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Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones exponenciales y logarítmicas

Por Karen González Cárdenas

Introducción

En esta entrada veremos un par de tipos de funciones muy particular: las exponenciales y las logarítmicas. Probablemente en alguno de tus cursos anteriores te encontraste con funciones del tipo:
\begin{align*}
f(x)&= 3^{x} & g(x)&= ln(x)\\
\end{align*}

Aquí veremos su representación gráfica, ejercicios relacionados y algunos resultados importantes cómo las leyes de los exponentes y de los logaritmos. Se verá un desarrollo más detallado sobre este conjunto de funciones en el curso de Cálculo Diferencial e Integral II.

Funciones exponenciales

Definición (función exponencial): Sea $f$ una función. Decimos que $f$ es una función exponencial si está definida como:
$$f: \r \rightarrow (0, \infty)$$
$$f(x)=a^{x}$$
con $a \in {\r}$ y $a>0$.
En este tipo de funciones tenemos que la variable $x$ está como exponente.
Observemos que tenemos los siguientes casos:

Veamos que al tomar $a=1$ tenemos que su gráfica se vería:
$$f(x)=1^{x}$$

Leyes de los exponentes

Teorema (Leyes de los exponentes): Consideremos a $a, m, n \in \r$ y $a>0$. Vemos que se cumplen las siguientes propiedades:

  1. $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$
  2. $(a^{n})^{m}=a^{(n\cdot m)}$
  3. $a^{0}=1$
  4. $a^{-1}=\frac{1}{a}$
  5. $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$
  6. $a^{n-m}=\frac{a^{n}}{a^{m}}$
  7. $a^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{x}$
  8. $a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{x^{p}}$

Por el momento no daremos las pruebas pertinentes, ya que las herramientas necesarias se verán durante el próximo curso de cálculo. Así pasaremos a revisar otros resultados relacionados a las funciones exponenciales.

Otros resultados sobre funciones exponenciales

Proposición: Consideremos $a>0$ y $r=\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$.

  1. Si $a>1$ y $r>0$ entonces $a^{r}>1$
  2. Si $0<a<1$ y $r>0$ entonces $a^{r}<1$
  3. Si $a>1$ y $r<0$ entonces $a^{r}<1$
  4. Si $0<a<1$ y $r<0$ entonces $a^{r}>1$

Demostración:

  1. Cómo $a>1$ se sigue que:
    \begin{align*}
    a>1 &\Rightarrow \sqrt[q]{a}>\sqrt[q]{1}\\
    &\Rightarrow (\sqrt[q]{a})^{p}>(\sqrt[q]{1})^{p}\\
    &\Rightarrow a^{\frac{p}{q}}>1\\
    &\Rightarrow a^{r}>1
    \end{align*}
  2. Ahora tenemos que $0<a<1$:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow \sqrt[q]{a}< \sqrt[q]{1}\\
    &\Rightarrow (\sqrt[q]{a})^{p}<(\sqrt[q]{1})^{p}\\
    &\Rightarrow a^{r}<1
    \end{align*}
  3. Tarea moral
  4. Ya que $0<a<1$ observamos que:
    $$1< \frac{1}{a}$$
    Adicionalmente como $r<0$ se sigue:
    \begin{align*}
    &\Rightarrow (\frac{1}{a})^{r}<1\\
    &\Rightarrow (a^{-1})^{r}<1\\
    &\Rightarrow a^{-r}<1\\
    &\Rightarrow \frac{1}{a^{r}}<1\\
    &\Rightarrow 1<a^{r}
    \end{align*}

$\square$

Teorema: Sea $f: A \subseteq \r \rightarrow \r$.

  1. Si $f$ es una función creciente $\Rightarrow f$ es inyectiva.
  2. Si $f$ es una función decreciente $\Rightarrow f$ es inyectiva.

