Cálculo Diferencial e Integral I: Repaso. Teoría de Conjuntos. (Parte 2)

Introducción

En la entrada anterior vimos que significa ser un conjunto y cuál es la notación que se utiliza para denotarlos. Además de un par de conceptos: pertenencia a un conjunto y subconjunto.

Retomaremos todo lo antes mencionado para ahora presentar las llamadas Operaciones con conjuntos. Estas estarán presentes no sólo en este curso, sino también varios de los textos de matemáticas que consultarás a lo largo de tu vida académica.

Operaciones con conjuntos

A lo largo de esta entrada haremos uso de los Diagramas de Venn para poder ilustrar visualmente cada una de las operaciones que definiremos a continuación.

Ejemplo de diagrama de Venn

Definición (Unión): Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Decimos que la unión de $A$ con $B$ está definida como:

\[ A \cup B=:\left\{ x\mid x\in A \vee x\in B\right\} \]

Esto quiere decir que esta conformada por los elementos que se encuentran en $A$ o los que se encuentran en $B$. En el siguiente diagrama queda representado por la zona sombreada de azul.

Observación. En este caso al hacer uso de la «o» estamos considerando que esta es inclusiva, lo que quiere decir que es válido que $x$ se encuentre tanto en $A$ como en $B$.

A continuación mostraremos un ejemplo para hacer más clara la definición.

Ejemplo: Supongamos que tenemos los siguientes conjuntos:

\[ A=\left\{0,1, 2, 3, 4\right\} \]
\[ B=\left\{0, a,b,c,d,e\right\} \]

Si nosotros queremos obtener $A \cup B$, al aplicar la definición anterior tenemos:

\[ A \cup B=\left\{0,1, 2, 3, 4,0,a,b,c,d,e \right\} \]

Observamos que al realizar la unión de este par de conjuntos «unimos sus elementos en un sólo conjunto llamado $A \cup B$». Veamos que el 0 es un elemento tanto de $A$ como de $B$, por lo que sólo será necesario escribirlo una vez y así nos queda:

\[ A \cup B=\left\{0,1, 2, 3, 4,a,b,c,d,e \right\} \]

Definición (Intersección): Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Decimos que la intersección de $A$ con $B$ está definida como:

\[ A \cap B=:\left\{ x\mid x\in A \wedge x\in B\right\} \]

Esto quiere decir que esta conformada por los elementos que se encuentran en A y los que se encuentran en B. En otras palabras, la intersección esta conformada por los elementos en común de $A$ y $B$.

En el diagrama anterior queda representado por la zona sombreada de verde.

Ejemplo: Retomamos los siguientes conjuntos:

\[ A=\left\{0,1, 2, 3, 4\right\} \]
\[ B=\left\{0, a,b,c,d,e\right\} \]

Si nosotros queremos obtener $A \cap B$, al aplicar la definición anterior tenemos:

\[ A \cap B=\left\{0 \right\} \]

Definición (Diferencia): Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. Decimos que la diferencia de $A$ con $B$ está definida como:

\[ A \setminus B=:\left\{ x\mid x\in A \wedge x\notin B\right\} \]

Esto quiere decir que esta conformada por los elementos que se encuentran en $A$ y que no se encuentran en $B$.

Ejemplo: Retomamos los conjuntos:

\[ A=\left\{0,1, 2, 3, 4\right\} \]
\[ B=\left\{0, a,b,c,d,e\right\} \]

Si nosotros queremos obtener $A \setminus B$, al aplicar la definición anterior tenemos:

\[ A \setminus B=\left\{1,2,3,4 \right\} \]

Vemos que le hemos quitado los elementos a $A$ que tenía en común con $B$. Por lo que el diagrama nos quedaría como:

Teorema: Sean $A$, $B$ y $C$ conjuntos. Tenemos que:

  1. Leyes conmutativas:
    • \[A \cup B = B \cup A\]
    • \[A \cap B = B \cap A\]
  2. Leyes asociativas:
    • \[A \cup (B\cup C) = (A \cup B)\cup C \]
    • \[A \cap (B\cap C) = (A \cap B)\cap C \]
  3. Leyes distributivas:
    • \[A \cap (B\cup C) = (A \cap B)\cup (A\cap C) \]
    • \[A \cup (B\cap C) = (A \cup B)\cap (A\cup C) \]
  4. \[ A\cup A= A\] \[A\cap A= A\]
  5. \[ A\subseteq A\cup B \] \[ A\cap B \subseteq A\]
  6. \[ A\cup \emptyset = A\] \[A\cap \emptyset= \emptyset\]
    • Nota.-$\emptyset$ denota al conjunto vacío: es aquel que no posee elementos.
  7. \[A \setminus (B\cap C) = (A \setminus B)\cup (A\setminus C) \]

Demostración:

1.Probaremos la igualdad $A \cup B = B \cup A$, así haciendo uso de la definición de igualdad de conjuntos, tenemos:

$A \cup B = B \cup A$ si y sólo si $A\cup B\subseteq B \cup A$ y $B\cup A\subseteq A\cup B$

Comencemos con $A\cup B\subseteq B \cup A$. Sea $x\in A\cup B$, por la definición de subconjunto queremos probar que $x\in B\cup A$.

Por definición de unión se sigue que $x \in B$ o $x\in A$.

Caso 1: Que $x \in B$.

Como $x \in B$ entonces $x \in B$ o $x \in A$. Así, por la definición de unión concluimos que: $x\in B\cup A$.

