Introducción

Anteriormente definimos qué quiere decir evaluar un polinomio en una matriz o en una transformación lineal. En esta entrada definiremos uno de los objetos más importantes del álgebra lineal: el polinomio mínimo. Si bien al principio nos va a costar un poco calcularlo, esto se compensa por la cantidad de propiedades teóricas que cumple. Comenzaremos dando su definición, y mostrando su existencia y unicidad. Luego exploraremos algunas propiedades y veremos ejemplos, seguido de un pequeño teorema de cambio de campos. Finalmente introduciremos un objeto similar (el polinomio mínimo puntual) y haremos unos ejercicios para cerrar.

El concepto de polinomio mínimo podría resultarle familiar a los más algebraicos de mente: ¡todo se debe a que trabajamos con dominios de ideales principales, o incluso euclidianos! Si has trabajado anteriormente con conceptos como el mínimo común múltiplo en enteros, puede que varios de los argumentos de esta entrada te suenen conocidos.

Existencia y unicidad

Comenzamos con un espacio vectorial $V$ de dimensión $n$ sobre un campo $F$. Fijando una transformación lineal $T:V\to V$, queremos entender para qué polinomios se cumple que $P(T)=0$. Nota como podríamos haber cambiado la pregunta: si fijamos un polinomio $P$, podríamos buscar todas las transformaciones $T$ tales que $P(T)=0$. Ésta pregunta la estudiaremos más adelante.

Definimos el conjunto

$$\begin{array}{r}I(T)=\{P\in F[X]\mid P(T)=0\}.\end{array}$$

El polinomio cero pertenece a $I(T)$ de manera trivial. Una cosa importante es que este conjunto $I(T)$ que vamos a estudiar en verdad es «interesante», en el sentido de que debemos ver que hay más polinomios adentro y no es únicamente el conjunto $\{0\}$. Una manera de ver esto es sabiendo que el espacio de transformaciones lineales de $V$ en $V$ tiene dimensión $n^2$ (lo puedes pensar como el espacio de matrices). Entonces, las $n^2+1$ transformaciones $\mathrm{Id},T,T^2,\dots ,T^{n^2}$ no pueden ser todas linealmente independientes: uno de los corolarios del lema de Steinitz es que en un espacio de dimensión $n$ a lo más se pueden tener $n$ vectores linealmente independientes. Entonces existe una combinación lineal no trivial y nula

$$\begin{array}{r}{a}_0\mathrm{Id}+a_{1}T+\cdots +a_{n^2}{T}^{n^2}=0.\end{array}$$

Luego $a_0+a_{1}X+\cdots +a_{n^2}{X}^{n^2}$ es un polinomio no cero tal que $P(T)=0$, es decir $P\in I(T)$.

Con el argumento de arriba vimos que $I(T)$ es «interesante» en el sentido de que tiene polinomios no cero. El siguiente teorema se puede entender como que $I(T)$ se puede describir muy fácilmente.

Teorema. Existe un único polinomio mónico, distinto de cero ${\mu }_T$ tal que $I(T)$ es precisamente el conjunto de múltiplos de ${\mu }_T$. Es decir

$$\begin{array}{r}I(T)={\mu }_T\cdot F[X]=\{{\mu }_T\cdot P(X)\mid P(X)\in F[X]\}.\end{array}$$

La demostración hará uso del algoritmo de la división para polinomios. Te lo compartimos aquí, sin demostración, por si no lo conoces o no lo recuerdas.

Teorema (algoritmo de la división en $\mathbb{F}[x]$). Sean $M(x)$ y $N(x)$ polinomios en $F[x]$, donde $N(x)$ no es el polinomio cero. Entonces, existen únicos polinomios $Q(x)$ y $R(x)$ en $F[x]$ tales que $$M(x)=Q(x)N(x)+R(x),$$ en donde $R(x)$ es el polinomio cero, o $\mathrm{deg}(R(x))<\mathrm{deg}(G(x))$.

Si te interesa saber cómo se demuestra, puedes seguir la teoría de polinomios disponible en la Unidad 4 del curso de Álgebra Superior II.

Demostración. Veamos primero que $I(T)$ es un subespacio de $F[X]$. Para ello, tomemos polinomios $P(x)$, $Q(x)$ en $I(T)$, y un escalar $\alpha \in F$. Una de las proposiciones de la entrada pasada nos permite abrir la expresión $(P+\alpha Q)(T)$ como $P(T)+\alpha Q(T)=0+\alpha \cdot 0=0$, de modo que $P+\alpha Q$ está en $I(T)$ y por lo tanto $I(T)$ es un subespacio de $F[X]$.

