Geometría Moderna I: Cuadrilátero bicéntrico

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

Decimos que un cuadrilátero convexo es bicéntrico si es circunscrito y cíclico al mismo tiempo. Ahora que hemos estudiado a los cuadriláteros cíclicos y cuadriláteros circunscritos por separado, nos podemos preguntar cuando un cuadrilátero cumple con ambas definiciones y que propiedades tiene, en esta entrada abordaremos este tema.

Dos caracterizaciones para el cuadrilátero bicéntrico

Teorema 1. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero circunscrito y sean $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos de tangencia del incírculo a los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $AD$ respectivamente, entonces $\square ABCD$ es bicéntrico si y solo si $EG \perp FH$.

Figura 1

Demostración. $\angle BEF$ y $\angle EFB$ son ángulos semiinscritos que abarcan el mismo arco, $\overset{\LARGE{\frown}}{EF}$, por lo tanto, son iguales $\angle BEF = \angle EFB = \mu$.

De manera análoga tenemos que, $\angle DGH = \angle GHD = \nu$.

Así que en los triángulos $\triangle BEF$ y $\triangle DHG$ se tiene $\pi = \angle B + 2 \mu = \angle D + 2 \nu$ por lo que
$\begin{equation} 2\pi = \angle B + \angle D + 2(\mu + \nu). \end{equation}$

Ahora supongamos que $EG$ y $FH$ son perpendiculares, y sea $P = EG \cap FH$, entonces $\angle HPE =\dfrac{\pi}{2}$, así que en $\triangle HPE$, $\dfrac{\pi}{2} = \angle PEH + \angle EHP$.

Pero $\angle EHF$ y $\angle BEF$ abren el mismo arco, por lo tanto, $\angle EHF = \mu$, de manera similar $\angle GEH = \nu$, por lo tanto $\mu + \nu = \dfrac{\pi}{2}$.

Sustituyendo la ultima igualdad en $(1)$ tenemos
$2\pi = \angle B + \angle D + \pi$
$\Leftrightarrow \angle B + \angle D = \pi$
$\Leftrightarrow \square ABCD$ es cíclico.

La proposición reciproca se muestra tomando en sentido contrario la prueba.

$\blacksquare$

Teorema 2. Sea $\square ABCD$ circunscrito, $I$ su incentro, $K$ y $J$ las intersecciones de los lados $AB$ con $DC$ y $AD$ con $BC$ respectivamente entonces $\square ABCD$ es bicéntrico si y solo si $IK \perp IJ$.

Figura 2

Demostración. Notemos que el incírculo de $\square ABCD$ es al mismo tiempo el excentro de $\triangle AJB$ y $\triangle BKC$ opuesto a los vértices $J$ y $K$ respectivamente.

Esto implica que $IJ$ e $IK$ son las bisectrices internas de $\angle J$ y $\angle K$ respectivamente.

Sean $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos de contacto del incírculo con $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ respectivamente, en la prueba del teorema anterior vimos que $\angle JHF = \angle HFJ$ y $\angle EGK = \angle KEG$.

Por lo tanto, $\triangle JHF$ y $\triangle KEG$ son isósceles.

Entonces las bisectrices de $\angle J$ y $\angle K$ son mediatrices de $FH$ y $EG$ respectivamente.

En consecuencia, $JL \perp FH$ y $KM \perp EG$, donde $L$ y $M$ son los puntos medios de $FH$ y $EG$ respectivamente.

De esto último se sigue que en el cuadrilátero $\square LPMI$, $\angle LIM + \angle MPL =\pi$.

Por lo tanto, $IJ \perp IK \Leftrightarrow FH \perp EG \Leftrightarrow \square ABCD$  es bicéntrico.

La última doble implicación se da por el teorema 1.

$\blacksquare$

Teorema de Fuss

Teorema 3, de Fuss. En un cuadrilátero bicéntrico el circunradio $R$, el inradio $r$ y la distancia $d$ entre el circuncentro y el incentro se relacionan mediante la siguiente expresión:
$\dfrac{1}{(R + d)^2} + \dfrac{1}{(R – d)^2} = \dfrac{1}{r^2}$.

