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Acerca de Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Hola. Soy Leonardo Martínez. Soy Profesor de Tiempo Completo en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Hice un doctorado en Matemáticas en la UNAM, un postdoc en Israel y uno en Francia. Además, me gusta colaborar con proyectos de difusión de las matemáticas como la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.

Álgebra Superior I: Tipos de enunciados matemáticos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

5 respuestas

Introducción

En esta entrada platicamos de varios tipos de enunciados con los que te vas a encontrar frecuentemente en tu trayectoria matemática a nivel universitario. Para entender correctamente las definiciones siguientes, es muy importante que ya estés familiarizado con el concepto de proposición matemática que tratamos con anterioridad.

Axiomas

En las matemáticas, los axiomas son enunciados que tomamos como verdaderos. NEs decir, son verdaderos por convención. Son el punto de partida que establece las reglas del juego de cierta área de las matemáticas.

Cuando estés en cálculo, se verán los axiomas que deben satisfacer los números reales. Cuando estés en álgebra lineal, ser verán los axiomas de espacio vectorial. En geometría moderna se verán los postulados de Euclides (que puedes pensar como axiomas). En este curso hablaremos un poco de axiomas para la teoría de conjuntos y para los números naturales.

Algunos ejemplos son los siguientes (no es necesario que entiendas exactamente qué dicen):

  • Para cada dos puntos, hay una línea que pasa por ellos.
  • Cada número natural tiene un único sucesor.
  • Para el neutro $e$ de un grupo $G$ y cualquier elemento $a$ en $G$, existe un elemento $b$ en $G$ tal que $ab=ba=e$.
  • Para cualquier colección $A_1,\ldots,A_n$ de abiertos, se tiene que $$A_1 \cap A_2 \cap \ldots A_n$$ también es abierto.

Los axiomas no requieren ser justificados o demostrados. Simplemente acordamos su validez.

Definiciones

Las definiciones no son proposiciones matemáticas y no tiene sentido decir que son verdaderas o falsas. Simplemente son enunciados que le ponen un nombre a un objeto matemático con ciertas propiedades para poder referirnos a él de manera sencilla más adelante. En ocasiones, estas definiciones hacen referencia a cómo se expresa el concepto matemático en símbolos y frecuentemente para ello se usa la palabra «denotar».

Hay varias formas en las que se pueden escribir definiciones matemáticas. Las siguientes son algunas (no es necesario que las entiendas completamente).

  • Un número entero es perfecto si la suma de sus divisores propios es igual a sí mismo.
  • Un cuadrilátero es un cuadrado si las longitudes de sus cuatro lados son iguales y los cuatro ángulos en sus vértices son rectos.
  • Para dos conjuntos $A$ y $B$ definimos a su unión como el conjunto que consiste de los elementos que están en cualquiera de los dos conjuntos. Lo denotamos por $A\cup B$.
  • Una operación binaria es asociativa si $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
  • Un grupo es un conjunto con una operación binaria asociativa, con neutro y con inversos.

Las definiciones son muy útiles pues ayudan a acortar el lenguaje e ir construyendo ideas más complejas e interesantes. Toma en cuenta lo siguiente con respecto a las definiciones.

  • Cuando se tienen enunciados del estilo «tomemos $C$ un cuadrado», o «sea $G$ un grupo», o incluso «consideremos $A\cup B$», de manera instantánea ya se pueden tomar como verdaderas todas las propiedades dadas por la definición. Así, de manera inmediata es verdadero que los lados de $C$ miden lo mismo y que $A\cup B$ tiene tanto a los elementos de $A$ como a los de $B$. También es verdadero que $G$ tiene una operación asociativa. Y por la definición de «asociativa», de manera inmediata es verdadero que $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$. Observa cómo se van haciendo deducciones sucesivas de hechos verdaderos.
  • Cuando se requiera verificar si un objeto satisface una definición, entonces hay que verificar que sean ciertas todas las propiedades enunciadas en la definición. Así, no basta ver que $C$ tiene lados iguales para ver que es un cuadrado. También hay que ver que sus ángulos son todos ellos rectos.

Proposiciones

Las proposiciones son simplemente proposiciones matemáticas en el sentido de la entrada anterior. Son enunciados matemáticos que se puede determinar si son verdaderos o falsos. Usualmente, cuando se encuentran en un curso o en un texto, es porque ya se verificó su veracidad. En estos contextos, tras enunciar una proposición se suele dar una demostración, que es un concepto del que hablaremos a profundidad más adelante.

Una vez que tenemos axiomas y definiciones, es posible empezar a relacionar distintos conceptos mediante proposiciones. A continuación se tienen algunos ejemplos:

  • Si un cuadrilátero tiene todos sus ángulos rectos y tiene dos lados consecutivos iguales, entonces es un cuadrado.
  • La suma de dos números pares siempre da un número par.
  • Existe una función continua que no es diferenciable.
  • Siempre se cumple que $(A\cup B)^c = A^c \cap B^c$.
  • La suma de dos números que sean múltiplos de $3$ nunca es un múltiplo de $3$.
  • Todas las funciones diferenciables son continuas.

Todas las proposiciones arriba enunciadas son verdaderas, excepto una de ellas. Observa que usan palabras como «y», «si… entonces…», «todas», etc. Varias de estas palabras tienen un significado matemático muy preciso que discutiremos más adelante. Después veremos cómo determinar la veracidad de algunas de estas proposiciones y qué tipo de argumentos hay que dar para demostrarlas.

Lemas

Un lema es prácticamente una proposición. Los lemas tienen este nombre más bien con un fin práctico. Lo que se está avisando es que hay que poner atención a esa proposición, pues probablemente sea utilizada como resultado auxiliar una o varias veces más adelante.