Demostración de 1:
Tomemos $x_{1},x_{2} \in A$ tales que $x_{1} \neq x_{2}$ por lo que tenemos los siguientes casos:
Caso 1: Si $x_{1}>x_{2}$ entonces al aplicar la función $f$ tenemos
$$f(x_{1})>f(x_{2})$$
Por lo que:
$$f(x_{1}) \neq f(x_{2})$$

Caso 2: Ahora si $x_{1}<x_{2}$ y aplicamos la función $f$
$$f(x_{1})< f(x_{2})$$
Así:
$$f(x_{1}) \neq f(x_{2})$$
De los casos anteriores concluimos que:
$f$ es inyectiva

$\square$

Afirmación: Si tenemos $a>0$ y $f: \r \rightarrow \r^{+}$
$$f(x)=a^{x}$$

  1. Si $a>1$ entonces $f$ es creciente.
  2. Si $0<a<1$ entonces $f$ es decreciente.

Demostración:

  1. Si $a>1$ y tomamos $x<y$ entonces $y-x>0$
    \begin{align*}
    &\Rightarrow a^{y-x}>1\\
    &\Rightarrow \frac{a^{y}}{a^{x}}>1\\
    &\Rightarrow a^{y}>a^{x}
    \end{align*}
  2. En cambio si $0<a<1$ y ahora consideramos $x<y$. Queremos probar que:
    $f(x)>f(y)$
    \begin{align*}
    x<y &\Rightarrow y-x>0\\
    &\Rightarrow a^{y-x}<1\\
    &\Rightarrow \frac{a^{y}}{a^{x}}<1\\
    &\Rightarrow a^{y}< a^{x}\\
    &\Rightarrow f(y)<f(x)
    \end{align*}

$\square$

Observación: Si $a>0$ y $a \neq 1$ entonces $f(x)=a^{x}$ es inyectiva.
Observación: $f(x)=a^{x}$ es sobreyectiva.

Ahora hablemos del número $e$

Si consideramos $a= e$ donde:
$$e=2.718282 \ldots$$
que es llamado el número de Euler.
Obtenemos la función:
$$f(x)=e^{x}$$
llamada función exponencial, ésta es quizá las más conocida de este tipo de funciones.

Su gráfica se ve del siguiente modo:

¿Y su función inversa?

Si tomas la función $f(x)=a^{x}$, la función identidad y reflejamos su gráfica, obtenemos que $f^{-1}$ se ve cómo:

Observamos que $f^{1}$ esta definida como:
$$f^{-1}: (0, \infty) \rightarrow \r$$
que vemos también cumple ser inyectiva.
A $f^{-1}(x)$ la denotaremos por:
$$f^{-1}(x)= log_{a}(x)$$

Funciones logarítmicas

Definición (función logarítmica): Sea $g$ una función en los reales. Decimos que $g$ es una función logarítmica si:
$$g: (0, \infty) \rightarrow \r$$
$$g(x)=log_{a}(x)$$
donde $log_{a}(x)$ se lee como logaritmo base $a$ de $x$.
Notación:

  • Si tomamos $a=e$:
    $$log_{e}(x):= ln(x)$$
    llamado logaritmo natural de $x$.
  • Si tomamos $a=10$ escribiremos:
    $$log_{10}(x):= log(x)$$

Leyes de los logaritmos

Teorema (Leyes de los logaritmos): Sean $a \in (0, \infty)$ con $a\neq 1$, $x,y \in (0, \infty)$ y $r \in \r$. Tenemos que se cumplen las siguientes igualdades:

  1. $log_{a}(x \cdot y)=log_{a}(x)+log_{b}(y)$
  2. $r log_{a}(x)= log_{a}(x^{r})$
  3. $log_{a}(\frac{x}{y})= log_{a}(x)- log_{a}(y)$

Demostración:
Tomemos $log_{a}(x)=z$ y $log_{a}(y)=w$ y notemos que:
\begin{align*}
a^{z}&= x & a^{w}&=y
\end{align*}

