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Geometría Moderna I: Triángulos en perspectiva

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

Introducción

En esta entrada mostraremos el teorema de Desargues que nos habla sobre triángulos en perspectiva, también mostraremos los teoremas de Pascal y de Pappus, estos nos dicen cuando los lados opuestos de un hexágono se intersecan en puntos colineales.

Definición. Dos triángulos $△ A B C$ y $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ están en perspectiva desde una recta si los lados correspondientes $A B$ , $A^{'} B^{'}$ ; $B C$ , $B^{'} C^{'}$ y $C A$ , $C^{'} A^{'}$ se intersecan en puntos colineales, a dicha recta se le conoce como eje de perspectiva.

Dos triángulos $△ A B C$ y $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ están en perspectiva desde un punto si las rectas que unen vértices correspondientes $A A^{'}$ , $B B^{'}$ y $C C^{'}$ son concurrentes, a dicho punto se le conoce como centro de perspectiva.

Observación. Notemos que ya hemos trabajado con un tipo especial de perspectiva, la homotecia, donde los vértices correspondientes son concurrentes pero los lados correspondientes son paralelos.

En este caso el centro de perspectiva es el centro de homotecia y como las rectas paralelas se intersecan en el punto al infinito entonces la recta al infinito es el eje de perspectiva.

El siguiente teorema generaliza esta dualidad eje-centro de perspectiva.

Teorema de Desargues

Teorema 1, de Desargues. Dos triángulos tienen un centro de perspectiva si y solo si tienen un eje de perspectiva.

Demostración. Consideremos dos triángulos, $△ A B C$ y $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ,
sean $R = A B \cap A^{'} B^{'}$ , $P = B C \cap B^{'} C^{'}$ y $Q = C A \cap C^{'} A^{'}$ .

Supongamos que $A A^{'}$ , $B B^{'}$ y $C C^{'}$ concurren en $S$ , aplicamos el teorema de Menelao a $△ S A B$ , $△ S A C$ y $△ S B C$ con sus respectivas transversales $B^{'} A^{'} R$ , $C^{'} A^{'} Q$ y $B^{'} C^{'} P$ .

$\begin{matrix} (1) & \frac{S A^{'}}{A^{'} A} \frac{A R}{R B} \frac{B B^{'}}{B^{'} S} = - 1, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (2) & \frac{S A^{'}}{A^{'} A} \frac{A Q}{Q C} \frac{C C^{'}}{C^{'} S} = - 1, \end{matrix}$
$\begin{matrix} (3) & \frac{S B^{'}}{B^{'} B} \frac{B P}{P C} \frac{C C^{'}}{C^{'} S} = - 1. \end{matrix}$

Hacemos el cociente de $(1)$ entre $(2)$ y obtenemos
$\begin{matrix} (4) & \frac{A R}{R B} \frac{B B^{'}}{B^{'} S} \frac{Q C}{A Q} \frac{C^{'} S}{C C^{'}} = 1. \end{matrix}$

Multiplicamos $(3)$ por $(4)$ y obtenemos
$\frac{A R}{R B} \frac{B P}{P C} \frac{Q C}{A Q} = - 1$ .

Por lo tanto, por el teorema de Menelao, $P$ , $Q$ y $R$ son colineales.

Conversamente, supongamos que $R P Q$ es una recta y sea $S = B B^{'} \cap C C^{'}$ .

Notemos que $Q R$ , $C B$ y $C^{'} B$ concurren en $P$ (figura 1), por lo tanto, $△ Q C C^{'}$ y $△ R B B^{'}$ están en perspectiva desde $P$ , por la implicación que ya probamos los puntos $A = Q C \cap R B$ , $A^{'} = Q C^{'} \cap R B^{'}$ y $S = B B^{'} \cap C C^{'}$ , son colineales.

Por lo tanto, $A A^{'}$ , $B B^{'}$ y $C C^{'}$ concurren en $S$ .

Punto de Gergonne

Proposición. Considera un triángulo $△ A B C$ y su incírculo $Γ$ , sean $D$ , $E$ y $F$ los puntos de tangencia de $Γ$ con los lados $B C$ , $C A$ y $A B$ respectivamente, entonces $A D$ , $B E$ y $C F$ son concurrentes, en un punto conocido como punto de Gergonne.

Demostración. En la entrada anterior demostramos que los triángulos $△ A B C$ y $△ D E F$ están en perspectiva desde la recta de Gergonne de $△ A B C$ , es decir, $A B$ , $D E$ ; $B C$ , $E F$ y $C A$ , $F D$ se intersecan en tres puntos colineales.

Por lo tanto, por el teorema de Desargues $A D$ , $B E$ y $C F$ son concurrentes

Triángulos con dos ejes de perspectiva

Teorema 2. Si dos triángulos tienen dos ejes de perspectiva entonces tienen tres ejes de perspectiva.

