Antes de comenzar con nuestro curso de Teoría de los Conjuntos I, dedicaremos esta entrada para hablar acerca de lógica de primer orden. Esto lo haremos únicamente con el fin de que veas como se van construyendo las fórmulas del lenguaje de la Teoría de los Conjuntos. Dichas fórmulas las utilizaremos en distintos momentos a lo largo de este curso.
Necesariamente, esta entrada será breve, pues todas las precisiones de lógica se ven en un curso de esta materia, y todas las precisiones de teoría de conjuntos son parte de lo que esperamos entender en este curso.
Es importante decir que todas las variables de nuestro lenguaje representarán conjuntos y los símbolos de predicado representarán relaciones entre estos conjuntos.
Las fórmulas atómicas son de la forma: $x\in y$ y $x=y$.
A partir de aquí, podemos formar más fórmulas, ya que si $\phi$ y $\varphi$ son fórmulas, entonces $\neg \phi$, $\phi \land \varphi$, $\phi \vee \varphi$, $\phi \rightarrow \varphi$, $\phi \leftrightarrow \varphi$ tambien lo son.
Ejemplo.
$\neg (x=y)$, $(x\in y)\land (x=y)$, $(x\in y)\vee (x\in z)$, $(x\in z)\rightarrow (x=z)$, $(x\in z)\leftrightarrow (y\in w)$ son fórmulas de la teoría de conjuntos.
$\square$
Si $\varphi$ es una fórmula de la teoría de los conjuntos, entonces $\exists x \varphi$ y $\forall x \varphi$ también lo son.
Ejemplo.
Dado que $(x\in y)\vee (x\in z)$ es una fórmula de la teoría de los conjuntos. Entonces, $\forall x((x\in y) \vee (x\in z))$ también lo es.
$\forall x((x\in y) \rightarrow \neg(x\in z))$ es fórmula de la teoría de conjuntos.
$\exists x(x\in y)$ es fórmula de la teoría de conjuntos.
$\square$
Las fórmulas del lenguaje de la teoría de los conjuntos nos permiten:
Describir propiedades que pueden o no satisfacer conjuntos dados de antemano.
Expresar relaciones entre dos o más conjuntos.
A partir de ahora, a aquellas fórmulas que describen una característica particular de un conjunto $x$ les llamaremos propiedades y las denotaremos con $P(x)$, $Q(x)$, $P_1(x)$, $P_2(x)$, etcétera.
Dado que las fórmulas que podemos ir construyendo con el lenguaje de la teoría de los conjuntos se vuelven muy complejas, vamos a abreviarlas para facilitar su escritura.
Abreviaturas.
$\neg(x\in y)$ lo escribiremos como $x\notin y$.
$\neg(x=y)$ lo escribiremos como $x\not= y$.
$\forall x((x\in y)\rightarrow (x\in z))$ lo escribiremos como $y\subseteq z$.
Si $\varphi$ es una fórmula dada, $\forall x(x\in y\rightarrow \varphi)$ y $\exists x(x\in y\land \varphi)$ las escribiremos como $(\forall x\in y) \varphi$ y $(\exists x\in y) \varphi$, respectivamente.
Tarea moral
Construye 10 fórmulas del lenguaje de la teoría de los conjuntos. Utiliza cuantificadores y conectivos lógicos.
Más adelante…
En la siguiente entrada daremos inicio al curso de Teoría de los Conjuntos I. Comenzaremos hablando de los primeros axiomas de Zermelo-Fraenkel, estos axiomas son los de existencia, de comprensión y de extensión. El primero de ellos nos permitirá siquiera asegurar la existencia de un conjunto.
Entradas relacionadas
Los siguientes enlaces te servirán para revisar con mejor detalle el tema:
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
Puede consultar más información sobre esto en Fernández de Castro M., Villegas Silva L. (2011). Lógica Matemática II: Clásica, Intuicionista y Modal (1.ª ed.) Universidad Autónoma Metropolitana. p. 151-152. ↩︎
Esta entrada es parte de una serie de notas introductorias sobre técnicas de demostración. En esta entrada se habla sobre demostraciones de proposiciones con cuantificadores. Cada entrada está ligeramente relacionada con las otras. Para entenderlas bien, usamos el siguiente diagrama que recopila cómo se comporta un mundo fantástico llamado Axios, en donde habitan creaturas llamadas Blorgs. Para leer más sobre ello, haz click aquí.