Como los lemas son proposiciones matemáticas, entonces pueden ser verdaderos o falsos. Por esta razón, para poder afirmar que un lema es verdadero, es necesario dar una demostración en donde se justifique o se deduzca desde elementos más básicos (como definiciones, axiomas o proposiciones) la validez del mismo.

Teoremas

Los teoremas también son básicamente proposiciones. Su nombre también cumple un fin práctico. Cuando se le pone el nombre de «teorema» a una proposición, es para dar a entender que es una proposición muy importante dentro de la teoría. Usualmente para llegar a un teorema se necesita probar varios resultados auxiliares.

Hay algunos teoremas que se vuelven tan relevantes que adquieren nombre propio. Algunos ejemplos de teoremas son los siguientes (son ejemplos nada más, tampoco es fundamental que entiendas exactamente qué están diciendo):

  • Un espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo a su espacio dual.
  • Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo de catetos con longitudes $a$ y $b$ e hipotenusa $c$ se cumple que $a^2+b^2=c^2$.
  • Teorema de Hall: Si una familia de al menos $n+1$ convexos en $\mathbb{R}^n$ se intersecta de $n+1$ en $n+1$ elementos, entonces toda la familia se intersecta.
  • Teorema fundamental del álgebra: Todo polinomio no constante con coeficientes en $\mathbb{C}$ tiene por lo menos una raíz en $\mathbb{C}$.

Los investigadores en matemáticas y áreas afines se dedican a encontrar este tipo de resultados relevantes. Una frase conocida de Alfréd Rényi es: «Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas».

Corolarios

Un corolario, de nuevo, es prácticamente una proposición. Sin embargo, en el desarrollo de la teoría matemática los corolarios usualmente son resultados que se siguen fácilmente de resultados previos, sobre todo de teoremas. A continuación, algunos ejemplos.

  • Un corolario del teorema de Pitágoras es «La hipotenusa es más larga que cualquiera de los catetos».
  • Un corolario de teorema fundamental del álgebra es «Un polinomio no constante de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces complejas contando multiplicidades».
  • Un corolario del teorema de Hall es que si en una mesa hay manchas circulares del mismo radio, y cualesquiera tres de ellas se pueden cubrir con un plato, entonces todas las manchas se pueden cubrir usando un sólo un plato.

Puedes pensar en los corolarios como la «cereza del pastel».

Conjeturas

Las conjeturas también son proposiciones matemáticas: son enunciados que se puede determinar si son verdaderos o falsos. Sin embargo, a diferencia de los lemas, proposiciones, teoremas y corolarios (que se sabe que son verdaderos), lo que ocurre con las conjeturas es que todavía no hay nadie que haya determinado si son verdaderas o falsas.

Las conjeturas juegan un papel importante en la teoría de muchas áreas de las matemáticas, pues son resultados que se espera que sean verdaderos, pero para los cuales aún es necesario el desarrollo de nuevas técnicas en la investigación matemática.

Recapitulación

En resumen, los lemas, proposiciones, teoremas y corolarios son todos ellos proposiciones matemáticas. Pueden ser verdaderas o falsas. Los que encuentres en textos y cursos prácticamente serán verdaderos. Para asegurar que son verdaderos, requieren de una demostración, es decir, de una serie de argumentos y deducciones.

Usualmente encontrarás lo que hemos platicadoen el siguiente «esquema»:

Definición -> Lema -> Proposición -> Teorema -> Corolario

Los axiomas son enunciados matemáticos que damos por hecho. Las definiciones nos ayudan a referirnos a objetos matemáticos con ciertas propiedades de manera más sencilla.

Las conjeturas son proposiciones matemáticas que todavía nadie sabe si son verdaderas o no. Los investigadores en matemáticas desarrollan nuevas técnicas para resolver estos problemas.

Más adelante…

Ya platicamos del tipo de enunciados que existen en las matemáticas y dimos algunos ejemplos. En el transcurso del curso veremos muchos ejemplos más. Después de este paréntesis, es importante que retomemos la teoría de lógica para poder hablar de algo fundamental al momento de determinar la veracidad de proposiciones matemáticas: las demostraciones. Antes de llegar ahí, es importante hablar de conectores lógicos, de cuantificadores y de condicionales.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Busca en internet por lo menos otros tres teoremas.
  2. Investiga por lo menos otras tres conjeturas que todavía no hayan sido resueltas.
  3. Encuentra en internet una noticia de alguna conjetura matemática que haya sido resuelta recientemente.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Introducción al curso y proposiciones matemáticas

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

6 respuestas

Introducción

En este curso se desarrollarán varias de las habilidades matemáticas fundamentales a nivel superior. Trabajaremos en lo siguiente:

  • Conocer a detalle las reglas lógicas que usamos en matemáticas y cómo nos permiten demostrar resultados a partir de pequeños bloques.
  • Definir de manera formal qué son los conjuntos, las relaciones y las funciones y aprender a justificar mediante argumentos formales las propiedades que tienen.
  • Construir el conjunto de los números naturales y aprovecharlo para poner en práctica todo lo aprendido anteriormente.
  • Desarrollar habilidades fuertes para responder preguntas del estilo «¿De cuántas formas puede ocurrir cierta cosa?» «¿Cuántos objetos matemáticos hay tales que tengan ciertas propiedades?»
  • Introducir los conceptos de espacio vectorial, vectores y matrices y ver cómo nos ayudan para entender a los sistemas de ecuaciones lineales.

La primera parte del curso es fundamental, pues en todas las demás asignaturas de matemáticas a nivel superior se usan argumentos formales una y otra vez. En esta primera parte comenzarás a entender qué es el «pensamiento matemático» y conocerás la estructura lema-proposición-teorema-corolario que es muy usada a través de diferentes áreas.

