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Álgebra Lineal II: Ortogonalidad en espacios euclideanos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

Anteriormente, cuando hablamos del espacio dual de un espacio vectorial, definimos qué quería decir que una forma lineal y un vector fueran ortogonales. Esa noción de ortogonalidad nos ayudó a definir qué era un hiperplano de un espacio vectorial y a demostra que cualquier subespacio de dimensión $k$ de un espacio de dimensión $n$ podía ponerse como intersección de $n-k$ hiperplanos.

Hay otra noción de ortogonalidad en álgebra lineal que también ya discutimos en el primer curso: la ortogonalidad de parejas de vectores con respecto a un producto interior. En el primer curso vimos esta noción muy brevemente. Lo que haremos ahora es profundizar en esta noción de ortogonalidad. De hecho, gracias a las herramientas que hemos desarrollado podemos conectar ambas nociones de ortogonalidad.

Esta teoría la veremos de manera explícita en el caso real en la entrada. El caso en $\mathbb{C}$ queda esbozado en los ejercicios.

Definición de ortogonalidad

Comenzamos con las siguientes definiciones.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $b$ una forma bilineal de $V$. Diremos que dos vectores $x,y$ en $V$ son ortogonales (con respecto a $b$) si $b(x,y)=0$.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $b$ una forma bilineal de $V$. Sea $S$ un subconjunto de vectores de $V$. El conjunto ortogonal de $S$ (con respecto a $b$) consiste de todos aquellos vectores en $V$ que sean ortogonales a todos los vectores de $S$. En símbolos:

$$S^{\bot}:=\{v \in V : \forall s \in S, b(s,v)=0.$$

Es un buen ejercicio verificar que $S^\bot$ siempre es un subespacio de $V$. Finalmente, definimos la ortogonalidad de conjuntos.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $b$ una forma bilineal de $V$. Diremos que dos subconjuntos $S$ y $T$ son ortogonales (con respecto a $b$) si $S \subseteq T^{\bot}$.

En otras palabras, estamos pidiendo que todo vector de $S$ sea ortogonal a todo vector de $T$.

Observación. Si tenemos un espacio vectorial con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$ de norma $\norm{\cdot}$, entonces tenemos la fórmula $$\norm{x+y}^2=\norm{x}^2+2\langle x,y\rangle +\norm{y}^2.$$

De esta forma, $x$ y $y$ son ortogonales si y sólo si $$\norm{x+y}^2= \norm{x}^2+\norm{y}^2.$$ Podemos pensar esto como una generalización del teorema de Pitágoras.

Descomposición en un subespacio y su ortogonal

Comenzamos esta sección con un resultado auxiliar.

Teorema. Sea $V$ un espacio euclideano y $W$ un subespacio de $V$. Entonces $$V=W\oplus W^\bot.$$

Demostración. Sea $\langle \cdot,\cdot \rangle$ el producto interior de $V$. Para demostrar la igualdad que queremos, debemos mostrar que $W$ y $W^\bot$ están en posición de suma directa y que $V=W+W^\bot$.

Para ver que $W$ y $W^\bot$ están en posición de suma directa, basta ver que el único elemento en la intersección es el $0$. Si $x$ está en dicha intersección, entonces $\langle x, x \rangle =0$, pues por estar en $W^\bot$ debe ser ortogonal a todos los de $W$, en particular a sí mismo. Pero como tenemos un producto interior, esto implica que $x=0$.

Tomemos ahora un vector $v\in V$ cualquiera. Definamos la forma lineal $f:W\to \mathbb{R}$ tal que $f(u)=\langle u, v \rangle$. Por el teorema de representación de Riesz aplicado al espacio vectorial $V$ y a su forma lineal $f$, tenemos que existe un (único) vector $x$ en $W$ tal que $f(u)=\langle u, x \rangle$ para cualquier $u$ en $W$.

Definamos $y=v-x$ y veamos que está en $W^\bot$. En efecto, para cualquier $u$ en $W$ tenemos:

\begin{align*}
\langle u, y\rangle &= \langle u, v-x \rangle\\
&=\langle u, v \rangle – \langle u , x \rangle\\
&=f(u)-f(u)\\
&=0.
\end{align*}

De esta manera, podemos escribir $v=x+y$ con $x\in W$ y $y\in W^\bot$.

$\square$

En particular, el teorema anterior nos dice que la unión disjunta de una base de $W$ y una base de $W^\bot$ es una base de $V$. Por ello, tenemos el siguiente corolario.

Corolario. Sea $V$ un espacio euclideano y $W$ un subespacio de $V$. Entonces $$\dim{W}+\dim{W^\bot}=\dim{V}.$$

Tenemos un corolario más.

Corolario. Sea $V$ un espacio euclideano y $W$ un subespacio de $V$. Entonces $$(W^\bot)^\bot=W.$$

Demostración. Tanto $W$ como $(W^\bot)^\bot$ son subespacios de $V$. Tenemos que $W\subseteq (W^\bot)^\bot$ pues cualquier elemento de $W$ es ortogonal a cualquier elemento de $W^\bot$. Además, por el corolario anterior tenemos:

\begin{align*}
\dim{W}+\dim{W^\bot}&=\dim{V}\\
\dim{W^\bot}+\dim{(W^\bot)^\bot}&=\dim{V}.
\end{align*}

De aquí se sigue que $\dim{W} = \dim{(W^\bot)^\bot}$. Así, la igualdad que queremos de subespacios se sigue si un subespacio está contenido en otro de la misma dimensión, entonces deben de ser iguales.

$\square$

Proyecciones ortogonales

Debido al teorema anterior, podemos dar la siguiente definición.

Definición. Sea $V$ un espacio euclideano y $W$ un subespacio de $V$. La proyección ortogonal hacia $W$ es la transformación lineal $p_W:V\to W$ tal que a cada $v$ en $V$ lo manda al único vector $p_W(v)$ tal que $x-p_W(v)$ está en $W^\bot$.

Dicho en otras palabras, para encontrar a la proyección de $v$ en $W$ debemos escribirlo de la forma $v=x+y$ con $x\in W$ y $y\in W^\bot$ y entonces $p_W(v)=x$.

Distancia a subespacios

Cuando definimos la distancia entre conjuntos que tienen más de un punto, una posible forma de hacerlo es considerando los puntos más cercanos en ambos conjuntos, o en caso de no existir, el ínfimo de las distancias entre ellos. Esto da buenas propiedades para la distancia. En particular, cuando queremos definir la distancia de un punto $x$ a un conjunto $S$ hacemos lo siguiente.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial real con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$ de norma $\norm{\cdot}$. Sea $S$ un subconjunto de $V$ y $v$ un vector de $V$. Definimos la distancia de $v$ a $S$ como la menor posible distancia de $v$ hacia algún punto de $S$. En símbolos:

$$d(v,S):=\inf_{s\in S} d(v,s).$$

En general, puede ser complicado encontrar el punto que minimiza la distancia de un punto a un conjunto. Sin embargo, esto es más sencillo de hacer si el conjunto es un subespacio de un espacio con producto interior: se hace a través de la proyección al subespacio. Esto queda reflejado en el siguiente resultado.

Proposición. Sea $V$ un espacio euclideano con producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$ de norma $\norm{\cdot}$. Sea $W$ un subespacio de $V$ y sea $v$ un vector en $V$. Entonces $$d(v,W)=\norm{v-p_W(v)}.$$

Más aún, $p_W(v)$ es el único punto en $W$ para el cual se alcanza la distancia mínima.

Demostración. Por el teorema de descomposición en un subespacio y su ortogonal, sabemos que podemos escribir $v=x+y$ con $x$ en $W$ y con $y$ en $W^\bot$.

