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Teoría de los Conjuntos I: Axioma de conjunto potencia

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

En esta nueva sección recordaremos el concepto de contención y haremos notar su diferencia con el concepto de pertenencia. Hablaremos también del axioma del conjunto potencia, a partir de este axioma podremos trabajar con los subconjuntos de un conjunto.

Resultados sobre contención

Proposición: Sean $A$, $B$ y $C$ conjuntos. Muestra que los siguientes resultados son verdaderos:

  1. $\emptyset\subseteq A$
  2. $A\subseteq A$
  3. Si $A\subseteq B$ y $B\subseteq C$, entonces $A\subseteq C$.

Demostración:

  1. Veamos que $\emptyset\subseteq A$. Sea $x\in \emptyset$, entonces $x\in A$ se cumple por vacuidad y, por lo tanto, $\emptyset\subseteq A$.
  2. Dado que para cualquier conjunto $A$, tenemos que $A=A$, es claro que $A\subseteq A$.
  3. Supongamos que $A\subseteq B$ y $B\subseteq C$. Veamos que $A\subseteq C$.
    Sea $x\in A$, como $A\subseteq B$ se sigue por definición de contención que $x\in B$.
    Luego, como $x\in B$ y $B\subseteq C$, entonces $x\in C$. Por lo tanto, $A\subseteq C$.

$\square$

Con estos resultados podremos decir que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto, hasta de él mismo, como lo verifica la segunda propiedad. Finalmente, con la propiedad tres diremos que la contención es transitiva.

Diferencias: Pertenencia y contención

En esta parte haremos un diferenciador entre pertenencia y contención.

Ejemplo:
Para el conjunto $\emptyset$ se satisface que $\emptyset\subseteq \emptyset$. Sin embargo, no es cierto que $\emptyset\in \emptyset$ pues definimos al conjunto vacío como un conjunto sin elementos y por lo tanto, es absurdo decir que tiene un elemento.

$\square$

Ejemplo:
Consideremos al conjunto $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$, sus elementos son $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$ pues figuran dentro de él. Veamos ahora quiénes son sus subconjuntos.

Afirmación. $\emptyset$, $\set{\emptyset}$, $\set{\set{\emptyset}}$ y $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ son los únicos subconjuntos de $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$.

Demostración:
Sabemos que $\emptyset\subseteq \set{\emptyset,\set{\emptyset}}$. Luego, como el único elemento del conjunto $\set{\emptyset}$ es $\emptyset$, y $\emptyset\in\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$, entonces $\set{\emptyset}\subseteq\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$.

De igual manera, como el único elemento de $\set{\set{\emptyset}}$ es $\set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset}\in\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$, entonces $\set{\set{\emptyset}}\subseteq\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$.

Finalmente, por una proposición anterior sabemos que cualquier conjunto está contenido en sí mismo. Así, $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\subseteq\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$.

Veamos ahora que no existe un subconjunto de $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ que sea distinto de los ya mencionados.

Sea $X\subseteq\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$. Entonces para cualquier $x\in X$ se tiene que $x\in \set{\emptyset,\set{\emptyset}}$, es decir, $x=\emptyset$ o $x=\set{\emptyset}$. Lo anterior implica que $X$ tiene a lo más dos elementos.

Caso 1: X no tiene elementos, es decir, $X=\emptyset$.

Caso 2: X tiene un sólo elemento, es decir, $X=\set{x}$.

Si el elemento $x\in X$ es tal que $x=\emptyset$, entonces $X=\set{\emptyset}$.

La otra opción para $x$ es que $x=\set{\emptyset}$, en cuyo caso se tiene que $X=\set{\set{\emptyset}}$.

Caso 3: X tiene dos elementos, es decir, $X=\set{x,y}$ con $x\not=y$.

Como $x$ y $y$ tienen sólo dos opciones y $x\not=y$, entonces:

  • $x=\emptyset$ y $y=\set{\emptyset}$ ó
  • $x=\set{\emptyset}$ y $y=\emptyset$.

En cualquier caso, obtenemos que $X=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$.