Falso y verdadero

Nuestra experiencia con la vida cotidiana nos da una intuición de qué significa que algo sea verdadero o falso. Entendemos por verdadero algo que es verificable o que coincide con la realidad, por ejemplo: «Marte es un planeta».

Algo falso es lo contrario: una cosa que es posible verificar que no es cierta, o que no coincide con lo que experimentamos. Un ejemplo sería «El sol es de color azul».

En el mundo real, a veces estos conceptos de veracidad pueden tener muchos matices. En el caso del pensamiento matemático esto no es así. Lo que se hace en matemáticas es acordar (o dar por hecho) que ciertos enunciados son verdaderos y, a partir de ellos ver cuáles muchos otros enunciados verdaderos y enunciados falsos se pueden obtener como conclusión.

De esta forma, entenderemos a verdadero y falso como propiedades que puede tener un enunciado. Daremos reglas que nos permiten combinar enunciados de diferentes formas para obtener un «enunciado compuesto» y deducir su veracidad. A la larga, lo que nos interesa es poder deducir que una afirmación es verdadera a partir de la veracidad de afirmaciones más chicas y simples. Es como armar un castillo con pequeños bloques.

Proposiciones

Entenderemos por una proposición a un enunciado que se puede decir si es verdadero o falso, pero no ambas a la vez. Algunos ejemplos de proposiciones de la vida real serían las siguientes:

  • «La tierra gira alrededor del sol».
  • «Los tacos más ricos son los del señor de los tacos de canasta de la esquina».
  • «Un kilómetro es igual a 100 metros».
  • «La receta sale mejor si se le pone el doble de leche».

Observa que para que algo sea una proposición no es necesario que sea verdadero. Sólo basta con que se pueda decir si es verdadero o no. Así, «Un kilómetro es igual a 100 metros» es una proposición porque se puede decidir si es falsa o verdadera. Y es falsa. También observa que algunas proposiciones necesitan más contexto para poder decir si son verdaderas o falsas. Considera la oración «La receta sale mejor si se le pone el doble de leche». Por supuesto, tendríamos que saber de qué receta hablamos o qué quiere decir que «salga mejor», para poder decidir si es verdadera o falsa. Posteriormente formalizaremos a estas «proposiciones que pueden ser más específicas».

Sin embargo, los siguientes enunciados no son proposiciones.

  • «¡Feliz cumpleaños!»
  • «Este enunciado es falso».
  • «¿Es cierto que $7$ es un número primo?»

El primero no está afirmando la veracidad de nada, sólo expresa un sentimiento. El problema con el segundo enunciado es que si es verdadero, entonces es falso y viceversa. El tercero parecería sí ser algo que podemos decir si es verdadero o falso. Pero ten mucho cuidado. Compara los siguientes dos:

  • «¿Es cierto que $7$ es un número primo?»
  • «El número $7$ es primo.»

El primer enunciado es una pregunta y no está afirmando nada, sólo está preguntando. El segundo sí está afirmando algo y podemos decir si es verdadero o falso. ¿Cómo le hacemos para saber si es verdadero o falso? En la vida cotidiana puede ser muy fácil de responder a partir de la experiencia. Pero en el contexto matemático será fundamental primero definir qué quiere decir «primo» e incluso definir qué quiere decir «7» para que podamos responder la pregunta.

El enunciado «El número $7$ es primo» es un ejemplo de una proposición matemática, es decir, una proposición en la que se habla de objetos matemáticos y sus relaciones entre sí. Es posible que simplemente les llamemos «proposiciones», pues será claro que estaremos en el contexto matemáticos. Otros ejemplos de proposiciones matemáticas son las siguientes:

  • El valor de la integral $\int_0 ^1 x^2\, dx$ es $\frac{1}{5}$.
  • Existen $10$ formas de elegir dos vocales distintas sin que se repitan y sin que nos importe el orden de elección.
  • Si $x>0$, entonces $x+1\geq 2\sqrt{x}$.

¿Puedes decir cuáles de estas proposiciones matemáticas son falsas y cuáles son verdaderas?

Proposiciones matemáticas en símbolos

En cursos de álgebra en la educación media superior nos enseñan la utilidad de introducir variables para referirnos a las cosas. Cuando ponemos $x^2+x+1$ estamos pensando en que $x$ es un número que podría tomar cualquier valor del sistema que estemos usando (por ejemplo, los números reales). Los símbolos matemáticos son muy útiles pues nos ayudan a cubrir muchos casos de manera simultánea y a escribir de manera abreviada nuestros resultados.

Aplicaremos todas estas ideas para estudiar a las proposiciones matemáticas. Así, cuando estemos hablando de una proposición indeterminada, la llamaremos mediante una letra a la que llamaremos variable proposicional, por ejemplo $P$, $Q$, $R$, $p$, $q$, $r$, etc. Así, podemos hacer cosas como decir lo siguiente:

  • $P=$ «Todos los múltiplos de cuatro son números pares».
  • Para cualquier proposición $P$, tenemos que con $P$ se puede deducir $P$.

Observa que en el primer caso se está tomando un valor de $P$ específico, pero en el segundo estamos aprovechando la letra para hablar de algo así como «todas» las proposiciones de una manera práctica.

Proposiciones matemáticas en tablas de verdad

Una proposición tiene únicamente dos opciones: ser verdadera o ser falsa. Conforme combinemos variables proposicionales con otros símbolos lógicos, obtendremos fórmulas proposicionales, que serán como la siguiente expresión:

$$(\neg P \land Q \Rightarrow \neg Q)\lor (\neg R \land \neg P).$$

En general, nos conviene tener una tabla en donde reflejemos todas las posibilidades de veracidad que puede tener una fórmula proposicional dada la veracidad de todas las variables proposicionales que la conforman. Esto lo haremos mediante una tabla de verdad.