Tomemos cualquier elemento $w$ en $W$. Tenemos que $x-w$ está en $W$ y que $y$ está en $W^\bot$. Así, usando el teorema de Pitágoras tenemos que:

\begin{align*}
\norm{v-w}^2&=\norm{y+(x-w)}^2\\
&=\norm{y}^2+\norm{x-w}^2\\
&\geq \norm{y}^2\\
&=\norm{v-x}^2.
\end{align*}

Esto muestra que $\norm{v-w}\geq \norm{v-x}$. Como $x\in W$, esto muestra que la distancia de $v$ a $W$ en efecto se alcanza con $x=p_W(v)$, pues cualquier otra distancia es mayor o igual.

La igualdad en la cadena anterior de alcanza si y sólo si $\norm{x-w}^2=0$, lo cual sucede si y sólo si $x=w$, como queríamos.

$\square$

Más adelante…

En la siguiente entrada recordaremos varias de las ventajas que tiene contar con una base de un espacio vectorial en la que cualesquiera dos vectores sean ortogonales entre sí. Y en la entrada después de esa, recordaremos algunas hipótesis bajo las cuales podemos garantizar encontrar una de esas bases.

Tarea moral

  1. Resuelve los siguientes ejercicios:
    1. Sea $\mathbb{R}^3$ con el producto interno canónico y $W=\{(0,0,a_3) : a_3 \in \mathbb{R} \}$. Encuentra a $W^{\bot}$ y define la proyección ortogonal $p_W$ hacia $W$.
    2. Encuentra el vector en $\text{Span}((1,2,1), (-1,3,-4))$ que sea el más cercano (respecto a la norma euclidiana) al vector $(-1,1,1)$.
  2. Sea $V$ un espacio euclidiano y $T : V \to V $ una transformación lineal tal que $T^2=T$. Prueba que T es una proyección ortogonal si y solo si para cualesquiera $x$ y $y$ en $V$ se tiene que $$\langle T(x),y\rangle =\langle x,T(y)\rangle.$$
  3. Resuelve los siguientes ejercicios:
    1. Demuestra que una proyección ortogonal reduce la norma, es decir, que si $T$ es una proyección ortogonal, entonces $\norm{T(v)}\leq \norm{v}$.
    2. Prueba que una proyección ortogonal únicamente puede tener como eigenvalores a $0$ ó a $1$.
  4. Demuestra que la composición de dos proyecciones ortogonales no necesariamente es una proyección ortogonal.
  5. En el teorema de descomposición, ¿es necesaria la hipótesis de tener un producto interior? ¿Qué sucede si sólo tenemos una forma bilineal, simétrica y positiva?

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Álgebra Lineal II: Problemas de formas bilineales, cuadráticas y teorema de Gauss

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En las entradas anteriores nos dedicamos a recordar las definiciones y algunas propiedades de formas bilineales y cuadráticas en $\mathbb{R}^n$ con el fin de enunciar y demostrar el teorema de Gauss. La prueba da un método para representar cualquier forma cuadrática de este modo, pero es mucho más claro cómo se hace este método mediante ejemplos. En esta entrada veremos un par de problemas para seguir repasando formas bilineales y cuadráticas y luego veremos al teorema de Gauss en acción.

Ver que una función es una forma bilineal

Problema. Tomemos $V= \mathbb{R}^n$ y vectores $x,y$ en $V$ de coordenadas $x=(x_1, . . . , x_n)$ y $y =(y_1, . . . , y_n)$. Tomemos reales $a_1,\ldots, a_n$. Definamos a $b:V\times V\to \mathbb{R}$ como sigue:
\begin {align*} b(x,y)=a_1x_1y_1+ . . . + a_nx_ny_n.\end{align*}

Probemos que así definida, $b$ es una forma bilineal.

Solución. Para probar que $b$ es bilineal, probaremos que la función $b(x, \cdot)$ es lineal para cada $x \in \mathbb{R}^n$ fijo.

Sean $p,q \in \mathbb{R}^n$ y $\lambda \in \mathbb{R}$. Tenemos que:
\begin{align*} b(x,\lambda p+q)=a_1x_1(\lambda p_1 + q_1) + a_2x_2(\lambda p_2 + q_2)+ \dots a_nx_n(\lambda p_n + q_n).\end{align*}

Como todos los miembros de esta operación son números reales, utilicemos las propiedades distributiva y conmutativa. Obtenemos:

\begin{align*} b(x,\lambda p+q)=&\lambda a_1x_1p_1 + \lambda a_2x_2 p_2 + \dots + \lambda a_nx_n p_n + a_1x_1q_1+a_2x_2q_2+ \dots + a_nx_nq_n \\
&=\lambda (a_1x_1p_1 + a_2x_2 p_2 + \dots + a_nx_n p_n)+ (a_1x_1q_1+a_2x_2q_2+ \dots + a_nx_nq_n)\\&=\lambda b(x,p) + b(x,q). \end{align*}

La demostración de que la función $b(\cdot,y)$ también es lineal para cada $y\in \mathbb{R}^n$ fijo es análoga.

$\square$

En particular, si tenemos que $a_1, \ldots, a_n =1$, obtenemos que $b$ es el producto interno canónico de $\mathbb{R}^n$, es decir el producto punto.

Ver que una función no es una forma cuadrática

Problema. Sea $q: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ dada como sigue

\begin{align*} q(x,y)=x^2+y^2-8x. \end{align*}

¿Es $q$ una forma cuadrática?

Solución. La respuesta es que no. Con el fin de encontrar una contradicción, supongamos que $q$ sí es una forma cuadrática. Entonces su forma polar $b$ debe cumplir:

\begin{align*} b((x,y),(x,y))=x^2+y^2-8x.\end{align*}

Aplicando lo anterior al par $(-x,-y)$ obtendríamos:

\begin{align*} b((-x,-y),(-x,-y))=x^2+y^2+8x.\end{align*}

Por otro lado, sacando escalares en ambas entradas:

\begin{align*} b((-x,-y),(-x,-y))&=(-1)(-1)b((x,y),(x,y))\\&=b((x,y),(x,y)).\end{align*}

Juntando las igualdades, concluimos que

\begin{align*} x^2+y^2-8x=x^2+y^2+8x \end{align*}

por lo que

\begin{align*} 16x=0. \end{align*}

Pero esto no es cierto en general pues falla, por ejemplo, para la pareja $(1,0)$. Este error nació de suponer que $q$ era una forma cuadrática. Por lo tanto $q$ no es forma cuadrática.

$\square$

El teorema de Gauss en acción

Para simplificar el lenguaje, si logramos escribir a una forma cuadrática $q$ como nos dice el teorema de Gauss, es decir, de la forma \begin{align*} q(x)= \sum_{i=1}^r \alpha _i (l_i(x))^2,\end{align*} entonces diremos que $q$ es combinación cuadrática de las $l_i$ con coeficientes $\alpha_i$.

Problema. Toma la forma cuadrática $q$ de $\mathbb{R}^3$ definida como sigue:

\begin{align*} q(x,y,z)= 4xy+yz+xz \end{align*}

Escribe a $q$ como combinación cuadrática de formas lineales linealmente independientes.

Solución. Revisando la demostración dada en la entrada anterior, tenemos tres casos:

  • Que la forma cuadrática sea la forma cuadrática cero.
  • Que tenga «términos puros».
  • Que no tenga «términos puros», es decir, que tenga sólo «términos cruzados».

