Archivo de la categoría: Matemáticas

Posts de matemáticas, la ciencia más cercana a las artes.

Demostración de a mentis del último teorema de Fermat

Afirmación

No hay soluciones para a^n+b^n=c^n con n> 2 y a, b, c en los enteros positivos.

Demostración

La afirmación anterior es simétrica en a, b y c. En efecto, al intercambiarlos tenemos enunciados que son lógicamente equivalentes. Por ejemplo:

No hay soluciones para b^n+c^n=a^n con n> 2 y b, c, a en los enteros positivos.

Así, por la simetría, podemos suponer que a\geq b\geq c. Usando que b> 0:

a^n+b^n \geq c^n +b^n > c^n

De esta forma, el lado izquierdo siempre es más grande y por lo tanto la afirmación es cierta.

QED

¿Qué está mal?

Solución alternativa al 6A de la IMO 2016

En esta entrada les contaré una solución sencilla a una de las partes del Problema 6 de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de este año. El problema dice lo siguiente:

Se tienen n\geq 2 segmentos en el plano tales que cada par de segmentos se intersectan en un punto interior a ambos, y no hay tres segmentos que tengan un punto en común. Mafalda debe elegir uno de los extremos de cada segmento y colocar una rana mirando hacia el otro extremo. Luego silbará n-1 veces. En cada silbido, cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hasta el siguiente punto de intersección sobre su segmento. Las ranas nunca cambian las direcciones de sus saltos. Mafalda quiere colocar las ranas de tal forma que nunca dos de ellas ocupen al mismo tiempo el mismo punto de intersección.

A) Demuestra que si n es impar, Mafalda siempre puede lograr su objetivo.
B) Demuestra que si n es par, Mafalda nunca logrará su objetivo

Es un lindo problema de geometría combinatoria y se puede jugar con él. El objetivo de esta entrada es dar una solución muy sencilla a la Parte A que fue propuesta durante las reuniones de jurado.  Para disfrutar un poco esta solución es recomendable intentarlo un rato antes de pasar a la siguiente sección. La solución de la Parte B y otras soluciones se pueden ver en www.imo-official.org (hay que buscarlas en el menú de Problemas).

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VI Concurso Galois-Noether: 1a etapa

Ken 2 CC-BY - Editada2

La Primera Etapa del V Concurso Universitario de Matemáticas Galois-Noether fue todo un éxito. La cantidad de sedes aumentó comparado con la edición anterior y el concurso tuvo presencia en 4 países: México, Brasil, Costa Rica y Ecuador. Esto permitió que muchos estudiantes universitarios pudieran unirse a este evento de resolución de problemas. En esta entrada se dan más detalles de la aplicación de la primera etapa.

Además de esto, en esta entrada se puede encontrar el examen que se aplicó, las respuestas correctas y los ganadores que pasan a la siguiente etapa.

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Reflexiones sobre el Doctorado en Matemáticas

El Doctorado en Ciencias Matemáticas ha sido una de las experiencias más gratificantes de mi vida. Cuando terminé la licenciatura me encontré con la dificultad de tomar una de las “grandes decisiones de vida”. ¿Qué quiero hacer? ¿Realmente quiero seguir con el posgrado? Lo dudaba pensando en el impacto que esto tendría: especializado pero limitado. Como alternativas, en mi mente rondaron algunas ideas como una maestría en finanzas o economía, o alguna profesión relacionada con la programación. Después de platicar con conocidos y considerar varias opciones, el doctorado directo pintó para ser una opción flexible y decidí intentarlo “para ver qué tal”.  Sigue leyendo

El valor de las matemáticas y la IMO

El valor de las matemáticas

Partimos de un hecho fundamental: en las matemáticas podemos encontrar utilidad y podemos encontrar belleza.

Las matemáticas indudablemente son útiles. El ejemplo más básico es saber aritmética simple para llevar cuentas cotidianas: pagos, cambios, etc. En este ejemplo las matemáticas juegan el papel de ser una herramienta. Hay que tener cuidado, pues el ejemplo puede ser engañoso: las matemáticas no sólo se tratan de aritmética y no sólo se tratan de números. Hay ocasiones en las que la herramienta que usamos es más sofisticada. Podemos utilizar un área que se llama topología para encontrar nuevas clasificaciones de cáncer [3]. Podemos usar la teoría de grupos para arreglar errores en la comunicación de computadoras [2]. O procesos estocásticos para determinar el valor justo que debe tener una acción [4]. En cada una de estas situaciones las matemáticas juegan un papel fundamental para entender el mundo pues traducen las situaciones del mundo real a un lenguaje en el que podemos tomar decisiones. Este tipo de matemáticas son las que tienen una influencia en el desarrollo de la ciencia, la tecnología y la economía.

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