Demostración. Sean $\square ABCD$ bicéntrico, $(O, R)$, $(I, r)$ el circuncírculo y el incírculo respectivamente, $E$ y $F$ los puntos de tangencia de los lados $AB$ y $BC$ respectivamente con $(I, r)$.

Figura 3

Dado que $\square ABCD$  es cíclico, entonces $\angle A + \angle C = \pi$ y como $I$ es la intersección de las bisectrices internas de $\square ABCD$ tenemos lo siguiente:

$\begin{equation} \angle EAI + \angle ICF = \dfrac{\pi}{2}. \end{equation}$

Como $\triangle AEI$ y $\triangle CFI$ son triángulos rectángulos y tienen la misma altura desde $I$.

Al “pegar” los triángulos $\triangle AEI$ y $\triangle CFI$ por la altura formamos un triángulo rectángulo $\triangle ACI$ cuya área es :

$(\triangle ACI) = \dfrac{(AE + FC)r}{2} = \dfrac{AI \times CI}{2}$
$\Leftrightarrow (AE + FC)^2r^2 = AI^2 \times CI^2$.

Figura 4

Podemos calcular $AC$ aplicando el teorema de Pitágoras
$AI^2 + CI^2 = AC^2 = (AE + FC)^2$.

De las últimas dos expresiones obtenemos $(AI^2 + CI^2)r^2 = AI^2 \times CI^2 \Leftrightarrow$
$\begin{equation} \dfrac{1}{AI^2} + \dfrac{1}{CI^2} = \dfrac{1}{r^2}. \end{equation}$

Consideremos $G$ y $H$ los puntos donde $AI$ y $CI$ intersecan a $(O, R)$.

$\angle HAB = \angle HCB = \angle ICF$ pues son subtendidos por el mismo arco.

Por la ecuación $(2)$,
$\angle HAG = \angle HAB + \angle BAG = \angle ICF + \angle EAI = \dfrac{\pi}{2}$,
por lo tanto, $HG$ es diámetro.

Con el teorema de Apolonio calculamos la mediana $IO$ en $\triangle IHG$
$\begin{equation} IH^2 + IG^2 = 2IO^2 + \dfrac{HG^2}{2} = 2d^2 + \dfrac{(2R)^2}{2} = 2(d^2 + R^2). \end{equation}$

Como $\square AHGC$ es cíclico, entonces
$\begin{equation} AI \times GI = HI \times CI = d^2 – R^2. \end{equation}$

Donde la última igualdad se debe a la potencia de $I$ respecto de $(O, R)$.

De $(4)$ y $(5)$ obtenemos

$\dfrac{1}{AI^2} + \dfrac{1}{CI^2} = \dfrac{GI^2}{(R^2 – d^2)^2} + \dfrac{HI^2}{(R^2 – d^2)^2}$
$= \dfrac{GI^2 + HI^2}{(R^2 – d^2)^2} = \dfrac{2(d^2 + R^2)}{(R^2 – d^2)^2} = \dfrac{(R + d)^2 + (R – d)^2}{(R^2 – d^2)^2}$
$\begin{equation} = \dfrac{1}{(R + d)^2} + \dfrac{1}{(R – d)^2}. \end{equation}$

De $(3)$ y $(6)$ obtenemos la relación buscada
$\dfrac{1}{r^2} = \dfrac{1}{(R + d)^2} + \dfrac{1}{(R – d)^2}$.

$\blacksquare$

Puntos colineales en el cuadrilátero bicéntrico

Teorema 4. En un cuadrilátero bicéntrico el incentro, el circuncentro y la intersección de las diagonales son colineales.

Demostración. Sean $\square ABCD$ bicéntrico, $I$, $O$, su incentro y circuncentro respectivamente y consideremos $E$, $F$, $G$ y $H$ las intersecciones de $AI$, $BI$, $CI$ y $DI$ con $(O, R)$, el circuncírculo de $\square ABCD$, respectivamente.

