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Cálculo Diferencial e Integral II: Teorema del valor medio para la integral

Por Moisés Morales Déciga

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Introducción

En una entrada anterior, presentamos un ejemplo de integración por punto medio que sirve como introducción al tema del teorema del valor medio para la integral. En dicho ejemplo, aproximamos la integral mediante sumas de áreas de rectángulos cuyas bases eran todas iguales, y cuya altura estaba dada por la evaluación de una función en el punto medio de cada intervalo.

Esta manera de aproximar una integral usando algún punto arbitrario dentro de cada intervalo de una partición, y haciendo la suma de Riemann correspondiente, será el punto de partida para entender primero a la integral como un promedio, y luego para llevar ese entendimiento más allá y enunciar el teorema del valor medio para la integral. Lo que nos dirá este teorema es que cuando una integral de una función continua exista, entonces dicha integral siempre puede calcularse como la longitud del intervalo de integración, por la evaluación de la función en algún punto del intervalo.

A continuación formalizamos estas ideas.

Función promedio e intuición del teorema del valor medio

Quizás recuerdes la siguiente definición de tu educación básica.

Definición. Sean $z_1,\ldots,z_n$ números reales. Su promedio o media aritmética es el número

$$\frac{z_1 + z_2 + … + z_n}{n}.$$

De manera similar, si tomamos $x_1,\ldots,x_n$ números en un cierto intervalo $[a,b]$ y $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, entonces podemos considerar a los valores $f(x_1),\ldots,f(x_n)$ y obtener su promedio:

$$\frac{f(x_1) + f(x_2) + … + f(x_n)}{n} .$$

A esto le llamamos el valor promedio de la función en $x_1,\ldots,x_n$.

Pensemos que tomamos una partición en $n$ partes del intervalo $[a,b]$. La longitud de cada celda sería $\Delta x_i = (b-a)/n$. Si tomamos a los puntos $x_1,\ldots,x_n$, uno en cada celda de dicha partición, entonces tendríamos que

\begin{align*}
\frac{f(x_1) + f(x_2) + … + f(x_n)}{n}&=\frac{b-a}{b-a} \sum_{i=1} ^n \frac{f(x_i)}{n}\\
&=\frac{1}{b-a} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i.
\end{align*}

A la derecha nos queda una suma de Riemann. Si la función fuera integrable en $[a,b]$, dicha suma convergería a $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx$ conforme $n\to \infty$ (como recordatorio, revisa la entrada de definición de la Integral). Y el lado izquierdo, conforme $n$ crece, se vuelve el promedio de más y más puntos distribuidos homogéneamente en $[a,b]$. De aquí sale la siguiente intuición: «la integral entre $b-a$ es el valor promedio de la función en todo el intervalo».

Esta intuición es buena y conviene formalizarla con un nombre apropiado.

Definición. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función acotada e integrable en un intervalo $[a,b]$, con $a<b$ reales. Definimos el promedio de $f$ en $[a,b]$ como el número $$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx.$$

Observa que podemos poner a esta expresión como un cociente de integrales:

$$\frac{1}{b-a} \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx = \frac{ \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx }{ \int \limits_{a}^{b} 1 \ dx }.$$

Teorema del valor medio para la integral

El teorema del valor medio establece una relación muy importante entre una función continua y promedio en cierto intervalo $[a,b]$.

Teorema. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función que es continua en el intervalo $[a,b]$, con $a\leq b$ reales. Entonces, siempre existe $\xi\in[a,b]$ tal que

$$ \int \limits_{a}^{b} f(x) dx = f(\xi)(b-a).$$

Si $b>a$, podemos dividir entre $b-a$ y esto quiere decir que siempre podemos encontrar un valor $\xi\in [a,b]$ tal que $f(\xi)$ es igual al promedio de $f$ en $[a,b]$.

Demostración. Si $a=b$, entonces no hay nada que hacer, pues en ambos lados de la igualdad tenemos cero. Así, sean $a<b$ números reales y $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ función continua dentro del intervalo $[a,b]$.

Las funciones continuas tienen valor máximo y mínimo en intervalos cerrados y acotados. Así, existen $x_0$ y $y_0$ en $[a,b]$ tales que $f(x_0) = m$ es el mínimo de la función en el intervalo y, $f(y_0) = M$ es el máximo de la función en el intervalo. Como las funciones constantes son integrables y la integral respeta desigualdades, tenemos que:

\begin{align*}
m(b \ – \ a) &= f(x_0) (b \ – \ a)\\
&=\int_a^b f(x_0)\, dx\\
&\leq \int_a^b f(x)\, dx\\
&\leq \int_a^b f(y_0)\, dx\\
&=f(y_0) (b-a)\\
&=M (b-a).
\end{align*}

Nos importa recuperar de esta cadena de desigualdades que $$m(b-a)\leq \int_a^b f(x)\, dx \leq M(b-a),$$ y por lo tanto $$m\leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\, dx \leq M.$$

De esta manera, $\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)$ es un valor entre $f(x_0)$ y $f(y_0)$. Pero por el teorema del valor intermedio, si una función continua toma dos valores, entonces toma cualquier valor entre ellos. Así, existe $\xi$ entre $x_0$ y $y_0$ tal que $$f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\, dx.$$

Multiplicando por $b-a$, obtenemos la igualdad deseada.

$ \square$

Para entender un poco mejor el teorema del valor medio para la integral, veamos un ejemplo.

Ejemplo. Veamos el teorema del valor medio en acción para la función $f(x)=x$ en el intervalo $[3,4]$.

Ya habíamos encontrado el valor de esta integral en la entrada «Definición de la Integral Definida». Dicho valor fue $\frac{7}{2}=3.5$.

Lo que nos diría el teorema del valor medio es que podemos encontrar un punto $\xi \in[3,4]$ tal que Sustituyendo en la expresión encontrada por el teorema, se tiene lo siguiente.

$$f(\xi)(4 \ – \ 3) = \int \limits_{3}^{4} f(x) dx=3.5,$$

es decir, tal que $f(\xi)=3.5$. Y en efecto, dicho punto es justamente $3.5$, pues $f(3.5)=3.5$. Notemos que, tal como se quería, tenemos que $3.5\in [3,4]$. Por lo tanto, el punto $\xi = 3.5 $ dentro del intervalo $[3,4]$ es tal que al evaluarlo en la función, da por resultado el promedio de $f$ en $[3,4]$.

$\triangle$

Teorema del valor medio generalizado para la integral

Hay otra versión del teorema del valor medio que generaliza la noción de promedio. Quizás en tu educación básica cursaste una materia en donde el $30\%$ de tu calificación eran tareas, el $20\%$ era participaciones y el $50\%$ el examen. En este caso, si sacaste $x,y,z$ en las tareas, participaciones y examen respectivamente, entonces tu calificación final era $0.3 x + 0.2 y + 0.5 z$. Este tipo de promedios en donde distintos números tienen distinto valor quedan reflejados en la siguiente definición.