Demostración. Supongamos que los triángulos $△ A B C$ y $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ están en perspectiva desde dos rectas, es decir, los puntos, $Z = A B \cap B^{'} C^{'}$ , $X = B C \cap C^{'} A^{'}$ y $Y = C A \cap A^{'} B^{'}$ son colineales y los puntos $R = A B \cap C^{'} A^{'}$ , $P = B C \cap A^{'} B^{'}$ y $Q = C A \cap B^{'} C^{'}$ son colineales.

Sean $F = A B \cap A^{'} B^{'}$ , $D = B C \cap B^{'} C^{'}$ y $E = C A \cap C^{'} A^{'}$ , aplicamos el teorema Menelao a $△ A B C$ y las transversales $D Z Q$ , $F P Y$ y $E X R$ .

$\frac{A Z}{Z B} \frac{B D}{D C} \frac{C Q}{Q A} = - 1$ ,
$\frac{A F}{F B} \frac{B P}{P C} \frac{C Y}{Y A} = - 1$ ,
$\frac{A R}{R B} \frac{B X}{X C} \frac{C E}{E A} = - 1$ .

Multiplicamos estas tres igualdades y reordenamos
$\frac{A F}{F B} \frac{B D}{D C} \frac{C E}{E A} (\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A}) (\frac{A R}{R B} \frac{B P}{P C} \frac{C Q}{Q A}) = - 1$ .

Recordemos que como $X$ , $Y$ , $Z$ y $P$ , $Q$ , $R$ son colineales entonces
$\frac{A Z}{Z B} \frac{B X}{X C} \frac{C Y}{Y A} = - 1$ ,
$\frac{A R}{R B} \frac{B P}{P C} \frac{C Q}{Q A} = - 1$ .

Por lo tanto
$\frac{A F}{F B} \frac{B D}{D C} \frac{C E}{E A} = - 1$ .

Y por el teorema de Menelao $D$ , $E$ y $F$ son colineales.

Corolario. Si dos triángulos tienen dos centros de perspectiva entonces tienen tres centros de perspectiva.

Demostración. Por el teorema de Desargues, si dos triángulos tienen dos centros de perspectiva entonces tienen dos ejes de perspectiva.

Por el teorema anterior, existe un tercer eje de perspectiva.

Nuevamente por el teorema de Desargues, existe un tercer centro de perspectiva.

Teorema de Pappus

Teorema 3, de Pappus. Si los vértices de un hexágono se encuentran alternadamente sobre dos rectas entonces los lados opuestos se intersecan en tres puntos colineales.

Demostración. Sean $A B C D E F$ un hexágono tal que $A E C$ y $D B F$ son dos rectas distintas,
$P = E F \cap A B$ , $Q = A B \cap C D$ , $R = C D \cap E F$ ,
$P^{'} = B C \cap E D$ , $Q^{'} = D E \cap F A$ y $R^{'} = F A \cap B C$ .

Notemos que las rectas $A E C$ y $D B F$ son dos ejes de perspectiva de $△ P Q R$ y $△ P^{'} Q^{'} R^{'}$ , pues
$A = P Q \cap Q^{'} R^{'}$ , $C = Q R \cap R^{'} P^{'}$ , $E = R P \cap P^{'} Q^{'}$ ,
$B = P Q \cap R^{'} P^{'}$ , $D = Q R \cap P^{'} Q^{'}$ y $F = R P \cap Q^{'} R^{'}$ .

Por el teorema anterior $X = P Q \cap P^{'} Q^{'}$ , $Y = Q R \cap Q^{'} R^{'}$ y $Z = R P \cap R^{'} P^{'}$ , son colineales.

Teorema de Pascal

Teorema 4, de Pascal. En todo hexágono cíclico los pares de lados opuestos se intersecan en tres puntos colineales.

Demostración. Sean $A B C D E F$ un hexágono cíclico,
$X = A B \cap D E$ , $Y = B C \cap E F$ , $Z = C D \cap F A$ las intersecciones de los lados opuestos,
consideremos $P = D E \cap F A$ , $Q = F A \cap B C$ y $R = B C \cap D E$ .

Aplicaremos el teorema de Menelao a $△ P Q R$ y las transversales $A X B$ , $C D Z$ y $F E Y$ .
$\frac{P A}{A Q} \frac{Q B}{B R} \frac{R X}{X P} = - 1$ ,
$\frac{P Z}{Z Q} \frac{Q C}{C R} \frac{R D}{D P} = - 1$ ,
$\frac{P F}{F Q} \frac{Q Y}{Y R} \frac{R E}{E P} = - 1$ .

Si multiplicamos las tres ecuaciones y reacomodamos obtenemos
$\frac{P Z}{Z Q} \frac{Q Y}{Y R} \frac{R X}{X P} (\frac{P F \times P A}{P E \times P D}) (\frac{Q B \times Q C}{Q F \times Q A}) (\frac{R D \times R E}{R C \times R B}) = - 1$ .