Esto demuestra que los únicos subconjuntos de $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ son $\emptyset$, $\set{\emptyset}$, $\set{\set{\emptyset}}$ y $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$.

$\square$

Podemos decir, que aunque existan conjuntos donde hayan elementos que pertenezcan a él y este contenidos al mismo tiempo, la pertenencia y la contención son diferentes. La pertenencia se refiere estrictamente a los elementos que figuran dentro del conjunto y por otro lado, la contención está definida a partir del concepto de pertenencia.

Potencia de un conjunto

Axioma del conjunto potencia: Si $X$ es un conjunto cualquiera, entonces existe un conjunto $S$ tal que $a\in S$ si y sólo si $a\subseteq X$.

Al igual que con los conjuntos que nos otorgan los axiomas anteriores, el conjunto $S$ del axioma de conjunto potencia es único.

Definición: Sea $A$ un conjunto, al conjunto que obtenemos a partir del axioma del conjunto potencia le llamaremos el conjunto potencia de $A$ y lo denotaremos por $\mathcal{P}(A)$.

Ejemplos:

  1. Consideremos al conjunto $\emptyset$, existe $S=\set{\emptyset}$ tal que $\emptyset\in S$ pues $\emptyset\subseteq \emptyset$, además este conjunto no tiene más elementos debido a que el único subconjunto de $\emptyset$ es el mismo.
  2. Para el conjunto $\set{\emptyset}$ tenemos que $S=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$. En efecto, como $\emptyset\subseteq \set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset}\subseteq\set{\emptyset}$ y son los únicos que lo satisfacen, entonces $S=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$.
  3. Ahora, para el conjunto $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ tenemos que $\emptyset\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, $\set{\emptyset}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$, $\set{\set{\emptyset}}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ y $\set{\emptyset, \set{\emptyset}}\subseteq \set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ tenemos que $S= \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}$.

$\square$

Propiedades del conjunto potencia

Proposición: Sean $A$ y $B$ conjuntos, prueba que los siguientes resultados son ciertos:
a) Si $A\subseteq B$, entonces $\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B)$,
b) $A\subseteq B$ implica que $\bigcup A\subseteq \bigcup B$,
c) $\bigcup\mathcal{P}(A)= A$,
d) $\mathcal{P} (A)\cup\mathcal{P}(B)\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)$.

Demostración:
a) Sea $x\in \mathcal{P}(A)$, mostremos para ver que $\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B)$ que $x\in \mathcal{P}(B)$.
Como $x\in\mathcal{P}(A)$, entonces $x\subseteq A$. Luego, como $A\subseteq B$ entonces $x\subseteq B$ y así, $x\in\mathcal{P}(B)$.
Por lo tanto, $\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B)$.

b) Supongamos que $A\subseteq B$. Sea $x\in \bigcup A$, se sigue por definición de unión que existe $y\in A$ tal que $x\in y$. Por nuestra hipótesis, tenemos también que existe $y\in B$ tal que $x\in y$ lo que equivale a decir que $x\in \bigcup B$. Por lo tanto, $\bigcup A\subseteq \bigcup B$.

c)
$\rightarrow$] Tomemos $x\in \bigcup \mathcal{P}(A)$ arbitrario y mostremos que $x\in A$. Que $x\in \bigcup\mathcal{P}(A)$ implica que existe $y\in \mathcal{P}(A)$ tal que $x\in y$. Luego, por definición de conjunto potencia tenemos que existe $y\subseteq A$ tal que $x\in y$. De este modo, existe $y$ tal que $x\in y\subseteq A$, es decir, $x\in A$ lo que prueba que $\bigcup \mathcal{P}(A)\subseteq A$.

$\leftarrow$] Dado que $A\subseteq A$ entonces $A\in \mathcal{P}(A)$ para cualquier conjunto $A$ y así por la proposición 2 tenemos que $A\subseteq \bigcup\mathcal{P}(A)$.