Definición. Sean $z_1,\ldots,z_n$ números reales y $p_1,\ldots,p_n$ números positivos. La media aritmética ponderada con dichos pesos es el número real $$\frac{p_1z_1+p_2z_2+\ldots+p_nz_n}{p_1+p_2+\ldots+p_n}.$$

El promedio se recupera eligiendo todos los pesos $p_i$ iguales a $1$, es decir, dando la misma ponderación para todos los valores que tenemos dentro del conjunto, independientemente del valor que hayan tenido. Las medias aritméticas son importantes pues aparecen en las aplicaciones. Por ejemplo, en física podemos pensar que los $p_i$ son pesos de partículas localizadas en los puntos $z_i$. En este caso la media aritmética ponderada representará el centro de gravedad de dichos objetos.

Estas ideas pueden llevarse al contexto continuo. Se pueden pensar en las ideas del teorema del valor medio, pero donde ahora en cada punto ponderaremos de acuerdo a una función peso. Esto hará que ahora distintos puntos tengan distinta preferencia, y que a su vez ya no se tenga una media aritmética, sino una media aritmética ponderada.

Definición. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función integrable en $[a,b]$ y sea $p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función integrable en $[a,b]$ y no negativa, con integral positiva. Definimos el promedio ponderado de $f$ como el número

$$\frac{\int_a^b f(x) p(x) \, dx}{\int_a^b p(x)\, dx}.$$

Se puede demostrar el siguiente teorema, que generaliza al teorema del valor medio para la integral.

Teorema. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función continua en $[a,b]$ y sea $p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función continua en $[a,b]$ y no negativa, con integral positiva. Entonces existe un valor $\xi\in [a,b]$ tal que:

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ p(x) \ dx = f(\xi) \ \int \limits_{a}^{b} p(x) \ dx .$$

Observación. Si $p(x)$ es la función constante $1$, recuperamos el teorema del valor medio para la integral.

Ya tienes todas las herramientas para probar esta generalización. ¡Te espera en los problemas!

Más adelante…

A partir de la definición de la integral mediante sumas se obtienen teoremas y propiedades que nos permiten simplificar el cálculo de la integral y tener herramientas para resolver problemas mediante diferentes métodos.

Este teorema nos permite calcular la integral a partir del punto medio del intervalo, simplificando el proceso ya que no es necesario determinar el ínfimo o el supremo de cada partición.

Un poco después veremos algunas aplicaciones de este teorema. Será de suma importancia cuando enunciemos y mostremos los teoremas fundamentales del cálculo.

Tarea moral

  1. Encuentra el valor promedio la función dada, en el intervalo dado. Luego, encuentra un valor $\xi$ en el intervalo dado tal que $f(\xi)$ sea la integral que encontraste.
    • $f(x)=1 + x^2$ en $[-1,2]$.
    • $f(x)=\sqrt x$ en el intervalo $[0,4]$.
    • $f(x)=1+2x-x^2$ en el intervalo $[-2,2]$.
  2. Determina el valor promedio ponderado de las siguientes funciones, usando la función ponderación dada.
    • $f(x)=1+x^2$ en $[-1,2]$, con función ponderación $p(x)=x+1$.
    • $f(x)=4x^2 – 2x$ en $[1,4]$, con función ponderación $p(x)=3$.
    • $f(x)=(x-3)^2$ en en $[2,5]$, con función ponderación $p(x)=x-2$.
  3. Demuestra el teorema del valor medio generalizado para la integral.
  4. El teorema del valor medio es falso en general si la función no es continua. Considera la siguiente función $$f(x)=\begin{cases} 0 & \text{si $x\in [0,1]$}\\ 1 & \text{si $x\in[1,3].$}\end{cases}$$
    • Demuestra que esta función es integrable en $[0,3]$.
    • Encuentra explícitamente el valor de esa integral mediante la definición.
    • Muestra que no existe ningún $\xi\in [0,3]$ tal que $f(\xi)=\frac{1}{3-0} \int_a^b f(x)\, dx.$
  5. Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función continua y tal que $f(x)\geq 3$ para todo $x$ en cierto intervalo $[a,b]$. Demuestra que si el promedio de $f$ en $[a,b]$ es $3$, entonces $f(x)=3$ para todo $x\in [a,b]$. ¿Fue importante que el número fuera $3$? Enuncia y demuestra una generalización.

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Por Moisés Morales Déciga

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Introducción

En la entrada anterior se introdujo el problema de calcular el área que se encuentra en una región delimitada por ciertas líneas verticales, el eje $x$ y la gráfica de una función. Hablamos de cómo aproximar esta área cuando la función es «bien portada», pero aún no hemos dicho a qué se refiere esto. En esta entrada haremos una formalización de este concepto mediante la definición de integral definida.

La intuición que puedes tener a lo largo de la entrada es que para poder hablar de que una función sea integrable en cierto intervalo, intuitivamente necesitamos que las sumas de Riemann convergan a un valor conforme hacemos las celdas tender a cero en longitud. Esto diría que sin importar cómo hagamos la partición, las sumas de Riemann deben converger a un mismo valor conforme la partición se hace más y más fina. En particular, necesitaremos que las sumas superiores e inferiores cumplan esto. Como en ellas entendemos bien qué pasa con los refinamientos, entonces nos conviene más dar la definición en términos de ellas. Es lo más conveniente y, en particular, implica lo anterior.

Integral definida de Riemann

La definición clave que estudiaremos es la siguiente.

Definición. Sean $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funcion acotada y $a\leq b$ reales. Sea $\mathbf{P}$ el conjunto de las particiones de $[a,b]$. Definimos

\begin{align*}
\underline{S}(f) & = \sup \lbrace \underline{S(f,P)} \ | P \in \mathbf{P} \rbrace\\
\overline{S}(f) &= \inf \lbrace \overline{S(f,P)} \ | P \in \mathbf{P} \rbrace,
\end{align*}

es decir al supremo de las sumas inferiores y al ínfimo de las sumas superiores sobre todas las particiones posibles de $[a,b]$. Diremos que existe la integral definida de Riemann para $f$ en el intervalo $[a,b]$ si

$$ \underline{S(f)} = \overline{S(f)}.$$

En este caso, a este valor en común lo denotamos por $$\int \limits_{a}^{b} f(x) dx.$$

En otras palabras, para que $f$ sea integrable, necesitamos que el ínfimo de las sumas superiores sea igual al supremo de las sumas inferiores. A veces también decimos que $f$ es Riemann integrable en $[a,b]$ o, si el contexto es claro, simplemente que es integrable.