Por otro lado, las potencias de $P$ , $Q$ y $R$ respeto al circuncírculo de $A B C D E F$ son la siguientes
$P F \times P A = P E \times P D$ ,
$Q F \times Q A = Q B \times Q C$ ,
$R D \times R E = R C \times R B$ .

Por lo tanto $\frac{P Z}{Z Q} \frac{Q Y}{Y R} \frac{R X}{X P} = - 1$ .

Por el teorema de Menelao $X$ , $Y$ y $Z$ son colineales.

Casos limite en el teorema de Pascal

Existen casos limite donde podemos hacer uso del teorema de Pascal, es decir, podemos considerar un triángulo, un cuadrilátero o un pentágono como un hexágono donde dos vértices se aproximaron hasta volverse uno solo y como consecuencia el lado comprendido entre ellos se vuelve una tangente al circuncírculo en dicho punto.

A continuación, ilustramos esto con un ejemplo.

Problema 1. Considera $Γ$ una circunferencia y $l$ una recta, $K \in l$ fuera de $Γ$ , $P$ , $Q \in Γ$ , sean $K A$ y $K B$ las tangentes desde $K$ a $Γ$ , $X = P A \cap l$ , $Y = P B \cap l$ , $C = Q X \cap Γ$ y $D = Q Y \cap Γ$ . Muestra que las tangentes a $Γ$ en $C$ y $D$ se intersecan en $l$ .

Demostración. Sea $M$ la intersección de las tangentes a $Γ$ en $C$ y $D$ , $U = A C \cap B D$ y $V = A D \cap B C$ .

Por el teorema de Pascal en el hexágono $A P B C Q D$ , $V$ es colineal con $X$ e $Y$ , es decir $V \in l$ .

Ahora aplicamos el teorema de Pascal al hexágono $A A C B B D$ , $U$ es colineal con $V$ y $K$ , es decir $U \in l$ .

Aplicando nuevamente Pascal a $A C C B D D$ tenemos que $M$ es colineal con $U$ y con $V$ .

Por lo tanto, $M \in l$ .

Pascal, Desargues y un punto al infinito

Problema 2. Sean $△ A B C$ un triángulo acutángulo, $B^{'}$ y $C^{'}$ los puntos medios de $C A$ y $A B$ respectivamente, sea $Γ_{1}$ una circunferencia que pasa por $B^{'}$ y $C^{'}$ y que es tangente al circuncírculo de $△ A B C$ , $Γ (A B C)$ en $T$ . Muestra que $T$ , el pie de la altura por $A$ , y el centroide de $△ A B C$ , son colineales.

Demostración. Sean $B^{″} = T B^{'} \cap Γ (A B C)$ , $C^{″} = T C^{'} \cap Γ (A B C)$ y $D^{'} = B B^{″} \cap C C^{″}$

Por el teorema de Pascal en el hexágono $A B B^{″} T C^{″} C$ , $B^{'}$ , $D^{'}$ y $C^{'}$ son colineales.

Notemos que existe una homotecia con centro en $T$ que lleva a $Γ_{1}$ en $Γ (A B C)$ , así que, $C^{'} B^{'} ∥ C^{″} B^{″}$ .

Como resultado, $∠ C^{″} C B = ∠ C C^{″} B^{″} = ∠ C B B^{″}$ , pues $∠ C C^{″} B^{″}$ y $∠ C B B^{″}$ abarcan el mismo arco.

En consecuencia, $△ D^{'} B C$ es isósceles, por lo tanto, el pie de la altura por $D^{'}$ en $△ D^{'} B C$ es $A^{'}$ , el punto medio de $B C$ , o conversamente, la proyección de $A^{'}$ el punto medio de $B C$ , en $B^{'} C^{'}$ es $D^{'}$ .

Recordemos que existe una homotecia con centro en $G$ , el centroide de $△ A B C$ , que lleva a $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ en $△ A B C$ , como $D$ es el pie de altura por $A$ en $△ A B C$ y $D^{'}$ el pie de la altura por $A^{'}$ en $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ , entonces $D$ y $D^{'}$ son puntos homólogos en esta homotecia, por lo tanto, $D$ , $G$ y $D^{'}$ son colineales.

Por otro lado, como $B B^{'}$ , $C C^{'}$ y $D D^{'}$ concurren en $G$ , $△ D^{'} B C$ y $△ D B^{'} C^{'}$ están en perspectiva desde $G$ .

Por el teorema de Desargues, los puntos $X = D^{'} B \cap D B^{'}$ , $Y = D^{'} C \cap D C^{'}$ , $P = B C \cap B^{'} C^{'}$ , son colineales, pero $P$ es un punto ideal, pues por la homotecia entre $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ y $△ A B C$ , $B^{'} C^{'} ∥ B C$ .

En consecuencia, $X Y ∥ B^{'} C^{'}$ .