Figura 5

En $\triangle GDB$ la mediatriz de $BD$ pasa por $N$ el punto medio de $BD$ y $O$, y la mediana por $G$ pasa por $G$ y $N$.

Como $CG$ es bisectriz de $\angle DCB$, entonces $\angle DBG = \angle DCG = \angle GCB = \angle GDB$, por tanto, $\triangle GBD$ es isósceles y así la mediatriz de $BD$ y la mediana por $G$ coinciden, por lo que $G$, $N$ y $O$ son colineales, al mismo tiempo que esta recta es diámetro pues pasa por $O$.

En la prueba del teorema de Fuss vimos que $GE$ es diámetro por lo tanto $G$, $N$, $O$ y $E$ son colineales además $\angle ONP = \dfrac{\pi}{2}$ donde $P$ es la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$.

De manera análoga $F$, $M$, $O$ y $H$ son colineales donde $M$ es el punto medio de $AC$ y $\angle PMO = \dfrac{\pi}{2}$.

Se sigue que $\square PNOM$ es cíclico, por lo tanto
$\begin{equation} \angle MNP = \angle MOP. \end{equation}$

Por otro lado, como $\square DBHF$ es cíclico e $I$ es la intersección de las diagonales, por construcción, se sigue que $\triangle IBD \sim \triangle IHF$, son semejantes.

$\Rightarrow \dfrac{IB}{IH} = \dfrac{BD}{FH} = \dfrac{\dfrac{1}{2}BD}{\dfrac{1}{2}FH} = \dfrac{BN}{OH}$ y como $\angle IBN = \angle OHI$, por criterio de semejanza LAL, $\triangle IBN \sim \triangle IHO$.

Por lo tanto, $\angle BNI = \angle IOH$ y así
$\begin{equation}  \angle INP = \angle MOI. \end{equation}$

Por el teorema de Newton, sabemos que $N$, $I$ y $M$ son colineales, además $I$ se encuentra entre $N$ y $M$.

Por las ecuaciones $(7)$ y $(8)$ tenemos
$\angle MOI =  \angle INP = \angle MNP = \angle MOP$.

Es decir, el ángulo que forman las rectas $IO$ y $MO$ es el mismo ángulo que forman las rectas $PO$ y $MO$, por lo tanto $IO$ y $PO$ son la misma recta, y así los puntos $I$, $O$ y $P$ son colineales.

$\blacksquare$

Acotando el área del cuadrilátero bicéntrico

Teorema 5. El área de un cuadrilátero bicéntrico $\square ABCD$ con inradio $r$ y circunradio $R$ cumple la siguiente desigualdad:
$4r^2 \leq (\square ABCD) \leq 2R^2$.

Demostración. Primero veamos que $4r^2 \leq (\square ABCD)$, sean $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos de tangencia del incírculo con los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $AD$ respectivamente.

Figura 6

Como las tangentes desde un punto a una circunferencia son iguales tenemos
$AE = AH = x$, $BE = BF = y$, $CF = CG = z$ y $DG = DH = w$.

En la demostración del teorema de Fuss vimos que $\angle IAH + \angle GCI = \dfrac{\pi}{2}$ de esto se sigue que $\triangle IHA$ y $\triangle CGI$ son semejantes
$\Rightarrow \dfrac{r}{z} = \dfrac{x}{r} \Leftrightarrow r^2 = xz$.

De manera análoga vemos que $r^2 = yw$.

Aplicando la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica obtenemos

$(\square ABCD) = 2((\triangle IAE) + (\triangle IBF) + (\triangle ICG) + (\triangle IDH))$
$= r(x + y + z + w)$
$ = 2r (\dfrac{x + z}{2} + \dfrac{y + w}{2}) \geq 2r(\sqrt{xz} + \sqrt{yw})$
$ = (2r)(2r) = 4r^2$.

Donde la igualdad se da si y solo si $x = y = z = w = r$, si esto es así entonces $\triangle ADC$ es isósceles, entonces, $\angle IAH = \angle GCI = \dfrac{\pi}{4}$.

Por lo tanto, $\angle A= \angle C = \dfrac{\pi}{2}$.