Como en este caso la forma $q$ no es la forma cero, ni aparecen términos $x^2$, $y^2$ o $z^2$, estamos en el tercer caso. La estrategia era tomar dos de las variables y separar los términos que sí las tengan de los que no. Luego, hay que usar las identidades:

\begin{align} AXY+BX+CY=A\left(X+\frac{C}{A}\right) \left(Y+\frac{B}{A}\right)-\frac{BC}{A},\end{align}

\begin{align} DE= \frac{1}{4}(D+E)^2 – \frac{1}{4} (D-E)^2.\end{align}

Tomemos por ejemplo $x$ y $y$. En la forma cuadrática todos los términos tienen $x$ ó $y$, así que podemos usar la identidad $(1)$ para escribir (nota que reordenamos algunos términos para hacer más cómodas las cuentas con las identidades):

\begin{align*}
4xy+zx+zy&= 4 \left(x+\frac{z}{4}\right) \left(y+\frac{z}{4}\right)-\frac{z^2}{4}
\end{align*}

Luego, continuamos mediante la identidad $(2)$:

\begin{align*}
= \left(x+y+\frac{z}{2}\right)^2 – (x-y)^2- \frac{1}{4} z^2.
\end{align*}

Esta expresión ya tiene la forma buscada. Tenemos que $q$ es combinación cuadrática de las formas lineales $x+y+\frac{z}{2}$, $x-y$ y $z$. Verifica que en efecto estas formas lineales son linealmente independientes.

$\square$

Cambiando el orden de los pasos

Problema. ¿Qué pasaría si en el ejemplo anterior en vez de hacer el paso inductivo con $x$ y $y$ hacemos el paso inductivo con $y$ y $z$?

Solución. Las cuentas cambian y obtenemos una nueva forma de escribir a $q$. En efecto, aplicando las identidades $(1)$ y $(2)$ pero ahora a $y$ y $z$ obtendríamos:

\begin{align*}
yz+4xy+xz&= (y+x) (z+4x)-4x^2\\
&=\frac{1}{4}(y+z+5x)^2-\frac{1}{4}(y-z-3x)^2-4x^2.
\end{align*}

Esta es otra forma válida de expresar a $q$ como combinación cuadrática de formas lineales linealmente independientes. Lo que nos dice es que la expresión para $q$ no necesariamente es única.

Sin embargo, un poco más adelante veremos que aunque haya muchas formas de expresar a $q$, en todas ellas permanece constante cuántos sumandos positivos y cuántos negativos hay.

$\square$

Cuidado con la independencia lineal

Problema. Toma la forma cuadrática $q$ de $\mathbb{R}^3$ definida como sigue:

\begin{align*} q(x,y,z)= (x – y)^2+(y – z)^2+ (z – x)^2 \end{align*}

Escribe a $q$ como combinación cuadrática de formas lineales linealmente independientes.

Solución. Sería fácil asumir que $q$ ya está de la forma deseada, sin embargo, una revisión rápida nos deja ver qué $x – y$, $y-z$ y $z-x$ no son linealmente independientes en $(\mathbb{R}^3)^*$.

Primero desarrollemos todo

\begin{align*} q(x,y,z)= 2x^2+2y^2+2z^2 -2xy-2xz-2yz \end{align*}

Ahora sí hay «términos puros» pues en particular el coeficiente de $x^2$ no es cero.

En este caso hay que pensar a $q$ como polinomio de segundo grado en $x$ para completar un cuadrado:

\begin{align*} 2x^2+&2y^2+2z^2 -2xy-2xz-2yz\\
&= 2 \left( x- \frac{y+z}{2}\right)^2 – \frac{(y+z)^2}{2} + 2y^2 +2z^2-2yz \end{align*}

La demostración asegura que inductivamente los términos sin $x$ (en este caso $ – \frac{(y+z)^2}{2} + 2y^2 +2z^2-2yz$)se pueden escribir como una combinación cuadrática de formas lineales linealmente independientes. Es decir, a ese término ahora podemos aplicar nuevamente el procedimiento hasta llegar a un caso pequeño.

Sin embargo, para nuestra suerte, una pequeña manipulación muestra que
\begin{align*} – \frac{(y+z)^2}{2} + 2y^2 +2z^2-2yz = \frac{3}{2}(y – z)^2.\end{align*}

También, afortunadamente, $y-z$ es linealmente independiente con $x- \frac{y+z}{2}$. De este modo, una posible combinación cuadrática es la siguiente:

\begin{align*} q(x,y,z)= 2 \left( x- \frac{y+z}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}(y – z)^2 \end{align*}

$\square$

El algoritmo

Con esto visto, podemos describir un algoritmo para encontrar una combinación cuadrática en 4 pasos.

  1. Desarrollar todos los términos $q$ si es necesario.
  2. Revisar qué forma tiene $q$ con respecto a los 3 casos que se vieron en la demostración.
  3. Reproducir el caso elegido de la demostración, dependiendo de la forma de $q$.
  4. Dentro de este paso, puede ser necesario repetir desde el paso 1.

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Propiedades de los ESPACIOS VECTORIALES

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

Nota: Para simplificar notación (sobre todo en las demostraciones): $0_K$ será $0$; $\theta_V$ será $\theta$ y dependiendo de los elementos que se operen, serán las operaciones del campo o del espacio vectorial. Y en las justificaciones de pasos, tendremos que un número $m$ seguido $K$, hará referencia a la propiedad $m$ de la definición de campo y análogamente si el número $m$ es seguido por $V$ será la propiedad $m$ de la definición de espacio vectorial.

Recordemos que, por ahora, dado $u$ en un espacio vectorial, tenemos que $\tilde u$ denota a su inverso aditivo.

Proposición (1): Sean $K$ un campo y $V$ un $K$ – espacio vectorial.
1. $0_K \cdot_V u = \theta_V$ $\forall u \in V$
2. $\lambda \cdot_V \theta_V = \theta_V$ $\forall \lambda\in K$

Demostración: Sean $u \in V$, $\lambda\in K$.
1. Tenemos por distributividad en $V$ que $(0+0)u=0u+0u$.
Y además, por ser $0$ el neutro de $K$ y $\theta$ el neutro de $V$, $(0+0)u=0u=\theta+0u$.
Así, $0u+0u=\theta+0u$.
De donde, $\widetilde{0u}+(0u+0u)=(\theta+0u)+\widetilde{0u}$
\begin{align*}
\Rightarrow &(\widetilde{0u}+0u)+0u=\theta+(0u+\widetilde{0u})\tag{asociat. $+_V$}\\
\Rightarrow &\theta+0u=\theta+\theta\tag{inv. ad. $V$}\\
\Rightarrow &0u=\theta\tag{neu. ad. $V$}\\
\end{align*}
2. Tenemos por distributividad en $V$ que $\lambda(\theta+\theta)= \lambda\theta+\lambda\theta$.
Y además, por ser $\theta$ el neutro de $V$, $\lambda(\theta+\theta)=\lambda\theta$.
Así, $\lambda\theta+\lambda\theta=\lambda\theta$.
De donde, $\widetilde{\lambda\theta}+(\lambda\theta+\lambda\theta)=\lambda\theta+\widetilde{\lambda\theta}$
\begin{align*}
\Rightarrow &(\widetilde{\lambda\theta}+\lambda\theta)+\lambda\theta=\lambda\theta_V+\widetilde{\lambda\theta}\tag{asociat. $+_V$}\\
\Rightarrow &\theta+\lambda\theta=\theta\tag{inv. ad. $V$}\\
\Rightarrow &\lambda\theta=\theta\tag{neu. ad. $V$}\\
\end{align*}

Proposición (2): Sean $K$ un campo y $V$ un $K$ – espacio vectorial.
Para todo $u \in V$, $(-1_K)\cdot_V u$ es el inverso aditivo de $u$.

Demostración: Sea $u\in V$.
Veamos que $u+(-1_K)u=\theta$
\begin{align*}
u+(-1_K)u&=1_Ku+(-1_K)u\tag{propiedad 5. campo}\\
&=(1_K+(-1_K))u\tag{distrib. 7.1 $V$}\\
&=0u\tag{inv. ad. $K$}\\
&=\theta\tag{Prop. (1)}\\
\therefore u+(-1_K)u=\theta
\end{align*}

Nota: Dada $u \in V$ denotaremos por $-u$ a su inverso aditivo.