Como $D B^{'} \cap D^{'} B^{″} = X$ , $D C^{'} \cap D^{'} C^{″} = Y$ y $B^{'} C^{'} \cap B^{″} C^{″} = P$ , entonces $△ D B^{'} C^{'}$ y $△ D^{'} B^{″} C^{″}$ están en perspectiva desde $X Y$ , por el teorema de Desargues, $D D^{'}$ , $B^{'} B^{″}$ y $C^{'} C^{″}$ son concurrentes.

Por lo tanto, $T$ , $D$ y $G$ son colineales.

Más adelante…

En la siguiente entrada mostraremos el teorema de Ceva, que nos da condiciones necesarias y suficientes para que tres rectas, cada una por un vértice distinto de un triángulo dado, sean concurrentes.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Muestra que si tres triángulos:
$i)$ tienen un eje común de perspectiva, entonces los tres centros de perspectiva son colineales,
$i i)$ tienen un centro común de perspectiva, entonces los tres ejes de perspectiva son concurrentes.
Muestra que todo triángulo esta en perspectiva desde una recta con:
$i)$ su triángulo medial,
$i i)$ su triángulo órtico.
Sean $△ A B C$ y $D \in B C$ , $Γ_{1}$ , $Γ_{2}$ , considera los incírculos de $△ A B D$ y $△ A D C$ respectivamente, $Γ_{3},$ $Γ_{4}$ los excírculos tangentes a $B C$ de $△ A B D$ y $△ A D C$ respectivamente (figura 8). Prueba que las tangentes comunes externas a $Γ_{1}$ , $Γ_{2}$ y $Γ_{3}$ , $Γ_{4}$ , concurren en $B C$ .

Sea $B B^{'} C^{'} C$ un rectángulo construido externamente sobre el lado $B C$ de un triángulo $△ A B C$ , sean sea $A^{'} \in B C$ , el pie de la altura por $A$ , $X = A B \cap A^{'} B^{'}$ , $Y = C A \cap C^{'} A^{'}$ , muestra que $X Y ∥ B C$ .
Considera $Γ$ el circuncírculo de un triangulo $△ A B C$ , sean $Q$ el punto medio del arco $\overset{⌢}{A B}$ que no contiene a $C$ , $R$ el punto medio del arco $\overset{⌢}{C A}$ que no contiene a $B$ , $P$ un punto en el arco $\overset{⌢}{B C}$ que no contiene a $A$ , $H = A B \cap P Q$ , $J = C A \cap P R$ , prueba que $H J$ pasa por el incentro de $△ A B C$ .
Sea $△ A B C$ y $B^{'} \in C A$ , $C^{'} \in A B$ , sean $D$ , $E$ los puntos de tangencia de $Γ$ el incírculo de $△ A B C$ , con $C A$ y $A B$ respectivamente, sean $C^{'} X$ y $B^{'} Y$ segmentos tangentes a $Γ$ tal que $X$ , $Y \in Γ$ (figura 9), demuestra que $B^{'} C^{'}$ , $D E$ y $X Y$ son concurrentes.

Entradas relacionadas

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Fuentes

Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 71-82.
Lozanovski, S., A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry. Version 1.4. 2020, pp 103-109.
Johnson, R., Advanced Euclidean Geometry. New York: Dover, 2007, pp 230-239.
Coxeter, H. y Greitzer, L., Geometry Revisited. Washington: The Mathematical Association of America, 1967, pp 67-76.

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Puntos de Fermat y triángulos de Napoleón

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

En esta ocasión veremos algunos resultados sobre los puntos de Fermat y los triángulos de Napoleón, objetos que aparecen al construir triángulos equiláteros sobre los lados de un triángulo cualquiera.

Definición. Sean $△ A B C$ y puntos $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ tales que los triángulos $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ y $△ A B C^{'}$ son equiláteros y ninguno se traslapa con $△ A B C$ , decimos que $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ es una configuración externa de Napoleón.

De manera análoga definimos una configuración interna de Napoleón, si los triángulos $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ y $△ A B C^{'}$ son equiláteros y todos se traslapan con $△ A B C$ .

Puntos de Fermat

Teorema 1. Sea $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración externa de Napoleón, entonces
$i)$ los circuncírculos de $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ , $△ A B C^{'}$ y las rectas $A A^{'}$ , $B B^{'}$ , $C C^{'}$ son concurrentes, al punto de concurrencia se le conoce como primer punto de Fermat,
$i i)$ $A A^{'} = B B^{'} = C C^{'}$ .

Demostración. Sea $F_{1} = Γ (A B^{'} C) \cap Γ (A B C^{'})$ la intersección de los circuncírculos de $△ A B^{'} C$ y $△ A B C^{'}$ respectivamente.