Del mismo modo vemos que $\angle B = \angle C = \dfrac{\pi}{2}$, y así, $\square ABCD$ es un cuadrado.

$\blacksquare$

Ahora veamos que $(\square ABCD) \leq 2R^2$, tracemos la diagonal $BD$ y sean $E$ y $F$ los pies de las perpendiculares a $BD$ trazadas desde $A$ y $C$ respectivamente y $P$ la intersección de las diagonales.

Figura 7

Por el teorema de Pitágoras, $AE \leq AP$ y $CF \leq CP \Rightarrow AE + CF \leq AC$
y se tiene la igualdad si y solo si las diagonales son perpendiculares.

Luego,
$(\square ABCD) = (\triangle ABD) + (\triangle CBD) $
$= \dfrac{BD}{2}(AE + CF) \leq \dfrac{AC \times BD}{2}$.

Como $\square ABCD$  es cíclico entonces cada diagonal es menor o igual que el diámetro $2R$ del circuncírculo.

Por lo tanto $(\square ABCD) \leq 2R^2$, donde la igualdad se da si y solo si las diagonales son perpendiculares y son diámetros del circuncírculo, es decir, $\square ABCD$  es un cuadrado.

$\blacksquare$

Más adelante…

En la siguiente entrada veremos una generalización del teorema de Ptolomeo, el teorema de Casey.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Muestra que para un cuadrilátero bicéntrico $\square ABCD$ de lados $a$, $b$, $c$ y $d$, diagonales $p$ y $q$, inradio $r$ y circunradio $R$ se tiene:
    $i)$ $(\square ABCD) = \sqrt{abcd}$,
    $ii)$ $8pq \leq (a + b + c + d)^2$,
    $iii)$ $\sqrt{2}r \leq R$.
  2.  Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero circunscrito y sean $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos de tangencia del incírculo a los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $AD$ respectivamente, considera los puntos medios $I$, $J$, $K$ y $L$ de los segmentos $HE$, $EF$, $FG$ y $GH$ respectivamente muestra que $\square ABCD$ es cíclico si y solo si $\square IJKL$ es un rectángulo.
Figura 8
  1. Sea $\square ABCD$ bicéntrico, $(I, r)$ el incírculo y $P$ la intersección de las diagonales, muestra que:
    $i)$ $\dfrac{1}{AI^2} + \dfrac{1}{CI^2} = \dfrac{1}{BI^2} + \dfrac{1}{DI^2} = \dfrac{1}{r^2}$,
    $ii)$ $\dfrac{AP}{CP} = \dfrac{AI^2}{CI^2}$ , $Wikipedia\dfrac{BP}{DP} = \dfrac{BI^2}{DI^2}$.
  2. Construye un cuadrilátero bicéntrico.

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Fuentes

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Cálculo Diferencial e Integral I: Concepto de función

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

En la unidad anterior desarrollamos todo lo concerniente a los números reales, ahora comenzaremos a ver funciones. Para ello recordemos de nuestros cursos de álgebra cómo se define el producto cartesiano de un par de conjuntos $A$ y $B$:
$$ A\times B := \left\{ (a,b) : a \in A, b \in B \right\},$$
así vemos que sus elementos son pares ordenados.

Por lo que decimos que cualquier subconjunto $R \subseteq A\times B$, es llamado una relación entre $A$ y $B$.

Basándonos en este par de conceptos daremos la definición formal de función entre un par de conjuntos.

Definición de función

Definición (función): Una función $f$ entre los conjuntos $A$ y $B$ es una relación tal que:

  • Para todo $a \in A$ existe $b \in B$ donde $(a,b) \in f$.
  • Si $(a, b_{1}), (a, b_{2})$ entonces $b_{1}= b_{2}$.

Notación:

  • $f : A \rightarrow B$ es una función con dominio $A$ y codominio $B$.
  • $f(a)=b$ es llamada la regla de correspondencia de f.

En resumen, a una función $f : A \rightarrow B$ la conforman tres cosas:

  • Su dominio.
  • Su codominio.
  • Su regla de correspondencia.