Obs.* Existen resultados análogos para las dos proposiciones anteriores pero en el caso de los campos, y sus pruebas son también análogas.

Corolario: Sean $K$ un campo y $V$ un $K$ – espacio vectorial.
$(-\lambda)u=-(\lambda u)=\lambda(-u)$ $\forall \lambda \in K$ , $\forall u \in V$

Demostración: Sean $\lambda\in K, u\in V$.
Por un lado,
\begin{align*}
\lambda(-u)&=\lambda((-1_K)u)\tag{Prop. (2)}\\
&=(\lambda(-1_K))u\tag{propiedad 6. campo}\\
&=(-\lambda)u\tag{Obs.*}\\
\therefore\lambda(-u)=(-\lambda)u
\end{align*}
Por otro lado,
\begin{align*}
(-\lambda)u&=((-1_K)\lambda)u\tag{Obs.*}\\
&=(-1_K)(\lambda u)\tag{propiedad 6. campo}\\
&=-(\lambda u)\tag{Prop. (2)}\\
\therefore (-\lambda)u=-(\lambda u)
\end{align*}

Proposición (3): Sea $K$ un campo y $V$ un $K$ – espacio vectorial.
Si $\lambda\cdot_V u = \theta_V$, entonces se cumple al menos uno de los siguientes casos:
1. $\lambda = 0_K$
2. $u = \theta_V$

Demostración: Sup. que $\lambda u=\theta$.
Tenemos dos posibilidades:
i) $\lambda=0$
ii) $\lambda\not=0$

Si se cumple i), entonces ya tenemos el caso 1.

Sup. que se cumple ii). Veamos que $u=\theta$.
Como nuestra hipótesis es que $\lambda\not=0$ y $\lambda\in K$, con $K$ un campo, entonces $\exists(\lambda^{-1})\in K$ inverso multiplicativo de $\lambda$. Así,
\begin{align*}
\lambda u=\theta\Rightarrow &(\lambda^{-1})(\lambda u)=(\lambda^{-1})\theta\\
\Rightarrow &((\lambda^{-1})\lambda)u=(\lambda^{-1})\theta\tag{propiedad 6. esp. vect.}\\
\Rightarrow &((\lambda^{-1})\lambda)u=\theta\tag{Prop. (1)}\\
\Rightarrow &1_Ku=\theta\tag{inv. mult. $K$}\\
\Rightarrow &u=\theta\tag{propiedad 5. campo}\\
\end{align*}

Nota: En adelante, $K$ denotará un campo.

TAREA MORAL

Sea $K$ un campo. Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial. Demuestra que para cualesquiera $u,v,w \in V$ se cumplen las siguientes propiedades de cancelación:

  1. Si $u+v=w+v$, entonces $u=w$.
    Para lograrlo, se te sugiere realizar lo siguiente:
    • Primero sup. que $u+v=w+v$ y justifiquemos por qué tiene que suceder que $u=w$.
    • Podemos sumar a la derecha de cada lado de la igualdad el inverso de $v$.
    • Una vez hecho eso, utiliza la asociatividad de la suma en $V$, luego la definición del inverso de $v$ y por último la definición del neutro aditivo en $V$.
  1. Si $v+u=v+w$, entonces $u=w$.
    Para lograrlo, se te sugiere realizar lo siguiente:
    • Primero sup. que $u+v=w+v$ y justifiquemos por qué tiene que suceder que $u=w$.
    • Piensa en qué propiedad de la $+$ en $V$ te permite tener una ecuación de la forma que se presenta en el $1$. Una vez teniendo esa forma, por lo que ya probaste, obtienes lo que se necesitaba.
      • Observa que haciendo un proceso totalmente análogo a este inciso, se obtiene que también se cumple la cancelación si es de la forma $u+v=v+w$, o bien, de la forma $v+u=w+v$.

MÁS ADELANTE…

Ahora vamos a usar el concepto de espacio vectorial para obtener otro concepto: subespacio.

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Definición y ejemplos con demostración de ESPACIOS VECTORIALES

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

INTRODUCCIÓN

A partir del interés de establecer métodos para resolver ecuaciones de tercer grado por medio de radicales, los matemáticos se encuentran con las raíces negativas e imaginarias. El concepto de número imaginario logra superponerse al paradigma y encuentra su lugar a través de su representación geométrica.

El físico William Rowan Hamilton se interesó por establecer propiedades de las operaciones entre números complejos y sostuvo que el álgebra tenía una relación muy estrecha con la física. Motivado con esta idea, establece conjuntos de números dotados de una estructura algebraica con una representación espacial muy útil para los trabajos en física. Sus propiedades resultan similares a las que actualmente se tienen para el producto escalar y vectorial.

Los cuaterniones de Hamilton son números de la forma: $P=a+bi+cj+dk$.
Donde $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ y $k=ij=-ji$ es una unidad imaginaria.

En el álgebra lineal el concepto de «vector» adquiere su significado más general.

ESPACIO VECTORIAL

Definición: Sean $V$ un conjunto y sea $K$ un campo (con las operaciones $+_K$ y $\cdot_K$). Sean $+_V: V \times V \longrightarrow V$ y $\cdot_V: K \times V \longrightarrow V$ operaciones. Decimos que $V,+_V,\cdot_V$ es un espacio vectorial sobre el campo $K$, o bien un $K$ – espacio vectorial (y a los elementos de $K$ les llamamos vectores), si $+_V$ y $\cdot_V$ cumplen lo siguiente:

  1. $+_V$ es asociativa
    $\forall u,v,w \in V:$
    $(\,u+_V(v+_V w)=(u+_V v)+_V w\,)$
  2. $+_V$ es conmutativa
    $\forall u,v \in V:$
    $(\,u+_V v=v+_V u\,)$
  3. Existe neutro aditivo
    $\exists \theta_V \in V:$
    $\forall u \in V (\,\theta_V +_V u = u +_V \theta_V = u\,)$
  4. Todo elemento $u \in V$ tiene inverso aditivo
    $\forall u \in V:$
    $\exists \tilde {u} \in V (\,u+_V \tilde {u} = \tilde {u} +_V u = \theta_V\,)$
  1. $\forall u \in V:$
    $1_K \cdot_V u = u$
  2. $\forall \lambda,\mu \in K \forall u \in V:$
    $\lambda\cdot_K(\mu\cdot_K u)=(\lambda\cdot_K\mu)\cdot_V u$
  3. $\cdot_V$ es distributiva
    7.1 $\forall \lambda,\mu \in K \forall u \in V:$
    $(\lambda+_K\mu)\cdot_V u = (\lambda\cdot_V u)+(\mu\cdot_V u)$
    7.2 $\forall \lambda \in K \forall u,v \in K:$
    $\lambda\cdot_V(u+v)=\lambda\cdot_V u+\lambda\cdot_V v$

Nota: Es común encontrar la expresión «$V$ es un $K$ – espacio vectorial con las operaciones $+, \cdot$» en lugar de «$V,+,\cdot$ es un $K$ – espacio vectorial», al igual que «$V$ es un $K$ – espacio vectorial» sin la referencia a las operaciones cuando se trata de las usuales (se suponen por obviedad).

Nota: Para evitar confusiones, en caso de ser necesario, denotaremos por $u+_V v$ a la suma de los vectores $u$ y $v$, y por $\lambda\cdot_V v$ al producto del escalar $\lambda$ por el vector $v$, pero una vez que nos habituemos a ellas las denotaremos simplemente por $u+v$ y $\lambda v$.