En esta entrada revisaremos más a fondo cómo es que los cuantificadores que repasamos antes se usan dentro de las proposiciones y cómo demostrar estas. Veremos ejemplos con cuantificadores universales y existenciales, y algunos ejemplos famosos de proposiciones que los usan.
Los cuantificadores en las demostraciones
Ya hemos trabajado antes con los cuantificadores, aunque quizás no lo hayas notado. Por ejemplo, cuando hicimos la demostración de «Los Blorgs verdes comen peces», lo que hicimos fue considerar cualquier Blorg verde e hicimos una serie de pasos lógicos para demostrarlo. En ningún lugar dice que sólo algunos Blorgs verdes comen peces, en general dice que los Blorgs verdes comen peces, es decir todos los Blorgs verdes cumplen la condición de comer peces. ¿La palabra resaltada te recuerda algo? Seguramente a lo que vimos en la entrada de cuantificadores.
Como recordatorio, para usar cuantificadores necesitamos un universo de discurso y un predicado $P(x)$, que podíamos pensar como una proposición en donde aún no decidimos quién es $x$ de entre los objetos de nuestro universo de discurso. Considerando como universo de discurso a los Blorgs, podemos tomar el predicado $P(x) = \text{$x$ come los viernes}$. Sería falso entonces afirmar que
$$\forall x: P(x),$$
pues los únicos que comen los viernes son los Blurgs. En cambio existe al menos una especie que sí come esos días, así que sería verdadero decir:
$$\exists x: P(x), $$
ya que al tomar un Blurg $x$, tendríamos que $P(x)$ es verdadero y por lo tanto la proposición cuantificada $\exists x: P(x)$ también.
Así que podríamos demostrar la siguiente afirmación:
Proposición. Existen Blorgs que comen los viernes.
Demostración. Para ello, notemos que un Blorg puede ser Blarg, Blerg y Blurgs. A continuación vamos a considerar a $x$ un Blorg que es Blurg. Y como sabemos, todos los Blurgs comen los lunes y viernes. En particular, comen los viernes, por lo que hemos demostrado la proposición.
$\square$
Diferencias entre cuantificadores
Vamos a detenernos y analizar cómo se diferenció la última demostración con lo que hemos estado haciendo antes. Analiza la demostración anterior con la siguiente:
Proposición. Los Blorgs comen un día antes de los Martes.
Demostración. Consideremos $x$ un blorg. Como es un blorg puede que sea un blarg, blerg o blurg.
Caso 1. $x$ es un Blarg.
Como $x$ es Blarg, entonces come los Lunes, que resulta ser un día antes de los Martes.
Caso 2. $x$ es un Blerg.
Igual que en el caso anterior, si $x$ es Blerg, entonces come los días antes de los Martes.
Caso 3. $x$ es un Blurg.
Sabemos que los Blurgs comen los Lunes y los Viernes. Si $x$ es un Blurg, entonces en particular come los lunes, y así, come los días antes de los Martes.
En cualquiera de los casos, $x$ cumple la proposición.
$\square$
Esta es una demostración que bien pudimos haber escrito como «Todos los Blorgs comen los días antes de los Martes». Sin embargo, en la práctica no es muy común ver escrito explícitamente la palabra «todos/todas», pues al hablar de «Los Blorgs», se infiere que hablamos de todos los Blorgs. Así podemos hacer notar las siguientes diferencias entre las dos demostraciones, la primera en donde usamos el cuantificador existe y en la que usamos todos.
Existen Blorgs que comen los viernes.
(todos) Los Blorgs comen un día antes de los Martes.
Se puede reescribir como $$\exists x P(x) $$
Se puede reescribir como $$\forall x P(x) $$
Consideramos un blorg «mañoso». Es decir, dentro del «conjunto» de los Blorgs, consideramos a uno estratégicamente que nos ayudara a demostrar que al menos un blorg cumplía la condición, en este caso un blurg.