El conjunto imagen de una función

Definición (Conjunto imagen): Sea $f : A \rightarrow B$ una función. La imagen de f se define como:
$$Im_{f}:= \left\{ b \in B : \exists a \in A (f(a) =b) \right\}.$$
Simplificado sería:
$$Im_{f}:= \left\{ f(a) \in B : a \in A \right\}.$$

Ejemplo: Sea $f: \r \rightarrow \r$. Si $f(x)=|x|$ entonces $Im_{f}=[0, \infty)$.

Demostración:
$\subseteq )$ Sea $x \in \r$. Vemos que $f(x)= |x|\geq 0$ por lo que $f(x) \in [0, \infty)$.

$\supseteq )$ Tomemos $y \in [0, \infty)$. Debemos probar que existe $x \in \r$ tal que $f(x)= y$.
Sea $x=y \in \r$ con $y \geq 0$. Así se sigue que $f(y)= |y|=y$ por lo que $f(y)=x$.

$\square$

Ejemplo

Encuentra el dominio y la imagen de la siguiente función:
$$f(x)= \sqrt{1-x^{2}}\quad \text{.}$$

Dominio:
Vemos que $y=\sqrt{1-x^{2}}$ está bien definido
\begin{align*}
&\Leftrightarrow 1-x^{2} \geq 0\\
&\Leftrightarrow 1 \geq x^{2}\\
&\Leftrightarrow 1 \geq |x|\\
\end{align*}
Así concluimos que el dominio es el conjunto:
$$D_{f}= [-1,1]\quad \text{.}$$
Imagen:
Como $x \in [-1,1]$ entonces
\begin{align*}
-1 \leq x \leq 1 &\Leftrightarrow 0 \leq x^{2} \leq 1\\
&\Leftrightarrow 0 \geq -x^{2} \geq -1\\
&\Leftrightarrow 1\geq 1-x^{2} \geq 1-1\\
&\Leftrightarrow 1\geq 1-x^{2} \geq 0\\
&\Leftrightarrow 1\geq \sqrt{1-x^{2}} \geq 0\\
\end{align*}

Por lo anterior tenemos:
$$Im_{f} = [0,1]\quad \text{.}$$

Ejercicio 1

Encuentra el dominio de la siguiente función:
\begin{equation*} f(x)= \frac{1}{4-x^{2}} \end{equation*}

Vemos que la función está bien definido si y sólo si:
\begin{align*}
4-x^{2} \neq 0 &\Leftrightarrow (2-x)(2+x) \neq 0\\
&\Leftrightarrow x \neq 2 \quad \text{y} \quad x\neq -2
\end{align*}
Por lo que su dominio sería:
$$D_{f}= \r – \left\{-2,2 \right\}\quad \text{.}$$
es decir, todos los reales quitando el $-2$ y el $2$.

Ejercicio 2

Encuentra el dominio de la siguiente función:
$$f(x)= \sqrt{x-x^{3}}\quad \text{.}$$

Dominio:
Vemos ahora que para $y=\sqrt{x-x^{3}}$ está bien definido
\begin{align*}
&\Leftrightarrow x-x^{3} \geq 0\\
&\Leftrightarrow x(1-x^{2}) \geq 0\\
&\Leftrightarrow x(1-x)(1+x) \geq 0\\
&\Leftrightarrow x \geq 0,\quad x\leq 1, \quad x \geq -1
\end{align*}

De las condiciones anteriores vemos que tenemos los siguientes posibles intervalos que cumplen la desigualdad inicial:

  • $(-\infty, -1]$
    Vemos que al sustituir $x= -1 \in (-\infty,-1]$ tenemos que:
    $$-1-(-1)^{3} = -1-(-1)= 0 \geq 0$$
    por lo que se cumple la desigualdad $x-x^{3} \geq 0$.
  • $(-1,0)$
    Tomando $x=-\frac{1}{2}$ vemos que:
    $$-\frac{1}{2} -\left(-\frac{1}{2} \right) ^{3} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{8} = -\frac{3}{8}$$
    Por lo que no se cumple ser mayor o igual que cero.
  • $[1,0]$
    Ahora si tomamos $x=1$ observamos:
    $$1- 1^{3} =1-1 =0$$
    por lo que cumple la desigualdad.
  • $(1,\infty)$
    Por último si consideramos $x= 2$ ocurre que:
    $$2- (2)^{3} =2-8 =-6$$
    que no cumple la desigualdad.

