2-sen(5x) < 3x^2+1 \\ \\
\Rightarrow & \frac{3x^2-1}{x^2+2} < \frac{3x^2-sen(5x)}{x^2+2} < \frac{3x^2+1}{x^2+2} \text{, pues } x^2+2 >0
\end{align*}

Además, $$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2+1}{x^2+2} = 3 = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2-1}{x^2+2}$$ Por el teorema del sándwich podemos concluir que
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2-sen(5x)}{x^2+2} = 3$$

Ejemplo. Calcula el límite $$\lim_{x \to \infty} \frac{x sen(x)}{x^2+5}$$
\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \frac{x sen(x)}{x^2+5} = & \lim_{x \to \infty} \frac{x sen(x)}{x^2+5} \cdot \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}} \\ \\
= & \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x sen(x)}{x^2}}{\frac{x^2+5}{x^2}} \\ \\
= & \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{sen(x)}{x}}{1+\frac{5}{x^2}} \\ \\
= & \frac{0}{1} \text{, pues } |sen(x)| < 1 \\ \\
= & 0
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{x sen(x)}{x^2+5} = 0$$

Ejemplo. Determina si existe el siguiente límite $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2(1+sen^2(x))}{(x+sen(x))^2}.$$

El límite no existe. Considera las sucesiones $a_n = \pi n \quad$ y $\quad b_n = \frac{1}{2} \pi + 2 \pi n \quad$ donde $a_n$, $b_n \rightarrow \infty$ cuando $n \rightarrow \infty$ . Notemos que
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} f(a_n) = & \lim_{n \to \infty} \frac{(\pi n)^2(1+sen^2(\pi n))}{(\pi n+sen(\pi n))^2} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{(\pi n)^2(1+0)}{(\pi n+0)^2} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{(\pi n)^2}{(\pi n)^2} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} 1 \\ \\
= & 1
\end{align*}
$$ \therefore \lim_{n \to \infty} f(a_n) = 1$$
Por otro lado,
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} f(b_n) = & \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n)^2(1+sen^2(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n))}{(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n+sen(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n))^2} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n)^2(1+1)}{(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n+1)^2} \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \frac{2(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n)^2}{(\frac{1}{2} \pi + 2 \pi n+1)^2} \\ \\
= & 2
\end{align*}
$$ \therefore \lim_{n \to \infty} f(b_n) = 2$$

Como $$\lim_{n \to \infty} f(a_n) \neq \lim_{n \to \infty} f(b_n)$$
Podemos concluir que el límite $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2(1+sen^2(x))}{(x+sen(x))^2}$ no existe.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

Halla los siguientes límites, justifica en caso de no alguno no exista.

  1. $$\lim_{x \to 0 } \frac{sen(x)}{x}$$
  2. $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 (3+sen(x))}{(x+sen(x))^2}$$
  3. $$\lim_{x \to 1} \frac{sen(x^2-1)}{x-1}$$
  4. $$\lim_{x \to \infty} x^2 sen \left(\frac{1}{x} \right)$$
  5. $$\lim_{x \to \infty} \frac{x + sen^3(x)}{5x+6}$$
  6. $$\lim_{x \to 0} \frac{tan^2(x)+2x}{x + x^2}$$

Más adelante…

En la siguiente entrada revisaremos el concepto de asíntotas con lo que nos será posible analizar un comportamiento particular que llegan a tener las funciones, el cual es aproximarse a una recta en determinado momento; y, con esto, estaremos finalizando la unidad referente al límite de una función.

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Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

Previamente se revisó el concepto de límite de una función así como el de límites laterales. En la revisión de estos temas nos habíamos enfocado en revisar el límite de una función $f$ en un punto $x_0$. Ahora ampliaremos el concepto estudiando $f$ para el caso cuando $x$ tiende a $\infty$.

Límite en el infinito

La intuición detrás de la definición de límite en el infinito es que $f$ tiene límite $L$ cuando $x$ tiende a infinito si para valores lo suficientemente grandes de $x$ nos acercamos arbitrariamente a $L$.

Definición. Sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Decimos que $f$ tiende al límite $L$ cuando $x$ tiende a infinito si para cualquier $\epsilon > 0$ existe $M \in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $x>M$ se tiene que $|f(x)-L|<\epsilon$ y lo denotamos $$\lim_{x \to \infty} f(x) = L.$$

Ejemplo. Prueba que $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$
Demostración.