Consideramos un blorg arbitrario (tuvimos que considerar distintos casos en los que el blorg fuera blarg, blerg o blurg)
Exhibimos el ejemplo de un blorg, que comía los viernes. Y con eso demostramso que la proposición se cumplía.
Llegamos a la conclusión de que sin importar cómo fuera el blorg, comía un dia antes de los Martes.
Esto nos quiere decir que cuando estemos hablando del cuantificador $\exists$, no necesitamos generalizar el caso, solo necesitamos exhibir un ejemplo donde la proposición se cumpla. Mientras que cuando hablamos de $\forall$, tenemos que generalizar, es decir, tenemos que considerar todos los casos posibles para probar que una afirmación sea verdadera o no.
Tratando con la unicidad.
Vamos a ver ahora un pequeño mapa de cómo viven los Blorgs en el mundo Blorg:
Este mapa muestra cómo se dividen los Blorgs, así que cuando estuvimos haciendo la demostración de existencia de los Blorgs que comen los Viernes, elegimos alguno de estos:
Mientras que cuando hablamos de $\forall$, tuvimos que comprobar que se cumplía para cualquiera de los Blorgs, ya fueran Blergs, Blargs o Blurgs. Pero aún falta otro cuantificador, que es el $\exists !$.
Ahora lee la siguiente proposición:
Proposición. Existe una única raza de Blorgs que dentro de su dieta puede haber fresas.
Nota que ahora no estamos hablando de los Blorgs como criaturas, sino de sus especies, y solo existen tres especies de blorg: Blargs, Blergs y Blurgs. Es decir, nos piden demostrar que entre estas tres, solo existe una que come fresas.
Nuestra proposición no nos habla de los Blorgs como criaturas individuales, sino que ahora nos habla de las especies de los Blorgs. Nota que ahora la flecha señala a las especies (círculos).
Entonces para demostrar que se cumple la proposición, tendremos que primero exhibir una especie que coma fresas y después demostrar que es única.
Demostración. Solo existen tres especies de Blorgs, notemos que dentro de estas, se encuentran los Blergs que comen frutos, por lo que son los Blergs quienes pueden incluir fresas en sus dietas.
(Hasta aquí hemos probado que existe una especie que puede comer fresas)
Ahora, para demostrar que es única, veamos que las otras dos razas solo comen peces, los cuales evidentemente no pueden incluir las fresas, por tanto esta especie es única.
(Así demostramos la unicidad)
$\square$
Esta es una proposición que se puede escribir como
$$\exists ! x P(x) $$
Entonces para demostrar el cuantificador $\exists ! x P(x)$, primero debemos demostrar $\exists x P(x)$ y después que es única. Nota que demostrar la unicidad, equivale a demostrar lo siguiente:
$$\exists! x P(x) = \exists x (P(x) \land \forall y \neq x (\neg P(y))) $$
Es decir «Existe $x$ que cumple $P(x)$ y todo elemento $y$ distinto a $x$, no cumple $P(y)$»
En nuestra demostración la primera parte antes del primer paréntesis, demostramos que existe $x$ (Blergs) que cumple $P(x)$. Mientras que en la segunda parte mostramos que todo elemento $y$ distinto a $x$(Blargs y Blurgs) , no cumple $P(y)$. Para la segunda parte, vimos que si $y$ no eran los Blergs, entonces no podían comer fresas.
Nos saltamos un conector, que es el $\nexists$, para demostrar estos casos, es suficiente notar que
$$\nexists x P(x) = \forall x (\neg P(x)) $$
Por ejemplo, para demostrar que «No existen especies de Blorgs que coman los miércoles», solo basta demostrar que todas las especies de Blorgs no comen los miércoles.
Algunos ejemplos de demostraciones con los cuantificadores que utilizan
A continuación mostramos algunos ejemplos de proposiciones y de qué cuantificador hablan ayudados de su escritura como lógica proposicional. No es necesario que entiendas a qué se refiere cada uno, pero nota cómo traducimos el enunciado a lógica proposicional.