  1. Para este punto consideremos el producto de $x$ con $y$:
    \begin{align*}
    x \cdot y &= a^{z}\cdot a^{w}\\
    &= a^{z+w}
    \end{align*}
    Así sustituyendo al logaritmo del producto tenemos:
    \begin{align*}
    log_{a}(x \cdot y)&= log_{a}(a^{z+w})\\
    &= z+w\\
    &=log_{a}(x)+ log_{a}(y)
    \end{align*}
  2. Ahora si elevamos $a^{z}=x$ a la $r$ obtenemos:
    $$(a^{z})^{r}= x^{r} \Rightarrow a^{rz}=x^{r}$$
    Tomando el $log_{a}(x^{r})$ se sigue:
    \begin{align*}
    log_{a}(x^{r})&= log_{a}(a^{rz})\\
    &= rz\\
    &=r log_{a}(x)
    \end{align*}
  3. Por último veamos que:
    $$x=\frac{x}{y}\cdot y$$
    Tomando lo anterior y aplicando logaritmo:
    \begin{align*}
    log_{a}(x)&= log_{a}\left(\frac{x}{y}\cdot y \right)\\
    &= log_{a}\left(\frac{x}{y }\right)+ log_{a}(y)
    \end{align*}
    Reacomodando obtenemos:
    $$log_{a} \left(\frac{x}{y}\right)= log_{a}(x)- log_{a}(y)$$

$\square$

Cambio de base de logaritmos

Proposición (Cambio de base): Consideremos $a,b \in (0, \infty)$ donde $a\neq 1, b \neq 1$, $x \in \r$ y $y>0$. Se cumplen las siguientes propiedades:

  1. $a^{x}=b^{x log_{b}(a)}$
  2. $log_{a}(y)=\frac{log_{b}(y)}{log_{b}(a)}$

Demostración:

  1. Si aplicamos la segunda ley de los logaritmos en la siguiente igualdad y simplificamos tenemos:
    \begin{align*}
    b^{x log_{b}(a)}&= b^{log_{b}(a^{x})}\\
    &= a^{x}
    \end{align*}
  2. Cómo $y>0$ entonces podemos considerar $x=log_{a}(y)$. Así sustituyendo en el punto 1:
    \begin{align*}
    a^{log_{a}(y)}&= b^{log_{a}(y)log_{b}(a)}
    \end{align*}
    De lo anterior tenemos:
    $$y=b^{log_{a}(y)log_{b}(a)}$$
    Tomando el logaritmo base $b$ en ambos lados de la igualdad:
    \begin{align*}
    log_{b}(y)&= log_{b}(b^{log_{a}(y)log_{b}(a)})\\
    &= log_{a}(y)\cdot log_{b}(a)
    \end{align*}
    $$\therefore log_{a}(y)=\frac{log_{b}(y)}{log_{b}(a)}$$

$\square$

Ejercicio

Resuelve la ecuación:
\begin{equation*}
log_{4}(log_{3}(log_{2}(x)))=0
\end{equation*}
Solución:
Comenzaremos realizando un cambio de variable considerando:
$$\beta =log_{3}(log_{2}(x))$$
Por lo que tendríamos:
\begin{equation*}
log_{4}(\beta)=0
\end{equation*}
Lo anterior ocurre implica que:
\begin{equation*}
4^{log_{4}(\beta)}=4^{0}=1
\end{equation*}
$$\therefore \beta = 1$$
$$\therefore log_{3}(log_{2}(x))=1$$
Procedemos con un razonamiento similar para $log_{3}(log_{2}(x))=1$:
\begin{equation*}
3^{log_{3}(log_{2}(x))}=3^{1}=3
\end{equation*}
Por lo que concluimos:
$$log_{2}(x)=3$$
Finalmente de $log_{2}(x)=3$ obtenemos:
\begin{equation*}
2^{log_{2}(x)}=2^{3}=8
\end{equation*}
Así tenemos que el valor para $x$ sería:
$$x=8$$

Realizando la comprobación vemos que se cumple:
\begin{align*}
log_{4}(log_{3}(log_{2}(x)))&=log_{4}(log_{3}(log_{2}(8)))\\
&=log_{4}(log_{3}(3))\\
&=log_{4}(1)\\
&=0
\end{align*}

