(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Nota: Dado $\{u_1,u_2,\dots ,u_t\}$ un conjunto finito de vectores denotaremos a $\langle\{u_1,u_2,\dots ,u_t\}\rangle$ por $\langle u_1,u_2,\dots ,u_t\rangle$.

Lema (Dependencia lineal): Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial y $v_1,v_2,…,v_m$ una lista de vectores en $V$. Si $v_1,v_2,…,v_m$ es una lista l.d. y $v_1\not=\theta_V$, entonces existe $j\in\{2,3,…,m\}$ tal que
a) $v_j\in\langle v_1,v_2,…,v_{j-1}\rangle$ y
b) $\langle v_1,v_2,…,v_{j-1},v_{j+1},…,v_m\rangle=\langle v_1,v_2,…,v_m\rangle$

Nota: $\langle v_1,v_2,…,v_{j-1},v_{j+1},…,v_m\rangle$ lo denotamos por $\langle v_1,v_2,…,\widehat{v_j},…,v_m\rangle$

Demostración: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial y $v_1,v_2,…,v_m$ una lista l.d. con $v_1\not=\theta_V$.

Como la lista es l.d., entonces existen $\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_m\in K$ no todos nulos tales que

$\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+…+\lambda_mv_m=\theta_V$. (*)

a) Dado que existe al menos un escalar no nulo en (*) tenemos dos casos:

Caso 1. Únicamente $\lambda_1\not=0_K$.
Así, \begin{align*}\theta_V&=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+…+\lambda_mv_m\\ &=\lambda_1v_1+0_Kv_2+…+0_Kv_m\\ &=\lambda_1v_1+\theta_V+…+\theta_V=\lambda_1v_1.\end{align*}
De donde, $\lambda_1v_1=\theta_V$ con $\lambda_1\not=0_K$, entonces $v_1=\lambda_1^{-1}\theta_V=\theta_V$ lo que contradice la hipótesis de que $v_1\not=\theta_V$.
Por lo tanto, este caso no es posible.

Caso 2. Existe al menos un $\lambda_i\not=0_K$ con $i\in\{2,3,…,m\}$.
Consideremos $j=\text{máx}\{i\in\{2,3,…,m\}|\lambda_i\not=0_K\}.$
Entonces $\lambda_{j+1}=\cdots =\lambda_m=0$ por lo cual \begin{align*}\theta_V&=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+…+\lambda_mv_m\\ &=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\cdots+\lambda_jv_j+0_Kv_{j+1}+\cdots+0_Kv_m\\&=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\cdots+\lambda_jv_j+\theta_V\\ &=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\cdots+\lambda_jv_j.\end{align*}
Así, $\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_jv_j=\theta_V$, en consecuencia $\lambda_jv_j=-\lambda_1v_1-\lambda_2v_2-\cdots -\lambda_{j-1}v_{j-1}.$

Además, dado que $\lambda_j\neq 0$ existe el inverso multiplicativo de $\lambda_j,$ entonces

$\begin{array}{ll}v_j&=\lambda_j^{-1}(-\lambda_1v_1-\lambda_2v_2-\cdots-\lambda_{j-1}v_{j-1})\\&=(-\lambda_j^{-1}\lambda_1)v_1+(-\lambda_j^{-1}\lambda_2)v_2+\cdots+(-\lambda_j^{-1}\lambda_{j-1})v_{j-1}\in\langle v_1,v_2,\dots,v_{j-1}\rangle\end{array}.$

$\therefore v_j\in\langle v_1,v_2,\dots,v_{j-1}\rangle$.

b) Veamos que se cumplen las dos contenciones entre los subconjuntos deseados, contemplando que la $j$ para este inciso debe ser la misma que en el inciso anterior.

En primer lugar:
Tenemos que $\{v_1,v_2,\dots,\widehat{v_j},…,v_m\}\subseteq \{v_1,v_2,\dots,v_j,\dots,v_m\}\subseteq\langle v_1,v_2,\dots,v_j,\dots,v_m\rangle$ y este último subconjunto es un subespacio de $V$.
Además, sabemos que si $S\subseteq W\subseteq V$ con $W$ un subespacio vectorial, entonces $\langle S\rangle\subseteq W$.
$\therefore\langle v_1,v_2,\dots,\widehat{v_j},\dots,v_m\rangle\subseteq\langle v_1,v_2,\dots,v_j,\dots,v_m\rangle$.