No todas las funciones son Riemann integrables. Hacia el final de esta unidad daremos ejemplos de funciones que no lo son. Sin embargo, por ahora nos enfocaremos en ver algunos ejemplos que sí son Riemann integrables y probar propiedades de la integral definida en los casos en los que sí exista.

Ejemplo de integral definida

Veamos un ejemplo sencillo de cómo se verifica la definición de integral definida.

Ejemplo. Tomemos la función $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=x$. Veamos que dicha función es integrable en el intervalo $[0,1]$. Para ello, demos la partición $P_n$ homogénea del intervalo $[0,1]$ en celdas de longitud $1/n$, con $n$ un entero positivo. Si hacemos esto, las celdas de la partición son

$$[0,1/n],[1/n,2/n],\ldots[(n-1)/n,1].$$

Los supremos de los valores de $f$ en dicho intervalo son

$$1/n, 2/n, \ldots, 1,$$

y los ínfimos son

$$0,1/n, \ldots, (n-1)/n.$$

De este modo, para esta partición la suma superior sería

\begin{align*}
\overline{S} (f,P_n) &= \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\ldots+\frac{n}{n}\right)\\
&=\frac{1}{n^2}(1+2+\ldots+n)\\
&=\frac{n(n+1)}{2n^2}\\
&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}.
\end{align*}

y la suma inferior sería

\begin{align*}
\underline{S} (f,P_n) &= \frac{1}{n}\left(\frac{0}{n}+\frac{2}{n}+\ldots+\frac{n-1}{n}\right)\\
&=\frac{1}{n^2}(0+1+2+\ldots+(n-1))\\
&=\frac{(n-1)n}{2n^2}\\
&=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}.
\end{align*}

La sucesión de números $\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}$ se acerca tanto como queramos a $\frac{1}{2}$ por arriba. Como el ínfimo $\overline{S}(f)$ que estamos buscando es cota inferior de todas las sumas inferiores, en particular es de estas que vienen de particiones homogéneas. Así, $\overline{S}(f)\leq \frac{1}{2}$. Pero además, por una proposición de la entrada anterior sabemos que cualquier suma inferior es cota inferior de todas las sumas inferiores. Como $\overline{S}(f)$ es la mayor cota inferior, tenemos que $\overline{S}(f)\geq \frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$ para todo $n$, y entonces $\overline{S}(f)\geq \frac{1}{2}$. Todo esto nos permite concluir que $\overline{S}(f)=\frac{1}{2}$.

De manera totalmente análoga (que te sugerimos argumentar cuidadosamente), se tiene que $\underline{S}(f)=\frac{1}{2}$. Concluimos entonces que $f$ es integrable en $[0,1]$ y que $$\int_0^1 f(x)\, dx = \frac{1}{2}.$$

$\triangle$

Aunque este ejemplo tuvo un intervalo y una función muy sencillas, se volvió algo elaborado justificar la parte de los ínfimos y supremos. Es por ello que nos conviene enunciar y demostrar algunos resultados sobre funciones integrables que nos permitirán determinar la integrabilidad con más comodidad.

Integral definida mediante particiones homogéneas y la condición de Riemann

Lo primero que haremos es demostrar que para que una función sea integrable, nos basta estudiar a las particiones homogéneas.

Teorema. Sean $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funcion acotada y $a\leq b$ reales. Sea $P_n$ la partición homogéneas del intervalo $[a,b]$ en $n$ partes. Supongamos que se da la siguiente igualdad de límites:

$$\lim_{n\to \infty} \overline{S}(f,P_n) = \lim_{n\to \infty} \underline{S}(f,P_n).$$

Entonces, la integral existe y es igual a ese límite en común.

Demostración. $\Leftarrow)$ La demostración sigue argumentos muy parecidos al ejercicio que presentamos como ejemplo arriba. Supongamos que los límites para las particiones homogéneas existen y son iguales a $L$. Estudiemos $\overline{S}(f)$. Por ser ínfimo de todas las sumas superiores, tendríamos en particular para las particiones homogéneas que $$\overline{S}(f)\leq \overline{S}(f,P_n),$$

para todo entero positivo $n$. Haciendo tender $n$ a infinito, obtenemos $\overline{S}(f) \leq L$. Por otro lado, sabemos que cualquier suma inferior es cota inferior de cualquier suma superior, en particular, cada $\underline{S}(f,P_n)$ es una de estas cotas inferiores. Como $\overline{S}(f)$ es la mayor de las cotas inferiores, tendríamos que $$\overline{S}(f)\geq \underline{S}(f,P_n).$$

Haciendo tender $n$ a infinito, obtenemos $\overline{S}(f)\geq L$. Así, $\overline{S}(f)=L$. Un argumento análogo demuestra que $\underline{S}(f)=L$, y por lo tanto la función es integrable en $[a,b]$.

$\square$

Un siguiente resultado importante es la condición de Riemann, que nos dice que para que una función sea integrable, nos basta encontrar una partición en donde la suma superior y la inferior estén tan cerca como querramos. A esto se le conoce como la condición de Riemann.

Teorema. Sean $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funcion acotada y $a\leq b$ reales. Se tiene que $f$ es integrable en $[a,b]$ si y sólo si para todo $\epsilon >0$ existe una partición $P_\epsilon$ tal que:

$$\overline{S}(f,P_\epsilon) \ – \ \underline{S}(f,P_\epsilon) < \epsilon .$$

Demostración. $\Rightarrow )$ Sea $f$ integrable. Debemos mostrar que para cada $\epsilon>0$ existe una partición $P_\epsilon$ tal que $$\overline{S}(f,P_\epsilon) \ – \ \underline{S}(f,P_\epsilon) < \epsilon.$$

Para ello, tomemos $\epsilon^*=\epsilon/2$. Como $\overline{S}(f)$ es ínfimo de las sumas superiores, entonces $\overline{S}(f)+\epsilon^\ast$ ya no es cota inferior para dichas sumas superiores, por lo que existe una partición $P$ tal que $\overline{S}(f,P) < \overline{S}(f)+\epsilon^*$. Así mismo, existe una partición $P’$ tal que $\underline{S}(f,P’) > \underline{S}-\epsilon^*$. Si $P_\epsilon$ es un refinamiento mutuo de $P$ y $P’$, tendríamos entonces que

\begin{align*}
\overline{S}(f,P_\epsilon)&<\overline{S}(f,P)<\overline{S}(f)+\epsilon^*\\
\underline{S}(f,P_\epsilon)&>\underline{S}(f,Q)>\underline{S}(f)-\epsilon^*.
\end{align*}

Multiplicando la segunda igualdad por $-1$ y sumando ambas, obtenemos entonces que

\begin{align*}
\overline{S}(f,P_\epsilon) \ – \ \underline{S}(f,P_\epsilon) &< \overline{S}(f) + \epsilon^* \ – \ \underline{S}(f) + \epsilon^* \\
&= 2 \epsilon^* \\
&= \epsilon .
\end{align*}

Aquí usamos que $\overline{S}(f)=\underline{S}(f)$ por ser $f$ integrable.