Como $A F_{1} C B^{'}$ y $A F_{1} B C^{'}$ son cíclicos entonces los pares de ángulos $∠ B C^{'} A$ , $∠ A F_{1} B$ y $∠ A B^{'} C$ , $∠ C F_{1} A$ son suplementarios, por lo tanto, $∠ A F_{1} B = ∠ C F_{1} A = \frac{2 π}{3}$ .

En consecuencia, $∠ B F_{1} C = \frac{2 π}{3}$ , por lo tanto, $∠ B F_{1} C$ y $∠ P A^{'} B$ son suplementarios, así, $F_{1} B A^{'} C$ es cíclico, es decir $F_{1} \in Γ (A^{'} B C)$ .

Por otra parte, $∠ B F_{1} A^{'} = ∠ B C A$ , pues abarcan el mismo arco, entonces, $∠ A F_{1} B + ∠ B F_{1} A^{'} = (π - ∠ B C^{'} A) + ∠ B C A^{'} = π - \frac{π}{3} + \frac{π}{3} = π$ , por lo tanto, $F_{1} \in A A^{'}$ .

Igualmente podemos ver que $F_{1} \in B B^{'}$ y $F_{1} \in C C^{'}$ .

Finalmente, hagamos una rotación de $\frac{π}{3}$ en sentido contrario al de las manecillas y centro en $B$ , entonces $A$ toma el lugar de $C^{'}$ y $A^{'}$ toma el lugar de $C$ , por lo tanto, $A A^{'} = C C^{'}$ .

Con una rotación de $\frac{π}{3}$ en el sentido de las manecillas, con centro en $C$ , $A^{'}$ toma el lugar de $B$ y $A$ el de $B^{'}$ , por lo tanto, $C C^{'} = A A^{'} = B B^{'}$ .

Nota. Si $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ es una configuración interna de Napoleón, los mismos resultados son ciertos y al punto de concurrencia le llamamos segundo punto de Fermat.

Problema de Fermat

Problema de Fermat. Dado un triángulo $△ A B C$ tal que ninguno de sus ángulos internos es mayor a $\frac{2 π}{3}$ , encuentra el punto $P$ que minimiza la suma de las distancias a los vértices de $△ A B C$ , $P A + P B + P C$ .

Solución. Sea $P$ un punto fuera de $△ A B C$ (figura 2), sin pérdida de generalidad supongamos que $P$ y $C$ se encuentran en lados contrarios respecto de $A B$ .

Sea $D = P C \cap A B$ aplicando la desigualdad del triángulo tenemos lo siguiente
$P A + P B + P C = P^{'} A + P^{'} B + P C$
$= P^{'} A + P^{'} B + P D + D C$
$= P^{'} A + P^{'} B + P^{'} D + D C$
$\geq P^{'} A + P^{'} B + P^{'} C$ .

De lo anterior concluimos que el punto buscado debe estar dentro de $△ A B C$ .

Ahora supongamos que $P$ está dentro de $△ A B C$ (figura 3), sea $△ B C^{'} P^{'}$ la imagen de $△ B A P$ bajo una rotación de $\frac{π}{3}$ en sentido contrario al de las manecillas y centro en $B$ .

Como $B P = B P^{'}$ y $∠ P B P^{'} = \frac{π}{3}$ entonces $△ B P P^{'}$ es equilátero y tenemos lo siguiente
$P A + P B + P C = P^{'} C^{'} + P P^{'} + P C \geq C C^{'}$ .

Por lo tanto, para que la suma de distancias sea mínima es necesario que $P \in C C^{'}$ , pero por un razonamiento análogo también es necesario que $P \in A A^{'}$ y $P \in B B^{'}$ , donde $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ es una configuración externa de Napoleón.

Por el teorema 1, $P = F_{1}$ , es el primer punto de Fermat.

Sin embargo, notemos que, $∠ B P C = π - ∠ P^{'} P B = \frac{2 π}{3}$ , por lo tanto, por el ejercicio 3 de la entrada desigualdad del triángulo, cualquier ángulo interno de $△ A B C$ debe ser menor o igual que $\frac{2 π}{3}$ , si esto se cumple entonces $F_{1}$ es el punto buscado.

Triángulos de Napoleón

Teorema 2, de Napoleón. Sea $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración externa de Napoleón, entonces los centroides de $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ y $△ A B C^{'}$ son los vértices de un triángulo equilátero, conocido como triángulo exterior de Napoleón y su centroide coincide con el centroide de $△ A B C$ .

Demostración. Sean $G_{1}$ , $G_{2}$ y $G_{3}$ los centroides de $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ y $△ A B C^{'}$ respectivamente, $G$ el centroide de $△ A B C$ y $M$ el punto medio de $B C$ .

Como $\frac{M A}{M G} = \frac{M A^{'}}{M G_{1}} = 3$ por el reciproco del teorema de Tales $G G_{1} ∥ A A^{'}$ , además $A A^{'} = 3 G G_{1}$ .

