INTRODUCCIÓN
Podemos tener en un inicio la regla de correspondencia de una función y analizamos el comportamiento y los valores, o podemos tener la idea de cierto comportamiento y/o de ciertos valores y buscamos describirlo con una función. Lo segundo lo logramos cuando comprendemos la estructura de las funciones, de sus elementos, de los tipos de funciones, …
En una ecuación lineal, sabemos cómo la pendiente y el término independiente determinan la gráfica.
Podemos identificar las cónicas y cada uno sus elementos de acuerdo a la ecuación que se describa.
Del mismo modo, cuando comprendemos la estructura de las transformaciones lineales, podemos analizar las dadas y podemos construir las necesarias. Veamos cómo.
Teorema: Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales donde $V$ es de dimensión finita $n$. Si $\beta =\{ v_1,v_2,…,v_n\}$ es una base de $V$, entonces para cualesquiera $w_1,w_2,…,w_n\in W$ existe una única $T\in\mathcal{L}(V,W)$ tal que $\forall i\in\{1,2,…,n\}(T(v_i)=w_i)$.
Demostración: Sea $\beta =\{v_1,v_2,…,v_n\}$ una base arbitraria de $V$.
Sean $w_1,w_2,…,w_n\in W$.
Entonces para cada $v\in V$ hay una única combinación lineal de elementos de $\beta$ equivalente a $v$. Es decir, existen únicos $\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n\in K$ tales que $v=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iv_i$.
Primero propondremos una función que cumpla que $\forall i\in\{1,2,…,n\}(T(v_i)=w_i)$.
Después veremos que esa función es una transformación lineal.
Por último probaremos que es única.
Definamos $T:V\longrightarrow W$ como $T(v)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iw_i$.
Como $\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n$ son únicos (y por tanto ya son fijos), entonces $T$ le asigna un único valor a cada $v\in V$ y así aseguramos que $T$ está bien definida.
Como $\beta$ es base, entonces $v_1,v_2,…,v_n$ es una lista l.i. y por lo tanto, para cada $i\in\{1,2,…,n\}$ tenemos que $v_i=0v_1+0v_2+…+0v_{i-1}+1v_i+0v_{i+1}+…+0v_n$.
Lo que implica que para cada $i\in\{1,2,…,n\}$ $T(v_i)=0w_1+0w_2+…+0w_{i-1}+1w_i+0w_{i+1}+…+0w_n=w_i$.
Por lo tanto, $\forall i\in\{1,2,…,n\}(T(v_i)=w_i)$.
Sabemos que $T$ es lineal si y sólo si para cualquier $\lambda\in K$ y cualesquiera $u,v\in V$ se cumple que $T(\lambda u+v)=\lambda T(u)+T(v)$.
Sean $\lambda\in K$ y $u,v\in V$.
Entonces:
$\begin{align*}
\lambda u+v & =\lambda \left( \sum_{i=1}^{n}(\lambda_i v_i)\right) +\left( \sum_{i=1}^{n}(\mu_i v_i)\right)\tag{}\\
& =\left( \sum_{i=1}^{n}(\lambda\lambda_i v_i)\right) +\left( \sum_{i=1}^{n}(\mu_i v_i)\right)\tag{}\\
& =\left( \sum_{i=1}^{n}((\lambda\lambda_i+\mu_i) v_i)\right)\tag{}\\
\therefore \lambda u+v&=\left( \sum_{i=1}^{n}((\lambda\lambda_i+\mu_i) v_i)\right)
\end{align*}$
Así, $T(\lambda u+v)=T(\left( \sum_{i=1}^{n}((\lambda\lambda_i+\mu_i) w_i)\right))$$=\lambda\left( \sum_{i=1}^{n}(\lambda_i w_i)\right) + \left( \sum_{i=1}^{n}(\mu_i w_i)\right)$$=\lambda T(u)+T(v)$.
Por lo tanto, $T\in\mathcal{L}(V,W)$.
Para ver que es única, tomemos $S\in\mathcal{L}(V,W)$ tal que $\forall i\in\{ 1,2,…,n\}(S(v_i)=w_i)$. Sea $v\in V$ y sean $\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n\in K$ tales que $v=\sum_{i=1}^{n}(\lambda_iv_i)$.
Entonces $S(v)=S\left( \sum_{i=1}^{n}(\lambda_iv_i) \right)$$=\sum_{i=1}^{n}(\lambda_i S(v_i))=\sum_{i=1}^{n}(\lambda_iw_i)=T(v)$.
Por lo tanto $S=T$ necesariamente.
Corolario: Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales con $V$ de dimensión finita $n$ y $\beta =\{v_1,v_2,…,v_n\}$ una base de $V$. Se cumple que si $T,S\in\mathcal{L}(V,W)$ son tales que $\forall i\in \{1,2,…,n\}(T(v_i)=S(v_i))$, entonces $T=S$.
Demostración: Sean $T,S\in\mathcal{L}(V,W)$ tales que $\forall i\in\{1,2,…,n\}(T(v_1)=S(v_i))$.
Digamos que para cada $i\in\{1,2,…,n\}$ tenemos que $T(v_i)=w_i$.
Por el Teorema anterior, $T$ es la única transformación lineal de $V$ a $W$ tal que $\forall i\in\{1,2,…,n\}(T(v_1)=w_i)$.
Y como por hipótesis $\forall i\in\{1,2,…,n\}(T(v_1)=S(v_i))$, entonces $\forall i\in\{1,2,…,n\}(S(v_i)=w_i)$. Por lo que $T=S$.
Tarea Moral
- Exhibe dos transformaciones lineales diferentes $T, U$ tales que $Im(T)=Im(U)$ $Nuc(T)=Nuc(U)$.
- Da un ejemplo de transformación lineal $T:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ tal que $Nuc(T)=Im(T)$.
- Exhibe la transformación $T:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ tal que $T(2,3)=(5,-14)$ y $T(-2,3)=(-2,3)$.
Más adelante…
Veremos cómo operar transformaciones lineales y qué espacio vectorial podemos definir gracias a estas.
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