En una tabla de verdad tenemos dos tipos de columnas. Las que están a la izquierda, en donde consideramos todas las posibilidades de veracidad para nuestras variables proposicionales y las que están a la derecha, en donde escribimos fórmulas proposicionales que queremos saber si son falsas o verdaderas de acuerdo a cómo fueron las proposiciones iniciales. Para simplificar la presentación, en las tablas de verdad usaremos $0$ como falso y $1$ como verdadero.

El siguiente es un ejemplo muy sencillo. Para una proposición $P$ arbitraria tenemos dos opciones: que sea falsa ($0$) o que sea verdadera ($1$). Esto lo ponemos en la primera columna, que está en gris. A la derecha ponemos $P$ hasta arriba.

$P$$P$
$0$
$1$

Para llenar la tabla nos preguntamos, ¿qué podemos decir de $P$ conociendo la información que tenemos de $P$? Por supuesto, la pregunta es muy simple: cuando $P$ es falso, $P$ es falso. Cuando $P$ es verdadero, $P$ es verdadero. Así, la forma de llenar la tabla de verdad sería la siguiente:

$P$$P$
$0$$0$
$1$$1$

Este fue un ejemplo muy sencillo. Lo que nos gustaría hacer en esta primera parte del curso es aprender a combinar más de una proposición para fórmulas proposicionales más interesantes. Dentro de algunas entradas habrás conocido símbolos suficientes y adquirido habilidades para llenar tablas de verdad como la siguiente:

$P$$Q$$\neg P$$\neg Q$$\neg P \land Q$$(\neg P \land Q \Rightarrow \neg Q)$
$0$$0$
$0$$1$
$1$$0$
$1$$1$

Más adelante…

En la siguiente entrada platicaremos de los tipos de enunciados matemáticos que existen, y con los cuales te encontrarás muy frecuentemente en el transcurso de tu formación matemática. Hablaremos de axiomas, definiciones, lemas, proposiciones, teoremas, corolarios y otros. Platicaremos acerca de ellos de manera un poco informal y veremos en dónde entran en los conceptos que estamos platicando.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Piensa en $5$ enunciados que sean proposiciones. Intenta ser variado con tus ejemplos.
  2. Piensa en $5$ enunciados que no sean proposiciones.
  3. Escribe $5$ proposiciones matemáticas.
  4. Piensa en $5$ enunciados que son proposiciones, pero que es muy muy difícil decir si son ciertos o no. Por ejemplo «En el mundo hay una persona con 12548 cabellos».
  5. Escribe $5$ proposiciones matemáticas que te parezcan «obvias» o muy directas. Por ejemplo, «La suma $2+2$ es igual a $4$». Identifica en ellas los términos que aparecen y pregúntate si realmente sabes cómo está definido ese término. Por ejemplo, ¿qué es $2$? ¿qué es $4$? ¿qué es el símbolo $+$?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Diez años en la Olimpiada Internacional de Matemáicas

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Hoy comenzó mi participación en la décima Olimpiada Internacional de Matemáticas en la que participo. Diez ediciones. Diez años. Diez países. Miles de chicos que he visto dar lo mejor de sí con el fin de aprender más y más de la resolución de problemas matemáticos. La verdad es algo que nunca me hubiera imaginado, sobre todo porque nunca participé en la competencia como concursante.Todas estas participaciones han estado llenas de experiencias increíbles:

  • 2011 Países Bajos: Mi primer año en la IMO. Participé como colíder. Fue la primera vez que fui a Europa.
  • 2012 Argentina: Mi primer año como líder del equipo mexicano. Se obtuvo la segunda medalla de oro para México en la competencia.
  • 2013 Colombia: Mi segundo año como líder del equipo. Se obtuvo la puntuación más alta y el mejor lugar que hemos obtenido históricamente en la competencia. Por primera vez quedamos en Top 20.
  • 2014 Sudáfrica: Tercer año como líder del equipo. Por primera vez hubo cuatro estudiantes que obtuvieron de plata para arriba. Fue la primera vez que fui a África.
  • 2015 Tailandia: Cuarto y último año como líder del equipo. Cerré con oro esa participación como líder de equipo, pues se consiguió entrar al top 20 (por segunda vez en la historia) y se consiguió la tercera medalla de oro para México (la última desde entonces).
  • 2016 Hong Kong: Primera vez que asisto al evento como Observador A, para pasar la batuta de líder. Fui designado como Chair de la Olimpiada Matemática de la Cuenca del Pacífico (APMO), ya que a México se designó como país organizador de la misma.
  • 2017 Brazil: Una nueva y excelente experiencia, ahora como evaluador (coordinador) en el evento. Me acuerdo mucho que ese año varios me pidieron una foto porque me ubicaban de El Blog de Leo. Segundo año de Chair de la APMO.
  • 2018 Rumanía: Segundo año como evaluador. Tercer año como Chair de la APMO.
  • 2019 Gran Bretaña: Esta IMO fue muy emotiva, pues fue el evento 60 de la competencia. Hubo juegos mecánicos el día de la premiación. Tercera vez como evaluador. Último año como Chair de la APMO y orgulloso de dejar para el futuro el portal http://www.apmo-official.org/ para recopilar la información histórica de la competencia.
  • 2020 Online, organizada por Rusia: La de ahora. Por supuesto, con la particularidad de que ahora todo es a distancia. Pero igual ha estado siendo muy divertido como evaluador: hay un cierto sistema que hay que aprender a usar, los archivos siguen llegando en muchos idiomas y las discusiones matemáticas son bastante interesantes.