Igualmente podemos ver que $G G_{2} ∥ B B^{'}$ , $B B^{'} = 3 G G_{2}$ y $G G_{3} ∥ C C^{'}$ y $C C^{'} = 3 G G_{3}$ .

Como $A A^{'} = B B^{'} = C C^{'}$ , entonces $G G_{1} = G G_{2} = G G_{3}$ , por lo tanto, $G$ es el circuncentro de $△ G_{1} G_{2} G_{3}$ .

Por el teorema 1, $∠ A^{'} F_{1} B^{'} = \frac{2 π}{3}$ , por lo tanto, $∠ G_{1} G G_{2} = \frac{2 π}{3}$ .

Igualmente vemos que $∠ G_{2} G G_{3} = ∠ G_{3} G G_{1} = \frac{2 π}{3}$ .

Por criterio de congruencia LAL, $△ G G_{1} G_{2} ≅ △ G G_{2} G_{3} ≅ △ G G_{1} G_{3}$ .

En consecuencia, $△ G_{1} G_{2} G_{3}$ es equilátero, como en un triángulo equilátero el circuncentro y el centroide coinciden entonces $G$ es el centroide de $△ G_{1} G_{2} G_{3}$ .

Nota. Si $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ es una configuración interna de Napoleón se obtienen los mismos resultados y al triángulo formado por los centroides se le conoce como triángulo interior de Napoleón.

Área del triángulo externo de Napoleón

Teorema 3. El área del triangulo externo de Napoleón es igual a la la mitad del área de su triángulo de referencia mas un sexto de la sumas de las áreas de los triángulos equiláteros construidos.

Demostración. Sea $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración externa de Napoleón y $G_{1}$ , $G_{2}$ , $G_{3}$ los centroides de $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ , $△ A B C^{'}$ respectivamente.

Sean $F_{1}$ el primer punto de Fermat, como $A F_{1}$ es una cuerda común de $Γ (A B C^{'})$ y $Γ (A B^{'} C)$ , entonces $G_{2} G_{3}$ es la mediatriz de $A F_{1}$ , es decir, la reflexión de $A$ en $G_{2} G_{3}$ es $F_{1}$ .

Por lo tanto, $△ A G_{2} G_{3}$ y $△ F_{1} G_{2} G_{3}$ son congruentes.

Similarmente vemos que $△ B G_{1} G_{3} ≅ △ F_{1} G_{1} G_{3}$ y $△ C G_{1} G_{2} ≅ △ F_{1} G_{1} G_{2}$ .

Esto implica que,
$(△ G_{1} G_{2} G_{3}) = \frac{(A G_{3} B G_{1} C G_{2})}{2}$
$= \frac{1}{2} ((△ A B C) + (△ A B G_{3}) + (△ B C G_{1}) + (△ A C G_{2}))$
$= \frac{1}{6} ((△ A B C^{'}) + (△ A^{'} B C) + (△ A B^{'} C)) + \frac{(△ A B C)}{2}$ .

Área del triángulo interno de Napoleón

Teorema 3. El área del triangulo interno de Napoleón es igual a menos la mitad del área de su triángulo de referencia mas un sexto de la sumas de las áreas de los triángulos equiláteros construidos.

Demostración. Sea $A B C A^{″} B^{″} C^{″}$ una configuración interna de Napoleón, $F_{2}$ el segundo punto de Fermat y $G_{1}^{'}$ , $G_{2}^{'}$ , $G_{3}^{'}$ los centroides de $△ A^{″} B C$ , $△ A B^{″} C$ , $△ A B C^{″}$ respectivamente.

Sea $F_{2}$ el segundo punto de Fermat, siguiendo un razonamiento análogo al teorema anterior tenemos
$(△ G_{1}^{'} G_{2}^{'} G_{3}^{'})$
$= (△ F_{2} G_{1}^{'} G_{3}^{'}) + (△ F_{2} G_{3}^{'} G_{2}^{'}) - (△ F_{2} G_{1}^{'} G_{2}^{'})$
$\begin{matrix} (5) & = (△ B G_{1}^{'} G_{3}^{'}) + (△ A G_{3}^{'} G_{2}^{'}) - (△ C G_{1}^{'} G_{2}^{'}) . \end{matrix}$ .

Por otro lado,
$\frac{1}{3} ((△ A^{'} B C) + (△ A B^{'} C) + (△ A B C^{'}))$
$\begin{matrix} (6) & = (△ G_{1}^{'} B C) + (△ A G_{2}^{'} C) + (△ A B G_{3}^{'}) . \end{matrix}$ .

Sean, $E = A B \cap G_{1}^{'} G_{3}^{'}$ , $D = B C \cap G_{1}^{'} G_{3}^{'}$ , $J = B C \cap G_{2}^{'} G_{3}^{'}$ e $I = G_{1}^{'} C \cap G_{2}^{'} G_{3}^{'}$ , entonces tenemos lo siguiente:

$(△ G_{1}^{'} B C) = (△ B E D) + (△ B E G_{1}^{'}) + (△ C J I) + (G_{1}^{'} D J I)$ .