$\Leftarrow)$ Supongamos ahora que para todo $\epsilon$ se puede encontrar la partición $P_\epsilon$ que satisface $\overline{S}(f,P_\epsilon) \ – \ \underline{S}(f,P_\epsilon) < \epsilon$. Veremos que a partir de esto se puede probar que $ \overline{S}(f) = \underline{S}(f) .$

Por ser $\overline{S}(f)$ el ínfimo de todas las sumas superiores, se tiene que

$$\overline{S}(f,P_\epsilon) > \overline{S}(f) .$$

$$ \underline{S}(f,P_\epsilon) < \underline{S}(f) \Longrightarrow – \underline{S}(f,P_\epsilon) > – \underline{S}(f) .$$

$$\Longrightarrow \epsilon > \overline{S}(f,P_\epsilon) \ – \ \underline{S}(f,P_\epsilon) > \overline{S}(f) \ – \ \underline{S}(f) .$$

Y $\epsilon$ es tan pequeño como lo queramos, por lo tanto.

$$ \overline{S}(f) = \underline{S}(f) .$$

$\square$

Ejemplos de integral definida con los resultados que probamos

Veamos algunos ejemplos de cómo utilizar los resultados que acabamos de mostrar para demostrar que ciertas integrales definidas existen, y para encontrar su valor.

Ejemplo. Calculemos la integral de la función $f(x)=x$ en el intervalo $[3,4]$

Usaremos la técnica de los límites de las particiones homogéneas. Estudiaremos con detalle el caso de las sumas superiores y dejaremos el de las inferiores como ejercicio. Si la partición $P_n$ del intervalo $[a,b]$ es homogénea y en $n$ partes, las celdas tienen longitud $\frac{b-a}{n}$ y entonces son:

$$\left[a,a+\frac{b-a}{n}\right], \left[a+\frac{b-a}{n}, a+2\frac{b-a}{n}\right], \ldots, \left[a+(n-1)\frac{b-a}{n},b\right].$$

La función $f(x)=x$ es creciente, y entonces los máximos se alcanzan al final de cada intervalo. Así, para el intervalo $[3,4]$ tenemos:

\begin{align*}
\overline{S}(f,P_n)&=\sum_{i=1}^{n} f \left( 3+i \cdot \frac{4-1}{n} \right) \frac{4-3}{n}\\
&=\sum_{i=1}^{n} \left(3+ \frac{i}{n}\right) \frac{1}{n}\\
&=\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{3}{n}+ \frac{i}{n^2}\right)\\
&=\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{3}{n}\right) + \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n^2}\right)\\
&=\frac{3}{n} \cdot n + \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n i\\
&=3 + \frac{n(n+1)}{2n^2} \\
&=3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}\\
&=\frac{7}{2}+\frac{1}{2n}.
\end{align*}

De este modo,

$$\lim_{n\to\infty} \overline{S}(f,P_n) = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{7}{2} + \frac{1}{2n}\right) = \frac{7}{2}.$$

Por tu cuenta, revisa que que también se cumple lo siguiente

$$\lim_{n\to\infty} \underline{S}(f,P_n) = \frac{7}{2}.$$

Así, por la proposición que mostarmos arriba, tenemos que la integral en el intervalo $[3,4]$ existe y por lo tanto:

$$ \int \limits_{3}^{4} x \, dx = \frac{7}{2}.$$

$\triangle$

Ejemplo. Ahora calculemos la integral de la función $f(x)=-x^2 + 3$ en el intervalo $[1,3]$ . Al hacer una figura, obtenemos la siguiente gráfica.

Observa que en este caso tenemos 2 áreas: del eje $x$ y otra por debajo del eje $x$. Todo lo que hemos hecho funciona tanto para funciones positivas, como negativas. Pero obtendremos algo interesante de la conclusión de este problema.

Para ver que la integral existe, usaremos nuevamente la técnica de las particiones homogéneas. Ahora haremos las sumas inferiores. Como la función es decreciente, los valores más chicos aparecen al final de cada intervalo. Tenemos entonces que:

\begin{align*}
\underline{S}(f,P)&=\sum_{i=1}^{n} \left( – \ \left( 1+i\cdot \left(\frac{3-1}{n}\right) \right)^2+3 \right) \left(\frac{3-1}{n} \right) \\
&=\sum_{i=1}^{n} \left(- \ \left(1+i\cdot \left(\frac{2}{n}\right)\right)^2+3\right) \left(\frac{2}{n}\right)\\
&=\sum_{i=1}^{n} \left( – \ \left(1+ \frac{4i}{n} + \frac{4 i^2}{n^2}\right)+3\right) \left(\frac{2}{n}\right)\\
&=\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{ 4}{n} – \frac{8i} {n^2} – \frac{8 i^2}{n^3}\right)\\
&=\frac{4}{n} \sum_{i=1}^{n} – \frac{8}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i – \frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2\\
&=\frac{4}{n} \cdot n – \frac{8}{n^2} \frac{n(n+1)}{2} – \frac{8}{n^3} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\
&=4 \ – \ \frac{8n^2}{2n^2} \ – \ \frac{8n}{2n^2} \ – \ \frac{8 \cdot 2n^3}{6n^3} \ – \ \frac{8 \cdot 3n^2}{6n^3} \ – \ \frac{8n}{6n^3} \\
&= – \ \frac{8}{3} \ – \ \frac{8n}{2n^2} \ – \ \frac{8 \cdot 3n^2}{6n^3} \ – \ \frac{8n}{6n^3} .
\end{align*}

Así, $$\lim_{n\to\infty} \underline{S}(f,P)=-\frac{8}{3}.$$

Se puede mostrar que el límite de las sumas superiores para las particiones homogéneas también es $-\frac{8}{3}$ (verifícalo), así que la integral buscada tiene este valor. De esta forma,

$$ \int \limits_{1}^{3} -x^2 +3 \, dx = – 8/3 .$$

$\triangle$

¿Áreas negativas?