Por otro lado si $P\in I(T)$ y $Q\in F[X]$ entonces

$$\begin{array}{r}(PQ)(T)=P(T)\circ Q(T)=0\circ Q(T)=0.\end{array}$$

Lo que discutimos antes de enunciar el teorema nos dice que $I(T)\ne \{0\}$. Tomemos entonces $P\in I(T)$ un polinomio no cero de grado mínimo. Podemos suponer sin perdida de generalidad que $P$ es mónico, de no serlo, podemos dividir a $P$ por su coeficiente principal sin cambiar el grado.

La ecuación previa nos indica que todos los múltiplos polinomiales de $P$ también están en $I(T)$. Veamos que todo elemento de $I(T)$ es de hecho un múltiplo de $P$. Si $S\in I(T)$, usamos el algoritmo de la división polinomial para escribir $S=QP+R$ con $Q,R\in F[X]$. Aquí hay dos casos: que $R$ sea el polinomio cero, o bien que no lo sea y entonces $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}P$. Nota que $R=S-QP\in I(T)$ dado que $I(T)$ es un subespacio de $F[X]$ y $S,QP\in I(T)$. Si $R\ne 0$, entonces como $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}P$ llegamos a una contradicción de la minimalidad del grado de $P$. Luego $R=0$ y por tanto $S=QP$. Entonces $I(T)$ es precisamente el conjunto de todos los múltiplos de $P$ y así podemos tomar ${\mu }_T=P$.

Para verificar la unicidad de ${\mu }_T$, si otro polinomio $S$ tuviera las mismas propiedades, entonces $S$ dividiría a ${\mu }_T$ y ${\mu }_T$ dividiría a $S$. Sin embargo, como ambos son mónicos se sigue que deben ser iguales: en efecto, si ${\mu }_T=S\cdot Q$ y $S={\mu }_T\cdot R$ entonces $\mathrm{deg}Q=\mathrm{deg}R=0$, porlo tanto son constantes, y como el coeficiente principal de ambos es $1$, se sigue que ambos son la constante $1$ y así ${\mu }_T=S$. Esto completa la demostración.

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Definición. Al polinomio ${\mu }_T$ se le conoce como el polinomio mínimo de $T$.

Primeras propiedades y ejemplos

Debido a su importancia, recalcamos las propiedades esenciales del polinomio mínimo ${\mu }_T$:

• Es mónico.
• Cumple ${\mu }_T(T)=0$.
• Para cualquier otro polinomio $P\in F[X]$, sucede que $P(T)=0$ si y sólo si ${\mu }_T$ divide a $P$.

Toda la teoría que hemos trabajado hasta ahora se traduce directamente a matrices usando exactamente los mismos argumentos. Lo enunciamos de todas maneras: si $A\in M_n(F)$ es una matriz cuadrada, entonces existe un único polinomio ${\mu }_A\in F[X]$ con las siguientes propiedades:

• Es mónico.
• Cumple ${\mu }_A(A)=O_n$.
• Si $P\in F[X]$, entonces $P(A)=O_n$ si y sólo si ${\mu }_A$ divide a $P$.

Como jerga, a veces diremos que un polinomio «anula $T$» si $P(T)=0$. En este sentido los polinomios que anulan a $T$ son precisamente los múltiplos de ${\mu }_T$.

Vimos antes de enunciar el teorema que podemos encontrar un polinomio $P$ no cero de grado menor o igual a $n^2$ tal que $P(T)=0$. Como ${\mu }_T$ divide a $P$ se sigue que $\mathrm{deg}{\mu }_T\le n^2$. Esta cota resulta ser débil, y de hecho un objeto que hemos estudiado previamente nos ayudará a mejorarla: el polinomio característico. Este también va a anular a $T$ y con ello obtendremos una mejor cota: $\mathrm{deg}{\mu }_T\le n$.

Ejemplo 1. Si $A=O_n$, entonces ${\mu }_A=X$. En efecto, ${\mu }_A(A)=0$ y además es el polinomio de menor grado que cumple esto, pues ningún polinomio constante y no cero anula a $O_n$ (¿por qué?). Nota como además $I(A)$ es precisamente el conjunto de polinomios sin término constante.

