INTRODUCCIÓN

Llegamos a la conclusión de que la base de un espacio vectorial (con dimensión finita) es un conjunto lo «suficientemente grande» para generar al espacio y lo «suficientemente pequeño» para seguir siendo linealmente independiente.

Ahora bien, veremos que siempre será posible encontrar un base si conocemos un conjunto generador finito o un conjunto linealmente independiente.

Así, con los ajustes necesarios (que ya sabremos cómo hacer), resulta que de cualquier subconjunto en nuestro espacio podemos partir para lograr obtener una base.

Teorema: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita.
a) Todo conjunto generador finito se puede reducir a una base.
b) Todo conjunto linealmente independiente se puede completar a una base.

Demostración:

a) En la demostración de la proposición que se encuentra en la entrada anterior tomamos un conjunto generador finito $S$ de un espacio vectorial arbitrario y recursivamente tomamos subconjuntos propios de $S$ hasta que uno de esos subconjuntos fuera base. Usando el mismo método, reducimos cualquier conjunto generador de $V$ para obtener una base.

b) Sea $S\subseteq V$ un conjunto l.i.
Ya sabemos que $S$ es finito por ser un subconjunto l.i. de $V$ de dimensión finita (observación en la entrada anterior).

Caso 1. Si $\langle S \rangle = V$, entonces $S$ es base de $V$ por definición.

Caso 2. Si $\langle S \rangle \subsetneq V$, entonces existe $v_1\in V$ tal que $v_1\notin \langle S \rangle$. Por lo tanto, $\langle S \rangle \cup \{ v_1 \}$ es l.i.

Subaso 1. Si $\langle \langle S \rangle \cup \{ v_1 \} \rangle = V$, entonces $S$ es base de $V$ por deifinición.

Subcaso 2. Si $\langle \langle S \rangle \cup \{ v_1 \} \rangle \subseteq V$, entonces existe $v_2\in V$ tal que $v_2\notin \langle \langle S \rangle \cup \{ v_1 \} \rangle$ Por lo tanto, $\langle \langle S \rangle \cup \{ v_1 \} \cup \{ v_2 \} \rangle$ es l.i.

Este proceso no es infinito porque los suconjuntos l.i de $V$ deben ser finitos.

Sea $m$ el número de elementos de $V$ que tuvimos que «aumentar» a $\langle S \rangle$ en los subcasos del caso 2, entonces $\langle \langle S \rangle \cup \{ v_1 \} \cup \{ v_2 \} \cup … \{ v_m \} \rangle$ es base de $V$.

Corolario: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial tal que $dim_K(V)=n$.
a) Cualquier conjunto generador con $n$ elementos es una base de $V$.
b) Cualquier conjunto linealmente independiente con $n$ elementos es una base de $V$.

Demostración: Por definición de base tenemos que toda base $B$ de $V$ cumple que $|B|=dim_K(V)=n$. Es decir, toda base de $V$ tiene $n$ elementos.

a) Sea $S\subseteq V$ generador con $n$ elementos.
Por el teorema anterior podemos reducir $S$ a una base.
Pero reducir $S$ a un conjunto de $n$ elementos implica que se conserva íntegro.
Por lo tanto $S$ es base.

b) Sea $S\subseteq V$ linealmente independiente.
Por el teorema anterior podemos completarlo a una base.
Pero completar $S$ a un conjunto de $n$ elementos implica que se conserva íntegro.
Por lo tanto $S$ es base.

Ejemplo

Sea $K=\mathbb{R}, V=\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$.
Sea $W=\left\langle \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right\rangle$

Por construcción, $W$ es el subespacio generado por $X=\left\{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\right\}$
Encontremos un subconjunto de $X$ que sea base de $W$.

Observemos que $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Así, $X$ es l.d. y como $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, entonces $W=\langle X\rangle = \left\langle \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\right\rangle$

Veamos que $B=\left\{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\right\}$ es l.i.

Sean $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{R}$ tales que $\lambda_1\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\lambda_3\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

De donde $\begin{pmatrix} \lambda_1 & \lambda_1+\lambda_2 \\ \lambda_3 & \lambda_2+\lambda_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Así, $\lambda_1, \lambda_1+\lambda_2, \lambda_3, \lambda_2+\lambda_3=0$.
Por lo tanto, $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$.

Como $\langle B\rangle=W$ y $B$ es l.i., entonces $B$ es base y obtenemos que $dim_\mathbb{R}W=|B|=3$

Teorema: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita y $W$ un subespacio de $V$. Entonces se cumple lo siguiente:

a) $W$ es de dimensión finita
b) Toda base de $W$ se puede completar a una base de $V$
c) $dim_KW\leq dim_KV$
d) Si $dim_KW=dim_KV$, entonces $W=V$

Demostración: Analicemos cada inciso por separado:

a) Sup. por reducción al absurdo que $W$ no es de dimensión finita.
Entonces existe $B$ base de $W$ de cardinalidad infinita.
Así, $B$ es un subconjunto de $V$ que es l.i.
Por el teorema anterior tenemos que podemos completar a $B$ para obtener una base de $V$, lo cual es una contradicción, pues existiría un abse de $V$ de cardinalidad infinita (pero por hipótesis, $V$ es de cardinalidad finita).
Por lo tanto, $W$ es de dimensión finita.

b) Sea $B$ una base de $W$.
Entonces $B$ es un subconjunto l.i. en $V$ y por el teorema anterior podemos completar $B$ a una base de $V$.

c) Sea $B$ una base de $W$.
Por el inciso anterior tenemos que podemos completar $B$ para obtener una base de $V$, es decir, $B\cup A$ es base de $V$ con $A\subseteq V$
Si $B\cup A=B$, entonces $dim_KW=|B|=dim_KV$.
Si $B\cup A\not= B$, $dim_KW=|B|\lneq|B\cup A|=dim_KV$
Por lo tanto, $dim_KW\leq\dim_KV$

d) Sup. $dim_KW=\dim_KV=n$
Sea $B$ una base de $W$.
Entonces $B$ es un l.i. en $V$ con $n$ elementos.
Por el corolario anterior tenemos que $B$ es base de $V$.
De donde $B$ es base de $V$.
Y así, $W=\langle B\rangle =V$.
Por lo tanto, $W=V$

Tarea Moral

1. Da tres bases diferentes para $\mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R})$.
2. Demuestra que el conjunto $\{v_1,v_2,…\}$ (infinito) es linealmente independiente si y sólo si $\{v_1,v_2,…,v_n\}$ es linealmente independiente para toda $n\geq 1$.

Más adelante…

Veremos un nuevo concepto: Suma y suma directa de subespacios vectoriales.
¿Qué es? ¿Qué estructura tiene? ¿Dónde vive? ¿Qué relación tiene la suma de dos subespacios con sus uniones?

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