Probabilidad I: Propiedades de una Medida de Probabilidad, parte 2

Introducción

En la entrada pasada vimos dos propiedades importantes de la probabilidad. La primera, la regla de complementación, establece la relación que existe entre la probabilidad de un evento con la de su complemento. La segunda, el principio de inclusión-exclusión, nos brinda una fórmula para el cálculo de la probabilidad de cualquier unión de eventos, sin importar si estos no son ajenos dos a dos.

En esta entrada veremos algunas propiedades más. Primero, veremos cómo interactúa una medida de probabilidad con la relación como subconjunto «$\subseteq$». Posteriormente, veremos dos propiedades que exhiben la relación que existe entre la probabilidad de la unión de cualquier familia a lo más numerable de eventos y la suma de sus probabilidades.

Interacción de la probabilidad con la relación como subconjunto

A lo largo de entra estada, consideraremos que $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ es un espacio de probabilidad. Una propiedad interesante surge al preguntarnos cómo interactúa la probabilidad con la relación como subconjunto. Esto es, dados $A$ y $B$ eventos tales que $B \subseteq A$, ¿cómo se comparan $\mathbb{P}(A)$ y $\mathbb{P}(B)$? La relación $\subseteq$ indica que todos los elementos de $B$ son también elementos de $A$, pero $A$ puede tener ciertos elementos que no están en $B$. Por ello, esperaríamos que la probabilidad de $B$ debería de ser menor o igual a la probabilidad de $A$. Resulta que sí, e incluso podemos ser más precisos con esta propiedad.


Proposición 1.9. Sea $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ un espacio de probabilidad. Para cualesquiera $A$, $B \in \mathscr{F}$ eventos tales que $B \subseteq A$ se cumple que

\[ \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(A \smallsetminus B). \]

En consecuencia, $\mathbb{P}(A \smallsetminus B) = \mathbb{P}(A) − \mathbb{P}(B)$, y además, como la probabilidad es no-negativa, $\mathbb{P}(A \smallsetminus B) \geq 0$, y así, $\mathbb{P}(B) \leq \mathbb{P}(A)$.


Demostración. Sean $A$, $B \in \mathscr{F}$ tales que $B \subseteq A$. Como $B \subseteq A$, es posible escribir a $A$ como $A = B \cup (A \smallsetminus B)$. Esto no es posible cuando $B$ no es subconjunto de $A$. Además, observa que $A \cap (A \smallsetminus B) = \emptyset$, así que por la aditividad finita de $\mathbb{P}$, se tiene que

\[ \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B \cup (A \smallsetminus B)) = \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(A \smallsetminus B), \]

es decir, $\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(A \smallsetminus B)$, que es justamente lo que queríamos demostrar.

$\square$

Así, vemos que cuando $B \subseteq A$, la probabilidad de $A$ es igual a la probabilidad de $B$ más un valor no-negativo, por lo que $\mathbb{P}(B) \leq \mathbb{P}(A)$.

La subaditividad finita de una medida de probabilidad

Una de las propiedades que vimos en la entrada pasada fue el principio de inclusión-exclusión. Este principio da solución al problema de calcular la probabilidad de la unión de dos eventos cualesquiera. En particular, cuando tenemos dos eventos $A$ y $B$, se cumple que

\[ \mathbb{P}(A \cup B) + \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B), \]

y como $\mathbb{P}$ es no-negativa, se cumple $\mathbb{P}(A \cap B) \geq 0$, por lo que $\mathbb{P}(A \cup B) \leq \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$. En este caso es muy sencillo, pero puede no ser tan evidente para $3$ o más eventos. Para demostrar este hecho cuando se tienen $3$ o más eventos, hay que aplicar un truquito especial.