Sea $P(x)$ = $x$ es neutro aditivo: $$\exists ! x \text{ número real } P(x)$$
Para todo binomio con coeficientes reales (es de la forma $ax^2+b^x+c$ donde $a,b,c$ son números reales), existe solución compleja. *
Sea $P(p,x)$ = $p$ tiene solución compleja $x$: $$\forall p \text{ binomio con coeficientes reales } \exists x (P(p,x)) $$
Notas
*: Esta es una consecuencia de algo que se conoce como el «Teorema fundamental del álgebra», que se usa en un segundo curso de álgebra superior (la continuación de este curso). Sólo se utiliza, más no se demuestra. La herramienta necesaria para su demostración, normalmente se puede ver en un curso de Variable Compleja I, el cual corresponde hasta el tercer año de una licenciatura en matemáticas.
Más adelante…
Antes de terminar de estudiar estas «formas» de demostrar, vamos a terminar viendo el último conector que intencionalmente nos saltamos, este es la «doble implicación», y hay un motivo para ello, pues comúnmente te vas a encontrar este tipo de demostraciones y verás la técnica que se empleará.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Demuestra que existen Blorgs que no viven dentro del agua.
Demuestra que todos los Blorgs comen al menos una vez a la semana.
Demuestra que existe una única especie de Blorgs que habla con animales con aletas.
Demuestra que no existe una especie de Blorgs que coman los miércoles.
Siguiente entrada del curso: Problemas de demostraciones con conectores y cuantificadores
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
Ya hemos visto cómo podemos crear proposiciones complejas a partir de proposiciones básicas usando conectores y cuantificadores. En esta entrada repasaremos cómo hacer negaciones de los distintos conectores lógicos de los que hemos platicado, y hablaremos de cómo hacer eso mismo para los cuantificadores universales y existenciales.
Recordatorio de negaciones de conectores lógicos.
Hemos hablado de cinco conectores lógicos: negación, conjunción, disyunción, implicación y doble implicación. En entradas anteriores hemos platicado de qué sucede con algunos de ellos si los negamos.
Negación, conjunción y disyunción
Negar una negación es sencillo. Ya vimos con anterioridad que $\neg(\neg P)\equiv P$. Para la conjunción y disyunción hablamos de las leyes de De Morgan en la entrada correspondiente. Nos dicen que estos conectores se niegan como sigue:
$\neg (P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q$
$\neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$
Siendo que trabajemos con alguna de estas, solo es necesario recordar: «la conjunción se niega con la disyunción de las negaciones y la disyunción se niega con la conjunción de las negaciones».
Implicación
Para ver cómo es que se niega este conector, recordemos su equivalencia lógica: $$P \Rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q.$$
Lo siguiente que podemos hacer es aplicar una ley de De Morgan:
$$\neg (P \Rightarrow Q) \equiv \neg(\neg P \lor Q) \equiv P \land \neg Q.$$
Lo cuál nos quiere decir: «la negación de la implicación es que se cumpla la hipótesis y no la tesis» o «una promesa falla cuando pasa la condición requerida, pero no sucede lo requerido».
Doble implicación
Ahora, recordemos que la doble implicación $P \Leftrightarrow Q$ la definimos mediante $(P\Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$. De esta manera, podemos usar nuevamente leyes de De Morgan para obtener:
Esto lo podemos pensar como «Las negación de un doble condicional es que las dos proposiciones tengan valores de verdad distintos». Para que la negación de la doble implicación sea verdadera necesitamos que $P$ sea verdad y $Q$ falsa o $Q$ verdad y $P$ falsa.
Para recapitular esta parte, recuerda la siguiente tabla:
Conector
Negación
$\neg P$
$P$
$P \lor Q$
$\neg P \land \neg Q$
$P \land Q$
$\neg P \lor \neg Q$
$P \Rightarrow Q$
$P \land \neg Q $
$P \Leftrightarrow Q$
$(P \land \neg Q) \lor (Q \land \neg P)$
Negaciones de cuantificadores
Ahora que ya hemos visto sobre las negaciones de los conectores, es turno de que hablemos un poco de los cuantificadores. Y para esto recordemos que un cuantificador nos da información sobre los posibles valores de verdad de un predicado a través de un universo.