Le agradezco muchísimo a la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, que me impulsó a participar en estos primeros años. Y por supuesto, a los organizadores de muchas de las ediciones por la confianza que depositan en mi para ser evaluador.

Álgebra Lineal I: Problemas de bases y dimensión de espacios vectoriales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

En las entradas anteriores vimos cómo se puede definir la dimensión de un espacio vectorial. Para ello, necesitamos encontrar una base. En el caso finito, la dimensión del espacio es la cardinalidad de una base. Esto está bien definido pues todas las bases tienen la misma cardinalidad. A continuación solucionaremos algunos ejemplos para reforzar los temas vistos.

Recordatorio de truco para mostrar que algo es base

En varios de los problemas usamos el siguiente resultado. Ya lo enunciamos y demostramos previamente. Pero como es sumamente útil, lo volvemos a enunciar, en términos más prácticos.

Proposición. Sea $V$ un espacio vectorial que ya sepamos que tiene dimensión finita $n$. Sea $B=\{v_1,v_2,\dots, v_n\}$ un conjunto de $n$ vectores de $v$. Entonces, cualquiera de las siguientes afirmaciones implica las otras dos:

  1. $B$ es un conjunto linealmente independiente en $V$.
  2. $B$ es un conjunto generador para $V$.
  3. $B$ es una base de $V$.

Por supuesto, el tercer punto implica los otros dos por la definición de base. Lo que es realmente útil en situaciones teóricas y prácticas es que si ya sabemos que un espacio tiene dimensión $n$, y tenemos un conjunto de $n$ vectores, entonces basta verificar que o bien (1) o bien (2). Con esto tendremos la otra afirmación gratuitamente.

Al usar este resultado, es muy importante verificar las hipótesis. Es decir, para usarlo se necesita:

  • Argumentar por qué la dimensión de un espacio vectorial es cierto entero $n$.
  • Argumentar que se está estudiando un conjunto con $n$ vectores.
  • Demostrar ya sea (1) o (2).

Problemas resueltos

Problema 1. Muestra que las siguientes cuatro matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, $D=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ son una base del espacio vectorial $M_2(\mathbb{R})$.

Solución. Ya sabemos que $M_2(\mathbb{R})$ es un espacio vectorial de dimensión $4$, pues una base está conformada por las matrices $E_{11}$, $E_{12}$, $E_{21}$ y $E_{22}$ de la base canónica. El conjunto que tenemos consiste de $4$ matrices. Así, para mostrar que conforman una base, es suficiente con que mostremos que son un conjunto linealmente independiente.

Supongamos que existen reales $a,b,c,d$ tales que $$aA+bB+cC+dD=O_2.$$ Haciendo las operaciones entrada por entrada en esta igualdad, obtenemos que esto sucede si y sólo si $a,b,c,d$ son soluciones al sistema de ecuaciones
$$\begin{cases}a+c&=0\\b-d&=0\\b+d&=0\\a-c&=0.\end{cases}$$

Podríamos encontrar todas las soluciones a este sistema usando reducción gaussiana. Sin embargo, afortunadamente para este sistema hay una forma más sencilla de proceder. Sumando la primera y cuarta igualdad, obtenemos $2a=0$, de donde $a=0$ y entonces por la primer ecuación $c=0$. De manera simétrica, $b=d=0$. De esta forma, la única combinación lineal de $A,B,C,D$ que da la matriz cero es la trivial. Concluimos que $A,B,C,D$ son linealmente independientes, y por lo tanto son una base de $M_2(\mathbb{R})$.

$\square$

En el problema anterior resultó más práctico mostrar que las matrices eran linealmente independientes, pero también pudimos simplemente mostrar que generaban a $M_2(\mathbb{R})$. Por la proposición que enunciamos, cualquiera de los dos implica que en este contexto las matrices forman una base.

Veamos ahora un ejemplo en el que es más conveniente mostrar que el conjunto propuesto es generador.

Problema 2. Encuentra una base de $\mathbb{R}_4[x]$ que tenga al polinomio $$p(x)=1+x+x^2+x^3+x^4.$$

Solución. Ya sabemos que $\mathbb{R}_4[x]$ tiene dimensión $5$, pues una base es el conjunto de polinomios $\mathcal{B}=\{1,x,x^2,x^3,x^4\}$.

Proponemos al conjunto $$\mathcal{B}’=\{1,x,x^2,x^3,p(x)\}$$ como solución al problema.

Como $\mathcal{B}’$ es un conjunto con $5$ elementos, basta con mostrar que es un conjunto que genera a $\mathbb{R}_4[x]$. Para ello, notemos que $\mathcal{B}’$ puede generar al polinomio $x^4$ pues se obtiene mediante la combinación lineal $$x^4=p(x)-1-x-x^2-x^3.$$

De esta forma, $\mathcal{B}’$ puede generar todo lo que puede generar $\mathcal{B}$. En símbolos: $$\mathbb{R}_4[x]\subseteq \text{span}(\mathcal{B})\subseteq \text{span}(\mathcal{B}’) \subseteq \mathbb{R}_4[x].$$

Concluimos que $\text{span}(\mathcal{B}’) = \mathbb{R}_4[x]$. Esto muestra que $\mathcal{B}’$ es una base de $\mathbb{R}_4[x]$ que tiene al polinomio $p(x)$.

$\triangle$

Problema 3. Exactamente uno de los vectores $u=(9,5,1)$ y $v=(9,-5,1)$ puede ser escrito como combinación lineal de los vectores columna de la matriz $$A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}.$$ Determina cuál de ellos es y exprésalo como una combinación lineal de los vectores columna de $A$.