Ejemplos:

  • $\mathbb{R}^n$ es un $\mathbb{R}$ – espacio vectorial con la suma y el producto por escalar usuales.
  • $<(1,1,1)> = \{\lambda(1,1,1):\lambda \in \mathbb{R} \}$ es un $\mathbb{R}^n$ – espacio vectorial.
  • Sea $K$ campo. $\mathcal{M}_{m\times n}(K)$ (las matrices con $m$ renglones y $n$ columnas, con entradas en $K$) es un $K$ – espacio vectorial con las operaciones usuales de suma y producto por escalar.
  • Sea $K$ campo. $K[x]$ (los polinomios en $x$ con coeficientes en $K$) es un $K$ – espacio vectorial con la suma y el producto por escalar usuales.
  • Sea $K$ campo. $K^{n} = \{(x_{1}, x_{2},…,x_{n}) : x_{1},x_{2},…,x_{n} \in K \}$ es un $K$ – espacio vectorial con la suma entrada a entrada y el producto definido como sigue:
    Sean $(x_{1},x_{2},…,x_{n}) \in K^{n}$, $\lambda \in K$. $\lambda \cdot (x_{1},x_{2},…,x_{n})=(\lambda x_{1}, \lambda x_{2},…,\lambda x_{n})$
  • Sea $K$ campo. $K^{\infty} = \{(x_{1}, x_{2},…) : x_{1},x_{2},… \in K \}$ es un $K$ – espacio vectorial con la suma entrada a entrada y el producto definido como sigue:
    Sean $(x_{1},x_{2},…) \in K^{n}$, $\lambda \in K$. $\lambda \cdot (x_{1},x_{2},…)=(\lambda x_{1}, \lambda x_{2},…)$

EJEMPLO FUNCIONES

Sea $K$ campo. $V=\{f|f:K \longrightarrow K\}$ es un $K$ – espacio vectorial con las operaciones $+_V$ y $\cdot_V$ definidas como sigue:

Sean $f,g \in V$, $\lambda \in K$.
$f +_V g : K \longrightarrow K$
$(f +_V g )(x) = f(x) +_K g(x)$ para todo $x\in K$ donde $+_K$ es la suma en $K$.

Sean $f \in V$, $\lambda \in K$.
$\lambda \cdot_V f : K \longrightarrow K$
$(\lambda \cdot_V f )(x) =\lambda \cdot_K f(x)$ para todo $x\in K$
donde $\cdot_K$ es el producto en $K$.

DEMOSTRACIÓN

Vamos a ver que las operaciones $+_V$, $\cdot_V$ cumplen las ocho condiciones suficientes y necesarias (por definición) para que $V$ sea espacio vectorial:

Sean $f,g,h \in V$, $\lambda, \mu \in K$.
Sea $x \in K$ arbitrario.

  1. P.D. $+_V$ es asociativa
    $i. e.$ $(f +_V g) +_V h = f +_V (g +_V h)$

Obs. 1 Tenemos que $f +_V g, g +_V h \in V$. Así, $(f +_V g) +_V h, f +_V (g +_V h) \in V$. Así que sólo falta ver que $(f +_V g) +_V h$ y $f +_V (g +_V h)$ tienen la misma regla de correspondencia.

\begin{align*}
((f +_V g) +_V h)(x) &= (f +_V g)(x) +_K h(x)\tag{def. $+_V$}\\
&= (f(x) +_K g(x)) +_K h(x)\tag{def. $+_V$}\\
&= f(x) +_K (g(x) +_K h(x))\tag{asociat. $+_K$}\\
&= f(x) +_K (g +_V h)(x)\tag{def. $+_V$}\\
&= (f +_V (g +_V h))(x)\tag{def. $+_V$}\\
\therefore (f +_V g) +_V h &= f +_V (g +_V h)
\end{align*}

  1. P.D. $+_V$ es conmutativa
    $i.e.$ $f +_V g = g +_V f$

Obs. 2 Tenemos que $f +_V g, g +_V f \in V$. Así que sólo falta ver que $f +_V g$ y $g +_V f$ tienen la misma regla de correspondencia.

\begin{align*}
(f +_V g)(x) &= f(x) +_K g(x)\tag{def. $+_V$}\\
&= g(x) +_K f(x)\tag{conmutat. $+_K$}\\
&= (g +_V f)(x)\tag{def. $+_V$}\\
\therefore f +_V g &= g +_V f
\end{align*}

  1. P.D. Existe neutro aditivo
    $i.e.$ $\exists \theta_V \in V:$
    $\theta_V +_V f = f +_V \theta_V = f$

Proponemos:
$\theta_V : K \longrightarrow K$ con
$\theta_V(x) = 0_K$ para todo $x\in K$
donde $0_K$ es neutro aditivo de $K$.

Obs. 3 Por construcción $\theta_V \in V$. Así, $f +_V \theta_V, \theta_V +_V f \in V$. Además, por $2$, se cumple que $\forall f \in V (\theta_V +_V f = f +_V \theta_V)$. Entonces sólo falta ver que $f +_V \theta_V$ y $f$ tienen la misma regla de correspondencia.

\begin{align*}
(f +_V \theta_V)(x) &= f(x) +_K \theta_V(x)\tag{def. $+_V$}\\
&= f(x) +_K 0_K\tag{def. $\theta_V$}\\
&= f(x)\tag{neutro ad.}\\
\therefore \theta_V +_V f = f +_V \theta_V
\end{align*}

  1. P.D. Todo elemento $f \in V$ tiene inverso aditivo
    $i.e.$ $\exists \tilde{f} \in V:$
    $f+ \tilde{f} = \tilde{f} + f = \theta_V$

Proponemos:
$\tilde{f} : K \longrightarrow K$ con
$\tilde{f}(x)=(-f(x))$ para todo $x\in K$
donde $(-f(x))$ es el inverso aditivo de $f(x) \in K$.

Obs. 4 Por construcción $\tilde{f} \in V$. Así, $f +_V \tilde{f}, \tilde{f} +_V f \in V$. Además, por $2$, se cumple que $\forall f \in V (f +_V \tilde{f} = \tilde{f} +_V f \in V)$. Entonces sólo falta ver que $f +_V \tilde{f}$ y $\theta_V$ tienen la misma regla de correspondencia.

\begin{align*}
(f +_V \tilde{f})(x) &= f(x) +_K \tilde{f}(x)\tag{def. $+_V$}\\
&= f(x) +_K (-f(x)) \tag{def. $\tilde{f}$}\\
&= 0_K\tag{inv. ad.}\\
&= \theta_V (x)\tag{def. $\theta_V$}\\
\therefore f +_V \tilde{f} = \tilde{f} +_V f = \theta_V
\end{align*}

  1. P.D. $1_K \cdot_V f = f$

Sea $1_K$ el neutro multiplicativo en $K$.