Por lo anterior tenemos que $A=\bigcup \mathcal{P}(A)$.

d) Sea $x\in \mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)$ se sigue que $x\in \mathcal{P}(A)$ o $x\in \mathcal{P}(B)$. Evaluemos los dos casos:
– Si $x\in\mathcal{P}(A)$ entonces $x\subseteq A$ y como $A\subseteq A\cup B$, se sigue que $x\subseteq A\cup B$ y así, $x\in \mathcal{P}(A\cup B)$.
– El caso en el que $x\in\mathcal{P}(B)$ entonces $x\subseteq B$ y como $B\subseteq A\cup B$, entonces $x\subseteq A\cup B$ y así, $x\in \mathcal{P}(A\cup B)$.
Concluimos que $\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)\subseteq \mathcal{P}(A\cup B)$.

$\square$

Tarea Moral

Los siguientes ejercicios te ayudaran a distinguir la diferencia entre pertenencia y contención. Así mismo comenzaras a plantear algunos contraejemplos para probar la falsedad de algunos enunciados sobre el conjunto potencia:

  • Demuestra que los únicos subconjuntos de $\set{\emptyset}$ son $\emptyset$ y $\set{\emptyset}$.
  • Di si el siguiente enunciado es verdadero o falso: Si $A\in B$ y $B\in C$, entonces $A\in C$. (Argumenta tu respuesta)
  • Calcula $\mathcal{P}(\set{\emptyset,\set{\emptyset},\set{\emptyset,\set{\emptyset}}})$.
  • Argumenta porque para cualquier conjunto $A$, se tiene que $\mathcal{P}(A)\not=\emptyset$.
  • Da un contraejemplo para ver que $\mathcal{P}(\bigcup A)= A$ es falso.
  • Muestra que en general no se cumple la igualdad $\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A\cup B)$.
  • Demuestra que $\mathcal{P}(\emptyset)=\set{\emptyset}$.

Más adelante

En la siguiente sección haremos uso de los conceptos que hemos visto hasta ahora, demostraremos algunos resultados sobre unión y definiremos nuevas operaciones entre conjuntos las cuales serán unión, intersección y diferencia. Estas operaciones nos otorgaran más resultados, estudiaremos algunas de sus propiedades.

Enlaces

Teoría de los Conjuntos I: Repaso sobre el lenguaje de la Teoría de los Conjuntos

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

Se entiende por un conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.

Georg Cantor

Para iniciar tu aventura en la Teoría de Conjuntos es importante hacer una breve introducción al lenguaje que utiliza está misma. Profundizaremos en la definición que dio Cantor sobre un conjunto. Podremos entender que es una colección de objetos a los que podemos describir con una propiedad, más aún, está propiedad no debe ser ambigua pues es necesario poder decidir si un elemento forma parte o no del conjunto.

Un poco de lógica

Antes de navegar por la teoría de conjuntos, haremos una pequeña pero importante parada por otra de las ramas de la matemática: la lógica. Dado que en las matemáticas siempre estamos buscando la verdad de las cosas, necesitamos definir cuando un enunciado es verdadero o falso.

Definición: Una proposición es un enunciado al que podemos asignarle un único valor de verdad, ya sea verdadero o falso. A las proposiciones las denotaremos con letras: $P_1, P_2,\cdots P_n, P, Q, …, p, q, p_1, p_2, …, p_n$.

Ejemplos:

Si «$P_1= 2$ es un número par», diremos que la proposición $P_1$ es verdadera pues sabemos que $2$ en efecto es un número par.

Si «$P_2= 4$ es primo», diremos que $P_2$ es una proposición falsa.

$\square$

Una vez definido el concepto de proposición vamos a hablar acerca de conectivos lógicos y sus tablas de verdad.

Conectivos lógicos

Negación: Sea $P$ una proposición. Definimos la negación de $P$ como el enunciado: «no es cierto $P$» y lo denotamos como $\neg P$.