Solución. Un vector $b$ se puede escribir como combinación lineal de las columnas de una matriz $A$ si y sólo si el sistema lineal de ecuaciones $AX=b$ tiene solución. En efecto, si $X=(x,y,z)$, recordemos que $$AX=xC_1+yC_2+zC_3,$$ en donde $C_1$, $C_2$ y $C_3$ son las columnas de la matriz $A$.

De esta forma, una forma de proceder es plantear los sistemas de ecuaciones $AX=u$ y $AX=v$, y ver cuál de ellos tiene solución. Esto se puede hacer y dará la solución al problema.

Sin embargo, aprovecharemos este problema para introducir un truco más. Como queremos resolver ambos sistemas, podemos hacer reducción gaussiana en la matriz aumentada $(A|u|v)$, en donde estamos agregando dos vectores columna nuevos. De la forma escalonada reducida podremos leer todo lo que queremos. La matriz que nos interesa es
\begin{align*}\begin{pmatrix}
3 & 0 & 3 & 9 & 9 \\ 2 & 1 & 1 & 5 & -5\\ 1 & 2 & -1 & 1 & 1
\end{pmatrix}.\end{align*}

Usando la herramienta online de eMathHelp para calcular la forma escalonada reducida de esta matriz, obtenemos

\begin{align*}(A_{red}|u’|v’)=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.\end{align*}

Estamos listos para hacer el análisis. Tomando la submatriz conformada por las primeras cuatro columnas (las correspondientes a $A_{red}$ y $u’$), vemos que no queda pivote en la última columna. De este modo, sí hay una solución para $AX=u$.

Para obtener una solución, basta trabajar con esta submatriz y usar nuestros argumentos usuales de sistemas de ecuaciones lineales. La variable $z$ es libre. Las variables $x$ y $y$ son pivote. Haciendo $z=0$ obtenemos $x=3$ y $y=-1$. Concluimos que $$\begin{pmatrix} 9 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + (-1) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}.$$

Esto sería suficiente para terminar el problema, pues el enunciado garantiza que uno y sólo uno de los vectores es combinación lineal de las columnas.

Pero estudiemos el otro caso para ver qué sucede. Tomando la submatriz conformada por las columnas $1$, $2$, $3$, $5$ de $(A_{red}|u’|v’)$ (correspondientes a $A_{red}$ y $v’$), vemos que sí hay un pivote en la última columna: el de la tercera fila. Entonces, no hay solución para $AX=v$.

$\triangle$

El problema anterior ayuda a fortalecer mucho nuestra intuición para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el sistema $AX=b$ tiene solución si y sólo si el vector $b$ es combinación lineal de los vectores columna de $A$. Cada solución al sistema corresponde a una de estas combinaciones lineales.

Problema 4. Para $n$ un entero positivo y $k$ un entero de $0$ a $n$, definimos al polinomio $P_k(x)=x^k(1-x)^{(n-k)}$. Muestra que $P_0(x),\ldots, P_n(x)$ es una base para el espacio $\mathbb{R}_n[x]$.

Solución. Como $\mathbb{R}_n[x]$ tiene dimensión $n+1$ y estamos considerando un conjunto de $n+1$ polinomios, entonces basta mostrar que este conjunto es linealmente independiente. Supongamos que hay una combinación lineal de ellos que es igual a cero, digamos $$\alpha_0 (1-x)^n + \alpha_1 x(1-x)^{n-1} + \ldots + \alpha_{n-1} x^{n-1} (1-x) + \alpha_n x^n=0.$$

Si evaluamos la expresión anterior en $x=1$, casi todos los sumandos se anulan, excepto el último. De aquí, obtenemos que $\alpha_n 1^n=0$, de donde $\alpha_n=0$. La expresión se convierte entonces en $$\alpha_0 (1-x)^n + \alpha_1 x(1-x)^{n-1} + \ldots + \alpha_{n-1} x^{n-1} (1-x)=0.$$

Factorizando $1-x$ de todos los sumandos y usando que el polinomio $1-x\neq 0$, podemos «cancelar» al factor $1-x$. En otras palabras, podemos «dividir» la combinación lineal entre $1-x$ para obtener $$\alpha_0 (1-x)^{n-1} + \alpha_1 x(1-x)^{n-2} + \ldots + \alpha_{n-1} x^{n-1}=0.$$

De aquí podemos seguir aplicando el mismo argumento: evaluamos en $1$, concluimos que el último coeficiente es igual a $0$, y entonces podemos dividir subsecuentemente entre $1-x$. De esta forma, obtenemos $\alpha_n=\alpha_{n-1}=\ldots=\alpha_0=0$. Concluimos entonces que los polinomios propuestos son linealmente independientes, y por lo tanto forman una base de $\mathbb{R}_n[x]$.

$\square$

El argumento del último párrafo se puede formalizar todavía más usando inducción sobre $n$. Piensa en lo complicado que hubiera sido mostrar de manera directa que los polinomios propuestos generan a $\mathbb{R}_n[x]$. Gracias a la proposición que discutimos al inicio, esto lo obtenemos de manera automática.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

Álgebra Lineal I: Problemas de combinaciones lineales, generadores e independientes

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

4 respuestas

Introducción

En entradas anteriores ya hablamos de combinaciones lineales, de conjuntos generadores y de conjuntos independientes. Lo que haremos aquí es resolver problemas para reforzar el contenido de estos temas.