Negación de cuantificadores universales
Observa por un momento el siguiente predicado:
«Todos los números primos son impares»
Esta proposición la podemos ver de la forma $\forall x: P(x)$ en el universo de discurso de los números enteros. Y la proposición nos dice que cada número primo que tomemos, será impar. ¿Esto es verdad? Pues resulta que no. Y de hecho el único número primo que no es impar es el 2. En este caso no podemos decir que sea verdad la proposición cuantificada, esto pues existe al menos un número entero que no cumple la proposición. ¿Ves a dónde vamos con las palabras resaltadas?
Para negar el cuantificador $\forall$ usamos el cuantificador $\exists$ diciendo que existe un elemento que no cumple la propiedad:
Pensemos en el significado de la expresión. Si tenemos $\neg(\forall x: P(x))$ significa que en el universo de discurso, existe una manera de elegir a $x$, digamos $x=a$ donde $P(a)$ es falsa, es decir $\neg P(a)$ es verdadera.
Negación de cuantificadores existenciales
Por otro lado, pensemos en el siguiente ejemplo:
«Existe un número entero mayor a 1 y menor a 2»
Para poder decir si es verdad o no, deberíamos ponernos de acuerdo en qué es un número entero o qué significa que sea menor o mayor que otro. Pero nuestra intuición nos dice que esto no es cierto (y estamos en lo correcto al pensar así). Ahora ¿Cómo se te ocurre que podríamos negar la expresión $\exists x: P(x)$, donde nuestro universo de discurso son los números enteros y $P(x) : 1<x \land x<2$? Pues necesitaríamos que no exista algún elemento que cumpla la condición. Entonces podemos notar que lo que nos dice esta negación es que cualquier elemento que tomemos de nuestro universo de discurso, no cumplirá con la proposición. Es decir, «Para todo $x$ en el universo de discurso, no se cumplirá el predicado». Dicho de otra forma:
Vayamos un paso más allá, pues $P(x) : 1<x \land x<2$ es una conjunción. Al negarla, por leyes de De Morgan obtenemos una disyunción $\neg P(x): \neg(1<x) \lor \neg (x<2)$. Así, podríamos concluir entonces que la negación de
«Existe un número entero $x$ tal que $x>1$ y $x<2$.»
es
«Para todo número entero $x$, o bien no se cumple $x>1$ o bien no se cumple $x<2$.»
Negar hasta lo más profundo posible
Cuando hablamos de negar una proposición matemática compuesta por proposiciones específicas, o bien de negar una fórmula proposicional, nuestro objetivo es llevar las negaciones hasta las proposiciones básicas o las variables proposicionales o las variables de predicado. Por ejemplo, pensemos en simplificar la siguiente negación:
Aquí la primera negación está afectando al cuantificador existencial, entonces lo primero que hacemos es cambiarlo en un cuantificador universal de la negación:
Esta ya es la forma final que nos interesa. Nota que las negaciones ya están sólo junto a $P(x), Q(x), R(x)$, pero ya no afectan conjunciones, disyunciones, condicionales ni cuantificadores.
Más adelante…
Llegando a este punto, ya tenemos el conocimiento necesario para hablar de una sustancia muy importante en la matemática: las demostraciones. Esto es, ¿cómo podemos estar seguros de cuándo algo se cumple y cuándo no?, ¿qué significa que un enunciado se derive de otros enunciados? Y más importante: vamos a introducir algunas técnicas de demostración que te ayudarán a entender de qué estamos hablando en matemáticas cuando haya que verificar algo. Y para esto usaremos algo conocido como reglas de inferencia.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
¿Cuál es la negación de las siguientes proposiciones?
$P\lor (Q \Rightarrow S)$
$(P \Leftrightarrow (Q\land \neg S))$
$P \land (Q\lor R)$
$P \Rightarrow(Q \Rightarrow P)$
¿Cuál es la negación de las siguientes proposiciones que involucran cuantificadores?
