Geometría Moderna II: Construcción del cuarto elemento dada la razón

Por Armando Arzola Pérez

Introducción

Se analizó el concepto de razón cruzada como ${ABCD}= \lambda$ dados cuatro puntos colineales, pero existen veinticuatro permutaciones de estos cuatro puntos, por lo cual se tienen razones cruzadas para cada una de estas. El detalle está en que se pueden agrupar solo en seis tipos de razón cruzada.

Proposición

Dados cuatro puntos colineales distintos $A,B,C$ y $D$ en una recta $l$ y ${ABCD}= \lambda$.
Se tienen seis tipos de razón cruzada:

  • ${ABCD}={BADC}={CDAB}={DCBA}=\lambda$
  • ${ABDC}={BACD}={CDBA}={DCAB}=1/\lambda$
  • ${ACBD}=1- \lambda$
  • ${ACDB}=\frac{1}{1-\lambda}$
  • ${ADBC}=\frac{\lambda-1}{\lambda}$
  • ${ADCB}=\frac{\lambda}{\lambda-1}$

Construcción del cuarto elemento

Dados tres puntos $A,B,C$ colineales distintos, se requiere construir un cuarto punto $D$ colineal con ellos tal que ${ABCD}=\lambda$.

Sea $l$ cualquier recta por $C$, sobre esta tomemos dos puntos $A’$ y $B’$ tales que $CA’/CB’=\lambda$. Ahora unimos $B’$ con $B$ y $A’$ con $A$, de tal forma que $AA’ \cap BB’=D’$, y por este punto de intersección trácese la paralela a $CB’$ que interseque la recta $x$ por $D$. Es decir, $DD’ \parallel CB’ = l$.

Por Demostrar. ${ABCD}=\frac{AC}{CB}/\frac{AD}{DB}=\lambda$

Construcción del cuarto elemento dado

Demostración.

Se tiene que los triangulos $\triangle B’BC \sim \triangle D’BD$, $\triangle A’AC \sim \triangle D’AD$, por lo cual:

$\frac{B’C}{D’D}=\frac{BC}{BD}$ y $\frac{A’C}{D’D}=\frac{AC}{AD}$.

Entonces

$\frac{CB’}{D’D}=\frac{CB}{DB}$ y $\frac{CA’}{DD’}=\frac{AC}{AD}$.

Entonces

$\frac{AC}{AD}/\frac{CB}{DB}=\frac{CA’}{DD’}/\frac{CB’}{DD’}=\frac{CA’}{DD’}=\lambda$.

Por lo tanto, $\frac{AC*DB}{AD*CB}={ABCD}=\lambda$.

$\square$

Más adelante…

Se analizará la razón cruzada en la circunferencia.

Entradas relacionadas

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.