Del análisis anterior vemos que los intervalos que cumplen con $x-x^{3} \geq 0$ son:
$$(-\infty, -1] \cup [1,0]\quad \text{.}$$
Por lo que el dominio de la función sería:
$$D_{f}=(-\infty, -1] \cup [1,0]\quad \text{.}$$

Gráfica de una función

Definición (gráfica): Sea $f:D_{f} \subseteq \r \rightarrow \r$ Definimos a la gráfica de f como el conjunto:
$$ Graf(f)= \left\{ (x,y)\in {\mathbb{R}}^2: x \in D_{f}, \quad y=f(x) \right\},$$
que es equivalente a decir:
$$Graf(f)= \left\{(x, f(x)): x \in D_{f} \right\}\quad \text{.}$$

Ejemplos

  • Para la función constante tenemos:
    $$f(x)=c ,$$
    donde $D_{f}= \r$ y $Im_{f}= {c}$.

    Por lo que su gráfica se vería como:
  • Para la función identidad tenemos:
    $$Id(x)=x ,$$
    donde $D_{f}= \r$ y $Im_{f}= \r$.

    Así su gráfica se vería:

Más adelante

En la próxima entrada veremos las definiciones relacionadas con las operaciones entre funciones: suma, producto, cociente y composición.

Tarea moral

A continuación encontrarás una serie de ejercicios que te ayudarán a repasar los conceptos antes vistos:

  • Sea $f: \r \rightarrow \r$. Demuestra que si $f(x)=x^{2}$ entonces $Im_{f}=[0, \infty).$
  • Encuentra el dominio de las siguientes funciones:
    • $\begin{multline*} f(x)= \sqrt{x+1} \end{multline*}$
    • $\begin{multline*} f(x)= x \sqrt{x^{2}-2} \end{multline*}$
    • $\begin{multline*} f(x)= \sqrt{-x}+ \frac{1}{\sqrt{x+2}} \end{multline*}$
    • $\begin{multline*} f(x)= \sqrt{2+x-x^{2}} \end{multline*}$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Probabilidad I-Videos: Distribución hipergeométrica

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

La distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta que nos proporciona una fórmula análoga a la de la distribución binomial, válida para el muestreo sin remplazo, en cuyo caso los ensayos no son independientes.

Distribución hipergeométrica

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Demuestra que la función de probabilidad de la distribución hipergeométrica cumple las condiciones de una función de probabilidad.
  • Sea $X$ es una variable aleatoria tal que $X∼ hipergeométrica(N,k,n)$. Verifica que si $n=1$, la variable $X∼ Bernoulli\left(\frac{K}{N}\right)$.
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X∼ hipergeométrica(N,k,n)$. Demuestra que $f_X\left(x+1\right)=\frac{\left(k-x\right)\left(n-x\right)}{\left(x+1\right)\left(N-k-n+x-1\right)}f\left(x\right)$ para $x=0, 1, 2, …, n$.
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X∼ hipergeométrica(N,k,n)$. Demuestra que la función de probabilidad de $X$, converge a la función de probabilidad $binomial(n,p)$, cuando $N\rightarrow\infty$ y $k\rightarrow\infty$ de tal manera que $\frac{k}{N}\rightarrow p$.
  • Supongamos que una caja contiene 19 fresas, 3 de las cuales son de plástico y en consecuencia no se pueden comer. ¿Cuál es el número mínimo de fresas que deben ser seleccionadas, si requerimos que $P(al\ menos\ 1\ sea\ de\ plástico) ≥ .79$?