En segundo lugar:
Si $w\in\langle v_1,v_2,\dots,v_j,\dots,v_m\rangle$, entonces existen $\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_j,\dots,\mu_m\in K$ tales que $w=\mu_1v_1+\mu_2v_2+\cdots+\mu_jv_j+\cdots+\mu_mv_m$.
Sabemos que $v_j=(-\lambda_j^{-1}\lambda_1)v_1+(-\lambda_j^{-1}\lambda_2)v_2+\cdots+(-\lambda_j^{-1}\lambda_{j-1})v_{j-1}$.
De donde,

\begin{array}{ll}w&=\mu_1v_1+\mu_2v_2+\cdots+\mu_{j-1}v_{j-1}+\\ &\phantom{=}\mu_j[(-\lambda_j^{-1}\lambda_1)v_1+(-\lambda_j^{-1}\lambda_2)v_2+…+(-\lambda_j^{-1}\lambda_{j-1})v_{j-1}]+\\ &\phantom{=}\mu_{j+1}v_{j+1}…+\mu_mv_m\\ &=(\mu_1-\mu_j\lambda_j^{-1}\lambda_1)v_1+(\mu_2-\mu_j\lambda_j^{-1}\lambda_2)v_2+\cdots \\ &\phantom{=}+(\mu_{j-1}-\mu_j\lambda_j^{-1}\lambda_{j-1})v_{j-1}+\mu_{j+1}v_{j+1}+\cdots+\mu_mv_m\\ &\in\langle v_1,v_2,\dots,\widehat{v_j},…,v_m\rangle\end{array}
Así, $w\in\langle v_1,v_2,\dots,\widehat{v_j},\dots,v_m\rangle$.
$\therefore \langle v_1,v_2,\dots,v_j,\dots,v_m\rangle\subseteq\langle v_1,v_2,\dots,\widehat{v_j},\dots,v_m\rangle .$

Teorema: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial. Si $v_1,v_2,…,v_m$ es una lista l.i. de vectores en $V$ con $m\in\mathbb{N}^+$, entonces todo conjunto generador de $V$ tiene al menos $m$ elementos.

Demostración: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial.
Sea $v_1,v_2,…,v_m$ es una lista l.i. de vectores en $V$, llamémosle $L$ a esta lista.
Sea $S$ tal que $\langle S\rangle = V$.

Caso 1. $S$ es infinito.
Entonces $S$ tiene más de $m$ elementos.

Caso 2. $S$ es finito.
Digamos que $S=\{w_1,w_2,…,w_k\}$ con $w_1,w_2,…,w_k$ distintos. Probemos que $m\leq k$.

Observemos que como $L$ es una lista l.i. de vectores en $V$, entonces para cada $i\in\{1,2,…,m\}$ tenemos que $v_i\not=\theta_V$.

(1) Como $ v_1\in V=\langle S\rangle$, entonces $v_1,w_1,w_2,…,w_k$ es una lista l.d.
Dado que $v_1\not= \theta_V$, por el lema podemos concluir que existe $j_1\in\{1,2,…,k\}$ tal que $\langle \{v_1,w_1,w_2,…,w_k\}\setminus\{w_{j_1}\}\rangle =\langle v_1,w_1,w_2,…,w_k\rangle =V.$

(2) Como $ v_2\in V=\langle \{v_1,w_1,w_2,…,w_k\}\setminus\{w_{j_1}\}\rangle$, entonces $v_2,v_1,w_1,w_2,…,\widehat{w_{j_1}},…,w_k$ es una lista l.d.
Dado que con $v_2\not= \theta_V$, por el lema podemos concluir que algún vector $v_1,w_1,w_2,…,\widehat{w_{j_1}},…,w_k$ es combinación lineal de los vectores que le anteceden en la lista $v_2,v_1,w_1,w_2,…,\widehat{w_{j_1}},…,w_k$, pero dicho vector no puede ser $v_1$ pues sabemos que $L$ es l.i., por lo que $v_1$ no puede ser combinación lineal de $v_2$. Así, existe algún vector $w_1,w_2,…,\widehat{w_{j_1}},…,w_k$, digamos $w_{j_2}$ con $j_2\in\{1,2,…,k\}\setminus\{j_1\}$, que es combinación lineal de los vectores que le anteceden en la lista $v_2,v_1,w_1,w_2,…,\widehat{w_{j_1}},…,w_{j_k}$ y tal que $\langle \{v_2,v_1,w_1,w_2,…,w_k\}\setminus\{w_{j_1},w_{j_2}\}\rangle$$=\langle \{v_2,v_1,w_1,w_2,…,w_k\}\setminus\{w_{j_1}\}\rangle =V.$

Continuando de este modo, en cada paso quitamos un vector $w_{j_t}$ del conjunto generador, y lo sustituimos por $v_t$, obteniendo de esta manera un nuevo conjunto generador. Observemos entonces que después de $t$ pasos hemos quitado $t$ vectores de $S$, y los hemos sustituido por $v_t,\dots ,v_2,v_1$.