Tarea moral

  • Demuestra el punto 3 de la Proposición.
  • Gráfica las siguientes funciones:
    • $f(x)=ln(x-2)$
    • $f(x)=1-e^{x}$
  • Demuestra que dado $a \in (0, \infty)- \left\{1 \right\}$:
    \begin{equation*}
    log_{\frac{1}{a}}(x)=-log_{a}(x)
    \end{equation*}
  • Resuelve los siguientes ejercicios:
    • $log_{2}(log_{3}(log_{2}(x)))=1$
    • $log_{16}(x)+log_{4}(x)+log_{2}(x)=7$

Más adelante

Ahora que hemos terminado la unidad de funciones, en la próxima entrada comenzaremos con la unidad dedicada al estudio de un tipo especial de funciones: las sucesiones de números reales. Encontrarás una introducción intuitiva sobre el concepto de sucesión para pasar a su definición formal y una serie de ejemplos.

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Álgebra Moderna I: Asociatividad Generalizada y Leyes de los Exponentes

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Introducción

Una de las condiciones que pedimos para que un conjunto con una operación sea un grupo, es la asociatividad, la vimos en el caso de tres factores:

$\begin{align*}
a * b * c &= (a * b) * c \\
& = a *(b * c).
\end{align*}$

Intuitivamente sabemos que esto se vale para más factores. Por ejemplo, con cuatro factores podemos escribir las distintas maneras de asociar a los factores, algunas de las cuales se muestran a continuación:

$\begin{align*}
a * b * c *d& = (a * (b * c)) * d \\
& = ((a * b) * c) * d \\
& = (a * b) * (c * d).
\end{align*}$

Para más factores es un problema escribir todas las asociaciones posibles y justificar que el resultado de la operación no cambia sin importar la forma de asociar los factores. Para resolverlo, intuitivamente usaríamos inducción sobre el número de factores. Sin embargo, la inducción usual no nos ayuda ya que la forma de asociar no siempre consiste de algún factor que sea a su vez el producto de $n$ factores. Por ejemplo si queremos comparar el producto $a_1* (a_2* \cdots * a_n) * a_{n+1}$ con la expresión $(a_1 * (a_2 * \cdots * a_{n-1}))* (a_n * a_{n+1})$, en la primera expresión el segundo factor es el producto de $n$ factores pero en la segunda expresión no. Así, necesitamos usar la inducción modificada en la demostración.

Teorema de la Asociatividad Generalizada

Teorema. (Asociatividad Generalizada)
Sea $(G,*)$ en un grupo, $n \in \n$ con $3 \leq n$ y $a_1,…,a_n \in G$. Cualesquiera dos maneras de multiplicar estos elementos en dicho orden proporciona el mismo resultado (sin importar cómo se elijan factores adyacentes).

Demostración. Por inducción modificada.
Caso base $n =3$. Se cumple por la asociatividad de $*$.
Sea $n\in \n$ con $3 < n$.
Hipótesis de Inducción (H.I.): Supongamos que para menos de $n$ factores, el resultado se cumple.

Consideremos $a_1 * a_2 * \cdots * a_n$. Al elegir dos elementos adyacentes y multiplicarlos se tiene un factor menos. Así con cada producto que se realice, el número de factores decrece en uno. Eventualmente quedarán sólo dos factores.

Sean

$\begin{align*}
X &= (a_1 * \cdots * a_i) * (a_{i+1} * \cdots * a_n) \\
Y&=(a_1 * \cdots * a_j) * (a_{j+1} * \cdots * a_n).
\end{align*}$

con $i,j \in \{1,\cdots,n\}$. Supongamos que $X$ y $Y$ son elementos de $G$ obtenidos por dos personas multiplicando las $a$’s (cada quien con sus propias elecciones). Sin pérdida de generalidad supongamos que $i<j$.