Sean $A_{1}$, $A_{2}$ y $A_{3}$ eventos cualesquiera. Primero, observa que $A_{1} \cup A_{2} = A_{1} \cup (A_{2} \smallsetminus A_{1})$. Ahora, hagamos lo mismo pero con $A_{1} \cup A_{2}$ y $A_{3}$. Esto es,

\[ (A_{1} \cup A_{2}) \cup A_{3} = (A_{1} \cup A_{2}) \cup (A_{3} \smallsetminus (A_{1} \cup A_{2})) = A_{1} \cup (A_{2} \smallsetminus A_{1}) \cup (A_{3} \smallsetminus (A_{1} \cup A_{2})). \]

Lo que estamos haciendo es que, conforme avanzamos en el subíndice, al siguiente elemento de la unión le quitamos todos los que ya incluimos. Lo que logramos con esto es que se trate de una unión de eventos ajenos dos a dos. Observa que

\begin{align*} A_{1} \cap (A_{2} \smallsetminus A_{1}) &= \emptyset, \\ A_{1} \cap (A_{3} \smallsetminus (A_{1} \cup A_{2})) &= \emptyset, \\ A_{2} \cap (A_{3} \smallsetminus (A_{1} \cup A_{2})) &= \emptyset, \end{align*}

por lo que $A_{1}$, $A_{2} \smallsetminus A_{1}$ y $A_{3} \smallsetminus (A_{1} \cup A_{2})$ son eventos ajenos dos a dos. En consecuencia, por la aditividad finita de $\mathbb{P}$, se tiene que

\[ \mathbb{P}(A_{1} \cup (A_{2} \smallsetminus A_{1}) \cup (A_{3} \smallsetminus (A_{1} \cup A_{2}))) = \mathbb{P}(A_{1}) + \mathbb{P}(A_{2} \smallsetminus A_{1}) + \mathbb{P}(A_{3} \smallsetminus (A_{1} \cup A_{2})), \]

y por lo observado anteriormente, podemos concluir que

\[ \mathbb{P}(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}) = \mathbb{P}(A_{1}) + \mathbb{P}(A_{2} \smallsetminus A_{1}) + \mathbb{P}(A_{3} \smallsetminus (A_{1} \cup A_{2})). \]

Luego, como $A_{1} \subseteq A_{1}$, $A_{2} \smallsetminus A_{1} \subseteq A_{2}$ y $A_{3} \smallsetminus A_{3} \smallsetminus (A_{1} \cup A_{2})$, por la proposición 1.9. se tiene que

\begin{align*} \mathbb{P}(A_{1}) &\leq \mathbb{P}(A_{1}), \\ \mathbb{P}(A_{2} \smallsetminus A_{1}) &\leq \mathbb{P}(A_{2}), \\ \mathbb{P}(A_{3} \smallsetminus (A_{1} \cup A_{2})) &\leq \mathbb{P}(A_{3}), \end{align*}

así que la suma de los $3$ de la izquierda será menor o igual a la suma de los $3$ de la derecha. Es decir,

\begin{align*} \mathbb{P}(A_{1}) + \mathbb{P}(A_{2}\smallsetminus A_{1}) + \mathbb{P}(A_{3} \smallsetminus (A_{1} \cup A_{2})) &\leq \mathbb{P}(A_{1}) + \mathbb{P}(A_{2}) + \mathbb{P}(A_{3}), \end{align*}

y por lo tanto,

\[ \mathbb{P}(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}) \leq \mathbb{P}(A_{1}) + \mathbb{P}(A_{2}) + \mathbb{P}(A_{3}). \]

En conclusión, la probabilidad de la unión de $3$ eventos es menor o igual a la suma de sus probabilidades. Esto puede extenderse para familias de $n$ conjuntos, con $n \in \mathbb{N}^{+}$.


Proposición 1.10. Sea $(\Omega, \mathscr{P}, \mathbb{P})$ un espacio de probabilidad. Entonces para cualquier $n \in \mathbb{N}^{+}$ se cumple que, para cualquier familia finita de eventos $A_{1}$, $A_{2}$, …, $A_{n} \in \mathscr{F}$ se tiene

\[ \mathbb{P}{\left( \bigcup_{k=1}^{n} A_{k} \right)} \leq \sum_{k=1}^{n} \mathbb{P}(A_{k}). \]