$\mathrm{△}$

Ejemplo 2. Considera la matriz $A\in M_2(\mathbb{R})$ dada por

$$\begin{array}{r}A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right).\end{array}$$

Nos proponemos calcular ${\mu }_A$. Nota que $A$ satisface $A^2=-I_2$. Por tanto el polinomio $P(X)=X^2+1$ cumple $P(A)=0$. Así, ${\mu }_A$ tiene que dividir a este polinomio ¡pero este es irreducible sobre los números reales! En efecto, si existiese un factor propio de $P$ sobre $\mathbb{R}$, tendríamos que la ecuación $X^2=-1$ tiene solución, y sabemos que este no es el caso. Entonces ${\mu }_A$ tiene que ser $X^2+1$.

$\mathrm{△}$

Ejemplo 3. Sean $d_1,\dots ,d_n\in F$ escalares y $A$ una matriz diagonal tal que $[a_{ii}]=d_i$. Los elementos pueden no ser distintos entre sí, así que escogemos una colección máxima $d_{i_1},\dots ,d_{i_k}$ de elementos distintos. Para cualquier polinomio $P$, tenemos que $P(A)$ es simplemente la matriz diagonal con entradas $P(d_i)$ (esto porque el producto $A^n$ tiene como entradas a $d_i^n$). Entonces para que $P(A)=0$ se tiene que cumplir que $P(d_i)=0$, y para que esto pase es suficiente que $P(d_{i_k})=0$. Eso quiere decir que $P$ tiene al menos a los $d_{i_k}$ como raíces, y entonces $(X-d_{i_1})(X-d_{i_2})\cdots (X-d_{i_k})$ divide a $P$.

Nota como esto es suficiente: encontramos un polinomio mónico, $(X-d_{i_1})(X-d_{i_2})\cdots (X-d_{i_k})$ que divide a cualquier $P$ tal que $P(A)=0$. Así

$$\begin{array}{r}{\mu }_A(X)=(X-d_{i_1})\cdots (X-d_{i_k}).\end{array}$$

$\mathrm{△}$

Cambio de campos

En uno de los ejemplos argumentamos que el polinomio mínimo era $X^2+1$ porque este es irreducible sobre $\mathbb{R}$. Pero, ¿qué pasaría si cambiáramos nuestro campo a $\mathbb{C}$? La situación puede ser incluso más delicada: a una matriz con entradas racionales la podemos considerar como una instancia particular de una matriz con entradas reales, que a su vez podemos considerar como una matriz compleja. ¿Hay tres polinomios mínimos distintos? El siguiente teorema nos da una respuesta tranquilizante.

Teorema. Sean $F_1\subset F_2$ dos campos y $A\in M_n(F_1)$ una matriz, entonces el polinomio mínimo de $A$ vista como elemento de $M_n(F_1)$ y el polinomio mínimo de $A$ vista como elemento de $M_n(F_2)$ son iguales.

Demostración. Sea ${\mu }_1$ el polinomio de $A\in M_n(F_1)$ y ${\mu }_2$ el polinomio mínimo de $A\in M_n(F_2)$. Puesto que $F_1[X]\subset F_2[X]$, se tiene que ${\mu }_1\in F_2[X]$ y además ${\mu }_1(A)=0$ por definición. Luego ${\mu }_2$ necesariamente divide a ${\mu }_1$. Sean $d_1=\mathrm{deg}{\mu }_1$ y $d_2=\mathrm{deg}{\mu }_2$, basta verificar que $d_2\ge d_1$ y para que esto se cumpla basta con encontrar $P\in F_1[X]$ de grado a lo más $d_2$ tal que $P(A)=0$ (entonces ${\mu }_1$ dividiría a este polinomio y se sigue la desigualdad).

Desarrollando que ${\mu }_2(A)=0$ en todas sus letras (o mejor dicho, en todos sus coeficientes) se tiene

$$\begin{array}{r}{a}_0{I}_n+a_{1}A+\cdots +a_{d_2}{A}^{d_2}=O_n.\end{array}$$

Esto es equivalente a tener $n^2$ ecuaciones homogéneas en las variables $a_0,\dots ,a_{d_2}$. Como $A$ tiene entradas en $F_1$ los coeficientes de estas ecuaciones todos pertenecen a $F_1$. Tenemos un sistema de ecuaciones con coeficientes en $F_1$ que tiene una solución no trivial en $F_2$: tiene automáticamente una solución no trivial en $F_1$ por un ejercicio de la entrada de Álgebra Lineal I de resolver sistemas de ecuaciones usando determinantes. Esto nos da el polinomio buscado.

