(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
INTRODUCCIÓN
En ocasiones se tiene desde un inicio la regla de correspondencia de una función y a partir de ella analizamos su comportamiento y los valores que se obtienen al aplicar la función. Sin embargo, a veces sólo se conoce su comportamiento y/o su evaluación en algunos elementos de su dominio y a partir de ello se busca describir la función por completo. En el caso de las transformaciones lineales entenderemos qué información nos ayuda a comprenderlas por completo y para ello las bases de un espacio jugarán un papel fundamental, veamos de qué forma.
Comencemos con un resultado que nos dice que siempre podemos construir una transformación lineal que mande a los elementos de una base a cualesquiera elementos en el codominio deseado y hay una única manera de hacerlo:
Teorema: Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales donde $V$ es de dimensión finita $n$. Si $\beta =\{ v_1,v_2,…,v_n\}$ es una base de $V$, entonces para cualesquiera $w_1,w_2,…,w_n\in W$ existe una única $T\in\mathcal{L}(V,W)$ tal que $\forall i\in\{1,2,…,n\}(T(v_i)=w_i)$.
Demostración: Sea $\beta =\{v_1,v_2,…,v_n\}$ una base arbitraria de $V$.
Sean $w_1,w_2,…,w_n\in W$.
Entonces para cada $v\in V$ hay una única combinación lineal de elementos de $\beta$ que es igual a $v.$ Es decir, existen únicos $\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n\in K$ tales que $v=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iv_i$.
Primero propondremos una función que cumpla que $\forall i\in\{1,2,…,n\}(T(v_i)=w_i)$.
Después veremos que esa función es una transformación lineal.
Por último probaremos que es única.
Definamos $T:V\longrightarrow W$ como $T(v)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iw_i$.
Como $\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n$ son únicos (y por tanto ya son fijos), entonces $T$ le asigna un único valor a cada $v\in V$ y así aseguramos que $T$ está bien definida.
Notemos que para cada $i\in\{1,2,…,n\}$ tenemos que $$v_i=0v_1+0v_2+…+0v_{i-1}+1v_i+0v_{i+1}+…+0v_n,$$ lo que implica por la forma en que se definió $T$ que para cada $i\in\{1,2,…,n\}$ $$T(v_i)=0w_1+0w_2+…+0w_{i-1}+1w_i+0w_{i+1}+…+0w_n=w_i.$$ Por lo tanto, $\forall i\in\{1,2,…,n\}(T(v_i)=w_i)$.
Sabemos que $T$ es lineal si y sólo si para cualquier $\delta\in K$ y cualesquiera $v,u\in V$ se cumple que $T(\delta v+u)=\delta T(v)+T(u)$.
Sean $\delta\in K$ y $v,u\in V$. Como $\beta$ es una base de $V$ podemos escribir a $v$ y a $u$ como combinación lineal de los elementos de $\beta$, es decir existen $\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n\in K$ y $\mu_1,\mu_2,…,\mu_n\in K$ tales que $v=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iv_i$ y $u=\sum_{i=1}^{n}\mu_iv_i$.
Entonces:
\begin{align*}
\delta v+u & =\delta \left( \sum_{i=1}^{n}\lambda_i v_i\right) + \sum_{i=1}^{n}\mu_i v_i= \sum_{i=1}^{n}\delta(\lambda_i v_i) +\sum_{i=1}^{n}\mu_i v_i
\\&= \sum_{i=1}^{n}(\delta\lambda_i+\mu_i) v_i\\
\therefore \delta v+u&= \sum_{i=1}^{n}(\delta\lambda_i+\mu_i) v_i
\end{align*}
Así,
\begin{align*}T(\delta v+u)&=T\left( \sum_{i=1}^{n}(\delta\lambda_i+\mu_i) v_i\right)=\sum_{i=1}^{n}(\delta\lambda_i+\mu_i) w_i\\&=\delta\left( \sum_{i=1}^{n}\lambda_i w_i\right) + \sum_{i=1}^{n}\mu_i w_i=\delta T(v)+T(u).\end{align*}
Por lo tanto, $T\in\mathcal{L}(V,W)$.
Para ver que la transformación lineal es única, tomemos $S\in\mathcal{L}(V,W)$ tal que $\forall i\in\{ 1,2,…,n\}(S(v_i)=w_i)$. Sea $v\in V$ y sean $\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n\in K$ tales que $v=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iv_i$.
Entonces $S(v)=S\left( \sum_{i=1}^{n}\lambda_iv_i \right)$$=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i S(v_i)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iw_i=T(v)$.
Por lo tanto $S=T$.
Como consecuencia del resultado anterior se tiene que lo que una transformación lineal le haga a una base del dominio determina por completo a la transformación:
Corolario: Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales con $V$ de dimensión finita $n$ y $\beta =\{v_1,v_2,…,v_n\}$ una base de $V$. Se cumple que si $T,S\in\mathcal{L}(V,W)$ son tales que $\forall i\in \{1,2,…,n\}(T(v_i)=S(v_i))$, entonces $T=S$.
Demostración: Sean $T,S\in\mathcal{L}(V,W)$ tales que $\forall i\in\{1,2,…,n\}(T(v_i)=S(v_i))$.
Para cada $i\in\{1,2,…,n\}$ $T(v_i)$ es un elemento de $W$ al que denotaremos por $w_i$. Con esta notación tenemos que $\forall i\in\{1,2,…,n\}(T(v_1)=w_i).$
Por el teorema anterior, $T$ es la única transformación lineal de $V$ a $W$ tal que $\forall i\in\{1,2,…,n\}(T(v_i)=w_i)$.
Y como por hipótesis $\forall i\in\{1,2,…,n\}(T(v_1)=S(v_i))$, entonces $\forall i\in\{1,2,…,n\}(S(v_i)=w_i)$. Por lo que $T=S$.
Tarea Moral
- Exhibe dos transformaciones lineales diferentes $T, U$ tales que $Núc\,T=Núc\,U$ y $Im\,T=Im\,U.$
- Da un ejemplo de transformación lineal $T:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ tal que $Núc\,T=Im\,T$.
- Exhibe explícitamente la regla de correspondencia de la transformación lineal tal que $T:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ tal que $T(2,3)=(5,-14)$ y $T(-2,3)=(-2,3)$.
Más adelante…
Veremos cómo operar transformaciones lineales y qué espacio vectorial podemos definir gracias a éstas.
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