Veamos que $k\geq m$. Supongamos por reducción al absurdo que $k< m$.

Continuando con el proceso anterior, después de $k$ pasos hemos quitado $k$ vectores de $S$, $w_{j_1},w_{j_2},…,w_{j_k}$ (que son entonces los $k$ vectores de $S$, es decir son precisamente $w_1,w_2,…,w_k$ sólo que quizás en otro orden) y los hemos sustituido por $v_k,\dots ,v_2,v_1$. Tenemos además que:
\begin{align*}V&=\langle \{v_{k-1},v_{k-2},…,v_2,v_1,w_1,w_2,…,w_k\}-\{w_{j_1},w_{j_2},…,w_{j_k}\}\rangle\\&=\langle \{v_{k-1},v_{k-2},…,v_2,v_1\}\rangle .\end{align*}
Pero si $V=\langle \{v_{k-1},…,v_2,v_1\}\rangle$, entonces $v_k\in \langle \{v_{k-1},…,v_2,v_1\}\rangle$ y por lo tanto $v_1,v_2,…,v_k$ sería l.d. y en consecuencia también $v_1,v_2,…,v_m$ sería l.d., lo cual contradice nuestra hipótesis.

Por lo tanto, $m\leq k$.

Corolario: Sea $V$ un $K$-espacio vectorial. Si existe $S$ un subconjunto finito de $V$ generador con $k$ elementos, entonces todo conjunto linealmente independiente es finito y tiene a lo más $k$ elementos.
En consecuencia, no existen conjuntos infinitos l.i. en $V$.

Demostración: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial.
Sea $S\subseteq V$ finito con $k$ elementos tal que $\langle S\rangle =V$.
Sea $T\subseteq V$ un subconjunto l.i. Supongamos por reducción al absurdo que $T$ es infinito, consideremos entonces $\hat{T}$ un subconjunto de $T$ con $k+1$ elementos. Tenemos que $\hat{T}$ es un conjunto l.i. con $k+1$ elementos y $S$ es un conjunto generador con $k$ elementos, lo que contradice el teorema anterior. Concluimos entonces que $T$ debe ser finito.
Nuevamente por el teorema anterior se cumple que $|T|\leq |S|$, y como $|S|=k$ entonces $|T|\leq k$.

Tarea Moral

1. Demuestra que, dado $V$ un $K$ – espacio vectorial con $K$ un campo, sólo existe un subconjunto $S$ unitario linealmente dependiente y exhíbelo.
2. Sea $S=\{v_1,v_2,…,v_m\}\subseteq V.$
   Demuestra que son equivalentes:
   • $S$ es l.d.
   • Existe $v_j\in S$ tal que $v_j\in \langle S-{v_j}\rangle$.
3. Recordando que $\{e_1,e_2,e_3\}$ es linealmente independiente $\mathbb{R}^3$ y el teorema de esta entrada sabemos que cualquier conjunto de solo $1$ o $2$ elementos, no podrá generar a $\mathbb{R}^3$.
   • Describe qué subespacio(s) de $\mathbb{R}^3$ se puede(n) generar con un $S\subseteq\mathbb{R}^3$ si $|S|=1$.
   • Describe qué subespacio(s) de $\mathbb{R}^3$ se puede(n) generar con un $S\subseteq\mathbb{R}^3$ si $|S|=2$.

Más adelante…

Ahora que sabemos la relación de cardinalidad que existe entre los conjuntos linealmente independientes y los conjuntos generadores, nos damos cuenta de que, dicho muy informalmente, los conjuntos generadores de un espacio vectorial $V$ tienen una cardinalidad mayor o igual a los l.i. en $V$.
Nos enfocaremos en aquellos conjuntos que son generadores del espacio vectorial $V$ al que pertenecen y linealmente independientes. Veremos algunas propiedades de sus cardinalidades.

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