Obs. 5 Por construcción $1_K \in K$. Así, $1_K \cdot_V f \in V$. Así que sólo falta ver que $1_K \cdot_V f$ y $f$ tienen la misma regla de correspondencia.

\begin{align*}
(1_K \cdot_V f)(x) &= 1_K \cdot_K f(x)\tag{def. $\cdot_V$}\\
&= f(x)\tag{neut. mult.}\\
\therefore 1_V \cdot_V f = f
\end{align*}

  1. P.D. $\lambda\cdot_V(\mu\cdot_V f)=(\lambda\cdot_K\mu)\cdot_V f$

Obs. 6 Por construcción $\mu\cdot_V f \in V$. Así, $\lambda\cdot_V(\mu\cdot_V f) \in V$. También tenemos que $\lambda\cdot_K\mu\in K,$ por lo cual $(\lambda\cdot_K\mu)\cdot_V f\in V$ Entonces sólo falta ver que $\lambda\cdot_V(\mu\cdot_V f)$ y $(\lambda\cdot_K\mu)\cdot_V f$ tienen la misma regla de correspondencia.

\begin{align*}
(\lambda\cdot_V(\mu\cdot_V f))(x) &= \lambda \cdot_K (\mu\cdot_V f)(x)\tag{def. $\cdot_V$}\\
&= \lambda\cdot_K(\mu\cdot_K f(x))\tag{def. $\cdot_V$}\\
&= (\lambda\cdot_K\mu)\cdot_K f(x)\tag{asociat. $\cdot_K$}\\
&= ((\lambda\cdot_K\mu)\cdot_V f)(x)\tag{def. $\cdot_V$}\\
\therefore \lambda\cdot_V(\mu\cdot_V f)=(\lambda\cdot_K\mu)\cdot_V f
\end{align*}

  1. P.D. Se cumple la distributividad (7.1)
    $i.e.$ $(\lambda +_K \mu)\cdot_V f=(\lambda\cdot_V f) +_V (\mu\cdot_V f)$

Obs. 7 Tenemos que $\lambda,\mu,\lambda +_K \mu \in K$. Así, $(\lambda +_K \mu)\cdot_V f, (\lambda\cdot_V f) +_V (\mu\cdot_V f) \in V$. Así que solo falta ver que $(\lambda +_K \mu)\cdot_V f$ y $(\lambda\cdot_V f) +_V (\mu\cdot_V f)$ tienen la misma regla de correspondencia.

\begin{align*}
((\lambda +_K \mu)\cdot_V f)(x) &= (\lambda +_K \mu)\cdot_K f(x)\tag{def. $+_V$}\\
&= (\lambda\cdot_K f(x)) +_K (\mu\cdot_K f(x))\tag{distrib.}\\
&= ((\lambda\cdot_V f)(x)) +_K ((\mu\cdot_V f)(x))\tag{def. $\cdot_V$}\\
&= ((\lambda\cdot_V f) +_V (\mu\cdot_V f))(x))\tag{def. $\cdot_V$}\\
\therefore (\lambda +_K \mu)\cdot_V f=(\lambda\cdot_V f) +_V (\mu\cdot_V f)
\end{align*}

  1. P.D. Se cumple la distributividad (7.2)
    $i.e.$ $\lambda \cdot_V (f +_V g)= (\lambda \cdot_V f) +_V(\lambda \cdot_V g)$

Obs. 8 Tenemos que $\lambda \cdot_V (f +_V g), \lambda \cdot_V f, \lambda \cdot_V g \in V$. Así, $(\lambda \cdot_V f) +_V(\lambda \cdot_V g) \in V$. Entonces sólo falta ver que $\lambda \cdot_V (f +_V g)$ y $(\lambda \cdot_V f) +_V(\lambda \cdot_V g)$ tienen la misma regla de correspondencia.

\begin{align*}
(\lambda \cdot_V (f +_V g))(x) &= \lambda \cdot_K (f +_V g)(x)\tag{def. $\cdot_V$}\\
&= \lambda \cdot_K (f(x) +_K g(x))\tag{def. $+_V$}\\
&= (\lambda \cdot_K f(x)) +_K (\lambda \cdot_K g(x))\tag{distrib.}\\
&= ((\lambda \cdot_V f)(x)) +_K ((\lambda \cdot_V g)(x))\tag{def. $\cdot_V$}\\
&= ((\lambda \cdot_V f) +_V (\lambda \cdot_V g))(x)\tag{def. $+_V$}\\
\therefore \lambda \cdot_V (f +_V g)= (\lambda \cdot_V f) +_V(\lambda \cdot_V g)
\end{align*}

Por lo tanto $V=\{f|f:K \longrightarrow K\}$ es un $K$ – espacio vectorial con las operaciones $+_V$ y $\cdot_V$ trabajadas.

TAREA MORAL

  1. Encuentra un $K$ campo dentro de los ejemplos de la entrada anterior con el cual $\mathcal{M}_{m\times n}(K)$ sea un $K$ – espacio vectorial con una cantidad finita de elementos. Si $K$ no es concreto, exhibe un caso particular de ese campo y una vez que lo hagas, muestra todos los elementos del espacio vectorial obtenido.
  1. Demuestra que el neutro aditivo de $V$, un $K$ – espacio vectorial, es único.
    Para lograrlo, se te sugiere realizar lo siguiente:
    • Sabemos por la definición de espacio vectorial, que existe $\theta_V$ neutro.
    • Primero sup. que existe ${\theta_V}’ \in V$ que también lo es. Con el objetivo de demostrar que $\theta_V = {\theta_V}’$.
    • Ahora justifica cada una de las siguientes igualdades:
      $\theta_V = \theta_V +_V {\theta_V}’ = {\theta_V}’$
  1. Demuestra que los inversos aditivos en $V$ son únicos.
    Para lograrlo, se te sugiere realizar lo siguiente:
    • Sea $u \in V$. Sabemos por la definición de campo, que existe $\tilde{u} \in V$ inverso aditivo de $u$.
    • Primero sup. que existe $\tilde{u}’ \in V$ que también lo es. Con el objetivo de demostrar que $\tilde{u} = \tilde{u}’$.
    • Ahora justifica cada una de las siguientes igualdades:
      $\tilde{u} = \tilde{u} +_V \theta_V = \tilde{u} + (u + \tilde{u}’) = (\tilde{u} + u) + \tilde{u}’$
    • Completa la demostración con las igualdades necesarias y justifícalas.

MÁS ADELANTE…

Ahora analizaremos algunas propiedades de los espacios vectoriales, una de ellas nos dice quién es el elemento neutro dado el espacio vectorial. Además de dos identidades del elemento neutro.

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Definiciones y ejemplos de CAMPO y SUBCAMPO

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

El ser humano ha hecho un fascinante trabajo construyendo modelos para facilitar la resolución de problemas concretos. Muchos de estos problemas tienen un carácter lineal, es decir, pueden plantearse mediante ecuaciones lineales con coeficientes en algún «conjunto especial» de números y con unas cuantas variables.

El Papiro Rhind considera ecuaciones de primer grado y es el documento matemático más antiguo hallado.

Así es, nos facilitamos la vida reduciendo casi todo a «talachita»: operaciones. Y como buena rama de las matemáticas, esto de «operar» vamos a abstraerlo. Ya no sólo se tratará de números, si no de conjuntos (de «lo que sea») y operaciones («las que sean») que cumplan ciertas condiciones.

CAMPO

Definición: Sea $K$ un conjunto con dos operaciones binarias $+: K \times K \longrightarrow K$ y $\cdot: K \times K \longrightarrow K$. Decimos que $K$ es un campo (y a sus elementos los llamamos escalares) si se cumplen las siguientes propiedades:

  • $+$ es asociativa
    $\forall \alpha ,\beta ,\gamma \in K:$
    $\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$
  • $+$ es conmutativa
    $\forall \alpha,\beta \in K:$
    $\alpha+\beta=\beta+\alpha$
  • Existe un neutro aditivo
    $\exists 0_K \in K:$
    $\forall \alpha \in K (0_K + \alpha = \alpha + 0_K = \alpha)$
  • Todo elemento $\alpha \in K$ tiene un inverso aditivo
    $\forall \alpha \in K:$
    $\exists (-\alpha) \in K (\alpha+ (-\alpha) = (-\alpha)+\alpha = 0_K)$
  • $\cdot$ distribuye a $+$
    $\forall \alpha,\beta,\gamma \in K:$
    $\alpha\cdot(\beta + \gamma)=\alpha\cdot\beta + \alpha\cdot\gamma$
  • $\cdot$ es asociativa
    $\forall \alpha,\beta,\gamma \in K:$
    $\alpha\cdot(\beta\cdot\gamma)=(\alpha\cdot\beta)\cdot\gamma$
  • $\cdot$ es conmutativa
    $\forall \alpha,\beta \in K:$
    $\alpha\cdot\beta=\beta\cdot\alpha$
  • Existe un neutro multiplicativo
    $\exists 1_K \not= 0_K \in K:$
    $\forall \alpha \in K (1_K \cdot \alpha = \alpha \cdot 1_K = \alpha)$
  • Todo elemento $\alpha \not= 0_K \in K$ tiene un inverso multiplicativo
    $\forall \alpha \not= 0_K \in K:$
    $\exists \alpha^{-1} \in K (\alpha \cdot \alpha^{-1} = \alpha^{-1} \cdot \alpha = 1_K)$

Nota: En un campo vectorial: los neutros (aditivo y multiplicativo) y los inversos (aditivos y multiplicativos) son únicos. Por ello, desde la definición se han denotado de esa manera. Como parte de la tarea moral al final de esta entrada encontrarás ideas para realizar las demostraciones de estas unicidades.