Siguiente entrada del curso: Problemas de negaciones de proposiciones con conectores y cuantificadores
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
En esta entrada resolveremos problemas de temas vistos en entradas anteriores. Haremos algunos ejemplos relacionados con los conectores condicionales que vimos en una entrada anterior: la implicación y la doble implicación. También veremos algunos de cuantificadores lógicos.
Problemas resueltos
Problema. Si $P$ y$R$ son verdaderas y $Q$ es falsa, di si la siguiente proposición es verdadera o falsa: $$(P \lor R) \Rightarrow \neg(Q \land R).$$
Solución. Haremos una tabla de verdad pero únicamente con los valores que nos dan, es decir, no vamos a hacer la tabla para todos los casos, sino únicamente los que nos interesan en este momento:
$P$
$Q$
$R$
$P \lor R$
$Q \land R$
$\neg (Q \land R)$
$(P \lor R) \Rightarrow \neg(Q \land R)$
$1$
$0$
$1$
$1$
$0$
$1$
$1$
Por lo tanto la proposición es verdadera para los valores de verdad dados.
$\square$
Problema. Di si las siguientes proposiciones sobre los números enteros son verdaderas o no:
Vamos a hacer algunas verificaciones sobre cada una de las proposiciones para encontrar su valor de verdad:
$(3+1=4) \Rightarrow (0<10)$
Como $3+1=4$ es verdadera y $0<10$ es verdadera también, entonces la proposición es verdadera.
$(4=5) \Leftrightarrow (9+1=10)$
Recordemos que la doble condicional es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Por un lado no es cierto que $4=5$ mientras que sí es verdad que $9+1=10$. Por lo tanto la proposición es falsa.
$((6<7) \lor (3^2=10)) \Rightarrow (12<12^2)$
Vamos a ver la proposición por partes. Primero veamos que $((6<7) \lor (3^2=10))$ es una disyunción verdadera pues una de las proposiciones que la componen, $6<7$, lo es. Como $12<12^2$ es verdad, entonces la implicación tiene antecedente y subsecuente verdaderos y por lo tanto es verdadera.
De nuevo vamos a dividir la proposición en sus partes, $(-1<1) \land (1<-1)$ y $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$. Primero notemos que $(-1<1) \land (1<-1)$ es falsa, pues no es cierto que $1<-1$.
Ahora, veamos cómo es $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$. Nota que $12=13-1$ y $12=12-1+1$, entonces $13-1=12-1+1$. Entonces esta primera parte es verdad, mientras que $1+1=2$ pero no es cierto que $2<2$. Así que es falso que $1+1<2$. Entonces $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$ es falso.
Como $(-1<1) \land (1<-1)$, $(13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2)$ son ambas falsas, entonces $((-1<1) \land (1<-1)) \Leftrightarrow ((13-1=12-1+1)\Rightarrow (1+1<2))$ es verdadero.
$\square$
Nota: En este tipo de ejercicios, ¿viste cómo se dieron las argumentaciones de las proposiciones en cada caso? El secreto aquí fue «desarmar» las proposiciones en partes más pequeñas. Esto lo hacemos pues recuerda que los conectores son binarios, esto significa que su valor de verdad depende del valor de verdad de las dos proposiciones que conectan.
Así, para ver cuál es el valor de verdad de $((6<7) \lor (3^2=10)) \Rightarrow (12<12^2)$, lo que hicimos fue deshacerlo en sus partes. Una parte $A$ fue $(6<7) \lor (3^2=10)$ y la otra parte $B$ fue $12<12^2$. Entonces bastaba con verificar cuáles eran los valores de verdad de $A$ y $B$. Para ello, volvimos a «desarmar» a $A$ en sus partes «atómicas». Es decir, desarmamos $(6<7) \lor (3^2=10)$ en $6<7$ y $3^2=10$ y estudiamos el valor de verdad de cada uno de ellos. Usualmente este tipo de pensamiento de «desarmar un problema en sus partes» te ayudará a verificar o demostrar cosas más adelante.