Problemas resueltos

Problema 1. Demuestra que el polinomio $p(x)=x^2+x+1$ no puede ser escrito en el espacio vectorial $\mathbb{R}[x]$ como una combinación lineal de los polinomios \begin{align*} p_1(x)=x^2-x\\ p_2(x) = x^2-1\\ p_3(x) = x-1.\end{align*}

Solución. Para resolver este problema, podemos plantearlo en términos de sistemas de ecuaciones. Supongamos que existen reales $a$, $b$ y $c$ tales que $$p(x)=ap_1(x)+bp_2(x)+cp_3(x).$$

Desarrollando la expresión, tendríamos que
\begin{align*}
x^2+x+1 &= a(x^2-x)+b(x^2-1)+c(x-1)\\
&= (a+b)x^2+(-a+c)x+(-b-c),
\end{align*}

de donde igualando coeficientes de términos del mismo grado, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases}a+b & = 1\\ -a + c &= 1 \\ -b-c &= 1.\end{cases}$$

Para mostrar que este sistema de ecuaciones no tiene solución, le aplicaremos reducción gaussiana a la siguiente matriz extendida: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Tras la transvección $R_2+R_1$, obtenemos $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Tras la transvección $R_3+R_2$, obtenemos $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.$$

De aquí se ve que la forma escalonada reducida tendrá un pivote en la última columna. Por el teorema de existencia y unicidad el sistema original no tiene solución.

$\square$

En el problema anterior usamos un argumento de reducción gaussiana para mostrar que el sistema no tiene solución. Este es un método general que funciona en muchas ocasiones. Una solución más sencilla para ver que el sistema del problema no tiene solución es que al sumar las tres ecuaciones se obtiene $0=3$.

Problema 2. Sea $n$ un entero positivo. Sea $W$ el subconjunto de vectores en $\mathbb{R}^n$ cuya suma de entradas es igual a $0$. Sea $Z$ el espacio generado por el vector $(1,1,\ldots,1)$ de $\mathbb{R}^n$. Determina si es cierto que $$\mathbb{R}^n=W\oplus Z.$$

Solución. El espacio $Z$ está generado por todas las combinaciones lineales que se pueden hacer con el vector $v=(1,1,\ldots,1)$. Como sólo es un vector, las combinaciones lineales son de la forma $av$ con $a$ en $\mathbb{R}$, de modo que $Z$ es precisamente $$Z=\{(a,a,\ldots,a): a\in\mathbb{R}\}.$$

Para obtener la igualdad $$\mathbb{R}^n=W\oplus Z,$$ tienen que pasar las siguientes dos cosas (aquí estamos usando un resultado de la entrada de suma y suma directa de subespacios):

  • $W\cap Z = \{0\}$
  • $W+Z=\mathbb{R}^n$

Veamos qué sucede con un vector $v$ en $W\cap Z$. Como está en $Z$, debe ser de la forma $v=(a,a,\ldots,a)$. Como está en $W$, la suma de sus entradas debe ser igual a $0$. En otras palabras, $0=a+a+\ldots+a=na$. Como $n$ es un entero positivo, esta igualdad implica que $a=0$. De aquí obtenemos que $v=(0,0,\ldots,0)$, y por lo tanto $W\cap Z = \{0\}$.

Veamos ahora si se cumple la igualdad $\mathbb{R}^n=W+Z$. Por supuesto, se tiene que $W+Z\subseteq \mathbb{R}^n$, pues los elementos de $W$ y $Z$ son vectores en $\mathbb{R}^n$. Para que la igualdad $\mathbb{R}^n\subseteq W+Z$ se cumpla, tiene que pasar que cualquier vector $v=(x_1,\ldots,x_n)$ en $\mathbb{R}^n$ se pueda escribir como suma de un vector $w$ uno con suma de entradas $0$ y un vector $z$ con todas sus entradas iguales. Veamos que esto siempre se puede hacer.

Para hacerlo, sea $S=x_1+\ldots+x_n$ la suma de las entradas del vector $v$. Consideremos al vector $w=\left(x_1-\frac{S}{n},\ldots, x_n-\frac{S}{n} \right)$ y al vector $z=\left(\frac{S}{n},\ldots,\frac{S}{n}\right)$.

Por un lado, $z$ está en $Z$, pues todas sus entradas son iguales. Por otro lado, la suma de las entradas de $w$ es
\begin{align*}
\left(x_1-\frac{S}{n}\right)+\ldots + \left(x_n-\frac{S}{n}\right)&=(x_1+\ldots+x_n)-n\cdot \frac{S}{n}\\ &= S-S=0,
\end{align*}

lo cual muestra que $w$ está en $W$. Finalmente, notemos que la igualdad $w+z=v$ se puede comprobar haciendo la suma entrada a entrada. Con esto mostramos que cualquier vector de $V$ es suma de vectores en $W$ y $Z$ y por lo tanto concluimos la igualdad $\mathbb{R}^n=W\oplus Z$.

$\square$

En el problema anterior puede parecer algo mágico la propuesta de vectores $w$ y $z$. ¿Qué es lo que motiva la elección de $\frac{S}{n}$? Una forma de enfrentar los problemas de este estilo es utilizar la heurística de trabajar hacia atrás. Sabemos que el vector $w$ debe tener todas sus entradas iguales a cierto número $a$ y queremos que $z=v-w$ tenga suma de entradas igual a $0$. La suma de las entradas de $v-w$ es $$(x_1-a)+\ldots+(x_n-a)= S -na.$$ La elección de $a=\frac{S}{n}$ está motivada en que queremos que esto sea cero.

Problema 3. Considera las siguientes tres matrices en $M_2(\mathbb{C})$:
\begin{align*}
A&= \begin{pmatrix} -i & -3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\\
B&= \begin{pmatrix} 2i& 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\\
C&= \begin{pmatrix} i & -7 \\ 12 & 7 \end{pmatrix}.
\end{align*}

Demuestra que $A$, $B$ y $C$ son matrices linealmente dependientes. Da una combinación lineal no trivial de ellas que sea igual a $0$.