Más adelante…

La distribución hipergeométrica describe la probabilidad de éxito si se extrae, sin reemplazo una serie de objetos de una población que contiene algunos objetos que representan el «fracaso» mientras que otros representan el «éxito». Es común encontrar esta distribución en el control de calidad.

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Probabilidad I-Videos: Distribución binomial negativa

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

Toca el turno de estudiar la distribución binomial negativa, otra distribución discreta que se origina de un contexto semejante al que da la distribución geométrica. Esta distribución, se aplica a la variable aleatoria X que determina el número del ensayo en el que ocurre el k–ésimo éxito (k= 2, 3, 4, etc.).

Distribución binomial negativa

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Demuestre que la función de probabilidad de la distribución binomial negativa efectivamente es una función de probabilidad.
  • Sea $X$ una variable aleatoria, tal que $X\sim binomial\ negativa\left ( k,p\right ) $.Determina una relación repetitiva entre probabilidades binomiales negativas sucesivas.
  • Supongamos, se realizan ensayos Bernoulli independientes tal que, $P(E) = p$. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente $x$ intentos ocurran antes que se presente el $k– ésimo$ éxito?
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim binomial\ negativa(k,p)$ y sea $Y = X – k$. La variable aleatoria $Y$, se puede interpretar como el número de fracasos antes del $k-ésimo$ éxito. Demuestra que $P(Y= y)=\begin{cases} {y+r-1 \choose r-1}p^kq^y & \mbox{para y=0,1,2,…} \\ 0 & \mbox{en otro caso} \end{cases}$.
  • Supongamos, se realizan ensayos Bernoulli independientes tal que, $P(E) = p$. Si $X\sim binomial\ negativa(k,p)$ y observamos el $k-ésimo$ éxito en el intento $y_0$. Encuentra el valor de $p$ que maximice $P(Y = y_0)$.

Más adelante…

La distribución binomial negativa es una generalización de la distribución geométrica, pues esta última se obtiene haciendo coincidir el parámetro k con 1. Esta distribución se ha aplicado en campos como la estadística, las ciencias biológicas, la ecología, también se ha utilizado en estudios de mercado, en la psicología y en investigaciones médicas.

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Probabilidad I-Videos: Distribución geométrica

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

La distribución discreta que estudiaremos en este video se conoce como distribución de probabilidad geométrica. Esta distribución al igual que la distribución binomial se asocia a experimentos que comprenden pruebas idénticas e independientes, cada una de las cuales puede arrojar uno de dos resultados: éxito o fracaso cuya probabilidad de éxito p, es constante de una prueba a otra; sin embargo, en lugar de interesarnos en las variables aleatorias que consisten en determinar el número total de éxitos, nos interesará ahora estudiar las variables aleatorias que determinan el número del ensayo en el que ocurre el primer éxito.

Distribución geométrica

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Demuestra que la función de probabilidad asociada a la distribución geométrica es efectivamente una función de probabilidad.
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim geométrica\left ( n,p\right )$, demuestra que $P(X=k)$ decrece monótonamente alcanzando su valor más grande cuando $k$ es igual a $1$.
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim geométrica\left ( n,p\right )$, demuestra que para un entero positivo $a$, $P\left ( X>a\right ) =q^a$.
  • Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X\sim geométrica\left ( n,p\right )$, demuestra que $P\left ( X=\ un\ entero\ impar\right ) =\frac{p}{1-q^2}$.
  • Dos personas, por turnos, lanzan un dado equilibrado hasta que una de ellas obtiene un 6. La persona $A$ tiró primero, la $B$ en segundo, $A$ en tercero y así sucesivamente. En vista de que la persona $B$ tiró el primer 6, ¿Cuál es la probabilidad de que $B$ obtenga el primer 6 en su segundo tiro (es decir, en el cuarto tiro total)?

Más adelante…

La distribución geométrica también puede ser utilizada para estimar probabilidades, asociadas a resultados, en un subconjunto de ensayos que impliquen éxitos o fracasos. Esta distribución es empleada en procesos estocásticos. Se utiliza para modelar la duración de tiempos de espera permitiéndonos encontrarla con relativa frecuencia en modelos meteorológicos.

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