Sea $\epsilon > 0$. Consideremos $M = \frac{1}{\epsilon}$. Entonces para todo $x > M \Rightarrow x > \frac{1}{\epsilon}$, así se tiene que $-\epsilon < 0 <\frac{1}{x} < \epsilon$, es decir $|\frac{1}{x}-0|< \epsilon$.
$$\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$

$\square$

Podemos observar que la definición es bastante natural una vez hemos entendido el concepto de límite, por lo cual procederemos directamente a revisar algunas de sus propiedades.

Propiedades de los límites en el infinito

Al igual que la definición revisada para el límite de una función en un punto, el límite de una función cuando $x$ tiende a infinito también es único.

Proposición. El límite de una función cuando $x$ tiende a infinito es único, es decir, si $f$ tiende a $L$ cuando $x \rightarrow \infty$ y $f$ tiende a $L’$ cuando $x \rightarrow \infty$, entonces $L = L’$.

La demostración es muy similar a la realizada en la entrada de definición formal del límite, por lo cual se omitirá, pero de ser necesario puedes realizarla para repasar los conceptos.

Análogamente a las entradas anteriores, tenemos una relación entre el límite al infinito de una función y el límite de una sucesión.

Teorema. Sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Los siguientes enunciados son equivalentes.

  1. $$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$$
  2. Para cualquier sucesión $\{a_n\}$ en $A$ que diverge a infinito se tiene que la sucesión $\{f(a_n)\}$ converge a $L$

(Notemos que para que el límite en el infinito tenga sentido, se debe cumplir que $(a, \infty) \subset A$ para algún $a \in \mathbb{R}$.)

Demostración.

$1) \Rightarrow 2)]$ Sea $\epsilon >0$. Supongamos que $$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$$
Y sea $\{ a_n \}$ en $A$ que diverge a infinito.

Por hipótesis $f$ converge a $L$ cuando $x$ tiende a infinito, entonces existe $M \in \mathbb{R}$ tal que si $x > M$, entonces $|f(x)-L| < \epsilon$

Además como $\{a_n\}$ diverge a infinito, entonces para $M$ existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_0$ entonces $a_n > M$ y por lo tanto $|f(a_n)-L| < \epsilon$
$$\therefore \lim_{x \to \infty} f(x) = L$$


$1) \Leftarrow 2)]$ Quedará como tarea moral.
Hint: Revisar la entrada Teoremas sobre límite de una función.

$\square$

Después de este teorema, nuevamente logramos obtener las mismas propiedades que conocemos del límite de una sucesión.

Proposición. Sean $f: A \rightarrow \mathbb{R}$, $g: A \rightarrow \mathbb{R}$ con $A \subset \mathbb{R}$ tal que $(a, \infty) \subset A$ para algún $a \in \mathbb{R}$. Si además

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = L \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} g(x) = T$$

entonces

  1. $$\lim_{x \to \infty} c \cdot f(x) = cL$$
  2. $$\lim_{x \to \infty} (f+g)(x) = L+T$$
  3. $$\lim_{x \to \infty} (f-g)(x) = L-T$$
  4. $$\lim_{x \to \infty} (f \cdot g)(x) = LT$$
  5. Si $T \neq 0$ y $g(x) \neq 0$ para $x > a$, entonces $$\lim_{x \to \infty} \frac{f}{g}(x) = \frac{L}{T}$$

Ahora veremos una proposición que nos será útil para el cálculo de límites.

Proposición. Para todo $k \in \mathbb{N}$ se tiene que $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^k} = 0$$

Demostración.

Procederemos a realizar esta demostración mediante inducción.
Caso base: $k = 1$
En el ejemplo anterior se probó mediante la definición que $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0.$$
Hipótesis de inducción: $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^k} = 0$$
Ahora veamos que también se cumple para $k+1$.

\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{k+1}} = & \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^k} \cdot \frac{1}{x^1} \\ \\
= & \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^k} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^1} \\ \\
= & 0 \cdot 0 = 0
\end{align*}

\begin{gather*}
\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{k+1}} = 0 \\ \\
\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^k} = 0 \text{, } \forall k \in \mathbb{N}
\end{gather*}

$\square$

Revisaremos un par de ejemplos donde aplicaremos las propiedades enunciadas.