Se comentó que la integral se utiliza para el cálculo de áreas bajo la curva, entonces, ¿Por qué el resultado del ejemplo anterior es negativo? ¿Hay áreas negativas? Intuitivamente, no debería haber áreas negativas. Sin embargo, el procedimiento que usamos para definir a la integral definida sí nos puede dar números negativos. Puedes pensarlo como sigue: el área que estamos calculando va del eje $x$ a la gráfica de la función $f$. Si esa gráfica está por debajo, entonces estámos yendo en dirección negativa. En el último ejemplo hay tanto una región por encima del eje $x$, como una por debajo. El número que nos salió es la diferencia de ambas áreas: el área por arriba del eje $x$, menos el área por debajo del eje $x$. Como el resultado que obtuvimos fue negativo, entonces el área por debajo del eje $x$ era mayor en magnitud.

Esta es una propiedad un poco antintuitiva, pero es importante preservarla. El cálculo de áreas es sólo una de las aplicaciones que tiene la integral. En otras aplicaciones, es importante que la integral mida qué tanto estuvimos por encima del eje $x$ y qué tanto estuvimos por debajo.

¿Y si queremos realmente entender la suma de las dos áreas de la figura y no la resta? En ese caso, tendremos que hacer una figura para entender cómo hacer las cuentas. Si hay área que está por debajo del eje $x$, deberemos agregar un signo $-$ para contarla correctamente como área positiva. Pero entonces tendremos que partir nuestro intervalo de integración en varios intervalos de acuerdo a cuándo la gráfica de $f$ cruza al eje $x$.

Con esto en mente, retomemos el ejemplo anterior.

Ejemplo. Encontremos el área en valor absoluto que genera la función $f(x)=-x^2 + 3$ en el intervalo $[1,3]$.

Lo primeo que haremos es obtener el punto donde la función cruza al eje $x$. Para ello, se requiere que $-x^2+3=0$, que en dicho intervalo sucede en $x=\sqrt{3}$.

Una vez encontrado el punto raíz o la raíz de la función, ahora podemos partir el área absoluta que nos interesa en dos intervalos: el $[1,\sqrt{3}]$ y el $[\sqrt{3},3]$.

Pensando en que queremos calcular el área absoluta, necesitamos dividir la formula que se planteó anteriormente en los intervalos correspondientes, y en el intervalo $[\sqrt{3},3]$ será necesario agregar un signo menos para que el área que se calcula como negativa, ahora se cuente de manera positiva. De esta manera, tendríamos:

$$ F_1^3 = \int \limits_{1}^{\sqrt 3} -x^2 +3 \, dx \ – \ \int \limits_{\sqrt 3}^{3} -x^2 +3 \, dx .$$

Ahora queda replicar el proceso que vimos en la suma anterior con estos 2 nuevos intervalos y juntarlos considerando el cambio de signo. Desarrollando los cálculos, se encuentra que el área generada por la función es de:

$$F_1^ 3= 4 \sqrt 3 \ – \ \frac{8}{3}.$$

$\triangle$

Nota. En este ejemplo partimos el intervalo en dos subintervalos, pero el intervalo puede quedar partido tantas veces como la función $f$ lo requiera, de acuerdo a la cantidad de veces que se cruza el eje $x$.

Más adelante…

En esta entrada dimos la definición formal de que una función sea integrable en cierto intervalo. O mejor dicho, que sea Riemann integrable. En cursos más avanzados de matemáticas se definen y estudian otras nociones de integrabilidad, pero por ahora esta es la que nos interesa. Para que la integral de Riemann exista, necesitamos que coindidan el ínfimo de las sumas superiores y el supremo de las sumas inferiores de la función dada. En ese caso, el valor de la integral es ese valor en común.

Ya dada la definición, dimos algunos resultados que nos ayudarán a determinar cuándo una función es integrable. En siguientes entradas daremos más propiedades que nos ayudarán entender mejor la integrabilidad y la integral. Varias entradas despuésse hablará de las integrales indefinidas y del teorema fundamental del cálculo, que daran pie a numerosas técnicas de integración.

Lo último que hicimos en esta entrada es notar que hay casos en donde el valor de la integral que se encuentra es negativo. Esto contradice un poco nuestra intuición de que la integral es un área. Sin embargo, ya platicamos qué hacer en este caso si queremos realmente el «área positiva». Seguiremos explorando esta idea de integrales negativas un poco más adelante. Por ahora, lo que puedes hacer es identificar los intervalos en los que la función tiene determinado signo.

Tarea moral

  1. Completa las cuentas que quedaron pendientes en cada uno de los ejercicios.
  2. Expresa la siguiente expresión como una integral en el intervalo $[0,\pi]$. $$\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n (x_i^3 + x_i ~ sin (x_i)) \triangle x .$$
  3. Encuentra el área delimitada por la curva $f(x)=x^2 +2 $ y el eje $x$ en el intervalo $[1,4]$.

4. Encuentra el valor del área delimitada por la gráfica de la función$f(x)= x^3-6x$ en el intervalo $[0,3]$, que es la zona sombreada. Realiza las cuentas tanto con áreas absolutas, tanto con áreas con signo.

5. Encuentra el área de la función $f(x)=\sqrt {1-x^2}$ en el intervalo $[0,1]$.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Motivación de la integral y sumas de Riemann

Por Moisés Morales Déciga

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Introducción

La principal motivación y aplicación de la integral es el cálculo de áreas. En esta entrada hablaremos de cómo aproximar áreas mediante sumas de Riemann. Para introducir este concepto, recordemos que en la entrada pasada se ilustró el método de exhaución. Vimos que es un acercamiento geométrico al cálculo del área del círculo mediante polígonos inscritos o circunscritos. Intuitivamente, conforme aumentamos el número de lados de estos polígonos, el área generada por ellos se aproximaba cada vez mejor al área del círculo.

Sin embargo, en las aplicaciones no sólo queremos calcular el área de círculos, sino de muchos tipos diferentes de figuras. Idealmente, nos gustaría poder calcular el área de muchas figuras u objetos, siempre y cuando éstos se puedan describir.

La forma de describirlos en este curso será mediante funciones. Por lo tanto, buscaremos encontrar una función cuya gráfica se parezca al contorno del objeto (o bien cuyo contorno pueda ser descrito por más de una función). Esta gráfica será una curva que define una región. Hablaremos de cómo definir el área de esta región de manera que coincida con nuestra intuición.

En esta entrada empezaremos con algunas definiciones generales e ideas de aproximación basadas en el método exhaustivo.

Área bajo la curva

El origen analítico de la integral se origina al asociar áreas con funciones.

Tomemos dos reales $a$ y $b$ con $a<b$. Tomemos una función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ que, para fijar las ideas correctamente por ahora, supondremos que es positiva en todo el intervalo $[a,b]$. Supongamos que delimitamos una región en el plano cartesiano de la siguiente manera.

  • Por la izquierda con la línea vertical $x = a$.
  • Por la derecha con la línea vertical $x=b$.
  • Por abajo con el eje $x$.
  • Por arriba con la gráfica de cierta función $f(x)$.