Problema. Sean $P(x)$, $Q(x)$ y $R(x)$ los siguientes predicados:
$P(x): x \leq 4$
$Q(x): x +1$ es par.
$R(x): x> 0$
Si nuestro universo de discurso son los números enteros, ¿cuáles son los valores de verdad de las siguientes proposiciones?
$P(1)$
$P(1) \Rightarrow Q(1)$
$P(0) \Rightarrow (R(5) \Rightarrow Q(0))$
$R(-1) \lor P(2)$
$\neg R(-2) \land P(-2)$
Solución.
1.$P(1)$
Es verdadera, pues $1 \leq 4$.
2. $P(1) \Rightarrow Q(1)$
Como $P(1)$ es verdadera y además $1+1=2$ es par, entonces la proposición es verdadera.
3. $P(0) \Rightarrow (R(5) \Rightarrow Q(0))$
Vamos a dividir la proposición en partes. Primero notemos que $P(0)$ es verdad. Mientras que $R(5) \Rightarrow Q(0)$ es falsa, ya que es cierto que $5>0$ pero es falso que $0+1$ sea par. Entonces la proposición es falsa.
4. $R(-1) \lor P(2)$
Como $R(-1)$ es falsa pero $P(2)$ es verdad, entonces la proposición es verdadera.
5. $\neg R(-2) \land P(-2)$
Como $-2>0$ es falsa, entonces $\neg R(-2)$ es verdad. Además, $-2<4$ es verdad. De esta manera la proposición es verdadera.
$\square$
Problema. Considera los siguientes predicados:
$P(x): 2x>0$
$Q(x):x>0$
$R(x): x=20$
$T(x):x<0$
Determina la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones, considerando que nuestro universo de discurso son los números enteros. Si la proposición no es verdadera, da un contraejemplo o explicación de ello.
$\forall x: (P(x) \Rightarrow Q(x))$
$\exists x: (Q(x) \land T(x))$
$\forall x: (R(x) \Rightarrow Q(x))$
$\exists ! x:(R(x))$
$ \nexists x :(Q(x) \land P(x))$
Solución.
$\forall x:(P(x) \Rightarrow Q(x))$
Nota que siempre que se cumple $2x>0$ entonces $x>0$ (más adelante demostrarás esto con toda formalidad, pero de momento lo daremos por cierto). Por lo tanto la proposición es verdadera.
$\exists x: (Q(x) \land T(x))$
Para que esto sucediera, necesitaríamos la existencia de al menos un elemento $x$ que cumpla $0<x$ y $x>0$, es decir necesitaríamos un elemento que sea positivo y negativo a la vez, pero esto no es posible. Por lo tanto la proposición es falsa.
$\forall x:(R(x) \Rightarrow Q(x))$
Lo que nos dice esta proposición es «Para todo número entero $x$ que cumpla $x=20$ entonces $x>0$» o dicho de otra manera: «Si un número entero es igual a 20, entonces será positivo.» Lo cuál es correcto, pues si el número es distinto a 20, la implicación será correcta (recuerda la tabla de verdad de la implicación), mientras que el único caso en donde la hipótesis se cumple es cuando $x=20$ y claramente es un número que cumple $x>0$. Entonces la proposición es verdadera.
$\exists ! x:(R(x))$
Esto nos quiere decir que existe un único número entero que sea igual a 20, e inmediatamente podemos saber que es verdadera, pero ¿A qué nos referiremos que un número sea igual a 20? Primero tendríamos que ponernos de acuerdo de qué significa la igualdad. Aunque ahora no lo haremos, piensa el cómo nos aseguraríamos de que es el único número entero que cumple esa propiedad. ¿Qué pasaría si no fuera cierto?
$ \nexists x: (Q(x) \land P(x))$
Lo que dice la proposición es que ningún número $x$ va a cumplir a la vez $x>0$ y $2x>0$, pero esto no es cierto, pues pensemos en $x=1$. Cumple $Q(x)$ ya que $1>0$ y cumple $P(x)$ porque $2\cdot 1=2>0$. Entonces podemos decir que es falso pues dimos un contraejemplo que contradijo la proposición.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