Dado que $P$ solo puede tomar un valor de verdad: verdadero o falso. Si $P$ es verdadero, entonces $\neg P$ es falso. Si $P$ es falso entonces $\neg P$ es verdadero. Veamos su tabla de verdad:

$P$$\neg P$
VF
FV

A continuación definiremos conectivos para dos o más proposiciones las cuales se llamaran compuestas. Si la tabla de verdad de una proposición compuesta tiene solo valores verdaderos diremos que se trata de una tautología.

Conjunción: Sean $P$ y $Q$ proposiciones. Definimos la conjunción de $P$ y $Q$ como el enunciado: «$P$ y $Q$» y lo denotamos por $P\land Q$. En este caso, $P\land Q$ es verdadero si y solo si tanto $P$ como $Q$ son verdaderos, veamos su tabla de verdad:

$P$$Q$$P\land Q$
VVV
VFF
FVF
FFF

Luego, la negación de la conjunción $\neg(P\land Q)$ es equivalente a $\neg P \vee \neg Q$ pues $\neg(P \land Q)\leftrightarrow (\neg P\vee \neg Q)$ es una tautología y lo denotamos como sigue: $\neg(P \land Q)\equiv (\neg P\vee \neg Q)$. Observemos la tabla de verdad:

$P$$Q$$\neg(P\land Q)$$\neg P \vee \neg Q $
VVFVF
VFVVV
FVVVV
FFVVV

Disyunción: Sean $P$ y $Q$ proposiciones. Definimos a la disyunción de $P$ con $Q$ como el enunciado: «$P$ o $Q$» y lo denotamos por $P\vee Q$. En este caso, $P\vee Q$ es verdadero si y solo si al menos una de las proposiciones $P$ o $Q$ es verdadera, veamos su tabla de verdad:

$P$$Q$$P\vee Q$
VVV
VFV
FFV
FFF

La negación de la disyunción $\neg(P\vee Q)$ es equivalente a $\neg P \land \neg Q$. Observemos la tabla de verdad:

$P$$Q$$\neg(P\vee Q)$$\leftrightarrow$$\neg P\land \neg Q$
VVFVF
VFFVF
FVFVF
FFVVV

Implicación: Sean $P$ y $Q$ proposiciones. Definimos a la implicación como el enunciado «$P$ implica $Q$» y lo denotamos por $P\rightarrow Q$. En este caso, «$P\rightarrow Q$» es verdadero si y solo si tanto $P$ como $Q$ son verdaderos, o bien $P$ es falso. Veamos su tabla de verdad:

$P$$Q$$P\rightarrow Q$
VVV
VFF
FVV
FFV

Podemos verificar que $\neg(P\rightarrow Q)\equiv (P\land \neg Q)$.

Bicondicional: Sean $P$ y $Q$ proposiciones. Definimos a la bicondicional de $P$ y $Q$ como el enunciado: «$P$ si y sólo si $Q$» y lo denotamos por «$P\leftrightarrow Q$». En este caso, $P \leftrightarrow Q$ es verdadero si y solo si $P$ y $Q$ tienen el mismo valor de verdad. Veamos su tabla de verdad:

$P$$Q$$P \leftrightarrow Q$
VVV
VFF
FVF
FFV

Podemos verificar que $\neg(P\leftrightarrow Q)\equiv (P\land \neg Q)\vee(Q\land \neg P)$.

Cuantificador universal y existencial

Ahora que hemos recordado los conectivos lógicos y sus tablas de verdad, podemos familiarizarnos con cuantificadores y sus negaciones. Para ello definamos primero lo siguiente:

Definición: Un predicado es un enunciado con una variable $x$ tal que al sustituirla se obtiene un proposición. La denotamos como $P(x)$.

Ejemplos:

  1. $P(x)= x+2=5$. Es claro que $x+2=5$ no es una proposición pues si no sabemos el valor de $x$ no podremos decir cual es su valor de verdad, sin embargo, que pasaría si a $x$ le damos el valor de $3$, entonces $x+2=3+2=5$ es verdadero y por lo tanto, una proposición.
  2. Si $Q(x)=x$ es par, sólo si definimos que valores toma $x$ sabremos si $Q(x)$ es verdadero o falso.