Entonces, la magnitud del espacio que se encuentra acotado por estas curvas se le conoce como el «área bajo la curva» o más específicamente, el «área bajo la curva de $f(x)$ en el intervalo $[a,b]$.» Usaremos la notación $F_a^b$ para referirnos a esta magnitud. En el transcurso de toda esta entrada supondremos que tenemos un ejemplo «bien portado» en el que sí tiene sentido hablar de dicha área $F_a^b$ (recuerda que las funciones pueden tener comportamientos muy raros). Será importante definir qué quiere decir exactamente «bien portado», pero eso lo haremos un poco más adelante.

Ejemplo. En la siguiente figura, la curva verde es la gráfica de la función $f(x)$. La región que nos interesa está bajo esta gráfica, entre las verticales en $a$ y $b$, y sobre el eje $x$. Su magnitud $F_{a}^b$ es el área bajo la curva que nos interesa.

$\triangle$

Particiones, celdas y rectángulos

Una vez definida la región a la que se le va a calcular el área, buscaremos hacer una aproximación a esa área mediante la suma de áreas de rectángulos. Estos pueden ser inscritos (que quedan por dentro o por debajo de la función) o circunscritos (que quedan por afuera o por encima de la función). La razón por la cual usamos rectángulos es que son figuras cuya área se calcula de manera muy sencilla: el área $A$ es su base $b$ por su altura $a$.

Para definir los rectángulos que usaremos para aproximar el área, será necesario hacer una partición $P$ del intervalo $[a,b]$ del eje $x$ en una cierta cantidad de partes (que llamaremos celdas), no necesariamente todas ellas de la misma longitud. Estas partes serán las bases de los rectángulos que usaremos. Comencemos a formalizar estos conceptos.

Definición. Sean $a$ y $b$ números reales con $a\leq b$. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función. Sea $n\geq 0$ un entero. Una partición (en $n$ partes) del intervalo $[a,b]$ será una elección de números reales $x_0\leq x_1 \leq \ldots\leq x_n$ con $x_0=a$ y $x_n=b$. A cada subintervalo de la forma $[x_{i-1},x_i]$ para $1\leq i\leq n$ le llamaremos una celda de la partición.

A una partición la escribiremos usualmente poniendo sus elementos en orden, de la siguiente manera:

$$P =\lbrace{x_0, x_1, x_2,…, x_{n-1}, x_n}\rbrace.$$

Definición. Dada la celda $[x_{i-1},x_i]$ para $1\leq i\leq n$ de una partición, su longitud será $x_i-x_{i-1}$ y la denotaremos por $\Delta x_i$. Así,

$$\Delta x_i= x_i \ – \ x_{i-1}, \quad (i=1,2,…,n).$$

Definición. Si las celdas de una partición tienen todas la misma longitud, diremos que es una partición homogénea. Si no, es decir, si hay celdas de longitudes distintas, diremos que es una partición no homogénea.

Al tomar una partición del intervalo $[a,b]$, podemos dibujar líneas verticales en cada punto de la partición. El área $F_a^b$ que nos interesa queda dividida en regiones o franjas como en la siguiente figura.

La función es en verde, la partición está en azul.

Intuición de las sumas superiores e inferiores

El área de cada una de las franjas que hicimos la podemos aproximar (al estilo del método exhaustivo) mediante rectángulos. Sin embargo, dado que la gráfica de la función no es exactamente horizontal, la suma de ciertos rectángulos que usemos para aproximar el área podría no ser exactamente el área bajo la curva. ¿Qué podríamos hacer para tener un poco más de control sobre cómo es el área de cada rectángulo con respecto al área de cada franja? Podemos usar como base las longitudes de las celdas y como altura podemos usar el máximo o mínimo de la función $f(x)$ en cada intervalo. Esto es un caso particular de lo que más adelante llamaremos sumas de Riemann.

La siguiente figura muestra rectángulos desde el eje $x$ hasta la altura morada (que es el mínimo de la función en cada celda) y rectángulos desde el eje $x$ hasta la altura roja (que es el máximo de la función en cada celda).

Cuando tomamos los mínimos en cada celda y consideramos el área de los rectángulos morados, la suma de cada rectángulo será menor que cada franja, y por lo tanto la suma total de áreas de estos rectángulos será menor que el área bajo la curva que queremos.

Por otro lado, si tomamos los máximos de cada celda, tenemos los rectángulos rojos, que análogamente a lo dicho arriba, tienen suma de área total mayor al área bajo la curva buscada. Intuitivamente, hemos acotado el área buscada entre dos áreas que sí sabemos calcular.

Formalización de sumas superiores e inferiores

Introduciremos un poco de notación para hablar de sumas superiores e inferiores. Primero, le queremos dar un símbolo al ínfimo y al supremo de las evaluaciones de la función que nos interesa en cada celda.

Definición. Dada una partición $P=\{x_0,\ldots,x_n\}$ del intervalo $[a,b]$ y una función acotada $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$:

  • Al ínfimo de los valores de $f$ en la parte $[x_{i-1},x_i]$ le llamaremos $m_i$. En símbolos: $$m_i = \inf \lbrace {f(x) | x_{i-1} \leq x \leq x_i} \rbrace, \quad i = 1,…,n .$$
  • Al supremo de los valores de $f$ en la parte $[x_{i-1},x_i]$ le llamaremos $M_i$. En símbolos: $$M_i = \sup \lbrace {f(x) | x_{i-1} \leq x \leq x_i} \rbrace, \quad i = 1,…,n .$$

Te recomendamos recordar la teoría de ínfimos y supremos de Cálculo I, que puedes consultar en el siguiente enlace: Supremo e ínfimo. Como nota, observa que en este punto estamos suponiendo muy poco de $f$, simplemente que es acotada.

La siguiente definición formaliza la idea de «aproximar el área por abajo».

Definición. Sean $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funcion acotada y $a\leq b$ reales. Sea $P=\{x_0,\ldots,x_n\}$ una partición de $[a,b]$. Diremos que la suma inferior $\underline{S}$ correspondiente a la función $f$ en la partición $P$ del intervalo $[a,b]$ es el número:

\begin{align*}
\underline{S}(f,P) &= \sum_{i=1}^{n} m_i\Delta x_i,
\end{align*}

donde $m_i$ es el ínfimo de los valores de $f$ la celda $[x_{i-1},x_i]$ y $\Delta x_i $ es la longitud de dicha celda. La expresión anterior se desarrolla explícitamente entonces como

$$m_1(x_1 – x_0) + m_2(x_2 – x_1) + . . . + m_n(x_n – x_{n-1}).$$

Esto es precisamente la suma de áreas de varios rectángulos que, por tomar la altura como el ínfimo en cada celda, quedan todos ellos por debajo de la gráfica de la función, como en la siguiente figura.