$(△ A B G_{3}^{'}) = (△ B E G_{3}^{'}) + (△ A G_{2}^{'} G_{3}^{'}) + (A E D J G_{2}^{'}) + (△ D G_{3}^{'} J)$ .

Sustituyendo en $(2)$
$\frac{1}{3} ((△ A^{'} B C) + (△ A B^{'} C) + (△ A B C^{'}))$
$= ((△ B E G_{3}^{'}) + (△ B E G_{1}^{'})) + (△ A G_{2}^{'} G_{3}^{'}) + ((△ B E D) + (A E D J G_{2}^{'})$
$+ (△ C J I) + (△ A G_{2}^{'} C)) + ((△ D G_{3}^{'} J) + (G_{1}^{'} D J I))$
$= (△ B G_{1}^{'} G_{3}^{'}) + (△ A G_{2}^{'} G_{3}^{'}) + ((△ A B C) - (△ C I G_{2}^{'})) + (△ I G_{1}^{'} G_{3}^{'})$
$= (△ B G_{1}^{'} G_{3}^{'}) + (△ A G_{2}^{'} G_{3}^{'}) + ((△ A B C) - (△ C I G_{2}^{'})) + ((△ G_{1}^{'} G_{2}^{'} G_{3}^{'}) - (△ G_{1}^{'} G_{2}^{'} I))$
$= (△ A B C) + ((△ B G_{1}^{'} G_{3}^{'}) + (△ A G_{2}^{'} G_{3}^{'}) - (△ C G_{1}^{'} G_{2}^{'})) + (△ G_{1}^{'} G_{2}^{'} G_{3}^{'})$ .

Usando $(1)$
$\frac{1}{3} ((△ A^{'} B C) + (△ A B^{'} C) + (△ A B C^{'}))$
$= (△ A B C) + 2 (△ G_{1}^{'} G_{2}^{'} G_{3}^{'})$ .

Por lo tanto,
$(△ G_{1}^{'} G_{2}^{'} G_{3}^{'}) = \frac{1}{6} ((△ A B C^{'}) + (△ A^{'} B C) + (△ A B^{'} C)) - \frac{(△ A B C)}{2}$ .

Corolario. La diferencia entre el área del triángulo externo de Napoleón y el área del triángulo interno de Napoleón es igual al área de su triángulo de referencia.

Como consecuencia de los teorema 3 y 4 tenemos,
$(△ G_{1} G_{2} G_{3}) - (△ G_{1}^{'} G_{2}^{'} G_{3}^{'}) = (△ A B C)$ .

Rectas de Euler concurrentes

Proposición 1. Sea $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración externa de Napoleón y $F_{1}$ el primer punto de Fermat, entonces las rectas de Euler de $△ A B F_{1}$ , $△ A F_{1} C$ y $△ F_{1} B C$ concurren en el centroide de $△ A B C$ .

Demostración. Sean $G$ , $G^{'}$ y $G_{3}$ los centroides de $△ A B C$ , $△ A B F_{1}$ y $△ A B C^{'}$ respectivamente, consideremos el $M$ el punto medio de $A B$ .

Por el teorema 1, $G_{3}$ es el circuncentro de $△ A B F_{1}$ y $C$ , $F_{1}$ y $C^{'}$ son colineales, como $G_{3}$ , $G^{'}$ y $G$ son los centroides de $△ A B C^{'}$ , $△ A F_{1}$ y $△ A B C$ entonces
$\frac{M G_{3}}{M C^{'}} = \frac{M G^{'}}{M F_{1}} = \frac{M G}{M C} = \frac{1}{3}$ .

Por el reciproco del teorema de Tales $G_{3} G^{'} ∥ C^{'} F_{1}$ y $G^{'} G ∥ F_{1} C$ .

Por lo tanto, $G_{3}$ , $G^{'}$ y $G$ son colineales, y $G_{3} G^{'}$ es la recta de Euler de $△ A B F_{1}$ .

Igualmente podemos ver que las rectas de Euler de $△ A F_{1} C$ y $△ F_{1} B C$ pasan por el centroide de $△ A B C$ .

Hexágono de Napoleón

Proposición 2. Sea $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración externa de Napoleón, sean $G_{1}$ , $G_{2}$ , $G_{3}$ los centroides de $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ , $△ A B C^{'}$ y $G_{a}$ , $G_{b}$ , $G_{c}$ los centroides de $△ A B^{'} C^{'}$ , $△ A^{'} B C^{'}$ , $△ A^{'} B^{'} C$ , entonces $G_{a} G_{3} G_{1} G_{b} G_{2} G_{c}$ es un hexágono regular.