Nota: Para simplificar notación, el producto $\alpha\cdot\beta$ se suele denotar como $\alpha\beta$.

Nota: Si es necesario aclarar que las operaciones con las que se está trabajando están definidas en el campo $K$, se suelen denotar como $+_K$ y $\cdot_K$.

Ejemplos:

  • $\mathbb{R} , \mathbb{Q} , \mathbb{C}$
    con la suma y producto usual respectivamente
  • $\{y+y\sqrt{2} : x,y \in \mathbb{Q}\}$
    con la suma y el producto usual
  • $\mathbb{Z}_p = \{\overline {0},\overline {1},…,\overline {p-1}\}$
    donde $p$ es primo y $\forall \overline {x}, \overline {y} \in \mathbb{Z}_p$ las operaciones son
    $\overline {x} + \overline {y} = \overline {x+y}$
    $\overline {x} \cdot \overline{y} = \overline {x \cdot y}$
    con $x+y$ la suma usual en $\mathbb{Z}$, $x \cdot y$ el producto usual en $\mathbb{Z}$

¿Cómo funciona $\mathbb{Z}_n$ con $n \in \mathbb{N}$?

$\mathbb{Z}_n$ con $n\in\mathbb{N}^+$ es el conjunto llamado enteros módulo $n$ cuyos $n$ elementos son de la forma $\overline {k}$ $= \{a \in \mathbb{Z} | a \equiv k (mód\, n) \} = \{a \in \mathbb{Z} | a – k = mn, m \in \mathbb{Z} \}$. Es decir, la clase de $k$, con $k \in \mathbb{Z}$ es el conjunto de los números enteros $a$ tales que $a-k$ es múltiplo de $n$.

Obs *. $\overline {k} = \overline {l}$ para toda $l \equiv k$ $(mód\, n)$ pues los elementos de $\overline {k}$ son aquellos congruentes entre sí, módulo $n$.

Ejemplo concreto: $\mathbb{Z}_3$

Tenemos que $\mathbb{Z}_3 = \{ \overline {0}, \overline {1}, \overline {2} \} = \{ \{…, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, … \}, \{…, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, …\}, \{…, -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, … \} \}$

Comprobemos que $\mathbb{Z}_3$ es un campo con las operaciones definidas anteriormente.

Tabla de Cayley de $\mathbb{Z}_3$:

$+$$\overline {0}$$\overline {1}$$\overline {2}$
$\overline {0}$$\overline {0+0} = \overline {0}$$\overline {0+1} = \overline {1}$$\overline {0+2} = \overline {2}$
$\overline {1}$$\overline {1+0} = \overline {1}$$\overline {1+1} = \overline {2}$ $\overline {1+2} = \overline {3} = \overline {0}$
$\overline {2}$$\overline {2+0} = \overline {2}$$\overline {2+1} = \overline {3} = \overline {0}$$\overline {2+2} = \overline {4} = \overline {1}$
$\cdot$$\overline {0}$$\overline {1}$$\overline {2}$
$\overline {0}$$\overline {0 \cdot 0} = \overline {0}$$\overline {0 \cdot 1} = \overline {0}$$\overline {0 \cdot 2} = \overline {0}$
$\overline {1}$$\overline {1 \cdot 0} = \overline {0}$$\overline {1 \cdot 1} = \overline {1}$ $\overline {1 \cdot 2} = \overline {2} = \overline {2}$
$\overline {2}$$\overline {2 \cdot 0} = \overline {0}$$\overline {2 \cdot 1} = \overline {2}$$\overline {2 \cdot 2} = \overline {4} = \overline {1}$

Así, es fácil ver que:

  • $+$ y $\cdot$ son asociativas y conmutativas.
  • El único neutro aditivo es $\overline {0}$.
  • El único neutro multiplicativo es $\overline {1}$.
  • Dado $\overline {k} \in \mathbb{Z}_3$ su único inverso aditivo es $\overline {-k}$.
  • Dado $\overline {k} \not= \overline {0} \in \mathbb{Z}_3$ su único inverso multiplicativo es $\overline {k}$

Existencia y exhibición de inversos multiplicativos en $\mathbb{Z}_p$

Ahora veamos un resultado que será muy útil para entender por qué $\mathbb{Z}_n$ con $n \in \mathbb{N}^+$ es un campo si y sólo si $n$ es un primo y para saber cómo obtener el inverso multiplicativo de un elemento dado.

Sea $K=\mathbb{Z}_n$.
Sea $\overline{k}\not= 0_K\in K$. Con el fin de simplificar la demostración, tomaremos $k\in\{0,1,…,n-1\}$ recordando que, de este modo, estamos considerando cualquier posible elemento de $\mathbb{Z}_n$.
$\overline{k}$ tiene inverso $\overline{j}\in K$ si y sólo si
\begin{align*}
&\overline{k}\cdot\overline{j}=\overline{1}\\
\Leftrightarrow &\overline{k\cdot j}=\overline{1}\tag{def. $\cdot_K$}\\
\Leftrightarrow &k\cdot j\,\equiv 1 (mód\, n)\tag{Obs *}\\
\Leftrightarrow &k\cdot j \,-\, 1 = qn, q \in \mathbb{Z}\tag{def. $a \equiv b (mód\, n)$}\\
\Leftrightarrow &k \cdot j + (-q) \cdot n = 1, (-q) \in \mathbb{Z}\\
\Leftrightarrow &(k,n)\text{ divide a } 1\tag{Prop.del máximo común divisor}\\
\therefore (k,n) = 1
\end{align*}

Para que $K = \mathbb{Z}_n$ sea un campo, necesitamos que cada $\overline {k} \not= 0_K \in K$ tenga inverso multiplicativo. Por lo tanto se debe cumplir que $(k,n) = 1$ para toda $k \in \{ 0, 1, …, n-1 \}$. Notamos que si $n$ no fuera primo, entonces $n = ab$ con $2 \le a,b \le n-1$. De modo que existe $a \in \{ 1, …, n-1 \}$ tal que $(a,n) = a \not= 1$ y entonces en este caso $K = \mathbb{Z}_n$ no es un campo. A la inversa, si $K = \mathbb{Z}_p$ con $p$ un primo, entonces para cada $a \in \{1, …, n-1 \}$ tenemos que $(a,p)=1$, y por lo anterior $\overline {a}$ tiene un inverso multiplicativo. Así, $K = \mathbb{Z}_p$ es un campo.