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Mínimos puntuales

Ahora hablaremos (principalmente a través de problemas resueltos) de otro objeto muy parecido al polinomio mínimo: el polinomio mínimo puntual. Este es, esencialmente un «polinomio mínimo en un punto». Más específicamente si $T:V\to V$ es lineal con polinomio mínimo ${\mu }_T$ y $x\in V$ definimos

$$\begin{array}{r}{I}_x=\{P\in F[X]\mid P(T)(x)=0\}.\end{array}$$

Nota que la suma y diferencia de dos elementos en $I_x$ también está en $I_x$.

Problema 1. Demuestra que existe un único polinomio mónico ${\mu }_x\in F[X]$ tal que $I_x$ es el conjunto de múltiplos de ${\mu }_x$ en $F[X]$. Más aún, demuestra que ${\mu }_x$ divide a ${\mu }_T$.

Solución. El caso $x=0$ se queda como ejercicio. Asumamos entonces que $x\ne 0$. Nota que ${\mu }_T\in I_x$ puesto que ${\mu }_T(T)=0$. Sea ${\mu }_x$ el polinomio mónico de menor grado en $I_x$. Demostraremos que $I_x={\mu }_x\cdot F[X]$.

Primero si $P\in {\mu }_x\cdot F[X]$ entonces por definición $P={\mu }_{x}Q$ para algún $Q\in F[X]$ y entonces

$$\begin{array}{r}P(T)(x)=Q(T)({\mu }_x(T)(x))=Q(T)(0)=0.\end{array}$$

Así $P\in I_x$, y queda demostrado que ${\mu }_x\cdot F[X]\subset I_x$.

Conversamente, si $P\in I_x$ podemos usar el algoritmo de la división para llegar a una expresión de la forma $P=Q{\mu }_x+R$ para algunos polinomios $Q,R$ con $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}{\mu }_x$. Supongamos que $R\ne 0$. Similarmente a como procedimos antes, se cumple que $R=P-Q{\mu }_x\in I_x$ dado que $I_x$ es cerrado bajo sumas y diferencias. Dividiendo por el coeficiente principal de $R$, podemos asumir que $R$ es mónico. Entonces $R$ es un polinomio mónico de grado estrictamente menor que el grado de ${\mu }_x$, una contradicción a nuestra suposición: ${\mu }_x$ es el polinomio de grado menor con esta propiedad. Luego $R=0$ y ${\mu }_x$ divide a $P$.

Así queda probado que si $P\in I_x$ entonces $P\in {\mu }_x\cdot F[X]$, lo que concluye la primera parte del problema. Para la segunda, vimos que ${\mu }_T\in I_x$ y por tanto ${\mu }_x$ divide a ${\mu }_T$.

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Problema 2. Sea $V_x$ el subespacio generado por $x,T(x),T^2(x),\dots$. Demuestra que $V_x$ es un subespacio de $V$ de dimensión $\mathrm{deg}{\mu }_x$, estable bajo $T$.

Solución. Es claro que $V_x$ es un subespacio de $V$. Además, dado que $T$ manda a generadores en generadores, también es estable bajo $T$. Sea $d=\mathrm{deg}{\mu }_x$. Demostraremos que $x,T(x),\dots ,T^{d-1}(x)$ forman una base de $V_x$, lo que concluiría el ejercicio.

Veamos que son linealmente independientes. Si $$a_{0}x+a_{1}T(x)+a_2{T}^2(x)+\cdots +a_{d-1}{T}^{d-1}(x)=0$$ para algunos escalares $a_i$ no todos cero, entonces el polinomio

$$\begin{array}{r}P=a_0+a_{1}X+\cdots +a_{d-1}{X}^{d-1}\end{array}$$

es un elemento de $I_x$, pues $P(T)(x)=0$. Luego ${\mu }_x$ necesariamente divide a $P$, pero esto es imposible puesto que el grado de $P$ es $d-1$, estrictamente menor que el grado de ${\mu }_x$. Luego los $a_i$ deben ser todos nulos, lo que muestra que $x,T(x),T^2(x),\dots ,T^{d-1}(x)$ es una colección linealmente independiente.