Demostración. Sea $M$ el punto medio de $C B^{'}$ , en $△ M A A^{'}$ tenemos
$\frac{M G_{2}}{M A} = \frac{M G_{c}}{M A^{'}} = \frac{1}{3}$ .

Por lo tanto, $G_{2} G_{c} ∥ A A^{'}$ y $3 G_{2} G_{c} = A A^{'}$ .

Análogamente consideremos $N$ el punto medio de $C A^{'}$ , en $△ N B B^{'}$ tenemos
$\frac{N G_{c}}{N B^{'}} = \frac{N G_{1}}{N B} = \frac{1}{3}$ .

Por lo tanto, $G_{1} G_{c} ∥ B B^{'}$ y $3 G_{1} G_{c} = B B^{'}$ .

Por el teorema 1, $A A^{'} = B B^{'}$ , por lo que $G_{1} G_{c} = G_{c} G_{2}$ , sea $F_{1}$ el primer punto de Fermat entonces $∠ G_{1} G_{c} G_{2} = ∠ B F_{1} A = \frac{2 π}{3}$ .

Igualmente podemos ver que los demás lados del hexágono son iguales y que el ángulo entre ellos es de $\frac{2 π}{3}$ .

En conclusión, $G_{a} G_{3} G_{1} G_{b} G_{2} G_{c}$ es un hexágono regular.

Más adelante…

Con la siguiente entrada daremos inicio a la unidad III y con la ayuda de segmentos dirigidos mostraremos el teorema de Menelao, que nos dice cuando tres puntos sobre los lados de un triángulo son colineales.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Sea $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración interna de Napoleón (figura 6), para los ejercicios 1, 2 y 3 demuestra lo siguiente:
$i)$ los circuncírculos de $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ , $△ A B C^{'}$ y las rectas $A A^{'}$ , $B B^{'}$ , $C C^{'}$ son concurrentes,
$i i)$ $A A^{'} = B B^{'} = C C^{'}$ .
Prueba que los centroides de $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ y $△ A B C^{'}$ son los vértices de un triángulo equilátero y que su centroide coincide con el centroide de $△ A B C$ (figura 6).
Considera $F_{2}$ , el segundo punto de Fermat, muestra que las rectas de Euler de $△ A B F_{2}$ , $△ A F_{2} C$ y $△ F_{2} B C$ concurren en el centroide de $△ A B C$ (figura 6).
Sean $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración externa de Napoleón y $A B C A^{″} B^{″} C^{″}$ una configuración interna de Napoleón, demuestra que
$i)$ el punto medio de $C C »$ coincide con el punto medio de $A^{'} B^{'}$ ,
$i i)$ el punto medio de $C C^{'}$ coincide con el punto medio de $A » B »$ .
Sea $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración externa de Napoleón demuestra que el centroide de $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ coincide con el centroide de $△ A B C$ .
Divide los lados de un triángulo en tres partes iguales, sobre el tercio de en medio de cada lado del triángulo, construye externamente (internamente) triángulos equiláteros, muestra que los terceros vértices construidos son los vértices de un triángulo equilátero (figura 9).

Sea $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ una configuración externa de Napoleón, considera los arcos $\overset{⌢}{B C}$ , $\overset{⌢}{C A}$ y $\overset{⌢}{A B}$ de los circuncírculos de $△ A^{'} B C$ , $△ A B^{'} C$ y $△ A B C^{'}$ respectivamente que no contienen a los vértices de $△ A B C$ (figura 1), sean $P \in \overset{⌢}{A B}$ arbitrario y $Q = P A \cap \overset{⌢}{C A}$ , muestra que la intersección $R$ de $P B$ y $Q C$ esta en el arco $\overset{⌢}{B C}$ y que $△ P Q R$ es equilátero.

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Fuentes

Lozanovski, S., A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry. Version 1.4. 2020, pp 77-78.
Coxeter, H. y Greitzer, L., Geometry Revisited. Washington: The Mathematical Association of America, 1967, pp 60-65.
Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 87, 281-283.
Dimitrov, Nikolay. On some results related to Napoleon configurations. Elemente der Mathematik, 2013, vol. 68, no 4, pp 137-147.
N. I. Beluhov, Ten Concurrent Euler Lines, Forum Geometricorum, 2009, vol 9, pp 271-274.
Cut the Knot

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Aprovechar la simetría

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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La simetría, además de ser una propiedad que hace que las cosas se vean bonitas, también es una buena técnica de resolución de problemas. Hay varias formas en las que se puede aprovechar la simetría en un problema. Una es para reducir esfuerzo: ¿para qué repetir un argumento si es el mismo? ¿para qué desarrollar todos los términos si la ecuación es simétrica?

En otras ocasiones la simetría nos permite sospechar que los casos especiales tienen que ser simétricos. A veces no hay razón para que sea de otra forma. Finalmente, la simetría también está presente en una gran variedad de la información del problema, y hay que inventarla o descubrirla para simplificar cuentas, notación y conjeturas.

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