Caso 2: Que $x \in A$.

Ahora como $x \in A$ entonces $x \in A$ o $x \in B$. Y como el conectivo «o» es conmutativo tenemos: $x \in A$ entonces $x \in B$ o $x \in A$. Así, por la definición de unión concluimos que: $x\in B\cup A$.

Del Caso 1 y Caso 2 concluimos que: $x\in B\cup A$. Por lo tanto: $A\cup B\subseteq B \cup A$.

Ahora probemos la segunda contención: $B\cup A\subseteq A\cup B$. Sea $x\in B\cup A$, así lo que queremos probar es $x\in A\cup B$.

Por definición de unión se sigue que $x \in B$ o $x\in A$.

Caso 3: Que $x \in B$.

Como $x \in B$ entonces $x \in B$ o $x \in A$. Y como el conectivo «o» es conmutativo tenemos: $x \in B$ entonces $x \in A$ o $x \in B$. Así, por la definición de unión concluimos que: $x\in A\cup B$.

Caso 4: Que $x \in A$.

Ahora como $x \in A$ entonces $x \in A$ o $x \in B$. Así, por la definición de unión concluimos que: $x\in A\cup B$.

Del Caso 3 y Caso 4 concluimos que: $x\in B\cup A$. Por lo tanto: $B\cup A\subseteq A\cup B$.

Por lo que finalmente probamos: $A\cup B = B \cup A$.

3. Probaremos sólo la igualdad $A \cup (B\cap C) = (A \cup B)\cap (A\cup C)$

Comenzaremos con probar la siguiente contención: $A \cup (B\cap C)\subseteq (A \cup B)\cap (A\cup C)$. Así tomemos $x\in A \cup (B\cap C)$, queremos demostrar que $x\in (A \cup B)\cap (A\cup C)$.

Caso 1: Que $x\in A$
Así tenemos que se cumple:
\begin{align}
x \in A\vee x\in B &\Rightarrow x\in A\cup B
\end{align}
Y que también sucede que:
\begin{align}
x \in A\vee x\in C &\Rightarrow x\in A\cup C
\end{align}
En (1) y (2) aplicamos la propiedad de adición para la disyunción y la definición de la unión. Por lo que concluimos al aplicar la definición de la intersección en (3):
\begin{align}
x\in A\cup B \wedge x\in A\cup C \Rightarrow x\in (A\cup B) \cap (A\cup C)
\end{align}

Caso 2: Que $x \in B\cap C$
Así por definición de intersección, tenemos que:
\begin{align}
x\in B \wedge x\in C &\Rightarrow (x\in B \wedge x\in C) \vee x\in A\\
&\Rightarrow (x\in B \vee x\in A) \wedge (x\in C \vee x \in A)\\
&\Rightarrow x\in B\cup A \wedge x\in C\cup A\\
&\Rightarrow x\in A\cup B \wedge x\in A\cup C\\
&\Rightarrow x\in (A\cup B) \cap (A\cup C)\\
\end{align}
Aplicamos en (4) la adición con la disyunción; para (5) usamos las Leyes distributivas de los conectivos disyunción y conjunción; para (6) y (7) aplicamos la unión y su propiedad conmutativa. Finalizamos aplicando en (8) la definición de intersección.


Por (3) y (8) de los Casos 1 y 2, podemos concluir que: $A \cup (B\cap C)\subseteq (A \cup B)\cap (A\cup C)$.

Ahora probaremos la contención: $(A \cup B)\cap (A\cup C)\subseteq A \cup (B\cap C)$.
Tomamos $ x\in (A \cup B)\cap (A\cup C)$. Así por definición de intersección, tenemos que:
\begin{align}
x\in (A \cup B) \wedge x \in (A\cup C) &\Rightarrow (x\in A \vee x\in B) \wedge (x \in A\vee x\in C)\\
&\Rightarrow x\in A \vee (x \in B \wedge x\in C)\\
&\Rightarrow x\in A \vee x \in B\cap C\\
&\Rightarrow x\in A \cup (B \cap C)
\end{align}
Vemos que (9) se sigue de la definición de unión. En (10) utilizamos las leyes distributivas de la disyunción con la conjunción; para (11) aplicamos la definición de intersección para $B$ y $C$.
Y por último en (12) aplicamos la definición de unión para $A$ y $B\cup C$

Así concluimos que: $A \cup (B\cap C) = (A \cup B)\cap (A\cup C)$

.
$\square$

Notación: El símbolo «$\Rightarrow$» se lee como «entonces».

Tarea moral

  • Realiza la demostración de la siguiente Ley distributiva: $A \cap (B\cup C) = (A \cap B)\cup (A\cap C)$.
  • Prueba que $A \setminus (B\cap C) = (A \setminus B)\cup (A\setminus C)$
  • Determina si es verdadero o falso, argumenta tu respuesta:
    • Si $x\in A$ y $A\subseteq B$, sucede que $x\in B$.
    • Si $x\in A$ y $A\in B$, sucede que $x\in B$.
    • Si tenemos $A$ y $B$ conjuntos, sucede siempre que $A\setminus B = B \setminus A$

Más adelante

Ahora que hemos terminado con el repaso de los conceptos básicos de Teoría de Conjuntos. En la siguiente entrada veremos el método de demostración llamado: Inducción matemática, el cuál será utilizado frecuentemente en los diferentes cursos a lo largo de tu preparación profesional.

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