Demostración. Sea $n \in \mathbb{N}^{+}$ y sean $A_{1}$, $A_{2}$, …, $A_{n} \in \mathscr{F}$. Primero, observa que

\[ \bigcup_{k=1}^{n} A_{k} = \bigcup_{k=1}^{n} {\left[ A_{k} \smallsetminus {\left( \bigcup_{i = 1}^{k-1}A_{i} \right)} \right]}, \]

donde consideramos a $\bigcup_{i = 1}^{0}A_{i} = \emptyset$. Esto es exactamente lo mismo que hicimos antes para $3$ eventos, pero extendiéndolo a los $n$ eventos de esta demostración. Ahora, vamos a ponerles nombre a los eventos que usaremos de manera auxiliar. Para cada $k \in \{1, \ldots, n\}$, se define $B_{k}$ como sigue

\[ B_{k} = A_{k} \smallsetminus {\left( \bigcup_{i = 1}^{k-1}A_{i} \right)}. \]

Por construcción, $B_{1}$, $B_{2}$, …, $B_{n} \in \mathscr{F}$ es una familia de eventos ajenos dos a dos. Esto es, se cumple que

\[ \forall i, j \in \{1, \ldots, n \}\colon (i \neq j \implies B_{i} \cap B_{j} = \emptyset). \]

Esto puede verificarse tomando $i, j \in \{1,\ldots,n\}$ tales que $i \neq j$. Por la tricotomía en $\mathbb{N}$, hay dos casos: $i > j$ ó $i < j$. En cualquier caso, se puede concluir que $B_{i} \cap B_{j} = \emptyset$. Además, también por construcción de los $B_{k}$, se tiene que

\begin{equation} \label{subad1} \bigcup_{k=1}^{n} B_{k} = \bigcup_{k=1}^{n} A_{k}. \end{equation}

Ahora, como los $B_{k}$ son ajenos dos a dos, podemos aplicar la aditividad finita de $\mathbb{P}$. Esto es,

\begin{equation} \label{subad2} \mathbb{P}{\left( \bigcup_{k=1}^{n} B_{k} \right)} = \sum_{k=1}^{n} \mathbb{P}(B_{k}). \end{equation}

Ahora, observa que para cada $k \in \{1, \ldots, n\}$ se cumple que $B_{k} \subseteq A_{k}$, pues

\[ B_{k} = A_{k} \smallsetminus {\left( \bigcup_{i = 1}^{k-1}A_{i} \right)} \subseteq A_{k}. \]

Por lo tanto, se tiene que

\[ \mathbb{P}(B_{k}) \leq \mathbb{P}(A_{k}), \]

y sumando sobre todos los $k \in \{1, \ldots, n\}$, se tiene que

\[ \sum_{k=1}^{n} \mathbb{P}(B_{k}) \leq \sum_{k=1}^{n} \mathbb{P}(A_{k}). \]

Así, por \eqref{subad2}, se tiene que

\[ \mathbb{P}{\left( \bigcup_{k=1}^{n} B_{k} \right)} \leq \sum_{k=1}^{n} \mathbb{P}(A_{k}), \]

y por \eqref{subad1}, podemos concluir que

\[ \mathbb{P}{\left( \bigcup_{k=1}^{n} A_{k} \right)} \leq \sum_{k=1}^{n} \mathbb{P}(A_{k}), \]

que es justamente lo que queríamos demostrar.

$\square$

Esta propiedad es conocida como la subaditividad finita de una medida de probabilidad. Lleva la connotación de finita porque, así como con la aditividad, también existe una propiedad llamada σ-subaditividad. Esta es la propiedad que veremos a continuación.

La σ-subaditividad de una medida de probabilidad

Para el caso en el que tenemos una familia numerable de eventos $A_{1}$, $A_{2}$, … $\in \mathscr{F}$, procederemos de la misma manera que hicimos en la última demostración.