Sea $W$ el espacio generado por $x,T(x),\dots ,T^{d-1}(x)$. Afirmamos que $W$ es invariante bajo $T$. Es claro que $T(x)\in W$, similarmente $T(T(x))=T^2(x)\in W$ y así sucesivamente. El único elemento «sospechoso» es $T^{d-1}(x)$, para el cual basta verificar que $T(T^{d-1}(x))=T^d(x)\in W$. Dado que ${\mu }_x(T)(x)=0$ y ${\mu }_x$ es mónico de grado $d$, existen escalares $b_i$ (más precisamente, los coeficientes de ${\mu }_x$) no todos cero tales que

$$\begin{array}{r}{T}^d(x)+b_{d-1}{T}^{d-1}(x)+\cdots +b_{0}x=0.\end{array}$$

Esto nos muestra que podemos expresar a $T^d(x)$ en términos de $x,T(x),\dots ,T^{d-1}(x)$ y por tanto $T^d(x)$ pertenece a $W$.

Ahora, dado que $W$ es estable bajo $T$ y contiene a $x$, se cumple que $T^k(x)\in W$ para todo $k\ge 0$. En particular $V_x\le W$. Luego $V_x=W$ (la otra contención es clara) y $x,T(x),\dots ,T^{d-1}(x)$ genera a $W$, o sea a $V_x$.

Mostramos entonces que $x,T(x),\dots ,T^{d-1}(x)$ es una base para $V_x$ y así $\dim V_x=d$.

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Unos ejercicios para terminar

Presentamos unos últimos ejercicios para calcular polinomios mínimos.

Problema 1. Calcula el polinomio mínimo de $A$ donde

$$\begin{array}{r}A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).\end{array}$$

Solución. A estas alturas no tenemos muchas herramientas que usar. Comenzamos con calcular $A^2$:

$$\begin{array}{r}{A}^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).\end{array}$$

Entonces en particular $A^2=I_3$. Así, el polinomio mínimo ${\mu }_A$ tiene que dividir a $X^2-1$. Este último se factoriza como $(X-1)(X+1)$, pero es claro que $A$ no satisface ni $A-I_3=0$ ni $A+I_3=0$. Entonces ${\mu }_A$ no puede dividir propiamente a $X^2-1$, y por tanto tienen que ser iguales.

$\mathrm{△}$

Problema 2. Calcula el polinomio mínimo de la matriz $A$ con

$$\begin{array}{r}A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right).\end{array}$$

Solución. Nota como

$$\begin{array}{r}A-I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$

y es fácil verificar que el cuadrado de la matriz de la derecha es cero. Así $(A-I_2{)}^2=0$, o sea, el polinomio $P(X)=(X-1{)}^2$ anula a $A$. Similarmente al problema anterior, ${\mu }_A$ tiene que dividir a $P$, pero $P$ sólo tiene un factor: $X-1$. Dado que $A$ no satisface $A-I_2=0$ se tiene que ${\mu }_A$ no puede dividir propiamente a $P$, y entonces tienen que ser iguales. Luego ${\mu }_A=(X-1{)}^2=X^2-2X+1$.

$\mathrm{△}$

Más adelante…

En las entradas subsecuentes repasaremos los eigenvalores y eigenvectores de una matriz, y (como mencionamos) ligaremos el polinomio característico de una matriz con su polinomio mínimo para entender mejor a ambos.

Tarea moral

Aquí unos ejercicios para practicar lo que vimos.

1. Encuentra una matriz $A$ cuyo polinomio mínimo sea $X^2$. Para cada $n$, ¿puedes encontrar una matriz cuyo polinomio mínimo sea $X^n$?
2. Encuentra una matriz $A$ cuyo polinomio mínimo sea $X^2-1$. Para cada $n$, ¿puedes encontrar una matriz cuyo polinomio mínimo sea $X^n-1$?
3. Encuentra el polinomio de la matriz $A$ en $M_n(F)$ cuyas entradas son todas $1$.
4. Si $T:M_n(\mathbb{R})\to M_n(\mathbb{R})$ es la transformación que manda a cada matriz en su transpuesta, encuentra el polinomio mínimo de $T$.
5. Sea $V$ un espacio vectorial y $x,y$ vectores linealmente independientes. Sea $T:V\to V$ una transformación lineal. ¿Cómo son los polinomios $P$ tales que $P(T)$ se anula en todo el subespacio generado por $x$ y $y$? ¿Cómo se relacionan con los polinomios mínimos puntuales de $T$ para $x$ y $y$?

Entradas relacionadas

• Ir a Álgebra Lineal II
• Entrada anterior del curso: Aplicar polinomios a transformaciones lineales y matrices
• Siguiente entrada del curso: Eigenvectores y eigenvalores

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»