Ejemplo. Determina $$\lim_{x \to \infty} \frac{8x+5}{x^3+10}$$

Notemos que
\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \frac{8x+5}{x^3+10} = & \lim_{x \to \infty} \frac{8x+5}{x^3+10} \cdot \frac{\frac{1}{x^3}}{\frac{1}{x^3}} \\ \\
= & \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8x}{x^3} + \frac{5}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}+\frac{10}{x^3}} \\ \\
= & \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8}{x^2} + \frac{5}{x^3}}{1+\frac{10}{x^3}} \\ \\
= & \frac{\lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^2} + \frac{5}{x^3}}{\lim_{x \to \infty} 1+\frac{10}{x^3}} \\ \\
= & \frac{0 + 0}{1+0} \\ \\
= & \frac{0}{1} \\ \\
= & 0
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{8x+5}{x^3+10} = 0$$

Ejemplo. Calcula el siguiente límite $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x}$$

Como consideraremos que $x \rightarrow \infty$, podemos suponer, particularmente, que $x>0$, entonces

\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x} = & \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x} \cdot \frac{\sqrt{x^2-2x}+x}{\sqrt{x^2-2x}+x} \\ \\
= & \frac{\sqrt{x^2-2x}+x}{\left( \sqrt{x^2-2x} \right)^2 – x^2}\\ \\
= & \frac{\sqrt{x^2-2x}+x}{x^2-2x – x^2} \\ \\
= & \frac{\sqrt{x^2-2x}+x}{-2x} \\ \\
= & -\frac{\sqrt{x^2-2x}}{2x} – \frac{x}{2x} \\ \\
= & -\frac{\sqrt{x^2-2x}}{\sqrt{4x^2}} – \frac{1}{2} \text{, pues x es positivo} \\ \\
= & -\sqrt{\frac{x^2-2x}{4x^2}} – \frac{1}{2} \\ \\
= & -\sqrt{\frac{x^2}{4x^2} – \frac{2x}{4x^2}} – \frac{1}{2} \\ \\
= & -\sqrt{\frac{1}{4} – \frac{1}{2x}} – \frac{1}{2}
\end{align*}
$$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x} = -\sqrt{\frac{1}{4x^2} – \frac{1}{2x}} – \frac{1}{2}$$

Entonces tenemos que
\begin{align*}
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x} = & \lim_{x \to \infty} \left( -\sqrt{\frac{1}{4} – \frac{1}{2x}} – \frac{1}{2} \right) \\
= & -\sqrt{\frac{1}{4} – 0} – \frac{1}{2} \\
= & -\frac{1}{2} -\frac{1}{2} \\
= & -1
\end{align*}
$$\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x} = -1$$

A continuación enunciaremos el teorema del sándwich para este tipo de límites.

Proposición. Sean $f$, $g$, $h: A \rightarrow \mathbb{R}$ con $A \subset \mathbb{R}$ tal que $(a, \infty) \subset A$ para algún $a \in \mathbb{R}$. Si existe $M_1 \in \mathbb{R}$ tal que para todo $x >M_1$ se tiene que $$f(x) \leq g(x) \leq h(x) \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} f(x) = L = \lim_{x \to \infty} h(x)$$

Entonces $$ \lim_{x \to \infty} g(x) = L$$

Nuevamente, omitiremos la demostración pues es análoga a la revisada en una entrada anterior.

Extensión del límite en el infinito

Así como tenemos el límite en el infinito, existe una definición análoga que considera el límite de una función cuando $x$ tiende a $- \infty$.

Definición. Sea $f: A \rightarrow \mathbb{R}$. Decimos que $f$ tiende al límite $L$ cuando $x$ tiende a $- \infty$ si para cualquier $\epsilon > 0$ existe $m \in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $x<m$ se tiene que $|f(x)-L|<\epsilon$ y lo denotamos $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L.$$

La definición nos indica que $f$ tiene límite $L$ cuando $x$ tiende a $-\infty$ si para valores lo suficientemente pequeños de $x$ nos acercamos arbitrariamente a $L$.

Esta extensión de límite tiene propiedades análogas revisadas en esta entrada.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Demostrar que si $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ es tal que $$\lim_{x \to \infty} x f(x) = L$$ con $L \in \mathbb{R}$, entonces $$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$$
  • Sean $f$ y $g$ dos funciones definidas en $(a, \infty)$ tales que $$\lim_{x \to \infty} f(x) = L \quad \text{ y } \quad \lim_{x \to \infty} g(x) = \infty$$
    Entonces se tiene que $$\lim_{x \to \infty} f(g(x)) = L$$
  • Prueba que $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(-x)$$
  • Prueba que $$\lim_{x \to 0^-} f(\frac{1}{x}) = \lim_{x \to -\infty} f(x)$$
  • Calcula los siguientes límites
    $i$) $$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x+1}}{x} \text{, definido para } x >0$$
    $ii$) $$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+x} \text{, definido para } x >0$$

Más adelante…

En la siguiente entrada revisaremos una nueva variante del límite de una función: los límites infinitos. Es decir, veremos el caso donde el límite de una función diverge a $\infty$/$-\infty$.

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