$\square$

Ahora que hemos definido que es un predicado, podemos hablar acerca de los cuantificadores: universal y existencial.

Definición: Sea $P(x)$ un predicado, definimos «$\exists x P(x)$» como el cuantificador existencial y se interpreta como «existe x tal que $P(x)$». La manera en que vamos a negar $\exists x P(x)$» es la siguiente: $\neg(\exists x P(x))\equiv \forall x(\neg(P(x))$».

Definición: Sea $P(x)$ un predicado, definimos «$\forall x P(x)$» como el cuantificador universal y se interpreta como «para cualquier x, $P(x)$». La manera en que vamos a negar $\forall x P(x)$» es la siguiente: $\neg(\forall x P(x))\equiv \exists x(\neg(P(x))$».

Ahora que tenemos las definiciones necesarias de lógica, comenzaremos a recordar la noción de pertenecer a un conjunto.

Elementos y pertenencia

Si tenemos que $A$ es un conjunto, para decir que un objeto es parte del conjunto utilizaremos la notación $x\in A$, que puede leerse como «$x$ es elemento de $A$» o «$x$ pertenece a $A$».

Por ejemplo, si $B=\set{1,2,3}$ podemos decir lo siguiente:

  • $1\in B$
  • $2\in B$
  • $3\in B$

Esto porque tanto $1,2$ y $3$ están dentro del conjunto $B$. Así mismo podemos decidir si un objeto forma parte de $B$ o no, si quisiera saber si $5\in B$ la respuesta que daremos será que no, la manera en que vamos a denotar la no pertenencia es la siguiente: $5\notin B$. En general, si un elemento no forma parte de un conjunto $A$ diremos que $x\notin A$ ($x$ no pertenece a $A$).

Contención e igualdad

Ahora que ya sabemos diferenciar cuando un elemento pertenece o no a un conjunto, podemos ver si un conjunto es subconjunto de otro. Sean $A$ y $B$ conjuntos, decimos que $A\subseteq B$ si y sólo si $\forall x(x\in A\rightarrow x\in B)$. De modo que tendremos que $A\not\subseteq B$ si y sólo si $\exists x(x\in A$ y $x\notin B)$.

Ejemplo:

Sean $A=\set{a,b,c,d}$ y $B=\set{a,b,c,d,e,f}$. Decimos que $A\subseteq B$ pues cada elemento de $A$ es elemento de $B$. Sin embargo, $B$ no es subconjunto de $A$ pues podemos exhibir un elemento que está en $B$ pero no está en $A$, el elemento que nos funciona en este ejemplo es $e$ ya que $e\in B$ y $e\notin A$. Seguro estarás notando que existe más de un elemento ($f$ también funciona) que hace que $B\not\subseteq A$, pero basta con exhibir uno solo pues de este modo se satisface la definición.

Tarea Moral

  • Demuestra que si $p$ y $q$ son proposiciones, entonces $p\rightarrow q$ es equivalente a $\neg q\rightarrow \neg p$.
  • Demuestra que $\neg(p\rightarrow q)\equiv (p\land \neg q)$ y $\neg(p\leftrightarrow q)\equiv [(p\land \neg q)\vee (q\land \neg p )]$
  • Sea $B=\set{a,b,c,\set{a,b}}. Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) $a\in B$,

b) $\set{a,b} \in B$,

c) $\set{b,c} \in B$.

  • Si $A= \set{1,2,3}$, di quienes son los elementos de $A$ y además da todos los subconjuntos de $A$.
  • Demuestra que si $A$ es un conjunto cualquiera, entonces $A\subseteq A$.

Más adelante…

En la siguiente entrada podrás encontrar contenido referente a la definición de conjunto y los primeros axiomas de Zermelo-Fraenkel para la Teoría de los Conjuntos, ahí tendrás que tener algunos conocimientos acerca de lógica para entender la notación que usaremos en adelante. Sin embargo ya hemos sentado las bases necesarios en esta entrada.

Otros enlaces:

Los siguientes enlaces te servirán para revisar con mejor detalle el tema