Suma Inferior.

La siguiente definición formaliza la idea de «aproximar el área por arriba».

Definición. Sean $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funcion acotada y $a\leq b$ reales. Sea $P=\{x_0,\ldots,x_n\}$ una partición de $[a,b]$. Diremos que la suma superior $\overline{S}$ correspondiente a la función $f$ en la partición $P$ del intervalo $[a,b]$ es el número:

\begin{align*}
\overline{S}(f,P) &= \sum_{i=1}^{n} m_i\Delta x_i,
\end{align*}

donde $M_i$ es el supremo de los valores de $f$ la celda $[x_{i-1},x_i]$ y $\Delta x_i $ es la longitud de dicha celda. La expresión anterior se desarrolla explícitamente entonces como

$$M_1(x_1 – x_0) + M_2(x_2 – x_1) + . . . + M_n(x_n – x_{n-1}).$$

Ahora tenemos la suma de áreas de varios rectángulos que quedan por encima de la gráfica de la función, como se muestra a continuación:

Suma Superior.

Si regresamos a pensar que la función $f$ es «bien portada» como para que el área $F_a^b$ tenga sentido, entonces las sumas superiores e inferiores nos ayudan a acotar dicha área. En efecto, notemos que para cualquier $i=1,\ldots,n$, tenemos que

$$m_i \leq f(x) \leq M_, \quad \text{para } x\in [x_{i-1},x_i].$$

De aquí, el área en cada franja queda acotada entre el área de dos rectángulos y sumando en todas las celdas tendríamos que

$$ \underline{S} \leq F_a^b \leq \overline{S} \quad .$$

Es decir, la suma inferior es menor o igual que el valor de la integral y la suma superior es mayor o igual que la integral. Un poco más adelante formalizaremos esto, cuándo hablemos apropiadamente de las funciones «bien portadas».

Refinamientos de una partición

Si hacemos una partición con más puntos, habrá más celdas dentro del intervalo y por lo tanto, la cantidad de rectángulos aumenta. Intuitivamente, nuestras aproximaciones deberían acercarse más al área buscada. En efecto, más adelante veremos que esto es así. Por ello, es importante introducir la siguiente definición formal.

Definición. Sea $P$ una partición del intervalo $[a,b]$. Un refinamiento de $P$ es otra partición $Q$ de $[a,b]$ tal que $P \subseteq Q$.

Al momento de pedir que la partición $P$ esté contenida en $Q$, aseguramos que todos los puntos de la partición generados en $P$ se encuentran en $Q$, y por lo tanto que cada celdas de $Q$ sean subconjunto de alguna celda de $P$.

Intuitivamente, las aproximaciones que hagamos con la partición $Q$ deben de ser entonces mejores que las que hagamos con la partición $P$. Si cierta suma de áreas de rectángulos hechas con $Q$ es $S_Q$ y esa suma de áres hechas con $P$ es $S_P$ suena razonable que:

$$ \left|F_a^b – S_Q\right| \leq \left|F_a^b – S_P \right|.$$

Sin embargo, nos estamos adelantando un poco. Lo que sí podemos mostrar formalmente por ahora es el siguiente resultado auxiliar.

Lema. Sean $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funcion acotada y $a\leq b$ reales. Si $P$ y $Q$ son particiones de $[a,b]$ y $Q$ es refinamiento de $P$, entonces $$\underline{S} (f,P) \leq \underline{S} (f,Q) \quad \text{y} \quad \overline{S} (f,Q) \leq \overline{S} (f,P)$$

Demostración. Por definición, $P$ y $Q$ son subconjuntos finitos de $[a,b]$, y $P\subseteq Q$, así que se puede llegar de $P$ a $Q$ agregando elementos de $[a,b]$ uno por uno. Bastará entonces ver que las desigualdades de arriba se cumplen cuando $Q$ tiene exactamente un elemento más que $P$, digamos $Q=P\cup \{y\}$. Tomemos $P=\{x_0,\ldots,x_n\}$. El real $y$ cae dentro de alguna celda de $P$, digamos en la celda $[x_{j-1},x_j]$.

Estudiemos qué suecede con las sumas inferiores. La suma inferior con respecto a $P$ es \begin{align*}
\underline{S}_P &= \sum_{i=1}^{n} m_i\Delta x_i,
\end{align*}

Para la suma inferior con respecto a $Q$, la celda $[x_{j-1},x_j]$ queda partida en dos celdas $[x_{j-1},y]$ y $[y,x_j]$. Los ínfimos respectivos $r$ y $s$ de la función $f$ en estas dos celdas cumplen $r\geq m_j$ y $s\geq m_j$, pues estamos tomando el ínfimo sobre conjuntos más chicos. Así, la suma inferior con respecto a $Q$ cumple:

\begin{align*}
\underline{S}(f,Q) &= \sum_{i=1}^{j-1} m_i\Delta x_i + r (y-x_{j-1}) + s (x_j-y)+ \sum_{i=j+1}^{n} m_i\Delta x_i\\
&\leq \sum_{i=1}^{j-1} m_i\Delta x_i + m_j (y-x_{j-1}) + m_j (x_j-y)+ \sum_{i=j+1}^{n} m_i\Delta x_i\\
&=\sum_{i=1}^{j-1} m_i\Delta x_i + m_j (x_j-x_{j-1})+ \sum_{i=j+1}^{n} m_i\Delta x_i\\
&= \sum_{i=1}^{n} m_i\Delta x_i\\
&= \underline{S}(f,P).
\end{align*}

Esto termina la demostración para las sumas inferiores. El caso de las sumas superiores es análogo.

$\square$

En palabras, el lema anterior dice que la suma inferior con la partición $P$ es menor que la suma inferior con la partición $Q$ y la suma superior con la partición $P$ es mayor que la suma superior con la partición $Q$.

Otra aplicación muy importante de los refinamientos es que nos ayudan a demostrar que cualquier suma superior siempre es mayor que cualquier suma inferior, sin importar la partición que tomemos en una y en otra.

Proposición. Sean $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funcion acotada y $a\leq b$ reales. Sean $P$ y $Q$ particiones de $[a,b]$. Entonces,

$$\underline{S}(f,P) \leq \overline{S}(f,Q).$$

La idea de la demostración es sencilla. Para cualesquiera dos particiones $P$ y $Q$ podemos encontrar una partición $R$ que es un refinamiento de ambas (¿cómo la encontrarías?). Ya teniendo dicha partición, tenemos la cadena de desigualdades:

$$\underline{S} (f,P) \leq \underline{S} (f,R) \leq \overline{S} (f,R) \leq \overline{S} (f,Q).$$

Dar la partición $R$ de manera explícita y los detalles de cómo justificar la cadena de desigualdades anterior queda como parte de los ejercicios de esta entrada.