Por H.I. podemos asociar de la forma que queramos el segundo factor de $X$ y el primer factor de $Y$:

$\begin{align*}
X &= (a_1 * \cdots * a_i) * \left[(a_{i+1} * \cdots * a_j) * (a_{j+1} * \cdots * a_n)\right] \\
Y &= \left[(a_1 * \cdots * a_i) * (a_{i+1} * \cdots * a_j)\right] * (a_{j+1} * \cdots * a_n).
\end{align*}$

Denotaremos por

$\begin{align*}
A &= a_1 * \cdots * a_i \\
B &= a_{i+1} * \cdots * a_j \\
C &= a_{j+1} * \cdots * a_n.
\end{align*}$

Por la H.I. $A, B$ y $C$ están bien definidos. Por lo que no tenemos que especificar cómo se asocian esos productos.

entonces,

$\begin{align*}
X = A * [B * C]\\
Y = [A * B] * C
\end{align*}$

con $A, B, C \in G$. Por el paso base (cuando $n=3$) obtenemos que $X = Y$.

$\square$

Notación. A partir de aquí simplificaremos la notación y escribiremos $ab$ en vez de $a*b$. Cuando el grupo es abeliano, escribiremos en ocasiones $a+b$ en vez de $a*b$. Si no hay confusión, pondremos $G$ en lugar de $(G,*)$.

Consecuencias del Teorema

Corolario. Sea $G$ un grupo, $a,b \in G$. Entonces

$(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$.

Demostración. Sean $a, b \in G$. Como el inverso de un elemento es único, y $(ab)^{-1}$ es el inverso de $ab$, resta demostrar que $b^{-1}a^{-1}$ también es el inverso de $ab$. Por lo tanto, debemos demostrar que $(ab)(b^{-1}a^{-1}) = e$. Entonces,

$\begin{align*}
(ab)(b^{-1}a^{-1}) &= a (b b^{-1}) a^{-1} & \text{por la asociatividad generalizada} \\
& = a e a^{-1}\\
& = (ae)a^{-1}\\
& = a a^{-1} \\
& = e.
\end{align*}$

Así $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$.

$\square$

Definición de potencia

Ahora, daremos una definición que nos servirá para simplificar la notación en futuras entradas.

Definición. Sea $G$ un grupo y $a \in G$. Entonces

  1. $a^0 = e$.
  2. $a^{n+1} = a a^n \qquad\text{ para toda } n \in \n$ .
  3. $a^{-n} = (a^{-1})^n \qquad\text{ para toda } n \in \n$.

Observación 1. Sea $G$ un grupo $a \in G$ y $n \in \n$. Entonces

$a^n = \underbrace{a\, a \cdots a}_{n \text{ veces}}$,

$a^{-n} = \underbrace{a^{-1} a^{-1} \cdots a^{-1}}_{n \text{ veces}}$.

Observación 2. Sea $G$ un grupo, $a \in G$ y $n \in \n$. Entonces $a^{-n} = (a^n)^{-1}$.

Leyes de los Exponentes

Proposición. (Leyes de los Exponentes)
Sea $G$ un grupo, $a,b \in G$ y $m,n \in \z$:

  1. Si $ab = ba$, entonces $(ab)^n = a^n b^n$. Si $a$ y $b$ no conmutan, esto no necesariamente se cumple.
  2. $a^n a^m = a^{n+m}$.
  3. $(a^n)^m = a^{n\,m}$.

Notación. Cuando la operación binaria esté denotada con $+$ la potencia $a^n$ se escribe como $na,$ mientras que las leyes de los exponentes se escriben de la siguiente manera:

  1. $n(a+b) = na + nb$.
  2. $na + ma = (n+m)a$.
  3. $m(na) = (mn) a$.

Tarea moral

  1. Demuestra las observaciones 1 y 2. (Sugerencia: Usa inducción para demostrar la observación 1).
  2. Busca un ejemplo de grupo en el que existan $a,b\in G$ y $n\in\mathbb{Z}$ de modo que $(ab)^n \neq a^n b^n$.
  3. Demuestra las leyes de los exponenetes para grupos.

Más adelante…

En la siguiente entrada nos fijaremos en un tipo de grupo especial: un grupo dentro de otro grupo. Es decir, comenzaremos a definir los subgrupos y a dar ejemplos de ellos.
Más adelante veremos que la notación de exponentes nos servirá, no sólo para expresar inversos sino para definir el orden de un elemento.

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