Solución. Para mostrar que son linealmente dependientes, basta dar la combinación lineal no trivial buscada. Buscamos entonces $a,b,c$ números complejos no cero tales que $aA+bB+cC=O_2$, la matriz cero en $M_2(\mathbb{C})$. Para que se de esta igualdad, es necesario que suceda entrada a entrada. Tenemos entonces el siguiente sistema de ecuaciones:
$$\begin{cases}
-i a + 2i b + ic &= 0\\
-3a + b -7c &=0\\
2a + 3b + 12c &= 0\\
3a -b +7c &=0.
\end{cases}$$

En este sistema de ecuaciones tenemos números complejos, pero se resuelve exactamente de la misma manera que en el caso real. Para ello, llevamos la matriz correspondiente al sistema a su forma escalonada reducida. Comenzamos dividiendo el primer renglón por $-i$ y aplicando transvecciones para hacer el resto de las entradas de la columna iguales a $0$. Luego intercambiamos la tercera y cuarta filas.

\begin{align*}
&\begin{pmatrix}
-i & 2i & i \\
-3 & 1 & -7 \\
2 & 3 & 12 \\
3 & -1 & 7
\end{pmatrix}\\
\to&\begin{pmatrix}
1 & -2 & -1 \\
0 & -5 & -10 \\
0 & 7 & 14 \\
0 & 5 & 10
\end{pmatrix}
\end{align*}

Ahora reescalamos con factor $-\frac{1}{5}$ la segunda fila y hacemos transvecciones para hacer igual a cero el resto de entradas de la columna 2:

\begin{align*}
&\begin{pmatrix}
1 & 0& 3 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}

Con esto llegamos a la forma escalonada reducida de la matriz. De acuerdo al procedimiento que discutimos en la entrada de sistemas lineales homogéneos, concluimos que las variables $a$ y $b$ son pivote y la variable $c$ es libre. Para poner a $a$ y $b$ en términos de $c$, usamos la primera y segunda ecuaciones. Nos queda \begin{align*} a &= -3c \\ b &= -2c. \end{align*}

En resumen, concluimos que para cualqueir número complejo $c$ en $\mathbb{C}$ se tiene la combinación lineal $$-3c\begin{pmatrix} -i & -3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} – 2c \begin{pmatrix} 2i& 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} + c\begin{pmatrix} i & -7 \\ 12 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Una posible combinación lineal no trivial se obtiene tomando $c=1$.

$\square$

En el problema anterior bastaba encontrar una combinación lineal no trivial para acabar el ejercicio. Por supuesto, esto también se puede hacer por prueba y error. Sin embargo, la solución que dimos da una manera sistemática de resolver problemas de este estilo.

Problema 4. Consideremos el espacio vectorial $V$ de funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Para cada real $a$ en $(0,\infty)$, definimos a la función $f_a\in V$ dada por $$f_a(x)=e^{ax}.$$

Tomemos reales distintos $0<a_1<a_2<\ldots<a_n$. Supongamos que existe una combinación lineal de las funciones $f_{a_1},\ldots,f_{a_n}$ que es igual a $0$, es decir, que existen reales $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ tales que $$\alpha_1 e^{a_1x} + \alpha_2e^{a_2x} + \ldots + \alpha_n e^{a_nx} = 0$$ para todo real $x\geq 0$.

Muestra que $\alpha_1=\ldots=\alpha_n=0$. Concluye que la familia $(f_a)_{a\in \mathbb{R}}$ es linealmente independiente en $V$.

Solución. Procedemos por inducción sobre $n$. Para $n=1$, si tenemos la igualdad $\alpha e^{ax}=0$ para toda $x$, entonces $\alpha=0$, pues $e^{ax}$ siempre es un número positivo. Supongamos ahora que sabemos el resultado para cada que elijamos $n-1$ reales cualesquiera. Probaremos el resultado para $n$ reales cualesquiera.

Supongamos que tenemos la combinación lineal $$\alpha_1 e^{a_1x} + \alpha_2e^{a_2x} + \ldots + \alpha_n e^{a_nx} = 0$$ para todo real $x\geq 0$.

Dividamos esta igualdad que tenemos entre $e^{a_nx}$:

$$\alpha_1 e^{(a_1-a_n)x} + \alpha_2e^{(a_2-a_n)x} + \ldots + \alpha_{n-1}e^{(a_{n-1}-a_n)x}+\alpha_n = 0.$$

¿Qué sucede cuando hacemos $x\to \infty$? Cada uno de los sumandos de la forma $\alpha_i e^{(a_i-a_n)x}$ se hace cero, pues $a_i<a_n$ y entonces el exponente es negativo y se va a $-\infty$. De esta forma, queda la igualdad $\alpha_n=0$. Así, nuestra combinación lineal se ve ahora de la forma $$\alpha_1 e^{a_1x} + \alpha_2e^{a_2x} + \ldots + \alpha_{n-1} e^{a_{n-1}x} = 0.$$

Por la hipótesis inductiva, $\alpha_1=\ldots=\alpha_{n-1}=0$. Como también ya demostramos $\alpha_n=0$, hemos terminado el paso inductivo.

Concluimos que la familia (infinita) $(f_a)_{a\in \mathbb{R}}$ es linealmente independiente en $V$ pues cualquier subconjunto finito de ella es linealmente independiente.

$\square$

El problema anterior muestra que la razón por la cual ciertos objetos son linealmente independientes puede deberse a una propiedad analítica o de cálculo. A veces dependiendo del contexto en el que estemos, hay que usar herramientas de ese contexto para probar afirmaciones de álgebra lineal.

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