Sumas de Riemann y regla del punto medio

Ya vimos cómo hacer aproximaciones con rectángulos inferiores y cómo hacer aproximaciones con rectángulos superiores. Pero, como te imaginarás, los rectángulos podríamos tomarlos bajo otro criterio. Por ejemplo, podemos hacer rectángulos tomando un punto cualquiera $\xi_i$ dentro de cada celda $[x_{i-1},x_i]$ de una partición.

Ahora la aproximación quedaría de la siguiente manera:

\begin{align*}
F_n &= \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i\\
&= \sum_{i=1}^n f(\xi_i) (x_i-x_{i-1})\\
&=f(\xi_1)(x_1 \ – \ x_0) + f(\xi_2)(x_2 \ – \ x_1) + . . . + f(\xi_n)(x_n \ – \ x_{n-1})
\end{align*}

A las expresiones de este estilo se les conoce como sumas de Riemann.

Una manera de dar de manera explícita algunos valores $\xi_i$ es tomando los puntos medios en cada celda, como en la siguiente figura.

Este método nos dará otra manera de aproximar el área que buscamos. Si de nuevo refinamos la partición y usamos los puntos medios, tendremos otro procedimiento exhaustivo para aproximar el área. Pero igual podríamos tomar otra, y otra, y otra manera de aproximar el área. ¿Será que todas estas aproximaciones nos llevan a la misma área? Es parte de lo que tendremos que entender formalmente más adelante. Sin embargo, por ahora haremos algunos ejemplos concretos de las ideas que hemos discutido hasta ahora.

Ejemplo de sumas de Riemann superiores, inferiores y de punto medio

Ejemplo. Tomamos la función $f:[2,8]\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=x+2$. Tomemos la partición homogénea $P=\{2,3,4,5,6,7,8\}$, en donde cada celda tiene longitud $1$. Encontremos la suma superior, la inferior y la que se obtiene mediante la regla del punto medio.

Partición con n=6

Para la suma inferior, tenemos el siguiente conjunto de ínfimos (en este caso, mínimos) de las celdas generadas:

$$m= \lbrace {4, 5, 6, 7, 8, 9}\rbrace .$$

De este modo, la suma inferior es

$$\underline{S}(f,P) = 4\cdot(3-2) + 5 \cdot (4-3) + 6 \cdot (5-4) + 7 \cdot (6-5) + 8 \cdot (7-6) + 9 \cdot (8-7) = 39.$$

En el caso de la suma superior, los supremos (en este caso, máximos) son

$$M= \lbrace {5, 6, 7, 8, 9, 10}\rbrace.$$

Desarrollemos la suma superior:

$$\overline{S}(f,P) = 5 \cdot (3-2) + 6 \cdot (4-3) + 7 \cdot (5-4) + 8 \cdot (6-5) + 9 \cdot (7-6) + 10 \cdot (8-7) = 45.$$

Finalmente, para la regla del punto medio, tenemos que los valores de la función evaluada en el punto medio de cada intervalo son:

$$\xi= \lbrace {4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5, 9.5}\rbrace .$$

Desarrollando la suma, obtenemos

$$S= 4.5 \cdot (3-2) + 5.5 \cdot (4-3) + 6.5 \cdot (5-4) + 7.5 \cdot (6-5) + 8.5 \cdot (7-6) + 9.5 \cdot (8-7) = 42.$$

$\triangle$

Más adelante…

En esta entrada empezamos a motivar cómo el área bajo una curva puede ser aproximada mediante rectángulos. Sin embargo, supusimos que nuestra curva estaba dada por una función «bien portada» la cuál sí hace un área apropiada. Esto no necesariamente pasará siempre, pues si la función tiene una gráfica muy complicada, entonces no podremos hablar apropiadamente del área debajo de ella.

De hecho, lo que hicimos en esta entrada nos ayudará a dar formalidad a exactamente qué quiere decir que la función sea «bien portada». La idea de particiones nos servirá para definir el área justo cuando cualquier proceso de aproximar «suficientemente bien» nos lleve al mismo límite. Tomaremos entonces la intuición desarrollada de las sumas inferiores, superiores e incluso las de la regla del punto medio, para introducir la definición de integral definida de la siguiente entrada.

Tarea moral

  1. Aproxima el área bajo la curva de las siguientes funciones en el intervalo dado, usando una partición homogénea con cinco celdas en el intervalo dado. En cada caso, realiza la cuenta con las sumas inferiores, las sumas superiores y con la regla del punto medio.
    • $f(x) = x^2$ en el intervalo $[0,1]$.
    • $f(x)=2x-3$ en el intervalo $[0,2]$.
    • $f(x)=x e^x$ en el intervalo $[2,3]$ (puedes usar calculadora para aproximar las respuestas)
  2. En esta entrada sólo hemos hablado de cómo encontrar el área entre la gráfica de una función positiva y el eje $x$ (dados dos límites verticales). ¿Qué tendríamos que hacer si la función es negativa?
  3. Ahora imaginemos que queremos encontrar el área que se encuentra entre la gráfica de dos funciones. Por ejemplo, imagina que queremos aproximar con las ideas de esta entrada el área entre las gráficas de las siguientes dos funciones, desde la línea vertical $x=0$ hasta el primer punto de intersección que tienen.

$f(x)= sin(x^3) + 2x$

$g(x)=cos(x^2)+3x^2-2$

Puedes ver estas funciones en la figura. Para realizar la aproximación, haz lo siguiente.

  • Encuntra el punto $c$ tal que $f(c)=g(c)$, es decir, en qué ubicación horizontal se cruzan las gráficas.
  • Haz una partición homogénea en 10 partes del intervalo $[0,c]$. ¿Qué longitud tiene cada celda?
  • Crea rectángulos usando como altura la distancia máxima entre las curvas en cada celda. ¿Cuánto queda la suma de áreas de rectángulos? ¿Y si usas la distancia mínima entre las curvas en cada celda?
  1. En el texto se da la demostración de que en un refinamiento, la suma inferior se vuelve más grande. Completa los detalles para ver el resultado análogo de que en un refinamiento la suma superior se vuelve más pequeña. ¿Qué propiedades del supremo estás utilizando?
  2. Completa los detalles de la proposición de que cualquier suma superior es mayor a cualquier suma inferior, aunque estemos hablando de particiones diferentes.
  3. La gráfica de la función $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ es un semicírculo que va de $-1$ a $1$. Usa una partición homogénea en $10$ celdas del intervalo $[-1,1]$ y la regla del punto medio para dar una aproximación al área de este semicírculo. Entonces, ¿cuál sería una aproximación al área del círculo de radio $1$? De aquí, ¿cuál sería una aproximación para $\pi$?

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