Proposición 1.11. Sea $(\Omega, \mathscr{P}, \mathbb{P})$ un espacio de probabilidad. Entonces para cualquier familia numerable de eventos $A_{1}$, $A_{2}$, … $\in \mathscr{F}$ se cumple que

\[ \mathbb{P}{\left( \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k}\right)} = \sum_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_{k}). \]


Demostración. Sean $A_{1}$, $A_{2}$, … $\in \mathscr{F}$ una familia numerable de eventos. Observa que se cumple que

\[ \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} = \bigcup_{k=1}^{\infty} {\left[ A_{k} \smallsetminus {\left( \bigcup_{i=1}^{k-1} A_{i} \right)}\right]}. \]

Definamos una familia de conjuntos para auxiliarnos en esta demostración. Para cada $k \in \mathbb{N}^{+}$, definimos el evento $B_{k}$ como sigue:

\[ B_{k} = A_{k} \smallsetminus {\left( \bigcup_{i=1}^{k-1} A_{i}\right)}. \]

Nuevamente, consideramos que para $k=1$, $B_{1} = A_{1}$. Por la construcción de $B_{k}$, para cada $k \in \mathbb{N}^{+}$ se tiene que $B_{k} \subseteq A_{k}$, por lo que

\begin{align*} \mathbb{P}(B_{k}) \leq \mathbb{P}(A_{k}). \end{align*}

En consecuencia, se cumple la siguiente desigualdad de series:

\begin{equation} \label{sigmasubad1} \sum_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}(B_{k}) \leq \sum_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_{k}), \end{equation}

pues la desigualdad se cumple término a término. Por otro lado, observa que los eventos de la familia $\{B_{k}\}_{k=1}^{\infty}$ son ajenos dos a dos (por la misma razón que en la demostración anterior). Por ello, podemos aplicar la σ-aditividad de $\mathbb{P}$, y así

\[ \mathbb{P}{\left( \bigcup_{k=1}^{\infty} B_{k} \right)} = \sum_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}(B_{k}). \]

Además, recuerda que

\[ \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} = \bigcup_{k=1}^{\infty} {\left[ A_{k} \smallsetminus {\left( \bigcup_{i=1}^{k-1} A_{i} \right)}\right]} = \bigcup_{k=1}^{\infty} B_{k}, \]

por lo que

\begin{equation} \label{sigmasubad2} \mathbb{P}{\left( \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \right)} = \sum_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}(B_{k}). \end{equation}

Por lo tanto, si sustituimos \eqref{sigmasubad2} en \eqref{sigmasubad1}, podemos concluir que

\[ \mathbb{P}{\left( \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \right)} \leq \sum_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_{k}), \]

que es justamente lo que queríamos demostrar.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu dominio de los conceptos abordados en esta entrada.

  1. Sea $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ un espacio de probabilidad. Demuestra que para cualesquiera eventos $A$, $B \in \mathscr{F}$ se cumple que \[ \mathbb{P}(A \smallsetminus B) = \mathbb{P}(A) − \mathbb{P}(A \cap B). \]Sugerencia: utiliza la proposición 1.9 con los conjuntos $A \cap B$ y $A$.
  2. Demuestra que para cualesquiera eventos $A$, $B \in \mathscr{F}$ se cumple que \[ \mathbb{P}(A \triangle B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(A) − 2\mathbb{P}(A \cap B).\]Sugerencia: recuerda que $A \triangle B = (A \smallsetminus B) \cup (B \smallsetminus A)$ y utiliza el resultado anterior.
  3. En las demostraciones de las proposiciones 1.10 y 1.11 tomamos familias arbitrarias de eventos $A_{1}$, $A_{2}$, … $\in \mathscr{F}$ (en la 1.10 la tomamos finita). Luego, para cada $k \in \mathbb{N}^{+}$ definimos $B_{k}$ como \[ B_{k} = A_{k} \smallsetminus {\left( \bigcup_{i=1}^{k-1} A_{i} \right)}, \] que es una familia de eventos auxiliares para la demostración. En particular, utilizamos que la familia de los $B_{k}$ son ajenos dos a dos. Demuestra que efectivamente es una familia de eventos ajenos dos a dos.

Más adelante…

Con esta entrada concluimos nuestro tratamiento de las propiedades que consideramos más importantes de una medida de probabilidad. Lo que haremos a continuación será presentar las primeras medidas de probabilidad concretas del curso: la probabilidad geométrica, la probabilidad frecuentista y la probabilidad clásica.

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