Además, dado $\overline {k} \not= \overline {0} \in \mathbb{Z}_p$ con $p$ primo, sabemos, por ser $\mathbb{Z}_p$ un campo, que existe su inverso multiplicativo $\overline {j} \in \mathbb{Z}_p$ y se cumple que $(k,n) = 1$. Para encontrar el inverso multiplicativo de $\overline {k}$ bastaría encontrar $l,m \in \mathbb{Z}$ tales que $k \cdot l + m \cdot n = 1$, para lo cual podemos usar el algorimo de Euclides, y así obtendremos que si tomamos $j=l$, entonces $\overline {j}$ es el elemento que queríamos.

SUBCAMPO

Definición: Sean $K$ un campo y $\tilde {K} \subseteq K$. Decimos que $\tilde {K}$ es un subcampo de $K$ si $\tilde {K}$ con las operaciones restringidas de $K$ es por sí mismo un campo.

Ejemplos:

  • $\mathbb{Q}$ es un subcampo de $\mathbb{R}$
  • $\mathbb{R}$ es un subcampo de $\mathbb{C}$

Propiedad

  • Si $K$ es un campo, entonces cualquiera de sus elementos $\alpha$ cumple que
    $\alpha \cdot 0_K = 0_K$.

Demostración: Sea $\alpha \in K$.
Sea $(-\alpha) \in K$ su inverso aditivo.
Como $0_K$ es el neutro aditivo, $0_K + 0_K = 0_K$.
De donde,
\begin{align*}
&\alpha \cdot (0_K + 0_K) = \alpha \cdot 0_K\\
\Rightarrow &\alpha \cdot 0_K + \alpha \cdot 0_K = \alpha \cdot 0_K\tag{distrib.}\\
\Rightarrow &(\alpha \cdot 0_K + \alpha \cdot 0_K) + (-(\alpha \cdot 0_K)) = \alpha \cdot 0_K + (-(\alpha \cdot 0_K))\tag{inv. ad.}\\
\Rightarrow &\alpha \cdot 0_K + (\alpha \cdot 0_K +( -(\alpha \cdot 0_K))) = \alpha \cdot 0_K + (-(\alpha \cdot 0_K))\tag{asociat.}\\
\Rightarrow &\alpha \cdot 0_K + 0_K = 0_K\tag{inv. ad.}\\
\Rightarrow &\alpha \cdot 0_K = 0_K\tag{neutro ad.}\\
\end{align*}

Nota: Es por esta afirmación que se definen los inversos multiplicativos para los elementos distintos de $0_K$.

Característica de un campo

Definición: Sea $K$ un campo. Se le llama característica de $K$, y se denota como $car(K)$ al menor número natural $n$ tal que $\underbrace{1_K + … + 1_K}_{n} = 0_K$ si acaso existe.
En caso contrario, decimos que $car(K)$ es cero.

Obs. La característica de un campo no puede ser 1 (es decir, si no es cero, entonces es mayor o igual a 2) pues por definición $1_K \not= 0_K$. Y más que eso, resulta que si no es cero, entonces es un número primo.

Ejemplos:

  • $car(\mathbb{Z}_p) = p$
    donde $p$ es primo.

Justificación:
Sea $K = \mathbb{Z}_p = \{\overline {0},\overline {1},…,\overline {p-1}\}$ con cada uno de esos elementos distintos entre sí.
De modo que $p$ es el mínimo natural tal que $\underbrace{1_K + … + 1_K}_{p} = \underbrace{\overline{1} + … + \overline{1}}_{p}$
$= \overline {\underbrace{1 + … + 1}_{p}} = \overline{p} = \overline{0}$

  • $car(\mathbb{Q}) = car(\mathbb{R}) = car(\mathbb{C}) = 0$

Justificación:
Sea $K\in \{\mathbb{Q}, \mathbb{R},\mathbb{C} \}$.
$\underbrace{1_K + … + 1_K}_{n} = n \cdot (1_K) = n \not= 0_K$ $\forall n \in \mathbb{N}, n \not=0$

Propiedades

  • Si $K$ es un campo tal que $car(K) = 0$, entonces $K$ no tiene cardinalidad finita.

Demostración: Como $car(K) = 0$, entonces $\underbrace{1_K + … + 1_K}_{n} \not= 0_K \in K$ para cualquier $n \in \mathbb{N}$.
Así, $\{ 1_K, 1_K + 1_K, …, \underbrace{1_K + … + 1_K}_{n}, … \} \subseteq K$ y no es difícil concluir que cada uno de los elementos de este subconjunto son distintos, de modo que tiene cardinalidad no finita.

  • Si $K$ es un campo tal que $car(K) = 2$, entonces $\alpha + \alpha = 0_K$ para cualquier $\alpha \in K$.

Demostración: Por ser $1_K \in K$ el neutro aditivo de $K$ y por las propiedades de campo obtenemos que
$\alpha + \alpha = 1_K \cdot (\alpha + \alpha) = 1_K \cdot \alpha + 1_K \cdot \alpha = \alpha \cdot 1_K + \alpha \cdot 1_K = \alpha \cdot (1_K + 1_K)$
Como $car(K) = 2$, entonces $1_K + 1_K = 0_K$, por lo cual $\alpha \cdot (1_K + 1_K) = \alpha \cdot 0_K = 0_K$

  • En general, si $K$ es un campo tal que $car(K) = n \not= 0_K$, entonces $\underbrace{\alpha +…+ \alpha}_{n} = 0_K$ para cualquier $\alpha \in K$.

Demostración: Por ser $1_K \in K$ el neutro aditivo de $K$ y por las propiedades de campo obtenemos que
$\underbrace{ \alpha + … + \alpha }_{n} = 1_K \cdot (\underbrace{ \alpha + … + \alpha }_{n}) = \underbrace{ 1_K \cdot \alpha +…+ 1_K \cdot \alpha}_{n}$
$= \underbrace{ \alpha \cdot 1_K +…+ \alpha \cdot 1_K}_{n} = \alpha \cdot ( \underbrace{ 1_K +…+ 1_K}_{n})$.
Como $car(K) = n$, entonces $\underbrace{ 1_K +…+ 1_K}_{n} = 0_K$, por lo cual $\alpha \cdot ( \underbrace{ 1_K +…+ 1_K}_{n}) = \alpha \cdot 0_K = 0_K$

Tarea Moral

Sea $K$ un campo. Demuestra la unicidad de:

  1. El neutro aditivo en $K$.
    Para lograrlo, se te sugiere realizar lo siguiente:
    • Sabemos por la definición de campo, que existe $0_K$ neutro aditivo.
    • Primero sup. que existe ${0_K}’ \in K$ que también lo es. Con el objetivo de demostrar que $0_K = {0_K}’$.
    • Ahora justifica cada una de las siguientes igualdades:
      $0_K = 0_K + {0_K}’ = {0_K}’$
  1. Los inversos aditivos en $K$.
    Para lograrlo, se te sugiere realizar lo siguiente:
    • Sea $\alpha \in K$. Sabemos por la definición de campo, que existe $(-\alpha) \in K$ inverso aditivo de $\alpha$.
    • Primero sup. que existe $(-\alpha)’ \in K$ que también lo es. Con el objetivo de demostrar que $(-\alpha) = (-\alpha)’$.
    • Ahora justifica cada una de las siguientes igualdades:
      $(-\alpha) = (-\alpha) + 0_K = (-\alpha) + (\alpha + (-\alpha)’) = ((-\alpha) + (\alpha)) + (-\alpha)’$
    • Completa la demostración con las igualdades necesarias y justifícalas.
  1. El neutro multiplicativo en $K$.
    Para lograrlo, se te sugiere realizar igualdades análogas al neutro aditivo y justificar cada una.
  1. Los inversos multiplicativos en $K$.
    Para lograrlo, se te sugiere realizar igualdades análogas a los inversos aditivos y justificar cada una.

Más adelante…

Ahora el concepto de campo vamos a usarlo para obtener un nuevo concepto básico y central en este curso: espacio vectorial.

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